Một số vấn đề hình học cần chú ý khi giải bài tập toán lớp 9

Ôn TẬP HÌNH HỌC 9 THI TUYỂN SINH 10
1 số vấn đề hình học cần chú ý khi giải bài tập

1) TÍNH CHẤT GÓC NGOÀI CỦA TAM GIÁC VÀ ỨNG DỤNG

•
•

Tính chất : = +
Chú ý nếu tam giác CAB cân tại B thì ta có tính chất sau ( suy ra từ tính chất ở trên )
=2 =2 ( ta thường áp dụng tính chất này khi xuất hiện tam giác cân trong hình )
 Đôi khi ta sử dụng góc ngoài để chứng minh 1 tam giác là tam giác cân
Một số mô hình hay gặp
• Tam giác vuông xuất hiện trung diểm cạnh huyền
• Chứng minh các vấn đề về góc trong bài toán về đường tròn
• Tam giác cân tạo từ 2 bán kính của đường tròn
2) TÍNH CHẤT PHÂN GIÁC TRONG VÀ PHÂN GIÁC NGOÀI ( chú ý 2 tia phân giác trong và ngoài
phải là 2 tia vuông góc nhau )( chứng minh các đẳng thức liên quan 4 điểm thẳng hàng )

AD, AE lần lượt là phân giác trong và phân giác ngoài của tam giác ABC
Tính chất : ** BD.EC = EB.DC ( đoạn giữa. đoạn dài nhất = tích 2 đoạn 2 bên ) ( vì =

Page 1

=)


Ôn TẬP HÌNH HỌC 9 THI TUYỂN SINH 10

3) HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC VUÔNG : ( chứng minh 1 số vấn đề về bằng nhau , tam giác
đồng dạng, phương tích với đường tròn ) và nhận biết tam giác vuông bằng các hệ thức lượng dạng

đảo

Tính chất

 AB2=BH.BC và AC2=CH.BC
 AH2=BH.HC và AH.BC =AB.AC
 =

Tính chất đảo : Nếu tam giác ABC có AH là đường cao và thỏa mãn 1 trong các điều kiện sau thì
tam giác ABC vuông tại A

 Nếu AB2=BH.BC hoặc AC2=CH.BC
 AH2=BH.HC hoặc AH.BC =AB.AC ABC là tam giác vuông tại A
4) CÁC MÔ HÌNH ĐỒNG DẠNG HAY GẶP CỦA HAI TAM GIÁC VUÔNG
Mô hình 1( dạng mẹ bồng con )

Page 2


Ôn TẬP HÌNH HỌC 9 THI TUYỂN SINH 10
Tính chất : BDE đồng dạng BAC và BD.BC= BE.BA
Mô hình 2( đồng dạng kiểu hình ngôi sao )

Tính chất : ACF đồng dạng AEB và có AF.AB = AE.AC

Mô hình 3 ( đồng dạng kiểu 2 cánh bướm )

Tính chất : IAB đồng dạng IDC và

IA.IC=IB.ID

5) HAI MÔ HÌNH ĐỒNG DẠNG THƯỜNG GẶP DÙNG ĐỂ CHỨNG MINH CÁC VẤN ĐỀ HÌNH
HỌC:
Mô hình 1: 2 tam giác đồng dạng chung 2 đỉnh và xuất hiện 3 diểm thẳng hàng từ cặp tam giác này

Page 3


Ôn TẬP HÌNH HỌC 9 THI TUYỂN SINH 10
+)Tính chất : AB2= BC.BD ( tam giác ABC đồng dạng DBA) =
+) Đảo lại : Muốn chứng minh = ta chứng minh AB2= BC.BD
 Lưu ý : phương pháp chứng minh này được dùng để nhận biết tiếp tuyến của đường tròn
trong 1 số bài toán về đường tròn ( ở hình trên chứng minh BA là tiếp tuyến của của đường
tròn ngoại tiếp tam giác ACD)
Mô hình 2: Chứng minh 1 cặp góc bằng nhau dựa vào tam giác đồng dạng kiểu mẹ bồng con

Hai tam giác đồng dạng có 1 đỉnh chung, 2 đỉnh còn lại của tam giác này nằm trên 2 đoạn thẳng
chứa 2 cạnh của tam giác còn lại
Tính chất :
6) PHƯƠNG TÍCH 1 ĐIỂM ĐỐI VỚI ĐƯỜNG TRÒN VÀ CÁC ỨNG DỤNG :
**Nếu điểm M nằm ngoài đường tròn

Tính chất :
 MC.MD=ME.MF ( tích các đoạn cát tuyến từ 1 điểm luôn bằng nhau )
 MC.MD =MA2=MB2 ( tích các đoạn cát tuyến từ 1 điểm băng bình phương đoạn tiếp tuyến )
 MC.MD = OM2-R2
** Nếu điểm M nằm trong đường tròn

Page 4

Ôn TẬP HÌNH HỌC 9 THI TUYỂN SINH 10

 Tính chất : MA .MB= MC.MD = R2-OM2
**Lưu ý quan trọng :
1)sử dụng phương tích khi xuất hiện sự cắt nhau của 2 dây cung trong 1 đường tròn
2) sử dụng phương tích được dùng để chứng minh tứ giác nội tiếp ( thông qua các tam giác dồng
dạng
7) PHƯƠNG PHÁP ĐỒNG DẠNG THU NHỎ VÀ PHÓNG TO CỦA CẶP TAM GIÁC VÀ ỨNG DỤNG
Khi chứng minh các vấn đề hình học cần sự dồng dạng mà có yếu tố trung diểm xuất hiện ta có thể nghĩ
đến việc phóng to 2 tam giác đang cần chứng minh dồng dạng lên thành tam giác gấp dôi và ngược lại có
thể thu nhỏ 2 tam giác đang cần chứng minh thành tam giác một nửa của nó

Tính chất :
+)ABC đồng dạng A1B1C1
+) ABC đồng dạng A1B1C1
Nguyên tắc: giữ lại 2 đỉnh của tam giác cũ và thay thành trung diểm cạnh tương ứng và ngược lại

Page 5


Ôn TẬP HÌNH HỌC 9 THI TUYỂN SINH 10
8… KHAI THÁC TỈ SÔ DIỆN TÍCH 2 TAM GIÁC VÀ ỨNG DỤNG (TỈ SỐ DIỆN TÍCH VÀ QUAN HỆ VỚI TỈ LỆ ĐOẠN THẲNG)

Tính chất

:

9) MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ SỰ BẢO TOÀN CÁC YẾU TỐ ( GÓC, CẠNH,…) CỦA PHÉP ĐỐI XỨNG TRỤC

Nếu A,B đối xứng nhau qua trục MN

10) ChỨNG MINH VUÔNG GÓC THÔNG QUA CHỨNG MINH TỨ GIÁC NỘI TIẾP

Page 6


Ôn TẬP HÌNH HỌC 9 THI TUYỂN SINH 10

+) BD vuông góc DC

+) BD vuông DC
11) Đường

thẳng Sim sơn và Steiner ( chứng minh các điểm thẳng hàng )
Đường thẳng Sim sơn

Tính chất : ABC nội tiếp đường tròn, M thuộc đường tròn , P,Q,K lần lượt là hình chiếu vuông góc của M lên
3 cạnh AB,BC,CA .Khi đó P,Q,K thẳng hàng ( đường thẳng qua P,Q,K gọi là đường thẳng sim sơn của tam
giác ABC)
Chứng minh BQMP nội tiếp và MCKQ nội tiếp nên =

Đường thẳng Steiner
Page 7


Ôn TẬP HÌNH HỌC 9 THI TUYỂN SINH 10

Tính chất : M thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC , gọi N, P, Q lần lượt đối xứng với M qua
AB,BC,CA và gọi H là trực tâm tam giác ABC .Khi đó 4 điểm N,P,H,Q thẳng hàng ( cùng nằm trên đường

thẳng Steiner của tam giác ABC )
Chứng minh : dựa vào tính chất thẳng hàng của bài toán định lý Sim sơn nên N,P,Q thẳng hàng , Để ý các tứ
giác AHBN nội tiếp và AHCQ nội tiếp từ đó
12) ĐƯỜNG TRÒN Ơ LE ( ĐƯỜNG TRÒN 9 ĐIỂM )

Tính chất : 9 điểm gồm 3 trung điểm 3 cạnh( 3 điểm M,N,P) , 3 chân đường cao (D,E,F) , 3 trung điểm 3 đoạn nối
trực tâm và đỉnh (A1 ,B1 và C1 ) của 1 tam giác cùng thuộc 1 đường tròn với 3 đường kính là A1M, B1N ,C1P
**Bài toán hay gặp:
Bài toán1)
***Chứng minh 4 điểm ( 3 chân đường cao và trung điểm 1 cạnh nào đó của tam giác lập thành 1 tứ giác nội
tiếp : ví dụ DMEF, DFEN nội tiếp

Page 8


Ôn TẬP HÌNH HỌC 9 THI TUYỂN SINH 10
Chứng minh : Ví dụ DMEF nội tiếp ( 2 tứ giác kia chứng minh tương tự )
Dễ có DH là phân giác góc FDE nên
Bài toán 2)
Chứng minh và A1M vuông góc EF
Chứng minh nên A1M là đường trung trực của EF nên có đpcm
13) Một

số phương pháp nhận biết chứng minh tiếp tuyến của 1 đường tròn
PP1: Chứng minh vuông góc bằng cộng góc 90 độ

PP2: Định lý đảo về nhận biết tam giác vuông bằng hệ thức lượng :

H là chân đường cao hạ từ A xuống OM ( tam giác OAM vuông tại A OA2=OH.OM )
PP3: Sử dụng tính chất phương tích hoặc định lý đảo về quan hệ góc tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp

tuyến

Page 9


Ôn TẬP HÌNH HỌC 9 THI TUYỂN SINH 10

MA là tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC tại A
14) Một

số bổ đề về đường cao, tâm đường tròn ngoại tiếp và nhận biết chứng minh trực

tâm tam giác :

Tính chất
 H là trực tâm tam giác ABC ( ( Phương pháp này dùng để nhận biết chứng minh nhanh 1 điểm là trực tâm






của 1 tam giác)
H là trực tâm tam giác ABC là chân đường cao )
H là trực tâm ABC
OA vuông góc EF ( bán kính tại A vuông góc đường nối chân 2 đường cao từ B và C)
H,G,O thẳng hàng ( đường thẳng đi qua tâm ngoại, trực tâm và trọng tâm tam giác là đường thẳng Ơ le của
tam giác) và AH =2OM

***MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP CHỨNG MINH HÌNH HỌC THÔNG DỤNG

1) Chứng minh 2 đường thẳng vuông góc và 1 số vấn đề về vuông góc ( tam giác

vuông, tiếp tuyến của đường tròn , trực tâm tam giác ……..)
Page
10


Ôn TẬP HÌNH HỌC 9 THI TUYỂN SINH 10

 Cộng góc 90 độ ( thường bắt cầu các góc bằng nhau trong hình đang có rồi thực hiện cộng khéo
léo )

a ⊥ b
→ a⊥c

b
//
c


 Chuyển song song thành vuông góc :
 Sử dụng định lý đảo về đường trung tuyến của tam giác vuông : ( hoặc định lý Pitago đảo )
 Sử dụng tính chất điểm trực tâm của 1 tam giác ( Hai đường cao cắt nhau ở điểm trực tâm ,
đường còn lại là đường cao thứ 3) ( chú ý kiểm soát tính chất song song vuông góc các đừng
đang có mặt để dùng tính chất trực tâm )

 Chứng minh tổng 2 góc nhọn bằng 90 độ ( để có tam giác vuông , thường ta vẫn sử dụng bắt cầu
các góc bằng nhau trong hình rồi cộng lại)

 Sử dụng hình tính tính chất của 1 số dạng hình trong chương trình ( Tính chất tam giác vuông ,
tam giác cân, tam giác đều , hình thang vuông , hình chữ nhật, hình thoi, hình vuông ,…)( Xem
lại lý thuyết hình học )
 Sử dụng phương pháp bắt cầu góc :
* Chú ý ta thường bắt cầu góc thông qua các trường hợp số (2) và số (3)

 Sử dụng tính chất đường trung trực ( khi phát hiện 2 cặp đoạn thẳng bằng nhau nên nghĩ đến
đường trung trực )
 Sử dụng tính chất đường nối tâm của 2 đường tròn ( Xuất hiện khi bài toán có từ 2 đường tròn
đã có tâm trở lên , tính chất đường nối tâm sẽ vuông góc dây cung chung của 2 đường tròn )
 Sử dụng sự vuông góc của tiếp tuyến đường tròn

2) Chứng minh hai đường song song và các vấn đề liên quan đến sự song song
 Sử dụng hình tính của 1 số dạng hình đã học ( thường gặp là tứ giác : Hình thang, hình bình
hành , hình chữ nhật, hình vuông, hình thoi )
 Tính chất góc so le trong hoặc đồng vị bằng nhau để tạo ra song song ( chú ý bắt cầu các góc
bằng nhau thích hợp )

 Chứng minh song song bằng phương pháp gián tiếp ( sử dụng đường thẳng thứ 3 )

a / / b
1) 
→ a//c
b // c
a ⊥ b
2) 
→ a / /c
c ⊥ b






 Sử dụng đính lý Talet đảo ( thường vận dụng khi trong hình đã xuất hiện sự song song hoặc có các
cặp tam giác đồng dạng để thiết lập và bắt cầu các tỉ số )

 Sử dụng tính chât về đường trung bình của hình thang, hình tam giác
3) Chứng minh 2 góc bằng nhau
 Sử dụng 2 tam giác bằng nhau ( góc tương ứng bằng nhau) hoặc là 2 góc tương ứng của 1 cặp tam
giác đồng dạng

 Chứng minh góc bằng nhau bằng các vị trí quen thuộc ( cặp góc đối đỉnh, cặp góc so le trong hoặc
đồng vị hình thành từ hai đường thẳng song song )

Page
11


Ôn TẬP HÌNH HỌC 9 THI TUYỂN SINH 10



Sử dụng hình tính ( tính chất) 1 số loại tam giác , tứ giác quen thuộc đã được học ( tam giác cân,



tam giác vuông, tam giác đều, hình bình hành, hình thoi, hình chữ nhật, hình vuông )
(**) Chứng minh góc bằng nhau bằng phương pháp sử dụng góc thứ 3 làm trung gian kiểu gián
tiếp ( chứng minh 2 góc ấy cùng phụ, cùng bù với góc thứ 3 hoặc là chứng minh cùng phụ, cùng



bù với 2 góc đã bằng nhau ) ( phương pháp này vô cùng quan trọng )
Nếu chứng minh các góc 1 bằng nhau trong đường tròn thì cần xem xét nó là loại góc gì (góc nội
tiếp, tạo bởi tiếp tuyến và dây cung , có đỉnh trong hay ngoài đường tròn rồi áp dụng lý thuyết 1



cách phù hợp nhất )
Phân tích góc thành tổng hoặc hiệu 2 góc thích hợp ( chọn các góc thuận lợi cho việc bắt cầu góc và



xử lý được ) từ đó chứng minh bằng nhau
Sử dụng tính chất tia phân giác trong , tia phân giác góc ngoài ( chú ý các tỷ số của đường phân



giác để có thể sử dụng định lý đảo về nhận diện phân giác )
Sử dụng các tỷ số lượng giác tương ứng để chứng minh 2 góc bằng nhau ( chú ý 2 góc nhọn nằm
trong 2 tam giác vuông ta mới thực hiện phương pháp này )

4) Chứng minh 2 đoạn thẳng bằng nhau và 1 số vấn đề liên quan
 Chứng minh 2 đoạn là 2 cạnh tương ứng của 2 tam giác bằng nhau
 Chứng minh dựa vào tính chất 1 số dạng tam giác , tứ giác đã được học ( Tam giác cân , tam giác
vuông, tam giác đều ,hình thang cân, hình bình hành , hình thoi, hình chữ nhật , hình vuông…… )

 (**) Chứng minh cạnh bằng nhau gián tiếp ( bắt cầu cạnh thông qua sử dụng đoạn thẳng trung gian
thứ 3) ( vô cùng quan trọng )

 Nếu chứng minh 2 đoạn bằng nhau là 2 dây cung trong cùng 1 đường tròn ta chứng minh 2 góc nội
tiếp chắn 2 cung tương ứng căng 2 dây cung đó phải bằng ( chú ý đến việc sử dụng 2 cung bị chắn
từ 2 dây song song phải bằng nhau và tính chất hình thang nội tiếp đường tròn là hình thang cân )

 Sử dụng các định lý quen thuộc trong một tam giác ( đường trung bình đi qua trung diểm 1 cạnh
song song cạnh thứ 2 đi qua trung điểm cạnh thứ 3) , tính chất đường trung bình hình thang
 ( Sử dụng tính chất cách đều của đường trung trực ), chú ý tính chất đối xứng trục
 (**) Phân tích 2 đoạn thẳng cần chứng minh theo 2 đoạn thẳng khác ( cộng, trừ, dùng Pitago ) và sử
dụng bắt cầu các đoạn bằng nhau ) ( cần chú ý việc sử dụng linh hoạt hệ thức lượng trong tam giác
vuông và các cặp tam giác đồng dạng nếu có để lấy bình phương 1 đoạn thẳng , đặc biệt chú ý công
thức độ dài tiếp tuyến đối với đường tròn )

 Sử dụng tỉ số chia đoạn thẳng lập các tỉ số để chứng minh bằng nhau ( sử dụng Talet , định lý phân
giác ..nếu bài toán xuất hiện yếu tố song song )

5) Chứng minh ba điểm thẳng hàng, chứng minh 3 đường đồng quy

A.Chứng Minh Ba Điểm Thẳng Hàng

 Phương pháp cộng góc 180 độ ( chú ý phân tích góc hợp lý, bắt cầu các góc trong hình bằng nhau
bằng cách phân tích sử dụng kiến thức đã học, chú ý phân tích từng góc ( vai trò đối với đường
tròn….) , tính chất góc bù, góc phụ

 (*)Vận dụng tiên đề Ơ Clit: ( qua 1 điểm kẻ được đúng 1 đường song song 1 đường cho trước ) hoặc
qua 1 điểm không thuộc đường thẳng chỉ kẻ được đúng 1 đường vuông góc với 1 đường cho trước
 (*)Chứng minh 2 tia trùng nhau ( chứng minh cặp góc tại 1 đỉnh nào đó từ 3 điểm này bằng nhau
để suy ra 2 tia trùng nhau )

 Chứng minh cặp góc ở vị trí đối đỉnh bằng nhau ( rất hay sử dụng )
 Sử dụng kỹ thuật hình duy nhất ( kỹ thuật ít dùng chỉ dùng khi mọi phương pháp khác không thể

giải quyết )

Page
12


Ôn TẬP HÌNH HỌC 9 THI TUYỂN SINH 10
B) Chứng

minh 3 đường thẳng đồng quy

 Dựa vào tính chất 3 đường đồng quy đặc biệt trong 1 tam giác ( đường trung tuyến, phân giác ,
đường cao , đường trung trực )

 Chứng minh giao điểm của 2 đường thẳng nằm trên đường thẳng thứ 3( quy về bài toán 3 điểm
thẳng hàng )
 Chứng minh các đường cùng đi qua 1 điểm cố định

6)







Chứng minh các hệ thức đẳng thức trong hình học

Sử dụng hệ thức trong tam giác vuông
Sử dụng cặp tam giác đồng dạng để suy ra tính chất tỉ số bằng nhau và tích các đoạn thẳng

Sử dụng công thức diện tích tam giác
Tính chất phương tích , tính chất cát tuyến , công thức bình phương độ dài tiếp tuyến
Định lượng ( tính toán cả 2 vế)
Sử dụng định lý Talet ( nếu xuất hiện song song ) , tính chất tỉ số của đường phân giác trong và phân
giác ngoài trong 1 tam giác

MỤC lỤC
DẠNH MỤC NỘI DUNG
TTRANG
1.Tính chất góc ngoài của tam giác và ứng dụng
1
2. Tính chất đường phân giác trong và đường phân giác ngoài của tam giác
1
3.Hệ thức lượng trong tam giác vuông và ứng dụng hệ thức lượng đảo trong cm tam giác vuông
2
4. Ba mô hình đồng dạng thường gặp của hai tam giác vuông
2-3
5.Hai mô hình tam giác đồng dạng thường gặp trong chứng minh hình học
3-4
6. Phương tích 1 điểm đối với đường tròn và các ứng dụng
4-5
7. Phương pháp phóng to thu nhỏ 2 tam giác đồng dạng và ứng dụng
5
8. Quan hệ tỉ số đoạn thẳng và tỉ lệ diện tích 2 tam giác
6
9. Một số tính chất bảo toàn qua phép đối xứng trục
6
10. Chứng minh vuông góc thông qua chứng minh tứ giác nội tiếp
7
11. Đường thẳng Sim Sơn và đường thẳng Steiner

7-8

Page
13


Ôn TẬP HÌNH HỌC 9 THI TUYỂN SINH 10
12. Đường tròn Ơ Le ( đường tròn 9 điểm )
13.Một số phương pháp nhận biết và chứng minh tiếp tuyến
14. Một số bổ đề về đường cao, tâm đường tròn ngoại tiếp ,nhận biết chứng minh trực tâm tam
giác :

9
9-10
10

15. Phương pháp chứng minh sự vuông góc và các vấn đề liên quan
16. Phương pháp chứng minh 2 đường song song và các ứng dụng
17.Phương pháp chứng minh 2 góc bằng nhau
18. Phương pháp chứng minh 2 đoạn thẳng bằng nhau
19.Phương pháp chứng minh 3 điểm thẳng hàng, 3 đường thẳng đồng quy
20.Chứng minh các hệ thức về hình học

11
11-12
12
12
13
13

Page
14