01.ĐÁP ÁN CHI TIẾT ĐỀ THI MINH HỌA THPT QUỐC GIA 2017 MÔN TOÁN LAN 1

Xem them trên : HTTP://WIKIMATHS.NET

ĐÁP ÁN CHI TIẾT ĐỀ MINH HỌA MƠN TỐN KÌ THI THPT QUỐC GIA
NĂM 2017
Câu 1: Đường cong trong hình bên là đồ thị của một hàm số trong bốn hàm số
được liệt kê ở bốn phương án A, B , C , D dưới đây. Hỏi hàm số đó là hàm số nào?
2
A. y = −x + x − 1
4
2
C. y = x − x + 1

y

3
B. y = −x + 3x + 1
3
D. y = x − 3x + 1

x

O

Lời giải: Chọn đáp án D
Loại đáp án A, B vì đường cong đồ thị theo hướng lên - xuống - lên nên hệ số a > 0
Loại đáp án C vì đó là hàm trùng phương nhận trục Oy làm trục đối xứng.
3
Ta có: y = x − 3x + 1 . Tập xác định: D = ¡

( )

()

y ' = 3x 2 − 3; y ' = 0 ⇔ 3x 2 − 3 = 0 ⇔ x = ±1 suy ra y −1 = 3; y 1 = −1
lim y = −∞ lim y = +∞
Giới hạn: x →−∞
; x →+∞
Bảng biến thiên:

x
y'

−∞

y

+

−1
0

+∞

1
0

−

+
+∞

3

−∞

−1

( )

( )

( )

lim f x = 1
lim f x = −1
y =f x
Câu 2: Cho hàm số
có x →+∞
và x →−∞
. Khẳng định nào sau đây là khẳng
định đúng ?
A. Đồ thị hàm số đã cho khơng có tiệm cận ngang
B. Đồ t hị hàm số đã cho có đúng một tiệm cận ngang
C. Đồ thị hàm số đã cho có hai tiệm cận ngang là các đường thẳng y = 1 và y = −1
D. Đồ thị hàm số đã cho có hai tiệm cận ngang là các đường thẳng x = 1 và x = −1

Lời giải: Chọn đáp án C
4
Câu 3: Hỏi hàm số y = 2x + 1 đồng biến trên khoảng nào?

 1


1
− ; +∞ ÷
 −∞; − ÷

0; +∞
2
2

A. 
B.
C. 

(

Lời giải: Chọn đáp án B
y = 2x 4 + 1 . Tập xác định: D = ¡

)

( )

3
3
y 0 =1
Ta có: y ' = 8x ; y ' = 0 ⇔ 8x = 0 ⇔ x = 0 su ra
lim y = +∞ lim y = +∞
Giới hạn: x →−∞
; x →+∞

HTTP://WIKIMATHS.NET chia sẻ tài liệu kiến thức toán học

D.

( −∞; 0 )


Xem them trên : HTTP://WIKIMATHS.NET
Bảng biến thiên:

x
y'

−∞

y

+∞

+∞

0
0

−

+
+∞

1

Vậy hàm số đồng biến trên khoảng
Câu 4: Cho hàm số

x
y'

−∞

+

y

( 0; +∞ )

( ) xác định, liên tục trên ¡

y =f x

1

0
P

−

và có bảng biến thiên:
+∞

+

0

+∞

0

−∞

−1

Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?
A. Hàm số có đúng một cực trị
B. Hàm số có giá trị cực tiểu bằng 1
C. Hàm số có giá trị lớn nhất bằng 0 và giá trị nhỏ nhất bằng −1
D. Hàm số đạt cực đại tại x = 0 và đạt cực tiểu tại x = 1 .
Lời giải: Chọn đáp án D
Đáp án A sai vì hàm số có 2 điểm cực trị

Đáp án B sai vì hàm số có giá trị cực tiểu y = −1 khi x = 0
Đáp án C sai vì hàm số khơng có GTLN và GTNN trên ¡ .
3
y
Câu 5: Tìm giá trị cực đại C Đ của hàm số y = x − 3x + 2 .
y =4
y =1
y =0
A. CD
B. CD
C. CD

Lời giải: Chọn đáp án A
y = x 3 − 3x + 2 Tập xác định: D = ¡

D.

( )

()

2
2
y −1 = 4; y 1 = 0
Ta có: y ' = 3x − 3 ; y ' = 0 ⇔ 3x − 3 = 0 ⇔ x = ±1 suy ra
lim y = −∞ lim y = +∞
Giới hạn: x →−∞
; x →+∞
Bảng biến thiên:

x
y'

−∞

+

−1
0

−

1
0

+

+∞

HTTP://WIKIMATHS.NET chia sẻ tài liệu kiến thức toán học

yCD = −1


Xem them trên : HTTP://WIKIMATHS.NET
y

+∞

4

−∞
Vậy hàm số đạt cực đại tại

0
x = −1; yCD = 4

.

HTTP://WIKIMATHS.NET chia sẻ tài liệu kiến thức toán học

Xem them trên : HTTP://WIKIMATHS.NET
x2 + 3
y =
 
x − 1 trên đoạn 2; 4  .
Câu 6: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số
A.

min y = 6
2;4 

B.

min y = −2
2;4 

C.

min y = −3
2;4 

D.

min y =
2;4 

19
3

Lời giải: Chọn đáp án A
x2 + 3
y =
D =¡ \ 1
x − 1 . Tập xác định:

{}

x2 + 3
 
x − 1 liên tục trên đoạn 2; 4 
Xét hàm số
x 2 − 2x − 3
y'=
; y ' = 0 ⇔ x 2 − 2x − 3 = 0 ⇔ x = 3
2
x −1
Ta có
hoặc x = −1 (loại)
19
min y = 6
y 2 = 7 ; y 3 = 6; y 4 =
2;4 
3
Suy ra
. Vậy  
tại x = 3 .
x2 + 3
f x =
x − 1 \STAR: 2 \END: 4 \STEP: 0, 5

CASIO: MODE 7\nhập hàm
y =

(

( )

)

( )

( )

( )

( ) sẽ có giá trị nhỏ nhất là 6

f x

Sau khi ta bằng thì máy tính ở cột

3
Câu 7: Biết rằng đường thẳng y = −2x + 2 cắt đồ thị hàm số y = x + x + 2 tại điểm duy nhất; kí
x ;y
y
hiệu 0 0 là tọa độ của điểm đó. Tìm 0
y =4
y =0
y =2
y = −1

A. 0
B. 0
C. 0
D. 0

(

)

Lời giải: Chọn đáp án C
3
3
Xét phương trình hồnh độ giao điểm ta có: −2x + 2 = x + x + 2 ⇔ x + 3x = 0 ⇔ x = 0
x = 0 ⇒ y0 = 2
Với 0

4
2
Câu 8: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho đồ thị của hàm số y = x + 2mx + 1 có ba
điểm cực trị tạo thành một tam giác vuông cân.
1
1
m =−
m =
3
3
9
9
A.
B. m = −1

C.
D. m = 1

Lời giải: Chọn đáp án B
y = x 4 + 2mx 2 + 1 . Tập xác định: D = ¡
x = 0
y ' = 4x 3 + 4mx ; y ' = 0 ⇔ 4x 3 + 4mx = 0 ⇔ 4x x 2 + m = 0 ⇔  2
x = −m ∗
Ta có:

(

)

( )

Hàm số có 3 cực trị khi và chỉ khi phương trình y ' = 0 có 3 nghiệm phân biệt nghĩa là phương trình
∗
có 2 nghiệm phân biệt khác 0 ⇔ −m > 0 ⇔ m < 0 . (loại đáp án C và D)

( )

( )

(

) (

A 0;1 ; B − −m ;1 − m 2 ;C
Vậy tọa độ 3 điểm lần lượt là:

uuur
uuuur
A B = − −m ; −m 2 ; A C = −m ; −m 2
Ta có

(

)

(

)

−m ;1 − m 2

HTTP://WIKIMATHS.NET chia sẻ tài liệu kiến thức toán học

)


Xem them trên : HTTP://WIKIMATHS.NET
uuur uuuur
A
⇒
A
B .A C = 0 ⇔ − m 2 + m 2.m 2 = 0 ⇔ − m + m 4 = 0 ⇔ m + m 4 = 0
Vì ∆A BC vng cân tại
⇔ m = −1 ( vì m < 0 )
Vậy với m = −1 thì hàm số có 3 cực trị tạo thành một tam giác vuông cân.
x +1

y =
mx 2 + 1 có hai
Câu 9: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho đồ thị của hàm số
tiệm cận ngang.
A. Khơng có giá trị thực nào của m thỏa mãn yêu cầu đề bài.
B. m < 0
C. m = 0
D. m > 0
Lời giải: Chọn đáp án D
lim y = lim

x →−∞

x →−∞

Ta có:
lim y = lim

x →+∞

x →+∞


1
− 1 + ÷
x
x +1
1
= 
=−

2
1
m
mx + 1
m + 2
x

x +1
mx 2 + 1

= lim

x →+∞

và

1+

1
x

m +

1
x2

y =
Vậy hàm số có hai tiệm cận ngang là :

=

1
m

1
m

;y = −

1
m

⇒m >0

Câu 10: Cho một tấm nhơm hình vng cạnh 12cm . Người ta cắt ở bốn góc của tấm nhơm đó bốn
x cm
hình vng bằng nhau, mỗi hình vng có cạnh bằng
, rồi gập tấm nhơm lại như hình vẽ
x
dưới đây để được một cái hộp khơng nắp. Tìm để hộp nhận được có thể tích lớn nhất.

( )

A. x = 6

B. x = 3

C. x = 2

Lời giải: Chọn đáp án C

h = x cm
Ta có :
là đường cao hình hộp

D. x = 4

( )

( )

12 − 2x cm
Vì tấm nhơm được gấp lại tạo thành hình hộp nên cạnh đáy của hình hộp là:
x > 0
x > 0
2
⇔
⇔ x ∈ 0;6


12 − 2x > 0
x <6
S = 12 − 2x cm 2




Vậy diện tích đáy hình hộp
. Ta có:

)

= S .h = x . ( 12 − 2x )

Thể tích của hình hộp là:
Xét hàm số:

(

V

y = x . 12 − 2x

)

2

( )

)(

(

2

( )

∀x ∈ 0;6

HTTP://WIKIMATHS.NET chia sẻ tài liệu kiến thức toán học

Xem them trên : HTTP://WIKIMATHS.NET

(

) − 4x ( 12 − 2x ) = ( 12 − 2x ) ( 12 − 6x ) ;
Ta có :
y ' = 0 ⇔ ( 12 − 2x ) . ( 12 − 6x ) = 0 ⇔ x = 2
y ( 2 ) = 128
hoặc x = 6 (loại). Suy ra
y ' = 12 − 2x

2

HTTP://WIKIMATHS.NET chia sẻ tài liệu kiến thức toán học


Xem them trên : HTTP://WIKIMATHS.NET
Bảng biến thiên :

−∞

x

2

0
−

y'
y

+∞

6
+

0
128

Vậy thể tích lớn nhất của hình hộp là

(

128 cm 3

)

khi

( ).

x = 2 cm

y =

t an x − 2
t an x − m đồng

Câu 11: Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho đồ thị của hàm số
 π

 0; ÷
4
biến trên khoảng 
.
A. m ≤ 0 hoặc 1 ≤ m < 2
B. m ≤ 0
C. 1 ≤ m < 2
D. m ≥ 2
Lời giải: Chọn đáp án A
 π
x ∈  0; ÷ ⇒ t ∈ 0;1
 4
Đặt t = t an x , vì
t −2
f t =
∀t ∈ 0;1
D =¡ \ m
t −m
Xét hàm số
. Tập xác định:
2−m
f' t =
2
t −m
Ta có
.
 π
 0; ÷
f ' t > 0 ∀t ∈ 0;1
4

y
Để hàm số đồng biến trên khoảng 
khi và chỉ khi:
m < 2


2 −m
2 − m > 0
⇔
> 0 ∀t ∈ 0;1 ⇔ 
⇔  m ≤ 0 ⇔ m ∈ −∞; 0  ∪ 1;2
2
m ∉ 0;1

 m ≥ 1
t −m

 

( )

()

()

(

( )

{ }

)

()

(

)

( )

(

( )

(

CASIO: Đạo hàm của hàm số ta được

( )

) (

)

)

1
1
t an x − m − t an x − 2

2
cos2 x
y ' = cos x
2
t an x − m

(

x =

)

 π
π
 0; ÷
8 ( Chọn giá trị này thuộc  4  )

Ta nhập vào máy tính thằng y ' \CALC\Calc
\= \ m = ? 1 giá trị bất kỳ trong 4 đáp án.
Đáp án D m ≥ 2 . Ta chọn m = 3 . Khi đó y ' = −0,17 < 0 ( Loại)
Đáp án C 1 ≤ m < 2 Ta chọn m = 1, 5 . Khi đó y ' = 0, 49 > 0 (nhận)
Đáp án B m ≥ 0 Ta chọn m = 0 . Khi đó y ' = 13, 6 > 0 (nhận)
Vậy đáp án B và C đều đúng nên chọn đáp án A.

(

)

log 4 x − 1 = 3
Câu 12: Giải phương trình

.
A. x = 63
B. x = 65

C. x = 80

HTTP://WIKIMATHS.NET chia sẻ tài liệu kiến thức toán học

D. x = 82


Xem them trên : HTTP://WIKIMATHS.NET
Lời giải: Chọn đáp án B
log 4 x − 1 = 3
. Điều kiện: x − 1 > 0 ⇔ x > 1
3
Phương trình ⇔ x − 1 = 4 ⇔ x = 65
CASIO
log 4 X − 1 − 3
Bước 1. Nhập

(

)

(

)

Bước 2. Bấm SHIFT SOLVE =

Suy ra: x = 65
x
Câu 13: Tính đạo hàm của hàm số y = 13 .
x −1
A. y ' = x .13

x
B. y ' = 13 . ln 13

x
C. y ' = 13

D.

y' =

13x
ln 13

Lời giải: Chọn đáp án B
y ' = 13x ' = 13x . ln 13
Ta có:

( )

Câu 14: Giải bất phương trình

(

)

log2 3x − 1 > 3

1
B. 3

A. x > 3

.
C. x < 3

D.

x >

Lời giải: Chọn đáp án A

(

)

3x − 1 > 0 ⇔ x >

log2 3x − 1 > 3

1
3

. Điều kiện:

3
Phương trình ⇔ 3x − 1 > 2 ⇔ 3x > 9 ⇔ x > 3
CASIO: A hihi
Câu 15: Tìm tập xác định D của hàm số
D = −∞; −1 ∪ 3; +∞
A.
D = −∞; −1 ∪ 3; +∞
C.

(
(

)
)

) (

(

y = log2 x 2 − 2x − 3
B.
D.

).

D =  −1; 3

(

D = −1; 3

)

Lời giải: Chọn đáp án C
y = log2 x 2 − 2x − 3
2
. Hàm số xác định khi x − 2x − 3 > 0 ⇔ x < −1 hoặc x > 3
D = −∞; −1 ∪ 3; +∞
Vậy tập xác định:

(

)

(

) (

( )

f x = 2x .7x

Câu 16: Cho hàm số
f x < 1 ⇔ x + x 2 . log2 7 < 0
A.
f x < 1 ⇔ x . log7 2 + x 2 < 0
C.

( )
( )

)

2

. Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai ?
f x < 1 ⇔ x . ln 2 + x 2 . ln 7 < 0
B.
f x < 1 ⇔ 1 + x . log2 7 < 0
D.

( )
( )

Lời giải: Chọn đáp án D
HTTP://WIKIMATHS.NET chia sẻ tài liệu kiến thức toán học

10
3


Xem them trên : HTTP://WIKIMATHS.NET

( )

(

( )

f x < 1 ⇔ log2 f x < log2 1 ⇔ log2 2x .7x

Đáp án A đúng vì
⇔ x + x 2 . log2 7 < 0

( )

( )

(

f x < 1 ⇔ ln f x < ln 1 ⇔ ln 2x .7 x

Đáp án B đúng vì
⇔ x . ln 2 + x 2 . ln 7 < 0

( )

2

( )

( )

(

f x < 1 ⇔ log2 f x < log2 1 ⇔ log2 2x .7 x

Vậy D sai vì
⇔ x + x 2 log2 7 < 0

2

2

+ log2 7 x < 0

x

2

x

f x < 1 ⇔ log7 f x < log7 1 ⇔ log7 2x .7 x

Đáp án C đúng vì
⇔ x . log7 2 + x 2 < 0

) < 0 ⇔ log 2

) < 0 ⇔ ln 2
(

( )

2

2

2

+ ln 7 x < 0

) < 0 ⇔ log 2
7

) < 0 ⇔ log 2

HTTP://WIKIMATHS.NET chia sẻ tài liệu kiến thức toán học

2

x

x

2

+ log7 7 x < 0

2

+ log 2 7 x < 0


Xem them trên : HTTP://WIKIMATHS.NET
Câu 17: Cho các số thực dương a, b với a ≠ 1 . Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng ?
1
loga 2 ab = loga b
loga 2 ab = 2 + 2 loga b
2

A.
B.

( )

C.

( )

( )

loga 2 ab =

1
loga b
4

D.

( )

loga 2 ab =

1 1
+ log b
2 2 a

Lời giải: Chọn đáp án D
Ta có:

Câu 18: Tính đạo hàm của hàm số
1 − 2 x + 1 ln 2
y'=
22x
A.

(

C.

1
1
1 1
. loga a + . loga b = + . loga b
2
2
2 2

( )

loga 2 ab = loga 2 a + loga 2 b =

y'=

y =

)

(

x +1
4x .
B.

)

1 − 2 x + 1 ln 2
2x

2

D.

y'=

y' =

(

2x

(

( )

)

(

( )

)( )

(

)

(

2

)

1 + 2 x + 1 ln 2

Lời giải: Chọn đáp án A
x + 1 '.4x − x + 1 . 4 x ' 4x − x + 1 .4x . ln 4
y' =
=
2
2
4x
4x
Ta có:
4x . 1 − x . ln 4 − ln 4
1 − x .2 ln 2 − 2 ln 2 1 − 2 ln 2 x + 1
=
=
=
2

4x
22x
4x

(

)

1 + 2 x + 1 ln 2

2x

2

)

( )

(

)

d x + 1

÷
dx  4x  x = ?
CASIO: Shif t– tích phân:
Nhập một giá trị của x bất kỳ ví dụ bằng 2:
d x + 1


÷
dx  4x  x = 2
Ta có:
trừ đi một trong số các đáp án . Nếu kết quả bằng 0 thì đáp án tương ứng
đúng.
1 − 2 2 + 1 ln 2
d  x + 1
= −2, 94.10−13
 x ÷x = 2 −
2. 2
dx  4 
2
Ở đáp án A:
sau đó bấm “độ” kq 0.
x
=
2
( Chú ý gán
chỗ màu đỏ)

(

)

a = log2 3, b = log5 3
log 6 45
Câu 19: Đặt
. Hãy biểu diễn
theo a và b .
a + 2ab

2a 2 − 2ab
log6 45 =
log6 45 =
ab
ab
A.
B.
2
a + 2ab
2a − 2ab
log6 45 =
log6 45 =
ab + b
ab + b
C.
D.
Lời giải: Chọn đáp án C
log 45 = log6 9 + log6 5
Ta có: 6
HTTP://WIKIMATHS.NET chia sẻ tài liệu kiến thức toán học


Xem them trên : HTTP://WIKIMATHS.NET
log6 9 =

log6 5 =

1

=

( )

log 32 2.3

1

( )

log5 2.3

⇒ log 6 5 =

1
b
+b
a

=

1

(

1
. log3 2 + log 3 3
2

)

=

2
1
+1
log2 3

1
1
=
log5 2 + log5 3 log5 2 + b

=

2
1
+1
a

=

()
1
log2 3

1
b
log5 2 =
=
=a =

log 3 5
1
1 a
log 5 3 b
log 3 2

mà

a
2
ab + b

( )

=

2a
1
a +1

2a

a

( 1) ( 2 ) suy ra: log 45 = a + 1 + ab + b
. Từ và
2a b + 2ab + a + a ( a + 1) 2ab + ( a + 1) a ( a + 1) ( a + 2ab ) a + 2ab
=
=
=

=
( a + 1) ( ab + b )
( a + 1) ( ab + b )
( a + 1) ( ab + b ) ab + b
2

6

2

CASIO: Sto\Gán

A = log2 3, B = log5 3

bằng cách: Nhập

log2 3

\shift\Sto\A tương tự B

A + 2A B
− log6 45 ≈ 1, 34
AB
Thử từng đáp án:
( Loại)
A + 2A B
− log6 45 = 0
Thử đáp án: A B + B
( chọn )
Câu 20: Cho hai số thực a và b , với 1 < a < b . Khẳng định nào dưới đây là khẳng định đúng ?

loga b < 1 < logb a
1 < loga b < logb a
A.
B.
logb a < loga b < 1
logb a < 1 < loga b
C.
D.
Lời giải: Chọn đáp án D
log b > loga a
log b > 1
b >a >1⇒  a
⇔ a
⇒ logb a < 1 < loga b
logb b > logb a
1 > logb a




Cách 1: Vì
a = 2;b = 3 ⇒ log 3 2 < 1 < log2 3 ⇒
Cách 2: Đặt
D
Câu 21: Ông A vay ngắn hạn ngân hàng 100 triệu đồng, với lãi suất 12%/năm. Ông muốn hoàn nợ
cho ngân hàng theo cách : Sau đúng một tháng kể từ ngày vay, ơng bắt đầu hồn nợ, hai lần hoàn
nợ liên tiếp cách nhau đúng một tháng, số tiền hoàn nợ ở mỗi lần là như nhau và trả hết tiền nợ sau
đúng 3 tháng kể từ ngày vay. Hỏi, theo cách đó, số tiền m mà ông A phải trả cho ngân hàng trong
mỗi lần hoàn nợ là bao nhiêu ? Biết rằng lãi suất ngân hàng khơng thay đổi trong thời gian ơng A
hồn nợ.

( 1, 01)
m =
( 1, 01) − 1 (triệu đồng)
B.
120. ( 1,12 )
m =
( 1,12 ) − 1 (triệu đồng)
D.
3

A.

m =

(

100. 1, 01
3

)

3

3

(triệu đồng)

3

C.

m =

100 × 1, 03
3
(triệu đồng)

Lời giải: Chọn đáp án B

HTTP://WIKIMATHS.NET chia sẻ tài liệu kiến thức toán học

3


Xem them trên : HTTP://WIKIMATHS.NET
Cách 1: Công thức: Vay số tiền A lãi suất r % / tháng. Hỏi trả số tiền a là bao nhiêu để n tháng hết
a =

(

A .r . 1 + r

(1 + r )

n

)

n

−1

=

(

100.0, 01. 1 + 0, 01

( 1 + 0, 01)

)

3

3

−1
nợ
.
Cách 2: Theo đề ta có: ơng A trả hết tiền sau 3 tháng vậy ơng A hồn nợ 3 lần
V ới lãi suất 12%/năm suy ra lãi suất một tháng là 1%
• Hoàn nợ lần 1:
-Tổng tiền cần trả (gốc và lãi) là : 100.0, 01 + 100 = 100.1, 01 (triệu đồng)
- Số tiền dư : 100.1, 01 − m (triệu đồng)
• Hồn nợ lần 2:
- Tổng tiền cần trả (gốc và lãi) là :

( 100.1, 01 − m ) .0, 01 + ( 100.1, 01 − m ) = ( 100.1, 01 − m ) .1, 01 = 100. ( 1, 01)
100. ( 1, 01) − 1, 01.m − m

- Số tiền dư:
(triệu đồng)

2

− 1, 01.m

(triệu đồng)

2

• Hồn nợ lần 3:
- Tổng tiền cần trả (gốc và lãi) là :
100. 1, 01 2 − 1, 01.m − m  .1, 01 = 100. 1, 01 3 − 1, 01 2 m − 1, 01m


(triệu đồng)

(

)

(

- Số tiền dư:

(

) (

)

3

) (

2

100. 1, 01 − 1, 01 m − 1, 01m − m

(

) (

)

3

)

(triệu đồng)

⇒ 100. 1, 01 − 1, 01 m − 1, 01m − m = 0 ⇔ m =

(

) (

)

( 1, 01)
⇔m =
=
 1, 01 + 1, 01 + 1 . 1, 01 − 1
)
(
) ( 1, 01) − 1
(

3

(

)

100. 1, 01

2

( 1, 01)

2

3

+ 1, 01 + 1

3

100. 1, 01 . 1, 01 − 1

3

2

(triệu đồng)

Câu 22: Viết công thức tính thể tích V của khối trịn xoay được tạo ra khi quay hình thang cong,
y =f x
x = a, x = b a < b
giới hạn bởi đồ thị hàm số
, trục Ox và hai đường thẳng
, xung quanh
trục Ox .

( )

b

A.

V = π∫f
a

2

(

b

( x )dx

B.

V = ∫f
a

2

( x )dx

b

C.

b

( )

V = π ∫ f x dx
a

)

V =
D.

Lời giải: Chọn đáp án A
Câu 23: Tìm nguyên hàm của hàm số
2

f x dx = 2x − 1 2x − 1 + C
∫
3
A.

( )

(

1

∫ f ( x )dx = − 3
C.

)

2x − 1 + C

( )

f x = 2x − 1

.
1

∫ f ( x )dx = 3 ( 2x − 1)
B.
1

∫ f ( x )dx = 2

D.

Lời giải: Chọn đáp án B

HTTP://WIKIMATHS.NET chia sẻ tài liệu kiến thức toán học

2x − 1 + C

2x − 1 + C

∫ f ( x ) dx
a


Xem them trên : HTTP://WIKIMATHS.NET
Ta có:
=

(

( )

∫ f x dx =

1 2x − 1
.
2
3
2

)

∫

3
2

+C =

2x − 1dx =
1 2
. .
2 3

∫(

)

1

2x − 1 2dx

( 2x − 1)

3

+C =

1
. 2x − 1 . 2x − 1 + C

3

(

)

HTTP://WIKIMATHS.NET chia sẻ tài liệu kiến thức toán học


Xem them trên : HTTP://WIKIMATHS.NET
Câu 24: Một ô tô đang chạy với tốc độ 10m / s thì người lái đạp phanh ; từ thời điểm đó, ơ tơ
v t = −5t + 10 m / s
chuyển động chậm dần đều với
, trong đó t là khoảng thời gian tính bằng
giây, kể từ lúc bắt đầu đạp phanh. Hỏi từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn, ơ tơ cịn di chuyển bao
nhiêu mét ?
A. 0, 2m
B. 2m
C. 10m
D. 20m

()

(

)

()

∫(

Lời giải: Chọn đáp án C
Cách 1: Quãng đường vật di chuyển

()

s t = ∫ v t dt =

()

()

s t =

s t =0

−5t 2
+ 10t + C
2

)

−5t + 10 dt =

−5t 2
−5
+ 10t =
t −2
2
2

(

, do đó C = 0 và
10 m
Xe dừng hẳn khi được quãng đường
kể từ lúc đạp phanh
v = 0 ⇒ −5t + 10 = 0 ⇔ t = 2 s
Cách 2: Khi vật dừng lại thì
Quãng đường vật đi được trong thời gian này là :
Tại thời điểm t = 0 thì

( )

)

2

+ 10 ≤ 10

( )

()

2

()

s t = ∫ v t dt =
0

2

∫(
0

2

 −5t 2

−5t + 10 dt = 
+ 10t ÷ = 10 m
 2
0

)

( )

π

Câu 25: Tính tích phân
1
I = − π4
4
A.

I = ∫ cos 3 x . sin xdx
0

B. I = −π

.

4

C. I = 0

D.

I =−

1
4

Lời giải: Chọn đáp án C
π

Ta có:

I = ∫ cos 3 x . sin xdx
0

. Đặt t = cos x ⇒ dt = − sin xdx ⇔ −dt = sin xdx
−1

1

t4
I = − ∫ t dt = ∫ t dt =

4
1
−1
3

Đổi cận: với x = 0 ⇒ t = 1 ; với x = π ⇒ t = −1 . Vậy

( )

1

3

−1

−1
14
=
−
4
4

e

Câu 26: Tính tích phân
1
I =
2
A.

I = ∫ x ln xdx

:
e −2
I =
2
B.
1

2

C.

I =

e2 + 1
4

Lời giải: Chọn đáp án C


1
u = lnx
du = dx


x
e
⇒


2
dv
=
xdx
x

I = ∫ xlnxdx
v =

x
1
. Đặt
e

e

e

x2
1 x2
e2 1
e2 x 2
⇒ I = lnx − ∫ . dx =
−
xdx =
−
2
x 2
2 2 ∫0
2

4
0
0

e

0

e2 e2 1 e2 + 1
=
− + =
2
4 4
4

HTTP://WIKIMATHS.NET chia sẻ tài liệu kiến thức toán học

D.

I =

e2 − 1
4

4

=0


Xem them trên : HTTP://WIKIMATHS.NET

3
Câu 27: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = x − x và đồ thị hàm số
y = x − x2

37
A. 12

B.

I =

9
4

81
C. 12

D. 13

Lời giải: Chọn đáp án A
x = 0

x 3 − x = x − x 2 ⇔ x 3 + x 2 − 2x = 0 ⇔ x = 1
x = −2

Phương trình hoành độ giao điểm
3
2
Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = x − x và đồ thị hàm số y = x − x là:
1

S =

∫

(

0

)

∫(

x 3 − x − x − x 2 dx =

−2

−2

1

)

(

)

x 3 + x 2 − 2x dx − ∫ x 3 + x 2 − 2x dx

0

0

1

x4 x3

x4 x3

 16 8
 1 1
 37
2
=
+
−x ÷ − +
− x 2 ÷ = −  − − 4 ÷ −  + − 1÷ =
3
3
4 3
 4 3
 12 .
 4
 −2  4
0

(H )
Câu 28: Kí hiệu

là hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số

(

hoành . Tính thể tích V của khối tròn xoay thu được khi quay hình
V = 4 − 2e π
A. V = 4 − 2e
B.
V = e2 − 5 π
2
C. V = e − 5
D.

(

Phương trình hoành độ giao điểm

(

(H )

)

(

Lời giải: Chọn đáp án D

)

y = 2 x − 1 ex

, trục tung và trục

xung quanh trục Ox :

)

)

2 x − 1 ex = 0 ⇔ x = 1

(H )

xung quanh trục Ox là:
du = 2 x − 1
u = x − 1 2


1
1
2
2
⇒

e 2x
2x
V = π ∫ 2 x − 1 e x  dx = 4 π ∫ x − 1 e 2xdx
dv
=
e
dx

v
=





2
0
0
. Đặt
Thể tích của khối tròn xoay thu được khi quay hình

(

)

(

e 2x
⇒ V = 4π x − 1
2

(

1

Gọi

V1 =

∫(
0

)

0

1

)

1

2x
2 e
e 2x
− 4π∫ 2 x − 1
dx = 4 π x − 1
2
2
0

(

)

(

(

)

)

0

1

(

)

− 4 π ∫ x − 1 e 2xdx
0

u = x − 1 ⇒ du = dx


2x
e 2x
2x
x − 1 e dx
dv = e dx ⇒ v =
2
. Đặt 

)

e 2x

⇒ V 1 = 4π x − 1
2

(

Vậy

1

2

(

)

1

0

e 2x
V = 4π x − 1
2

(

)

1

e 2x

dx = 2 π − πe 2x
2
0

− 4 π∫
1

2

(

1
0

)

= 2π − πe 2 + π = 3π − πe 2

(

− V 1 = −2π − 3π − πe 2 = π e 2 − 5

)

0

HTTP://WIKIMATHS.NET chia sẻ tài liệu kiến thức toán học

)

Xem them trên : HTTP://WIKIMATHS.NET
Câu 29: Cho số phức z = 3 − 2i . Tìm phần thực và phần ảo của số phức z :
A. Phần thực bằng −3 và Phần ảo bằng −2i
B. Phần thực bằng −3 và Phần ảo bằng −2
C. Phần thực bằng 3 và Phần ảo bằng 2i
D. Phần thực bằng 3 và Phần ảo bằng 2
Lời giải: Chọn đáp án D

z = 3 − 2i ⇒ z = 3 + 2i . Vậy phần thực bằng 3 và Phần ảo bằng 2 .
Câu 30: Cho hai số phức

z1 = 1 + i

và

z 2 = 2 − 3i

. Tính tổng modun của số phức

A.

z 1 + z 2 = 13

B.

z1 + z 2 = 5

C.

z1 + z 2 = 1

D.

z1 + z 2 = 5

Lời giải: Chọn đáp án A
Ta có

(

) (

z1 + z2

)

z 1 + z 2 = 1 + i + 2 − 3i = 3 − 2i ⇒ z 1 + z 2 = 32 + 22 = 13

CASIO: Đưa về chế độ số phức.(mode 2)\ Nhập shift ABS

(

(

)

1 + i + 2 − 3i = 13

)

1+i z = 3−i
Câu 31: Cho số phức z thỏa mãn
.
Hỏi điểm biểu diễn của z là điểm nào trong các điểm
M , N , P , Q ở hình bên?
A. Điểm P
C. Điểm M

B. Điểm Q
D. Điểm N

Lời giải: Chọn đáp án B

( 1 + i ) z = 3 − i ⇔ z = 13 +− ii =

( 3 − i) (1 − i)
(1 + i) (1 − i)

=

2 − 4i
= 1 − 2i
2

. Vậy điểm biểu diễn của z là

(

Q 1; −2

CASIO: A hihi
Câu 32: Cho số phức z = 2 + 5i . Tìm số phức w = iz + z :
A. w = 7 − 3i
B. w = −3 − 3i
C. w = 3 + 7i
D. w = −7 − 7i
Lời giải: Chọn đáp án B

z = 2 + 5i ⇒ z = 2 − 5i
w = iz + z = i ( 2 + 5i ) + ( 2 − 5i ) = 2i + 5i 2 + 2 − 5i = −3 − 3i

. Vậy w = −3 − 3i .

CASIO: A hihi
4
2
z ;z ;z
z
Câu 33: Kí hiệu 1 2 3 và 4 là bốn nghiệm phức của phương trình z − z − 12 = 0 . Tính tổng
T = z1 + z 2 + z 3 + z 4
.

A. T = 4

B. T = 2 3

C. T = 4 + 2 3

Lời giải: Chọn đáp án C

HTTP://WIKIMATHS.NET chia sẻ tài liệu kiến thức toán học

D. t = 2 + 2 3

).


Xem them trên : HTTP://WIKIMATHS.NET
2
z 4 − z 2 − 12 = 0 . Đặt t = z 2 . Phương trình trở thành t − t − 12 = 0 ⇔ t = 4 hoặc t = −3 = 3i 2
t = 4 ⇒ z 2 = 4 ⇔ z 1,2 = ±2
• Với
t = −3 = 3i 2 ⇒ z 2 = 3i 2 ⇔ z 3,4 = ± 3i
• Với

Vậy tởng

( −2 )

T = z 1 + z 2 + z 3 + z 4 = 22 +

2

( )

+

3

2

( )

+

− 3

2

= 4+2 3

z =4
Câu 34: Cho các số phức z thỏa mãn
. Biết rằng tập hợp các điểm biểu diễn các số phức
w = 3 + 4i z + i
là một đường tròn . Tính bán kính r của đường tròn đó?
A. r = 4
B. r = 5
C. r = 20
D. r = 22

(

)

Lời giải: Chọn đáp án C
Giả sử

(

z = a + bi ; w = x + yi ; a , b, x , y ∈ R

Theo đề

(

)

)

(

)(

)

w = 3 + 4i z + i ⇒ x + yi = 3 + 4i a + bi + i

x = 3a − 4b
⇔ x + yi = 3a − 4b + 3b + 4a + 1 i ⇔ 
⇔
y = 3b + 4a + 1

(

Ta có
Mà

(

)

x2 + y − 1

2

) (

)

(

) + ( 4a + 3b )

= 3a − 4b

z = 4 ⇔ a 2 + b2 = 16

2

. Vậy

Bán kính đường tròn là r =

(

(

2

x2 + y − 1

)

x = 3a − 4b

y − 1 = 3b + 4a

= 25a 2 + 25b 2 = 25 a 2 + b2
2

)

= 25.16 = 400

400 = 20 .

Câu 35: Tính thể tích V của khối lập phương A BCD .A ' B 'C ' D ' , biết A C ' = a 3 :
A. V = a

3

3 6a 3
V =
4
B.

Lời giải: Chọn đáp án A

(

x ; x >0
Giả sử khối lập phương có cạnh bằng
Xét tam giác A ' B ' C ' vuông cân tại B ' ta có :

C. V = 3 3a

3

D.

V =

1 3
a
3

)

A 'C '2 = A ' B '2 + B ' C '2 = x 2 + x 2 = 2x 2 ⇒ A 'C ' = x 2
2
2
2
Xét tam giác A ' A C ' vuông tại A ' ta có A 'C = A ' A + A 'C '
⇔ 3a 2 = x 2 + 2x 2 ⇔ x = a
3
Thể tích của khối lập phương A BCD .A ' B ' C ' D ' là V = a

Câu 36: Cho hình chóp tứ giác S .A BCD có đáy A BCD là hình vuông cạnh a , cạnh bên SA vuông
góc với mặt phẳng đáy và SA = a 2 . Tính thể tích V của khối chóp S .A BCD :

A.

V =

a3 2
6

B.

V =

2a 3
4

C. V = 2a

3

HTTP://WIKIMATHS.NET chia sẻ tài liệu kiến thức toán học

D.

V =

2 3
a
3


Xem them trên : HTTP://WIKIMATHS.NET

Lời giải: Chọn đáp án D
SA ⊥ A BCD ⇒ SA
Ta có
là đường cao của hình chóp.

(

)

Thể tích khối chóp S .A BCD :

V =

1
1
a3 2
SA .S A BCD = .a 2.a 2 =
3
3
3

HTTP://WIKIMATHS.NET chia sẻ tài liệu kiến thức toán học


Xem them trên : HTTP://WIKIMATHS.NET
Câu 37: Cho tứ diện A BCD có các cạnh A B , A C và A D đôi một vuông góc với nhau:
A B = 6a , A C = 7a
và A D = 4a . Gọi M , N , P tương ứng là các trung điểm các cạnh BC ,CD , DB
Tính thể tích V của tứ diện A MNP .
7

28 3
V = a3
V =
a
3
3
2
3
A.
B. V = 14a
C.
D. V = 7a
Lời giải: Chọn đáp án D
1
1
1
V A BCD = A B . A D .A C = 6a .7a .4a = 28a 3
3
2
6
Ta có
Ta nhận thấy

S MNP =

1
1
1
S MNPD = S BCD ⇒ V A MNP = V A BCD = 7a 3
2

4
4

Câu 38: Cho hình chóp tứ giác S .A BCD có đáy là hình vuông cạnh bằng a 2 . Tam giác SA D cân
4 3
a
SA D
tại S và mặt bên
vuông góc với mặt phẳng đáy. Biết thể tích khối chóp bằng 3 . Tính
SCD
khoảng cách h từ B đến mặt phẳng
.
4
2
8
3
h = a
h = a
h = a
h = a
3
3
4
3
A.
B.
C.
D.

(

)

(

)

Lời giải: Chọn đáp án B
Gọi I là trung điểm của A D . Tam giác SA D cân tại S
⇒ SI ⊥ A D
SI ⊥ A D
⇒ SI ⊥ A BCD

SA D ⊥ A BCD

Ta có 
⇒ SI là đường cao của hình chóp.
1
4
1
V S .A BCD = .SI .S A BCD ⇔ a 3 = SI .2a 2 ⇔ SI = 2a
3
3
3
Theo giả thiết

(

) (

)

(

)

( SCD )
⇒ d ( B , ( SCD ) ) = d ( A , ( SCD ) ) = 2d ( I , ( SCD ) )

Vì A B song song với

Gọi H là hình chiếu vuông góc của I lên SD
SI ⊥ DC
IH ⊥ SD
⇒ IH ⊥ DC
⇒ IH ⊥ SCD ⇒ d I , SCD


ID
⊥
DC
IH
⊥
DC
Mặt khác 
. Ta có 
1
1
1
1

4
2a
I :
= 2 +
= 2 + 2 ⇒ IH =
2
2
3
IH
SI
ID
4a
2a
Xét tam giác SID vuông tại

(

( (

⇒ d B , SCD

) ) = d ( A, ( SCD ) ) = 2d ( I , ( SCD ) ) = 43 a

HTTP://WIKIMATHS.NET chia sẻ tài liệu kiến thức toán học

)

( (

) ) = IH

Xem them trên : HTTP://WIKIMATHS.NET
Câu 39: Trong không gian, cho tam giác vuông A BC tại A , A B = a và A C = a 3 . Tính độ dài
đường sinh l của hình nón, nhận được khi quay tam giác A BC xung quanh trục A B .
B. l = a 2

A. l = a

C. l = a 3

D. l = 2a

Lời giải: Chọn đáp án D
2
2
2
Xét tam giác A BC vuông tại A ta có BC = A C + A B = 4a ⇔ BC = 2a
Đường sinh của hình nón cũng chính là cạnh huyền của tam giác ⇔ l = BC = 2a

Câu 40: Từ một tấm tôn hình chữ nhật kích thước 50cm × 240cm , người ta làm các thùng đựng nước
hình trụ có chiều cao bằng 50cm , theo hai cách sau (xem hình minh họa dưới đây)
• Cách 1: Gò tấm tôn ban đầu thành mặt xung quanh của thùng.
• Cách 2: Cắt tấm tơn ban đầu thành hai tấm bằng nhau, rồi gò mỗi tấm đó thành mặt xung quanh
của một thùng.

V
V
Kí hiệu 1 là thể tích của thùng gò được theo cách 1 và 2 là tổng thể tích của hai thùng gò được theo
V1

cách 2.Tính tỉ số
V1 1
=
V2 2
A.

V2

.
V1
B.

V2

V1

=1
C.

V2

V1

=2

D.

V2

=4

Lời giải: Chọn đáp án C
R
Ban đầu bán kính đáy là R , sau khi cắt tấm tôn bán kính đáy là 2
Đường cao của các khối trụ là khơng đởi
2

2

V1
R 
R
=2
V
=
2.
h
π
=
h
π

÷
V 1 = h πR 2 2
V2
2
2

Ta có

,
. Vậy tỉ số
Câu 41: Trong không gian, cho hình chữ nhật A BCD có A B = 1 và A D = 2 . Gọi M , N lần lượt là
trung điểm của A D và BC . Quay hình chữ nhật đó xung quanh trục MN , ta được một hình trụ .
S
Tính diện tích toàn phần tp của hình trụ đó.
S = 2π
S = 4π
S = 6π
S = 10π
A. tp
B. tp
C. tp
D. tp
Lời giải: Chọn đáp án A
r = AM =

Quay hình chữ nhật A BCD xung quanh MN nên hình trụ có bán kính
S = 2πr .A B + 2πr 2 = 2π + 2π = 4π
Vậy diện tích toàn phần của hình trụ tp
HTTP://WIKIMATHS.NET chia sẻ tài liệu kiến thức toán học

AD
=1
2


Xem them trên : HTTP://WIKIMATHS.NET
Câu 42: Cho hình chóp S .A BC có đáy A BC là tam giác đều cạnh bằng 1 , mặt bên SA B là tam
giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy. Tính thể tích V của khối cầu ngoại

tiếp hình chóp đã cho.
A.

V =

5 15 π
18

B.

V =

5 15π
54

C.

V =

4 3π
27

D.

V =

5π
3

Lời giải: Chọn đáp án B

Gọi H là trung điểm của A B
Vì ∆SA B đều nên SH ⊥ A B
SA B ⊥ A BC ⇒ SH ⊥ A BC ⇒ SH
Mà
là đường cao
của hình chóp S .A BC
SH ⇒ d ⊥ A BC
Qua G kẻ đường thẳng d song song với
Gọi G là trọng tâm của ∆A B C ⇒ G là tâm đường tròn ngoại tiếp ∆A BC .
H SH = HC ⇒ HK
Gọi K là trung điểm của SC , vì ∆SHC vuông cân tại
là đường trung trực
ứng với SC .
IA = IB = IC
⇒ IA = IB = IC = IS

IS = IC


Gọi I = d ∩ HK ta có
⇒ I là tâm khối cầu ngoại tiếp hình chóp S .A BC
Xét hai tam giác đều ∆A BC = ∆SA B có độ dài các cạnh bằng 1.

(

) (

)

(

)

(

)

(

)

2
3
∆A BC ⇒ CG = CH =
3
3
G là trọng tâm
Xét ∆ HIG vuông tại G ta có

IG = HG =

3
15
⇒ IC =
6
6
3

4
4  15 

5π 15
÷ =
V = πIC 3 = π 
3
3  6 ÷
54

Vậy thể tích của khối cầu ngoại tiếp hình chóp

( )

P : 3x − z + 2 = 0
Câu 43: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng
. Vector nào dưới
P ?
đây là một vector pháp tuyến của
uur
uur
n 1 = 3; −1;2
n 4 = ( −1; 0; −1)
A. uur
B.
uur
n 3 = 3; −1; 0
n 2 = ( 3; 0; −1)
C.
D.

( )

(

(

)

)

Lời giải: Chọn đáp án D
Vector pháp tuyến của mặt phẳng

( )

P : 3x − z + 2 = 0

là

uur
n 2 = 3; 0; −1

(

Câu 44: Trong không gian với hệ trục tọa độOxyz , cho mặt cầu:

( S ) : ( x + 1) + ( y − 2 ) + ( z − 1 )
I ( −1;2;1)
A.
và R = 3
I ( −1;2;1)
C.

và R = 9
2

2

2

=9

)

( )

S
. Tìm tọa độ tâm I và tính bán kính R của
:
I 1; −2; −1
B.
và R = 3
I 1; −2; −1
D.
và R = 9

(
(

)
)

HTTP://WIKIMATHS.NET chia sẻ tài liệu kiến thức toán học

Xem them trên : HTTP://WIKIMATHS.NET
Lời giải: Chọn đáp án A

( S ) : ( x + 1) + ( y − 2 ) + ( z − 1)
Mặt cầu
2

2

2

=9

có tâm

(

I −1;2;1

)

và bán kính R = 3

( )

P
Câu 45: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng
có phương trình:

3x + 4y + 2z + 4 = 0 và điểm A 1; −2; 3 . Tính khoảng cách d từ A đến P .
5
5
5
5
d =
d =
d =
d =
29
9
3
29
A.
B.
C.
D.

(

)

( )

Lời giải: Chọn đáp án C
Khoảng cách từ điểm A đến

( ) là
P

d =

( )

3.1 + 4. −2 + 2.3 + 4
3 +4 +2
2

2

2

=

5
29

Câu 46: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho đường thẳng ∆ có phương trình:
x − 10 y − 2 z + 2
=
=
P : 10x + 2y + mz + 11 = 0
5
1
1 . Xét mặt phẳng
, m là tham số thực. Tìm tất cả

( )

( )

P
các giá trị của m để mặt phẳng
vuông góc với đường thẳng ∆ .
A. m = −2
B. m = 2
C. m = −52

D. m = 52

Lời giải: Chọn đáp án B
r
x − 10 y − 2 z + 2
∆:
=
=
u = 5;1;1
5
1
1 có vector chỉ phương
Đường thẳng
ur
n = 10;2; m
P : 10x + 2y + mz + 11 = 0
Mặt phẳng
có vector pháp tuyến
r
ur
P
u

n
∆
Để mặt phẳng
vuông góc với đường thẳng thì phải cùng phương với
5 1 1
= =
⇔m =2
10 2 m
.

(

( )
( )

(

(

)

)

)

(

)

A 0;1;1

B 1;2; 3
Câu 47: Trong không gian với hệ tọa độOxyz , cho hai điểm
và
. Viết phương
P
trình của mặt phẳng
đi qua A và vuông góc với đường thẳng A B .
A. x + y + 2z − 3 = 0
B. x + y + 2z − 6 = 0

( )

C. x + 3y + 4z − 7 = 0

Lời giải: Chọn đáp án A

( )
) (
P

D. x + 3y + 4z − 26 = 0

(

A 0;1;1

uuur
A B = 1;1;2

)

(

)

Mặt phẳng
đi qua
và nhận vecto
là vector pháp tuyến
P : 1 x − 0 + 1 y − 1 + 2 z − 1 = 0 ⇔ x + y + 2z − 3 = 0

( ) (

)

(

)

HTTP://WIKIMATHS.NET chia sẻ tài liệu kiến thức toán học


Xem them trên : HTTP://WIKIMATHS.NET

( )
( )

(

)

S
I 2;1;1
Câu 48: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt cầu
có tâm
và mặt phẳng
P : 2x + y + 2z + 2 = 0
P
S
. Biết mặt phẳng
cắt mặt cầu
theo giao tuyến là một đường tròn
S
có bán kính bằng 1 . Viết phương trình của mặt cầu

( )

( )

( )

( S ) : ( x + 2 ) + ( y + 1) + ( z + 1 )
A.
2

2

( S ) : ( x − 2 ) + ( y − 1) + ( z − 1 )
C.
2

2

2

=8

2

=8

Lời giải: Chọn đáp án D

( S ) : ( x + 2 ) + ( y + 1 ) + ( z + 1)
B.
2

2

( S ) : ( x − 2 ) + ( y − 1) + ( z − 1)
D.
2

2

2

= 10

2

= 10

( )

S
Gọi R , r lần lượt là bán kính của mặt cầu
và đường tròn giao tuyến

( ( ( )))

R = r + d I, P
2

Ta có

2

2

 2.2 + 1.1 + 2.1 + 2
=1+ 

22 + 1 + 22


( S ) tâm I ( 2;1;1) bán kính R =
Mặt cầu

2


÷ = 10
÷


10 là ( x − 2 ) + ( y − 1) + ( z − 1) = 10
2

2

(

2

)

A 1; 0;2
Câu 49: Trong không gian với hệ tọa độOxyz , cho điểm
và đường thẳng d có phương
x −1 y z +1
= =
1
2 . Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua A , vuông góc và cắt d .
trình: 1
x −1 y z −2
x −1 y
z −2
= =
= =

1
1
1
−1
A. 1
B. 1
x −1 y z −2
= =
2
1
C. 2

x −1
y
z −2
=
=
−3
1
D. 1

Lời giải: Chọn đáp án B
r
x −1 y z +1
d:
= =
u = 1;1;2
1
1
2 có vecto chỉ phương

Đường thẳng

(

)

( P ) là mặt phẳng qua điểm A và vuông góc với đường thẳng d , nên nhận vecto chỉ phương của
P : 1 x − 1) + y + 2 ( z − 2 ) = x + y + 2z − 5 = 0
d là vecto pháp tuyến ( ) (
( P ) và đường thẳng d ⇒ B ( 1 + t ; t ; − 1 + 2t )
Gọi B là giao điểm của mặt phẳng
B ∈ ( P ) ⇔ ( 1 + t ) + t + 2 ( −1 + 2t ) = 0 ⇔ t = 1 ⇒ B ( 2;1;1)
Vì
uuur
A B = ( −1; −1;1) = −1 ( 1;1; −1)
Ta có đường thẳng ∆ đi qua A và nhận vecto
là vecto chỉ phương
Gọi

∆:

x −1 y z −2
= =
1
1
1 .

HTTP://WIKIMATHS.NET chia sẻ tài liệu kiến thức toán học

Xem them trên : HTTP://WIKIMATHS.NET

(

) (

)

(

)

A 1; −2; 0 , B 0; −1;1 C 2;1; −1
Câu 50: Trong không gian với hệ tọa độOxyz , cho bốn điểm
,
và
D 3;1; 4
. Hỏi tất cả có bao nhiêu mặt phẳng cách đến bốn điểm đó?
A. 1 mặt phẳng
B. 4 mặt phẳng
C. 7 mặt phẳng
D. có vô số

(

)

Lời giải: Chọn đáp án C
uuur
uuuur

uuur
uuur uuuur uuur
A B = −1;1;1 , A C = 1; 3; −1 , A D = 2; 3; 4 ⇒ A B ; A C  .A D = −24 ≠ 0


Ta có:
A , B ,C
Suy ra
và D là 4 đỉnh của một tứ diện. Các mặt phẳng cách đều 4 đỉnh của tứ diện A BCD
gồm có 7 trường hợp sau:

(

)

(

)

(

)

HTTP://WIKIMATHS.NET chia sẻ tài liệu kiến thức toán học