Luận văn luật số lớn đối với martingale trên trường ngẫu nhiên
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (967.76 KB, 108 trang )
Đ I H C QU C GIA HÀ N I
TRƯ NG Đ I H C KHOA H C T NHIÊN
KHOA TOÁN - CƠ - TIN H C
PH M TH THU PHƯƠNG
LU T S L N Đ I V I MARTINGALE
TRÊN TRƯ NG NG U NHIÊN
LU N VĂN TH C SĨ KHOA H C
Chuyên ngành: Lý thuy t xác su t và th ng kê toán h c
Mã s : 60 46 01 06
Ngư i hư ng d n khoa h c
GS.TSKH. Nguy n Duy Ti n
HÀ N I - 2015
M cl c
L i c m ơn
3
M đu
4
M t s kí hi u
7
1 Ki n th c chu n b
9
1.1 Kì v ng có đi u ki n . . .
1.1.1 Đ nh nghĩa . . . .
. ..........
....
..
. ..........
....
..
9
91.1.2 M t s tính ch t cơ
b
đi u ki
n
9
1.2 Dãy martingale . . . . . .
. ..........
....
..
12
1.2.1 Đ nh nghĩa . . . .
. ..........
....
..
12
1.2.2 Các tính ch t . . .
. ..........
....
..
14
c a kì v ng có
n
2 Trư ng martingale
2.1 Trư ng martingale tr c giao . . . .
. . . . . . . . . . . .
24
24
2.1.1 Đ nh nghĩa và ví d . . . . .
. . . . . . . . . . . .
24
2.1.2 Các b t đ ng th c cơ b n .
. . . . . . . . . . . .
27
2.1.3 σ-trư ng t nhiên tr c giao
. . . . . . . . . . . .
31
2.1.4 Khái ni m h i t . . . . . .
. . . . . . . . . . . .
33
2.2 Trư ng martingale . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .
40
2.2.1 Đ nh nghĩa . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . .
40
2.2.2 M t s tính ch t . . . . . .
. . . . . . . . . . . .
41
3 Lu t s l n
3.1 Lu t y u s l n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1
46
46
3.2 Lu t m nh s l n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Tài li u tham kh o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2
55
64
L i c m ơn
Trư c khi trình bày n i dung chính c a khóa lu n, em xin g i l i c m ơn
sâu s c t i GS.TSKH. Nguy n Duy Ti n ngư i đã t n tình hư ng d n đ em
có th hoàn thành khóa lu n này.
Em cũng xin bày t lòng bi t ơn chân thành t i toàn th các th y cô giáo
trong khoa Toán - Cơ - Tin h c, Đ i h c Khoa H c T Nhiên, Đ i H c Qu c
Gia Hà N i đã d y b o em t n tình trong su t quá trình h c t p t i khoa.
Nhân d p này em cũng xin đư c g i l i c m ơn chân thành t i gia đình,
b n bè đã luôn bên em, c vũ, đ ng viên, giúp đ em trong su t quá trình
h c t p và th c hi n khóa lu n t t nghi p.
Hà N i, Ngày 17 tháng 12 năm 2015
H c viên
Ph m Th Thu Phương
3
M đu
Xác su t là m t b ph n c a toán h c nghiên c u các hi n tư ng ng u
nhiên. Lý thuy t xác su t nh m tìm ra nh ng quy lu t trong nh ng hi n tư
ng "tư ng ch ng" như không có quy lu t. M t trong nh ng hi n
tư ng ng u nhiên đang đư c nghiên c u và ngày càng tr thành công c
toán h c quan tr ng trong các lĩnh v c c a xác su t và gi i tích đó là lý
thuy t v martingale.
Martingale b t đ u t trò chơi. đây trò chơi đư c hi u theo nghĩa r ng:
như chơi bài, mua s s , đánh s đ , c phi u hay b v n đ u tư ...
Khi b t đ u cu c chơi, ngư i chơi có v n là M0, thông tin ban đ u mà
ngư i chơi bi t đư c là Φ0. Sau ván chơi th nh t, v n c a ngư i chơi s là bi
n ng u nhiên M1, và thông tin sau ván chơi th nh t s tăng lên:Φ0 ⊂ Φ1. Ti
p t c chơi các ván th hai, v n sau khi chơi ván hai s
là bi n ng u nhiên M2 và thông tin bây gi s tăng lên:F0 ⊂ F1 ⊂ F2.
B ng cách đó, ti n v n s có sau ván th n là bi n ng u nhiên Mn, và
thông tin sau khi chơi ván th n là Fn. Như v y, v n c a ngư i chơi và
thông tin thu th p đư c l p thành dãy {Mn, Fn}. V phương di n toán h c, ta
có th xem Fn là dãy σ − trư ng không gi m, và dãy Mn là bi n ng u nhiên ph
thu c vào Fn − đo đư c.
-Trò chơi đư c xem là không thi t h i ho c công b ng:
V n ván sau = v n ván trư c
E (Mn+1|Φn) = Mn đư c g i là martingale
-Trò chơi đư c xem là thi t h i:
4
V n ván sau ≤ v n ván trư c
E (Mn+1|Φn) ≤ Mn đư c g i là martingale trên
-Trò chơi đư c xem là có l i:
V n ván sau ≥ v n ván trư c
E (Mn+1|Φn) ≥ Mn đư c g i là martingale dư i
Th i gian đ u tiên ngư i chơi đ t đư c m c đích đ t ra đư c g i là th i đi
m d ng.
Lý thuy t martingale là m t mô hình toán h c quan tr ng có nhi u
ng d ng trong th ng kê, phương trình vi phân, toán kinh t . Đ c bi t, g n
đây đã có nhi u ng d ng thú v trong ch ng khoán, thu hút khá nhi u nhà
toán h c quan tâm. V phương di n xác su t, martingale là s m r ng c a t
ng các bi n ng u nhiên đ c l p kì v ng không.
Các đ nh lý gi i h n đóng vai trò quan tr ng trong lý thuy t xác su t,
chúng đư c ví như nh ng viên ng c c a xác su t, Kolmogorov đã t ng nói
"Giá tr ch p nh n đư c c a lý thuy t xác su t là các đ nh lí gi i h n, các k t
qu ch y u nh t và quan tr ng nh t c a lý thuy t xác su t là các lu t s l n".
Lu n văn trình bày v lu t s l n cho Martingale v i ch s nhi u chi u. Lu
n văn đ c p t i khái ni m v trư ng Martingale, trư ng hi u Martingale, ch
ng minh các b t đ ng th c Doob c a trư ng hi u Mar- tingale, ch ng minh
các đ nh đ nh lí v lu t m nh s l n và lu t y u s l n cho trư ng hi u
Martingale.
B c c lu n văn bao g m:
Chương 1. Ki n th c chu n b .
G m các khái ni m cơ b n v xác su t và gi i thi u khái quát v kì v ng có
đi u ki n, martingale m t ch s v i th i gian r i r c g m có các b t đ ng th c
cơ b n, b t đ ng th c Doob và đ nh lý Doob v s h i t c a martingale.
Chương 2. Trư ng martingale .
G m 2 ph n:
5
Ph n 1:Gi i thi u v martingale g m: khái ni m martingale tr c giao,
các b t đ ng th c cơ b n, các đ nh lý h i t Cairoli v s h i t c a martingale
tr c giao.
Ph n 2: D a trên lý thuy t c a martingale m t ch s và martingale tr c
giao chúng ta s đưa ra khái ni m v trư ng martingale, m i liên h gi a
martingale tr c giao và martingale. Qua đó th a nh n các k t qu v b t đ
ng th c và tính h i t c a martingale đã xây d ng v i martingale tr c giao,
trư ng h u martingale . . . Chương 3. Lu t s l n .
G m 2 ph n:
Ph n 1: Lu t y u s l n
M t s đ nh lý quan trong. Ph n
2: Lu t m nh s l n M t s đ nh lý
quan tr ng.
6
M t s kí hi u
(Ω, Φ, P) : không gian xác su t.
R : trư ng các s th c
N : trư ng các s t nhiên
I : hàm ch tiêu.
Β : t p Borel.
Φ : σ − đ i s tương thích. Γ :σ−đ
is.
E : kì v ng.
L1 : t p các bi n ng u nhiên kh tích trên(Ω, Φ , P).
L1 : t p t t c các hàm kh tích c p 1 trên đo n [0, 1]
L2 : t p t t c các hàm kh tích c p 2 trên đo n [0, 1]
7
Kí hi u vi t t t.
h.c.c : h u ch c ch n.
LM SL : lu t m nh s l n.
α = (α1, ..., αd)
1 = (1, 1, ..., 1) ∈ Nd
n = (n1, ..., nd)
m = (m1, ..., md)
m
n : m1 ≥ n1, m2 ≥ n2, ..., md ≥ nd
m
n:m
n, m = n
d
|n| =
α
|n | =
i=1
d
i=1
ni
n
α
ii
Nd := {n = (n1, ..., nd)|ni ∈ N}
Zd := {n = (n1, ..., nd)|ni ∈ Z}
8
Chương 1
Ki n th c chu n b
1.1
1.1.1
Kì v ng có đi u ki n
Đ nh nghĩa
Đ nh nghĩa 1.1.1. Gi s (Ω, Φ, P) là không gian xác su t; X : Ω −→ R, E|X|
< ∞ là bi n ng u nhiên và Γ là σ-đ i s con c a Φ . Khi đó,
bi n ng u nhiên Y đư c g i là kì v ng có đi u ki n c a X đ i v i σ-đ i
s Γ n u:
• Y là bi n ng u nhiên Γ-đo đư c.
• V i m i A ∈ Γ ta có:
Y dP =
A
XdP.
A
Γ
Ta kí hi u Y = E(X|Γ) hay Y = E X.
1.1.2
M t s tính ch t cơ b n c a kì v ng có đi u ki n
Gi s (Ω, Φ, P) là không gian xác su t, các bi n ng u nhiên đ u có kì v ng, Γ
là σ-đ i s con nào đó c a Φ.
Đ nh lý 1.1.1. N u X = c (h ng s ) thì:
E(X, Γ) = E(c|Γ) = c
9
(h.c.c.)
Ch ng minh. Đ t Y = c. Khi đó Y ∈ Γ và v i ∀A ∈ Γ.
Y dP =
A
cdP =
XdP
A
A
Do đó: Y = c = E(c|Γ).
Đ nh lý 1.1.2. N u X ≥ Y (h.c.c.) thì E(X|Γ) ≥ E(Y |Γ) (h.c.c.)
Ch ng minh. Đ t Z = E(X|Γ); T = E(Y |Γ)
Khi đó: Z ∈ Γ; T ∈ Γ và v i ∀A ∈ Γ, ta có
XdP ≥
ZdP =
A
Y dP =
A
A
T dP
A
T đó suy ra:
ZdP ≥
T dP
A
A
Do đó: E(X|Γ) ≥ E(Y |Γ) (h.c.c.)
Đ nh lý 1.1.3. V i m i h ng s a, b ta có
E(aX + bY |Γ) = aE(X|Γ) + bE(Y |Γ).
Ch ng minh. Đ t Z = E(X|Γ); T = E(Y |Γ)
Khi đó: Z ∈ Γ; T ∈ Γ do đó (aZ + bT ) ∈ Γ
M t khác, v i ∀A ∈ Γ ta có:
(aZ + bT )dP = a
A
ZdP +
A
=a
T dP
A
XdP + b
A
Y dP =
A
(aX + bY )dP
A
Suy ra, E(aX + bY |Γ) = aE(X|Γ) + bE(Y |Γ).
Đ nh lý 1.1.4. N u X và Γ đ c l p thì E(X|Γ) = EX.
10
Ch ng minh. Đ t Y = EX. Khi đó, Y ∈ Γ
Vì v i ∀B ∈ Β(R) ta có:
Y
−1
=
∅ EX ∈ Β /
Ω EX ∈ Β.
M t khác, v i ∀A ∈ Γ ta có X và IA đ c l p
Do đó
Y dP = EXdP = EX dP = P(A)EX
A
A
A
L i có
XdP =
A
XIAdP = E(XIA) = E(X).E(IA)
Ω
Vy
Y dP =
A
XdP
A
Do đó:
E(X|Γ) = E(X).
Đ nh lý 1.1.5.
E[E(X|Γ)] = EX.
Ch ng minh. Vì Ω ∈ Γ nên ta có:
E[E(X|Γ)] =
E(X|Γ)dP =
Ω
XdP = EX.
Ω
Đ nh lý 1.1.6. N u X là Γ-đo đư c thì E(X|Γ) = X
(h.c.c.)
Ch ng minh. Theo gi thi t ta có Y, X ∈ Γ. M t khác, ∀A ∈ Γ ta có
Y dP =
A
XdP
A
Do đó:
E(X|Γ) = X.
11
Đ nh lý 1.1.7. N u Γ1 ⊂ Γ2 thì
E(X|Γ1) = E[E(X|Γ1)|Γ2] = E[E(X|Γ2)|Γ1].
Ch ng minh. Đ t Y = E(X|Γ1); Z = E(X|Γ2).
Khi đó, E(Y |Γ2) = Y và Y = E(Z|Γ1)
Th t v y, Y = E(X|Γ1) ⇒ Y ∈ Γ1 nên Γ1 ⊂ Γ2
Theo đ nh lý 1.1.6, ta có Y = E(Y |Γ2)
M t khác, ∀A ∈ Γ1 thì A ∈ Γ2 nên ta có
Y dP =
A
XdP =
A
ZdP
A
Do đó: Y = E(X|Γ1) = E[E(X|Γ1)|Γ2] = E[E(X|Γ2)|Γ1].
1.2
1.2.1
Dãy martingale
Đ nh nghĩa
Đ nh nghĩa 1.2.1. Gi s (Ω, Φ, P) là không gian xác su t, (Xn, n ∈ N) là dãy bi
n ng u nhiên, (Φn, n ∈ N) là dãy tăng các σ-đ i s . Khi đó
dãy (Xn, Φn, n ∈ N) đư c g i là:
1) martingale n u:
(i) Xn là đo đư c đ i v i Φn, n ∈ N.
(ii) E|Xn| < ∞, ∀n ∈ N.
(iii) V i m, n ∈ N; m ≤ n: E(Xn|Φm) = Xm (h.c.c.)
2) martingale trên n u:
(i) Xn là đo đư c đ i v i Φn, n ∈ N.
(ii) E|Xn| < ∞, ∀n ∈ N.
(iii') V i m, n ∈ N; m ≤ n: E(Xn|Φm) ≤ Xm (h.c.c.)
3) martingale dư i n u:
(i) Xn là đo đư c đ i v i Φn, n ∈ N.
(ii) E|Xn| < ∞, ∀n ∈ N.
(iii") V i m, n ∈ N; m ≤ n: E(Xn|Φm) ≥ Xm (h.c.c.)
4) hi u martingale n u:
12
(i) (Xn, Φn, n ∈ N) là dãy phù h p.
(ii) E|Xn| < ∞, ∀n ∈ N.
(iii"') V i m, n ∈ N; m < n: E(Xn|Φm) = 0
(h.c.c.)
Chú ý 1.2.1. T đ nh nghĩa kì v ng có đi u ki n, ta có:
Đi u ki n (iii) tương đương v i
X n dP =
XmdP,
∀A ∈ Φm, m ≤ n.
XmdP,
∀A ∈ Φm, m ≤ n.
XmdP,
∀A ∈ Φm, m ≤ n.
A
A
Đi u ki n (iii') tương đương v i
XndP ≤
A
A
Đi u ki n (iii") tương đương v i
XndP ≥
A
A
Đ nh nghĩa v martingale tương đương v i
Đ nh nghĩa 1.2.2. Gi s N = {0, 1, ..., d}, (Ω, A, P) là không gian xác
su t, Φ0 ⊂ Φ1 ⊂ ... ⊂ Φn ⊂ Φn+1 ⊂ A. Khi đó, {Xn, Φn, n ∈ N} là:
1) martingale n u:
(i) Xn ∈ Φn, ∀n ∈ N.
(ii) E|Xn| < ∞, ∀n ∈ N.
(iii) V i n = 1, 2, ...
E(Xn|Φn−1) = Xn−1
(h.c.c.)
2) martingale trên n u: có các đi u ki n (i), (ii) và (iii') và v i n = 1, 2, ...
E(Xn|Φn−1) ≤ Xn−1 (h.c.c.)
3) martingale dư i n u: có các đi u ki n (i), (ii) và (iii") và v i n =
1, 2, ...
E(Xn|Φn−1) ≥ Xn−1 (h.c.c.)
13
Đ nh nghĩa 1.2.3. Martingale chính quy
Ta nói r ng {Xn, Φn, n ∈ N} là martingale chính quy, n u t n t i bi n
ng u nhiên X v i E|X| < ∞ sao cho
∀n ∈ N.
Xn = E(X|Φn),
Chú ý 1.2.2. Trong trư ng h p th i gian h u h n: n = 0, 1, ..., d m i
martingale {Xn, Φn, n = 0, 1, ..., d} là chính quy, vì
Xn = E(Xd|Φn),
∀n = 0, 1, 2, ..., d.
Đ nh nghĩa 1.2.4. Martingale bình phương kh tích
Cho M = {Mn, Φ, n ∈ N} là martingale bình phương kh tích, t c là:
E|Mn|2 < ∞ v i ∀n ∈ N.
Không m t tính t ng quát, ta có th gi thi t M0 = 0, vì n u c n
ta s xét Mn − M0 thay cho Mn. Khi đó, M2 = {Mn2, Φn, n ∈ N} là
martingale dư i.
Ta vi t khai tri n Doob c a nó dư i d ng:
M 2 = mn+ < M > n
trong đó m = {mn, Φn, n ∈ N} là martingale, và
< M >= {< M >n, Φn−1, n ∈ N}
là dãy tăng d báo đư c. Ta g i < M > là bi n phân bình phương (ho c
đ c trưng bình phương) d báo đư c c a M.
Ta có:
< M >n+1 − < M >n= [E(Mn2+1|Φn) − Mn2] = E[(∆Mn+1)2|Φn],
và n u M0 = 0 thì
1.2.2
E Mn 2 = E < M > n .
Các tính ch t
Tính ch t 1.2.1. N u X = {Xn, Φn, n ∈ N} là martingale, thì hàm
trung bình EXn không ph thu c n ∈ N.
14
Th t v y, v i m ≤ n ta có:
EXm = E(E(Xn|Φm)) = EXn.
Tính ch t 1.2.2. N u X = {Xn, Φn, n ∈ N} là martingale dư i, thì
hàm trung bình EXn không gi m theo n ∈ N.
Th t v y, v i m ≤ n ta có: EXm ≤ E(E(Xn|Φm)) = EXn.
Tính ch t 1.2.3. N u X = {Xn, Φn, n ∈ N} là martingale, thì hàm
trung bình E|Xn|p, 1 ≤ p < ∞ không gi m theo n ∈ N.
Th t v y, do |x|p, 1 ≤ p < ∞ là hàm l i, nên {|Xn|p, Φn, n ∈ N} là
martingale dư i.
Vì th , t tính ch t (1.2.2) suy ra tính ch t (1.2.3).
Đ nh lý 1.2.1. N u {|Xn|p, Φn, n = 0, ..., d} là martingale dư i, thì v i
m i λ ∈ R, (λ > 0)
λP
λP
max |Xn| > λ ≤ E XdI
max |Xn| > λ
0≤n≤d
0≤n≤d
max |Xn| > −λ ≤ −EX0 + E XdI
≤ EXd+
≤ EXd+.
min |Xn| > −λ
0≤n≤d
0≤n≤d
Ch ng minh. Đ t A = (0maxd Xn > λ).Ta có: ≤n ≤
d
A = (X0 > λ)
n=1
d
Xn > λ, 0 max 1 Xm ≤ λ = m≤n
≤
n=0
−
trong đó A0 = (X0 > λ), An = Xn > λ, 0 max 1 Xm ≤ λ
≤
An
là t p thu c
−
m ≤n
Φn và r i nhau:
An ∩ Am = ∅,
∀0 ≤ n = m ≤ d.
Theo tính ch t c a martingale dư i suy ra:
λP(A) ≤
n
E[XnI(An)] ≤
n
=
n
E[E(Xd|Φn)I(An)]
E[E(XdI(An)|Φn)] =
= E[XdI(A)] ≤ E[Xd+I(A)]
B t đ ng th c th hai đư c ch ng minh tương t .
15
n
E[XdI(An)]
≤ EXd+.
Đ nh lý 1.2.2. B t đ ng th c Kolmogorov
N u {Xn, Φn, n = 0, ..., d} là martingale v i E|Xn|p < ∞, 1 ≤ p < ∞,
thì ∀λ > 0 :
λpP( max |X | > λ) ≤ E|X |p ≤n ≤
0
d
n
d
p
Ch ng minh. Vì {|Xn| , Φn, n = 0, ..., d} là martingale dư i (không âm),
nên theo b t đ ng th c trong đ nh lý 1.2.1 ta đư c:
v i a>0
aP(0maxd |Xn| > a) ≤ E|Xd|p ≤n ≤
Đi u này cũng đúng v i a = λp. Ta có đi u ph i ch ng minh
Đ nh lý 1.2.3. B t đ ng th c Doob
N u {Xn, Φn, n = 0, ..., d} là martingale dư i không âm, E|Xn|p < ∞, 1 <
p < ∞, thì
p
|Xd|p ≤ 0maxd |Xn| ≤ q|Xd|p ≤n ≤
trong đó
|X|p = (E|X|p)p , 1 + 1 = 1 1
pq
Đ i v i p = 1, thì
e
|Xd| ≤ 0maxd |Xn| ≤ e − 1(1 + |Xdln+Xd|1). ≤n ≤
1
1
Ch ng minh. V i p > 1, thì b t đ ng th c sau luôn đúng
p
|Xd|p ≤ 0maxd |Xn| ≤n≤
Áp d ng đ nh lý 1.2.1 ta có:
∞
E
0≤n≤ max
d
|
Xn|p =p
xp−1P
max |Xn| > x
dx
0
∞
≤p
0≤n≤d
xp−2E |Xd|I
max |Xn| > x
0≤n≤d
0
max |Xn|
0≤n≤d
= pE
|X |
d
0
16
xp−2dx
= q E | Xd |
0 ≤n ≤ max
1
p
d
|Xn|
1q
−1
T
đ
ó
s
u
y
r
a
:
≤
q
(
E
|
X
|
d
p
p
)
E(
0
m
ax
d
|
Xn
| p)
≤n ≤
p
0
V
≤
n
≤
m
a
x
d
|
X
n
|
≤
q
|
X
.
t
d
|
≤ 11 X
d
p
p
≤
ma
0
xd |
≤n ≤
n
P
đ
ú
n
g
)
Xn|
l
d
(
l
u
ô
n
|Xd|
p
a
b
d
≤
t
a
∗
Đ t Xd = 0maxd |Xn|, ch ng minh
tương t như trư ng h p p > 1, ta
có: ≤n ≤
E
X
X
l
= d
t
n
+
a
=
d
∗
+
E
X
−
1
b
e
−
l
≤
E
(
X
1
n
n
X
ê
∗
d
∗
n
.
−
1
)
1
V
+
d
E
∗
Xd − 1 ≤
EXd ln
∞
= P{X ∗
0
d
−1≥
∗
X d ≤ EX d
ln+ Xn +
−
∗
e 1EXd .
S
u
i)
+
,
.
t
h
1
ì7
y
r
a
(
b
p
0
≤n≤ ma
xd |Xn|
≤
q|Xd|p.
−
a
)
E
ν
≤
Đ nh lý 1.2.4. B t đ ng th c c t
ngang. N u {Xn, Fn, n = 0, ...,
d}
l
à
m
a
r
t
i
n
g
a
l
e
E
(
X
d
−
a
)
+
−
E
(
X
0
d
ư
−
a
Ch ng minh. Vì {Xn, Fn, n = 0, ..., d} là martingale dư i, nên
{(Xn − a)+, Fn, n = 0, ..., d}
cũng là martingale dư i, và ν b ng s l n c t ngang t dư i lên trên
đo n [0, b − a] c a dãy {(Xn − a)+, n = 0, ..., d}. Do đó ta ch c n ch ng
minh r ng: đ i v i martingale dư i không âm {Xn, Fn, n = 0, ..., d}
bEν ≤ E(Xd − X0),
(1.1)
trong đó ν s l n c t ngang t dư i lên trên đo n [0, b] c a dãy {Xn, n =
0, ..., d}. Kí hi u
τ0 = 0;
τ1 = min{m : 0 < m ≤ d, Xm = 0}; τ2 =
min{m : τ1 < m ≤ d, Xm ≥ b};
τ2n−1 = min{m : τ2n−2 < m ≤ d, Xm = 0};
τ2n = min{m : τ2n−1 < m ≤ d, Xm ≥ b}.
Ký hi u là s n l n nh t sao cho τn đư c xác đ nh đúng đ n (nghĩa là t p l y
min tương ng khác r ng). Rõ ràng 0 ≤ ≤ d. Đ t τn = d cho
t t c n > . Khi đó, τd+1 = d và
d
Xd − X0 =
(X
n=0
n
τ +1
− X n) =
(1.2)
+
τ
n ch n
nl
Xét n l
- N u n < , thì X
- N u n = , thì X
n
≥ b > 0 = X n;
n
= Xd ≥ 0 = X n;
τ +1
τ +1
τ
- N u n > l, thì X n+1 = Xd = X n,
τ
τ
Vì v y,
(X
nl
n
τ +1
τ
(X n+1 − X n) ≥ [ /2]b = νb,
− X n) ≥
τ
nl <
τ
τ
trong đó [ /2] là ph n nguyên c a /2. Các bi n ng u nhiên τn, 0 ≤
n ≤ d l p thành dãy không gi m các th i đi m d ng đ i v i Fn, do đó
18
(1.3)
{X n, Fn, n = 0, ..., d}là martingale dư i. Suy ra
τ
E(X
và do đó
n
τ +1
− X n) ≥ 0,
τ
(X n+1 − X n) ≥ 0.
τ
τ
E
n ch n
T đó và t (1.2), (1.3) suy ra (1.1)
Đ nh lý 1.2.5. Đ nh lý Doob. N u {Xn, Fn, n ∈ N} là martingale
dư i và L1-b ch n, t c là
sup E|Xn| < ∞,
n
thì dãy {Xn} h i t h u ch c ch n t i bi n ng u nhiên X nào đó v i
∞
E|X | < ∞.
∞
Ch ng minh. Ký hi u νd là s l n c t ngang t dư i lên trên đo n [a, b]
c a dãy {Xn, n = 0, ..., d}, và đ t ν = dlim νd. →∞
∞
T b t đ ng th c c t ngang ta có
(b − a)Eν ≤ sup E|Xd| + |a| < ∞,
∞
d
suy ra ν < ∞ h u ch c ch n. Suy ra, v i m i a, b
∞
P{lim inf Xn < a < b < lim sup Xn} = 0.
Chú ý r ng
{lim inf Xn < lim sup Xn} = ∪{lim inf Xn < a < b < lim sup Xn},
trong đó h p l y theo t t c các s h u t a, b. Do đó
P{lim inf Xn < lim sup Xn} = 0.
T đó rút ra {Xn} h i t h u ch c ch n t i bi n ng u nhiên X nào đó.
∞
Theo b đ Fatou ta có
E|X | = E(nlim |Xn|) ≤ sup E|Xn| < ∞.
∞
→∞
n
19
Đ nh lý 1.2.6. Gi s X = {Xn, Φn, n ∈ N} là martingale dư i. Khi
đó, t n t i martingale M = {Mn, Φn, n ∈ N} và dãy d báo đư c A =
{An, Φn−1, n ∈ N} sao cho
(i) A = {An, Φn−1, n ∈ N} là dãy tăng theo nghĩa
0 = A0 ≤ A1 ≤ ... ≤ An ≤ ...,
P − (h.c.c.)
(ii) Khai tri n Doob là duy nh t
Xn = Mn + An, ∀n ∈ N,
P − (h.c.c.)
Ch ng minh. * Ch ng minh s t n t i
Đ t M0 = X0, A0 = 0 và Mj+1 − Mj = Xj+1 − E(Xj+1|Φj),
Aj+1 − Aj = E(Xj+1|Φj) − Xj, j = 0, ..., n − 1, t c là
n −1
Mn = M0 +
j=0
|Xj+1 − E(Xj+1|Φj)|
n −1
An =
j=0
|E(Xj+1|Φj) − Xj|
D th y An là dãy tăng và d báo đư c. Ta có:
n−1
E(Mn|Φn−1) = E
M0 +
j=0
(Xj+1E(Xj+1|Φj))|Φn−1
n−2
= M0 +
j=0
(Xj+1 − E(Xj+1|Φj)) + E [(Xn − E(Xn|Φn−1))|Φn−1]
n−2
= M0 +
j=0
(Xj+1 − E(Xj+1|Φj)) = Mn−1
Suy ra, M = {Mn; Φn, n ∈ N} là martingale. M t khác,
Mn + An = Xn, ∀n ∈ N
V y v i m i martingale dư i X = {Xn; Φn, n ∈ N} luôn t n t i martingale {Mn, Φn}n∈N và dãy d báo đư c {An, Φn−1}n∈N sao cho
Mn + An = Xn, ∀n ∈ N.
20
* Ch ng minh tính duy nh t
Gi s Xn = Mn + An,
trong đó M = {Mn, Φn, n ∈ N} là martingale, A = {An, Φn−1, n ∈ N}
là dãy tăng, d báo đư c.
Khi đó,
An+1 − An = (An+1 − An) + (Mn+1 − Mn) − (Mn+1 − Mn)
L y kì v ng có đi u ki n đ i v i Φn, ta có:
An+1 − An = An+1 − An
Vì A0 = A0 = 0, ta đư c: An = An và do đó Mn = Mn.
Đ nh lý 1.2.7. Martingale chính quy
Gi s {Xn, Φn, n ∈ N} là martingale. Các đi u ki n sau là tương đương:
(i) {Xn, Φn, n ∈ N} là martingale chính quy;
(ii) (Xn) kh tích đ u;
(iii) (Xn) h i t trong L1;
(iv) sup E|Xn| < ∞ và bi n ng u nhiên X (trong đ nh lý Doob) th a
∞
n
mãn đ ng th c:
Xn = E(X |Φn),
∀n ∈ N
∞
Ch ng minh. (i) ⇒ (ii). Gi s Xn = E(X|Φn), ∀n ∈ N
Suy ra |Xn| ≤ E(|Xn| Φn), E|Xn| ≤ E|X|, sup E|Xn| ≤ E|X| < ∞
n
Do đó, v i c > 0, b > 0 ta có:
|Xn|dP ≥
|X|dP
|Xn|≥c
|Xn|≥c
|X|dP +
=
{|Xn|≥c}∪{|X|≥b}
{|Xn|≥c}∪{|X|
≤ bP{|Xn| ≥ c} +
≤ b |Xn| +
E
c
|X|dP
|X|dP
|X|≥b
|X|dP.
|X|≥b
21
