chg7-Thống kê

Chương 7
ƯỚC LƯNG CÁC SỐ
ĐẶC TRƯNG CỦA
TỔNG THỂ


Các số đặc trưng của tổng
thể như trung bình tổng
thể, tỷ lệ tổng thể, phương
sai của tổng thể, . . . được
sử dụng rất nhiều trong
phân tích kinh tế - xã hội
và các lónh vực khác.


Nhưng các số đặc trưng này
thường là chưa biết. Vì vậy đặt
ra vấn đề cần ước lượng chúng
bằng phương pháp mẫu.
Chúng ta có thể nêu vấn đề
thực tế đó dưới dạng toán học
như sau:


Cho đại lượng ngẫu nhiên X
có thể đã biết hoặc chưa biết
phân phối xác suất và chưa
biết tham số θ nào đó của X.
Hãy ước lượng θ bằng phương
pháp mẫu.

Vì θ là một hằng số nên ta có
thể dùng một con số để ước
lượng θ . Ước lượng như vậy
được gọi là ước lượng điểm
Ngoài ước lượng điểm, ta còn
dùng ước lượng khoảng. Tức là
chỉ ra một khoảng số (θ 1, θ 2)
có thể chứa được θ .


II- PHƯƠNG PHÁP KHOẢNG TIN CẬY

(phương pháp ước lượng khoảng)

Phương pháp khoảng tin cậy
dùng một khoảng số để ước
lượng θ .


Phương pháp này được nhà
toán học Pháp P.S. Laplace
ng/c (1841) và được hoàn
thiện bởi nhà thống kê Mỹ
J. Neyman (1937).


1 - Mô tả phương pháp khoảng
tin cậy
Để ước lượng tham số θ của

đ.l.n.n X, từ X ta lập mẫu ngẫu
nhiên WX = (X1, X2, . . . , Xn).


Chọn thống kê:

ˆθ = f(X , X , . . . , X )
1
2
n
Sao cho: mặc dù chưa biết giá
trò của θ nhưng phân phối xác
ˆ
θ
suất của được xác đònh.


Do đó với xác suất α khá bé
(α ≤ 0,05) ta có thể tìm được 2
số a, b sao cho:

ˆ ≤ b) = 1- α
P(a ≤ θ
(6.1)


Nếu từ biểu thức (6.1) ta giải ra
được θ . Tức ta đưa biểu thức
(6.1) về dạng:

ˆ
ˆ
P( θ 1 ≤ θ ≤ θ 2 ) = 1 − α
Thì:


ˆ ,θ
ˆ ) được gọi là
Khoảng (θ
1
2
khoảng tin cậy của θ.

Vì θˆ 1 , θˆ 2 là các ĐLNN nên
khoảng ( θˆ 1 , θˆ 2 ) là khoảng ngẫu
nhiên.


1-α gọi là độ tin cậy (hệ số
tin cậy) của ước lượng.
Trong thực tế người ta
thường yêu cầu 1-α ≥ 95%
để có thể sử dụng nguyên lý
xác suất lớn cho biến cố:

ˆ
ˆ
(θ 1 < θ < θ 2 )

gọi là độ dài
l = θˆ 2 − θˆ 1
khoảng tin cậy
l có thể là hằng số và cũng
có thể là ĐLNN.

ε = l/2 gọi là độ chính xác
của ước lượng khoảng.


Do xác suất 1-α khá lớn
nên theo nguyên lý xác suất
lớn ta có thể coi biến cố:

ˆ
ˆ
(θ 1 < θ < θ 2 )

Hầu như chắc chắn xảy ra
trong một phép thử


2 - Ước lượng trung bình của
tổng thể
Giả sử trung bình của tổng thể là
µ chưa biết, ta cần ước lượng µ
với độ tin cậy 1− α .
Lập mẫu ngẫu nhiên
WX = (X1, X2, . . . . , Xn)

Với độ tin cậy 1 − α , qua mẫu
cụ thể Wx, ước lượng khoảng
của µ là:

(x - ε < µ < x + ε )

Trong đó:

z
ε = α/2

σ
n


 Trường hợp n < 30; σ 2 chưa
biết; X có phân phối chuẩn.

Trường hợp này ta xét đại
lượng ngẫu nhiên:
X−µ
T=
S/ n


T có phân phối Student với bậc
tự do là (n − 1).
Xác đònh khoảng tin cậy của µ
theo công thức:

(x - ε < µ < x + ε)
Trong đó:

ε = tα/2

s
n


Trong đó tα/2 là giá trò của đại
lượng ngẫu nhiên T có phân
phối Student với n−1 bậc tự do
thoả mãn điều kiện: tα/2 > 0 và
P(T > tα /2) = α /2
Để tìm tα/2 ta có thể tra bảng
(phụ lục 6) hoặc dùng hàm
TINV trong Excel.


Thí dụ 1:
Điều tra năng suất lúa trên
diện tích 100 héc ta trồng lúa
của một vùng, người ta tính
được: x = 56 tạ/ha; s = 3,3
Hãy ước lượng năng suất lúa
trung bình của toàn vùng với
độ tin cậy 95%.

Giải: Gọi µ là năng suất lúa

trung bình của toàn vùng. Ta
cần ước lượng µ với độ tin cậy
95%.
Vì n = 100 > 30; σ 2 chưa biết,
nên khoảng tin cậy của µ là:

(x - ε < µ < x +
ε)


Độ tin cậy 1 − α = 95%, tra
bảng ta được:
zα/2 = z0,025 = 1,96
3, 3
ε = 1,96
= 0,6468 ≈ 0,65
10
Vậy khoảng tin cậy của µ là:
(56 − 0,65 ; 56 + 0,65)
Hay: (55,35 < µ < 56,65) tạ/ha


Thí dụ 2: Theo dõi mức
nguyên liệu hao phí để sản
xuất một đơn vò sản phẩm
người ta thu được các số
liệu cho ở bảng sau:

Mức ng/liệu
hao phí (xi - gr)

Số sản phẩm

19 – 19,5
19,5 – 20
20 – 20,5
20,5 – 21

2
10
8
5