Luận văn: HIỆU CHỈNH PHƯƠNG TRÌNH TÍCH PHÂN TUYẾN TÍNH LOẠI I pptx

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
––––––––––––––––––––



MAI THỊ NGỌC HÀ





HIỆU CHỈNH PHƯƠNG TRÌNH
TÍCH PHÂN TUYẾN TÍNH LOẠI I


Chuyên ngành: TOÁN ỨNG DỤNG
Mã số: 60.46.36




LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN - 2009
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC
  



MAI THỊ NGỌC HÀ



HIỆU CHỈNH PHƯƠNG TRÌNH
TÍCH PHÂN TUYẾN TÍNH LOẠI I


Chuyên ngành: TOÁN ỨNG DỤNG
Mã số: 60.46.36


TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC





THÁI NGUYÊN - 2009

Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên

Công trình được hoàn thành tại Trường Đại học Khoa học:




Người hướng dẫn khoa học: GS.TS NGUYỄN BƯỜNG





Phản biện 1:

Phản biện 2:




Luận văn được bảo vệ trước hội đồng chấm luận
văn họp tại: Trường Đại học Khoa học - ĐHTN
Ngày tháng năm 2009




Có thể tìm hiểu luận văn tại thư viện Đại học Thái Nguyên


b
a
K(t, s)x(s)ds = f
0
(t), t ∈ [c, d],
−∞ < a < b < +∞, −∞ < c < d < +∞
x
0
(s) f
0
(t)
K(t, s) ∂K/∂t
10 2009
[1] [2]
ρ
ρ : X × X → R X × X
∀x, y ∈ X ρ(x, y) ≥ 0, ρ(x, y) = 0 ⇔ x = y
∀x, y ∈ X ρ(x, y) = ρ(y, x)
ρ(x, y) ≤ ρ(x, z) + ρ(z, y), ∀x, y, z ∈ X
ρ X
ρ(x, y)

x
n

∞
n=1

ρ x
0
∈ X
lim
n→∞
ρ(x
n
, x
0
) = 0,
lim
n→∞
x
n
= x
0
.

x
n

∞
n=1
⊂ X
∀ > 0, ∃n
0
∈ N ∀i, j ≥ n
0
ρ(x
i

, x
j
) < 
(X, ρ)
X X
M X

x
n

∞
n=1
⊂ M

x
n
k

∞
k=1
M
C
[a,b]
M
M ⊂ C
[a,b]
R X
X ×X → X
(x, y) → x + y
R ×X → X

(α, x) → α.x
R
∀x, y ∈ X, x + y = y + x
∀x, y, z ∈ X, x + (y + z) = (x + y) + z
0 ∈ X ∀x ∈ X, x + 0 = 0 + x
x ∈ X −x ∈ X : x + (−x) = 0
∀α, β ∈ R, ∀x ∈ X : α.(β.x) = (α.β).x
∀x ∈ X : 1.x = x
∀α, β ∈ R, x ∈ X (α + β).x = α.x + β.x
∀β ∈ R, x, y ∈ X : β.(x + y) = β.x + β.y
R
. X → R X
x ≥ 0, ∀x ∈ X; x = 0 ⇔ x = 0
∀x, y ∈ X : x + y ≤ x+ y
∀β ∈ R; ∀x ∈ X : β.x = |β|.x
X
ρ(x, y) = x −y (X, ρ)
X R
X ., . : X × X → R
x, x > 0, ∀x = 0; x, x = 0 ⇔ x = 0
x, y = y, x, ∀x, y ∈ X
αx, y = αx, y, ∀x, y ∈ X, ∀α ∈ R
x + y, z = x, z+ y, z, ∀x, y, z ∈ X
X ., .
x =


x, x

L

p
[a, b]
x
p
(s)
x
L
p
=


b
a
|x(s)|
p
ds

1/p
< +∞ (1.1)
W
1
2
f ∈ L
2
[a, b]
f

∈ L
2
[a, b]

f
2
W
1
2
= f
2
L
2
+ f


2
L
2
< ∞
x
C
[a,b]
= max
s∈[a,b]
|x(s)| (1.2)
X

x
n

⊂ X
x
0

∈ X n → ∞ x
n
−x
0
 → 0
n → ∞
lim
n→∞
x
n
= x
0
x
n
→ x
0
.
X X
∗

x
n

⊂ X x
0
∈ X ∀f ∈ X
∗
f(x
n
) → f(x

0
) n → ∞ x
n
 x
0
.

x
n

⊂ M
A : X → Y
A(x + y) = Ax + Ay ∀x, y ∈ X
A(αx) = αAx ∀x ∈ X, ∀α ∈ R
f : X → R f
A : X → Y x
n
→ x
0
Ax
n
→ Ax
0
K > 0
(∀x ∈ X), Ax ≤ Kx
A : X → Y X Y
x
n
 ≤ K(n = 1, 2, )


Ax
n
k

K(X, Y )
K(X, Y ) ⊂ B(X, Y ) B(X, Y )
A
−1
A : X → Y
X
0
⊆ X Y
0
= A(X
0
) X
0
X A
−1
Y
0
X
0
f(x)
X x
0
∈ X
f(x
0
) = inf

x∈X
f(x). (1.3)

x
n

lim
n→∞
f(x
n
) = f(x
0
)
∀ > 0, ∃N() : ∀n > N(), f(x
0
) − ≤ f(x
n
) ≤ f(x
0
) + 
•
Ax = b
a
ij
b = (b
1
, b
2
, , b
n

)
T
A = U
∗
U
U =









u
11
u
12
u
13
. . . u
1n
0 u
22
u
23
. . . u
2n
0 0 u

33
. . . u
3n
. . .
0 0 0 . . . u
nn









.
U
∗
U u
ij
u
11
=
√
a
11
, u
1j
=
a

1j
u
11
, j = 2, 3, n;
u
ii
=




a
ii
−
i−1

k=1
u
2
ki
, i = 2, 3, , n;
u
ij
=
1
u
ii
(a
ij
−

i−1

k=1
u
ki
u
kj
), i < j; u
ij
= 0, i > j.
Ax = b U
∗
y = b
Ux = y
[6]
ρ
X
(x
1
, x
2
) ρ
Y
(f
1
, f
2
)
Ax = f, f ∈ Y, (1.4)
x ∈ X f ∈ Y

(X, Y )
∀f ∈ Y, ∃x
f
∈ X : A(x
f
) = f
x
f
x
f
x f x = R(f)
(X, Y ) ε > 0
δ(ε) > 0 ρ
Y
(f
1
, f
2
) ≤ δ(ε) ρ
X
(x
1
, x
2
) ≤ ε
x
i
= R(f
i
), x

i
∈ X, f
i
∈ Y, i = 1, 2.
f f
δ
f
δ
− f ≤ δ x
δ
f f
δ
δ → 0 f
δ
→ f
x
δ
x

b
a
K(t, s)x(s)ds = f
0
(t), t ∈ [a, b], (1.5)
−∞ < a < b < +∞
x
0
(s) f
0
(t)

K(t, s) ∂K/∂t
•
A : C[a, b] → L
2
[a, b]
x(s) → f
0
(t) =

b
a
K(t, s)x(s)ds.
L
2
[a, b]
f
1
(t) f
2
(t) L
2
[a, b]
ρ
L
2
[a,b]
(f
1
, f
2

) =


b
a
|f
1
(t) −f
2
(t)|
2
dt

1/2
.
(1.5) x
0
(s)
f
1
(t) = f
0
(t) + N

b
a
K(t, s)sin(ω.s)ds
(1.5) x
1
(s) = x

0
(s) + Nsin(ω.s) N
ω f
0
, f
1
L
2
[a, b]
ρ
L
2
[a,b]
(f
0
, f
1
) = |N|


b
a


b
a
K(t, s)sin(ω.s)ds

2
dt


1/2
K
max
= max
s∈[a,b] t∈[a,b]
|K(t, s)|
ρ
L
2
[a,b]
(f
0
, f
1
) ≤ |N|


b
a

K
max
.
1
ω
.cos(ω.s) |
b
a


2
dt

1/2
≤
|N|.K
max
.c
0
ω
.
c
0
N ω
N
ω
ρ
C[a,b]
(x
0
, x
1
) = max
s∈[a,b]
|x
0
(s) −x
1
(s)| = |N|
•

A : L
2
[a, b] → L
2
[a, b]
x(s) → f
0
(t) =

b
a
K(t, s)x(s)ds,
x
0
, x
1
L
2
[a, b]
ρ
L
2
[a,b]
(x
0
, x
1
) =



b
a
|x
0
(s) −x
1
(s)|
2
ds

1/2
= |N|


b
a
sin
2
(ω.s)ds

1/2
= |N|

b −a
2
−
1
2ω
sin(ω(b −a)).cos(ω(b + a)).
N ω ρ

L
2
[a,b]
(f
0
, f
1
)
ρ
L
2
[a,b]
(x
0
, x
1
)
Ax = f
0
, (1.6)
A X
Y f
0
∈ Y (1.6)
[4] −[5]
A
−1
f
0
f

δ
: |f
δ
− f
0
| ≤ δ → 0
(A, f
δ
) δ
x
0
x
δ
x
δ
= A
−1
.f
δ
A
−1
f ∈ Y A
−1
A
−1
f
δ
A
−1
f

δ (1.6)
δ δ → 0
x
0
Y
X f
δ
∈ Y X
R(f, α) α Y
X (1.6)
δ
1
α
1
R(f, α)
α ∈ (0, α
1
) f ∈ Y : ρ
Y
(f, f
0
) ≤ δ, δ ∈ (0, δ
1
)
α = α(f, δ) ∀ > 0 ∃δ() ≤ δ
1
:
∀f ∈ Y, ρ
Y
(f, f

0
) ≤ δ ≤ δ
1
=⇒ ρ
Y
(x
α
, x
0
) ≤  x
α
∈ R(f, α(f, δ))
R(f, α)
x
α
∈ R(f
δ
, α)
(1.6) α = α(f
δ
, δ) = α(δ)
(1.6)
R(f, α)
α
f
δ
δ
z =
df(t)
dt

z
R(f, α) =
f(t + α) − f(t)
α
f(t) f
δ
(t) = f(t) + g(t)
|g(t)| ≤ δ t
R(f
δ
, α) =
f(t + α) − f(t)
α
+
g(t + α) − g(t)
α
α → 0
f(t + α) − f(t)
α
→ z.
|
g(t + α) − g(t)
α
| ≤
2δ
α
.
α =
δ
η(δ)

η(δ) → 0 δ → 0 2
δ
α
= 2η(δ) → 0
α = α
1
(δ) =
δ
η(δ)
, R(f
δ
, α
1
(δ)) → z.
(1.6) x
0
f
0
f
δ
ρ
Y
(f
δ
, f
0
) ≤ δ → 0 x
δ
x
0

Q
δ
=

z ∈ X, ρ
Y
(Az, f
δ
) ≤ δ

(1.7).
x
0
∈ Q
δ
x
δ
δ x
δ
→ x
0
δ → 0
[1]
Ω(x) ≥ 0 X
1
⊆ X X
1
= X
x
0

∈ D(Ω) Ω
∀d
0
> 0 X
d
0
1
=

z ∈ X
1
: Ω(z) ≤ d
0

z
δ
Ω(z
δ
) = inf
z∈Q
1
δ
Ω(z), Q
1
δ
= Q
δ
∩ X
1
. (1.8)

z
δ
f
δ
∈ Y
˜
R δ
z
δ
=
˜
R(f
δ
, δ)
˜
R(f
δ
, δ)
(1.6)
X ≡ H B H f(z)
H
˜
Ω(z) = f(z) + α.Ω(z), α > 0 (1.9)
˜z ∈ B ∩ X
1
˜
Ω(˜z) = inf
z∈B∩X
1
˜

Ω(z) (1.10)
z
δ
f ≡ 0 α = 1 [1]
M
α
[z, f
δ
] = ρ
2
Y
(Az, f
δ
) + α.Ω(z) (1.11)
ρ
Y
(Az, f
δ
)
Az = f
δ
Ω(z)
M
α
[z, f
δ
] α
ρ
Y
(Az, f

δ
) = δ. (1.12)
R
1
(f
δ
, α) =

z
δ
: M
α
[z
δ
, f
δ
] = inf
z∈X
1
M
α
[z, f
δ
]

. (1.13)
R
1
(f
δ

, α) Az = f.
A
Ω(z)
X
1
⊆ H ∀f ∈ Y α > 0 z
α
M
α
[z, f]
M
α
[z
α
, f
δ
] = inf
z∈X
1
M
α
[z, f
δ
] (1.14)
∀f ∈ Y ∀α > 0 R
1
(f, α)
X ≡ H z
α
= R

1
(f, α)
M
α
[z, f]
M
α
[z, f]
M
α
1
:= inf
z∈X
1
M
α
[z, f].

z
α
n

⊂ X
1
: M
α
n
:= M
α
[z

α
n
, f] → M
α
1
n → +∞
α.Ω(z
α
n
) ≤ ρ
2
Y
(Az
α
n
, f) + α.Ω(z
α
n
) = M
α
n
≤ C, ∀n
⇒ Ω(z
α
n
) ≤
C
α
= r


z
α
n

X
r
1

z
α
n
k

z
α
∈ X
1
M
α
n
k
:= M
α
[z
α
n
k
, f] −→ M
α
[z

α
, f] = M
α
1
z
α
∈ M
α
[z, f].
✷
T
δ
[0, δ]
A X Y x
0
Ax = f ∀ > 0
β
1
(δ), β
1
(δ) T
δ
1
β
2
(0) = 0
δ
2
β
1

(δ)
≤ β
2
(δ) (1.15)
δ
0
= δ
0
(, β
1
, β
2
)
˜
f ∈ Y δ ≤ δ
0
: ρ
Y
(
˜
f, f
0
) ≤ δ
α
δ
2
β
1
(δ)
≤ α ≤ β

2
(δ) (1.16)
ρ
X
(˜z
α
, x
0
) ≤  ˜z
α
∈ R
1
(
˜
f, α).
M
α
[z,
˜
f] z = ˜z
α
M
α
[˜z
α
;
˜
f] ≤ M
α
[x

0
,
˜
f].
α.Ω(˜z
α
) ≤ M
α
[˜z
α
,
˜
f] ≤ M
α
[x
0
,
˜
f]
= ρ
2
Y
(Ax
0
,
˜
f) + α.Ω(x
0
)
= ρ

2
Y
(f
0
,
˜
f) + α.Ω(x
0
)
≤ δ
2
+ α.Ω(x
0
) = α

δ
2
α
+ Ω(x
0
)

δ
2
β
1
(δ)
≤ α −→
δ
2

α
≤ β
1
(δ) ≤ β
1
(δ
1
)
δ
2
α
+ Ω(x
0
) ≤ β
1
(δ
1
) + Ω(x
0
) =: d
0
(d
0
= const).
Ω(˜z
α
) ≤ d
0
Ω(x
0

) ≤ d
0
˜z
α
, x
0
X
d
0
1
Y
d
0
= AX
d
0
1
A X
d
0
1
Y
d
0
Ax = f, f ∈ Y
d
0
X
d
0

1
X A
−1
Y
d
0
X
d
0
1
∀ > 0 γ() > 0
ρ
Y
(f
1
, f
2
) ≤ γ(), f
1
, f
2
∈ Y
d
0
ρ
X
(x
1
, x
2

) ≤  f
1
= Ax
1
, f
2
= Ax
2
˜
f
α
= A˜z
α
ρ
2
Y
(
˜
f
α
,
˜
f) = ρ
2
Y
(A˜z
α
,
˜
f) ≤ M

α
[˜z
α
,
˜
f]
≤ M
α
[x
0
,
˜
f] = ρ
2
Y
(Ax
0
,
˜
f) + α.Ω(x
0
) = ρ
2
Y
(f
0
,
˜
f) + α.Ω(x
0

)
≤ δ
2
+ α.Ω(x
0
).
α ≤ β
2
(δ)
ρ
Y
(
˜
f
α
,
˜
f) ≤

δ
2
+ β
2
(δ).Ω(x
0
)

1
2
= ϕ(δ). (1.17)