Phương pháp đạo hàm và các bài toán về tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất

Đ I H C QU C GIA HÀ N I
TRƯ NG Đ I H C KHOA H C T

NHIÊN

NGUY N TH DI P

PHƯƠNG PHÁP Đ O HÀM VÀ CÁC BÀI TOÁN V
GIÁ TR L N NH T VÀ NH
NH T

Chuyên ngành : Phương pháp toán sơ c p
Mã s : 60 46 01 13

LU N VĂN TH C S

KHOA H C

Ngư i hư ng d n khoa h c : PGS.TS. NGUY N MINH TU N

Hà N i- 2015

TÌM


L i cám ơn
Trư c khi trình bày n i dung chính c a lu n văn, tôi xin bày t lòng c m ơn chân
thành t i PGS.TS. Nguy n Minh Tu n, ngư i th y đã tr c ti p hư ng d n, ch b o t n tình và
giúp đ tôi trong su t quá trình hoàn thành lu n văn này.
Tôi cũng xin chân thành c m ơn s giúp đ c a các th y giáo, cô giáo trong khoa
Toán Cơ Tin h c, Trương Đ i h c Khoa h c T Nhiên-Đ i h c Qu c gia Hà N i và Khoa

sau đ i h c, đã nhi t tình giúp đ tôi hoàn thành khóa Cao h c.
Tôi xin bày t lòng bi t ơn đ n gia đình, b n bè đã luôn đ ng viên và khuy n khích
tôi r t nhi u trong th i gian nghiên c u và h c t p.
Do m i làm quen v i công tác nghiên c u khoa h c nên lu n văn còn nhi u thi u
sót. Tác gi kính mong nh n đư c ý ki n đóng góp c a các th y cô và các b n đ lu n văn
hoàn thi n hơn.
Hà N i, năm 2015

Nguy n Th Di p

2


M cl c

L im đ u

4

1 M t s ki n th c chu n b

2

6

1.1

Đ nh nghĩa đ o hàm t i m t đi m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.2

C c tr c a hàm s

7

1.3

Các đ nh lí cơ b n v hàm kh vi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.4

Hàm l i và hàm lõm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

.............................

ng d ng đ o hàm gi i các bài toán tìm giá tr l n nh t, giá tr nh
nh t c a hàm s

11

2.1

Kh o sát tr c ti p hàm s trên mi n xác đ nh . . . . . . . . . . . . . .

11

2.2

Kh o sát hàm s theo t ng bi n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17

2.3

Đ t bi n ph chuy n v đánh giá hàm s m t bi n . . . . . . . . . . . .

30

2.4

Đánh giá gián ti p thông qua bi u th c b c nh t . . . . . . . . . . . .

44

2.5

Phương pháp s d ng tính ch t c a hàm l i, hàm lõm . . . . . . . . .

51

3 C c tr hàm nhi u bi n

59

3.1

C c tr t do . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

59

3.2

C c tr có đi u ki n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

63

3


L im đ u
Trong nh ng năm g n đây, các kỳ kh o sát ch t lư ng, thi h c sinh gi i b c trung
h c ph thông thư ng g p nh ng bài toán yêu c u tìm giá tr nh nh t, giá tr l n nh t c a m t
đ i lư ng nào đó. Các bài toán c c tr r t phong phú và đa d ng mang n i dung vô cùng
sâu s c, có ý nghĩa r t quan tr ng đ i v i các em h c sinh. Các bài toán v c c tr góp ph n
không nh vào vi c rèn luy n tư duy cho h c sinh. Bài toán đi tìm cái t t nh t, r nh t, ng n
nh t, dài nh t... trong m t bài toán. Đ d n d n hình thành cho h c sinh thói quen đi tìm
gi i pháp t i ưu cho m t công vi c nào đó trong cu c s ng sau này.
Lu n văn trình bày m t s

ng d ng c a đ o hàm đ gi i các bài toán c c tr . Lu n

văn ch đ c p t i m t s phương pháp gi i m t s lo i toán c c tr đ i s thư ng g p trong
chương trình toán h c trung h c ph thông. Lu n văn h th ng hóa, phân lo i toán và trình
bày theo t ng ý tư ng cũng như các k năng v n d ng đ o hàm vào vi c gi i m t l p các bài

toán tìm giá tr l n nh t và giá tr nh nh t. Lu n văn g m có 3
chương v i các n i dung sau:
Chương 1: Lu n văn trình bày các ki n th c khái ni m c n thi t như đ o hàm, tính đơn đi u
và hàm l i và đư c tham kh o trong [3].
Chương 2: Lu n văn trình bày phương pháp s d ng đ o hàm vào gi i các bài toán tìm
giá tr l n nh t, giá tr nh nh t. Chương 2 lu n văn trình bày phương pháp kh o sát tr c ti p
hàm s trên t p xác đ nh c a hàm s , kh o sát theo hàm s t ng bi n, đ t bi n ph chuy n v
đánh giá hàm m t bi n, đánh giá thông qua bi u th c b c nh t, hay phương pháp s d ng
tính ch t hàm l i, hàm lõm... đư c tham kh o trong [1, 5, 6, 2, 7, 4].

4


5
Chương 3. Lu n văn trình bày phương pháp đ tìm c c tr t do và c c tr có đi u
ki n c a hàm nhi u bi n s . T đó tìm giá tr l n nh t, giá tr nh nh t c a hàm s và đư c
tham kh o trong [3].


Chương 1
M t s ki n th c chu n b
1.1

Đ nh nghĩa đ o hàm t i m t đi m

Đ nh nghĩa 1.1. Cho hàm s y = f (x) xác đ nh trên kho ng (a, b) và x0 ∈ (a, b). N u
gi i h n sau t n t i và h u h n
x→x0 lim

f (xx − f

(x0) )
− x0
thì gi i h n này đư c g i là đ o hàm c a hàm s f t i đi m x0 và đư c ký hi u là
f (x0). Khi đó ta nói r ng f kh vi t i x0.
Chú ý. N u kí hi u ∆x = x − x0, ∆y = f (x0 + ∆x) − f (x0) thì
f (x0) = xlim0 f (x0 +x∆− )x− f (x0) = ∆lim0 ∆y . x
→x

0

x→ ∆x

N u hàm s y = f (x) có đ o hàm t i x0 thì nó liên t c t i đi m đó.
Ý nghĩa hình h c. Cho hàm s y = f (x) có đ th (C). Khi đó, f (x0) là h s góc c a ti p tuy n
đ th (C) c a hàm s y = f (x) t i M (x0, y0) ∈ (C). Phương trình ti p
tuy n c a đ th hàm s y = f (x) t i đi m M (x0, y0) ∈ (C) là
y = f (x0)(x − x0) + y0.


6


7

1.2

C c tr c a hàm s

Đ nh nghĩa 1.2. Cho hàm s y = f (x) xác đ nh trên t p h p D ⊂ R và x0 ∈ D. Đi m

x0 đư c g i là m t đi m c c đ i c a hàm s f (x) n u t n t i m t kho ng (a, b) ch a
đi m x0 sao cho f (x) ≤ f (x0) v i ∀x ∈ (a, b) ∩ D. Khi đó f (x0) đư c g i là giá tr c c đ i c a f (x) và
đi m (x0, f (x0)) đư c g i là đi m c c đ i c a đ th hàm s y = f (x). Đi m x0 đư c g i là m t đi m
c c ti u c a hàm s f (x) n u t n t i m t kho ng (a, b) ch a đi m x0 sao cho f (x) ≥ f (x0) v
i ∀x ∈ (a, b) ∩ D.
Khi đó f (x0) đư c g i là giá tr c c ti u c a f (x) và đi m (x0, f (x0)) đư c g i là đi m
c c ti u c a đ th hàm s y = f (x).
Đi m c c đ i, c c ti u đư c g i chung là đi m c c tr . Giá tr c c đ i, giá tr c c ti u đư c g i
chung là c c tr .
Đ nh lý 1.3. Cho hàm s y = f (x) xác đ nh và liên t c trên [a, b].
N u f (x) ≥ 0 ∀x ∈ [a, b] thì f (x) đ ng bi n trên [a, b] và khi đó ta có
x∈[a,b] min

f (x) = f (a), max f (x) = f (b).
x

]

∈[a,b

N u f (x) ≤ 0 ∀x ∈ [a, b] thì f (x) ngh ch bi n trên [a, b] và khi đó ta có
x∈[a,b] min

f (x) = f (b), max f (x) = f (a).
x

]

∈[a,b

Chú ý. Khái ni m c c đ i c c ti u c a m t hàm s có tính ch t đ a phương, chúng
chưa ch c đã là giá tr l n nh t, giá tr nh nh t c a hàm s .

Ta có k t qu sau v đi u ki n c n c a c c tr .
Đ nh lý 1.4. ( Đ nh lý Fermat) Cho hàm f xác đ nh trên (a, b) và x0 ∈ (a, b). N u
hàm s f có c c tr t i x0 và hàm f có đ o hàm t i x0 thì
f (x0) = 0.
Chú ý. Đi u ngư c l i không đúng: N u hàm f có f (x0) = 0 nhưng chưa ch c x0 là
đi m c c tr , ví d hàm y = x3 có y (0) = 0 nhưng hàm s không có c c tr t i x = 0.


8
N u hàm s f có c c tr t i x0 thì có th t i x0 đ o hàm không xác đ nh, ví d hàm
y = |x| có c c ti u t i x = 0 nhưng d ch ng minh đư c hàm s không có đ o hàm t i
x = 0.
Đ nh lý 1.5. Gi s hàm s f kh vi trên kho ng (a, b) ch a x0, và f (x0) = 0.
N u f (x) ≥ 0 v i m i x ∈ (a, x0) và f (x) ≤ 0 v i m i x ∈ (x0, b) ( t c đ o hàm đ i d u t (+) sang (-) khi
đi qua x0) thì x0 là đi m c c ti u c a hàm f .
N u f (x) ≤ 0 v i m i x ∈ (a, x0) và f (x) ≥ 0 v i m i x ∈ (x0, b) ( t c đ o hàm đ i d u t (-) sang (+) khi
đi qua x0) thì x0 là đi m c c đ i c a hàm f .
Đ nh lý 1.6. Gi s hàm s f có đ o hàm c p m t trên kho ng (a, b) ch a x0, có đ o
hàm c p hai khác 0 t i x0.
N u f (x0) = 0 và f (x0) > 0 thì x0 là đi m c c ti u c a hàm f . N u f (x0) =
0 và f (x0) < 0 thì x0 là đi m c c đ i c a hàm f .

1.3

Các đ nh lí cơ b n v hàm kh vi

Trong ph n này, lu n văn trình bày hai đ nh lý quan tr ng v đ o hàm. Đó là đ nh

lí Lagrange, đ nh lí Rolle (xem [3]).
Đ nh lý 1.7. (Đ nh lý Rolle) N u f (x) là hàm liên t c trên đo n [a, b], có đ o hàm
trên kho ng (a, b) và f (a) = f (b) thì t n t i c ∈ (a, b) sao cho f (c) = 0.
Ch ng minh. Vì f (x) liên t c trên [a, b] nên theo đ nh lí Weierstrass f (x) nh n giá tr
l n nh t M và giá tr nh nh t m trên [a, b].
- Khi M = m ta có f (x) là hàm h ng trên [a, b], do đó v i m i c ∈ (a, b) luôn có f (c) = 0.
- Khi M > m, vì f (a) = f (b) nên t n t i c ∈ (a, b) sao cho f (c) = m ho c f (c) = M , theo Đ nh lý
Fermat suy ra f (c) = 0. Đ nh lý đư c ch ng minh.
H qu 1.8. N u hàm s f (x) có đ o hàm trên (a, b) và f (x) có n nghi m ( n là s
nguyên dương l n hơn 1) trên (a, b) thì f (x) có ít nh t n − 1 nghi m trên (a, b).


9
H qu 1.9. N u hàm s f (x) có đ o hàm trên (a, b) và f (x) vô nghi m trên (a, b)
thì f (x) có nhi u nh t 1 nghi m trên (a, b).
H qu 1.10. N u f (x) có đ o hàm trên (a, b) và f (x) có nhi u nh t n nghi m (nlà
s nguyên dương) trên (a, b) thì f (x) có nhi u nh t n + 1 nghi m trên (a, b).
Đ nh lý 1.11. (Đ nh lí Lagrange) N u f (x) là hàm liên t c trên đo n [a, b], có đ o
hàm trên kho ng (a, b) thì t n t i c ∈ (a, b) sao cho
f (c) = f (b) − f (a).
b−a
Ch ng minh. Xét hàm s
F (x) = f (x) − f (b) − f (a)x,
b−a

x ∈ [a, b].

Khi đó F (x) là hàm liên t c trên đo n[a, b], có đ o hàm trên kho ng (a, b) và
F (a) = F (b). Theo đ nh lí Rolle t n t i c ∈ (a, b) sao cho F (c) = 0. Mà
F (x) = f (x) − f (b) − f (a),

b−a
suy ra
f (c) = f (b) − f (a).
b−a
Đ nh lý đư c ch ng minh.
Đ nh lí Rolle là m t h qu c a đ nh lý Lagrange trong trư ng h p f (a) = f (b).

1.4

Hàm l i và hàm lõm

Ta ký hi u I(a, b) là m t t p h p có m t trong b n d ng t p h p sau (a, b), [a, b), (a, b]
và [a, b].
Đ nh nghĩa 1.12. Hàm s f (x) đư c g i là l i trên t p I(a, b) n u v i m i x1, x2 ∈
I(a, b) và v i m i c p s dương α, β có t ng α + β = 1, ta đ u có
f (αx1 + βx2) ≤ αf (x1) + βf (x2).
N u d u đ ng th c trong (1.1) x y ra khi và ch khi x1 = x2 thì ta nói hàm s f (x) là
hàm l i th c s (ch t) trên I(a, b).

(1.1)


10
Đ nh nghĩa 1.13. Hàm s

f (x) đư c g i là lõm trên t p I(a, b) n u v i m i

x1, x2 ∈ I(a, b) và v i m i c p s dương α, β có t ng α + β = 1, ta đ u có
f (αx1 + βx2) ≥ αf (x1) + βf (x2).

(1.2)

N u d u đ ng th c trong (1.2) x y ra khi và ch khi x1 = x2 thì ta nói hàm s f (x) là
hàm lõm th c s (ch t) trên I(a, b).
Đ nh lý 1.14. N u f (x) kh vi b c hai trên I(a, b) thì f (x) l i (lõm) trên I(a, b) khi
và ch khi f (x) ≥ 0(f (x) ≤ 0) trên I(a, b).
N u f (x) l i kh vi trên I(a, b) thì v i m i c p x0, x ∈ I(a, b), ta đ u có
f (x) ≥ f (x0) + f (x0)(x − x0)
D nh n th y r ng (1.3) x y ra đ ng th c khi x0 = x. V y ta có th vi t (1.3) dư i
d ng
f (x) =

u

∈I(a,b f (u) + f (u)(x − u). min
)

(1.3)


Chương 2
ng d ng đ o hàm gi i các bài
toán tìm giá tr l n nh t, giá tr
nh nh t c a hàm s
2.1

Kh o sát tr c ti p hàm s trên mi n xác đ nh

Bài toán 1. ( Thi HSG Qu c gia, 1992) Cho s t nhiên n > 1. Tìm giá tr l n nh t
và nh nh t c a hàm s

f (x) =

√n

√
1+x+ n1−x

v i x thu c [0, 1].
√n

Ch ng minh. Hàm s f (x) =
f ( x) = 1

n

n

√
1 + x + n 1 − x liên t c trên mi n [0, 1], hơn n a

1
(1 + x)n−1

−

n

1
(1 − x)n−1

< 0 ∀x ∈ (0, 1).

V y f (x) ngh ch bi n [0, 1] nên
√n

2 = f (1) ≤ f (x) ≤ f (0) = 2 ∀x ∈ [0, 1].

√n
1 + x + n 1 − x trên [0, 1] là 2 đ t đư c khi x = 0,
√
giá tr nh nh t c a f (x) trên [0, 1] là n 2 đ t đư c khi x = 1.
V y giá tr l n nh t c a f (x) =

√

11


12
Bài toán 2. a. Tìm giá tr l n nh t c a bi u th c
v i x ∈ R.

√ 2x + 1
x −x+1
b. Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c
√

√

x2 − x + 1 +

y2 − y + 1 +

z2 − z + 1

trong đó các s x, y, z th a mãn x + y + z = 3.
Ch ng minh. a) Xét hàm s
v i x ∈ R.

f (x) = √ 2x + 1
x −x+1

Ta có

f (x) =

3(1 − x)
√
2(x2 − x + 1) x2 − x + 1

và do đó f (x) = 0 khi và ch khi x = 1, limx→+∞ f (x) = 1, limx→−∞ f (x) = −1, và
f (x) đ i d u t + sang − khi đi qua 1. Do đó
f (x) ≤ f (1) = 2 ∀x ∈ R.
V y giá tr l n nh t c a f (x) trên R là 2 đ t đư c khi x = 1.
b) Áp d ng câu a) ta có
√ 2x + 1
x −x+1

Hay

√

≤ 2 ∀x ∈ R.

x2 − x + 1 ≥ 1 (x + 1).
2

(2.1)

y2 − y + 1 ≥ 1 (y + 1),
2

(2.2)

z2 − z + 1 ≥ 1(z + 1).
2

(2.3)

Tương t ta có

√

C ng t ng v các b t đ ng th c (2.1), (2.2) và (2.3) ta có
√

x2 − x + 1 +

y2 − y + 1 +

√

z2 − z + 1 ≥ 1 (3 + x + y + z).
2


13
Mà x + y + z = 3 nên ta có
√

x2 − x + 1 +

y2 − y + 1 +

√

z2 − z + 1 ≥ 3.
√

D u b ng x y ra khi x = y = z = 1. V y giá tr nh nh t c a
√
y2 − y + 1 + z2 − z + 1 là 3.

x2 − x + 1 +

Bài toán 3. Gi s A, B, C là ba góc c a m t tam giác nh n. Tìm giá tr nh nh t
c a bi u th c
tan A + tan B + tan C + 6(sin A + sin B + sin C).
Ch ng minh. Xét hàm s
f (x) = tan x + 6 sin x − 7x v i x ∈ (0, π/2).

Ta có
f (x) = cos2 x + 6 cos x − 7 = (cos x − 1)(3 cos x2+ 1)(2 cos x − 1). 1
cos x
Vì x ∈ (0, π/2) nên f (x) = 0 khi 2 cos x − 1 = 0 hay x = π/3. Ta th y f (x) đ i d u
t − sang + khi đi qua π/3. Nên ta đư c
min

/2)

f (x) = f (π/3) = 4 3 − 73π . √

x∈(0,π

Áp d ng đi u này l n lư t cho x = A, x = B, x = C ta đư c
f (A) + f (B) + f (C) ≥ 3(4 3 − 73π ). √
Hay
tan A + tan B + tan C + 6(sin A + sin B + sin C) ≥ 12 3.

√

V y giá tr nh nh t c a tan A + tan B + tan C + 6(sin A + sin B + sin C) là 12 3 đ t
đư c khi A = B = C = π/3.
Bài toán 4. Gi s x > 0, y > 0 và x + y = 1. Ch ng minh r ng giá tr l n nh t c a
bi u th c

là

√

√x

1−x
2.

+√ y

1−y

√


14
Ch ng minh. Theo gi thi t thì y = 1 − x. Ta s ch ng minh r ng
√x

+ 1√xx ≥ 2 ∀x ∈ (0, 1).
−
√

1−x
Xét
f (x) = √ x

v i x ∈ (0, 1).

1−x
+ 1√xx

Ta có

−

f ( x) = 1

2−x
√
2 (1 − x) 1 − x

− x +x = 1 √1
x

1 + (1√ x) − 1 + x
−
2 (1 − x) 1 − x

√
xx

= 1 (h( 1 − x) − h( x))
2 √
√
trong đó

h(t) = 1 +3 t = t1 + 1. 2
3
t
t
Ta th y hàm h(t) là hàm ngh ch bi n trên (0, +∞), nên
f (x) = 0 ⇔ h( 1 − x) = h( x) ⇔ 1 − x = x ⇔ x = 1
√
√
√

√

2

và
f (x) > 0 ⇔ h( 1 − x) > h( x) ⇔ 1 − x < x ⇔ x ∈ (1 , 1)
√
√
√
√
2
f (x) < 0 ⇔ x ∈ (0, 1).

2

V y trên (0, 1) thì f (x) đ i d u t − sang + khi đi qua 1. Nên ta đư c 2
min f (x) = f (1 ) = 2. √
1)
x∈(0,
2
Suy ra f (x) ≥

√

2 ∀x ∈ (0, 1). V y giá tr nh nh t c a
√x
1−x

là

√

2 đ t đư c khi x = y = 1. 2

+√ y

1−y


Bài toán 5. Tìm giá tr nh nh t c a hàm s

f ( x) =

√

x2

√2
+x+1+
x − x + 1.


15
Ch ng minh. T p xác đ nh R. Xét hàm s
f ( x) =

√

√

x2 + x + 1 +

x2 − x + 1

trên R. Ta có
f ( x) =

x+

1
2

(x + 1)2 + 2

+
3
4

x−

1
2

= g(x + 1 ) − g(1 − x) ∀x ∈ R

1 3
4

)

2

trong đó

+
g
(

2

t

v i t ∈ R.

2


2

t2 +

3
4

Vì hàm g đ ng bi n trên R nên
f (x) = 0 ⇔ x = 0,
f (x) > 0 ⇔ g(x + 1) > g(1 − x) ⇔ x > 0.
2
2
V y trên R thì f (x) đ i d u t − sang + khi đi qua 0. T đó giá tr nh nh t c a

f (x) là 2 khi x = 0.
Bài toán 6. Gi s a, b ∈ R+ và a = b. Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c
(a + x )b+x
b+x

v i x ∈ [0, +∞).

Ch ng minh. Xét hàm s
f (x) = (a + x)b+x,
b+x

x ≥ 0.

Khi đó
ln f (x) = (b + x) ln a + x.
b+x
Suy ra
[ln f (x)] = [(b + x) ln a + x ] ,
b+x
và do đó
f (x) = ln a + x + (b + x) b + x (a + x ) = ln a + x + b − a .
f ( x)
b+x
a+x b+x
b+x a+x


16
Hay
f (x) = f (x) ln a + x + b − a = (a + x )b+xg(x)

b+x a+x
b+x
trong đó
g(x) = ln a + x + b − a .
b+x a+x
Ta có
g (x) = b + x . (bb+ xa)2 + (aa+ xb)2 = −(a +ax−(bb)+ x) < 0.
a+x
( )2 2
−
−
Do đó g(x) ngh ch bi n trên (0, +∞). Suy ra
g(x) > xlim g(x) = xlim ln a + x + b − a = 0.
→∞
→∞
b+x a+x
Vy
f (x) > 0 ∀x > 0,
nên f (x) đ ng bi n trên [0, +∞). Suy ra f (x) ≥ f (0) ∀x ≥ 0. V y giá tr nh nh t
c a bi u th c (a+x )b+x b+x

v i x ∈ [0, +∞) là (a )b. b

Bài toán 7. Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c
2sin x + 2tan x − 2x+1

0 ≤ x ≤ π.

2

Ch ng minh. Áp d ng b t đ ng th c AM-GM ta có
√
2sin x + 2tan x ≥ 2 2sin x2tan x.
Ta ch ng minh
sin x + tan x ≥ 2x.
Th t v y, xét hàm s
f (x) = sin x + tan x − 2x
liên t c trên [0, π ], và có 2
f (x) = cos x + cos2 x − 2 > cos2 x + cos2 x − 2 ≥ 0 ∀x ∈ [0, π ].
1
1
Do đó f (x) đ ng bi n trên [0, π ]. Suy ra f (x) ≥ f (0) = 0, hay 2
sin x + tan x ≥ 2x v i m i x ∈ [0, π ]

2

2


17
V y giá tr nh nh t c a bi u th c
v i0≤x≤ π

2sin x + 2tan x − 2x+1

2

là 0 đ t đư c khi x = 0.

2.2

Kh o sát hàm s theo t ng bi n

Đ i v i các BĐT nhi u bi n, ta có th ch n m t bi n là bi n s bi n thiên và c
đ nh các bi n còn l i, bài toán lúc này tr thành BĐT m t bi n.
Bài toán 8. Gi s A, B, C là ba góc c a m t tam giác. Tìm giá tr nh nh t c a bi u
th c
1
1
1
Q = 2 sin A + sin B + sin C − (cot A + cot B + cot C).
Ch ng minh. Ta vi t
2
2
Q = sin A − cot A + sin B − cot B + sin C − cot C .

2

Xét hàm s
2
f (x) = sin x − cot x

v i x ∈ (0, π).

Ta có
f (x) = 1 − 22cos x.
sin x
Khi đó, hàm f (x) trong kho ng (0, π) s chuy n t − sang + khi đi qua đi m π/3. T
đó ta có
f (A) ≥

√

3

√
f (B ) ≥ 3
√
f (C) ≥ 3.
Suy ra
Q = f (A) + f (B) + f (C) ≥ 3 3.

√


18
D u đ ng th c khi tam giác ABC đ u. V y giá tr nh nh t c a bi u th c
1
1
1
Q = 2 sin A + sin B + sin C − (cot A + cot B + cot C)
√
là 3 3.
Bài toán 9. Gi s các s th c a, b, c > 0, th a mãn đi u ki n a2 + b2 + c2 = 1. Tìm
giá tr nh nh t c a bi u th c
a+
b2 +c 2

c2

b

c

+ a2 + a2 + b 2 .

Ch ng minh. Ta s ch ng minh r ng
√
3 3.

a+
b
c
b 2 + c 2 c 2 + a2 + a 2 + b 2 ≥ 2

(2.4)

Ta có (2.4) tương đương
√
≥ 3 3(a2 + b2 + c2).

a+b+c
1 − a2 1 − b 2 1 − c 2

2

T đó g i ý ta ch ng minh các b t đ ng th c sau
√
√
a ≥ 33

1 − a2

a2 , b ≥ 3 3
2

b2 ,c ≥
1 − b2

33 c2 .

2

√
1 − c2

2

Hay ph i ch ng minh
2
2
a(1 − a2) ≤ √ , b(1 − b2) ≤ √ , c(1 − c2) ≤ √ .
33
33

2
33

Kh o sát đ i di n là hàm s
f (x) = x(1 − x2)

v i x ∈ (0, 1).

Ta có
f (x) = 1 − 3x2.
Khi đó, hàm f (x) trong kho ng (0, 1) s chuy n t − sang + khi đi qua đi m 1/ 3.
Nên giá tr l n nh t c a f (x) trên kho ng (0, 1) là
√

th c

a
b2+c2

+

b
c2 +a 2

+

c
a2+b2

là

33
2

3

3
√
2

.

V y giá tr nh nh t c a bi u
√
đ t đư c khi a = b = c = 1/ 3.

√


19
Bài toán 10. Ch ng minh r ng giá tr l n nh t c a bi u th c
2(x3 + y3 + z3) − (x2y + y2z + z2x)

v i x, y, z ∈ [0, 1]

là 3.
Ch ng minh. Ta s ch ng minh r ng
f (x) = 2x3 − yx2 − z2x + 2(y3 + z3) ≤ 3.
Th t v y, ta có
f (x) = 6x2 − 2yz − z2
và f (x) = 0 khi
x = x1 = 1 ( y −
6

y2 + 6z2), x = x2 = 1 (y +
6

y2 + 6z2).

Xét hai trư ng h p
Trư ng h p 1. N u x2 ∈ (0, 1) suy ra f (x) ≤ 0 ∀x ∈ [0, 1]. Suy ra f (x) gi m trên
[0, 1]. Do đó
max f (x) = max{f (0), f (1)}.
x∈[0,1]

Trư ng h p 2. N u x2 ∈ (0, 1) thì do x1 ≤ 0 < x2 nên trên [0, 1] hàm f (x) s đ i d u
t − sang + khi đi qua x2. Do đó
max f (x) = max{f (0), f (1)}.

x∈[0,1]

Như v y trong c hai trư ng h p ta đ u có
max f (x) = max{f (0), f (1)}.

x∈[0,1]

M t khác
f (0) = 2(y3 + z3) − y2z ≤ 2(y3 + z3) − y2z + (2 − y − z2) = f (1).
Nên ta đư c
max f (x) = f (1) = 2(y3 + z3) − y2z + (2 − y − z2).
x∈[0,1]


20
Ta s ch ng minh f (1) ≤ 3. Th t v y, đ t
f (1) = g(y) = 2(y3 + z3) − y2z + (2 − y − z2).

Khi đó
g (y) = 6y2 − 2zy − 1 = 0
và
g (y) = 0 ⇔ y = y1 = 1(z − z2 + 6) < 0, y = y2 = 1 (z + z2 + 6).
6
6
√

• N u y2 ∈ (0, 1) thì g (y) ≤ 0 ∀y ∈ [0, 1]. Suy ra g(y) gi m trên [0, 1]. Do đó
max g(y) = max{g(0), g(1)}.

y∈[0,1]

N u y2 ∈ (0, 1) thì trên [0, 1] hàm g (y) s đ i d u t − sang + khi đi qua y2. Do v y
max g(y) = max{g(0), g(1)}.

y∈[0,1]

Như v y trong c hai trư ng h p ta đ u có
max g(y) = max{g(0), g(1)}.

y∈[0,1]

Ta có
g(0) = 2z3 + 2 − z2 ≤ 2z3 + 2 − z2 + (1 − z) = g(1) = z(z − 1)(2z + 1) + 3 ≤ 3
v i m i x, y, z ∈ [0, 1]. Do đó
max g(y) = 3.
y∈[0,1]

Khi x = y = z = 1 thì 2(x3 + y3 + z3) − (x2y + y2z + z2x) = 3. V y giá tr l n nh t

c a 2(x3 + y3 + z3) − (x2y + y2z + z2x) là 3.
Bài toán 11. Gi s a, b, c ∈ [ 1, 3]. Tìm giá tr l n nh t c a bi u th c 3
S(a, b, c) = a a b + b + c + c + a .
+
b
c
Ch ng minh. Đ t
f (a) = a a b + b + c + c + a.
b
c
+

√


21
Xét hai trư ng h p sau
Trư ng h p 1. a ≥ b ≥ c. Ta có
f (a) = (a + b)2 − (a + c)2 = (b − c)(2aa − bc) ≥ 0.
2
b
c
(a + b) ( + c)2
3
b

Suy ra

c
f (a) ≤ f (3) = 3 + b + b + c + c + 3 = g(c).

M t khác
−b +
3
(b − 3)(3b − c2) ≥ 0.
2
2
2
g (a) = (c + b) (c + 3) = (c + 3) (b + c)2
Suy ra
g(c) ≤ g(1 ) = 3 + b + 3b3+ 1 + 10 = h(b).
3
3
b
1

Ta có

h (b) = (3b + 1)2 − (b + 3)2 = (3(1+ 1))(1b+ b3)2 .
3
3
b −b 2( +
Nên h(b) ≤ h(1). Suy ra
S(a, b, c) ≤ S(3, 1, 1 ) = 8.
3

)

5

Trư ng h p 2. c ≥ b ≥ a. Áp d ng trư ng h p 1 ta nh n đư c

S(c, b, a) ≤ 8.

5

M t khác
S(a, b, c) − S(c, b, a) = (a − b)(b − c)(a − c) ≤ 0.
(a + b)(b + c)(a + c)
Suy ra
S(a, b, c) ≤ 8.
V y giá tr l n nh t c a S(a, b, c) là

5

, đ t đư c khi và ch khi (a, b, c) ∈

8
5

{(3, 1, 1), (1, 3, 1), (1, 1, 3)}.
3

3

3

Bài toán 12. Gi s a, b, c ∈ [0, 1]. Tìm giá tr l n nh t c a bi u th c
S = b 3 + a 3 + 6 + c 3 + b 3 + 6 + a 3 + c3 + 6 .
c
a
b

22
Ch ng minh. Đ t
f (c) = b3 + a3 + 6 + c3 + b3 + 6 + a3 + c3 + 6 .
c
a
T

b

a

c
ó

f (c) = b3 + 13 + 6 − (b3 +3ac+ 6)2 − (a3
+3cc3 + 6)2
2
2

c
c3
v
à

f (c) = 6acb(6+ cb3 + 6)c ) − 6bca(6+
ca3 + 6)c ) ≤ 0.
(3 + 3−2 3

( +
3 3−
23

2

2

Nên f (c) gi m trên
[0, 1]. Suy ra
f (c) ≥ f (1) = b3 + 13 + 6 − (7 +ab3)2 − (7 +ba3)2 ≥ 1 − 249 >
0.
a

3

3

8

Suy ra f (c) tăng trên [0, 1].
Do đó
S = f (c) ≤ f (1) = b3 a 7 + a3 b 7 + a3 + 13 + 6 =

3