Luận văn bán kính ổn định của hệ phương trình vi phân đại số có chậm

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
KHOA TOÁN - CƠ - TIN HỌC

PHẠM KIM QUÝ

BÁN KÍNH ỔN ĐỊNH CỦA
HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN ĐẠI SỐ CÓ CHẬM

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Hà Nội - 2015


ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
KHOA TOÁN - CƠ - TIN HỌC

PHẠM KIM QUÝ

BÁN KÍNH ỔN ĐỊNH CỦA
HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN ĐẠI SỐ CÓ CHẬM

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Ngành: Toán ứng dụng
Mã số: 60460112

Cán bộ hướng dẫn: PGS. TSKH. Vũ Hoàng Linh

Hà Nội - 2015

LỜI CẢM ƠN
Trước khi trình bày nội dung chính của luận văn, em xin bày tỏ lòng
biết ơn sâu sắc tới PGS. TSKH. Vũ Hoàng Linh, người đã dành nhiều thời
gian, công sức để hướng dẫn và tận tình chỉ bảo trong suốt quá trình thực hiện
luận văn.
Nhân đây em xin được gửi lời cảm ơn đến ban lãnh đạo và các thầy cô
giáo, các anh/chị cán bộ trường ĐHKHTN - ĐHQGHN nói chung và khoa
Toán - Cơ - Tin học nói riêng vì đã tạo mọi điều kiện thuận lợi nhất, giúp đỡ
em trong thời gian em học tập, nghiên cứu tại trường.
Tôi xin cảm ơn các anh chị và các bạn trong chuyên ngành Toán ứng
dụng vì những động viên và những ý kiến trao đổi quý báu đối với bản thân
trong thời gian qua. Cuối cùng tôi xin bày tỏ lòng biết ơn gia đình, người
thân luôn là chỗ dựa về tinh thần và vật chất trong cuộc sống và trong học
tập.
Hà Nội, ngày 01 tháng 05 năm 2015.
Học viên

Phạm Kim Quý

1


DANH MỤC KÍ HIỆU VÀ CHỮ VIẾT TẮT

• AC([0,
∞), Cn): Không gian các hàm liên tục tuyệt đối từ [0, ∞) vào
n
C .

• C: Tập các số phức.
• Ckw(I, Cn): Không gian các hàm khả vi liên tục từng khúc cấp k từ I p
vào Cn.

• diag(σ1, σ2): Ma trận đường chéo với các phần tử chéo σ1, σ2.
• K: K = R hoặc K = C.
• PTVP: Phương trình vi phân.
• PTVP ĐS: Phương trình vi phân đại số.
• R: Tập các số thực.
• rank A: Hạng của ma trận A.

2


Mục lục
Lời cảm ơn

1

Mở đầu

3

1 Một số kiến thức chuẩn bị

6

1.1 Một số khái niệm về ma trận . . . . . . . . . . . . . . . . .
1. 1. 1

6

Ma trận Metzler, ma trận dương. Nghịch đảo Drazin
61. 1. 2
Khai triển kì dị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1. 1. 3

Phổ và chỉ số

8

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.2 Chuẩn véc-tơ và chuẩn ma trận . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.3 Một
số khái niệm về phương trình vi phân . . . . . . . . . . 13
2 Một số kết quả về bán kính ổn định

16

2.1 Bán kính ổn định của hệ phương trình vi phân đại số . . . . 16
2.2 Bán kính ổn định của phương trình vi phân thường có chậm 27
2. 2. 1

Bán kính ổn định của PTVP thường có chậm . . . . 28 2. 2.

2

Hệ dương có chậm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30

3 Bán kính ổn định của hệ phương trình vi phân đại số có
chậm

33

3.1 Các khái niệm mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
3.2 Tính ổn định mũ của phương trình vi phân đại số có chậm . 39 3.3
Tính ổn định mũ vững . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
Tài liệu tham khảo

58

3


Mở đầu
Bài toán bán kính ổn định của PTVP ĐS có chậm (Delay Differential
Algebraic Equations) là bài toán nghiên cứu tính ổn định, ổn định vững và
xây dựng công thức tính toán bán kính ổn định thực/phức cho PTVP
ĐS có chậm, dạng:

Ex(t) = Ax(t) + Dx(t − τ ), ˙
ở đó E, A, D ∈ Cn⋅n, x : I → Cn, I = [0, ∞), τ > 0 là độ trễ thời gian,
det E = 0.
Trong tài liệu này, một tính chất Π của hệ được gọi là vững nếu tính
chất đó được bảo toàn khi một nhiễu tùy ý ε (đủ nhỏ) tác động lên hệ.
Ngoài việc quan tâm tới tính vững của một tính chất, người ta còn quan tâm
tới độ vững của tính chất đó mà đại lượng quan trọng để đánh giá khái niệm
này là bán kính của thuộc tính (được đo bởi mê-tric tương thích).

Trong khuôn khổ luận văn, tính chất Π được xét là tính ổn định, và hệ
được xét là hệ PTVP ĐS có chậm tuyến tính thuần nhất hệ số hằng, chịu
tác động của nhiễu có cấu trúc.
PTVP ĐS có chậm là trường hợp tổng quát hơn của PTVP ĐS (Differential Algebraic Equations) và PTVP thường có chậm (Delay Ordinary
Differential Equations). Trong khi PTVP ĐS là mô hình toán học cơ bản
cho nhiều hệ động lực trong nhiều lĩnh vực ứng dụng chẳng hạn như mô
phỏng mạch điện, lý thuyết điều khiển, động lực chất lỏng, kĩ thuật hóa
học, ... thì PTVP ĐS có chậm là cần thiết để mô hình hóa những tác động
không tức thời (có chậm). Không giống như trường hợp PTVP thường có
chậm và PTVP ĐS, việc nghiên cứu tính ổn định của PTVP ĐS có chậm gặp
nhiều khó khăn do nó bao gồm cả phần ràng buộc đại số và độ trễ thời
4


gian, thậm chí lý thuyết tồn tại và duy nhất nghiệm cũng mới thu được
ít nhiều kết quả. Khó khăn còn rõ rệt hơn khi phân tích tính ổn định của nó.
Hầu hết các kết quả đã biết về tính ổn định của PTVP ĐS có chậm chỉ là đối
với trường hợp chính quy có hệ số hằng hoặc một vài trường hợp có dạng đặc
biệt. Nhiều kết quả đã biết trong PTVP thường có chậm và PTVP ĐS không
thể chuyển sang PTVP ĐS có chậm.
Bài báo [5] là cơ sở thực hiện luận văn. Trong tài liệu này, các tác giả đã
nghiên cứu tính ổn định của hệ thông qua mối quan hệ của tập phổ với
−

tập C cùng với một số điều kiện kèm theo. Và để thu được công thức tính
toán bán kính ổn định của PTVP ĐS có chậm, thì việc phân tích phức
tạp hơn cùng với việc sử dụng hàm truyền G(λ)(transf erf unctions).
Trong luận văn, tác giả đề cập đến các dạng PTVP tuyến tính thuần nhất
hệ số hằng. Luận văn gồm 56 trang, ngoài phần mở đầu, kết luận và
tài liệu tham khảo, luận văn gồm có ba chương:

⋄ Chương 1. Một số kiến thức chuẩn bị. Trong chương này, chúng
tôi tóm tắt một số kiến thức sử dụng trong luận văn, chủ yếu là các
kiến thức mở rộng về ma trận, véc-tơ và chuẩn.
⋄ Chương 2. Một số kết quả về bán kính ổn định. Nội dung của
chương là giới thiệu một số kết quả và công thức bán kính ổn định của
PTVP ĐS và PTVP thường có chậm tuyến tính hệ số hằng như là
những trường hợp đặc biệt của phương trình vi phân đại số có chậm.

⋄ Chương 3. Bán kính ổn định của hệ phương trình vi phân đại
số có chậm. Chương này là nội dung chính của luận văn. Trong đó,
chúng tôi sẽ phân tích và chứng minh các kết quả về bán kính ổn định
phức của PTVP ĐS có chậm tuyến tính hệ số hằng. Và kết quả là đưa
ra một công thức tính toán bán kính ổn định.
Quá trình tìm hiểu, nghiên cứu vấn đề sẽ không tránh khỏi sai sót, hạn
chế. Do đó, em rất mong nhận được những góp ý của các thầy cô để luận
văn được hoàn chỉnh.

5


Chương 1
Một số kiến thức chuẩn bị
Trong chương này, chúng tôi trình bày tóm tắt một số kiến thức cần
dùng cho các phân tích, chứng minh trong luận văn và một vài ví dụ minh
họa. Cụ thể là một số kiến thức mở rộng về ma trận, chuẩn và một vài kiến
thức cơ bản về PTVP.

1 .1
1.1.1

Một số khái niệm về ma trận
Ma trận Metzler, ma trận dương. Nghịch đảo Drazin

Định nghĩa 1.1. Cho ma trận A = [aij] ∈ Rn⋅n, 1 ≤ i, j ≤ n. Khi đó:
1. A được gọi là một ma trận Metzler nếu tất cả các phần tử, ngoại
trừ những phần tử trên đường chéo chính, là không âm, tức là aij ≥

0, ∀i = j.

2. A được gọi là ma trận không âm (nonnegative matrix) và viết là A ≥ 0
nếu aij ≥ 0, ∀i, j = 1, 2, ..., n.
3. A được gọi là ma trận dương (positive matrix) nếu tất cả các phần tử
của A là dương, tức là aij > 0, ∀i, j = 1, 2, ..., n, kí hiệu A > 0.
Trong đại số tuyến tính, chúng ta đã biết đến khái niệm ma trận nghịch
đảo của một ma trận vuông khả nghịch. Mở rộng khái niệm này chúng ta có
các khái niệm nghịch đảo khác, chẳng hạn: nghịch đảo nhóm, nghịch đảo
Drazin, nghịch đảo suy rộng. Trong phần này chúng tôi trình bày về khái niệm
nghịch đảo Drazin và một vài kết quả liên quan.
6


Định nghĩa 1.2. Cho ma trận A ∈ Cn⋅n. Khi đó:
1. Số tự nhiên k được gọi là chỉ số của A và kí hiệu là ind(A) = k nếu

k là số tự nhiên nhỏ nhất thỏa mãn rank Ak = rank Ak+1.
2. Ma trận X ∈ Cn⋅n được gọi là nghịch đảo Drazin của A nếu X thỏa
mãn đồng thời các biểu thức

Ak X A = Ak ,

X AX = X ,
AX = X A.
Trong đó, k = ind(A). Nghịch đảo Drazin của ma trận A kí hiệu là

AD .
Từ định nghĩa ta có ngay rằng, khái niệm nghịch đảo thông thường là
trường hợp đặc biệt của nghịch đảo Drazin, tức là nếu A là khả nghịch
−

theo nghĩa thông thường thì AD = A 1. Ta có một số kết quả sau về
nghịch đảo Drazin.
Định lý 1.3. Trong định lý này ta chỉ xét các ma trận vuông. Khi đó ta
có các khẳng định sau:
(a) Nghịch đảo Drazin của ma trận A luôn tồn tại và duy nhất,
(b) Nghịch đảo Drazin của ma trận lũy linh là ma trận không,
(c) Nếu P là ma trận chiếu, P 2 = P , có chỉ số ind P ≤ 1 thì P D = P ,
∗

∗

(d) (A )D = (AD) ,
(e) (AT )D = (AD)T .
Ví dụ sau chỉ ra ma trận nghịch đảo Drazin của một ma trận suy biến.
Ví dụ 1.1. Xét ma trận:

100
A= 0 0 1 .
000

7

Ta có rank A = 2, rank A2 = rank A3 = 1 nên ind(A) = 2.
−

Vì det A = 0, nên không tồn tại A 1. Tuy nhiên ta có thể kiểm tra

100
X= 0 0 0
000
thỏa mãn các điều kiện trong Định nghĩa 1.2, tức là AD = X.

1.1.2

Khai triển kì dị

Khai triển kì dị (Singular Value Decomposition) là một công cụ đại số
tuyến tính rất mạnh và hữu dụng, được sử dụng trong nhiều bài toán liên
quan đến ma trận mà khi áp dụng các phương pháp như khử Gauss hay
phân tích LU sẽ cho kết quả với sai số lớn. Phân tích SVD dựa trên định lý
sau, xem [6].
Định lý 1.4. Cho A ∈ Cm⋅n. Khi đó luôn tồn tại các ma trận trực giao

U ∈ Cm⋅m, V ∈ Cn⋅n và ma trận đường chéo D := diag(σ1, . . . , σr) trong
đó σi, 0 ≤ i ≤ r, là các căn bậc hai dương (kể cả bội) của các giá trị riêng
∗
của ma trận A A thỏa mãn
∗

A=UD0V .

00
Ta thường ký hiệu Σ := D 0 ∈ Rm⋅n và khai triển 00

A = U ΣV

∗

được gọi là khai triển kỳ dị của ma trận A.
Các véc-tơ cột của ma trận U được gọi là các véc-tơ kỳ dị trái, và các
véc-tơ cột của ma trận V được gọi là các véc-tơ kỳ dị phải, còn σi được
gọi là các giá trị kỳ dị của ma trận A.

Để tìm khai triển kì dị của một ma trận A ta đi tìm các véc-tơ riêng
∗

∗

∗

của các ma trận A A và AA . Cụ thể các véc-tơ riêng đơn vị của A A là
∗

các véc-tơ cột của V , còn các véc-tơ riêng đơn vị của AA là các véc-tơ
cột của U , các giá trị kỳ dị của A là các căn bậc hai của các giá trị riêng
8


∗

∗

của A A hoặc AA .
Ví dụ 1.2. Tìm khai triển kì dị cho ma trận sau:

A= 1 1 2 .
224
Ta có

AAT = 162 12 , 24
nên

det(AAT − λI) = 6 − λ 241− λ = λ2 − 30λ. 2
12
Suy ra các giá trị √

iêng

của AAT là λ1 = 30 và λ2 = 0, hay A có một giá r

trị kì dị là σ1 = 30. Ta có các véc-tơ riêng đơn vị ứng với các giá trị
riêng λ1 và λ2 của ma trận AAT là

√

√

−
2

u1 =

5
1

và u2 =

√
2
5

nên

√5

−2

√

,

1

U=

5

√5

.

√

√

1
5

Tiếp tục ta có
T

A A=

5 5 10
5 5 10 ,
10 10 20

nên
T

5−λ

det(A A − λI) = 5 10

5
5−λ

10
10 = −λ3 + 30λ2.

10 20 − λ

Suy ra các giá trị riêng của A A là λ1 = 30 và λ2 = λ3 = 0, hay A có một
giá trị kỳ dị là σ1 = √30.
T


Khi đó ma trận Σ là

Σ=

√

30 0 0 .
0 00

9


Ta có các véc-tơ riêng đơn vị ứng với các giá trị riêng λ1, λ2 và λ3 của ma
trận AT A là
√1 

√1


√16

v2 =



− 
1

và v3 =



√13 ,

,
2

√1  3
√

v1 =

6


2

0

√
2

nên

 −1

6

√

√

√3

1
2

1

√ 
1

3

√1

6

−1
√2

V=



1

6
√
2

0

√


−1

√

.
Kiểm tra

6

A = U ΣV

T
3

1

3

√

√

1



√

1

√

=

5

−2
√
5
1

√
2

√
1

5

T

√5

000



√26
2

30 0 0



3

√16
−1
√2
6

0

1
−1



√

√3

√


√

√

1

√1 6

2
6

=2600



3

−1
√2





√6 0 0

√12
1

√

−1

1
3

√3
√0



=112.
224

6
3 

Vậy khai triển kì dị của ma trận A là A = U ΣV T

1.1.3

Phổ và chỉ số

Ở đây ta nhắc lại một số khái niệm về phổ và chỉ số của cặp ma trận,
xem [4].

Cho cặp ma trận (E, A), E, A ∈ Kn⋅n. Cặp (E, A) được gọi là chính

quy nếu tồn tại λ ∈ C sao cho det(λE − A) = 0. Ngược lại, nếu với mọi λ ∈ C mà

det(λE − A) = 0 thì ta nói rằng cặp (E, A) suy biến.
Cho cặp (E, A) là chính quy, một số phức λ được gọi là một giá trị
riêng (hữu hạn) của cặp (E, A) nếu det(λE − A) = 0; tập σ(E, A) :=

{λ ∈ C : det(λE − A) = 0} gọi là phổ của cặp (E, A). Trường hợp E = I
10


ta có khái niệm phổ của ma trận A, σ(A). Nếu E suy biến và cặp (E, A)
chính quy thì ta nói rằng (E, A) có giá trị riêng ∞.
Trong khuôn khổ luận văn này, ta chỉ xét các cặp ma trận (E, A) chính
quy. Khi đó ta biến đổi về dạng chính tắc Weierstrass-Kronecker, tức là
tồn tại các ma trận không suy biến W, T ∈ Cn⋅n sao cho

E = W I0r N T

−
1

(1.1)

−

và A = W J In0−r T 1, 0
0

trong đó Ir, In−r là các ma trận đơn vị có cỡ tương ứng là r và n − r,

J ∈ Cr⋅r và N ∈ C(n−r)⋅(n−r) là các ma trận dạng Jordan và N là ma
trận lũy linh. Nếu E khả nghịch thì r = n.

Định nghĩa 1.5. Xét cặp ma trận chính quy (E, A) với E, A ∈ Kn⋅n được
viết ở dạng chính tắc Weierstrass-Kronecker. Nếu r < n và N là lũy linh
ν

chỉ số ν ∈ {1, 2, . . .}, tức là N = 0, N i = 0, i = 1, 2, . . . , ν − 1, thì ν được
gọi là chỉ số của cặp (E, A) ứng với phương trình vi phân Ex(t) = Ax(t), ˙
kí hiệu ind(E, A) = ν. Nếu r = n thì ta nói phương trình vi phân tương ứng có chỉ
số ν = 0.
Ta xét ví dụ sau.
Ví dụ 1.3. Cho E, A ∈ R3⋅3:

2 −1 0

1 −1 − 3 2


E=





−2 4 3



A= 0 2 1 .

,
3

2
−1 1
−2 1 3
Có thể kiểm tra, một dạng chính tắc Weierstrass-Kronecker của cặp (E, A)
là

E=W 0 0 1 T , 1 0 0 1
−
000

A=W 0 1 0 T , 2 0 0 1
−
001

ở đó

1 −1 0
W= 0 2 1 ,
Suy ra ind(E, A) = 2.

−1 1 3

2 3 −1
T= 1 0 0 .

02 0


Nhận xét. Xét cặp ma trận (E, A) chính quy, từ dạng Weierstrass-Kronecker
11


(1.1), ta có det(λE − A) = 0 ⇔ det(λIr − J) = 0, do đó σ(E, A) = σ(J).
−

Hơn nữa, ta có det(λE −A) = det W. det(λIr−J). det(λN −In−r). det T 1 cho nên

deg det(λE − A) = deg det(λIr − J) + deg det(λN − In−r). Do đó, det deg(λE − A)
=rankE = r nếu và chỉ nếu ind(E, A) ≤ 1.

1 .2

Chuẩn véc-tơ và chuẩn ma trận

Tiếp theo, ta nhắc lại về chuẩn véc-tơ và chuẩn ma trận, xem [6].
Chuẩn của véc-tơ x = (x1, x2, . . . , xn)T ∈ Kn là một hàm f : Kn → R
thỏa mãn các tính chất sau:
(i) f (x) ≥ 0, ∀x ∈ Kn; f (x) = 0 ⇔ x = 0;
(ii) f (αx) = |α|f (x), ∀α ∈ R, x ∈ Kn;
(iii) f (x + y) ≤ f (x) + f (y), ∀x, y ∈ Kn.
Ta thường kí hiệu f (x) bởi x , tức là f (x) = x .
Một lớp các chuẩn thường được sử dụng là chuẩn p được định nghĩa
dưới đây:
1

x

p

:= |x1|p + |x2|p + . . . + |xn|p p .

Trong đó, các chuẩn quan trọng là . 1, .

x
x
x

1

2
∞

2

và .

∞

, cụ thể là

= |x1| + |x2| + . . . + |xn| (chuẩn 1), 1
2

2

2

= (|x1| + |x2| + . . . + |xn|

2

(chuẩn Euclide),

= 1ma xn |xi| (chuẩn vô cùng). ≤i
≤

Cho ma trận A ∈ Km⋅n, chuẩn của ma trận A, kí hiệu là A , cũng
được định nghĩa tương tự như định nghĩa chuẩn véc-tơ. Các chuẩn ma trận
thường gặp là chuẩn - p.
Chuẩn-p là chuẩn được xác định bởi công thức A

p

= maxx=0

Ta có vài trường hợp đặc biệt tương ứng với chuẩn véc-tơ sau:

• Với p = 1, ta có chuẩn cực đại theo cột:
A

1

= 1mja xn Σn=1|aij|. i
≤

12

≤

Ax p
xp.



• Với p = ∞, ta có chuẩn cực đại theo dòng:
A

∞

= 1ma xn Σn=1|aij|. j
≤i

≤

• Với p = 2 và m = n, ta có chuẩn Euclide là giá trị kì dị lớn nhất của
ma trận A:

A 2 = σ1 .
Một chuẩn khác được nhắc tới trong tài liệu này là chuẩn Frobenius, kí
hiệu .

F

, được xác định như sau:
:=

}
F
Σm 1Σn=1|aij|2 = Σmin{m,n σ2
A
i=

j

i=1

i

trong đó σi, i = 1, min(m, n) là các giá trị kì dị của A.

1 .3

Một số khái niệm về phương trình vi phân

Trong phần này, ta nhắc lại một số khái niệm cơ bản ban đầu về phương
trình vi phân và nghiệm của phương trình vi phân phi tuyến ẩn, tổng quát,
xem [4], [1], dạng

F (t, x(t)x(t)) = 0 ˙

(1.2)

trên I := [0, ∞) cùng với điều kiện đầu

x(t0) = x0,

t0 ∈ I.

(1.3)

Định nghĩa 1.6. Một hàm x : I → Rn được gọi là nghiệm của (1.2) nếu

x ∈ C1(I, Rn) và x thỏa mãn (1.2) tại từng điểm; x được gọi là nghiệm
của bài toán giá trị ban đầu (1.2)- (1.3) nếu x là nghiệm của (1.2) và thỏa
mãn (1.3). Điều kiện đầu (1.3) được gọi là tương thích nếu bài toán giá trị đầu
tương ứng có ít nhất một nghiệm.
Chúng ta chú ý rằng, bằng phương pháp tiếp cận chỉ số, xem [4], điều
kiện về độ trơn của nghiệm có thể được nới lỏng, cụ thể là x chỉ cần khả vi liên
tục từng khúc.
Ta nhắc lại các khái niệm ổn định của phương trình vi phân thường

x(t) = f (t, x(t)), ˙
13

t∈I

(1.4)


với điều kiện đầu (1.3).
Định nghĩa 1.7. Một nghiệm x : t → x(t; t0, x0) của bài toán giá trị
đầu (1.4)- (1.3) được gọi là:
1. Ổn định nếu với mọi ε > 0, tồn tại δ > 0 sao cho
(a) bài toán giá trị đầu (1.4) với điều kiện đầu x(t0) = x0 là giải
được trên I với mọi x0 ∈ K với x0 − x0 < δ,
(b) nghiệm x(t; t0, x0) thỏa mãn x(t; t0, x0) − x(t; t0, x0) < ε.

2. Ổn định tiệm cận nếu nó là ổn định và tồn tại ρ > 0 sao cho
(a) bài toán giá trị đầu (1.4) với điều kiện đầu x(t0) = x0 là giải
được trên I với mọi x0 ∈ K với x0 − x0 < ρ,
(b) nghiệm x(t; t0, x0) thỏa mãn limt→∞ x(t; t0, x0) − x(t; t0, x0) =
0.
3. Ổn định mũ nếu nó là ổn định và hút tốc độ mũ (exponentially attractive), tức là nếu tồn tại δ > 0, L > 0 và γ > 0 sao cho
(a) bài toán giá trị đầu (1.4) với điều kiện đầu x(t0) = x0 là giải
được trên I với mọi x0 ∈ K với x0 − x0 < δ,
(b) nghiệm thỏa mãn ước lượng x(t; t0, x0)−x(t; t0, x0) < Le
trên I.

−
γ(t−t0)

Ta có định lý điều kiện tồn tại duy nhất nghiệm của bài toán giá trị
đầu (1.4)- (1.3).
Định lý 1.8. Xét phương trình (1.4) và giả sử trên miền

D : = { 0 ≤ t ≤ b , − ∞ < x < +∞ } ,
f liên tục và liên tục Lipschitz theo x, tức là tồn tại L ≥ 0 sao cho với
mọi (t, x), (t, x) ∈ D thì

f (t, x) − f (t, x) ≤ L x − x .
Khi đó:
14


1. Với mọi x0 ∈ Rn, bài toán giá trị đầu (1.4)- (1.3) có nghiệm duy nhất.
2. Nghiệm x(t; t0, x0) phụ thuộc liên tục vào dữ liệu, tức là nếu x(t) =

x(t; t0, x0) là một nghiệm của (1.4) (không thỏa mãn (1.3)) thì
x(t; t0, x0) − x(t) < eLt x0 − x(0) .
∗

Nhận xét. Xét bài toán điều kiện đầu (1.4)- (1.3) và gọi x (t; t0, x0) là
∗

nghiệm của nó. Khi đó bằng phép đổi biến z(t) := x(t) − x (t; t0, x0) thì
∗

z (t; t0, x0) ≡ 0 là nghiệm tầm thường của bài toán z(t) = f (t, z(t)), ở đó f (t, x(t)) :=
∗

∗

f (t, x(t)) − f (t, x (t; t0, x0)). Do đó, không mất tính tổng
quát, ta có thể giả sử nghiệm là tầm thường, và tương tự, giả sử t0 = 0.

15


Chương 2
Một số kết quả về bán kính ổn định
Trong chương này, chúng tôi trình bày một số kết quả về bán kính ổn
định của:
- PTVP ĐS, xem [4], dạng

Ex(t) = Ax(t), ˙

(2.1)

cùng với điều kiện đầu (1.3).
- PTVP thường có chậm, xem [10], dạng

x(t) = Ax(t) + Dx(t − τ ) ˙

(2.2)

x(t) = φ(t),

(2.3)

cùng với điều kiện đầu

t ∈ [ −τ , 0 ] .

Trong đó E, A, D ∈ Kn⋅n, t ∈ I, x : t ∈ [0, ∞) → x(t) ∈ Cn và hằng số
τ > 0 là độ trễ thời gian. Hai trường hợp trên là những trường hợp riêng
của PTVP ĐS có chậm.

2 .1

Bán kính ổn định của hệ phương trình vi phân
đại số

Xét bài toán giá trị đầu (2.1)-(1.3) với E, A ∈ Kn⋅n là các ma trận
hằng, cặp (E, A) là chính quy và điều kiện đầu (1.3) là tương thích.
Với hệ thuần nhất hệ số hằng (2.1) cùng với điều kiện đầu (1.3) là tương
thích thì bài toán (2.1)- (1.3) thỏa mãn điều kiện duy nhất nghiệm.

16


Khi đó, ta có thể mở rộng nguyên văn Định nghĩa 1.7 cho PTVPĐS. Tuy
nhiên, nếu có nhiễu tác động vào hệ, thì tính tương thích của điều kiện đầu
có thể thay đổi, do đó ta xét độ vững của các khái niệm ổn định dưới tác động
của nhiễu. Ví dụ sau đây cho ta thấy tác động của nhiễu lên tính ổn định của
hệ.
Ví dụ 2.1. Xét PTVP ĐS tuyến tính thuần nhất hệ số hằng

10
00

x1 = 0 1 ˙
10
x2
˙

x1 .
x2

(2.4)

Hệ trên có thể được viết lại x1 = x2, 0 = x1 và chỉ có nghiệm tầm ˙
thường x1 = x2 = 0.

Nếu ta làm nhiễu (2.4) bởi nhiễu nhỏ ε vào vế phải dưới dạng

10
00

x1 = 0 1 ˙
1ε
x2
˙

x1 .
x2

(2.5)

Giải phương trình thứ hai của (2.5) và thế vào phương trình thứ nhất, ta
được

x1 = − 1 x1 .
ε
˙

(2.6)

− t

Suy ra x1 = C.e 1ε , C = const.
Rõ ràng, nếu ε < 0 thì hệ bị nhiễu (2.5) không ổn định. Nếu ε > 0 thì
hệ ổn định tiệm cận nhưng bản chất của nghiệm khác so với hệ ban đầu
của (2.4). Với một giá trị đầu tùy ý x1(0) = 0, bài toán giá trị ban đầu
cho (2.6) có nghiệm duy nhất. Hơn nữa, giá trị x2(0) được xác định duy nhất
bởi x1(0), do đó nếu cho trước x2(0) thì có thể điều kiện đầu này

không tương thích. Thực tế thì nhiễu nhỏ này đã làm thay đổi chỉ số của

(2.4), từ chỉ số 2 nếu ε = 0 thành chỉ số 1 nếu ε = 0.
Trong Ví dụ 2.1, nhiễu chỉ tác động lên hệ số A, sẽ phức tạp hơn nếu
nhiễu xuất hiện trong hệ số của x. Xét ví dụ sau. ˙
Ví dụ 2.2. Xét hệ bị nhiễu suy biến

I n1 0
0 ε I n2

x 1 = A 1 1 A1 2 ˙
x2
A2 1 A2 2
˙

x1 ,
x2

(2.7)


ở đó In1, In2 là các ma trận đơn vị có cỡ tương ứng n1, n2 và Aij, i, j ∈ {1, 2}
là các ma trận hằng có cỡ tương thích, ε ≥ 0 là một tham số nhỏ. Giả
17