Số fibonacci và một số ứng dụng trong các tam giác kinh điển

Đ I H C QU C GIA HÀ N I
TRƯ NG Đ I H C KHOA H C T NHIÊN

PH M TH LIÊN

S

FIBONACCI

VÀ M T S

NG D NG

TRONG CÁC TAM GIÁC KINH ĐI N

LU N VĂN TH C SĨ TOÁN H C

Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ C P

Cán b hư ng d n:
PGS. TS. Nguy n Nh y

HÀ N I - 2015


L I C M ƠN
Lu n văn đư c hoàn thành v i s hư ng d n c a PGS. TS. Nguy n
Nh y, Trư ng Đ i h c Giáo d c - ĐHQGHN. Tôi xin đư c bày t lòng bi t ơn
sâu s c đ i v i s quan tâm, đ ng viên và s ch b o hư ng d n nhi t tình, chu
đáo c a th y trong su t th i gian tôi th c hi n Lu n văn này.
Tôi cũng xin g i l i c m ơn chân thành c a mình đ n quý Th y Cô giáo

trong khoa Toán - Cơ - Tin, phòng Đào t o Sau đ i h c, Trư ng Đ i h c Khoa
H c T Nhiên - ĐHQGHN, đ c bi t là nh ng Th y Cô giáo đã
t ng gi ng d y

l p PPTSC, khóa h c 2013 - 2015. C m ơn Th y Cô

đã truy n cho tôi ki n th c và giúp đ tôi trong su t quá trình h c t p t i khoa.
Đ ng th i, tôi xin g i l i c m ơn t i t p th l p Cao h c Toán PPTSC, khóa h c
2013 - 2015 đã đ ng viên, giúp tôi có cơ h i th o lu n và trình bày v m t s v
n đ trong Lu n văn c a mình.
Tôi xin g i l i c m ơn t i S Giáo d c - Đào t o Hà N i, Ban Giám hi u,
các đ ng nghi p Trư ng THPT Đông Đô - Qu n Tây H - Tp. Hà N i đã t o đi
u ki n cho tôi v m i m t đ tham gia h c t p và hoàn thành khóa h c.
Cu i cùng, tôi xin g i l i c m ơn đ n nh ng ngư i thân trong gia đình,
b n bè đã luôn ng h và nhi t tình giúp đ tôi trong th i gian v a qua.
Tuy nhiên, do s hi u bi t c a b n thân và khuôn kh c a Lu n văn th c
sĩ, nên ch c r ng trong quá trình nghiên c u không tránh kh i nh ng thi u
sót. Tôi r t mong đư c s ch d y và đóng góp ý ki n c a Th y Cô và đ c gi
quan tâm t i Lu n văn này.
Hà N i, ngày 08 tháng 10 năm 2015
H c viên

Ph m Th Liên

1


M cl c
0.1
0.2

Lý do ch n đ tài Lu n văn . . . . . . . . . . . . . . . . . .
M c đích c a đ tài Lu n văn . . . . . . . . . . . . . . . .

5

60.3
B c c c a Lu n văn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1 S Fibonacci và m i liên h v i t
ng d ng
1.1

nhiên, Toán h c và các
8

S ra đ i c a s Fibonacci cùng m i liên h v i t nhiên và
Toán h c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

8

1.1.1

S ra đ i c a s Fibonacci . . . . . . . . . . . . . .

8

1.1.2

S Fibonacci v i t nhiên . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.1.3
S Fibonacci v i Toán h c . . . . . . . . . . . . . . 18

1.2

Đ nh nghĩa dãy Fibonacci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
1.2.1

Đ nh nghĩa dãy Fibonacci . . . . . . . . . . . . . . . 23 1.2.2
Đ nh nghĩa dãy Lucas . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 1.2.3
M t s bi n th c a dãy Fibonacci . . . . . . . . . . 24

1.3

S Fibonacci v i ch s âm . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
1.3.1

S Fibonacci v i ch s âm . . . . . . . . . . . . . . 25 1.3.2
S Lucas v i ch s âm . . . . . . . . . . . . . . . . 26

1.4

6

Dãy Fibonacci cùng T s vàng và ng d ng . . . . . . . . 28
1.4.1

Đ nh nghĩa T s vàng và m i quan h v i cu c s ng 28

1.4.2

T s vàng trong t nhiên

1.4.3

T s vàng trong ki n trúc . . . . . . . . . . . . . . 37 T s vàng

1.4.4

trong thi t k . . . . . . . . . . . . . . . 39 T s vàng trong ngh

1.4.5

thu t . . . . . . . . . . . . . 41 Dãy Fibonacci trong th trư ng

1.4.6

tài chính . . . . . . 43

2

. . . . . . . . . . . . . . 30


1.4.7

Các ng d ng khác . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

2 Các tính ch t c a s
Fibonacci
2.1

Fibonacci. Công th c Binet cho s
49

Các tính ch t đơn gi n c a s Fibonacci . . . . . . . . . . . 49
2.1.1

M t s tính ch t c a s Fibonacci . . . . . . . . . . 49 2.1.2
M t s tính ch t c a s Lucas . . . . . . . . . . . . 62

2.2

Tính chia h t trong t p các s Fibonacci . . . . . . . . . . . 66 Công th

2.3

c t ng quát c a s Fibonacci . . . . . . . . . . . . 74 M t áp d ng c a

2.4

công th c Binet . . . . . . . . . . . . . . 78 Đi u ki n c n và đ đ m t s t

2.5

nhiên n là s Fibonacci . 81 Hai m i liên h đ c bi t c a dãy

2.6

Fibonacci và s 11 . . . . . 85
2.6.1

M i liên h th nh t

2.6.2

M i liên h th hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86

3 S Fibonacci và m t s
đi n
3.1

90
. . . . . . . . . . . . . 90

3.1.1

Các ki n th c cơ b n . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 Tam giác

3.1.2

Pascal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91
M t s tính ch t rõ ràng c a tam giác s Pascal . . 93 M i

3.1.4

liên h gi a tam giác Pascal v i s Fibonacci . . 95

3.1.5

Các đư ng đi Fibonacci c a m t quân c trên m t
bàn c

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

S Fibonacci trong tam giác t a Pascal . . . . . . . . . . . 106
3.2.1

M i liên h gi a tam giác t a Pascal v i s Lucas . . 106

3.2.2

M t công th c thay th cho Ln . . . . . . . . . . . . 110

3.2.3
3.2.4
3.2.5
3.2.6
3.3

ng d ng trong các tam giác kinh

S Fibonacci trong tam giác Pascal

3.1.3

3.2

. . . . . . . . . . . . . . . . . 85

M i liên h gi a tam giác t a Pascal v i s Fibonacci 111
M t công th c thay th cho Fn . . . . . . . . . . . . 113

Tam giác Lucas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

M t đ nh nghĩa đ quy cho D(n, j) . . . . . . . . . . 115

S Fibonacci trong tam giác t a Pascal m r ng . . . . . . 119
3


3.3.1

M i liên h gi a tam giác t a Pascal m r ng v i s
Fibonacci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119 3.3.2
M i liên h gi a tam giác t a Pascal m r ng v i s
Lucas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

K t lu n

127

Tài li u tham kh o

128

4


M

0.1

ĐU

Lý do ch n đ tài Lu n văn

Dãy Fibonacci là m t trong nh ng v đ p c a kho tàng Toán h c.
Dãy Fibonacci xu t hi n và bi n hóa vô t n trong t nhiên, v i r t nhi u bi n th
đ p và ng d ng quan tr ng.
Trư c Fibonacci, đã có nhi u h c gi nghiên c u v dãy Fibonacci.
Susantha Goonatilake vi t r ng s phát tri n c a dãy Fibonacci "m t ph n là t
Pingala, sau đó đư c k t h p v i Virahanka, Gopala và Hemachan- dra".
Sau Fibonacci, còn có r t nhi u nhà Khoa h c nghiên c u v dãy Fibonacci
như Cassini (1625 - 1712), Catalan (1814 - 1894), Lucas (1842 - 1891), Binet
(1857 - 1911), D'Ocagne (1862 - 1938), .... Có r t nhi u tính ch t c a dãy đã
đư c mang tên các nhà khoa h c này. Hi n nay, tài li u
b ng ti ng Vi t v dãy Fibonacci và m t s

ng d ng trong các tam giác

kinh đi n chưa có nhi u và còn t n m n, do đó c n ph i gi i thi u dãy
Fibonacci và m t s

ng d ng trong tam giác kinh đi n m t cách đ y đ và

th ng nh t hơn.
Vì v y, vi c tìm hi u sâu và gi i thi u dãy Fibonacci và m t s

ng

d ng trong các tam giác kinh đi n là r t c n thi t cho vi c h c t p, gi ng d y
Toán h c và s hi u bi t c a con ngư i. B n Lu n văn "S Fibonacci

và m t s

ng d ng trong các tam giác kinh đi n" đư c ti n hành vào cu i

năm 2015 ch y u d a trên các tài li u tham kh o và m t s phát hi n riêng c
a tác gi .
M c dù trong Lu n văn đ c p đ n c s Fibonacci và s Lucas, nhưng s
Fibonacci là ch y u. Chú ý r ng s Lucas đư c xây d ng sau khi xu t hi n s
Fibonacci, hơn th n a hai dãy s này đư c xây d ng trên cùng m t phương
pháp và dãy Lucas đư c gi i Toán h c cho r ng thu c h Fibonacci, nên Lu n
văn vì th l y tên chính là s Fibonacci.

5


0.2

M c đích c a đ tài Lu n văn

H c t p và gi i thi u dãy Fibonacci cùng v i các tính ch t cơ b n.
Đ c bi t, giúp đ c gi n m đư c s xu t hi n đa d ng c a dãy Fibonacci trong t
nhiên và nh ng ng d ng trong các tam giác kinh đi n.
Chú ý r ng trong m i l p lu n, ta ch dùng đ n ki n th c Toán Trung h c
ph thông.

0.3

B c c c a Lu n văn

B n Lu n văn "S Fibonacci và m t s

ng d ng trong các tam giác
kinh đi n" g m có: M đ u, ba chương n i dung, k t lu n và tài li u tham kh o.
Chương 1. S Fibonacci và m i liên h v i t nhiên, Toán h c và
các ng d ng
Chương này, gi i thi u s ra đ i c a dãy Fibonacci và m i liên h v i t
nhiên, Toán h c; đ nh nghĩa dãy Fibonacci và dãy s Lucas; s Fibonacci
và s Lucas v i ch s âm; dãy Fibonacci cùng T s vàng và
ng d ng.
Chương 2. M t s tính ch t c a s Fibonacci. Công th c Binet
cho s Fibonacci
Chương này, trình bày m t s tính ch t c a s Fibonacci và s Lucas;
công th c t ng quát c a s Fibonacci, s Lucas và công th c Binet cho s
Fibonacci. Ch ng minh các tính ch t c a s Fibonacci và s Lucas là s tìm
tòi, suy nghĩ c a tác gi . Ngoài ra, chúng tôi còn trình bày đi u ki n c n và
đ đ s t nhiên n là m t s Fibonacci; m t áp d ng c a công th c Binet cho th
y m i liên h gi a s Fibonacci và s Lucas. Đ c bi t hơn n a là trình bày hai
m i liên h đ c bi t c a s Fibonacci và s 11, trong đó có m t m i liên h mà
chúng tôi đã th y ngư i ta phát bi u
nhưng chưa đư c ch ng minh t ng quát.
chúng tôi đã ch ng minh t ng quát đ y đ .

6

đây khi đưa tính ch t đó ra,


Chương 3. S
giác kinh đi n
M ts

Fibonacci và m t s

ng d ng trong các tam

ng d ng c a s Fibonacci trong các tam giác kinh đi n như

tam giác Pascal, tam giác t a Pascal và tam giác t a Pascal m r ng, đư c đ c
p đ n trong chương này.

7


Chương 1
S Fibonacci và m i liên h v i t nhiên,
Toán h c và các ng d ng
Trong Chương 1, chúng tôi ch y u gi i thi u s ra đ i c a dãy
Fibonacci; m i liên h v i t nhiên, Toán h c; đ nh nghĩa dãy Fibonacci và
các ng d ng c a dãy Fibonacci cùng T s vàng. Tài li u tham kh o chính là
[1, 2].
Các kí hi u
Các s Fibonacci là Fn, n = 0, 1, 2, 3, 4, • • •
Các s Lucas là Ln, n = 0, 1, 2, 3, 4, • • •

1.1
1.1.1

hc

S ra đ i c a s Fibonacci cùng m i liên h v i
t nhiên và Toán h c

S ra đ i c a s Fibonacci
Fibonacci là tên vi t t t c a m t nhà toán
châu Âu th i trung đ i, ông sinh năm 1170

m t năm 1240, tên đ y đ c a ông là Leonardo of
Pisa, vì ông đư c sinh ra

Pisa (Italy) và thu c

dòng h Bonacci. Fibonacci n i ti ng trong th gi i
hi n đ i vì có công lao truy n h đ m Hinđu Rp

châu Âu, và đ c bi t là dãy s hi n đ i mang tên ông, dãy Fibonacci

trong cu n sách Liber Abaci - Sách v Toán đ năm 1202.

8


phương Tây, dãy Fibonacci đ u tiên xu t hi n trong cu n sách
Liber Abaci (năm 1202) vi t b i Leonardo of Pisa - đư c bi t đ n v i tên
Fibonacci, m c dù dãy s này đã đư c mô t trư c đó trong Toán h c

n

Đ . Fibonacci xem xét s phát tri n c a m t đàn th đư c lý tư ng hóa, gi đ nh
r ng: Đ m t c p th m i sinh, m t đ c, m t cái trong m t cánh đ ng, đ n m t
tháng tu i th có th giao ph i và t i hai tháng tu i, m t th cái có th sinh ra
thêm m t c p th khác, các con th này không bao gi ch t và vi c giao ph i m
t c p luôn t o ra m t c p m i (m t đ c, m t cái) m i tháng t tháng th hai tr đi.

Câu đ mà Fibonacci đ t ra là
"Trong m i năm có bao nhiêu c p th ?"
(a) Vào cu i tháng đ u tiên, chúng giao ph i, nhưng v n ch có 1 c p. (b)
Vào cu i tháng th hai, th cái t o ra m t c p m i. Vì v y bây gi
có 1 + 1 = 2 (c p) th trong cánh đ ng.
(c) Vào cu i tháng th ba, th cái ban đ u l i t o ra m t c p th n a, bi n s lư
ng th trong cánh đ ng lúc này là 2 + 1 = 3 (c p).
(d) Và vào cu i tháng th tư, th cái ban đ u đã sinh thêm m t c p m i, th
cái sinh ra cách đây hai tháng cũng cho ra m t c p đ u tiên, t ng s lúc này
là 3 + 2 = 5 (c p).

•••

(e) Vào cu i tháng th n, s lư ng các c p th b ng s lư ng các c p
m i (b ng s lư ng các c p trong tháng (n − 2)) c ng v i s c p trong tháng (n −

1). Đây là s Fibonacci th n.
Và đó là ti n thân c a dãy Fibonacci đư c xác đ nh b ng cách li t
kê các ph n t như sau
0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233 377 610 987 • • •
trong đó, m i ph n t n m trong dãy s này luôn b ng t ng c a 2 s
li n trư c nó. Dãy Fibonacci đư c công b năm 1202 và đư c "ti n hóa" h u
như vô t n. Chính đi u đó, đã thu hút đư c r t nhi u s quan tâm cũng như
làm chúng ta say mê nghiên c u, khám phá các tính ch t c a nó.

9


Hình 1.1: S phát tri n c a m t đàn th

1.1.2

S Fibonacci v i t nhiên

Dãy Fibonacci xu t hi n
kh p nơi trong t nhiên, trong các k t
c u v sinh h c c a các loài th c v t.
Nhi u loài cây, s lư ng nhánh cây m c tương ng v i dãy Fibonacci. Ch
ng h n, m t trong nh ng loài cây phát tri n r t gi ng v i hình dư i là loài cây
Achillea ptarmica.

Hình 1.2: Loài cây Achillea ptarmica

Nhi u loài cây cũng có cách m c lá tuân theo dãy Fibonacci. Chúng
ta quan sát k s th y lá cây m c
trên thư ng x p sao cho không che
10


khu t lá m c dư i. N u t m t lá ng n làm kh i đ u, xoay quanh thân
cây t trên xu ng dư i, lá sang lá, đ m s vòng xoay đ ng th i đ m s lá, cho
đ n khi g p chi c lá m c đúng phía dư i lá kh i đ u, thì các s Fibonacci xu t
hi n. N u chúng ta đ m xoay theo hư ng ngư c l i, thì s đư c m t con s
vòng xoay khác ( ng v i cùng ch ng y lá). Con s vòng xoay theo hai hư
ng, cùng v i s lá cây mà chúng ta g p khi xoay, t t c s thành ba con s
Fibonacci liên ti p nhau.
Ví d 1. Trong nh cây dư i, l y lá (x) làm kh i đi m, ta có 3 vòng quay
thu n chi u kim đ ng h trư c khi g p lá (8) n m đúng phía dư i lá (x), ho c là
5 vòng n u quay theo ngư c chi u kim đ ng h . Vư t qua t ng c ng 8 lá. Các
s 3, 5, 8 là ba s liên ti p trong dãy Fibonacci.

Chi c lá (3) và (5) là nh ng chi c lá phía dư i g n lá kh i đi m (x) nh t,
r i xu ng ti p n a là lá (8) r i (13).
Có nhà nghiên c u ư c đoán r ng 90% các loài cây có s x p lá
tuân theo dãy Fibonacci, theo cách này hay cách khác.
Các s Fibonacci xu t hi n trong nh ng bông hoa. H u h t các bông
hoa có s cánh hoa là m t trong các s 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 ho c
89, • • • , đó là các s Fibonacci. Hoa Loa kèn có 1 cánh, hoa Tai bư m có 2
cánh, hoa Đ a lan có 3 cánh, hoa Mao lương vàng có 5 cánh, hoa Phi y n thư
ng có 8 cánh, hoa V n cúc th có 13 cánh, hoa Cúc tây có 21 cánh,
11


(a) Hoa m t cánh

(b) Hoa hai cánh

(c) Hoa ba cánh

(a) Hoa năm cánh

(b) Hoa tám cánh

(c) Hoa mư i ba cánh

hoa Cúc thư ng có 34 cánh, ho c 55, ho c 89 cánh, ....
Các s Fibonacci cũng xu t hi n trong các bông hoa Hư ng dương.
Nh ng n nh s k t thành h t

đ u bông hoa Hư ng dương đư c x p

thành hai t p các đư ng xo n c.

Hình 1.3: Nh hoa hư ng dương

M t t p cu n theo chi u kim đ ng h , còn t p kia cu n ngư c theo chi u
kim đ ng h . S các đư ng xo n c hư ng thu n chi u kim đ ng h thư ng
12


là 34 còn ngư c chi u kim đ ng h là 55. Đôi khi, các s này là 55 và 89,
và th m chí là 89 và 144. T t c các s này đ u là các s Fibonacci k ti p nhau.
Đi u tương t cũng x y ra

nh hoa nhi u loài hoa khác trong t

nhiên. S đư ng xo n c c a các h th ng đư ng xo n c khác nhau c a nh hoa
m i bông hoa thư ng xuyên là nh ng con s thu c dãy Fibonacci.

Qu thông có nh ng đư ng xo n c tuân theo dãy Fibonacci khá rõ.
Qu thông có hai t p các đư ng xo n c ngư c chi u nhau, m t t p g m 8 đư
ng và t p kia g m 13 đư ng, ho c m t t p g m 5 đư ng và t p kia g m 8 đư
ng. Và chúng là các s liên ti p thu c dãy Fibonacci.

Hình 1.4: Qu thông

Và cũng như v y đ i v i qu d a, s đư ng chéo t o b i các m t
d a theo các hư ng chéo nhau cũng l n lư t là 8 và 13 ho c 13 và 21, ...,
13

tùy kích thư c.

Hình 1.5: Qu d a

Nh ng đư ng xo n c tuân theo dãy Fibonacci cũng xu t hi n
cây xúp lơ. N u trông k , ta có th th y m t đi m gi a,
đó nh ng bông
hoa là nh nh t. Nhìn k thêm, ta l i th y nh ng bông hoa tí xíu này đư c x p
trên nh ng đư ng xo n c xung quanh đi m trung tâm k trên, theo c 2 hư ng.
D dàng đ m đư c có 5 đư ng xo n ngư c kim đ ng h và 8 đư ng xo n thu n
chi u kim đ ng h .

Hình 1.6: Xúp lơ

Xúp lơ ki u Roman, b ngoài và mùi v v a gi ng c i xanh v a gi ng
xúp lơ. M i ph n t nh n i lên và có hình d ng gi ng v i t ng th nhưng
14


kích thư c bé hơn, khi n các vòng xo n n i lên r t rõ ràng. Có 13 vòng
xo n ngư c chi u kim đ ng h và 21 vòng xo n thu n chi u kim đ ng h .

Hình 1.7: Xúp lơ ki u Roman

Hơn n a, trên bàn tay m i ngư i chúng ta, b n đ t xương c a các
ngón tay cũng tuân theo dãy Fibonacci, đó là 2, 3, 5, 8.

Hình 1.8: Xương bàn tay

Vài loài hoa có 6 cánh hoa, và 6 không thu c dãy Fibonacci. Trong
hình là hoa Hu tây, hoa Th y tiên và hoa Loa kèn đ . Nhưng nhìn k thì
chúng th c ch t có 2 l p cánh hoa trong - ngoài, m i l p g m 3 cánh hoa,
15


và 3 là s Fibonacci.

Hình 1.9: Loài hoa 6 cánh

Ngoài ra, có m t s loài th c v t không tuân theo quy lu t c a dãy
Fibonacci nhưng l i tuân theo quy lu t c a dãy Lucas.

Ví d 2. M t loài xương r ng có 4 vòng xo n và 7 vòng xo n.

Hình 1.10: Xương r ng có 4 và 7 vòng xo n

M t lo i xương r ng khác, h g m 11 và 18 vòng xo n. Bên c nh
đó là xương r ng Echinocactus Grusonii Inermis có 29 múi.

16


Hình 1.11: Xương r ng có 11 và 18 vòng xo n

M t loài hoa Vân anh, loài t ng t đôi khi không có 3 múi mà l i
có 4 múi.

Hình 1.12: Hoa Vân anh và t ng t

Như v y các ngo i l không thu c dãy Fibonacci thì l i thu c m t
dãy s tương t , đi n hình là dãy Lucas. Các con s 4, 7, 11, 18, 29 đ u thu c
dãy Lucas.
S phân chia t bào cũng tuân theo quy lu t c a dãy Lucas.
(a) Ban đ u ch có 1 t bào, ta g i đó là t bào m g c A00.
(b) L n phân chia th 2: A00 sinh ra t bào m A01, sinh t bào con
A10, và m t t bào con A-1 (không sinh s n). Gi có 3 t bào là A01, A10 và A1.
(c) L n phân chia th 3: A01 sinh ra A02, A10 sinh ra A11 và A20. A-1
17


vô sinh. Gi có 4 t bào là A02, A10, A11, A20.
(d) L n phân chia th 4: T bào A02 không sinh s n mà tr thành A03. Gi có
7 t bào là A03, A11, A20, A12, A20, A21, A30.
(e) L n phân chia th 5: T bào A03 ch t. T bào A12 không sinh s n tr
thành A13. Gi có 11 t bào là A12, A20, A21, A30, A13, A21, A30, A22,
A30, A31, A40.
(f) L n phân chia th 6: Gi có 18 t bào là A13, A21, A30, A22, A30, A31,
A40, A22, A30, A31, A40, A23, A31, A40, A32, A40, A41, A50.
(g) L n phân chia th 7: T t c có 29 t bào.
C ti p t c quá trình trên, s t bào trong m i l n phân chia l n lư t là 1, 3, 4, 7,
11, 18, 29, 47, 76, 123, 199, 322, 521, 843, • • • . Đây chính là dãy Lucas.

1.1.3

S Fibonacci v i Toán h c

a) S Fibonacci và h nh phân
1. S lư ng chu i nh phân v i đ dài n mà không có các s 1 liên
ti p là s Fibonacci Fn+2.

Ví d
3. Trong s 16 chu i nh phân v i đ dài 4, chúng ta có F6 = 8
chu i không có các s 1 liên ti p - chúng là 0000, 0100, 0010, 0001, 0101,
1000, 1010 và 1001.
2. S lư ng chu i nh phân v i đ dài n mà không có m t s l các
s 1 liên ti p là s Fibonacci Fn+1.
Ví d
4. Trong s 16 chu i nh phân v i đ dài 4, chúng ta có F5 = 5
chu i không có m t s l các s 1 liên ti p - chúng là 0000, 0011, 0110,
1100 và 1111.
3. S lư ng chu i nh phân v i đ dài n mà không có m t s ch n
các s 0 ho c các s 1 liên ti p là 2Fn.
Ví d 5. Trong s 16 chu i nh phân có đ dài 4, có 2F4 = 6 chu i không có m t
s ch n các s 0, ho c các s 1 liên ti p - chúng là 0001, 1000,
1110, 0111, 0101 và 1010.
18


b) S Fibonacci và tam giác vuông
G i a và b là hai s Fibonacci k nhau trong dãy. Xét 4 s Fibonacci liên
ti p nhau là b − a, a, b, a + b.
Xét quan h ba đ dài sau 2ab, (b − a)(b + a) = b2 − a2 và a2 + b2.
Ta có

(2ab)2 + (b2 − a2)2 = 4a2b2 + b4 − 2b2a2 + a4
= b 4 + 2 b 2 a2 + a4 =

(b2 + a2)2.
V y t ng bình phương hai đ dài đ u b ng bình phương đ dài th ba.
Đi u này cho phép chúng ta có th xây d ng m t tam giác vuông v i đ

dài ba c nh b ng 4 s Fibonacci liên ti p Fn−1, Fn, Fn+1, Fn+2. Trong đó,
hai c nh bên c a tam giác vuông là 2FnFn+1 và Fn−1Fn+2, c nh huy n là
t ng bình phương c a hai s Fn2 + Fn2+1.

Theo tính ch t c a s Fibonacci, ta có

F2n+1 = Fn2 + Fn2+1.
Chúng ta có tam giác vuông v i đ dài hai c nh góc vuông là 2FnFn+1, Fn−1Fn+2
và c nh huy n là F2n+1. Theo đ nh lý Pythagore, ta có

F22n+1 = (2FnFn+1)2 + (Fn−1Fn+2)2.
c) S Fibonacci và hình h c
1. Hình ch nh t Fibonacci
Hình ch nh t Fibonacci là hình ch nh t đư c s p x p t các hình vuông
có đ dài c nh là các s trong dãy Fibonacci, v i các đ c đi m sau
19


i) C nh đ ng có đ dài b ng t ng các s Fibonacci có s th t l
n −1
i=1

F2i+1 = F2n+1.

ii) C nh ngang có đ dài b ng t ng các s Fibonacci có s th t ch n
c ng thêm 1
n
i=1

F2i+1 = F2n+1.

iii) Di n tích c a hình ch nh t chính là t ng di n tích c a các hình
vuông thành ph n
n
i=1

Fi2 = FnFn+1.

2. Xo n c Fibonacci và hình ch nh t vàng
Xo n c Fibonacci đư c t o ra b ng cách v cung tròn k t n i các góc đ i
di n c a các hình vuông trong hình ch nh t Fibonacci.
Hình ch nh t vàng là hình ch nh t có t s chi u dài trên chi u r ng b
ng T s vàng ϕ.
Chúng ta có th t o ra hình ch nh t vàng thông qua hình ch nh t
Fibonacci. Đư ng xo n c Fibonacci n m bên trong hình ch nh t vàng còn
đư c g i là đư ng xo n c vàng.

20


3. Tam giác Fibonacci
Trong m t lư i tam giác đ u, ta v m t tam giác đ u có c nh b ng
đơn v

đ nh, dư i nó ta v m t hình thoi màu vàng và bên c nh hình thoi

là m t tam giác đ th hai. Dư i tam giác đ là m t hình thoi màu vàng khác
và bên c nh nó là m t hình thang cân màu đ . Và ta quy đ nh dư i hình
thang màu đ là hình thoi màu vàng và dư i hình thoi màu vàng là hình
thang màu đ . Theo th t như v y, ta đư c tam giác Fibonacci v i c nh là s

Fibonacci.

Khi đó, đ dài c nh c a hình thoi là s Fibonacci. Đ dài đáy trên, đ
dài hai c nh bên và đ dài đáy dư i c a hình thang cân là ba s Fibonacci
liên ti p.

21


4. L c giác Fibonacci

5. Ngôi sao Fibonacci

22


6. S Fibonacci trong lư i hình vuông và đ nh Matterhorn
trong dãy An-pơ
Th y Sĩ
Trong lư i hình vuông, ta s p x p tương t như trong lư i tam giác đ u
và thay tam giác đ u c nh đơn v b i tam giác vuông cân c nh góc vuông là
đơn v , hình thoi b i hình vuông, hình thang cân b i hình thang vuông. Khi
đó, đ dài c nh hình vuông là các s Fibonacci. Hình thang vuông có đ dài
đáy nh , đ dài c nh bên góc vuông và đ dài đáy l n l n lư t là ba s Fibonacci
liên ti p.
S Fibonacci trong lư i hình vuông liên tư ng t i đ nh Matterhorn
trong dãy An-pơ

Th y Sĩ.

Ngoài ra, s Fibonacci còn có m i liên h ch t ch v i tam giác
Pascal, tam giác Lucas, tam giác t a Pascal, tam giác t a Pascal m r ng.
Các m i liên h này s đư c trình bày rõ ràng

1.2
1.2.1

Chương 3 c a Lu n văn.

Đ nh nghĩa dãy Fibonacci
Đ nh nghĩa dãy Fibonacci
∞

G i {Fn} =1 là dãy vô h n các s t nhiên b t đ u b ng hai ph n n
t 0 và 1, các ph n t sau đó đư c thi t l p theo quy t c m i ph n t
luôn b ng t ng hai ph n t ngay trư c nó.

23


Công th c truy h i c a dãy Fibonacci là



Fn :=

0,

khi n = 0;

khi n = 1;
1,

Fn−1 + Fn−2, khi n > 1.

Theo đ nh nghĩa, ta có dãy Fibonacci
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, • • •

1.2.2

Đ nh nghĩa dãy Lucas

Dãy Lucas là m t dãy s đư c đ t tên nh m vinh danh nhà toán
h c Francois Esdouard Anatole Lucas (1842 - 1891), ngư i đã nghiên c u
dãy Fibonacci và dãy thu c h Fibonacci mà m i s trong dãy b ng t ng c a
hai s li n trư c nó.
Đ nh nghĩa. Dãy {Ln}
truy h i sau

∞

=1

các con s Lucas đư c đ nh nghĩa b i h th c n



2,

khi n = 0;

khi n = 1;
1,

Ln−1 + Ln−2, khi n > 1.
Theo đ nh nghĩa, ta có dãy s Lucas

Ln :=

2, 1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, 76, 123, 199, 322, 521, 843, 1364, • • •

1.2.3

M t s bi n th c a dãy Fibonacci

(a) Dãy Tribonacci
Dãy Tribonacci gi ng dãy Fibonacci, nhưng thay vì v i hai s cho trư
c, dãy Tribonacci b t đ u v i ba s cho trư c và m i s k ti p là t ng c a ba s đ
ng trư c đó trong dãy. Dư i đây là các s đ u tiên trong dãy
Tribonacci

0, 1, 1, 2, 4, 7, 13, 24, 44, 81, 149, 274, 504, 927, 1705, 3136, • • •
(b) Dãy Tetranacci
Cách thành l p dãy s Tetranacci gi ng dãy Tribonacci, ch khác là nó
b t đ u v i b n s cho trư c và m i s k ti p là t ng c a b n s đ ng
trư c trong dãy. Dư i đây là các s đ u tiên trong dãy Tetranacci

0, 1, 1, 2, 4, 8, 15, 29, 56, 108, 208, 401, 773, 1490, 2872, 5536, • • •