Luận văn đối ngẫu trong quy hoạch phân thức đa mục tiêu

Đ I H C QU C GIA HÀ N I
TRƯ NG Đ I H C KHOA H C T

NHIÊN

LÊ NG C BIÊN

Đ I NG U TRONG QUY HO CH PHÂN TH C ĐA M C TIÊU

Chuyên ngành : TOÁN GI I TÍCH
Mã s : 60 46 01 02

LU N VĂN TH C S

TOÁN H C

Ngư i hư ng d n khoa h c: GS.TS. Tr n Vũ Thi u

Hà N i- 2015


M cl c
M

3

ĐU

1 KI N TH C CHU N B
1.1 T p l i và t p đa di n l i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5

51.2
Hàm l i và hàm phân th c afin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3

8

Hàm liên h p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.4 Bài

toán t i ưu đa m c tiêu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2 Đ I NG U TRONG QUY HO CH PHÂN TUY N TÍNH
2.1 Bài toán quy ho ch phân tuy n tính . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.2
Bài toán đ i ng u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.3
đ i ng u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.4

13

Đ nh lý

Ví d minh h a . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3 QUY HO CH PHÂN TH C ĐA M C TIÊU
3.1 Bài toán g c và bài toán tham s hóa . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3.1.1

21

Bài toán g c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 3.1.2

Tham s hóa theo Dinkelbach . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

3.2

Đ i ng u Fenchel-Lagrange c a bài toán vô hư ng . . . . . . . . . 24 3.3
Đ i ng u Fenchel-Lagrange đa m c tiêu . . . . . . . . . . . . . . . 27

3.4

Ví d

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

K T LU N

38

TÀI LI U THAM KH O

38

2


M

ĐU

Lý thuy t đ i ng u đ i v i các bài toán t i ưu, v i m t hay nhi u hàm m c
tiêu, là m t trong nh ng ch đ quan tr ng c a lý thuy t t i ưu hóa. Lý thuy t đ i ng u

trong các bài toán t i ưu v i hàm m c tiêu là hàm phân th c (t s c a hai hàm s )
đư c phát tri n m nh m trong vài ch c năm g n đây b i Wolfe (1991), Weir - Mond
(1989), Nakayama (1984), Jahn (1983) và Wanka - Bot (2002).
Trư ng h p t i ưu phân th c đã đư c Charnes và Cooper ([6], 1962) nghiên c u
cho các hàm m c tiêu phân tuy n tính. Dinkelbach ([7], 1967) đã ch ra m i liên h
gi a bài toán phân th c và bài toán tham s hóa. Schaible ([9], 1976) đã đưa ra m
t phép bi n đ i cho phép x lý các bài toán phân th c.
Đáng chú ý là Wanka và Bot [10] đã đưa ra đ i ng u liên h p m i d a trên
cách ti p c n nhi u. Sau đó các tác gi [4], [5] đã nghiên c u quan h gi a các khái
ni m đ i ng u này trong qui ho ch phân th c.
Bot R. I., Charesy R. và Wanka G. ([3], 2006) đã xét quan h đ i ng u cho m t
l p bài toán t i ưu phân th c đa m c tiêu. c th là bài toán v i nhi u hàm m c tiêu,
m i m c tiêu là t s c a hàm l i và hàm lõm. Trên th c t , ki u bài toán này t o ra m
t l p riêng có đ c đi m là các bài toán đó nói chung không l i.
Kaul và Lyall ([8], 1989) đã xây d ng các bài toán đ i ng u và các k t qu đ i
ng u cho các bài toán t i ưu phân th c đa m c tiêu, nhưng v i gi thiêt các hàm kh
vi. Ohlendorf và Tammer (1994) đã đưa ra đ i ng u ki u Fenchel cho bài toán t i
ưu véctơ v i các hàm m c tiêu phân th c.
Đ phát tri n các ki n th c gi i tích đã h c, chúng tôi ch n đ tài lu n văn:
"Đ i ng u trong các bài toán t i ưu phân th c đa m c tiêu"
M c đích chính c a lu n văn là tìm hi u và trình bày v m t s k t qu đã có v đ i
ng u trong các bài toán qui ho ch phân th c, c th là đ i ng u trong quy ho ch
phân tuy n tính m t m c tiêu và đ i ng u trong bài toán quy ho ch
3


phân th c đa m c tiêu không l i.
Lu n văn đư c vi t d a ch y u trên các tài li u tham kh o [1] - [3] và [7]. N i
dung c a lu n văn g m ba chương.

• Chương 1 "Ki n th c chu n b " nh c l i ki n th c v t p l i, t p l i đa di n và
các tính ch t c a các t p này; nh c l i khái ni m hàm l i, hàm afin và các tính ch t
đáng chú ý c a hàm afin, hàm liên hơp và gi i thi u bài toán t i ưu đa m c tiêu
cùng m t s khái ni m có liên quan.

• Chương 2 "Đ i ng u trong quy ho ch phân tuy n tính"trình bày bài toán
quy ho ch phân tuy n tính g c và đ i ng u, các k t qu c a lý thuy t đ i ng u trong
quy ho ch phân tuy n tính, tương t như trong quy ho ch tuy n tính. Cu i chương
nêu m t s ví d minh h a.

• Chương 3 "Quy ho ch phân th c đa m c tiêu" trình bày cách ti p c n tham
s c a Dinkelbach ([7]) đ đ t tương ng bài toán ban đ u (g i là bài toán g c) v i bài
toán t i ưu l i, đa m c tiêu trung gian. Sau đó vô hư ng hóa bài toán đa m c tiêu
trung gian này và xây d ng bài toán đ i ng u đa m c tiêu tương ng. Trình bày các
k t qu v tính đ i ng u y u, đ i ng u m nh và đ i ng u đ o c a c p bài toán đ i ng u.
T đó cho phép nh n đư c các đ c trưng đ i ng u đ i v i các nghi m h u hi u c a bài
toán t i ưu phân th c đa m c tiêu ban đ u.
Do th i gian và ki n th c còn h n ch nên ch c ch n lu n văn này còn có nh ng
thi u sót nh t đ nh, kính mong quí th y cô và các b n đóng góp ý ki n đ tác gi ti p
t c hoàn thi n lu n văn sau này.
Nhân d p này, tác gi lu n văn xin bày t lòng bi t ơn sâu s c t i GS.TS.
Tr n Vũ Thi u, đã t n tình giúp đ trong su t quá trình làm lu n văn. Tác gi chân
thành c m ơn các th y giáo, cô giáo Trư ng Đ i h c Khoa h c T nhiên - Đ i h c
Qu c gia Hà N i, đã nhi t tình gi ng d y và t o m i đi u ki n thu n l i trong quá
trình tác gi h c t p và nghiên c u t i Khoa Toán - Cơ - Tin h c c a nhà trư ng.

4


Chương 1

KI N TH C CHU N B
Chương này nh c l i m t s ki n th c v t p l i, t p l i đa di n, hàm l i,
hàm phân th c afin (t s c a hai hàm tuy n tính afin), hàm liên h p và gi i thi u bài
toán t i ưu đa m c tiêu cùng các khái ni m có liên quan. N i dung c a chương đư
c tham kh o ch y u t các tài li u [1], [2] và [3].

1.1

T p l i và t p đa di n l i
A.T p l i là m t khái ni m quan tr ng đư c dùng r ng rãi trong t i ưu hoá

Đ nh nghĩa 1.1. T p con C trong Rn đư c g i là t p l i n u C ch a tr n đo n th ng n i
hai đi m b t kỳ thu c nó. Nói cách khác, t p C là l i n u λa+(1−λ)b ∈
C v i m i a, b ∈ C và m i 0 ≤ λ ≤ 1.

Ví d 1.1. Các t p sau đây đ u là các t p l i:
a) T p afin, t c là t p ch a tr n đư ng th ng đi qua hai đi m b t kỳ thu c nó
b) Siêu ph ng, t c là t p có d ng
H = {x ∈ Rn : aT x = α, a ∈ Rn ∴ {0}, α ∈ R}.

c) Các n a không gian đóng
H1 = {x ∈ Rn : aT x ≤ α}, H2 = {x ∈ Rn : aT x ≥ α}.

d) Hình c u đóng B(a, r) = {x ∈ Rn : ||x − a|| ≤ r}(a ∈ Rn, r > 0cho trư c).
T đ nh nghĩa c a t p l i tr c ti p suy ra m t s tính ch t đơn gi n sau đây:
a) Giao c a m t h b t kỳ các t p l i là m t t p l i (nhưng h p không đúng!). b) T ng
c a hai t p l i và hi u c a hai t p l i cũng là các t p l i.
5

c) N u C ⊂ Rm, D ⊂ Rn thì tích C ⋅ D = {(x, y) : x ∈ C, y ∈ D} là m t t p l i
trong Rm+n. (Có th m r ng cho tích nhi u t p l i).
Đ nh nghĩa 1.2. a) Đi m x ∈ Rn có d ng x = λ1a1 + λ2a2 + ... + λkak v i
ai ∈ Rn, λi ≥ 0, λ1 +λ2 +...+λk = 1, g i là m t t h p l i c a các đi m a1, a2, ..., ak. b) Đi m x ∈ Rn có d

ng x = λ1a1 + λ2a2 + ... + λkak v i ai ∈ Rn, λi ≥ 0, g i là
m t t h p tuy n tính không âm hay t h p nón c a các đi m a1, a2, ..., ak.
Đ nh nghĩa 1.3. Cho E là m t t p b t kỳ trong Rn.
a) Giao c a t t c các t p afin ch a E g i là bao afin c a E, ký hi u là aff E.
Đó là t p afin nh nh t ch a E.
b) Giao c a t t c các t p l i ch a E g i là bao l i c a E, ký hi u là conv E. Đó là t p l
i nh nh t ch a E.
Đ nh nghĩa 1.4. . a) Th nguyên (hay s chi u) c a m t t p afin M, ký hi u
dim M, là th nguyên (s chi u) c a không gian con song song v i nó.
b) Th nguyên (hay s chi u) c a m t t p l i C, ký hi u dim C, là th nguyên hay s
chi u c a bao afin aff C c a nó.

B. T p l i đa di n là m t d ng t p l i có c u trúc đơn gi n và r t hay g p
trong lý thuy t t i ưu tuy n tính.
Đ nh nghĩa 1.5. M t t p l i mà là giao c a m t s h u h n các n a không
gian đóng g i là m t t p l i đa di n. Nói cách khác, đó là t p nghi m c a m t
h h u h n các b t phương trình tuy n tính:

ai1x1 + ai2x2 + ... + ainxn ≤ bi, i = 1, 2, ..., m,

nghĩa là t p các x nghi m đúng Ax ≤ b v i A = (aij) ∈ Rm⋅n, b = (b1, ..., bm)T .
Nh n xét 1.1. Do m t phương trình tuy n tính có th bi u di n tương đương
b ng hai b t phương trình tuy n tính, nên t p nghi m c a m t h (h u h n)
phương trình và b t phương trình tuy n tính cũng là m t t p l i đa di n:

ai1x1 + ai2x2 + ... + ainxn = bi, i = 1, 2, ..., k,
ai1x1 + ai2x2 + ... + ainxn ≤ bi, i = k + 1, ..., m,

M t t p l i đa di n có th b ch n (gi i n i) ho c không b ch n (không gi i
n i). M t t p l i đa di n b ch n còn đư c g i là m t đa di n l i. Các đa giác
6

(1.1)


l i theo nghĩa thông thư ng trong m t ph ng hai chi u (tam giác, hình vuông,
hình tròn, ...) là nh ng ví d c th v đa di n l i trong R 2.
Đ nh nghĩa 1.6. T p l i đa di n K ⊆ Rn đư c g i là m t nón l i đa di n n u
K có thêm tính ch t x ∈ K ⇒ λx ∈ K v i m i x ∈ K và m i λ ≥ 0.(Ví d nón

Rn .)
Cho D là m t t p l i đa di n xác đ nh b i h b t phương trình tuy n
tính (1.1). Sau đây đ đơn gi n, ta gi thi t D không ch a đư ng th ng nào
+

(t c là

a, b ∈ D sao cho λa + (1 − λ)b ∈ D v i m i λ ∈ R). Hai y u t chính t o

nên t p l i đa di n D là các đ nh và các c nh vô h n c a D. Theo gi i tích l i,
có th hi u các khái ni m này như sau.
Đ nh nghĩa 1.7. . Đi m x0 ∈ D đư c g i là m t đ nh c a D n u
rank{ai : ai, x0 = bi} = n (v i ai = (ai1, ..., ain)T , i = 1, ..., m).

Đ nh nghĩa tương đương: x0 ∈ D là m t đ nh c a D n u

x1, x2 ∈ D, x1 = x0
ho c x2 = x0, và λ ∈ (0, 1) sao cho x0 = λx1 + (1 − λ)x2, nói m t cách khác: x0
không th là đi m n m

trong m t đo n th ng nào đó n i hai đi m thu c D.

Đ nh nghĩa 1.8. Đo n th ng [x1, x2], x1 = x2, đư c g i là m t c nh h u h n c a
D n u x1, x2 là các đ nh c a D và
rank{ai : ai, x1 = ai, x2 = bi} = n − 1.

Đ nh nghĩa 1.9. Tia Γ = {x0 + λd : λ ≥ 0} ⊆ D, trong đó x0 ∈ D, d ∈ Rn, đư c
g i là m t c nh vô h n c a D n u
rank{ai : ai, x = bi, ∀x ∈ Γ} = n − 1.

Đ hi u rõ hơn v t p l i đa di n ta cũng c n bi t m t s khái ni m sau đây.
Đ nh nghĩa 1.10. . Véctơ d ∈ Rn, d = 0, đư c g i là m t hư ng lùi xa c a D n u ∃x0 ∈ D sao
cho {x0 + λd : λ ≥ 0} ⊆ D. T p h p các hư ng lùi xa c a D c ng
v i g c 0 t o thành m t nón l i đóng, g i là nón lùi xa c a D, ký hi u rec D.
Đ nh nghĩa 1.11. Hư ng lùi xa d c a D đư c g i là m t hư ng c c biên n u
không t n t i hai hư ng lùi xa khác d1, d2 sao cho d = λ1d1 + λ2d2 v i λ1, λ2 > 0.
Có th ch ng minh đư c r ng t p l i đa di n D không b ch n khi và ch khi
rec D = {0}, nghĩa là khi và ch khi D có ít nh t m t hư ng lùi xa.

7


Trong các bài toán t i ưu, ta thư ng g p t p l i đa di n có d ng
S = {x ∈ Rn : Ax ≤ b, x ≥ 0}v i A ∈ Rm⋅n, b ∈ Rm,

t c S là t p nghi m không âm c a m t h (h u h n) b t phương trình tuy n

tính. T p này không ch a đư ng th ng nào (do x ≥ 0) nên S có đ nh. T các
đ nh nghĩa nêu trên cho th y:
a) Đi m x0 ∈ S là m t đ nh c a S khi và ch khi h véctơ {ak : ak, x0 = bk}∪{ek :
x0k = 0} có h ng b ng n.

b) Các hư ng c c biên (chu n hóa) c a S là các nghi m cơ s c a h Ay ≤
0, eT y = 1, y ≥ 0, trong đó eT = (1, ..., 1).

c) Gi s tia Γ = {x0 + λd : λ ≥ 0}, trong đó x0 là m t đ nh và d là m t hư ng
c c biên c a S. Khi đó Γ là m t c nh vô h n c a S khi và ch khi
rank({ak : ak, x = bk, ∀x ∈ Γ} ∪ {ek : xk = 0, ∀x ∈ Γ}) = n − 1

.

1.2

Hàm l i và hàm phân th c afin

Đ nh nghĩa 1.12. a) f : C → R xác đ nh trên t p l i C ⊆ Rn đư c g i là m t
hàm l i trên C n u v i m i x1, x2 ∈ C và m i s th c λ ∈ [0, 1] ta có
f [λx1 + (1 − λ)x2] ≤ λf (x1) + (1 − λ)f (x2).

b) g : C → R g i là hàm lõm trên C n u f = −g là hàm l i trên C.
Sau đây là m t s ví d quen thu c v hàm l i v i ∅ = C ⊆ Rn là t p l i:
+ Hàm chu n Euclid ||x|| =
+ Hàm ch đ nh c a t p l i C :

x, x , x ∈ Rn.

δC(x) =


0

khi x ∈ C

+∞ khi x ∈ C /
8


+ Hàm t a c a C: sC(x) = sup yT x (c n trên c a xT y trên t p l i C).
y ∈C

x−y
+ Hàm kho ng cách t đi m x ∈ Rn t i C: dC(x) = yinf ∈C
• Hàm phân th c afin thư ng g p trong các bài toán t i ưu. Hàm này có d ng
f (x) = p(x) = pT x + α , T
q(x)
q x+β

trong đó p, q ∈ Rn, α, β ∈ R và dom f = {x ∈ Rn : qT x + β > 0}.
Ký hi u S là t p l i sao cho q(x) = qT x + β = 0 v i m i x ∈ S. N u q(x) có d u
khác nhau trên S, t c là có x, y ∈ S sao cho qT x + β > 0 và qT y + β < 0 thì do hàm q(x)
liên t c nên t n t i z ∈ [x, y], t c z ∈ S, sao cho q(z) = 0.Vì th , không gi m t ng quát, ta có
th gi thi t q(x) > 0 v i m i x ∈ S. Trư ng h p q(x) < 0 v i m i x ∈ S thì nhân c t s p(x) và m u
s q(x) c a hàm f(x) v i (- 1) s có q(x) > 0 v i m i x ∈ S.
Đ nh lý sau nêu tính ch t đơn đi u theo phương c a hàm phân th c afin.
Đ nh lý 1.1. ([1], tr. 78). f(x) =

là hàm đơn đi u trên m i đo n th ng

p(x)
q(x)

n m tr n trong t p l i S = {x : qT x + β > 0}.
Ch ng minh. L y hai đi m tùy ý a, b ∈ S và tính giá tr hàm f t i đi m x b t kỳ
trên đo n th ng n i a và b, t c là x = λa + (1 − λ)b v i 0 ≤ λ ≤ 1. Ta th y
f (x) = p[[λa + (1 − λ))bb] = λp(a) + (1 − λ)p(b).
q λa + (1 − λ
λq(a) + (1 − λ)q(b)
Đ o hàm c a f theo λ :
df (x) = 1 ⋅
dλ
q2(x)

p(a) p(b)
q(a) q(b)

= p(a)q(bq)2−xp(b)q(a). ()

D u c a đ o hàm ph thu c d u c a bi u th c [p(a)q(b) − p(b)q(a)]. Vì th , khi
λ thay đ i trong đo n [0, 1] thì hàm f(x) ho c tăng ho c gi m ho c đ ng nh t b ng h ng s trên
[a, b].
Ta nh c l i r ng hàm kh vi f : R n → R đư c g i là gi l i n u v i m i
x, y ∈ S ta có
f (x)T (y − x) ≥ 0 kéo theo f (y) ≥ f (x), nghĩa là n u f (y) < f (x)
thì

f (x)T (y − x) < 0. Hàm f đư c g i là gi lõm n u −f là gi l i.

Đ nh lý sau nêu m t tính ch t quan tr ng khác c a hàm phân th c afin.
pT x+α
qT x+β

Đ nh lý 1.2. ([2], tr. 703). Gi s f(x) =
và S là t p l i sao cho (qT x +
β) = 0 trên S. Khi đó, hàm f(x) v a gi l i, v a gi lõm trên S.
9


Ch ng minh. Ta đ ý r ng ho c qT x + β > 0 v i m i x ∈ S ho c qT x + β < 0 v i
m i x ∈ S, vì n u trái l i s có a ∈ S, b ∈ S sao cho qT a + β > 0 và qT b + β < 0, do đó có qT z +
β = 0 v i z là m t t h p l i c a a và b, trái v i gi thi t đ nh lý. Trư c h t ta ch ng minh f gi l i.

Th t v y, gi s x, y ∈ S th a mãn

f (x)T (y − x) ≥ 0. Ta c n ch rõ f (y) ≥ f (x).

Ta có
f ( x) =

. Do

(qT x + β)p − (pT x + α)q
(qT x + β)2

f (x)T (y − x) ≥ 0 và do (qT x + β)2 > 0 nên
0 ≤ [(qT x + β)p − (pT x + α)q]T (y − x)
= (pT y + α)(qT x + β) − (qT y + β)(pT x + α)

Vì th , (pT y + α)(qT x + β) ≥ (qT y + β)(pT x + α). Nhưng do (qT x + β) và (qT y + β)
cùng dương ho c cùng âm nên chia c hai v cho
(qT x + β)(qT y + β) > 0

ta nh n đư c
pT y + α ≥ pT x + α , t c là f (y) ≥ f (x).
qT y + β
qT x + β

Vì th , f gi l i. Tương t , có th ch ng minh đư c r ng

f (x)T (y − x) ≤ 0 kéo

theo f(y) ≤ f(x). Vì th , f gi lõm và đ nh lý đư c ch ng minh.

1.3

Hàm liên h p

Đ nh nghĩa 1.13. Cho m t hàm tùy ý f : Rn → R ∪ {±∞} Hàm liên h p c a f
đư c đ nh nghĩa là hàm
f ∗(p) = supn{pT x − f (x)}, p ∈ Rn.
x∈R

Th c ra, supremum trong (1.2) ch c n l y trên x ∈ domf, b i vì f(x) = +∞ ∀x ∈ /
dom f. H th c (1.2) còn đư c g i là phép bi n đ i Young - Fenchel. T đ nh
nghĩa trên suy ra
f ∗∗(x) ≡ (f ∗)∗(x) = supn{pT x − f ∗(p)}, x ∈ Rn
p∈R

.
M nh đ 1.1. f∗ : Rn → R ∪ {±∞} là hàm l i, đóng.
10

(1.2)


Ch ng minh. V i m i x c đ nh, g(p, x) = pT x − f(x) là m t hàm tuy n tính afin
trên Rn (theo bi n p). Do f* là hàm c n trên c a h hàm tuy n tính afin (l y
trên x ∈ Rn) nên f* là m t hàm l i. M t khác, t p trên đ th epi f* là giao (ph n chung) theo
m i x ∈ Rn c a các t p trên đ th c a các hàm tuy n tính
afin g(p, x), nghĩa là giao c a các t p l i (c th là các n a không gian đóng).
Vì v y, epi f* là m t t p l i đóng, do đó f* là m t hàm l i, đóng.
Ví d
hàm:

1.2. a) Hàm liên h p c a hàm f(x) = δC(x) (hàm đ nh ch c a C) là
f ∗(p) = sup{pT x} = sC(x)(hàm t a c a t p l i C), p ∈ Rn
x∈C

. b) Hàm liên h p c a hàm tuy n tính afin f(x) = cT x − α(c ∈ Rn, α ∈ R) là hàm
f ∗(p) = sup{pT x − cT x + α} =
x∈R


α

khi p = c

+∞ khi p = c

M nh đ 1.2. Cho f : Rn → R ∪ {±∞} là m t hàm chính thư ng b t kỳ. Khi
đó, ta có
a) f(x) + f∗(p) ≥ pT x ∀x ∈ Rn, ∀p ∈ Rn (b t đ ng th c Young - Fenchel).
b) f∗∗(x) ≤ f(x) ∀x và f∗∗ = f ⇔ f l i, đóng (Đ nh lý Fenchel - Moreau).
c) f∗∗(x) = sup{h(x) : h tuy n tính afin, h ≤ f}, nghĩa là f**(x) là hàm l i l n nh t, không đâu vư t
quá f(x): f∗∗ = convf (hàm bao l i đóng c a hàm f).

1.4

Bài toán t i ưu đa m c tiêu

M c này gi i thi u bài toán t i ưu đa m c tiêu, đó là bài toán có d ng:
min {f1 (x) , f2 (x) , ..., fp (x)} ,

(VP)

x∈X

n

trong đó fk : R → R, k = 1, ..., p, là các hàm s cho trư c và X ⊆ Rn là m t t p l i
đóng cho trư c. Thông thư ng X ≡ {x ∈ Rn : Ax ≤ b, x ≥ 0, A ∈ Rm⋅n, b ∈ Rm} là t p l i đa
di n ho c X ≡ {x ∈ Rn : gi(x) ≤ 0, i = 1, ..., m, gi : Rn → R- hàm l i
} là t p nghi m c a m t h b t đ ng th c l i.
Các hàm fk đư c g i là hàm m c tiêu (có t t c p m c tiêu), t p X đư c g i là
t p ràng bu c hay mi n ch p nh n đư c c a bài toán. Ta gi thi t t p X = ∅ .
Tùy theo d ng c a các hàm m c tiêu fk(x), ngư i ta thư ng phân ra m t s l p
bài toán t i ưu đa m c tiêu sau đây:

• T i ưu tuy n tính đa m c tiêu: khi fk, k = 1, ..., p là hàm tuy n tính, t c là
11


fk(x) = (ck)T x v i ck ∈ Rn. Ký hi u C là ma tr n c p p ⋅ n v i véctơ hàng th k

là (ck)T . Khi đó, bài toán t i ưu tuy n tính đa m c tiêu đư c vi t thành
(MOLP)

min{Cx : Ax ≤ b, x ≥ 0}.

• T i ưu l i đa m c tiêu: khi fk, k = 1, ..., p là hàm l i, t p X l i đóng.
)
u (x , k = 1, ..., p, trong đó uk, vk là
• T i ưu phân th c đa m c tiêu: khi fk(x) =
v (x)
k
k

các hàm s cho trư c. Bài toán có d ng:
(MOFP)

min
x∈X

)
u 1( x
v1(x)

, ..., up(x)

vp(x)

(vk > 0, ∀k).

Trư ng h p riêng khi uk, vk là các hàm tuy n tính afin, bài toán đư c g i là quy
ho ch phân tuy n tính đa m c tiêu.

• T i ưu đa m c tiêu phi tuy n, không l i: khi fk, k = 1, ..., p, là các hàm phi
tuy n nói chung.
Trong các bài toán t i ưu đa m c tiêu, ngư i ta thư ng dùng các đ nh nghĩa sau đây
v nghi m h u hi u c a bài toán (VP).
Đ nh nghĩa 1.14. Ta nói x0 ∈ X là m t nghi m h u hi u (efficient solution)
c a (VP) n u không có x ∈ X v i fk(x) ≤ fk(x0) v i m i k = 1, ... , p và
fj(x) < fj(x0) v i ít nh t m t j ∈ {1, ..., p}.

Đ nh nghĩa 1.15. Ta nói x0 ∈ X là m t nghi m h u hi u y u (weak efficient
solution) c a (VP) n u không có x ∈ X sao cho fk(x) < fk(x0) v i m i k =1,
...,p. Ta còn nói x0 ∈ X là m t nghi m h u hi u lý tư ng (ideal efficient solution)
n u fk(x0) ≤ fk(x) v i m i x ∈ X.
Rõ ràng m t nghi m h u hi u cũng là nghi m h u hi u y u, nhưng đi u ngư c
l i không ch c đúng.
Các lo i nghi m h u hi u khác cũng s đư c đ c p t i

Chương 3 (Đ nh nghĩa

3.2 - 3.4).
Tóm l i, chương này đã trình bày v n t t m t s ki n th c c n thi t v t p l i, t p l i đa
di n, hàm l i, hàm phân th c afin, hàm liên h p và gi i thi u bài toán t i ưu đa m c
tiêu cùng các d ng c th c a bài toán.

12


Chương 2

Đ I NG U TRONG QUY
HO CH PHÂN TUY N TÍNH
Chương này đ c p t i bài toán đ i ng u c a bài toán quy ho ch phân tuy n
tính đã cho (g i là bài toán g c). Bài toán đ i ng u cũng là m t quy ho ch phân tuy
n tính. Các đ nh lý đ i ng u nêu m i liên h gi a hai bài toán s đư c phát bi u và ch
ng minh. Lý thuy t đ i ng u đư c dùng đ xây d ng các đi u ki n t i ưu. N i dung c a
chương đư c tham kh o ch y u t các tài li u [1], [2] và [10].

2.1

Bài toán quy ho ch phân tuy n tính

Chương này t p trung xét bài toán quy ho ch phân tuy n tính có d ng:
min{f (x) = p(x) = pT x+α : Ax ≤ b, x ≥ 0, qT x + β qT x+β > 0},
(LFP)
q(x)
trong đó p, q ∈ Rn, α, β ∈ R, A ∈ Rm⋅n, b ∈ Rm. Trong nhi u

ng d ng thư ng

t p ràng bu c S = {x ∈ Rn : Ax ≤ 0, x ≥ 0} kéo theo qT x + β > 0.
Tương t , có th xét bài toán tìm c c đ i: max{f(x) : x ∈ S}.
Quy ho ch tuy n tính là m t trư ng h p riêng c a quy ho ch phân tuy n tính khi q
= 0 và β = 1. Trong [1] phân tích m t s trư ng h p riêng khác cho phép đưa bài toán quy

ho ch phân tuy n tính v bài toán tuy n tính thích h p.
Sau đây là m t s khái ni m và đ nh nghĩa c n thi t, tương t như trong lý thuy t
quy ho ch tuy n tính.
Trong bài toán (LFP), f(x) g i là hàm m c tiêu. T p S g i là t p ràng bu c hay mi n
ch p nh n đư c. Véctơ x ∈ S g i là m t phương án hay nghi m ch p nh n đư c, m t
phương án mà đ ng th i là đ nh c a t p ràng bu c S g i là m t phương án c c biên
hay nghi m cơ s . Phương án đ t giá tr nh nh t c a hàm

13


m c tiêu f(x) g i là m t phương án t i ưu hay nghi m t i ưu.
Ta nói bài toán (LFP) là b t kh thi hay không ch p nh n đư c n u t p S = ∅,
bài toán g i là gi i đư c n u t p S = ∅ và hàm f(x) có infimum h u h n (đ i
v i bài toán min) trên S. N u hàm m c tiêu f(x) không b ch n dư i trên S thì
bài toán đư c g i là không b ch n dư i (xinfS f (x) = −∞). ∈
V i bài toán quy ho ch phân tuy n tính, có th x y ra các trư ng h p sau:
a. T p ràng bu c S = ∅ (bài toán b t kh thi).
b. Nghi m t i ưu duy nh t (đ t t i m t đ nh c a S).
c. Vô s nghi m t i ưu h u h n (đ t t i m t di n b ch n c a S).
d. Có nghi m t i ưu h u h n và vô c c (đ t t i m t di n vô h n c a S).
e. Nghi m t i ưu ti m c n (f∗ = xinfS f (x) > −∞ và x∗ ∈ S : f(x∗) = f∗). ∈
f. Không có nghi m t i ưu (xinfS f (x) = −∞- bài toán không b ch n dư i). ∈

2.2

Bài toán đ i ng u

Xét bài toán quy ho ch phân tuy n tính g c, ký hi u (P1):
T

max{f (x) = dc T xx++αβ : Ax ≤ b, x ≥ 0},
(P1)
trong đó A ∈ Rm⋅n, x, c, d ∈ Rn, b ∈ Rm, α, β ∈ R và T là ký hi u chuy n v véctơ
hay ma tr n.
Đ t S = {x ∈ Rn : Ax ≤ b, x ≥ 0}, t c S là t p nghi m c a h
Ax ≤ b, x ≥ 0,

(2.1)

Ta gi thi t t p S khác r ng, b ch n và hàm f không đ ng nh t b ng h ng s
trên S. Hơn n a, ta gi thi t r ng
dT x + β > 0 v i m i x ∈ Rn, x ≥ 0.

Đi u này đúng khi m i thành ph n c a d không âm và β > 0. V i m i bài toán
g c, có th có nhi u cách xây d ng bài toán đ i ng u khác nhau. Sau đây chúng
tôi trình bày k t qu đ i ng u c a C. R. Seshan nêu

[10].

Đ nh nghĩa 2.1. Đ i ng u c a (P1) là bài toán xác đ nh như sau, ký hi u (D1):
(D1)

g(u, v) =

cT u+α
dT u+β

→ min v i các đi u ki n

c.dT u − d.cT u − AT v ≤ αd − βc,

α.dT u − β.cT u + bT v ≤ 0.
u ≥ 0, v ≥ 0, u ∈ Rn, v ∈ Rm.
14

(2.2)
(2.3)


2.3

Đ nh lý đ i ng u

Đ nh lý 2.1. (Đ i ng u y u). N u x là m t nghi m ch p nh n đư c b t kỳ c a
(P1) và (u, v) là m t nghi m ch p nh n đư c b t kỳ c a (D1) thì f(x) ≤ g(u, v).
Ch ng minh. Nhân bên trái hai v c a ( 2.2) v i xT ≥ 0, ta có
cT x.dT u − dT x.cT u − xT AT v ≤ αdT x − βcT x

(2.4)

Nhân bên trái hai v c a (2.1) v i vT ≥ 0 và s d ng (2.3) ta nh n đư c
α.dT u − β.cT u ≤ −bT v ≤ −xT AT v

(2.5)

T (2.4) và (2.5) suy ra
cT x.dT u − dT x.cT u + α.dT u − β.cT u ≤ α.dT x − β.cT x.

nghĩa là
(cT x + α).(dT u + β) ≤ (cT u + α).(dT x + β).

Do đó
f (x) = cTx + α ≤ cTu + α = g(u, v).
T

T

d x+β

d u+β

H qu
2.1. N u x là m t nghi m ch p nh n đư c b t kỳ c a (P1) và (u, v)
là m t nghi m ch p nh n đư c b t kỳ c a (D1) sao cho f(x) = g(u, v) thì x là nghi m t i
ưu c a (P1) và (u, v) là nghi m t i ưu c a (D1).
Ch ng minh. Suy tr c ti p t Đ nh lý 2.1.
Đ nh lý 2.2. (Đ i ng u thu n). N u ˆ là m t nghi m t i ưu c a (P1) thì t n x
t i nghi m t i ưu (ˆ ,ˆ) c a (D1) sao cho f(ˆ) = g(ˆ ˆ).
uv

x

u, v

Ch ng minh. Đ t
λ = Tx

Xét quy ho ch tuy n tính
(P2)

cT ˆ + α .
d ˆ+β x

max{(cT ˆ + α) − λ(dT ˆ + β) : Ax ≤ b, x ≥ 0}.
x
x

Dinkelbach đã ch ng minh r ng cũng là m t nghi m t i ưu c a (P2) và giá tr t i ưu
c a hàm m c tiêu trong (P2) b ng 0. Xét bài toán đ i ng u c a (P2) và
ký hi u bài toán đó là (D2). Ta th y


15


bT v + (α − λβ) → min

(D2)
v i đi u ki n

AT v ≥ c − λd,
v ≥ 0, v ∈ Rm.

Gi s ˆ1 là m t nghi m c a (D2). Theo lý thuy t đ i ng u c a quy ho ch tuy n v
tính
bT ˆ1 + (α − λβ) = 0. v

(2.6)

Đ t ˆ = ˆ và ˆ = ˆ1(dT ˆ + β)

ux

vv

x

c.dT ˆ − d.cT ˆ − AT ˆ ≤ c.dT ˆ − d.cT ˆ − (c − λd)(dT ˆ + β)
u
u
v
x
x

x

= c.dT ˆ − d.cT ˆ − c(dT ˆ + β) + d(cT ˆ + α) = αd − βc
x
x
x
x

Nhân (2.6) v i (dT ˆ + β), ta đư c x
bT ˆ + α(dT ˆ + β) − β(cT ˆ + α) = bT ˆ + α.dT ˆ − β.cT ˆ
v
x
x
v
u

u.

Do đó, (ˆ ˆ) là m t nghi m ch p nh n đư c c a (D1). Do u, v
u
f ( ˆ) = T x
x
cT ˆ + α = cT ˆ + α = g(ˆ ˆ). u, v
d ˆ+α x
du Tˆ+α

nên theo H qu 2.1, (ˆ ˆ) là m t nghi m t i ưu c a (D1). u, v
Đ nh lý 2.3. (Đ i ng u đ o). N u (ˆ ˆ) là m t nghi m t i ưu c a (D1) thì t n u, v
t i nghi m t i ưu ˆ c a (P1) sao cho f(ˆ) = g(ˆ ˆ).
x

x

u, v

Ch ng minh. Đ t
λ = cT ˆ + α = g(ˆ ˆ). Tu
u, v
d ˆ+β u

Xét quy ho ch tuy n tính
(P3)

(cT u + α) − λ(dT u + β) → min

v i các đi u ki n
−c.dT u + d.cT u + AT v ≥ −αd + βc,

−α.dT u + β.cT u − bT v ≥ 0, u ≥ 0, v ≥ 0.


Dinkelbach đã ch ng minh r ng (ˆ ˆ) cũng là m t nghi m t i ưu c a (P3) và u, v
giá tr t i ưu c a hàm m c tiêu trong (P3) b ng 0. Xét bài toán đ i ng u c a
(P3) và ký hi u bài toán đó là (D3). Ta có
16


(−αd + βc)T y + (α − λβ) → max

(D3)
v i các đi u ki n

(−d.cT + c.dT )y(−αd + βc)µ ≤ c − λd,

(2.7)

Ay − bµ ≤ 0,

(2.8)

y ≥ 0, µ ≥ 0, y ∈ Rn, µ ∈ R.

Gi s (ˆ ˆ) là m t nghi m t i ưu c a (D3). T lý thuy t đ i ng u c a quy u, v
ho ch tuy n tính suy ra
−α.dT ˆ + β.cT ˆ + (α − λβ) = 0
y
y

(2.9)

Ta ch ra ˆ = 0. Th t v y, n u ˆ = 0 thì t (2.8) suy ra Aˆ ≤ 0, ˆ ≥ 0. Do gi thi t
µ

µ

y

y

S = ∅ nên t n t i x ∈ S sao cho Ax ≤ b, x ≥ 0. Khi đó, A(x + tˆ) ≤ b, x + tˆ ≥ 0
y

y

v i m i t > 0. Ch ng t x + tˆ ∈ S v i m i t > 0, ta g p mâu thu n n u ˆ = 0
y

y

b i vì S đư c gi thi t là b ch n.
N u c hai ˆ = 0 và ˆ = 0 thì t (2.9) suy ra α − λβ = 0. T (2.7) ta th y c ≥ λd.
µ

y

Gi s x là m t nghi m ch p nh n đư c b t kỳ c a (P1). Khi đó cT x ≥ λdT x và
α = λβ. T đó cT x + α ≥ λ(dT x + β), t c là f (x) ≥ λ. Nhưng theo Đ nh lý 2.1,
f (x) ≤ g(ˆ ˆ) = λ. Do đó f (x) = λ v i m i nghi m ch p nh n đư c x c a (P1). u, v

Đi u này kéo theo f đ ng nh t b ng h ng s trên S, trái v i gi thi t.
µ
y
V y ˆ > 0 (dù ˆ = 0 hay ˆ = 0). Đ t ˆ =
y

yˆ

x

ˆ
µ

. Đương nhiên ˆ ≥ 0 do ˆ ≥ 0. T
x

y

(2.8) cho th y Aˆ ≤ b. V y ˆ là nghi m ch p nh n đư c c a (P1).
x

x

Áp d ng đ nh lý v đ l ch bù c a quy ho ch tuy n tính vào c p bài toán ( P3)
và (D3), ta nh n đư c
cT ˆ.dT ˆ − dT ˆ.cT ˆ − (Aˆ)T ˆ − αdT ˆ + βcT ˆ = 0,
yu
yu
yv

y

(2.10)

y

αˆ T ˆ − β ˆ T ˆ + ˆ T ˆ = 0,
µd u
µc u µb v
−dT ˆ T ˆ + cT ˆ T ˆ − αˆ T ˆ + β ˆ T ˆ − cT ˆ + λdT ˆ = 0.
u.c y
u.d y
µ.d µ
µ.c u

(2.11)
u

u


(Aˆ)T ˆ − ˆ T ˆ = 0, y v µb v

(2.12)

C ng (2.10), (2.11) và (2.12) ta đư c
cT ˆ.dT ˆ − dT ˆ.cT ˆ − αdT ˆ + βcT ˆ + αˆ T ˆ − β ˆ T ˆ = 0
yu
yu
y

y
µ.d u
17

µ.c u


⇒ (cT ˆ + αˆ).(dT ˆ + β) = (dT ˆ + β ˆ).(cT ˆ + α).
y
µ
y
y
µ

u

T đó
cT ˆ + α ˆ = cT ˆ + α
y
µ
u
dy T ˆ + βˆ
du Tˆ+β
µ

Vì v y
f (ˆ) = cT ˆ + αˆ = cT ˆ + α = g(ˆ ˆ).
Ty
Tx
x

µ
d ˆ + βˆ
y
µ
d ˆ+β x

u, v

Theo H qu 2.1, là nghi m t i ưu c a bài toán (P1).
Chú ý 2.1. Đ nh lý đ i ng u đ o có th đư c suy tr c ti p t

đ nh lý đ i

ng u thu n. Th t v y, gi s (ˆ ˆ) là m t nghi m t i ưu c a (D1). Do S là t p u, v
compac nên (P1) ph i có nghi m t i ưu h u h n, ch ng h n . Theo đ nh lý đ i
ng u thu n, t n t i nghi m t i ưu (ˆ1, ˆ1) c a (D1) sao cho f(ˆ) = g(ˆ1, ˆ1). Do
uv

x

uv

đó
f (ˆ) = g(ˆ1, ˆ1) = g(ˆ ˆ).
x
uv
u, v

Chú ý 2.2. Ta không dùng đ n gi thi t t p S b ch n trong ch ng minh đ nh
lý đ i ng u y u và đ i ng u thu n. Ngay c trong đ nh lý đ i ng u đ o, ta có

th thay gi thi t này b ng gi thi t y u hơn như sau:
Ay ≤ 0, y ≥ 0 kéo theo y = 0.

Nh n xét 2.1. Bài toán (P1) tương đương v i bài toán (Q1) sau đây.
(Q1)
v i các đi u ki n

f (x) =

cT x+αxn+1
dT x+βxn+1

→ min

Ax ≤ b, xn+1, −xn+1 ≤ −1
x ≥ 0, xn+1 ≥ 0, x ∈ Rn, xn+1 ∈ R.

d ng này bài toán (P1) có cùng m t d ng như bài toán (LFP) đã đư c xét b i
Sharma và Swarup (xem [10], tr. 39).
Nh n xét 2.2. L y đ i ng u c a bài toán đ i ng u (D1) ta đư c bài toán (R1):
c T x+ α
→ max
(R1)
d T +β
v i các đi u ki n


c.dT z − c.dT x − d.cT z + d.cT x ≤ (αd − βc)(λ − 1),

α.dT z − α.dT x − β.cT z + β.cT x ≤ 0,

18


Az − λb ≤ 0,
x, z, λ ≥ 0, x, z ∈ Rn, λ ∈ R.

M t nghi m ch p nh n đư c b t kỳ c a (P1) cho m t nghi m ch p nh n đư c
c a (R1) n u ta ch n z = x và λ = 1. Hơn n a, hai giá tr m c tiêu là b ng nhau. Nhưng đi
u ngư c l i không đúng. Như v y, đ i ng u c a (D1) không tương đương v i (P1).
Nh n xét 2.3. Lý thuy t đ i ng u trên đây d n t i đi u ki n c n và đ đ
m t nghi m ch p nh n đư c x c a bài toán g c là nghi m t i ưu T ch ng minh đ nh
lý đ i ng u thu n và đ nh lý đ i ng u y u, d dàng th y r ng m t nghi m
ch p nh n đư c x c a (P1) là nghi m t i ưu c a (P1) khi và ch khi t n t i véctơ
v ≥ 0, v ∈ Rmsao cho
c.dT x − d.cT x − AT v ≤ αd − βc,

α.dT x − β.cT x − bT v ≤ 0.

Trong hai đi u ki n trên, đi u ki n đ u là đi u ki n c n t i ưu Karush-KuhnTucker (đi u ki n KKT) đ i v i bài toán (P1).

2.4

Ví d minh h a

• Bài toán g c:
f (x) = 3x1 ++3x2 + 2x3++11 → max 2x1

v i các đi u ki n

x2 + x3

2x1 + 5x2 + x3 ≤ 2,
x1 + 2x2 + 3x3 ≤ 3,
x1 ≥ 0, x2 ≥ 0, x3 ≥ 0.

L i gi i c a bài toán này là x1 = 0, x2 =
44
. Bài toán đ i ng u:
m c tiêu là fmax =
27

3

,x =
13 3

11
13

và giá tr t i ưu c a hàm

g(u, v) = 3u1 ++3u2 + 2u3++11 → min 2u1 u2

v i các đi u ki n

+ u3

−3u2 − u3 − 2v1 − v2 ≤ −1
3u1 + u3 − 5v1 − 2v2 ≤ −2,
19

u1 − u2 − v1 − 3v2 ≤ −1,
−u1 − 2u2 − u3 + 2v1 + 3v2 ≤ 0,
u1 ≥ 0, u2 ≥ 0, u3 ≥ 0, v1 ≥ 0, v2 ≥ 0.
3

,u =
13 3

L i gi i c a bài toán này là u1 = 0, u2 =
44
27

ưu c a hàm m c tiêu là gmin =
u1 = 0, u2 = 0, u3 =

17

,v =

10 1

u1 = 0, u2 =

17

, u = 0, v1 =

37 3

7
10
14

11

,v =

13 1

7

,v =
13 2

1
13

và giá tr t i

. M t nghi m t i ưu khác là:

, v2 =

1
10

và

,v =

2
37

.

37 2

Các k t qu này là t các Đ nh lý 2.2 và 2.3.
Tóm l i, chương này đã trình bày m t cách xây d ng bài toán đ i ng u c a bài toán
quy ho ch phân tuy n tính, các đ nh lý đ i ng u (y u, thu n và đ o) v m i quan h gi
a nghi m t i ưu c a bài toán g c và bài toán đ i ng u tương
ng.

20


Chương 3

QUY HO CH PHÂN TH C ĐA
M C TIÊU
Chương này trình bày m t s k t qu v quan h đ i ng u đ i v i bài
toán t i ưu phân th c đa m c tiêu, không l i. B ng cách dùng ti p c n c a
Dinkelbach [7], m i bài toán ban đ u đư c g n v i m t bài toán t i ưu l i, đa m c
tiêu trung gian. Sau đó, thi t l p bài toán đ i ng u c a bài toán t i ưu l i
này. Bài toán đ i ng u đư c phát bi u theo ngôn ng hàm liên h p c a hàm
t s và m u s c a các thành ph n m c tiêu, cũng như c a các hàm ràng bu c. Các
k t qu v đ i ng u y u, đ i ng u m nh và đ i ng u đ o đ i v i các bài toán l i, đa m c
tiêu trung gian cho phép rút ra các đ c trưng đ i ng u đ i v i các nghi m h u hi u c
a bài toán t i ưu phân th c, đa m c tiêu không l i ban đ u. N i dung c a chương đư

c tham kh o ch y u t các tài li u [2], [3] và [7].

3.1

Bài toán g c và bài toán tham s hóa

m c này chúng tôi phát bi u bài toán t i ưu phân th c đa m c tiêu (P), g i
là bài toán g c, và dùng cách tham s hóa c a Dinkelbach đ xây d ng bài toán
l i trung gian (Pµ), µ ∈ Rm, tương đương v i bài toán ban đ u. Ti p đó, chúng
tôi nh c l i các đ nh nghĩa khác nhau c a khái ni m nghi m h u hi u.
3.1.1

Bài toán g c

Trư c khi gi i thi u bài toán g c, ta hãy nh c l i đ nh nghĩa v quan h th t
trong Rm c m sinh b i nón th t Rm .

+

Đ nh nghĩa 3.1. V i hai véctơ y, z ∈ Rm, ta ký hi u y ≥ z n u

21