Luận văn về các nguyên lý biến phân

Đ I H C QU C GIA HÀ N I
TRƯ NG Đ I H C KHOA H C T

NHIÊN

-----------------------

HOÀNG TH M N

V

CÁC NGUYÊN LÝ BI N PHÂN

Chuyên ngành: TOÁN GI I TÍCH
Mã s :

60. 46. 01. 02

LU N VĂN TH C S

KHOA H C

NGƯ I HƯ NG D N KHOA H C:
PGS. TS. T

Hà N i - Năm 2015

DUY PHƯ NG


M cl c

M đu

3

1 Ki n th c chu n b
1.1 Không gian vectơ . . .

6

gian mêtric . . .
1.4 Ánh x đa tr . . . . .
1.5 M t s kí hi u . . . . .
1.6 Hàm n a liên t c dư i

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
61.2 Không gian vectơ tôpô . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . 71.3 Không
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

2 Nguyên lí bi n phân Ekeland
2.1 Nguyên lí bi n phân Ekeland c đi n . . . . 2.2
M r ng . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.1 Nguyên lí bi n phân Ekeland cho bài
2.2.2 Nguyên lí bi n phân Ekeland vectơ .

15
... ..

.
toán
...

......
15 . . . . . . 23
cân b ng 23
. . . . . . 29

3 Các d ng tương đương c a nguyên lí bi n phân và m t s
nguyên lí bi n phân khác
3.1 D ng hình h c c a nguyên lý bi n phân Ekeland . . . . . .
3.1.1 Đ nh lí Bishop-Phelps . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.1.2 Đ
nh lí cánh hoa (the flower- pental theorem) . . . . 3.1.3 Đ nh
lí gi t nư c (the drop theorem) . . . . . . . . .
3.2 S tương đương gi a nguyên lí bi n phân Ekeland và tính
đ y đ c a không gian mêtric . . . . . . . . . . . . . . . .
3.3
ng d ng nguyên lí bi n phân Ekeland trong ch ng minh
đ nh lí đi m b t đ ng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.1 Đ nh
lí đi m b t đ ng Banach . . . . . . . . . . . .
3.3.2 M t k t qu tinh t hơn c a Clarke (Clarke's Refinement) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1

36
36
36
38
41
43

44
44
46


3.3.3 Đ nh lí đi m b t đ ng Caristi-Kirk .
3.4 M t s nguyên lí bi n phân khác . . . . . .
3.4.1 Nguyên lí bi n phân Borwein-Preiss
3.4.2 Nguyên lí Deville-Godefroy-Zizler . .
K T LU N . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Tài li u tham kh o . . . . . . . . . . . . . . .

2

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.

.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.

.
.

.
.
.
.
.
.

.
.
.
.
.
.

48
51
51
54
58
59


M đu
Nguyên lý bi n phân Ekeland (1974) (Ekeland's variational principle, vi t t
t là EVP) đư c coi là m t trong các k t qu quan tr ng nh t c a gi i tích phi
tuy n trong b n th p k v a qua.
Nguyên lí bi n phân Ekeland xu t phát t đ nh lí Weierstrass nói r ng, n u

hàm f n a liên t c dư i trên t p compact X thì s đ t c c ti u trên t p đó. Khi
X là t p không compact thì hàm f có th không có đi m c c tr . V i không
gian metric đ X, hàm f b ch n dư i, v i m i ε > 0, ta
luôn tìm đư c đi m ε− x p x c c ti u x, t c là

inf f ≤ f (xε) < inf f + ε.
X

X

Vào năm 1974, Ekeland đã phát bi u nguyên lí nói r ng, v i hàm f n a
liên t c dư i, b ch n dư i trên không gian metric đ X thì v i m i đi m
ε− x p x c c ti u x, ta luôn tìm đư c đi m ˆ là c c ti u ch t c a hàm x
nhi u c a hàm ban đ u, đ ng th i f (ˆ) ≤ f (x). Không nh ng th , ta có x
th còn đánh giá đư c kho ng cách gi a ˆ và x . x
Sau khi ra đ i, nguyên lí bi n phân Ekeland đã tr thành công c m nh trong
gi i tích hi n đ i. Nh ng ng d ng c a nguyên lí này bao trùm nhi u lĩnh v c:
Lí thuy t t i ưu, gi i tích không trơn, lí thuy t đi u khi n, lí thuy t đi m b t đ
ng, kinh t ,...
Nguyên lí bi n phân Ekeland đã đư c GS. Ph m H u Sách [1] s d ng đ
nghiên c u vi phân ánh x đa tr và các đi u ki n t i ưu trong bài toán qui ho
ch có tham gia các ánh x đa tr .
S tương đương c a nguyên lí Ekeland v i đ nh lí đi m b t đ ng Caristi- Kirk
đã đư c phát hi n t lâu. Năm 1984 Penot m i ch ng minh đư c r ng nguyên
lí đó cũng tương đương v i đ nh lí gi t nư c c a Danes mà
3


sau này đư c g i là d ng hình h c c a nguyên lí bi n phân Ekeland.
Trong nh ng năm g n đây, nguyên lí này đư c m r ng cho hàm f là ánh x

đơn tr ho c đa tr nh n giá tr trong không gian vectơ và áp d ng trong các
bài toán cân b ng.
M c đích c a lu n văn này là tìm hi u m t s k t qu liên quan đ n nguyên lí
bi n phân Ekeland (c đi n và vectơ) cùng m t s ng d ng c a nguyên lí bi n
phân này.
Lu n văn g m 3 chương
Chương 1. Ki n th c chu n b
Chương này trình bày m t s khái ni m và k t qu c a tôpô và gi i tích hàm
ph c v cho vi c ch ng minh các đ nh lí.
Chương 2. Nguyên lí bi n phân Ekeland
Chương này trình bày nguyên lí bi n phân Ekeland c đi n, các m r ng c a
nguyên lí bi n phân Ekeland g m nguyên lí bi n phân Ekeland cho bài toán
cân b ng và nguyên lí bi n phân Ekeland vectơ.
Chương 3. Các d ng tương đương c a nguyên lí bi n phân và
m t s nguyên lí bi n phân khác
Chương này trình bày các d ng hình h c c a nguyên lí bi n phân Ekeland g
m đ nh lí Bishop-Phelps, đ nh lí cánh hoa và đ nh lí gi t nư c.
ng d ng đ nh lí đi m b t đ ng g m đ nh lí đi m b t đ ng Banach,
m t k t qu tinh t hơn c a Clarke, đ nh lí đi m b t đ ng Caristi-Kirk.
Cu i cùng là nguyên lí bi n phân Borwein-Preiss và nguyên lí DevilleGodefroy-Zizler.
Lu n văn c g ng trình bày m t cách có h th ng (v i các ch ng minh c
th và chi ti t cùng v i nh ng ch nh s a c n thi t) v nguyên lí bi n phân
Ekeland.

4


L i c m ơn
Lu n văn đư c hoàn thành dư i s hư ng d n t n tình c a PGS. TS. T
Duy Phư ng. Th y đã dành nhi u th i gian hư ng d n cũng như gi i đáp các

th c m c c a tôi trong su t quá trình làm lu n văn. Tôi bày t lòng bi t ơn sâu
s c đ n th y.
Qua đây, tôi xin g i t i quý th y cô Khoa Toán-Cơ-Tin h c, Trư ng Đ i h c
Khoa h c T nhiên, Đ i h c Qu c gia Hà N i, cũng như các th y cô đã tham
gia gi ng d y khóa cao h c 2013-2015, l i c m ơn sâu s c nh t
đ i v i công lao d y d trong su t quá trình h c t p c a tôi t i Trư ng.
Tôi xin c m ơn gia đình, b n bè và các b n đ ng nghi p thân m n đã quan
tâm, t o đi u ki n và c vũ, đ ng viên tôi đ tôi hoàn thành t t nhi m v c a
mình.

Hà N i, Ngày 25 tháng 10 năm 2015
Tác gi lu n văn
Hoàng Th M n

5


Chương 1

Ki n th c chu n b
1.1

Không gian vectơ

Đ nh nghĩa 1.1.1. Gi s F là m t trư ng R ho c C. Các ph n t c a F đư c g i
là s (đ i lư ng vô hư ng). M t không gian véctơ V đ nh nghĩa
trên trư ng F là m t t p h p V không r ng mà trên đó hai phép c ng véctơ
và phép nhân v i m t s hư ng đư c đ nh nghĩa sao cho các tính
ch t cơ b n sau đây đư c th a mãn:
1. Phép c ng véctơ có tính ch t k t h p:

V i m i u, v, w ∈ V : u + (v + w) = (u + v) + w;
2. Phép c ng véctơ có tính ch t giao hoán:
V i m i v, w ∈ V : v + w = w + v;
3. Phép c ng véctơ có ph n t trung hòa:
V i m i v ∈ V, có m t ph n t 0 ∈ V, g i là véctơ không: v + 0 = v;
4. Phép c ng véctơ có ph n t đ i:
V i m i v ∈ V, t n t i w ∈ V : v + w = 0;
5. Phép nhân vô hư ng phân ph i v i phép c ng véctơ:
V i m i α ∈ F ; v, w ∈ V : α(v + w) = αv + αw;
6. Phép nhân véctơ phân ph i v i phép c ng vô hư ng:
V i m i α, β ∈ F ; v ∈ V : (α + β)v = αv + βv;
7. Phép nhân vô hư ng tương thích v i phép nhân trong trư ng các s
vô hư ng: V i m i α, β ∈ F ; v ∈ V : α.(β.v) = (α.β)v;
8. Ph n t đơn v c a trư ng F có tính ch t c a ph n t đơn v v i phép
nhân vô hư ng: V i m i v ∈ V : 1.v = v.1.
6


Đ nh nghĩa 1.1.2. Cho X là không gian véctơ. T p C ⊆ X đư c g i là
t p l i n u v i m i x, y ∈ C và v i m i λ ∈ [0, 1] thì (1 − λ)x + λy ∈ C (hay nói
cách khác C ch a m i đo n th ng n i hai đi m b t kì thu c nó).
Đ nh nghĩa 1.1.3 (Nón). Cho X là m t không gian vectơ. T p K ⊂ X
đư c g i là nón có đ nh t i 0 n u ∀x ∈ K, ∀λ ≥ 0 thì λx ∈ K.

K đư c g i là nón có đ nh t i x0 n u K − x0 là nón có đ nh t i 0.
Đ nh nghĩa 1.1.4 (Nón đóng). Nón K có đ nh t i 0 đư c g i là nón đóng
n u K là t p đóng.
Đ nh nghĩa 1.1.5 (Nón nh n). M t nón đư c g i là nón nh n n u nó
không ch a đư ng th ng nào.
Đ nh nghĩa 1.1.6 (Nón l i). Nón K có đ nh t i 0 đư c g i là nón l i n u

K là t p l i, có nghĩa là
∀x, y ∈ K,

∀λ, µ > 0 và λ + µ = 1 thì λx + µy ∈ K.

M nh đ 1.1.1. K là nón l i khi và ch khi K là nón và K + K = K.
Ch ng minh. Gi s K là nón. Theo đ nh nghĩa ta có ∀x, y ∈ K thì

1x ∈ K và 1y ∈ K.
2
2
M t khác, K là nón l i nên 1(x + y) = 1x + 1y ∈ K. V y (x + y) ∈ K.
2
2
2
Suy ra K + K ⊆ K. V y K + K = K.
Đ o l i, vì K là nón nên λx ∈ K, (1 − λ)y ∈ K, ∀x, y ∈ K. Mà K + K =
K nên λx + (1 − λy) ∈ K hay K là t p l i.

1.2

Không gian vectơ tôpô

Đ nh nghĩa 1.2.1 (Không gian tôpô). Cho m t t p X = ∅. H τ các t p
con nào đó c a X đư c g i là m t tôpô trên X n u
(i) ∅ ∈ τ, X ∈ τ ;
(ii) Gα ∈ τ v i α ∈ I, I là t p ch s b t kì thì ∪α∈IGα ∈ τ ;
(iii) ∀G1, G2 ∈ τ thì G1 ∩ G2 ∈ τ.
T p X cùng v i tôpô trên X đư c g i là m t không gian tôpô. Kí hi

u: (X, τ ).
7


Đ nh nghĩa 1.2.2. Cho (X, τ ) là không gian tôpô.

• T p G đư c g i là t p m trong X n u G ∈ τ.
• T p F đư c g i là t p đóng trong X n u X∴F ∈ τ.
Đ nh nghĩa 1.2.3. Cho không gian tôpô (X, τ ), t p A là t p con c a X.
T p U đư c g i là m t lân c n c a t p A n u trong U có m t t p m ch a A. Khi
A = {x} thì U là m t lân c n c a đi m x.
Đ nh nghĩa 1.2.4. Cho không gian tôpô (X, τ ). M t h {Gα : α ∈ I} các t p
con c a X đư c g i là m t ph c a t p A ⊂ X n u A ⊂ ∪α∈IGα.
N u I là t p h u h n thì ta nói ph là h u h n.
N u m i Gα là t p m thì ta nói ph là ph m .
Đ nh nghĩa 1.2.5. T p A ⊂ X đư c g i là t p compact n u t m i ph
m c a A ta luôn có th l y ra đư c m t ph con h u h n.
Nh n xét 1.2.1. Trong trư ng h p A ⊂ Rn là t p compact khi và ch khi A đóng
và bi ch n.
Ch ng minh. Đi u ki n c n. Gi s A là t p compact và {xk} là m t dãy ph n t
c a A sao cho xk → a. Ta ch ng minh a ∈ A.
Vì A là t p compact, theo đ nh nghĩa dãy {xk}k ch a m t dãy con {xk}l
h i t đ n m t gi i h n thu c A. Ta có

a = k→+ xk = l→+ xkl ∈ A.
∞
∞
lim
lim
V y A là t p đóng.

Gi s ngư c l i t p A không b ch n. Khi đó v i m i k ∈ N∗ t n t i
xk ∈ A sao cho ||xk|| > k. Vì A là t p compact, dãy {xk} ⊂ A có ch a
m t dãy con {xkl}l sao cho xkl → a ∈ A (l → ∞). Do tính liên t c
c a chu n ta có ||xkl|| → ||a||, đi u này mâu thu n v i b t đ ng th c ||xkl|| > kl v i m i
l ∈ N∗. V y t p A ph i b ch n.
Đi u ki n đ . Gi s A ⊂ Rn là t p h p đóng và b ch n và {xk}k là dãy ph n t b t kì
c a A. Khi đó {xk}k là dãy b ch n.
Theo đ nh lí Bozano- Weierstrass thì trong không gian Rn m i dãy b ch n
đ u ch a m t dãy con h i t nên dãy {xk}k có ch a m t dãy con {xkl}l
8


sao cho xkl → a (l → ∞).
Vì A là t p đóng nên a ∈ A. V y A là t p compact.
Đ nh nghĩa 1.2.6. Cho không gian tôpô (X, τ ), A là m t t p con b t kì
c a X. Đ i v i m i ph n t b t kì x ∈ X ta g i:
(i) Đi m x là đi m trong c a t p A n u t n t i ít nh t m t lân c n c a

x n m trong A.
(ii) Đi m x là đi m ngoài c a t p A n u t n t i ít nh t m t lân c n c a

x n m tr n trong X∴A.
(iii) Đi m x là đi m biên c a t p A n u x đ ng th i không là đi m trong
và không là đi m ngoài c a A. Hay nói cách khác, x là đi m biên c a A
n u m i lân c n c a x đ u có giao khác r ng v i A và X∴A.
T p h p nh ng đi m biên c a t p h p A đư c g i là biên c a t p h p A, kí
hi u ∂A.
Đ nh nghĩa 1.2.7. Cho X, Y là hai không gian tô pô. M t ánh x f t

X vào Y đư c g i là liên t c t i đi m x0 n u v i m i lân c n V c a f (x0)

đ u t n t i m t lân c n U c a x0 sao cho f (U ) ⊆ V. Ánh x f đư c g i
là liên t c trên X n u nó liên t c t i m i đi m x ∈ X.
Đ nh nghĩa 1.2.8. Ta nói m t tôpô τ trên không gian véctơ X tương h p
v i c u trúc đ i s , n u các phép toán đ i s trong X liên t c trong tôpô
đó, t c là n u:
1. x + y là m t hàm liên t c c a hai bi n x, y, t c là v i m i lân c n V
c a đi m x + y đ u có m t lân c n Ux c a x và m t lân c n Uy c a y
sao cho n u x ∈ Ux, y ∈ Uy thì x + y ∈ V.
2. αx là m t hàm liên t c c a hai bi n α, x, t c là v i m i lân c n V c a

αx đ u có m t s ε > 0 và m t lân c n U c a x sao cho |α − α | < ε, x ∈ U thì α
x ∈ V.
M t không gian véctơ X trên đó có m t tôpô tương h p v i c u trúc đ i
s g i là m t không gian véctơ tôpô (hay không gian tôpô tuy n tính).
Đ nh nghĩa 1.2.9. M t không gian véctơ tôpô X đư c g i là không gian
véctơ tôpô l i đ a phương n u trong X có m t cơ s lân c n (c a g c) ch g m
các t p l i.
9


Đ nh nghĩa 1.2.10 (Ánh x liên t c). Cho X, Y là hai không gian tôpô.
Ánh x f : X → Y là liên t c t i đi m x trong X n u m i t p m V trong Y ch a f (x) thì
có t p m U c a X ch a x sao cho f (U ) ⊂ V . Ta nói f liên t c trên X n u nó
liên t c t i m i đi m trên X.

1.3

Không gian mêtric

Đ nh nghĩa 1.3.1. Cho X là m t t p h p khác r ng.

M t ánh x d : X ⋅ X → R th a mãn
(i) d(x, y) ≥ 0, ∀x, y ∈ X;
d(x, y) = 0 khi và ch khi x = y; (ii) d(x,
y) = d(y, x), ∀x, y ∈ X;
(iii) d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z), ∀x, y, z ∈ X.
Khi đó, d đư c g i là kho ng cách hay m t mêtric trên X và c p (X, d) đư c g
i là m t không gian mêtric.
Đ nh nghĩa 1.3.2. Trong không gian mêtric X. M t dãy {xn} đư c g i
là dãy cơ b n n u

(∀ε > 0) (∃N ) (∀n ≥ N ) (∀m ≥ N ) thì d (xn, xm) < ε.
Đ nh nghĩa 1.3.3. Không gian mêtric X trong đó m i dãy cơ b n đ u h i t (t
i m t ph n t c a X) đư c g i là m t không gian đ .
Đ nh nghĩa 1.3.4. Cho không gian mêtric X. T p h p

B(x0, r) = {x ∈ X|d(x0, x) < r}
đư c g i là hình c u m tâm x0, bán kính r.
Đ nh nghĩa 1.3.5. Cho không gian mêtric X. T p h p

B[x0, r] = {x ∈ X|d(x0, x) ≤ r}
đư c g i là hình c u đóng tâm x0, bán kính r.
Nh n xét 1.3.1. M i không gian mêtric là không gian tôpô v i τ là h
t t c các hình c u m trong X cùng v i giao h u h n và h p vô h n c a chúng.

10


Đ nh nghĩa 1.3.6. Cho không gian mêtric (X, d). Dãy hình c u (Sn), Sn
có tâm an và bán kính rn trong không gian (X, d) đư c g i là th t d n n u
Sn ⊃ Sn+1 (n = 1, 2, ...) và limn→∞ rn = 0.

Đ nh lí 1.3.1 (Nguyên lí Cantor). Không gian mêtric (X, d) là không gian
đ thì m i dãy hình c u đóng th t d n đ u có đi m chung duy nh t.
Ch ng minh. V i m i m, n mà m > n thì am ∈ S[an, rn].
Suy ra d(an, am) < rn. Do đó m,n

→∞

d(an, am) = 0. lim

Vì v y {an} là dãy Cauchy trong X.
Vì X đ nên dãy {an} h i t đ n a ∈ X. Khi đó a là đi m chung c a m i
hình c u.
Th t v y, v i s t nhiên n b t kì, {an+k}∞=1 là m t dãy trong S[an, rn] k
và klim an+k = 1, cho nên a ∈ S[an, rn] (∀n). →∞
Ta ch ng minh a là đi m chung duy nh t c a các hình c u.
Th t v y, gi s b cũng là đi m chung c a các hình c u thì

d(a, b) ≤ d(a, an) + d(an, b) ≤ rn + rn = 2rn (∀n).
Mà rn → 0 suy ra d(a, b) = 0. Vì v y a = b. Đ nh lí
hoàn toàn đư c ch ng minh.
Đ nh nghĩa 1.3.7 (Không gian đ nh chu n). Không gian đ nh chu n (hay
không gian tuy n tính đ nh chu n) là m t không gian tuy n tính X trên
trư ng P (P là trư ng s th c R hay trư ng s ph c C) cùng v i m t ánh
x đi t X vào t p h p s th c, kí hi u là ||.|| (đ c là chu n), th a mãn
các tiên đ sau:
(i) V i m i x ∈ X thì ||x|| ≥ 0,
||x|| = 0 khi và ch khi x = θ (θ là ph n t không c a X);
(ii) V i m i x ∈ X, m i α ∈ P thì ||αx|| = |α|||x||;
(iii) V i m i x, y ∈ X thì ||x + y|| ≤ ||x|| + ||y|| (b t đ ng th c tam giác). Kí hi u (X, ||.||).
Đ nh nghĩa 1.3.8 (Không gian Banach). Không gian đ nh chu n (X, ||.||)

đư c g i là không gian Banach n u v i mêtric sinh b i ||.|| là không gian đ
yđ .

11


1.4

Ánh x đa tr

Đ nh nghĩa 1.4.1. Cho X, Y là hai t p h p b t kì và t p các t p con c a Y
(đư c kí hi u là 2Y ). Ta nói F là ánh x đa tr t X vào Y n u v i m i x ∈ X, F
(x) là m t t p h p con c a Y .
Kí hi u: F : X
Y, hay F : X → 2Y .

1.5

M t s kí hi u

Ta kí hi u
dom f = {x ∈ X|f (x) < +∞};
Laf = {x ∈ X|f (x) ≤ a} là t p m c dư i c a f ;
epi f = {(x, a) ∈ X ⋅ R|f (x) ≤ a} là t p trên đ th c a f ;
dS(x) = d(S, x) := inf{d(x, y)|y ∈ S};
Br(S) := {x ∈ X|d(S, x) ≤ r;
graphF := {(x, y) ∈ X ⋅ Y |y ∈ F (x)} v i F : X → 2X.

1.6

Hàm n a liên t c dư i

Đ nh nghĩa 1.6.1. Cho X là không gian mêtric và hàm f : X →
R ∪ {+∞}. Ta đ nh nghĩa

lim inf f (x) = inf{y : ∃xn → x(n → ∞), nlim f (xn) = y}.
→∞

x→x

Đ nh nghĩa 1.6.2. Cho X là không gian tôpô. Hàm f : X → R ∪ {+∞}
đư c g i là n a liên t c dư i t i x0 n u lim inf f (x) ≥ f (x0).
x→x 0

Hàm f đư c g i là n a liên t c dư i trên X n u f n a liên t c dư i t i
m i đi m c a X.
Nh n xét 1.6.1. Hàm f là n a liên t c dư i t i x0 khi và ch khi ∀ε > 0 t n t i
lân c n U c a x0 sao cho ∀x ∈ U ta đ u có f (x) ≥ f (x0) − ε.
Ta có m nh đ sau
M nh đ 1.6.1. Cho X là không gian mêtric và hàm f : X → R∪{+∞}.
Khi đó các kh ng đ nh sau là tương đương
(i) f là hàm n a liên t c dư i trên X;
12


(ii) epif = {(x, a) ∈ X ⋅ R|f (x) ≤ a} là t p đóng trong X ⋅ R;
(iii) Laf = {x ∈ X|f (x) ≤ a} là t p đóng trong X(∀a ∈ R).
Ch ng minh. (i) ⇒ (ii) Gi s f là hàm n a liên t c dư i trên X. Ta l y
dãy {(xn, an)} ⊂ epif sao cho nlim (xn, an) = (x0, a0). Ta ch c n ch ra →∞
(x0, a0) ∈ epif .

Th t v y, vì nlim xn = x0, nlim an = a0 và hàm f là n a liên t c dư i t i
→∞

x0 nên lim inf f (xn) ≥ f (x0).

→∞

n→∞

M t khác, {(xn, an)} ⊂ epif nên f (xn) ≤ an(∀n ∈ N) nên lim inf f (xn) ≤

n→∞

lim a .
n→∞ n

Do đó f (x0) ≤ lim inf f (xn) ≤ nlim an = a0.
→∞

n→∞

Ch ng t r ng (x0, a0) ∈ epif .

(ii) ⇒ (iii) Gi s epi f là t p đóng trong X ⋅ R. Ta s ch ng minh m i t p m c c
a f đ u đóng trong X.
Th t v y, gi s Laf = {x ∈ X|f (x) ≤ a} là t p m c b t kì c a f . L y
dãy {xn} ⊂ Laf sao cho nlim xn = x0. Do dãy {xn} ⊂ Laf nên f (xn) ≤ a →∞
hay (xn, a) ∈ epif, ∀n ∈ N.
Hơn n a, nlim xn = x0 nên nlim (xn, a) = (x0, a).
→∞

→∞

Mà epif là t p đóng trong X ⋅ R nên (x0, a) ∈ epif , do đó x0 ∈ Laf.
(iii) ⇒ (i) Gi s m i t p m c c a f đ u đóng trong X, ta c n ch ng minh f là
hàm n a liên t c dư i trên f .
Ph n ch ng, gi s f không là hàm n a liên t c dư i t i x0 ∈ X. Khi đó,
t n t i dãy {xn} ⊂ X sao cho nlim xn = x0, lim inf f (xn) < f (x0). Ch n
→∞

n→∞

ε > 0 đ nh sao cho t n t i k ∈ N đ f (xn) ≤ f (x0) − ε, ∀n > k.
Xét t p m c L = {x ∈ X|f (x) ≤ f (x0) − ε}. Ta th y xn ∈ L, ∀n > k.
M t khác, do L đóng và nlim xn = x0 nên x0 ∈ L, do đó f (x0) < f (x0) − ε →∞
(vô lí).
V y f là n a liên t c dư i trên X.
Đ nh nghĩa 1.6.3. Cho t p S trong không gian mêtric (X, d). Hàm ch
c a t p S là hàm

lS(x) = 0 ∞ n u x ∈ S,.
13
+


n ux∈S /


M nh đ 1.6.2. N u S là t p đóng thì lS là hàm n a liên t c dư i.
Ch ng minh. Khi x0 ∈ S, t đ nh nghĩa hàm lS ta có, v i m i ε > 0 t n t i lân c n U

c a x0 mà lS(x) ≥ lS(x0) − ε, ∀x ∈ U.
Khi x0 ∈ S, do S là t p đóng nên d(x0, S) > 0. /
Ta ch n r = d(x0, S), ∀x ∈ B(x0, r) thì x ∈ S. /
2
Do đó, lS(x) ≥ lS(x0) − ε, ∀x ∈ B(x0, r).
V y lS là hàm n a liên t c dư i.
Đ nh nghĩa 1.6.4. Cho m t không gian vectơ X. M t hàm s f (x) xác
đ nh trên X và l y giá tr là s (th c hay ph c, tùy theo X là không gian th c
hay ph c) g i là m t phi m hàm trên X.
Phi m hàm đó g i là tuy n tính n u
(i) f (x1 + x2) = f (x1) + f (x2) v i m i x1, x2 ∈ X;
(ii) f (αx) = αf (x) v i m i x ∈ X và v i m i s α.
Đ nh nghĩa 1.6.5 (Không gian liên h p). Cho X là m t không gian vectơ
tôpô. Không gian liên h p (hay còn g i là không gian đ i ng u) c a X, kí hi u
là X∗ là t p h p t t c các phi m hàm tuy n tính liên t c trên X.

14


Chương 2

Nguyên lí bi n phân Ekeland
Trong chương này, ta xem xét nguyên lí bi n phân Ekeland c đi n, xem xét
nguyên lí này trong không gian h u h n chi u, m r ng c a nguyên lí bi n
phân Ekeland cho bài toán cân b ng và nguyên lí Ekeland vectơ.

2.1

Nguyên lí bi n phân Ekeland c đi n

Trong bài toán t i ưu, ta quan tâm đ n câu h i là khi nào hàm f :

X → R ∪ {+∞} đ t c c ti u trên X, t c là t n t i ˆ ∈ X sao cho x
f (x) ≥ f (ˆ) ∀x ∈ X. x
Trư c h t ta nh c l i k t qu quen thu c v s t n t i đi m c c ti u c a hàm f n a
liên t c dư i trên t p compact.
Đ nh lí 2.1.1 (Đ nh lí Weierstrass). Cho hàm f : X → R ∪ {+∞} là hàm
n a liên t c dư i trên t p X compact. Khi đó f đ t c c ti u trên X.
Ch ng minh. Đ t a = inf{f (x)|x ∈ X}. Khi đó có m t dãy {xn} ⊂ X
sao cho nlim f (xn) = a. →∞
Do X compact, không m t tính t ng quát ta có th coi {xn} là dãy h i t
đ n x ∈ X. Ta s ch ng minh f (x) = a.
Th t v y, do f là hàm n a liên t c dư i t i x nên nlim inf f (xn) ≥ f (x). →∞
K t h p v i nlim f (xn) = a ta suy ra f (x) ≤ a (đi u đó ch ng t a = −∞). →∞
M t khác theo đ nh nghĩa c a a ta có f (x) ≥ a. V y f (x) = a và x là
đi m c c ti u c a hàm f trên X.
Như v y, đi u ki n đ f đ t c c ti u trên X là X là t p compact và f ph i là
hàm n a liên t c dư i trên X. N u ta b đi tính ch t compact c a
15


t p X thì k t lu n c a đ nh lí không còn đúng.
Ta các xét ví d sau.
Ví d 2.1.1. Xét hàm s f (x) = 1 v i x ≥ 1.
x
Vì X = [1, +∞) là t p đóng nhưng không b ch n nên X không ph i là
t p compact.
Hàm f liên t c trên X.
Rõ ràng t n t i inf f (x) = 0 nhưng không t n t i x0 ∈ [1, +∞) sao cho x≥
1

f (x0) ≤ f (x),

∀x ∈ [1, +∞).

Th t v y, gi s ph n ch ng, t n t i x0 ∈ [1, +∞) sao cho

f (x0) ≤ f (x),

∀x ∈ [1, +∞).

Ta có f (x0) ≤ f (x) ⇔ 1 ≤ 1 ⇔ x0 ≥ x.
x0
x
V i x ≥ x0 thì
1 ≤ 1 t c f (x) ≤ f (x ) (mâu thu n). 0
x x0
Do đó f không đ t c c ti u trên [1, +∞).
Ví d 2.1.2. Xét hàm s f (x) = −1 v i 0 < x ≤ 1.
x
Vì X = (0, 1] là t p b ch n nhưng không đóng nên X không ph i là t p
compact.
Hàm f liên t c trên X.
Rõ ràng không t n t i x0 ∈ (0, 1] sao cho

f (x0) ≤ f (x),

∀x ∈ (0, 1].

Th t v y, l y {xn} ⊂ (0, 1] b t kì mà xn → 0 khi n → ∞.

Suy ra −1 → −∞ khi n → ∞. T c là, f (xn) → ∞ khi n → ∞. Đi u này
xn
ch ng t không t n t i x0 ∈ (0, 1] sao cho f (x0) ≤ f (x), ∀x ∈ (0, 1].
Ta đã bi t r ng m i t p khác r ng b ch n dư i trong R đ u có c n dư i
đúng. Vì {f (x), x ∈ X} là m t t p khác r ng trong R nên luôn t n
t i inf{f (x), x ∈ X}. Nhưng n u X không ph i là t p compact thì dù f
có th là hàm liên t c (như các ví d trên) thì v n chưa ch c đã t n t i min{f
(x), x ∈ X}. Câu h i đ t ra là li u có t n t i hay không hàm ϕ(x)
"đ g n" hàm f (x) mà t n t i ˆ sao cho ϕ(ˆ) = min ϕ(x). Câu h i này
x
x
16


đã đư c tr l i b ng nguyên lí bi n phân Ekeland.
Khi gi thi t compact c a t p X không còn thì hàm f có th không
đ t c c tr . Khi đó ta xét khái ni m đi m ε− x p x c c ti u như sau.
Đ nh nghĩa 2.1.1. V i ε > 0 cho trư c, m t đi m x ∈ X g i là ε− x p
x c c ti u c a f (x) n u

inf f ≤ f (x) < inf f + ε.
X

X

Đi m ε− x p x c c ti u bao gi cũng t n t i n u f b ch n dư i. Tuy
nhiên, khi X là không gian metric đ thì nguyên lí bi n phân Ekeland phát bi
u r ng, ta có th làm nhi u hàm f đ thu đư c m t hàm đ t c c ti u trên X. Sau
đây ta phát bi u và ch ng minh nguyên lí bi n phân Ekeland và m t s phát bi
u khác c a nguyên lí này.

Đ nh lí 2.1.2 (Nguyên lí bi n phân Ekeland). Cho (X, d) là không gian
mêtric đ và hàm f : X → R ∪ {+∞} là hàm n a liên t c dư i, b ch n
dư i. Gi s ε > 0 và x ∈ X th a mãn

f (x) < inf f + ε.

(2.1)

X

Khi đó, v i λ > 0 b t kì, t n t i ˆ ∈ X sao cho x
(i) f (ˆ) ≤ f (x); x
(ii) d(ˆ x) ≤ λ; x,
(iii) f (x) + ε d(x, ˆ) > f (ˆ), ∀x ∈ X∴{ˆ}.
λ
x
x
x
Nguyên lí bi n phân Ekeland có nhi u cách ch ng minh. Dư i đây chúng
tôi trình bày ch ng minh nguyên lí này theo [2].
Đ nh nghĩa 2.1.2. Cho s α > 0, ta đ nh nghĩa quan h th t " ≤α "
trên X ⋅ R như sau

(x1, a1) ≤α (x2, a2) ⇔ (a2 − a1) + αd(x1, x2) ≤ 0.
N u (x1, a1) ≤α (x2, a2) thì ta cũng vi t (x2, a2) ≥α (x1, a1).
D dàng ch ng minh quan h " ≤α " có tính ph n x , đ i x ng, b c c u.

• Tính ph n x : Hi n nhiên ta có (x, a) ≤α (x, a) v i m i (x, a) ∈ X ⋅R.
17

(2.2)


• Tính ph n x ng: Gi s r ng (x1, a1) ≤α (x2, a2) và (x2, a2) ≤α
(x1, a1). Ta c n ch ng t r ng(x1, a1) = (x2, a2).
Th t v y, t công th c (2.2) ta có
(x1, a1)

≤α

(x2, a2)

⇔

d(x1,

a1 − a2
≤
α

x2)

(2.3)

và

(x2, a2) ≤α (x1, a1) ⇔ d(x1, x2) ≤ a − a .

2

1

(2.4)

α

Suy ra 2d(x1, x2) ≤ 0. Vì th x1 = x2.
T (2.3) và (2.4) ta có a1 ≤ a2 và a2 ≤ a1 nên a1 = a2. Do đó (x1, a1) = (x2,
a 2 ).

• Tính b c c u: Gi s r ng (x1, a1) ≤α (x2, a2) và (x2, a2) ≤α (x3, a3).
Ta c n ch ng t (x1, a1) ≤α (x3, a3).
Ta có
1

Do đó

, x2) ≤ a − a và d(x2, x3) ≤ a − a .
1 α 2
d(x
1

d(x

, x2) + d(x2, x3) ≤ a − a .
1

M t khác

α

2

α

3

3

d(x1, x3) ≤ d(x1, x2) + d(x2, x3).
d(x1, x3) ≤ a1 − a3 . V y (x1, a1) ≤ (x3, a3).
α
Kh ng đ nh 1: N u (x1, a1) ∈ X ⋅ R thì Ω := {(x, a) ∈ X ⋅ R : (x, a) ≥
(x1, a1)} là t p đóng.
T đây ta có

Ch ng minh. Th t v y, gi s {(xn, an) ⊂ X ⋅ R th a mãn

(xn, an) ≥α (x1, a1)
Do d(x1, xn) ≤ a1 − an ,

α

(k = 2, 3, 4...) và xn → x; an → a
∀n ∈ N nên ta có

a1 − a ,
≤α
t c là (x, a) ≥ (x1, y1). V y (x, a) ∈ Ω. Ta đã ch ng minh đư c r ng Ω là
t p đóng.

d(x1, x)

18


Kh ng đ nh 2: Cho S là t p đóng trong X ⋅ R sao cho t n t i m > 0
đ a > m v i m i (x, a) ∈ S. Khi đó v i m i ph n t (x1, a1) ∈ S t n
t i (x, a) ∈ S sao cho (x, a) ≥ (x1, a1) và (x, a) là ph n t c c đ i trong

S theo th t " ≤α ", t c là, n u (x, a) ∈ S và (x, a) ≤α (x, a) thì
(x, a) = (x, a).
Ch ng minh. Ta xây d ng dãy (xn, an) trong S b ng quy n p như sau.
B t đ u t (x1, a1) ∈ S cho trư c, gi s (xn, an) đã bi t. Ta kí hi u

Sn = {(x, a) ∈ S|∃x ∈ X, (xn, an) ≤α (x, a)}.
Theo kh ng đ nh 1, Sn là t p đóng. Ngoài ra, vì (xn, an) ∈ Sn nên Sn = ∅.
Đt

mn = inf{a ∈ R|(x, a) ∈ Sn}.
Hi n nhiên mn ≥ m và mn ≤ an. Ch n (xn+1, an+1) ∈ Sn sao cho

an+1 ≤ an + mn .
2

(2.5)

N u mn = ann thì đ t (xn+1, a n+1) = (xn, a n). Gi s mn < na n do

mn < mn + a , t n t i (x, a) ∈ S sao cho mn ≤ a < mn + a . Đ t
2

(xn+1, an+1) = (x, a) ta th y (2.5) nghi m đúng.
Dãy {Sn} là các t p l ng nhau: Sn+1 ⊂ Sn, ∀n ∈ N.
Th t v y, n u (x, a) ∈ Sn+1 thì
(xn, an) ≤ (xn+1, an+1) ≤ (x, a).
Do đó (x, a) ∈ Sn.
Đ t d((x, a), (x , a )) = d(x, x ) + |a − a |. V i m i n ta có

mn ≤ mn+1 ≤ an+1
và

|an+1 − mn+1| ≤ 1|an − mn| ≤ 2−n|a1 − m|.
2
Th t v y, do (2.5) ta có
an+1 − mn+1 ≤ an+1 − mn ≤ 1(an − mn) = 1|an − mn|.
2
+1
n
Vì a − mn+1 ≥ 0, t đó suy ra
|an+1 − a| ≤ ... ≤ 2−n|a1 − m1| ≤ 2−n|a1 − m|.
19

2

2


V i m i (x, a) ∈ Sn+1 ta có

|an+1 − a| ≤ |an+1 − mn+1| ≤ 2−n|a1 − m|.
Vì (xn+1, an+1) ≤ (x, a) nên

+1
0≤ d(xn+1, x) ≤ an − a.
α

Do đó

0≤ d(xn+1, x) ≤ an+1 − a ≤ 2−n |a1 − m|.
α
α
T đó suy ra khi n → ∞, ta có
diamSn+1 := sup{d((x, a), (x , a )) : (x, a) ∈ Sn+1, (x , a ) ∈ Sn+1} → 0. V y {Sn}
là dãy các t p đóng l ng nhau có đư ng kính gi m t i 0.
Vì X ⋅ R là không gian mêtric đ nên t n t i duy nh t ph n t (x, a) ∈
X ⋅ R th a mãn

∩∞=1Sn = {(x, a)}. n
Do (x, a) ∈ S1, ta có (x, a) ∈ S và (x1, a1) ≤α (x, a).
Gi s (x, a) ∈ S th a mãn

(x, a) ≤α (x, a).

(2.6)

Do (2.6) và do (x, a) ∈ Sn, v i m i n ∈ N, ta có

(xn, an) ≤α (x, a) ≤α (x, a).
V y (x, a) ∈ Sn, ∀n ∈ N. T đó suy ra (x, a) = (x, a). Ta đã ch ng
minh đư c r ng (x, a) là ph n t c c đ i trong S.
Kh ng đ nh 2 đư c ch ng minh.
Đt

S = epif = {(x, a) ∈ X ⋅ R : f (x) ≤ a}.
Do hàm f là n a liên t c dư i, S là t p đóng trong X ⋅R. Ta có (x, f (x)) ∈
S. Đ t (x1, a1) = (x, f (x)), do Kh ng đ nh 2 nên t n t i (ˆ ˆ) sao cho x, a

(x1, a1) ≤α (ˆ ˆ) x, a
và (ˆ ˆ) là ph n t c c đ i trong S theo th t " ≤α ". x, a
Đ t α = ε . T (2.7) ta có

λ

ˆ − a1 + αd(x, ˆ) ≤ 0
a
x
20

(2.7)


hay

ˆ − f (x) + αd(x, ˆ) ≤ 0.
a
x
M t khác, ta có ˆ = f (ˆ). Th t v y, gi s ˆ > f (ˆ). Khi đó d(ˆ ˆ) <
a
x
a
x

(2.8)

x, x

ˆ − f (ˆ). Suy ra (ˆ ˆ) ≤ (ˆ f (ˆ)) và (ˆ ˆ) = (ˆ f (ˆ)). Đi u này ch ng
a
x
x, a α x, x
x, a
x, x
2
t (ˆ ˆ) không th là ph n t c c đ i, mâu thu n. V y x, a
ˆ = f (ˆ).
a
x

(2.9)

Th (2.9) vào (2.8) ta có

f (ˆ) − f (x) + αd(x, ˆ) ≤ α.
x
x

(2.10)

Suy ra f (ˆ) − f (x) ≤ 0, t c tính ch t (i) trong k t lu n c a đ nh lí nghi m x
đúng. Do đó

f (x) ≤ xinf f (x) + ε ≤ f (ˆ) + ε. x

∈X

T (2.10) ta có

αd(x, ˆ) ≤ f (x) − f (ˆ) ≤ ε.
x
x
Do đó

d(x, ˆ) ≤ α = ελ = λ. ε
x
ε
V y tính ch t (ii) nghi m đúng.
Đ ki m tra tính ch t (iii), ta l y tùy ý x ∈ X∴{ˆ}. x
N u f (x) = +∞ thì b t đ ng th c ch t trong (iii) là đúng.
Gi s f (x) ∈ R. Vì (x, f (x)) ∈ S, (x, f (x)) = (ˆ f (ˆ)) và (ˆ f ˆ) là
x, x
x, x
ph n t c c đ i trong S nên b t đ ng th c (ˆ f (ˆ)) ≤α (x, f (x)) là sai. x, x
Do đó
f (x) − f (ˆ) + αd(x, ˆ) > 0
x
x
hay

f (x) − f (ˆ) + ε d(x, ˆ) > 0.
x
λ
x

V y tính ch t (iii) nghi m đúng. Đ nh lí đã đư c ch ng minh.
Nh n xét 2.1.1. N u X là không gian Banach thì tính ch t (iii) trong
k t lu n c a Đ nh lí suy ra

f (ˆ) + ε ||ˆ − ˆ|| ≤ f (x) + ε ||x − ˆ|| ∀x ∈ X.
x
λ
x
λx x
2
1


Đ t φ(x) = f (x) + ε ||x − ˆ||, ta có φ(ˆ) ≤ φ(x) v i m i x ∈ X, t c là
λ
x
x
xˆ là đi m c c ti u toàn c c c a hàm φ (m t x p x c a f ). Nói m t cách
khác, nguyên lý bi n phân Ekeland kh ng đ nh r ng v i m i đi m ε− c c ti u c
a hàm s th c n a liên t c dư i trên m t không gian mêtric đ , t n t i đi m c c ti
u toàn c c c a m t hàm s x p x c a hàm s th c đó, sao cho đi m m i này
cách đi m đã cho"không xa l m" và giá tr c a hàm s th c ban đ u t i đó
không l n hơn giá tr c a hàm s x p x t i đi m ε− c c ti u đã cho.
Các d ng khác c a nguyên lí bi n phân Ekeland.
Đ nh lí 2.1.3. Cho (X, d) là không gian mêtric đ và hàm f : X →
R ∪ {+∞} là hàm n a liên t c dư i, b ch n dư i. Gi s ε > 0 và x ∈ X
th a mãn
f (x) < inf f + ε.
X

Khi đó, v i m i λ > 0 t n t i ˆ ∈ X sao cho x
(i) d(x, ˆ) ≤ λ; x
(ii) f (ˆ) + ε d(x, ˆ) ≤ f (x);
x
x
λ

ε

(iii) f (x) + d(x, ˆ) > f (ˆ), ∀x ∈ X∴{ˆ}.
x
x

x

λ

H ng s λ trong đ nh lí trên r t linh ho t. Ch n λ =
sau.

√

ε, ta có k t qu

Đ nh lí 2.1.4. Cho (X, d) là không gian mêtric đ và hàm f : X →
R ∪ {+∞} là hàm n a liên t c dư i, b ch n dư i. Gi s ε > 0 và x ∈ X
th a mãn
f (x) < inf f + ε.
X

Khi đó t n t i ˆ ∈ X sao cho: √x
(i) d(ˆ x) ≤ ε;
x,
√
(ii) f (ˆ) + √εd(ˆ x) ≤ f (x);
x
x,
(iii) f (x) + εd(ˆ x) > f (ˆ), ∀x ∈ X∴{ˆ}.
x,
x

x

Khi đi m x p x c c ti u x không bi t rõ, ta ch quan tâm đ n tính ch t
c a đi m ˆ v i hàm nhi u, ta có d ng y u c a nguyên lí bi n phân sau. x