Phương trình và hệ phương trình đại số

Đ I H C KHOA H C T

NHIÊN

TRƯ NG Đ I H C QU C GIA HÀ N I

TR NH TH HI N

VÀ H

PHƯƠNG TRÌNH
PHƯƠNG TRÌNH Đ I S

LU N VĂN TH C SĨ KHOA H C

HÀ N I - NĂM 2015


Đ I H C KHOA H C T

NHIÊN

TRƯ NG Đ I H C QU C GIA HÀ N I

TR NH TH HI N

VÀ H

PHƯƠNG TRÌNH
PHƯƠNG TRÌNH Đ I S

Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ C
Mã s : 60.46.01.13

LU N VĂN TH C SĨ KHOA H C

Ngư i hư ng d n khoa h c:
PGS. TS. VŨ Đ

HÀ N I - NĂM 2015

LONG

P


M cl c
M

4

ĐU

1 Đ i cương v phương trình h u t
1.1

7

Ki n th c b tr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.1

7

Tính đơn đi u c a hàm s . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
71.1.2
Tính ch t c a hàm kh vi và ng d ng . . . . . . . . . . .

1.2

1.3

7

Phương pháp gi i phương trình b c ba . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.2.1

Phương pháp phân tích nhân t

8

1.2.2

Phương pháp Cardano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

...............

8

Phương trình b c cao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.3.1

Phương trình đ i x ng b c n . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.3.2
M t s bài toán b c cao . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2 Phương pháp gi i phương trình vô t
2.1

2.2

14

Phương pháp bi n đ i tương đương . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.1.1

Phương pháp nâng lũy th a . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

2.1.2

Phương pháp phân tích thành nhân t

2.1.3

Phương pháp nhân liên h p . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

. . . . . . . . . . . 19

Phương pháp đ t n ph . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.2.1

M t s cách đ t n ph cơ b n . . . . . . . . . . . . . . . . 40 2.2.2
Đ t n ph đưa v phương trình tích . . . . . . . . . . . . 41 2.2.3
Đ t n ph đưa v phương trình đ ng c p . . . . . . . . . 45 2.2.4
Đ t n ph không hoàn toàn . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

2.2.5

Đ t n ph đưa v h

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

i


2.3

Phương pháp đánh giá . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
2.3.1

Phương pháp dùng h ng đ ng th c . . . . . . . . . . . . . 58 2.3.2
Phương pháp dùng b t đ ng th c . . . . . . . . . . . . . . 59

2.4

Phương pháp hàm s

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

2.5

Phương pháp lư ng giác hóa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

3 Phương trình có ch a tham s

70

3.1

Phương pháp s d ng đ o hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70

3.2

Phương pháp dùng đi u ki n c n và đ
3.2.1

. . . . . . . . . . . . . . . 74

S d ng tính đ i x ng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 3.2.2
S d ng đ c đi m thu n l i . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76

4 H phương trình đ i s
4.1

79

Các lo i h phương trình cơ b n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
4.1.1

H phương trình đ i x ng lo i I . . . . . . . . . . . . . . . . 79 4.1.2

H phương trình đ i x ng lo i II . . . . . . . . . . . . . . . 80 4.1.3
H phương trình đ ng c p . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

4.2

M t s phương pháp gi i h phương trình khác . . . . . . . . . . . 83
4.2.1

Phương pháp đ t n ph

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83

4.2.2

Phương pháp h s b t đ nh . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86 Phương

4.2.3

pháp bi n đ i đ ng th c . . . . . . . . . . . . . . . 91 Phương pháp

4.2.4

dùng tính đơn đi u . . . . . . . . . . . . . . . 94 Phương pháp dùng b

4.2.5

t đ ng th c . . . . . . . . . . . . . . 101

K T LU N

105

Tài li u tham kh o

106

3


M

ĐU
Phương trình và h phương trình là m t trong nh ng phân môn
quan tr ng nh t c a Đ i s vì có nh ng ng d ng l n trong các ngành khoa
h c và là lo i toán thư ng g p trong các d ng toán sơ c p. Ngay t đ u, s
ra đ i và phát tri n c a phương trình và h phương trình đ i s đã đ t d u
n quan tr ng, chúng có s c hút m nh m đ i v i
ngư i yêu toán, không ch

v đ p hình th c mà c nh ng bí n nó

mang đ n luôn thôi thúc ngư i làm toán ph i tìm tòi, sáng t o. Ngày
nay, phương trình và h phương trình đ i s v n luôn chi m m t vai trò
quan tr ng và v n thư ng xuyên xu t hi n trong các kì thi Qu c gia, Qu
c t , Olympic. Là m t giáo viên THPT, tôi mu n nghiên c u sâu hơn v
phương trình và h phương trình nh m nâng cao chuyên môn ph c v
cho quá trình gi ng d y và b i dư ng h c sinh gi i, v y
nên tôi đã ch n đ tài làm lu n văn th c sĩ c a mình là:
"Phương trình và h phương trình đ i s ."
M c đích c a lu n văn này là h th ng hóa các phương pháp gi i

phương trình và h phương trình đ i s , giúp nh n d ng các bài toán, đ
xu t các phương pháp gi i và ch n phương án t i ưu.
B n lu n văn đư c chia làm 4 chương:
Chương 1: Đ i cương v phương trình h u t
Trình bày các ki n th c chu n b g m m t s cách gi i phương
trình b c ba, m t vài bài t p phương trình b c cao và m t s tính ch t c
a hàm s .
Chương 2: Phương pháp gi i phương trình vô t

4


Chương này trình bày các phương pháp thư ng g p trong ph m
vi chương trình ph thông.
m i phương pháp, tác gi c g ng t ng quát hóa các d ng bài t p
mà có th s d ng phương pháp này, có kèm theo nh n xét, t ng quát
hóa d ng toán đ ng th i cho m t s ví d minh h a cùng v i m t s bài
toán tham kh o.
Chương 3: Phương trình có tham s
Đ c p đ n các phương pháp gi i và bi n lu n bài toán có tham
s , cũng như m t s bài toán thư ng g p trong các kỳ thi h c sinh gi i.
Chương 4: H phương trình đ i s
Nh c l i các h phương trình cơ b n và nêu m t s phương pháp
gi i h phương trình d ng khác.
M c dù có nhi u c g ng, xong do nhi u y u t khách quan và ch
quan, nên trong quá trình ch n l c tư li u và trình bày n i dung khó
tránh kh i nh ng thi u sót. Vì v y tôi r t mong nh n đư c nh ng ý ki n ch
b o c a th y cô, s góp ý chân thành c a các b n h c viên đ lu n văn đư
c hoàn thi n hơn.

5


L i c m ơn
Tôi xin đư c bày t lòng kính tr ng và lòng bi t ơn sâu s c đ n
PGS. TS Vũ Đ Long, ngư i th y đã t n tình gi ng d y, truy n th
nh ng ki n th c b ích và t o đi u ki n đ tôi hoàn thành lu n văn này. Th
y đã dành nhi u th i gian hư ng d n cũng như gi i đáp các th c m c c a
tôi trong su t quá trình tôi th c hi n đ tài.
Tôi xin g i l i c m ơn chân thành t i các th y cô Khoa Toán - Cơ Tin h c, Phòng sau đ i h c Trư ng Đ i h c Khoa h c T nhiên, Đ i h c
Qu c gia Hà N i; các th y cô đã tham gia gi ng d y khóa cao h c 2013
-2015; Ban giám hi u và các đ ng nghi p trư ng THPT H ng Thái, Đan
Phư ng, Hà N i đã t o đi u ki n thu n l i cho tôi hoàn thành lu n văn c a
mình.
Cu i cùng, tôi xin chân thành c m ơn gia đình đã luôn đ ng viên
tôi trong su t quá trình h c t p và nghiên c u khoa h c.

Hà N i, tháng 8 năm 2015
H c viên
Tr nh Th Hi n

6


Chương 1
Đ i cương v phương trình h u t
1.1

Ki n th c b tr

1.1.1

Tính đơn đi u c a hàm s

Đ nh nghĩa 1.1. Cho hàm s y = f(x) có đ o hàm trên (a; b) và f (x) = 0 ch
v i m t s h u h n đi m. Khi đó

• f là hàm s tăng trên (a; b) ⇔ f (x) ≥ 0, ∀x ∈ (a; b)
• f là hàm s gi m trên (a; b) ⇔ f (x) ≤ 0, ∀x ∈ (a; b)
H qu 1.1. N u hàm s y = f(x) đơn đi u trên (a; b) thì phương trình f(x) = 0
có t i đa m t nghi m.

1.1.2

Tính ch t c a hàm kh vi và ng d ng

Đ nh lý Roll. Gi s hàm f : [a; b] → R th a mãn
+ f liên t c trên [a; b].
+ f kh vi trong kho ng (a; b)
+ f(a) = f(b)
Khi đó t n t i ít nh t m t đi m c ∈ (a; b) sao cho f (c) = 0.
H

qu

1.2. Cho hàm s y = f(x) có đ o hàm đ n c p n và phương trình

f (n) (x) = 0 có m nghi m trong kho ng (a; b), khi đó phương trình f (n−1) (x) = 0 có nhi u

nh t là (m + 1) nghi m trong [a; b].

Đ nh lý Lagrange. Cho hàm s y = f(x) liên t c trên [a; b] và f (x) t n t i trên
(a; b) thì luôn ∃c ∈ (a; b) sao cho: f (c) = f (b) − f (a)
7

b−a


1.2
1.2.1

Phương pháp gi i phương trình b c ba
Phương pháp phân tích nhân t

Xét phương trình b c ba
ax3 + bx2 + cx + d = 0

(1.1)

Gi s phương trình (1.1) có nghi m là x = r. Khi đó
(1.1) ⇔ (x − r) ax2 + (b + ar) x + c + br + ar2 = 0
T đó ta đưa v gi i phương trình b c hai, có nghi m là
√
x = −b − r a ±

1.2.2

b2 − 4ac − 2abr − 3a2r2
2a

Phương pháp Cardano

Xét phương trình b c ba
x3 + ax2 + bx + c = 0

(1.2)

B ng cách đ t x = y − 3ba, phương trình (1.2) luôn bi n đ i đư c v d ng chính
tc
(1.3)

y3 + py + q = 0

Trong đó p = b − a3 , q = c + 2a 27 9ab
3−

2

Ta ch xét p, q = 0 vì p = 0 hay q = 0 thì đưa v trư ng h p đơn gi n.
Đ t y = u + v thay vào (1.3), ta đư c
(u + v)3 + p (u + v) + q = 0
⇔ u3 + v3 + (3uv + p) (u + v) + q = 0 (∗)

Ch n u, v sao cho: 3uv + p = 0 (∗∗)
T (∗) và (∗∗) ta có h phương trình
u3 + v3 = −q
u3 v 3 = − p
8

3

27


Theo đ nh lý Vi-et, u3, v3 là hai nghi m c a phương trình
X2

p3 = 0
+ qX − 27

(1.4)

3

Đ t ∆ = q4 + p 2
27

* Khi ∆ > 0, (1.4) có nghi m
u3 = − q + ∆ √
2√
v3 = − q − ∆
2

Như v y, phương trình (1.3) s có nghi m th c duy nh t
y=

3

√
−q +
2

∆+

* Khi ∆ = 0,(1.4) có nghi m kép u = v = − 3 q

3

√

−q −
2

∆

2

Khi đó, phương trình (1.3)có hai nghi m th c, trong đó có m t nghi m kép
y1 = 2 3 − q , y2 = y3 =
2

3

q2

* Khi ∆ < 0, (1.4) có nghi m ph c.
G i u03 là m t nghi m ph c c a (1.4), v03 là giá tr tương ng sao cho u0v0 = −p
Khi đó, phương trình (1.3) có ba nghi m phân bi t.
y 1 = u0 + v 0

√

1 (u + v ) + i 3 (u − v )
0
0
y = − 20
√
2
2

0

y3 = −1 (u0 + v0) − i 23 (u0 − v0) 2

Ví d 1.1. Gi i phương trình: x3 + x2 + x = −1 3
Gi i
Phương trình không có nghi m h u t nên không th phân tích nhân t . Trư c
khi nghĩ t i công th c Cardano, ta th quy đ ng phương trình
3x3 + 3x2 + 3x + 1 = 0

9

3


Đ i lư ng 3x3 + 3x2 + 3x + 1 g i ta nghĩ đ n m t h ng đ ng th c r t quen thu c
x3 + 3x2 + 3x + 1 = (x + 1)3.

Do đó phương trình tương đương
(x + 1)3 = −2x3
√
⇔ x + 1 = − 3 2x

−1
√
1+ 32

T đó suy ra nghi m duy nh t x =

Ví d 1.2. Gi i phương trình: x3 − 3x2 + 4x + 11 = 0
Gi i
Đ t x = y + 1. Th vào phương trình đ u bài, ta đư c phương trình
y3 + 1.y + 13 = 0

Tính ∆ = 132 + 27.13 = 4567 ≥ 0 4
27

Áp d ng công th c Cardano suy ra
3

4567

−13 +

y=

2

3

4567
27

−13 −

27 +

2

Suy ra
3

x=

1.3

4567

−13 +

3

2

27 +

4567

−13 −
2

27 + 1

Phương trình b c cao

Nhà toán h c Abel đã ch ng minh r ng không có công th c nghi m t ng quát
cho phương trình b c cao (> 4). Đây cũng không ph i d ng toán quen thu c
ph thông. Vì th trong ph n này ta ch đ c p đ n m t s phương trình b c cao đ c bi
t, có th gi i b ng bi n đ i sơ c p.
10


1.3.1

Phương trình đ i x ng b c n

Phương trình đ i x ng b c n có d ng
a0xn + a1xn−1 + a2xn−2 + ... + an−2x2 + an−1x + an = 0.

Trong đó các h s đ i x ng nhau qua s h ng

(1.5)

gi a

a0 = an = 0; a1 = an−1; a2 = an−2...

D th y x = 0 không là nghi m c a phương trình ⇒ x = 0
- Khi n ch n (phương trình đ i x ng b c ch n), t c n = 2k thì chia hai v
c a (1.5) cho xk ta đư c
+ a1 x k − 1 +

a0 xk + 1k

x

1
xk−1

+ a 2 x k −2 +

1
xk − 2

+ ... = 0

(1.6)

Đ t t = x + 1 thì các s h ng xk + x1k , xk−1 + xk1−1 , ... đ u bi u di n đư c x
theo t → phương trình (1.6) tr thành phương trình n t.
- Khi n l (phương trình đ i x ng b c l ). Lúc đó thì t ng h s b c ch n b ng t ng h
s b c l nên phương trình có m t nghi m x = −1 → phân tích nhân t (x + 1) và nhân t
còn l i s là đa th c đ i x ng b c m = n − 1(→ m là s ch n)→ áp d ng cách gi i phương
trình đ i x ng b c ch n.

1.3.2

M t s bài toán b c cao

Bài toán 1.1. Gi i phương trình
x6 − 2x5 + x4 − 7x3 + x2 − 2x + 1 = 0

Gi i.
Chia hai v cho x3

D th y x = 0 không th a mãn phương trình ⇒ x = 0.
Chia hai v c a phương trình cho x3 = 0 ta đư c
x3 − 2x2 + x − 7 + 1 − x22 + x13 = 0 x

11

(1.7)


Đ t t = x + 1 (đi u ki n |t| ≥ 2) thì x3 + x13 = t3 − 3t và x2 + x12 = t2 − 2 x
Lúc đó (1.7) tr thành
t3 − 3t − 2 t2 − 2 + t − 7 = 0 ⇔ t3 − 2t2 − 2t − 3 = 0

√

2

⇔ (t − 3) t + t + 1 = 0 ⇔ t = 3 ⇒ x = 3 ± 5.

2

√

V y phương trình có hai nghi m x = 3 ±2 5
Bài toán 1.2. Gi i phương trình x6 − 7x2 + 6 = 0
Gi i.
Đt

√

√

6 = a. Khi đó phương trình có d ng
x 6 − x 2 a2 + 1 + a = 0 ⇔ a2 x 2 − a + x 2 − x 6 = 0
a1 = x 2

Coi a là n, x là tham s thì (1.8) có nghi m

Khi đó

x=± 6

=6√
1 − x4 = 6x2 ⇔  x = ± 

V y phương trình có t p nghi m S

3
2


±

4

a2 = 1 −2x
x

√4

x2

=

(1.8)

√

5−
2

 4 6; ±


3
2

Bài toán 1.3. Ch ng minh phương trình x5 − 5x4 + 30x3 − 50x2 + 55x − 21 = 0
có nghi m duy nh t
x=1+

√5

√
√
2 − 5 4 + 5 8 − 5 16

√

Gi i.

Đ t f(x) = x5 − 5x4 + 30x3 − 50x2 + 55x − 21.
Ta có f (x) = 5x4 − 20x3 + 90x2 − 100x + 55 = 5 x2 − 2x + 3
do đó phương trình f(x) = 0 không có quá 1 nghi m.
√

+ 10(2x − 1)2 > 0∀x,

√
8 − 5 16.
√
√
√
√
√
√
√
√
x = 1 + 5 2 − 5 4 + 5 8 − 5 16 ⇔ 5 2x = 5 2 + 5 4 − 5 8 − 5 16
√
√
√
⇔ x + 5 2x = 2 5 2 − 1 ⇔ x + 1 = 5 2 (2 − x)

Ta s ch ng minh nghi m đó là x = 1 + 5 2 − 5 4 +

√

2

√

5

⇔ (x + 1)5 = 2(2 − x)5

Khai tri n bi u th c trên sau đó rút g n, ta đư c đi u ph i ch ng minh.
12

√


Bài toán 1.4. Ch ng minh r ng phương trình sau có 7 nghi m th c
g(x) = x9 − 9x7 + 3x6 + 27x5 − 18x4 − 27x3 + 27x2 − 1 = 0

Gi i.
Đ t f(x) = x3−3x+1 thì g(x) = f(f(x)). C n tìm nghi m c a g (x) = f (x).f (f(x)). - Nghi m c a f (x)
là: f (x) = 0 ⇔ 3x2 − 3x = 0 ⇔ x = ±1.
- Đ tìm nghi m c a f (f(x)) ta tìm nghi m c a f(x) = 1 và f(x) = −1.

• f (x) = −1 ⇔ x3 − 3x + 2 = 0 ⇔ x ∈ {−2; 1}
• f (x) = 1 ⇔ x3 − 3x = 0 ⇔ x ∈ 0; ± 3

√
√

Như v y t p nghi m c a phương trình g (x) = 0 là −2; − 3; −1; 0; 1; 3 .
Suy ra g(x) có t i đa 7 nghi

m. L i có:

 g(x) → −∞ khi x → −∞




 g (−2) = 3 > 0

√

 g − 3 = −1 < 0

g (−1) = 19 > 0
g (0) = −1 < 0




 g (1) = 3 > 0



√
 g
3 = −1 < 0


g(x) → +∞ khi x → +∞
√
√
Suy ra trong m i kho ng (−∞; −2) , −2; − 3 , − 3; −1 , (−1; 0) , (0; 1) ,
√
√

1; 3 , 3; +∞ đ u có 1 nghi m.

V y g(x) = f(f(x)) có đúng 7 nghi m th c.

√


13


Chương 2
Phương pháp gi i phương trình vô
t
2.1
2.1.1

Phương pháp bi n đ i tương đương
Phương pháp nâng lũy th a

Bài toán: Gi i phương trình f(x) = g(x), trong đó f(x) và g(x) là các hàm
s bi n x, có th ch a căn ho c không ch a căn.
Ta có hai phép nâng lên lũy th a như sau.
- Nâng lũy th a b c l
f (x) = g (x) ⇔ [f (x)]n = [g (x)]n, v i n là s l , n ≥ 3

- Nâng lũy th a b c ch n
f (x) = g (x) ⇔

[f (x)]n = [g (x)]n , v i n là s ch n, n ≥ 2
f (x) .g (x) ≥ 0

Hai trư ng h p ph bi n nh t mà ta dùng phương pháp nâng lũy th a đó là
nâng lũy th a b c hai và nâng lũy th a b c ba.

Nâng lũy th a b c hai
M t s d ng cơ b n

•

f (x) = g (x) ⇔

•

f (x) =

g ( x) ⇔

g (x) ≥ 0
f (x) = [g (x)]2
f (x) ≥ 0 ( ho c g(x) ≥ 0)
f (x) = g (x)
14


Bài toán 2.1. (Đ thi HSGQG, B ng A - 2002) Gi i phương trình
√
4 − 3 7 − 3x = x − 1

Gi i.
Phương trình đã cho tương đương v i

√
4 − 3√7 − 3x ≥ 0

47 ≤ x ≤ 7
3
27 √

4 − 3 7 − 3x = (x − 1)2 ⇔

−3 7 − 3x = x2 − 2x − 3
 −1 ≤ x ≤ 3

2
 x − 2x − 3 ≤ 0
7
⇔  47 ≤x≤

⇔  47

 9 (7 − 3x) 3 x2 − 2x − 3
 27

2

 27 ≤ x 3≤ 3

=
⇔

7

x − 4x − 2x2 + 39x − 54 = 0 4

47 ≤ x ≤ 7
27
3
(x − 2) (x + 3) x2 − 5x + 9 = 0

⇔x=2

V y phương trình có nghi m duy nh t x = 2.
Bài toán 2.2. (Đ thi HSG Canada - 1998) . Gi i phương trình
x=

x− 1 +
x

1− 1

x

Gi i.
Đi u ki n x ≥ 1 ho c −1 ≤ x ≤ 0 (*)
T đi u ki n xác đ nh c a phương trình suy ra x > 1. Khi đó phương trình đã
cho tương đương v i
x−

1− 1 =
x

x− 1

x

2

⇔ x−
⇔ x2 − 1 − 2

1− 1

x

= x − 1 ( do hai v không âm ∀x > 1)
x
x (x2 − 1) + x = 0

√2
x 2 − 1 − x = 0 ⇔ x2 − 1 − x = 0
√
⇔ x2 − 1 = x ⇔ x2 − x − 1 = 0
√
T đó suy ra x =
1 + 5 (th a mãn)
2
√
1+ 5
V y phương trình có nghi m x =
2
⇔

√


15


Bài toán 2.3. Gi i phương trình
3x2 + 5x + 2 =

5x2 − 4 +

2x2 + 3x + 2

Đ nh hư ng. Đ ý th y h s trư c x2 là 3; 5; 2 → 5 = 3 + 2 → n u chuy n
√2
2x + 3x + 2 r i bình phương thì lư ng x2 s m t đi, lúc đó vi c khai tri n s

gi m b t đi ph n nào. Gi i.
Đi u ki n

3x2 + 5x + 2 ≥ 0 ⇔
5x2 − 4 ≥ 0

x ≤ −1
2
x
≥

Phương trình đã cho tương đương v i
3x2 + 5x + 2 −
⇒

3x2 + 5x + 2 −

⇔4x + 4 =

5x2 − 4

2x2 + 3x + 2 =
2x2 + 3x + 2

2

= 5x2 − 4

(3x2 + 5x + 2) (2x2 + 3x + 2)

⇔(4x + 4)2 = 3x2 + 5x + 2

2x2 + 3x + 2

⇔6x4 + 19x3 + 9x2 − 16x − 12 = 0

 x = −2

⇔ (x + 2) (x + 1) 6x2 + x − 6 = 0 ⇔  x = −1 ± √145



x = −1 12

√
Th l i ch có x = 145 − 1 th a mãn.
12

√
V y phương trình có nghi m x = 145 − 1
12

Bài toán 2.4. Gi i phương trình
1 − x3 − √ 1 − x =
3−x

x2 + x + 1 −

√

3−x

Đ nh hư ng. Ki m tra th y 13− xx . (3 − x) = (1 − x) x2 + x + 1 nên n u chuy n 3
−

v các căn th c thích h p đ bình phương thì các tích trên s rút g n.
Gi i.

16

Đi u ki n x ≤ 1. Phương trình đã cho tương đương v i
1 − x3 + √3 − x = √1 − x +
3−x

x2 + x + 1

2

⇔

1 − x3 + √3 − x
3−x

⇔ 13− x + 3 − x + 2 3

√

=

2

1−x+

x2 + x + 1

1 − x3 . (3 − x) = x2 + 2 + 2
3−x

(1 − x) (x2 + x + 1)

−x
⇔ 13− x = x2 + x − 1 ⇔ 1 − x3 = (3 − x) x2 + x − 1 3
−x
⇔x 2 + 2x − 2 = 0 ⇔ x = −1 ± √3 (th a mãn)

V y phương trình có nghi m x = −1 ± 3

√

Nh n xét 2.1. Khi bài ra xu t hi n 4 căn th c d ng
f (x) ±

h ( x) ±

g (x) =

k ( x)

thì vi c ta nghĩ đ n s là tìm m i quan h t ng ho c tích gi a các căn th c đ có th bi
n đ i cho phù h p (Tùy thu c vào d u c a các v đ xem nên dùng
phép bi n đ i tương đương hay h qu .)
i) N u f (x) + g (x) = h (x) + k (x) ho cf (x) .g (x) = h (x) .k (x) thì ta bình
phương hai v lên luôn.
ii) N u f (x)+k (x) = g (x)+h (x) ho c f (x) .k (x) = g (x) .h (x) thì nên chuy n
v r i hãy bình phương.

Nâng lũy th a b c ba
1. M t s đ ng th c
(a − b)3 = a3 − b3 − 3ab (a − b)
(a + b)3 = a3 + b3 + 3ab (a + b)

(a + b + c)3 = a3 + b3 + c3 + 3 (a + b) (b + c) (c + a)

2. Bài toán. Gi i phương trình

3

f ( x) +

g ( x) =

3

3

Bi n đ i tương đương v
f (x) + g (x) + 3 3 f (x) .g (x)

h (x)

x) +
7

3

f
(


3

g (x) = h (x)


và s d ng phép th

3

f (x) +

3

g (x) =

3

h (x) ta đư c phương trình h qu :
f
(
x
)
+
g
(
x
)
+
3
3

f

(
x
)
.
g
(
x
)
.
h
(
x
)
=
h
(
x
)
⇔
3 3 f (x) .g (x) .h (x)
= h (x) − f (x) − g (x)

Mũ ba
hai v lên
rút g n và
gi i
phương
trình.
B
à

i
t
o
á
n
2
.
5


.

L)

G
i

pt

i

a

p
h
ư
ơ
n
g

p

t
r
ì
n
h

nc

hđ
ưư
ơ
g

py
h
ư
ơp
n
gh
ư
t
r ơ
ì n
ng
h
( t

. r

ì
)
a
√ n
i
√đ h
ư
3
a
2
c
v Tx√
x
v
−
ó
1
p
p +
hn
ư
h
√ơ g
ư
√n h
g
ơ
√ i
n
3t

3
x − 1. r
−
g 3 2x
m
1. 3 x + ì
1 = −2x n
+3
h
x
t (2.3)
h

√
x

r

√3

L

x

p

=

hp
h

ư
ơ
( n
2g

0

ì
n

. h
a
1
i

ươn

V

√2

√

G

v

=

n

x
é

3

m t phương trình h qu do nghi m c a
phương trình (2.3) có th không th a
mãn (2.1) nên khi đư c nghi m c a
phương trình (2.3) ta ph i có bư c th l
i vào phương trình đã cho.

t
B
à
2i
. t
o
2á
. n
2
.
. 6
.
√
√G
√i
Px

hi
é−

pp
th
1h
ư
+ơ
3 n
g
2
xt

r

−ì

n

1h
=
3

6

g trình (2.2) có th d n đ n

x

3

x2
+1

=

3

3x2 −
x−
2−

3

2
x
2

(
l .
o

+

−

1

x

i 2
)
N

v
à
o

−

62

p
h

6

h

3


Đ nh hư ng. Đ ý th
y x2 + 1 + 2x2 − x − 3
= 3x2 − x − 2 nên n u
ta chuy n
√

v2
x
−
1

r

i
l
p
p
h
ư
ơ
n
g
t
h
ì
b
à
i
t
o
á
n
đ
ơ
n
g
i
n
h
ơ
n
.
1

8