Một số phương pháp tính gần đúng đạo hàm và tích phân

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

HỌ VÀ TÊN
ĐOÀN THỊ THANH HIỀN

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÍNH
GẦN ĐÚNG ĐẠO HÀM
VÀ TÍCH PHÂN
Chuyên ngành: Toán giải tích
Mã số: 60 46 01 02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Người hướng dẫn khoa học: TS. NGUYỄN VĂN HÙNG

HÀ NỘI - 2016


Lời cảm ơn
Luận văn được thực hiện và hoàn thành tại trường Đại học Sư Phạm Hà
Nội 2 dưới sự hướng dẫn tận tình của TS. Nguyễn Văn Hùng, người thầy
đã hướng dẫn và truyền cho tác giả những kinh nghiệm quý báu trong học
tập và nghiên cứu khoa học. Thầy luôn động viên và khích lệ để tác giả vươn
lên trong học tập và vượt qua những khó khăn trong chuyên môn. Tác giả
xin bày tỏ lòng biết ơn, lòng kính trọng sâu sắc nhất đối với thầy.
Tác giả xin chân thành cảm ơn ban giám hiệu trường Đại Học Sư Phạm
Hà Nội 2, Phòng Sau Đại Học, các thầy cô giáo trong nhà trường và các thầy
cô giáo dạy cao học chuyên ngành Toán Giải Tích, những người đã trực tiếp
giảng dạy, truyền đạt cho tác giả những kiến thức quý báu về chuyên môn
cũng như kinh nghiệm nghiên cứu khoa học trong thời gian qua.
Cuối cùng, tác giả xin chân thành gửi lời cảm ơn đến những người thân

trong gia đình, bạn bè đã luôn giúp đỡ, động viên và tạo mọi điều kiện thuận
lợi cho tác giả trong suốt quá trình học tập và hoàn thiện luận văn này.
Hà Nội, tháng 11 năm 2016
Tác giả

Đoàn Thị Thanh Hiền


Lời cam đoan
Tôi xin cam đoan Luận Văn là công trình nghiên cứu của riêng tôi dưới
sự hướng dẫn của Tiến sĩ Nguyễn Văn Hùng.
Trong quá trình nghiên cứu, tôi đã kế thừa thành quả khoa học của các
nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn.
Hà Nội, ngày 22 tháng 11 năm 2016.
Tác giả luận văn

Đoàn Thị Thanh Hiền


Mục lục
Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Chương 1: Một số kiến thức cơ bản
1.1

1.2

Một số khái niệm cơ bản của giải tích . . .
1.1.1 Đạo hàm . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.2 Tích phân . . . . . . . . . . . . . .
Số gần đúng, sai số . . . . . . . . . . . . .

1.2.1 Số gần đúng . . . . . . . . . . . . .
1.2.2 Làm tròn số và sai số của phép làm
1.2.3 Chữ số có nghĩa, chữ số chắc . . . .
1.2.4 Sai số tính toán . . . . . . . . . . .
1.2.5 Bài toán ngược của sai số . . . . .

1
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
. . . . .
tròn số
. . . . .
. . . . .
. . . . .

.
.
.
.
.
.
.
.
.

Chương 2: Một số phương pháp tính gần đúng đạo hàm
2.1
2.2

2.3

i

.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.

.
.
.
.

.
.
.
.
.
.
.
.
.

1
1
6
9
9
9
10
11
13
14

Bài toán nội suy tổng quát . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
Tính gần đúng đạo hàm bằng đa thức nội suy Lagrange . . . 16
2.2.1 Đa thức nội suy Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . 16
2.2.2 Tính gần đúng đạo hàm bằng đa thức nội suy Lagrange 17

Tính gần đúng đạo hàm bằng đa thức nội suy Newton . . . . 20
2.3.1 Đa thức nội suy Newton với các mốc nội suy cách đều 20
2.3.2 Tính gần đúng đạo hàm bằng đa thức nội suy Newton
với các mốc nội suy cách đều . . . . . . . . . . . . . 24
2.3.3 Đa thức nội suy Newton với các mốc nội suy không
cách đều . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32


Tính gần đúng đạo hàm bằng đa thức nội suy Newton
với các mốc nội suy không cách đều . . . . . . . . . . 34
2.4 Tính gần đúng đạo hàm bằng phương pháp Spline bậc ba . . 37
2.4.1 Giới thiệu về hàm Spline (hàm ghép trơn) . . . . . . 37
2.4.2 Tính gần đúng đạo hàm bằng phương pháp Spline
bậc ba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.5 Tính gần đúng đạo hàm bằng phương pháp ngoại suy
Richardson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.5.1 Tính đạo hàm bằng các công thức sai phân hữu hạn
hai điểm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.5.2 Tính gần đúng đạo hàm bằng phép ngoại suy Richardson 45
2.6 Lập trình bài toán tính gần đúng đạo hàm bằng đa thức nội
suy Newton trong Maple 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
2.3.4

Chương 3: Một số phương pháp tính gần đúng tích phân
3.1
3.2
3.3
3.4
3.5
3.6

3.7

Công thức hình thang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Công thức Simpson (Parabol) . . . . . . . . . . . . . . . . .
Công thức Newton – Cotes . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Công thức Chebyshev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Công thức Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Tích phân Romberg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Lập trình bài toán tính gần đúng tích phân bằng công thức
hình thang trong Maple 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

56
56
60
65
71
76
81
87


Mở đầu
1. Lý do chọn đề tài
Toán học bắt nguồn từ nhu cầu giải quyết các bài toán có nguồn gốc thực
tiễn. Cùng với thời gian, toán học ngày càng phát triển và chia thành hai
lĩnh vực: Toán học lý thuyết và toán học ứng dụng. Khi nói đến toán ứng
dụng không thể không nói đến giải tích số.
Giải tích số là một môn khoa học nghiên cứu cách giải gần đúng các
phương trình, các bài toán xấp xỉ hàm số, các bài toán tối ưu. Sự ra đời
và phát triển của giải tích số đã góp phần quan trọng trong việc tạo ra các

thuật giải bài toán thực tế như bài toán tính diện tích đất đai, tính quỹ đạo
của sao chổi, đường đi của các tàu buôn trên biển. . .
Ngày nay với sự phát triển của tin học thì các kiến thức của giải tích số
càng trở nên cần thiết.
Một trong những kiến thức quan trọng của giải tích số được giảng dạy
trong chương trình phổ thông và có ứng dụng lớn trong thực tiễn là phép
tính đạo hàm và tích phân. Để hiểu biết sâu hơn về lĩnh vực này tôi đã chọn
đề tài “Một số phương pháp tính gần đúng đạo hàm và tích phân”.
2. Mục đích nghiên cứu
Hệ thống lại các phương pháp tính gần đúng đạo hàm và tích phân, giải
các bài tập vận dụng các phương pháp đó.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
- Nghiên cứu một số phương pháp tính gần đúng đạo hàm và tích phân
thông qua các phép nội suy đa thức.
i


- Ứng dụng các công thức nội suy vào tính gần đúng đạo hàm và tích phân.
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
- Đối tượng nghiên cứu: Nghiên cứu lý thuyết các phép nội suy và ứng
dụng vào phép tính gần đúng đạo hàm và tích phân.
- Phạm vi nghiên cứu: Các phép tính gần đúng đạo hàm và tích phân.
5. Phương pháp nghiên cứu
- Phương pháp của giải tích và giải tích số.
6. Đóng góp mới
Xây dựng luận văn thành tài liệu tổng quan và tham khảo tốt cho sinh
viên, học viên cao học về một số phương pháp tính gần đúng đạo hàm và
tích phân.
Nội dung
Luận văn tốt nghiệp được chia làm ba chương cộng với phần Mở đầu, Kết

luận và Tài liệu tham khảo. Nội dung luận văn được phân bổ như sau:
Chương 1: Một số kiến thức cơ bản.
Chương 2: Một số phương pháp tính gần đúng đạo hàm.
Chương 3: Một số phương pháp tính gần đúng tích phân.

ii


Chương 1

Một số kiến thức cơ bản
1.1
1.1.1

Một số khái niệm cơ bản của giải tích
Đạo hàm

Định nghĩa: Giả sử f là một hàm số xác định trên khoảng (a, b), x0 ∈
(a, b). Nếu tồn tại
f (x) − f (x0 )
lim
∈R
x→x0
x − x0
thì giới hạn đó gọi là đạo hàm của hàm số f tại điểm x0 và được ký hiệu là
f (x0 ). Hàm số f có đạo hàm tại điểm x0 được gọi là khả vi tại điểm x0 . Đặt
h = x − x0 . Khi đó x = x0 + h và

f (x0 + h) − f (x0 )
.

h→0
h

f (x0 ) = lim

Ý nghĩa hình học của đạo hàm: Giả sử M0 (x0 , f (x0 )) và M (x, f (x)) là
f (x) − f (x0 )
hai điểm thuộc đồ thị (C) của hàm số f . Nếu x = x1 thì tỉ số
x − x0
là hệ số góc của đường thẳng M0 M . Hàm số f có đạo hàm f (x0 ) tại điểm
x0 khi và chỉ khi (C) có tiếp tuyến tại điểm M0 với hệ số góc f (x0 ).
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) của hàm số f tại điểm M0 là:

y − f (x0 ) = f (x0 )(x − x0 )
1


Hình 1.1

Đạo hàm trên một khoảng: Giả sử hàm số f xác định trên khoảng
(a, b). Ta nói rằng f có đạo hàm trên (a, b) nếu nó có đạo hàm tại mọi điểm
x ∈ (a, b). Khi đó hàm số

f

:

(a, b) −→ R
x −→ f (x)

gọi là đạo hàm của hàm số f trên khoảng (a, b).
Nếu f liên tục trên (a, b) thì ta cũng nói rằng f khả vi liên tục trên (a, b)
hoặc f thuộc lớp C 1 trên (a, b).
Đạo hàm một phía:
Định nghĩa: Giả sử hàm số f xác định trên khoảng [x0 , b]. Nếu tồn tại

lim+

x→x0

f (x) − f (x0 )
∈R
x − x0

thì giới hạn đó được gọi là đạo hàm phải của f tại điểm x0 . Đạo hàm phải
của f tại điểm x0 được ký hiệu là f (x0 + 0).
Đạo hàm trái của hàm số tại một điểm được định nghĩa tương tự. Đạo
2


hàm trái của f tại điểm x0 được ký hiệu là f (x0 − 0).
Hiển nhiên hàm số f : [a, b] → R có đạo hàm tại điểm x ∈ [a, b] khi và chỉ
khi nó có đạo hàm phải và đạo hàm trái tại điểm x0 và

f (x0 + 0) = f (x0 − 0).
Nếu hàm số f có đạo hàm phải và đạo hàm trái tại điểm x0 nhưng

f (x0 + 0) = f (x0 − 0)
thì M0 (x0 , f (x0 )) gọi là một điểm góc của đồ thị hàm số f (hình 1.2).

Hình 1.2

Các quy tắc tính đạo hàm
Giả sử các hàm số u và v có đạo hàm (hữu hạn) tại điểm x0 . Khi đó các
hàm số u + v, uv, cu (c ∈ R là một hằng số) có đạo hàm tại điểm x0 và
a) (u + v) (x0 ) = u (x0 ) + v (x0 ).
b) (uv) (x0 ) = u (x0 )v(x0 ) + u(x0 )v (x0 ).
c) (cu) (x0 ) = cu (x0 ).
3


d) Nếu ngoài ra v(x0 ) = 0 thì hàm số

u
v

(x0 ) =

u
có đạo hàm tại điểm x0 và
v

u (x0 )v(x0 ) − u(x0 )v (x0 )
.
[v(x0 )]2

Để cho gọn, ta viết các công thức trên dưới dạng:

a)(u + v) = u + v ;

b)(uv) = u v + uv ;

c)(cu) = cu ;

d)

u
v

=

vu − uv
.
v2

Đạo hàm của hàm số hợp: Nếu hàm số f : (a, b) → (c, d) có đạo hàm
tại điểm x0 ∈ (a, b) và hàm số g : (c, d) → R có đạo hàm tại điểm u0 = f (x0 )
thì hàm số hợp h = g ◦ f : (a, b) → R có đạo hàm tại điểm x0 và

h (x0 ) = g (u0 )f (x0 ) = g [f (x0 )]f (x0 ).
Đạo hàm cấp cao: Giả sử hàm số f có đạo hàm trên khoảng (a, b).
Khi đó
f : (a, b) −→ R
x −→ f (x)
là một hàm số xác định trên khoảng (a, b). Nếu hàm số f có đạo hàm
(f ) (x0 ) tại điểm x0 ∈ (a, b) thì số thực (f ) (x0 ) được gọi là đạo hàm cấp
hai của hàm số f tại điểm x0 và được ký hiệu là f (x0 ):

f (x0 ) = (f ) (x0 ).
Một cách tổng quát, ta có định nghĩa sau:

Giả sử hàm số f có đạo hàm cấp n − 1 trên khoảng (a, b). Khi đó

f (n−1) :

(a, b) −→ R
x −→ f (n−1) (x)

là một hàm số xác định trên khoảng (a, b). Nếu hàm số f (n−1) có đạo hàm
4


tại điểm x0 ∈ (a, b) thì đạo hàm đó được gọi là đạo hàm cấp n của hàm số
f tại x0 và được ký hiệu là f (n) (x0 ).

f (n) (x0 ) = (f (n−1) ) (x0 ).
Đạo hàm của hàm số f được gọi là đạo hàm cấp một của hàm số f .
Ta quy ước đạo hàm cấp không của f là chính f .
Công thức Taylor: Nếu hàm số f : (a, b) → R có đạo hàm đến cấp n
tại điểm x0 ∈ (a, b) thì

f (x0 + h) = f (x0 ) +

f (x0 )
f (x0 ) 2
f (n) (x0 ) n
h+
h +···+
h + 0(hn )
1!
2!

n!

(1)

Công thức trên gọi là công thức Taylor.
Định lý Taylor : Giả sử hàm số f có các đạo hàm đến cấp n liên tục trên
đoạn I = [α, β] và có đạo hàm cấp n + 1 trên khoảng (α, β). Nếu a, b ∈ I thì
tồn tại một số thực c giữa a và b (c ∈ (a, b) nếu a < b, c ∈ (b, a) nếu a > b)
sao cho:

f (b) = f (a) +

f (a)
f (a)
(b − a) +
(b − a)2 + · · ·+
1!
2!

f (n) (a)
f (n+1) (c)
n
+
(b − a) +
(b − a)n+1 .
n!
(n + 1)!
f (n+1) (c)
Biểu thức Rn =
(b − a)n+1 được gọi là phần dư dạng Lagrange.

(n + 1)!
Công thức Mac-Laurin: Giả sử hàm số f thỏa mãn các giả thiết của
Định lý Taylor trên đoạn [0, x] (với x > 0) hoặc trên đoạn [x, 0] (với x < 0).
Trong công thức Taylor với phần dư Lagrange, thay x0 bởi 0 và thay h bởi
x, ta được
f (0)
f (0) 2
f (n) (0) n f (n+1) (θx) n+1
f (x) = f (0) +
x+
x +···+
x +
x ,
1!
2!
n!
(n + 1)!
0 < θ < 1. Công thức trên gọi là công thứ Mac-Laurin.
5


1.1.2

Tích phân

Định nghĩa tích phân xác định
Giả sử f là một hàm số xác định trên đoạn [a, b], (a, b ∈ R, a < b). Gọi
{Πn } là một dãy chuẩn tắc bất kỳ những phép phân hoạch đoạn [a, b]

Πn : a = x0 < x1 < · · · < xpn = b

Lấy các điểm bất kì ξ ∈ ∆xi = [xi−1 , xi ] ; i = 1, ..., pn và lập tổng tích
phân:
pn

σn = σ(Πn ; ξ1 , ..., ξpn ) =

f (ξ)∆xi ,

n = 1, 2, ...

i=1

Định nghĩa: Nếu tồn tại một số I ∈ R sao cho với một dãy chuẩn tắc bất
kì {Πn } những phép phân hoạch đoạn [a, b] và với một cách chọn bất kỳ các
điểm ξi ∈ ∆xi , i = 1, ..., pn , ta đều có

lim σn = I

n→∞

thì I được gọi là tích phân xác định của hàm số f trên đoạn [a, b], ký hiệu là
b

f (x)dx
a
b

f (x)dx = F (x) |ba = F (b) − F (a).
a

Ý nghĩa hình học của tích phân: Giả sử y = f (x) là hàm số liên tục
b

và không âm trên đoạn [a, b]. Khi ấy

f (x)dx là diện tích hình phẳng giới
a

hạn bởi đường cong y = f (x), trục hoành và hai đường thẳng x = a, x = b
(hình giới hạn trên gọi là hình thang cong).

6


Hình 1.3

Các tính chất cơ bản của tích phân xác định

1. Nếu hàm số f khả tích trên đoạn [a, b] thì nó khả tích trên một đoạn
bất kì [α, β] ⊂ [a, b].

2. Giả sử a < c < b. Nếu hàm số f khả tích trên các đoạn [a, c] và [c, b] thì
nó khả tích trên [a, b] và
b

c

f (x)dx =
a

b

f (x)dx +
a

f (x)dx.
c

3. a) Nếu f và g là hai hàm số khả tích trên đoạn [a, b] thì hàm số f + g
khả tích trên [a, b] và
b

b

[f (x) + g(x)]dx =
a

b

f (x)dx +
a

g(x)dx,
a

b) Nếu f khả tích trên [a, b] và a ∈ R là một hằng số thì

7

β

β

αf (x)dx = α
α

f (x)dx.
α

4. Gọi R[a, b] là tập hợp các hàm số khả tích trên [a, b] thì 3) có thể được
phát biểu dưới dạng
a) R[a, b] là một không gian tuyến tính thực.
b

b) Hàm số R[a, b]

f →

f (x)dx ∈ R là một dạng tuyến tính trên
a

R[a, b].
5. Nếu f và g là hai hàm số khả tích trên [a, b] thì hàm số f g khả tích trên
đoạn này.
6. Nếu f và g là hai hàm số khả tích trên đoạn [a, b] và f (x) ≤ g(x) với
mọi x ∈ [a, b] thì
b

b

f (x)dx ≤
a

g(x)dx.
a

Đặc biệt, nếu f là hàm số khả tích trên đoạn [a, b] và f (x) ≥ 0 với mọi
x ∈ [a, b] thì
b

f (x)dx ≥ 0.
a

7. Nếu hàm số f khả tích trên [a, b] thì hàm số |f | cũng khả tích trên đoạn
này và
b

|

b

f (x)dx| ≤
a

|f (x)|dx.
a

8. Nếu f là hàm số khả tích trên đoạn [a, b] và f (x) > 0 với mọi x ∈ [a, b]

8


thì

b

f (x)dx > 0.
a

9. Nếu hai hàm số f và g lấy các giá trị bằng nhau tại mọi điểm của đoạn
[a, b] trừ ra tại một số hữu hạn điểm α1 , ..., αk và một trong hai hàm số
khả tích trên [a, b] thì hàm số kia cũng khả tích trên đoạn này và
b

b

g(x)dx.

f (x)dx =
a

a

1.2
1.2.1

Số gần đúng, sai số
Số gần đúng

Ta nói rằng a là số gần đúng của số a∗ nếu như a không sai khác a∗ nhiều,
hiệu số ∆ = (a∗ − a) là sai số thực sự của a, nếu ∆ > 0 thì a là trị gần
đúng thiếu, còn nếu ∆ < 0 thì a là trị gần đúng thừa của a∗ .
Vì rằng a∗ nói chung không biết nên cũng không biết ∆, tuy nhiên có thể
thấy tồn tại ∆a ≥ 0 thỏa mãn điều kiện:

| a∗ − a |≤ ∆a .

(1.1)

Số ∆a thỏa mãn điều kiện (1.1) được gọi là sai số tuyệt đối của a, còn sai
∆a
số tương đối của a là δa =
. Rõ ràng ∆a , δa càng nhỏ càng tốt.
|a|

1.2.2

Làm tròn số và sai số của phép làm tròn số

Xét một số thập phân dạng tổng quát:

a = ±(αp 10p + · · · + αi 10i + · · · + αp−s 10p−s )

9

(1.2)


trong đó aj ∈ N, ∀j, αp = 0, 0 ≤ αj ≤ 9.

Nếu (p − s) ≥ 0 thì a là số nguyên, Nếu (p − s) = −k (k > 0) thì a có
phần lẻ gồm k chữ số, Nếu (p − s) → −∞ thì a là số thập phân vô hạn.
Làm tròn số a là bỏ đi một số các chữ số bên phải của số a để được số a
gọn hơn và gần đúng với số a.
Quy tắc làm tròn: Xét số a ở dạng (1.2) và ta sẽ giữ lại đến bậc thứ i,
phần bỏ đi là µ thì:

a = ±(αp 10p + · · · + αi+1 10i+1 + αi 10i )
trong đó:

1
1

αi
nếu 0 ≤ µ < .10i hoặc µ = .10i mà αi là số chẵn
2
2
αi =
1
1

(αi + 1)
nếu µ > .10i hoặc µ = .10i mà αi là số lẻ
2
2
Ta ký hiệu sai số của phép làm tròn là τa , như vậy | a − a |= τa , rõ ràng
1
τa ≤ .10i .
2
Vì | a∗ − a |≤| a∗ − a | + | a − a |≤ ∆a + τa , do đó khi làm tròn thì sai

số tuyệt đối tăng thêm τa .
1.2.3

Chữ số có nghĩa, chữ số chắc

Xét số a ở dạng (1.2) nghĩa là được viết dưới dạng thập phân, khi đó chữ
số có nghĩa là mọi chữ số khác 0 và những chữ số 0 bị kẹp giữa hai chữ số
khác 0 hoặc nó là những chữ số 0 ở hàng được giữ lại.
Xét số a ở dạng (1.2):

a = ±(αp 10p + · · · + αi 10i + · · · + αp−s 10p−s ).
Chữ số αj ở (1.2) của số a là chữ số chắc nếu:
∆a ≤ ω10j , ω là tham số cho trước.
Tham số ω sẽ được chọn để sao cho một chữ số vốn là chắc thì sau khi
10


làm tròn vẫn là chữ số chắc, rõ ràng αi là chữ số chắc thì αi+1 cũng là chữ
số chắc.
Bây giờ ta sẽ bàn đến vấn đề chọn ω .
Giả sử số a viết ở dạng (1.2) và αi là chắc, vậy αi+1 vốn là chắc. Ta chọn
ω để sao cho khi làm tròn đến đúng bậc (i + 1) thì ta có αi+1 vẫn là chắc,
muốn vậy ta phải có:
∆α + Γa ≤ ω.10i+1
Tương đương

1
ω.10i + .10i+1 ≤ ω.10i+1
2
5

từ đó ω ≥ . Tuy nhiên trong thực tế để cho tiện, người ta thường chọn
9
1
ω = hoặc ω = 1, nếu ω = 1 thì người ta nói chữ số là chắc theo nghĩa
2
1
rộng, còn nếu ω = thì người ta nói chữ số là chắc theo nghĩa hẹp.
2
1.2.4

Sai số tính toán

Giả sử phải tìm đại lượng y theo công thức:

y = f (x1 , x2 , ..., xn )
Gọi x∗ = (x∗1 , x∗2 , ..., x∗n ), y ∗ = f (x∗ ) là giá trị đúng còn x = (x1 , x2 , ..., xn ),
y = f (x) là giá trị gần đúng của y ∗ , ∆xi =| x∗i − xi |.
Giả sử f (x1 , ..., xn ) là hàm số khả vi liên tục thì:
n
∗

∆y = |y − y | = |f (x1 , ..., xn ) −

f (x∗1 , ..., x∗n )|

=

f
i=1

11

xi

.|xi − x∗i |


với f xi là đạo hàm theo xi tính tại điểm trung gian.
Vì f là khả vi liên tục, ∆xi khá bé nên:
n

∆y =

f

xi (x1 , ..., xn )

∆xi

(1.3)

∂
lnf ∆xi
∂xi

(1.4)

i=1

Vậy:

∆y
=
δy =
|y|

n

i=1

a. Sai số của phép toán cộng, trừ
n

Nếu y =
i=1

∆xi thì yxi = 1, vì vậy ta có:
n

∆y =

∆xi .
i=1
n

∆y
lớn,
|y|
i=1
phép tính sẽ kém chính xác. Ta khắc phục bằng cách tránh công thức đưa

đến hiệu của hai số gần nhau.
b. Sai số của phép toán nhân, chia
Chú ý rằng nếu tổng đại số y =

xi bé về giá trị tuyệt đối thì

n

xi
Giả sử

y=

i=1
q−p

xp+i
i=1

Áp dụng (1.3), (1.4) sẽ có:

δy = δx1 + · · · + δxq
∆y = |y|.δy
c. Sai số của phép tính lũy thừa
Xét y = xα (α ∈ R, x > 0), khi đó δy = |α|.δx .
12


Như vậy nếu α > 1 thì độ chính xác là giảm đi, nếu α < 1 thì độ chính
xác tăng lên. Nếu α = −1 (phép nghịch đảo) thì độ chính xác là không đổi,

1
nếu α = , k ∈ N∗ (phép khai căn) thì độ chính xác tăng lên.
k
d. Sai số của phép tính logarit: y = lnx
Xét y = lnx, ta có ∆y = δx .
1.2.5

Bài toán ngược của sai số

Giả sử đại lượng y được tính theo công thức: y = f (x1 , ..., xn ).
Yêu cầu đặt ra là cần tính ∆xi như thế nào để ∆y ≤ ε, với ε là cho trước.
Theo biểu thức tổng quát của sai số tính toán, ta phải có:
n

∆y =
i=1

∂f
∆xi ≤ ε.
∂xi

ε
.
n.|f (xi )|
Kết luận: Nếu các biến xi có vai trò "đều nhau" thì ta có thể lấy

Bất đẳng thức trên sẽ thỏa mãn nếu ∆xi ≤

∆xi ≤

ε
,
n.|f (xi )|

khi đó ∆y ≤ ε.

13


Chương 2

Một số phương pháp tính gần đúng
đạo hàm
Trong thực tế, nhiều khi ta phải tìm hàm y = f (x), chỉ biết các giá trị
yi tại các điểm xi ∈ [a, b] (i = 0, n). Cũng có trường hợp biểu thức giải tích
f (x) đã cho nhưng quá cồng kềnh. Khi đó dùng phép nội suy ta có thể dễ
dàng tính được f tại bất kỳ x ∈ [a, b] mà độ chính xác không kém bao nhiêu.
Mục tiêu của phép nội suy khá nhiều, nhưng chủ yếu là tìm thuật toán đơn
giản tính giá trị f (x) cho những x không nằm trong bảng xi , yi (i = 0, n).
Một bộ số liệu xi , yi (i = 0, n) và một chương trình ngắn gọn có thể thay
cho bảng rất dài các giá trị xi , f (xi ). Ngoài ra sử dụng kết quả của phép
nội suy, có thể tìm được đạo hàm f (x) hoặc tích phân của f (x) trên đoạn
[a, b]. Để tính gần đúng đạo hàm ta thay f (x) bằng đa thức nội suy của nó:
f (x) = P (x) + R(x), trong đó phần dư

f (n+1) (ξ)
R (x) =
(n + 1)!

n

(x − xi ), ξ = ξ (x) ∈ (x0 , xn ) .
i=0

Với giả thiết hàm f (x) có đạo hàm đến cấp cần thiết và |xi+1 − xi | nhỏ khi
đó f (x) = P (x) + r(x) với r(x) = R (x).

14


2.1

Bài toán nội suy tổng quát

Giả sử hàm số y = f (x) được cho bằng bảng sau

x x0 x1 x2 ... xn
y y0 y1 y2 ... yn
hoặc f (x) được cho bằng một biểu thức khá phức tạp. Ta phải tính giá trị
hoặc đạo hàm của hàm số tại một điểm bất kỳ sẽ gặp nhiều khó khăn. Vì
vậy, ta sẽ tìm một hàm dễ tính toán và có sai số với f (x) là nhỏ nhất. Phép
tìm một hàm như vậy gọi là phép nội suy.
Trong lớp các hàm số liên tục và khả vi thì đa thức là một hàm dễ tính
toán nhất và đặc biệt ta có kết quả của Weierstrass như sau: với hàm f (x)
liên tục trên đoạn [a, b] và với mọi số > 0 đều tồn tại một đa thức xác định
trên đoạn [a, b] sao cho |f (x) − p(x)| < , ∀x ∈ [a, b].
Vì vậy chúng ta hay tìm đa thức làm hàm gần đúng với f (x), đa thức như
vậy gọi là đa thức nội suy.
Định nghĩa 2.1. Giả sử X là một không gian tuyến tính thực (hoặc phức)
n chiều. Cho trước các phiếm hàm tuyến tính Li ∈ X ∗ (i = 1, n) và các số

thực (phức) yi (i = 1, n). Tìm x ∈ X sao cho:

Li (x) = yi (i = 1, n)

(2.1)

Bài toán (2.1) được gọi là bài toán nội suy tổng quát.
Nếu yi = 0 (i = 1, n) thì bài toán (2.1) trở thành, tìm x ∈ X sao cho:

Li (x) = 0 (i = 1, n)

(2.2)

Khi đó (2.2) được gọi là bài toán nội suy thuần nhất.
Định lý 2.2. Bài toán nội suy tổng quát (2.1) có lời giải duy nhất khi và chỉ
khi các phiếm hàm {Li }n1 ⊂ X ∗ là độc lập tuyến tính.
Hệ quả 2.3. Bài toán (2.1) có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi bài toán (2.2)
chỉ có nghiệm tầm thường x ≡ 0.
15


Định lý 2.4. Giả sử các phiếm hàm {Li }n1 ⊂ X ∗ độc lập tuyến tính. Khi đó,
1) Tồn tại duy nhất các phần tử {xj }n1 ⊂ X ∗ sao cho:

0,
i=j
Li (xj ) = δij (i, j = 1, n), δij =
1,
i=j
n

với ∀x ∈ X , ta có x =

Li (x)xi .
i=1

2) Bài toán (2.1) có nghiệm duy nhất x∗ =

2.2

yi xi .

Tính gần đúng đạo hàm bằng đa thức nội suy Lagrange

2.2.1

Đa thức nội suy Lagrange

Giả sử, hàm số f (x) được cho bằng bảng sau:

x x0 x1 x2 ... xn
y y0 y1 y2 ... yn
Các giá trị x0 , x1 , ..., xn được gọi là các mốc nội suy.
Để xây dựng công thức nội suy Lagrange của hàm f (x) trên đoạn [x0 , xn ],
trước hết ta xây dựng các đa thức bậc n sao cho tại các điểm x0 , x1 , ..., xn
các đa thức này thỏa mãn:

0,
1,

Pi (xj ) = δij =

i=j
i=j

Đa thức Pi (x) có n nghiệm x0 , x1 , ..., xi−1 , xi+1 , ..., xn nên nó phải có dạng:

Pi = ai (x − x0 )(x − x1 )...(x − xi−1 )(x − xi+1 )...(x − xn ).
Mặt khác

1 = Pi (xi ) = ai (xi − x0 )(xi − x1 )...(xi − xi−1 )(xi − xi+1 )...(xi − xn ).

16


Vậy

Pi (x) =

(x − x0 )(x − x1 )...(x − xi−1 )(x − xi+1 )...(x − xn )
(xi − x0 )(xi − x1 )...(xi − xi−1 )(xi − xi+1 )...(xi − xn )

Đa thức nội suy P (x) thỏa mãn điều kiện P (xi ) = yi , i = 0, n có dạng
n

yi Pi (x) và khi đó

P (x) =
i=0

n

P (x) =

yi
i=0

(x − x0 )(x − x1 )...(x − xi−1 )(x − xi+1 )...(x − xn )
(xi − x0 )(xi − x1 )...(xi − xi−1 )(xi − xi+1 )...(xi − xn )

được gọi là công thức nội suy Lagrange.
Sai số của phép nội suy
Giả sử P (x) là đa thức nội suy bậc n của f (x) trên [a, b], tức là

P (xi ) = f (xi ) (i = 0, n).
Giả sử f (x) là hàm khả vi liên tục đến cấp n + 1, ký hiệu

M = sup |f (n+1) (x)|
a≤x≤b

ta có công thức đánh giá sai số như sau:

f (x) − P (x) ≤

2.2.2

M
|(x − x0 )...(x − xn )|.
(n + 1)!

Tính gần đúng đạo hàm bằng đa thức nội suy Lagrange

Giả sử hàm số f (x) được cho bằng bảng sau:

x x0 x1 x2 ... xn
y y0 y1 y2 ... yn

17


Giả sử P (x) là đa thức nội suy Lagrange của f (x), ta có:
n

yk Pk (x)

P (x) =
k=0

trong đó

(x − xi )
Pk (x) =

i=k

(xk − xi )
i=k

d
r(x) = R (x) =

dx

f (n+1) (ξ)
(n + 1)!

Từ đó suy ra r(xk ) =

n

n

f (n+1) (ξ) d
(x − xi ) +
(n + 1)! dx
i=0

(x − xi ).
i=0

f (n+1) (ξ)
(xk − xi ).
(n + 1)! i=k

Với n = 1 ta có:

P (x) = y0

x − x0
f (ξ)
x − x1

+ y1
, R(x) =
(x − x0 )(x − x1 ).
x0 − x1
x1 − x0
2!

Do đó

P (x) =

y1 − y0
f (ξ)
, r(x) = R (x) =
(x1 − x0 )
x1 − x0
2!

Vậy

f (x0 ) =

f (x1 ) − f (x0 ) f (ξ)
−
(x1 − x0 ).
x1 − x0
2!

Từ đó suy ra f (x1 ) = f (x0 ) + f (x0 )(x1 − x0 ) +

f (ξ)
(x1 − x0 )2 , đây chính
2!

là khai triển Taylor của f (x) tại x0 .
Bài toán 1: Hàm số y = f (x) được cho bằng bảng

x -2 -1 1 2
y -5 1 4 7
Tính f (x)?
18