Luận văn phương trình tích phân volterra

Đ I H C QU C GIA HÀ N I
TRƯ NG Đ I H C KHOA H C T NHIÊN

LÊ TH THU HÀ

PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN
VOLTERRA

LU N VĂN TH C SĨ TOÁN H C

HÀ N I - 2015


Đ I H C QU C GIA HÀ N I
TRƯ NG Đ I H C KHOA H C T NHIÊN

LÊ TH THU HÀ

PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN
VOLTERRA

LU N VĂN TH C SĨ TOÁN H C

Chuyên ngành : TOÁN GI I TÍCH
Mã s : 60 46 01 02

Ngư i hư ng d n khoa h c:
TS. NGUY N VĂN NG C

HÀ N I, 2015

M cl c
L i c m ơn

1

M đu

2

1

Phương trình tích phân Volterra lo i hai t ng quát và phương
pháp x p x liên ti p
4
1.1 Phương pháp x p x liên ti p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2 Các ví
d . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2 Phương trình tích phân Volterra d ng ch p
2.1 Tích phân Gamma và tích phân Beta . . . .
2.2 Bi n đ i Laplace . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Phương trình Volterra trên n a tr c . . . .

và bi n
.....
.....
.....

đ i Laplace
........

........
........

3 Nghi m tư ng minh c a m t s phương trình tích phân d ng
Volterra
3.1 Phương trình tích phân Abel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.1.1 Phương trình tích phân Abel lo i m t . . . . . . . . . . . . 3.1.2
Phương trình tích phân Abel lo i hai . . . . . . . . . . . . 3.1.3 Phương
trình tích phân d ng Abel . . . . . . . . . . . . . . 3.1.4 Phương trình
tích phân Abel v i nhân t ng quát . . . . . .
3.2 Phương trình Volterra v i các nhân đa th c hay phân th c h u t
3.2.1 Đ o hàm theo tham s trong tích phân xác đ nh . . . . . 3.2.2
Nhân đa th c b c nh t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.3 Nhân đa th
c b c hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.4 Nhân đa th c b c
ba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.5 Nhân lũy th a b c cao . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . 3.2.6 Nhân phân th c h u
t....................

2

16
16
17
27
34
34
34
37
38
38

39
39
39
40
42
43
44


3.3

Phương trình Volterra v i nhân căn th c hay lũy th a phân . . . 47
3.3.1 Nhân căn th c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 3.3.2 Nhân
lũy th a phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

K t lu n

52

Tài li u tham kh o

53

3


L i cám ơn
L i đ u tiên, tôi xin trân tr ng c m ơn Th y - TS Nguy n Văn Ng c đã t n
tâm hư ng d n, đ ng viên tôi trong su t quá trình th c hi n lu n văn này.
Xin chân thành c m ơn Quý th y cô khoa Toán - Cơ - Tin, Trư ng Đ i h c Khoa

H c T Nhiên, ĐHQG Hà N i đã t n tâm truy n đ t ki n th c và kinh nghi m cho tôi
trong su t khóa h c.
Xin c m ơn Phòng Sau Đ i h c Trư ng Đ i h c Khoa H c T nhiên, ĐHQG Hà N
i đã t o đi u ki n thu n l i đ tôi hoàn thành khóa h c.
Cho tôi g i l i c m ơn chân thành t i các đ ng nghi p, các b n h c viên cao h c
Gi i Tích khóa 2013-2015 đã giúp đ tôi trong th i gian h c t p và th c hi n lu n
văn.
Hà N i, tháng 11 năm 2015
Lê Th Thu Hà

1


M đu
Nhi u v n đ trong toán h c(phương trình vi phân v i đi u ki n biên hay đi u ki n
ban đ u, phương trình đ o hàm riêng), cơ h c, v t lí và các ngành kĩ thu t khác d
n đ n nh ng phương trình trong đó hàm chưa bi t ch a dư i d u tích phân. Nh ng
lo i phương trình đó đư c g i là phương trình tích phân. Phương trình tích phân là
công c toán h c h u ích trong nhi u lĩnh v c nên đư c quan tâm nghiên c u theo
nhi u khía c nh khác nhau như s t n t i nghi m, s x p x nghi m, tính ch nh hay
không ch nh, nghi m ch nh hóa,...
Lý thuy t t ng quát c a các phương trình tích phân tuy n tính đư c xây d ng
bu i giao th i c a các th k XIX, XX, ch y u là trong các công trình c a Volterra,
Fredholm và Hilbert, v.v.. Phương trình tích phân tuy n tính có
d ng
b

αu(x) +

K(x, y)u(y)dy = f (x), a < x < b,

(1)

a

trong đó u(x) là hàm c n tìm ( n hàm), f(x) và K(x, y) là nh ng hàm cho trư c
và tương ng đư c g i là v ph i và nhân (h ch) c a phương trình đã cho, α là h ng s
đã cho. Phương trình (1) đư c g i là phương trình lo i 1 hay lo i 2, tùy thu c vào α
= 0, hay α = 0 tương ng.
Thông thư ng, trong trư ng h p (a, b) là kho ng h u h n và K(x, y) là hàm liên t
c hay kh tích trong hình ch nhât (a, b) ⋅ (a, b) thì phương trình (1) đư c g i là
phương trình Predholm.
N u trong phương trình (1), c n trên a, hay c n dư i b đư c thay b i x, bi n thiên
trong m t kho ng nào đó, thì phương trình đư c g i là phương trình tích
phân voltetrra. Như v y, phương trình tích phân Volterra có d ng
x

λu(x) +

K(x, y)u(y)dy = f (x), a < x < b, ,

(2)

K(x, y)u(y)dy = f (x), a < x < b.

(3)

a
b

λu(x) +
x

2


đây, có th x y ra trư ng h p là b = +∞. N u K(x, y) có d ng K(x-y) thì
phương trình tích phân đư c g i là phương trình tích ch p.
M c đích c a lu n văn này là tìm hi u và h c các phương pháp gi i hình th c
các phương trình tích phân Volterra.
N i dung c a lu n văn đư c trình bày trong ba chương:
Chương 1 trình bày phương pháp x p x liên ti p gi i gi i phương trình
Volterra lo i hai v i v ph i và nhân là nh ng hàm liên t c .
Chương 2 trình bày phép bi n đ i tích phân Laplace và v n d ng phép bi n
đ i này gi i phương trình tích phân Volterra d ng ch p trên n a tr c th c.
Chương 3 trình bày v nghi m tư ng minh c a m t s phương trình tích phân d
ng Volterra là phương trình tích phân Abel và m t s phương trình Volterra khác.

3


Chương 1
Phương trình tích phân Volterra
lo i hai t ng quát và phương pháp
x p x liên ti p
Chương này trình bày phương pháp x p x liên ti p gi i gi i phương trình
Volterra lo i hai v i v ph i và nhân là nh ng hàm liên t c. N i dung c a chương này
đư c hình thành ch y u t tài li u [3].

1.1

Phương pháp x p x liên ti p

Xét phương trình tích phân
x

Φ(x) = f (x) + λ

K(x, t)Φ(t)dt
a

trong đó s h ng t do f(x) là hàm bi n ph c liên t c trên [a, b] và h ch K(x, t) có giá tr
ph c và liên t c trên tam giác T (a, b) = {(x, t) : a ≤ x ≤ b, a ≤ t ≤ x}. Ta luôn gi thi t r ng
các h ch Volterra th a mãn đi u ki n K(x, t) ≡ 0 n u x < t và h ch bi n m t trên đư ng
chéo c a hình vuông Q(a, b). N u λ = 0 thì Φ(x) = f (x) là nghi m duy nh t cu phương trình
tích phân.
N u |λ| đ nh đ Φ(x) ≈ f(x) thì ph n t do là hàm x p x ban đ u Φ0(x)
v i nghi m c a phương trình, đ m b o r ng m t nghi m t n t i.
N u hàm x p x th nh t Φ1(x) v i Φ(t) đư c cho bi t b ng vi c thay th

Φ(t) b i Φ0(t) = f (t) trong tích phân ta đư c

x

Φ1(x) = f (x) + λ

K(x, t)Φ0(t)dt
a

4

N u tích phân

x

K(x, t)Φ0(t)dt = 0
a

thì Φ1(x) = f(x) = Φ0(x) và quá trình l p đi l p l i k t thúc
ra r ng s ng u nhiên có th x y ra, xét phương trình

đây. Đi u đó ch

x

Φ(x) = x + λ

(2x − 3t)Φ(t)dt
0

N u ta ch n Φ0(x) = f(x) = x thì
x

x

(2x − 3t) tdt =

2xt − 3t2 dt = xt2 − t3

x

=0

0

0
0

Do đó Φ1(x) = f(x) = x = Φ(x) v i m i giá tr c a λ
N u Φ1(x) = Φ0(x) = f(x) thì thay th Φ1(x) b i lư ng x p x th hai
x

Φ2(x) = f (x) + λ

K(x, t)Φ1(t)dt
a

Ti p t c quá trình trên cho ta đư c lư ng x p x th n
x

Φn(x) = f (x) + λ

K(x, t)Φn−1dt
a

luôn gi s r ng tích phân không bi n m t m i bư c. N u tích phân m t đi
thì Φn(x) = f(x) = Φ0(x) và quá trình l p này sai.

M i x p x Φn(x)} có m t d ng thay th . N u thay x p x th nh t vào x p

x th hai ta đư c
x

Φ2(x) = f (x) + λ

t


) f
K(x, t  (t) + λ

a


ds dt
K(t, s)f (s) 

a

x

x

t

2

= f ( x) + λ

K(x, t)f (t)dt + λ

a

K(x, t)K(t, s)f (s)dsdt
a

x

K(x, t)f (t)dt + λ2

= f (x) + λ

a
x

a

K2(x, t)f (t)dt
a

5


Trong đó ta đ t

x

K2(x, t) =

K(x, s)K(s, t)ds
t

Chú ý r ng h ch l p K2(x, t) ≡ 0 n u x < t. Đi u này d n t i K(x, s) ≡ 0 khi
x < s và K(s, t) ≡ 0 khi s < t. T nh ng s kho ng trùng lên nhau khi x < t, nó
ch ra r ng tích phân ch khác 0 khi t ≤ s ≤ x
Thêm vào đó vi c l p l i d n t i d ng t ng quát
n

Φn(x) = f (x) +

x

m=1



(1.1)

dt

m

Km(x, t)f (t) 

λ 
a

Trong đó v i m i m = 1, 2, ..., ta đ t
x

Km(x, t) =

Km−1(x, s)K(s, t)ds
t

M đ u m i h ch l p th a mãn đi u ki n Km(x, t) ≡ 0 n u x < t
Dãy {Φn(x)} c a các x p x liên t c h i t tuy t đ i và đ u trên [a, b]. T đó
ta gi s r ng K(x, t) liên t c trên tam giác đóng T (a, b) và K(x, t) ≡ 0 n u x < t,
t n t i s M sao cho |K(x, t)| ≤ M trên hình vuông Q(a, b). Do đó
x

|K2(x, t)| ≤

2

ds = M 2(x − t) ≤ M 2(b − a)

M

t

v i t ≤ x. Ta đ ý r ng K2(x, t) ≡ 0 n u x < t. Ta d dàng có đư c b t đ ng th c
|Km(x, t)| ≤

M m(x − t)m−1 ≤ M m(b − a)m−1
(m − 1)!

(m − 1)!

v i m i m ≥ 1 và x, t ∈ [a, b]. M i ư c tính đã cho, m i s h ng trong t ng (1.4)
th a mãn b t đ ng th c

x

m−1
m

λm 0

Km(x, t)f (t)dt ≤ |λ| Mm(−− a) m b
(
1)!

f

Do đó dãy l p {Φn(x)} h i t tuy t đ i và đ u t i m t nghi m liên t c
n

Φ(x) = f (x) +

m=1

x
dt
Km(x, t)f (t) 

λm 
a

6



1


c a phương trình tích phân (1.1) v i m i giá tr ph c λ khi nó đư c xác đ nh
b i m t chu i h i t tuy t đ i. Ta có th thay đ i th t c a t ng và tích phân
m t cách h p lý cho nhau, d ng c a nghi m tr thành
x

Φ(x) = f (x) + λ

R(x, t, λ)f (t)dt
a

Trong đó ta đăt

∞

λm−1Km(x, t)

R(x, t, λ) =
m=1

Chu i vô h n R(x, t, λ) đư c bi t như h ch gi i th c c a phương trình tích phân
(1.1) ho c chu i Neumann.

Nghi∼m Φ(x) c a phương trình tích phân là duy nh t. N u có hai nghi m ∼
x) thì đ l ch δ(x) = Φ(x) − Φ(x) th a mãn phương trình thu n nh t

Φ(x) và

Φ(

x

δ(x) = λ

K(x, t)δ(t)dt
a

Ta ch ra r ng δ(x) ≡ 0 là nghi m duy nh t c a phương trình tích phân. Cho
b
2

x
2

2

δ (x)dx,

d =

A (x) =

a

b
2

A2(x)dx

N =

K(x, t)dt,
a

a

Áp d ng b t đ ng th c Cauchy-Schwarz ta có
x

 x



dt ≤
δ2(t)  |λ|2A2(x)d2

dt
K2(x, t)  

δ2(x) ≤ |λ|2 
a

a

Thay th x b i t và l y tích phân t a t i x ta đư c
x

x


dt d
A2(t)  2

δ2(t)dt ≤ |λ|2 
a

a

N u ta đ t

x

A2(t)dt

B1(x) =
a

7


và k t h p v i hai b t đ ng th c trên ta đư c
δ2(x) ≤ |λ|4d2A2(x)B1(x)

N u ta đ t

x

A2(t)B1(t)dt

B2(x) =
a

và l p l i quá trình này ta đư c
δ2(x) ≤ |λ|6d2A2(x)B2(x)

Trong trư ng h p t ng quát ta đ t
x

A2(t)Bn−1(t)dt

Bn(x) =
a

và l p l i quá trình này t i vô h n ta có
δ2(x) ≤ |λ|2n+2d2A2(x)B2(x)

v i m i n ≥ 1. Đ ý r ng Bn(a) = 0 v i m i giá tr c a n. Như v y
x

x

2

B2(x) =

A (t)B1(t)dt =
a

1
B1(t)B1 (t)dt = 2!B (x) 1
2

a

v i m i x ∈ [a, b]. S d ng phương pháp quy n p ta có
1
Bn(x) = n!Bn(x) 1

do đó
|Bn(x)| ≤ n! |B1(x)|n ≤ Nn!
1

2n

v i m i n ≥ 1. Áp d ng đánh giá này ta đư c
2n

δ2(x) ≤ |λ|2d2A2(x)(|λ|n! ) N

v i x ∈ [a, b] và v i m i n ≥ 1. N u n → ∞ ta ch có th k t lu n δ(x) ≡ 0
T nh ng phân tích trên ta có các k t qu sau:

8


Đ nh lý 1.1. (Đ nh lý x p x liên ti p) Cho λ là m t tham s ph c và cho
f (x) là m t hàm liên t c có giá tr ph c xác đ nh trên [a, b]. Cho K(x, t) là m t h ch

liên t c có giá tr ph c xác đ nh trên tam giác T (a, b), v i K(x, t) ≡ 0 n u x < t. Khi đó
v i m i giá tr c a λ nghi m liên t c duy nh t c a phương trình
tích phân Volterra là
x

Φ(x) = f (x) + λ

K(x, t)Φ(t)dt
a

đư c cho b i

x

Φ(x) = f (x) + λ

R(x, t, λ)f (t)dt
a

trong đó h ch gi i th c R(x, t, λ) là duy nh t
∞

R(x, t, λ) =
m=1

λm−1Km(x, t)

M t k t qu đáng lưu ý trong đ nh lý này là Φ(x) ≡ 0 n u f(x) ≡ 0.
M t k t qu khác cũng đáng lưu ý là các h ch Volterra không có giá tr riêng,
t chu i gi i th c là m t hàm hoàn toàn theo λ.

Đ l n c a sai l ch do x p x Φn(x) trong ư c tính nghi m Φ(x) có th đư c
ư c lư ng đ u gi ng như ư c lư ng thi t l p trong ch ng minh. V i m i x ∈ [a, b]
∞
m
|λ| M (b − a)
ta có
|Φ(x) − Φn(x)| ≤ |λ| M f

1

m=n

m!

T ng v ph i có th đư c ư c lư ng b i d ng Lagrange còn l i c a chu i lũy
th a. Làm tương t ta có đư c ư c lư ng đ u
n

Φ(x) − Φn(x)

∞

≤ eb [|λ| M (nb!− a)]

Do đó đ l n c a sai l ch s nh như mong mu n v i n đ l n.
Phương pháp x p x liên ti p thi t l p ch c ch n s tương đương gi a vi c gi i m t
phương trình tích phân Volterra c a lo i th hai v i vi c tính toán h ch gi i th c R(x, t,
λ) t h ch K(x, t) đã cho. Nh ng ví d sau đây s ch ng minh s tương đương này.

9

1.2

Các ví d

Ví d 1.1. Xét phương trình tích phân tuy n tính
x

Φ(x) = f (x) + λ

xtΦ(t)dt
0

M t tích phân sơ c p bi u di n
x

xs.stds = xt(x − t )

K2(x, t) =

3

t

D dàng th y trong trư ng h p t ng quát ta có

3

3

3

m−1

Km(x, t) = (m xt 1)! x − t 3
−

Do đó h ch gi i th c là
R(x, t, λ) =

3

∞
m=1

x3 − t3
3

λm−1Km(x, t) = xt. exp λ

M t k t qu c a đ nh lý là nghi m c a phương trình tích phân là
x

Φ(x) = f (x) + λ

0

x3 − t3
3

xt. exp λ

f (t)dt

Đ c bi t n u f(x) = x và λ = 1 thì nghi m c a phương trình
x

Φ(x) = x +

xtΦ(t)dt
0

là

x

Φ(x) = x +

xt exp
0

x3 − t3
3

tdt = xex 3 /3

Ví d 1.2. N u m t h ch có th phân chia dư i d ng K(x, t) = a(x)b(t) thì các
h ch l p c a nó có th d dàng tính đư c.

10


Th t v y

x

K2(x, t) =

a(x)b(s)a(s)b(t)ds
t
x

= K(x, t)

K(s, s)ds
t

= K(x, t)(L(x) − L(t))

trong đó L(s) là m t nguyên hàm c a K(s, s). L p l i l n n a ta có
(L(x) − L(t))2
2!

K3(x, t) = K(x, t)

Trong trư ng h p t ng quát ta có:

n−1

Kn(x, t) = K(x, t)(L(x)n − 1)!)) − L(t
(

Do đó h ch gi i th c đư c cho b i
R(x, t, λ) = K(x, t) exp {λ (L(x) − L(t))}

Chú ý r ng t t c h ch l p và h ch gi i th c đ u phân chia. Do đó nghi m c a
phương trình tích phân
x

Φ(x) = f (x) + λ

a(x)b(t)Φ(t)dt
0

có d ng
x

Φ(x) = f (x) + λ

a(x)b(t) exp {λ(L(x) − L(t))} f (t)dt
0

Trong ví d trư c K(x, t) = xt. S d ng phương pháp này ta tính đư c nguyên
hàm
L(s) =

K(s, s)ds =

s2ds = s3 3

Do đó
R(x, t, λ) = xt. exp λ

x 3 − t3
3

K t qu này đúng chính xác so v i k t qu đã tính ví d trên.
M t ví d khác v tính kh d ng c a phương pháp này, xét v i h ch đơn
11


gi n K(x, t) = ex−t. T K(s, s) = 1, L(s) = s. Vì th h ch gi i th c đư c xác cho
bi
λ
R(x, t, λ) = ex−te (x−t) = e(λ+1)(x−t)
Ví d 1.3. Cho phương trình tích phân Volterra
x

Φ(x) = f (x) + λ

T K(s, s) =

1
1+
s

1 Φ(t)dt
1+x

0

, L(s)

= ln(1 + s), theo quy t c trong ví d trư c ta có
λ

R(x, t,

λ
λ) = 1 + xe (L(x)−L(t)) = 1 + x 1 + x

1

1
λ

Do đó nghi m c a phương trình tích phân là
x

Φ(x) = f (x) + λ

0

1+t

1

1+x
f (t)dt

1+x 1+t

Đ c bi t n u f(x) = 1 m t tích phân thông thư ng cho b i
λ

1 − λ(1 + x)
1−λ

Φ(x, λ) =

−1

n u λ = 1. M t ng d ng quy t c L'Hôpital cho Φ(x, 1) = 1 + ln x khi λ → 1 và nghi m này có th
đư c xác đ nh đ c l p.
Ví d 1.4. Xét phương trình tích phân Volterra tuy n tính
x
2

Φ(x) = f (x) + µ

(x − t)Φ(t)dt
0

M t tích phân sơ c p bi u di n dư i d ng
x

K2(x, t) =

1

(x − s)(s − t)ds = 3!(x − t)3

t

B ng l p lu n quy n p ta có bi u di n t ng quát
Km(x, t) = (2m1 1)!(x − t)2m−1 −
12


H ch gi i th c là
R(x, t, λ) =

∞

m=1

µ2(m−1)Km(x, t)

∞

1 (
µ

=1

(
x
−
t
)

)

2
m
+
1

µ
m
=
0

(
2
m
+
1
)
!
=
1 sinh (µ (x − t))
µ

Như m t k t qu c a đ nh
lý, nghi m c a phương
trình là
x

Φ(x)
= f (x)

+µ


sinhđ
(µ
(x p
t))
(t)

Ví d 1.5. Trong
ch ng minh đ nh
lý, ph n x p x
ban đ u Φ0(x) đư
c ch n là f (x). Tuy
nhiên, n u tích
phân c n thi t đ
tính Φ1(x) khó thì
ta thay th b ng
m t s l a ch n
cho Φ0(x) có th d
th c hi n hơn, quá
trình x lý tích
phân đ
khó khăn hơn ho
c t c đ h i t tăng
lên. M c đích cu
ví d này là minh
ha
m

đ
q
u
á
t
r
ì
n
h
x
l
í
c
ó
t
h

t

đ
ư

k
ĩ

c

t
h
u

h
o
à
n

t

à
n
h
.

t
h

V
o
l
t
e
r
r
Ga

is
ta
mu
n
tín

h
mt
ch
ui
xp
x{

x

1

Φ
=01 1+
−
2
x
t
+

Φn(

t

x)}

2

vi
Φ
ng

hi
(
m
t
ca
)
ph
d
ươ
t
ng
trên đo 12 . N u ta ch n Φ (x) = 1 thì m t tích
0
trìn
n 0,
phân minh b ch cho b i
h
t
Φ0(x)
í
c
=1
h
+√1

p
h
â
n

2

arctan
1
−
x


c

√
x

1
−
x

ph
ân

1

thê

,

m

2

T vi c tính toán
Φ2(x) khó , ta tìm
ki m m t ch n l a t t
hơn cho Φ0(x) Trư
c tiên ta chú ý r
ng Φ(0) = 1. N u ta
cung c p công c
cho vi c đ o hàm
m t tích
p
h
â
n

t
a

hai
ln
na
ta
đư
cΦ

đ
ư
c
x

(0)

= 1,
2
Φ
t
Φ
Φ (
(t
1
−

đ
ã

)
d
t

2
x

đ
ư

t
+

c
t
2

n
h
c
t
i
m

)
2

t đó ta
đư c Φ (0)
= 1 N u ta đ

o hàm
phương
trình tích

Φ
(0)
= 5.

Do
đó
bn
sh
ng
đu
tiên
tro

ng
kh
ai
1
3


tri n Maclaurin c a nghi m là
Φ(x) = 1 + x + 1x2 + 5x3 + ...
2
6

Ta ch n x p x ban đ u c a nghi m Φ(x)
Ψ0(x) = Φ(x) = 1 + x + 1 x2 + 5 x3
2

6
1

Cho P7(x, t) ch ra ph n t ng th b y c a h ch

1−2xt+t2

P7(x, t) =1 + 2xt + (4x2 − 1)t2 + 8x3 − 4x t3

+ 16x4 − 12x2 + 1 t4 + 32x5 − 32x3 + 6x t5
+ 64x6 − 80x4 + 24x2 − 1 t6 + 128x7 − 192x5 + 80x3 − 8x t7

T P7(x, t) phù h p v i h ch nâng lên lũy th a t7, thay th h ch b i P7(x, t)
trong tính toán ta đư c

Ψ1(x) = 1 + x + 1x2 +
2
Ψ2(x) = 1 + x + 1x2 +
2
Ψ3(x) = 1 + x + 1x2 +
2
Ψ4(x) = 1 + x + 1x2 +
2

5 x3 + 5 x4 + 41x5 + 101x6 + 25x7 + O(x8)
6

8
3

5x +
6
5 x3 +
6
5 x3 +
6

60
4

5x +
8
5 x4 +
8
5 x4 +

8

180
5

42
6

97 x + 27x + 143x7 + O(x8)
120
40
180
5
6
97 x + 167x + 227x7 + O(x8)
120
240
280
5
6
97 x + 167x + 1367x7 + O(x8)
120
240
1680

M i x p x Ψn(x) là m t đa th c. X p x th 5 là Ψ5(x) phù h p v i Ψ4(x) tăng t i s h ng ch a
x7. Nh ng x p x này s phù h p v i Φ(x) tăng t i s h ng
ch a x7, t h ch x p x P7(x, t) phù h p v i h ch tương ng. N u 3 x p x cu i
cùng đư c v đ th trên cùng m t nơi, đ th c a chúng không th nh n th y
rõ b ng m t thư ng. M t kĩ thu t phân tích kĩ lư ng s ti t l nh ng l i nh có

trong đó trên đo n [0; 1] 2
Ví d 1.6. Xét phương trình tích phân Volterra
x

Φ(x) = 1 + x2

2

+λ

0

1 + x22 Φ(t)dt
1+t

Chú ý r ng n u λ = 0 thì Φ(x, 0) = 1 + x2 2
N u ta s d ng kĩ thu t trong Ví d 1.2 tính h ch gi i th c tương ng thì

14


nghi m c a phương trình tích phân gi s có d ng
x
2

Φ(x, λ) = 1 + x2
1 + x2
=
λ2

+λ

1 + x22 e
1+t

0

λ

(x−t

)

1 + t2 2dt

λ

2 + λ2 e x − 2 (1 + λx)

Nhìn qua có th th y nghi m không xác đ nh t i λ = 0, tuy nhiên sau khi áp
d ng 2 l n quy t c l'Hôpital ta tìm ra
lim Φ(x, λ) = Φ(x, 0)

λ→0

Có m t cách khác đ xác đ nh gi i h n này. Khai tri n Maclaurin v i nghi m
đư c cho b i
Φ(x, λ) = (1 + x2)[1 + λx + 1(2 + λ2)x2 + 1 λ(1 + λ2)x3
2
6

1

+24
λ (2 + λ )x + x (2 + λ) x + O(x6)]
2

2

4

1 3

2 5

120

M t l n n a cho k t qu Φ(x, λ) → Φ(x, 0) khi λ → 0

15


Chương 2
Phương trình tích phân Volterra
d ng ch p và bi n đ i Laplace
Chương này trình bày phép bi n đ i tích phân Laplace và v n d ng phép bi n đ
i này gi i phương trình tích phân Volterra d ng ch p trên n a tr c th c. N i dung c
a chương này đư c hình thành ch y u t các tài li u [1], [3].

2.1

•

Tích phân Gamma và tích phân Beta
Tích phân Gamma
Tích phân Gamma (Hàm Gamma) v i bi n ph c z = x + iy(i2 = −1) đư c
xác đ nh theo công th c
∞

Γ(z) =

−

e ttz−1dt, Rez > 0.

0

M t s công th c cơ b n c a tích phân Gamma
Γ(z + 1) = zΓ(z), Γ(n + 1) = n!, n ∈ N,
π
Γ(z)Γ(z + 1) = sin(πz), 0 < Rez < 1,

•

Γ 1 = π, Γ n + 1 = 1.3.5...2nn + 1) π.
2
2
√

(2

Tích phân Beta

√

Có m t s đ nh nghĩa tương đương c a hàm Beta B(p, q) (hàm Beta)đư c
đ nh nghĩa theo công th c
1

B(p, q) =

up−1(1 − u)q−1du,

0

16


trong đó p và q dương đ tích phân t n t i. B ng phép đ i bi n thông
thư ng ch ra B(p, q) = B(q, p).
N u ta đ t u = sin2(θ), thì tích phân tr thành
π/2

B(p, q) = 2

sin2p−1(θ) cos2q−1(θ)dθ.

0

N u ta đ t u = x/(1 + x), thì tích phân tr thành
∞

B(p, q) =

0

xp −1pdx.
(1 + x) +q

Ta có th ch ng minh
B(p, q) = Γ(p)Γ(q)
Γ(p + q)

v i m i cách ch n p > 0 và q > 0. Ví d , n u p + q = 1, thì ta có h th c
π
B(p, 1 − p) = Γ(p)Γ(1 − p) = sin(πp).

Giá tr Γ(1/2) = √π đư c rút ra b ng cách đ t p = 1/2.

2.2

Bi n đ i Laplace

• Đ nh nghĩa. Phương pháp bi n đ i Laplace không ch là m t công c c c
kì h u ích đ gi i nh ng phương trình vi phân thư ng tuy n tính mà còn có giá
tr tương đ i trong vi c gi i nh ng phương tích phân Volterra tuy n tính c a m t
lo i nh t đ nh.
Cho f(t) xác đinh trên [0, ∞). Bi n đ i Laplace c a f(t) đư c cho b i tích
phân suy r ng

∞

A
−

e stf (t)dt

F (s) := L{f(t)} =

−

e stf (t)dt.

= Alim
→∞

0

0

Tích phân s t n t i n u f(t) liên t c t ng m nh trên [0, A] v i m i A và có c p
tăng không quá d ng mũ. (Nh c l i hàm f(t) liên t c t ng m nh trên [0, A] n u
nó liên t c t i ngo i tr m t s h u h n các đi m gián đo n [0, A]. Hàm f(t) có c p
tăng d ng mũ n u t n t i các h ng s a, c và m sao cho |f(t)| ≤ c.eat v i m i t ≥ m).
17


• Các ví d . Đ minh h a cho đ nh nghĩa, xét m t s ví d sau đây.
Ví d 2.1. Xét hàm s đơn v Heaviside
0 n ut<0
1 n ut≥0

σ0 (t) =

Bi n đ i Laplace c a σ0 là
∞

−

t=∞

−

e ptd (t)

F (p) =

= − 1 e pt
p

0

= 1,
p

t=0

v i Rep > 0 .
α

Ví d 2.2. Bi n đ i Laplace c a hàm f (t) = e t như sau

∞

F (p) =

∞

− α

e pte tdt = α 1 p e(α−p)t −

0

= α 1 p, −

t=0

v i Re (p − α) > 0 .
Ví d 2.3. Bi n đ i Laplace c a hàm f (t) = tn là
epttndt = − 1

∞

F ( p) =

p

0

=

∞
t=0

−
− 1 tne pt

p

=n

∞
0

p

tnd e

∞

∞

0

−n

−
pt

tn−1e

0

−
pt

−

tn−1e ptdt
Rep > 0

= . . . = pn+1 , !
n

α

Ví d 2.4. Tìm bi n đ i Laplace c a hàm f (t) = t , α > 1, α ∈ Q .
Ta có
∞

F (p) =

− α

e ptt dt

=

∞

0

α

= p 1+1

0

∞
0

−

−

e uu

α

du

α

p p

α

e uu du = Γ (pα +11) +
α

1

L{e } =s − a,

a
L{sin(at)} =s + a2
2

at

L{tn} =sn+1 , !
n

Bi n đ i Laplace c a các đ o hàm f(n)(t) c a f(t) có th đư c bi u th
trong nh ng s h ng c a bi n đ i Laplace c a f(t). Công th c chính xác
là
L{f(n)(t)}

n

n−1

=s L{f(t)}−
m=0

f (m)(0)sn−1−m


18