Bài toán quy hoạch tuyến tính đa mục tiêu

Mục lục
Mở đầu
Chơng I. Một số khái niệm cơ bản về giải tích lồi và bài toán qui hoạch tuyến
tính.
1.1 Một số khái niệm cơ bản .. ...................7
1.1.1 Tập afine . .. . ....................7
1.1.2 Tập lồi .. . .................8
1.1.3 Tập lồi đa diện .. ...............10
1.1.4 Điểm trong và điểm trong tơng tơng đối ..................13
1.1.5 Hàm lồi ....................15
1.1.6 Tính chất cực trị ...................15
1.2 Phơng pháp đơn hình giải bài toán qui hoạch tuyến tính ....................16
1.2.1 Mô hình toán học .................16
1.2.2 Mô tả hình học của phơng pháp đơn hình ..................18
1.2.3 Nghiệm cơ sở và phơng án cực biên..............................................18
1.2.4 Thuật toán đơn hình .................19
1.2.5 Công thức đổi cơ sở và bảng đơn hình .....................26
1.2.6 Vấn đề cơ sở cực biên và cơ sở xuất phát ... .................28
1.2.7 Đối ngẫu của qui hoạch tuyến tính..................................................29
1.3 Kết luận ...................................................................................................33
Chơng II. Bài toán qui hoạch tuyến tính đa mục tiêu.
2.1 Thế nào là bài toán tối u đa mục tiêu ..................34
2.2 Mô hình toán học và cấu trúc tập nghiệm .................39
1
2.2.1 Không gian với thứ tự từng
phần ...................40
2.2.2 Nghiệm hữu hiệu, nghiệm hữu hiệu yếu ..
.................41
2.3 Lý do giải bài toán qui hoạch tuyến tính đa mục tiêu trong không gian giá
trị .........................................................................................................................42
2.4 Kết luận.....................................................................................................43

Chơng III. Bài toán qui hoạch tuyến tính đa mục tiêu trong không gian giá trị.
3.1 Tơng đơng hữu hiệu ...................45
3.2 Cơ sở lý thuyết...........................................................................................47
3.2.1 Phơng pháp xấp xỉ ngoài .....................48
3.2.2 Bài toán tìm đỉnh của tập lồi đa diện .....................51
3.2.3 Phơng pháp phân hoạch đa diện thành các đơn hình ..................60
3.3 Thuật toán xấp xỉ ngoài .....................72
3.4 Kết luận ....................................................................................................75
Kết luận chung ................76
Phụ lục ...............77
Tài liệu trích dẫn... ..................109
2
Mở đầu
Trong những năm gần đây, các phơng pháp tối u hoá ngày càng đợc áp dụng
sâu rộng và hiệu quả vào các nghành kinh tế, kỹ thuật, công nghệ thông tin và các
nghành khoa học khác. Các phơng pháp tối u là công cụ đắc lực giúp ngời làm
quyết định có những giải pháp tốt nhất về định lợng và định tính.
Một trong những lớp bài toán tối u đầu tiên đợc ngiên cứu trọn vẹn cả về lý
thuyết lẫn thuật toán là bài toán qui hoạch tuyến tính (QHTT). Qui hoạch tuyến
tính ngay từ khi ra đời (vào cuối năm 30 của thế kỷ XX) đã chiếm vị trí quan trọng
trong tối u hoá. Mô hình tuyến tính là mô hình rất phổ biến trong thực tế vì sự phụ
phuộc tuyến tính là sự phụ thuộc đơn giản và dễ hiểu nhất. Hơn nữa, về mặt lý
thuyết chúng ta biết rằng có thể xấp xỉ với độ chính xác cao các bài toán phi tuyến
bởi dãy các bài toán qui hoạch tuyến tính. Nói cách khác, các thuật toán giải
QHTT là công cụ quan trọng trong việc nghiên cứu giải các bài toán phức tạp hơn.
Thuật toán đơn hình do Dantzig đề xuất từ 1947, đến nay vẫn là một phơng pháp đ-
ợc sử dụng rộng rãi. Mặc dù về lý thuyết đây là phơng pháp có độ phức tạp mũ.
Sau lớp bài toán qui hoạch tuyến tính, nhiều hớng nghiên cứu khác nhau xuất hiện
nh qui hoạch lồi, qui hoạch toàn cục và lý thuyết điều khiển tối u.
Bài toán qui hoạch đa mục tiêu cũng mới đợc phát triển và trở thành một

chuyên ngành toán học từ những năm 1950. Giải đáp những câu hỏi đặt ra mà qui
hoạch tuyến tính không giải đợc, chẳng hạn nh trong một công ty ngoài việc nâng
3
cao chất lợng sản phẩm thì công ty cũng chú trọng tới đa dạng hoá sản phẩm, già
thành rẻ, doanh thu lớn, Khách hàng khi chọn mua hàng thì muốn hàng rẻ, vừa
có chất lợng cao, vừa có hình thức đẹp. Tóm lại, mục đích của bài toán qui hoạch
tuyến tính đa mục tiêu là tối u đồng thời nhiều hàm mục tiêu độc lập với nhau trên
một miền chấp nhận đợc. Do không gian giá trị của lớp bài toán này không đợc sắp
thứ tự toàn phần, nên khái niệm nghiệm thông thờng không còn thích hợp. Trong
qui hoạch đa mục tiêu, cùng với khái niệm thứ tự từng phần, ta sẽ sử dụng khái
niệm nghiệm hữu hiệu.
Một phơng án chấp nhận đợc đợc gọi là nghiệm hữu hiệu nếu không tồn tại
một phơng án chấp nhận đợc khác tốt hơn nó, ít nhất là theo một mục tiêu, còn các
mục tiêu khác không tồi hơn.
Đầu thế kỷ XX, Pareto đã sử dụng khái niệm này khi ông nghiên cứu phúc
lợi và thu nhập của dân chúng. Ông đã lập luận nh sau: "Nếu thu nhập của một
nhóm dân c tăng lên, nhng thu nhập của một nhóm khác giảm xuống thì khi đó
không thể so sánh "phúc lợi" của toàn xã hội. Đó là trờng hợp không so sánh đợc.
Nhng có thể thấy rằng, phúc lợi xã hội sẽ tăng lên nếu thu nhập của ít nhất một
nhóm ngời nào đó lớn lên, còn thu nhập của những nhóm khác không thấp xuống".
Ta nhận thấy rằng, theo quan điểm của toán học, khái niệm nghiệm hữu hiệu mà
chúng ta dùng trong qui hoạch đa mục tiêu phù hợp với luận đề Pareto.
Khi
( )
2pp
hàm mục tiêu đều là hàm tuyến tính và miền ràng buộc là tập
lồi đa diện khác rỗng trong
n
R
, ta nhận đợc bài toán qui hoạch tuyến tính đa mục

tiêu. Cho tới nay, có rất nhiều thuật toán đa ra để xác định một phần hoặc toàn bộ
tập nghiệm hữu hiệu của bài toán, chẳng hạn: phơng pháp vô hớng hoá, phơng
4
pháp tham số, phơng pháp đơn hình đa mục tiêu và các dạng cải biên, phơng pháp
nón pháp tuyến...(xem [6, 7, 8-9, 12, 17, 19, 21-22, và 24-25]).
Tuy nhiên, khối lợng tính toán của các thuật toán này tăng nhanh khi kích
thớc của bài toán qui hoạch tuyến tính đa mục tiêu (tức số ràng buộc của miền
chấp nhận, số chiều của không gian quyết định và số hàm mục tiêu) tăng.
Trong những năm gần đây nhiều nhà toán học đã chuyển sang nghiên cứu
giải quyết bài toán qui hoạch tuyến tính đa mục tiêu trong không gian giá trị.
Trong báo cáo này, em sẽ trình bày thuật toán xấp xỉ ngoài giải bài toán qui hoạch
tuyến tính đa mục tiêu trong không gian giá trị của H.P. Benson, đó là nội dung bài
báo: "Hybrid Approach for Solving Multipe-Objective Linear Programs in
Outcome Space". Jota: Vol. 98, NO. 1, July, 1998.
Trong báo cáo này ngoài phần mục lục, mở đầu, phụ lục và tài liệu trích dẫn
còn có 3 chơng:
Chơng I: Một số khái niệm cơ bản về giải tích lồi và bài toán qui hoạch
tuyến tính.
Chơng II: Bài toán qui hoạch tuyến tính đa mục tiêu.
Chơng III: Bài toán qui hoạch tuyến tính đa mục tiêu trong không gian giá
trị.
Nội dung các chơng nh sau:
Chơng I: Giới thiệu một số kiến thức cơ bản về giải tích lồi để áp dụng cho
các phần sau, và phơng pháp đơn hình dùng để giải bài toán qui hoạch tuyến tính.
Chơng II: Giới thiệu tổng quát về bài toán qui hoạch đa mục tiêu: mô hình
toán học, khái niệm nghiệm hữu hiệu và hữu hiệu yếu, lý do giải bài toán qui
hoạch tuyến tính đa mục tiêu trong không gian giá trị.
5
Chơng III: Giới thiệu thuật toán xấp xỉ ngoài giải bài toán qui hoạch tuyến
tính đa mục tiêu trong không gian giá trị.

6
Chơng I
Một số khái niệm cơ bản về giải tích lồi và
bài toán qui hoạch tuyến tính.
Bài toán qui hoạch tuyến tính có vai trò trợ giúp quan trọng trong các bớc
giải bài toán qui hoạch tuyến tính đa mục tiêu. Trong chơng này, trớc hết em xin
nhắc lại một số khái niệm cơ bản sẽ cần dùng đến trong các phần sau. Phần tiếp
của chơng dành để trình bày phơng pháp đơn hình giải bài toán qui hoạch tuyến
tính.
1.1. Một số khái niệm cơ bản
1.1.1-Tập affine
* Đờng thẳng đi qua 2 điểm
n
Rb,a
là tập hợp tất cả các điểm x trong R
n
có dạng
R,b)1(ax +=

mọi với
.
* Một tập M chứa đờng thẳng đi qua 2 điểm bất kì của nó thì đợc gọi là tập
affine.
* Đoạn thẳng đi qua 2 điểm
n
Rb,a
kí hiệu là
[ ]
b,a
, là tập

{ }
10,b)1(ax:Rx
n
+=


.
* Chiều của tập M trùng với chiều của không gian con song song L với nó.
n
RaaML += với
* Cho một tập C bất kì, tập affine nhỏ nhất chứa C đợc gọi là bao affine của
C, kí hiệu aff C.
7
* Siêu phẳng là tập có dạng
{ }
{ }
R,0\Ra,x,a:RxH
nn
==

.
Ngợc lại, tập bất kì có dạng trên là một siêu phẳng.
Ví dụ 1.1.1
Trong không gian 2- chiều: siêu phẳng là một đờng thẳng, trong không gian
3- chiều: siêu phẳng là một mặt phẳng.
* Tập hợp tất cả các điểm
)x,...,x,x(x
n21
=
n

R
thoả mãn bất phơng trình
tuyến tính:
{ }
R,0\Ra,x,a
n


đợc gọi là nửa không gian đóng.
* Nửa không gian đợc cho bởi:
{ }
R,0\Ra,x,a
n
<

đợc gọi là
nửa không gian mở.
1.1.2- Tập lồi
* Một tập A trong không gian R
n
đợc gọi là tập lồi nếu
Ab,a
,
[ ]
1,0

thì
Ab)1(ax +=

.

Nói cách khác, nếu A là tập lồi thì nó chứa đoạn thẳng nối hai điểm bất kì của nó.
* Nếu
n
Rx
, x=

=
n
1i
i
i
x

,
0
i


,

=
=
n
1i
i
1

thì x đợc gọi là tổ hợp lồi của
nn21
Rx,...,x,x

.
8
Mệnh đề 1.1.1. Tập
n
RA
là lồi khi và chỉ khi nó chứa tất cả các tổ hợp lồi
của các phần tử thuộc A.
* Tập M

R
n
đợc gọi là một nón với đỉnh a nếu:
0,Mx

thì
x
=
M)ax(a +

.
Định lý 1.1.1 Tập lồi là đóng với phép giao, phép cộng, phép nhân với một số
và phép lấy tổ hợp tuyến tính. Nếu A và B là 2 tập lồi trong R
n
thì các tập sau
cũng là lồi:
(i)
{ }
Bx,Ax:x:BA =

(ii)

{ }
R,,Bb,Aa:bax:BA +==+

.
Dễ thấy, giao của một họ bất kỳ các tập lồi cũng là tập lồi.
Giao của tất cả các tập lồi chứa tập
n
RS
đợc gọi là bao lồi của tập S và kí
hiệu là convS. Rõ ràng, convS là tập lồi nhỏ nhất chứa S.
Ví dụ 1.1.2 Cho các tập A, B, C nh Hình 1.
Hình 1.
Theo định nghĩa
{ }
BAconvX =
,
convCY =
.
9
Định lý 1.1.2
Bao lồi của tập
n
RS
chứa tất cả các tổ hợp lồi của các phần tử của nó.
1.1.3- Tập lồi đa diện
* Tập lồi đa diện là giao của một số hữu hạn các nửa không gian đóng. Nói
cách khác, tập lồi đa diện là tập nghiệm của một hệ bất đẳng thức tuyến tính có
dạng
m,...,2,1i,bx,a
i

i
=
,
trong đó
,Ra
ni


Rb
i

.
* Một tập lồi đa diện là bao lồi của một số hữu hạn điểm và một số hữu hạn
đoạn thẳng.
* Một tập lồi đa diện bị chặn thờng đợc gọi là đa diện lồi.
* Một đa diện lồi là giao của một số hữu hạn điểm.

Cho tập lồi đa diện M, tập con MF đợc gọi là diện nếu:
.Fb,aFb)1(,10,Mb,a,Fx +=<<

ax
Nói cách khác, F là một diện của M nếu F chứa một điểm trong (hoặc điểm trong
tơng đối) của một đoạn thẳng nào đó của M thì F chứa trọn cả đoạn thẳng đó. Một
diện có thứ nguyên là 0 đợc gọi là một đỉnh hay điểm cực biên, cạnh là diện có thứ
nguyên bằng 1.
10
* Cho C là một tập lồi đa diện, một điểm
Cx
0

đợc gọi là điểm cực biên
(hay đỉnh) nếu nó không chứa bất kỳ một đoạn thẳng nào của C nhận
0
x
làm điểm
trong của đoạn thẳng đó, tức là không tồn tại 2 điểm phân biệt
Cb,a
sao cho
10b)1(ax
0
<<+=

với
.
Với tập lồi đa diện, một đỉnh của diện cũng chính là đỉnh của tập đó.
* Một tập hữu hạn n +1 điểm
nn10
Ru,...,u,u
đợc gọi là độc lập affine khi
và chỉ khi
0n0201
uu,...,uu,uu
là độc lập tuyến tính.
* Nếu n+1 điểm
nn10
Ru,...,u,u
là độc lập affine thì bao lồi của nó đợc
gọi là một n-đơn hình với các đỉnh
n10
u,...,u,u

.
Ví dụ 1.1.3
Trong mặt phẳng
2
R
đơn hình là một tam giác, Hình 2a.
Trong không gian
3
R
đơn hình là một tứ diện, Hình 2b.
a) b)
Hình 2.
11
* ảnh của tập lồi: Cho
n
RS
và ánh xạ
p
RS:f
. Khi đó nếu S là tập lồi
và f là ánh xạ tuyến tính thì ảnh f(S) của S qua ánh xạ f cũng là tập lồi. Nhắc lại
rằng, ma trận C cấp
( )
pm ì
chính là ánh xạ tuyến tính từ
pn
RR
.
Xét ánh xạ tuyến tính
pn

RR:C
, ta có định lý sau
Định lý 1.1.3. Nếu S là tập lồi đa diện thì C(S) cũng là tập lồi đa diện. Hơn
nữa, nếu S là đa diện lồi thì C(S) là bao lồi của ảnh các đỉnh của S.
Ví dụ 1.1.4 Cho
22
RRS:C

Cxx
,
trong đó







=
11
1
C

2
.
S là đa diện lồi với các đỉnh
( )
0,0v
1
= ,

( )
1,0v
2
= ,
( )
2,1v
3
= ,
( )
0,3v
4
= .
Khi đó
{ }
4321
z,z,z,zconv)S(C =
, với
( )
0,0Cvz
11
==
,
( )
1,2Cvz
22
==
,
( )
1,5Cvz
33

==
,
( )
3,3Cvz
44
==
.
Hình 3.
12
1.1.4- Điểm trong và điểm trong tơng đối
* Cho tập C bất kì, một điểm x gọi là điểm trong của C nếu
{ }
Cxx:Rx),x(:0
0
n
<=>

.
Tập hợp các điểm trong của tập C đợc kí hiệu là int C.
* Điểm x
0
đợc gọi là điểm trong tơng đối nếu
,CaffC),x(B:0
0
>

Kí hiệu: ri C là tập tất cả các điểm trong tơng đối của C.
Ví dụ 1.1.5
Cho tập
{ }

D,B,AconvC =
nh Hình 4.
A
x
2
, .
B D
Hình 4.
Theo định nghĩa:
Cintx
1

,
ABrix
2

.
* Giả sử C là tập lồi trong R
n
, véc tơ y

0 đợc gọi là hớng lùi xa của C nếu
0,Cx >

thì
Cyx +

.
Tập hợp tất cả các hớng lùi xa gọi là nón lùi xa, kí hiệu là rec C.
Định lí 1.1.4

13
.x
1
(i) Mọi tập lồi đa diện không chứa trọn một đờng thẳng đều có ít nhất một
đỉnh.
(ii) Mọi tập lồi đa diện A có đỉnh bằng tập hợp các x có dạng :


+=
Jj
j
j
i
Ii
i
dvx

,
trong đó :
0;,1
ji
Ii
i
=



, với mọi i, j còn
i
v

là các đỉnh, d
j
là phơng của
các cạnh vô hạn của A .
Định nghĩa 1.1.1
i) Ta nói hai tập con khác rỗng
n
RD,C
là đợc tách bởi siêu phẳng
{ }
{ }
R,0\Ra,x,a:RxH
nn
==

nếu
y,asupx,ainf
DyCx


.
ii) Hai tập
n
RD,C
đợc gọi là tách mạnh (tách hẳn, tách chặt) bởi siêu
phẳng
{ }
{ }
R,0\Ra,x,a:RxH
nn

==

nếu
y,asupx,ainf
DyCx
>>

.
Định lí 1.1.5. Cho A là một tập lồi đóng và
Ax
0

. Lúc đó tồn tại một siêu
phẳng tách hẳn A và x
0
.
1.1.5. Hàm lồi
14
* Một hàm f xác định trên tập lồi A đợc gọi là hàm lồi trên A, nếu
10,Ay,x


ta có:
)y(f)1()x(f)y)1(x(f

++
.
* Hàm f đợc gọi là lồi chặt nếu:
.10,Ay,x);y(f)1()x(f)y)1(x(f <<+<+

* Hàm f đợc gọi là lõm (lõm chặt) nếu f là lồi (lồi chặt ).
* Hàm f đợc gọi là tựa lồi trên A, nếu R

tập mức
{ }

)x(f:Ax
là tập lồi. Hàm f đợc gọi là tựa lõm nếu f là tựa lồi.
1.1.6 Tính chất cực trị
Cho
n
RD
và
RD:f
(không nhất thiết lồi) ta có định nghĩa
Định nghĩa 1.1.2
Một điểm
Dx
*

đợc gọi là cực tiểu địa phơng của f trên D, nếu tồn tại
một lân cận mở U của x
*
, sao cho UDx),x(f)x(f
*
.
Điểm x
*
đợc gọi là cực tiểu tuyệt đối của f trên D nếu

Dx),x(f)x(f
*

.
15
Định lí 1.1.7. Mọi điểm cực tiểu địa phơng của một hàm lồi trên một tập lồi đều
là điểm cực tiểu tuyệt đối .
Định lí 1.1.8. Cực đại của một hàm lồi (nếu có) trên một tập lồi có điểm cực
biên bao giờ cũng đạt tại một điểm cực biên .
1.2. Phơng pháp đơn hình giải bài toán qui hoạch tuyến tính:
Bài toán qui hoạch tuyến tính là bài toán tìm cực đại (hoặc cực tiểu) một
phiếm hàm tuyến tính trên một miền ràng buộc là một tập nghiệm của hệ bất đẳng
thức hoặc đẳng thức tuyến tính.
Cho đến nay, có nhiều thuật toán hữu hiệu để giải bài toán QHTT. Nhng
thuật toán đơn hình vẫn là một phơng pháp đợc sử dụng rộng rãi nhất. Trong mục
này em trình bày thuật toán đơn hình do Dintzig đề xuất từ năm 1947.

1.2.1 Mô hình toán học
Bài toán QHTT dạng tổng quát có dạng
xc,min
,
với điều kiện
( )
{ }
0x,b,,Ax:Rx:Dx
n
==
,
trong đó A là ma trận cấp
( )

nm ì
và
n
Rx,c
,
m
Rb
.
Trong nghiên cứu qui hoạch tuyến tính cũng nh trong thực tế, ngời ta thờng
dùng 2 dạng
16
* Dạng chính tắc
x,cmin
, (LP)
với điều kiện
{ }
0xbAx:Rx:Dx
n
== ,
.
* Dạng chuẩn tắc
x,cmin
,
với điều kiện
{ }
0xbAx:Rx:Dx
n
= ,
.
Nh đã biết, ta có thể dễ dàng chuyển một bài toán qui hoạch tuyến tính bất

kì về dạng chính tắc nhờ các phép biến đổi tơng đơng sau
* Một ràng buộc
i
n
1j
jij
bxa

=
,
có thể chuyển về dạng
i
n
1j
jij
bxa

=

bằng cách nhân 2 vế với 1.
* Một ràng buộc bất đẳng thức
i
n
1j
jij
bxa

=
,
có thể chuyển về

ii
n
1j
jij
buxa =+

=
với biến phụ
0u
i

.
Không giảm tính tổng quát, ở đây em xin trình bày phơng pháp đơn hình
giải bài toán qui hoạch tuyến tính dạng chính tắc (LP).
17
1.2.2 Mô tả hình học của phơng pháp đơn hình:
Xuất phát từ một điểm cực biên
0
x
của tập lồi đa diện ràng buộc D, các tr-
ờng hợp sau có thể xảy ra:
(i) Trên mọi cạnh của tập lồi đa diện xuất phát từ đỉnh
0
x
, hàm mục tiêu đều
không giảm. Do tính chất tuyến tính của hàm mục tiêu,
0
x
là một nghiệm
tối u.

(ii) Có một cạnh vô hạn theo đó hàm mục tiêu giảm. Khi đó hàm mục tiêu giảm
đến

theo cạnh này. Vậy bài toán không có nghiệm hữu hạn.
(iii) Mọi cạnh xuấ phát từ
0
x
, theo đó hàm mục tiêu giảm, đều là cạnh hữu hạn.
Đi theo một cạnh nh thế sẽ đến một đỉnh
1
x
, kề với
0
x
, tại đó hàm mục tiêu
có giá trị nhỏ hơn. Quá trình lặp lại với với đỉnh
1
x
.
Thuật toán đơn hình chính là sự mô tả ý tởng hình học trên.
1.2.3 Nghiệm cơ sở và phơng án cực biên.
Một đỉnh của tập lồi ràng buộc gọi là một phơng án cực biên. Do qui hoạch
tuyến tính có nghiệm tại phơng án cực biên, nên ngời ta quan tâm đến các tính chất
của một phơng án cực biên.
Trong trờng hợp tập lồi ràng buộc đợc cho bởi dạng chính tắc
{ }
0xbAx:Rx:Dx
n
== ,
, (1.2.0)

18
điều kiện cần và đủ để một điểm chấp nhận đợc là phơng án cực biên cho bởi mệnh
đề sau (xem chứng minh trong [2]).
Mệnh đề 1.2.1. Cho
( )
n21
x,...,x,xx =
thỏa mãn (1.2.0). Cho
{ }
0x:jJ
j
>=
.
Điều kiện cần và đủ để x là một phơng án cực biên là các véc tơ
{ }
Jj:A
j

là
độc lập tuyến tính.
Giả sử x là phơng án cực biên. Đặt
{ }
0x:jJ
j*
>=
. Theo Mệnh đề 1.2.1 các
véc tơ
( )
*j
JjA

là độc lập tuyến tính. Cho
*
JJ
sao cho
{ }
Jj:A:B
j
=
là
một cơ sở của A. Tức là véc tơ này độc lập tuyến tính và nếu thêm bất kỳ
Ji,A
i


vào B thì hệ thu đợc sẽ phụ thuộc tuyến tính.
Véc tơ x gọi là nghiệm cơ sở, B là cơ sở, J là tập chỉ số cơ sở của x. Các
biến
Jj,x
j

, các véc tơ
{ }
Jj:A
j

đợc gọi là biến cơ sở và véc tơ cơ sở. Các
biến và các véc tơ còn lại đợc gọi là biến phi cơ sở và véc tơ phi cơ sở.
Từ Mệnh đề 1.2.1, thì ta thấy rằng mỗi một nghiệm cơ sở chỉ ứng với một
phơng án cực biên. Tuy nhiên một phơng án cực biên có thể ứng với nhiều nghiệm
cơ sở. Một phơng án cực biên đợc gọi là không thoái hóa nếu nó ứng vừa đúng

một nghiệm cơ sở. Một tập lồi gọi là không thoái hoá, nếu mọi phơng án cực biên
(đỉnh) của nó không thoái hoá.
1.2.4 Thuật toán đơn hình
19
Giả sử ta đã có một phơng án cực biên x. Gọi J là tập chỉ số cơ sở của x. Do
hệ
{ }
Jj:A
j

là 1 cơ sở, nên mọi cột
Jk,A
k

đều là một tổ hợp tuyến tính của
véc tơ
j
A
(
Jj
). Tức là tồn tại các số thực
jk
z
sao cho:



=
Jj
jjkk

AzA
(1.2.1)
Do x là nghiệm cơ sở với tập chỉ số cơ sở J, nên
Ji,0x
i
=
.
Vậy:



=
Jj
jj
bAx
(1.2.2)
Giá trị hàm mục tiêu là:



==
Jj
jj
T
0
xcxc:z
(1.2.3)
đặt

=
Jj
jjkk
cz:z
(1.2.4)

kkk
cz =

(1.2.5)
Chú ý rằng
0
k
=

nếu
Jk
. Ta sẽ gọi
k

là các ớc lợng của phơng án cực biên
(nghiệm cơ sở của x).
Ta có thể viết các công thức trên dới dạng ma trận. Giả sử đã có tập cơ sở J.
Ta đa vào các kí hiệu sau:
j
A
: ma trận có các cột thuộc cơ sở J (ma trận cơ sở).
Jk
Z

: véc tơ cột có các tọa độ
jk
z
,
Jj
J
c
: véc tơ cột có các toạ độ
Jj,c
j


J
x
: véc tơ cột có các toạ độ
Jj,x
j

(1.2.1)


k
1
JJkJkJk
A.AZZAA

==
(1.2.1)
20
(1.2.2)

b.AxbxA
1
JJJJ

==
(1.2.2)
(1.2.3)


kJkJk
cZc =

kk
1
JJ
cAAc =

(1.2.3)
Nh vậy nếu tính đợc ma trận nghịch đảo
1
J
A

thì ta tính đợc các đại lợng
kJJk
,x,z

.Ta xét điều kiện đủ để x là một nghiệm tối u:

Định lí 1.2.1
Nếu
Jk,0
k


thì phơng án cực biên x là nghiệm tối u.
Chứng minh :
Lấy một phơng án chấp nhận bất kì y. Khi đó ta có:

k,0y,bAy
k
n
1k
kk
=

=
(1.2.6)
Giá trị hàm mục tiêu là:

=
=
n
1k
kk
yc:z
(1.2.7)
do

kk
cz


=

n
1k
kk
yzz
(1.2.8)
Thay A
k
từ (1.2.1) vào (1.2.6) ta có:
bAzy
j
Jj
jk
n
1k
k
=







=

hay:


=






Jj
jjkk
bAzy
(1.2.9)
21
Do x là phơng án cực biên, nên
bAxJj,0x
Jj
jjj
==


. Do các véc tơ
( )
Jj,A
j

độc lập tuyến tính nên từ đây và (1.2.9)
Jj,zyx
n

1k
jkkj
=

=
.
Vậy:

= = =
==






=
Jj
n
1k
n
1k
kkkjkj
Jj Jj
n
1k
jkkjjj
yzyzczycxc
.
So sánh với (1.2.8)

Jj
jj
xcz
. Do y là 1 điểm chấp nhận bất kì, nên x là
nghiệm tối u.
Trong trờng hợp
0
k
>

với một k nào đó, ta có thể chuyển qua một cơ sở
mới. Trong nhiều trờng hợp (ví dụ nh tập lồi đa diện không thoái hoá) nghiệm cơ
sở ứng với cơ sở mới này sẽ cho giá trị tốt hơn. Ta có định lí sau:
Định lí 1.2.2
Cho x là một nghiệm cơ sở với cơ sở B. Khi đó:
(i) Nếu
0:k
k
>

và
Jj,0z
jk

thì bài toán không có nghiệm hữu hạn.
(ii) Nếu
0

k
>

, đều có
0z
jk
>
với một
Jj
, thì tìm đựơc một cơ sở x
1
ứng
với cơ sở B
1
thoả mãn
xcxc
T1T

.
Chứng minh:
Gọi J là tập chỉ số cơ sở của x. Do x là nghiệm cơ sở nên



=
Jj
jj
bAx
(1.2.10)
Theo định nghĩa của

jk
z
ta có
22


=
Jj
jjkk
AzA
.
Nhân hai vế với
0

, ta đợc


=
Jj
jjkk
AzA

.
Lấy (1.2.10) trừ đi ta có:



=+
Jj
kjjkj

bAA)zx(

(1.2.11)
Lấy véc tơ x
1
có các toạ độ đợc cho bởi:






+

=
0
zx
zx
x
kkk
jkj
1
j


,
nếu
nếu
nếu

Jj
kj
Jj

=

(1.2.12)
(i) Do
0và,Jj,0z
jk
><

, nên x
1

0, với mọi
0

. Vậy x
1
là phơng án
chấp nhập đợc với mọi 0

. Giá trị hàm mục tiêu tại x
1
là:


+=+=
Jj Jj Jj

kjjkjjkjjkj
1T
cczcxcc)zx(xc

.
Do


=
Jj
jjkjk
czz
,
ta có:
k
T
kk
T1T
xc)cz(xcxc

==
.
Cho
+

ta thấy hàm mục tiêu giảm đến

. Điều đó chứng tỏ trong trờng
hợp này bài toán không có nghiệm hữu hạn.
ii) Chọn

sao cho x
1
định nghĩa theo (1.2.12) chấp nhận đợc, do (1.2.11)
đúng với mọi

, nên chỉ cần chọn

sao cho
Jj,0x
1
j

. Gọi J
1
là tập chỉ số
23
0z:Jj
jk
>
, theo giả thiết
0J
1

. Rõ ràng với
0,0x,Jj
1
j

. Đối với
1
Jj
chọn:

{ }
rkr1jkj
z/xJj:z/xmin ==

(1.2.13)
(r là chỉ số cơ sở đạt min), và
}Jj:A{B
1j
=

với
{ } { }
)kr\J(J =

. Theo đại
số tuyến tính do


=
Jj
jjkk
AzA
và
0z
jk

nên B

là một hệ độc lập tuyến tính. Ngoài
ra theo cách chọn

, ta có
0x
j


và
0x
r
=

. Vậy
x

là một nghiệm cơ sở của
B

.
Đối với hàm mục tiêu, tơng tự nh trên, ta có:

k
T
kk
TT
xc)cz(xcxc

==

. (1.2.14)
Nhận xét:
Qua chứng minh này, ta thấy rằng, nếu x
r
=0 thì chọn

theo (1.2.13) khi đó
theo (1.2.12) x

=x và do đó
xcxc
T'T
=
. Nh vậy trờng hợp này nghiệm cơ sở không
thay đổi, chỉ có cơ sở thay đổi. Tức là nghiệm cơ sở x ứng với với hai cơ sở B và B

(x thoái hoá). Nếu

>0, thì theo (1.2.14)
xcxc
T'T
<
, do đó
xx
'

. Hiển nhiên

theo (1.2.13), nếu x
j
>0 với mọi
Jj
thì

>0. Tuy nhiên

có thể dơng ngay cả
khi x
j
=0 với một chỉ số
Jj
, bởi vì có thể với các chỉ số này
0z
jk

.
Trong chứng minh phần (ii), ta lấy k là một chỉ số bất kì, miễn sao
0
k
>

.
Nếu có nhiều chỉ số thoả mãn điều kiện này, thì dĩ nhiên chọn k sao cho hàm mục
tiêu giảm nhanh nhất . Tức là theo (1.2.14) chọn k sao cho
k

lớn nhất. Dựa vào
định lí trên, thuật toán đơn hình đợc tiến hành theo các bớc sau.

24
Thuật toán đơn hình:
Giả sử bài toán qui hoạch tuyến tính
min
x,c
với điều kiện
{ }
0xbAx:Rx:Dx
n
== và
(1.2.15)
và ta đã biết một phơng án cực biên x
0
.
Bớc 1: Chọn một cơ sở
}Jj:A{B
j
=
của x
0
.
a) Với mỗi
Jk
tính z
jk
bằng cách giải hệ phơng trình tuyến tính sau:



=

Jj
jjkk
AzA
(1.2.16)
b) Tính các ớc lợng:
)Jk(,ccz:
k
Jj
jjkk
=



.
Bớc 2:
Nếu
k,0
k


thì x
0
là nghiệm tối u của (2.2.15). Thuật toán kết thúc.
Tồn tại k sao cho
0
k
>

. Phân biệt 2 trờng hợp:
b1) Tồn tại

0
k
>

và
Jj,0z
kj

: bài toán không có nghiệm hữu hạn. Thuật
toán kết thúc.
b2) ứng với
0
k
>

đều tồn tại
0z
jk
>
với một
Jj
. Chọn s sao cho
0
s
>

.
(Để hàm mục tiêu giảm nhanh thờng chọn s sao cho
s

lớn nhất).
25