Tuyển tập đề thi môn toán học kì 2 lớp 11 có đáp án chi tiết
Bạn đang xem bản rút gọn của tài liệu. Xem và tải ngay bản đầy đủ của tài liệu tại đây (2.26 MB, 37 trang )
1
TRNG THPT NGễ QUYN
KIM TRA HC K II LP 11 THPT
NM HC 2015 2016
Thi gian lm bi:90 phỳt, khụng k thi gian phỏt
Cõu 1 (1,0 im) Tớnh gii hn lim
2
x
x
x
2
2
5
3
.
x4
3x 2 2
khi x
x2 1
3x 2
khi x
Cõu 2 (1,0 im) Cho hm s f x
Chng minh f x liờn tc trờn tp xỏc nh
mx
3
Cõu 3 (1,0 im) Cho hm s f x
Tỡm m f ' x ,
x
3
mx
2
1
.
1
.
2
3 m x
3.
.
Cõu 4 (1,0 im) Gii phng trỡnh y ''
cos 2 x
3
. Chng minh rng 2 y '
4
x
x
Cõu 5 (1,0 im) Cho hm s y
0 , trong ú y
x3
Cõu 6 (1,0 im) Cho hai hm s f x
x2
2 sin x
2
x2 .
y 1 y '' .
2 x cú th C v g x
x2
x
2 cú th P .
a) Tỡm ta giao im A ca C v P .
b) Vit cỏc phng trỡnh tip tuyn ca C v ca P ti giao im A .
Cõu 7 (4,0 im) Cho hỡnh chúp S.ABC cú ỏy ABC l tam giỏc vuụng ti A , ABC 60 , tam giỏc SBC l tam giỏc
u cú bng cnh 2a v nm trong mt phng vuụng vi ỏy. Gi H l trung im ca BC .
a) Chng minh SH
ABC .
b) Tớnh gúc gia ng thng SA v ABC
c)
Tỡm gúc gia hai mt phng SAC v ABC .
d) Tớnh khong cỏch t B n mt phng SAC .
HệễNG DAN VAỉ ẹAP SO
Cõu 1 (1,0 im) Tớnh gii hn lim
2
x
Ta cú lim
2
x
Vy lim
x
2
2
x
x
x
2
5
x
2
2
5
3
3
lim
x
x
2
x
x
2
2
5
3
x2
5
2
x2
.
3
lim
4
x
2
x2 5 3
x 2
3
.
2
3
.
2
x4
Cõu 2 (1,0 im) Cho hm s f x
3x 2 2
khi x
x2 1
3x 2
khi x
Chng minh f x liờn tc trờn tp xỏc nh
1
.
1
.
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------H Long Thnh
Gũ Vp TP HCM
Fanpage: Luyn thi thy Thnh
T: 01228684317
2
Tập xác định của hàm số D
●
1;
Với mọi x 0
.
, ta có lim f x
x
lim
x0
x
Hàm số liên tục trên khoảng 1;
●
x
▪
f 1
▪
lim f x
x
lim
1
x4
x
lim
3x
1
x
lim f x
1
x
Tìm m để f ' x ,
mx
2
lim x 2
x
2
Với m
2
f x0
1
2
1.
mx 3
3
mx 2
2
1.
.
3 m x
3.
.
3 m.
2
3 m
mx
0, x
*
.
0 : đúng với mọi x
.
0 thỏa mãn.
0 , khi đó *
m
m2
0
a
0
0
4m 3 m
5m 2
0
Câu 4 (1,0 điểm) Giải phương trình y ''
y'
2sin 2 x
y ''
4 cos 2 x
0
m
Kết hợp hai trường hợp, ta được 0
Ta có
3x 0
1.
0 , ta có * trở thành 3
Do đó m
●
x
mx
mx
Yêu cầu bài toán
Với m
2
f 1 nên hàm số liên tục tại x 0
1
Câu 3 (1,0 điểm) Cho hàm số f x
●
3x
x0
Vậy hàm số đã cho liên tục trên tập xác định
Ta có f ' x
f x0
;1 .
3x 2 2
x2 1
1
x
1
Vì lim f x
x
3x 02 2
x 02 1
1.
lim f x
▪
x 04
1 , ta có
Xét tại x 0
x
x0
lim
x0
Hàm số liên tục trên khoảng
●
3x 2 2
x2 1
.
;1 , ta có lim f x
Với mọi x 0
x4
2cos x
0
0
0
m
12
5
0
m
12
.
5
12
thỏa mãn yêu cầu bài toán.
5
0 , trong đó y
cos 2 x
2 sin x
x2 .
2x ;
2sin x
Khi đó yêu cầu bài toán: y ''
m
12m
m
0
2.
4 cos 2 x
2sin x
2
0
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Hồ Long Thành
Gò Vấp – TP HCM
Fanpage: Luyện thi thầy Thành
ĐT: 01228684317
3
2
4 1 2 sin x
2 sin x
2
0
8 sin 2 x
2 sin x
6
3
4
sin x
0
sin x
3
4
arcsin
x
k2
3
4
arcsin
x
1
x
k2
.
k
k
2
Vậy phương trình có ba họ nghiệm
arcsin
x
7
4
x
14
và y ''
3
4
x
x
Ta có y 1 y ''
2
k2 ; x
arcsin
3
4
k2
3
. Chứng minh rằng 2 y '
4
x
x
Câu 5 (1,0 điểm) Cho hàm số y
Đạo hàm y '
3
4
4
x
3
và x
2
k
2
.
k
y 1 y '' .
.
14
1
4
x
7
14
.
x 4
x 4
3
98
3
4
x
4
2
2
7
2
2
4
x
2 y' .
Vậy ta có điều phải chứng minh.
Câu 6 (1,0 điểm) Cho hai hàm số f x
x3
x2
x2
2 x có đồ thị C và g x
x
2 có đồ thị P .
a) Tìm tọa độ giao điểm A của C và P .
b) Viết các phương trình tiếp tuyến của C và của P tại giao điểm A .
a) Phương trình hoành độ giao điểm của C và P .
x3
x
Với x
3
x2
x
1 , suy ra y
x2
2x
2
x
2
x 1 x2
0
x
2
0
1.
x
2.
Vậy A 1;2 .
b) Ta có f ' x
3x 2
2x
2.
Suy ra hệ số góc của tiếp tuyến của C tại A là k1
f'1
Vậy phương trình tiếp tuyến của C tại A 1;2 là d1 : y
3.
3 x 1
2
3x 1 .
---------------------------------------------------------------------------------------------------------- -----Ta có g ' x
2x
1.
Suy ra hệ số góc của tiếp tuyến của P tại A là k2
g' 1
Vậy phương trình tiếp tuyến của P tại A 1;2 là d2 : y
1.
1 x 1
2
x
3.
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Hồ Long Thành
Gò Vấp – TP HCM
Fanpage: Luyện thi thầy Thành
ĐT: 01228684317
4
Câu 7 (4,0 điểm) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A , ABC 60 , tam giác SBC là tam giác
đều có bằng cạnh 2a và nằm trong mặt phẳng vuông với đáy. Gọi H là trung điểm của BC .
a) Chứng minh SH
ABC .
b) Tính góc giữa đường thẳng SA và ABC
c)
Tìm góc giữa hai mặt phẳng SAC và ABC .
d) Tính khoảng cách từ B đến mặt phẳng SAC .
S
E
A
B
K
H
C
a) Ta có tam giác SBC đều và H là trung điểm của BC . Suy ra SH
ABC theo giao tuyến BC nên suy ra SH
Mà SBC
b) Vì SH
SA, AH
SAH .
Trong tam giác vuông SHA , ta có tan SAH
c)
SH
.
AH
a 3.
1
BC
● Tam giác ABC vuông tại A nên AH
2
SH
3 , suy ra SAH 600 .
Suy ra tan SAH
AH
Gọi K là trung điểm AC , suy ra HK AB nên HK
Ta có
ABC .
ABC nên HA là hình chiếu của SA trên mặt phẳng ABC .
Do đó SA, ABC
●
BC .
Tam giác SBC đều cạnh 2a nên SH
AC
HK
AC
SH
SAC
Ta có SK
HK
AC
ABC
SHK
AC
a.
AC .
SK .
AC
SAC ; SK
ABC ; HK
AC
SAC , ABC
SK , HK
SKH .
AC
Trong tam giác vuông ABC , ta có AB
BC .cos ABC
Trong tam giác vuông SHK , ta có tan SKH
SH
HK
a. Suy ra HK
1
AB
2
a
.
2
2 3.
Vậy mặt phẳng SAC hợp với mặt phẳng ABC một góc nhọn
thỏa tan
2 3.
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Hồ Long Thành
Gò Vấp – TP HCM
Fanpage: Luyện thi thầy Thành
ĐT: 01228684317
5
BC
.d H , SAC
HC
d) Ta có d B, SAC
Kẻ HE
Ta có
SK .
E
SK
AC
HK
AC
SH
2d H , SAC .
AC
Từ 1 và 2 , suy ra HE
1
SHK
AC
SAC nên HE
Trong tam giác vuông SHK , ta có HE
Vậy d B, SAC
2 HE
2
HE .
d H , SAC .
SH .HK
SH
2
HK
a 39
.
13
2
2a 39
.
13
TRƯỜNG THPT PHONG CHÂU
KIỂM TRA HỌC KỲ II LỚP 11 THPT
NĂM HỌC 2015 – 2016
Thời gian làm bài:90 phút, không kể thời gian phát đề
Câu 1 (2,0 điểm) Tính các giới hạn sau:
a)
lim
2
2
n
n 1
3n
n 1
3
.
b)
x2
Câu 2 (1,0 điểm) Cho hàm số f x
2
4x
x 3
3
lim
x
x
2
x
x
2
khi x
3
khi x
3
2
.
. Xét tính liên tục của hàm số tại x
3.
Câu 3 (2,0 điểm) Tính đạo hàm của các hàm số sau:
1 2x
a) y
.
b) y cos 2 x.cos3x .
1 x
1 3
2
Câu 4 (2,0 điểm) Cho hàm số y
có đồ thị là C .
x
x
3
3
a) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số C tại điểm A 0;
b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
d:y
1
x
3
C
2
.
3
biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng
2
.
3
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Hồ Long Thành
Gò Vấp – TP HCM
Fanpage: Luyện thi thầy Thành
ĐT: 01228684317
6
Cõu 5 (3,0 im) Cho hỡnh chúp S.ABCD cú ỏy ABCD l hỡnh vuụng tõm O cnh a . Cnh SA vuụng gúc vi ỏy
ABCD . Qua A v mt phng P vuụng gúc vi SC ct SB, SC , SD ln lt ti B ', C ', D ' .
a) Chng minh rng BD
SAC .
b) Chng minh rng B ' D ' song song vi BD .
c) Tớnh gúc gia hai mt phng SBC v SDC khi SA
a.
HệễNG DAN VAỉ ẹAP SO
Cõu 1 (2,0 im) Tớnh cỏc gii hn sau:
2
Vy lim
x
n
n
3n
3
2
x
2
x
1 x
x
lim
2
x
2.
2
x2
x
3
n
2
1
2
3
2.
.
n
2
3
lim
n
2
x
x
n
3.3
0 1
0 3
n
3
1
.
3
2
2 x
x
2
lim
2
x
2
x
x
n
x
2
x
1
.
3
n 1
2 x
x
2
3
x
2
lim
n 1
n 1
lim
b)
3
2
x
.
n
2
2
lim
3
n 1
2
x
n 1
2
Vy lim
b) Ta cú lim
3n
n 1
2
a) Ta cú lim
x
n
2
lim
a)
x
2
2
x
1
x
x
x
3
.
4
2
3
.
4
2
x2
Cõu 2 (1,0 im) Cho hm s f x
4x
x 3
3
2
khi x
3
khi x
3
. Xột tớnh liờn tc ca hm s ti x
3.
Ta cú
lim f x
f 3
x
Vỡ lim f x
x
3
x2
lim
3
x
x
3
4x
3
3
lim
x
3
x
3 1 x
x
lim 1 x
3
x
2.
3
2.
f 3
2.
Vy hm s ó cho liờn tc ti x
3.
Cõu 3 (2,0 im) Tớnh o hm ca cỏc hm s sau:
a)
y
a) Ta cú y '
1 2x
.
1 x
1 2x ' 1
b)
1 2x 1
x
1
x
2
x '
21
cos 2 x.cos3x .
y
1 2x
x
1
x
2
3
1
x
2
.
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------H Long Thnh
Gũ Vp TP HCM
Fanpage: Luyn thi thy Thnh
T: 01228684317
7
Vậy y '
b) Ta có y '
Vậy y '
3
1
2
x
.
cos 2 x ' cos3x
2sin 2 x cos3x
cos 2 x cos3x '
2 sin 2 x cos3x
3sin 3x cos 2 x.
3sin 3x cos 2 x.
Câu 4 (2,0 điểm) Cho hàm số y
1 3
x
3
2
có đồ thị là C .
3
x
a) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số C tại điểm A 0;
C
b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số
1
x
3
d:y
a) Ta có y '
x2
1.
Vậy phương trình tiếp tuyến là d : y
a
0
x
Đường thẳng d có hệ số góc bằng
Yêu cầu bài toán: k.
Với a
1
3
2 , suy ra M 2;
1
k
4
và k
3
Phương trình tiếp tuyến là d : y
●
Với a
y' 0
1.
2
hay d : y
3
x
2
.
3
2
là tọa độ tiếp điểm.
3
y' a
Hệ số góc của tiếp tuyến của C tại M là k
●
biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng
2
.
3
Suy ra hệ số góc của tiếp tuyến của C tại A là k
1
b) Gọi M a; a 3
3
2
.
3
2 , suy ra M
1.
1
.
3
a2
3
1
3
a
2
2
a
.
3.
3 x
2;0 và k
Phương trình tiếp tuyến là d : y
a2
2
4
hay d : y
3
3x
14
.
3
3.
3 x
2 hay d : y
Vậy các phương trình tiếp tuyến cần tìm là y
3x
3x
6.
14
và y
3
3x
6.
Câu 5 (3,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O cạnh a . Cạnh SA vuông góc với đáy
ABCD . Qua A vẽ mặt phẳng P vuông góc với SC cắt SB, SC , SD lần lượt tại B ', C ', D ' .
a) Chứng minh rằng BD
SAC .
b) Chứng minh rằng B ' D ' song song với BD .
c) Tính góc giữa hai mặt phẳng SBC và SDC khi SA
a.
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Hồ Long Thành
Gò Vấp – TP HCM
Fanpage: Luyện thi thầy Thành
ĐT: 01228684317
8
S
C'
D'
B'
E
D
A
O
C
B
a) Do ABCD là hình vuông nên BD
1
AC .
BD.
Vì SA vuông góc với đáy ABCD nên SA
Từ 1 và 2 , suy ra BD
2
SAC .
b) Xác định các giao điểm B’, C’, D’.
Trong tam giác SAC , kẻ AC '
C ' SC .
SC
Trong mp SBC , dựng đường thẳng qua C ' và vuông góc với SC cắt SB tại B ' .
Trong mp SCD , dựng đường thẳng qua C ' và vuông góc với SC cắt SD tại D ' .
Khi đó mặt phẳng P chính là mặt phẳng AB ' C ' D ' .
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------Ta có SC
Lại có
P
BC
AB
BC
SA
3
AB ' .
SC
BC
SAB
Từ 3 và 4 , suy ra AB '
SBC
AB '
Chứng minh tương tự ta cũng có AD '
SB ' SD '
Mà SAB
SAD , suy ra
SB
SD
c)
Kẻ BE
SC
Do BD
E
SAC
BD
SDC
5
6
BDE
SC
SC
SC
DE.
SBC , SCD
BE , DE .
SC
Trong tam giác vuông SAC , ta có AC '
Do OE
B ' D ' BD.
SC
SDC ; DE
DE
SD .
SC .
SBC ; BE
Ta có BE
SB .
SC .
Từ 5 và 6 , suy ra SC
SBC
4
AB ' .
BC
OE AC ' . Suy ra OE
SA.AC
SA
1
AC '
2
2
AC
600
Vậy SBC , SCD
BED
a 6
.
3
a 6
.
6
Trong tam giác BOE vuông tại O , ta có tan BEO
Suy ra BEO
2
BO
OE
3.
1200 .
600 .
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Hồ Long Thành
Gò Vấp – TP HCM
Fanpage: Luyện thi thầy Thành
ĐT: 01228684317
9
KIM TRA HC K II LP 11 THPT
NM HC 2015 2016
Thi gian lm bi:90 phỳt, khụng k thi gian phỏt
Cõu 1 (3,0 im) Tớnh cỏc gii hn sau:
a)
b)
c)
2x
lim
2
x
lim
x
3
x3
x2 x
2x 3
1
lim
.
2x 3
.
x 1
1
x
2
x2
2
x
2x
.
Cõu 2 (2,0 im)
a) Xột tớnh liờn tc ca hm s y
3x 1 2
khi x
x 1
x 2
khi x
5 x
f x
b) Chng minh rng vi mi m , phng trỡnh x 4
Cõu 3 (1,5 im) Cho hm s y
g x
x
3
3x
tuyn song song vi ng thng d : 9 x
mx 2
1
ti im x
1.
1
m 2 x
2m
0 luụn cú ớt nht 1 nghim thc.
2 , vit phng trỡnh tip tuyn vi th C ca hm s bit tip
y 1
0.
Cõu 4 (3,5 im) Cho hỡnh chúp S.ABCD cú ỏy ABCD l hỡnh vuụng cnh a , mt bờn SAB l tam giỏc u v
a 2 . Gi H , K ln lt l trung im ca cỏc cnh AB v AD .
SC
a) Chng minh tam giỏc SBC l tam giỏc vuụng v SH
b) Chng minh AC
c)
ABCD .
SK .
Xỏc nh gúc hp bi SA v SHK .
HệễNG DAN VAỉ ẹAP SO
Cõu 1 (3,0 im) Tớnh cỏc gii hn sau:
a)
b)
c)
2x
lim
2
x
lim
x
x3
1
lim
x
Vy lim
2
2
.
2x 3
.
x 1
x2
2
x
2x
3
2
x
x2 x
2x 3
1
a) Ta cú lim
x
3
2x
3
2x
.
x2 x
2x 3
x2 x
2x 3
2
2.
2
3
2
2.
2
2
2
2
3
2
5
.
7
5
.
7
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------H Long Thnh
Gũ Vp TP HCM
Fanpage: Luyn thi thy Thnh
T: 01228684317
10
b) Ta có lim
1
x
Vậy lim
x3
2x 3
x 1
x
2
2
x
x
2
x 1
lim
2x
Mà lim 1
x
lim
2
x
2x
4
3
5.
4
2
x
1 1
lim
4
x
2 và lim 2
x
2x
4
2
x.
4
x
2
lim
2
x
2
x
2x
1
x2 1
2
x
x
x 1
x
x2
2
2
x
2
x
1
x
x
1
2
x
2x
x
x 2
1 1
2
x
lim
4
4
x
2
x
lim x 2
x
x
2
x
1 1
lim
x
3
x
x 1
1
2x
2
x
x 1
2
5.
x
x
x
x
x 1 x
1
Ta có lim
Vậy lim
lim
2x 3
x 1
1
x
c)
x
3
2.
1.
2x
Câu 2 (2,0 điểm)
a) Xét tính liên tục của hàm số y
3x 1 2
khi x
x 1
x 2
khi x
5 x
f x
b) Chứng minh rằng với mọi m , phương trình x 4
mx 2
1
trên
.
1
m 2 x
2m
0 luôn có ít nhất 1 nghiệm thực.
a) Tập xác định của hàm số là
●
, ta có lim f x
1;
Với mọi x 0
x
x
x0
Suy ra hàm số liên tục trên khoảng 1;
●
;1 , ta có lim f x
Với mọi x 0
x
lim
x0
lim f x
x
x
x
x
1
1
lim
1
Do lim f x
3x 1 2
x 1
lim
1
lim f x
▪
1 2
1
f x0 .
x
x0
x
5
2
x
x0 2
5 x0
f x0 .
;1 .
3
.
4
f 1
▪
x0
1 , ta có
Xét tại x 0
▪
3x 0
.
Suy ra hàm số liên tục trên khoảng
●
3x 1 2
x 1
lim
x0
x
1
x
5
2
x
0.
3
.
4
lim f x nên hàm số không liên tục tại x
x
1
Vậy hàm số đã cho không liên tục trên
1.
.
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Hồ Long Thành
Gò Vấp – TP HCM
Fanpage: Luyện thi thầy Thành
ĐT: 01228684317
11
b) Hàm số f x
Ta có f
x
4
mx
m 2 x
20 và f 1
2
2 .f 1
Suy ra f
2
2m xác định và liên tục trên
1.
20
0.
2;1 sao cho f x 0
Do đó tồn tại x 0
Câu 3 (1,5 điểm) Cho hàm số y
0 hay phương trình đã cho luôn có ít nhất một nghiệm thực.
x3
g x
3x
tuyến song song với đường thẳng d : 9 x
Gọi M a; a
Ta có y '
3
3a
3x
2
2 , viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị C của hàm số biết tiếp
y 1
0.
2 là tọa độ tiếp điểm.
3.
Suy ra hệ số góc của tiếp tuyến của C tại M là k
Ta có 9 x
y 1
0
Yêu cầu bài toán: k
●
Với a
Với a
3a 2
y' a
3
9 x 1 nên đường thẳng d có hệ số góc bằng 9.
y
3a 2
9
3
2 , suy ra M 2;4 và k
Phương trình tiếp tuyến là d : y
●
.
2 , suy ra M
a2
9
2
2
a
.
9.
9 x
2;0 và k
Phương trình tiếp tuyến là d : y
a
4
2
4 hay d : y
9 x 14.
9.
9 x
2 hay d : y
9x
9 x 14 và y
Vậy có hai phương trình tiếp tuyến cần tìm là y
18.
9x
18 .
Câu 4 (3,5 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , mặt bên SAB là tam giác đều và
SC
a 2 . Gọi H , K lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và AD .
a) Chứng minh tam giác SBC là tam giác vuông và SH
b) Chứng minh AC
c)
ABCD .
SK .
Xác định góc hợp bởi SA và SHK .
S
A
H
K
I
B
a) Tứ giác ABCD là hình vuông cạnh a nên BC
Tam giác SAB đều nên SB AB a .
Ta có SB 2
BC 2
2a 2
D
O
C
a.
SC 2 . Suy ra tam giác SBC là tam giác vuông tại B .
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Hồ Long Thành
Gò Vấp – TP HCM
Fanpage: Luyện thi thầy Thành
ĐT: 01228684317
12
a nên SH
Tam giác SAB đều cạnh AB
a 5
.
2
SC 2 . Suy ra tam giác SBC là tam giác vuông tại B .
BH 2
Trong tam giác HBC , ta có HC
Ta có SH 2
HC 2
Do đó SH
HC.
1
Lại có SH
AB .
2
2a 2
a 3
.
2
Từ 1 và 2 , suy ra SH
BC 2
ABCD .
b) Do H , K lần lượt là trung điểm của AB và AD nên HK BD . Suy ra HK
Ta có
c)
AC
HK
AC
SH
Vì AC
AC
SHK
AC
AC .
SK .
SHK nên hình chiếu vuông góc của SA trên mặt phẳng SHK là SI .
Do đó SA, SHK
SA, SI
ASI .
Trong tam giác SIA vuông tại I , ta có tan ASI
1
AC
4
SA2 AI 2
AI
SI
7
.
7
7
.
7
thỏa tan
Vậy đường thẳng SA hợp với mặt phẳng SHK một góc nhọn
TRƯỜNG THPT TRUNG PHÚ
KIỂM TRA HỌC KỲ II LỚP 11 THPT
NĂM HỌC 2015 – 2016
Thời gian làm bài:90 phút, không kể thời gian phát đề
Câu 1 (1,0 điểm) Tính các giới hạn sau:
2x 3
3x 2 x 6
.
x
1
x
x 2
Câu 2 (1,0 điểm) Tính các giới hạn sau:
a)
lim
a)
lim
x
2
4x 2
x
2x .
b)
lim
b)
lim
x
1
3x 2
x2
1 3x 1
.
3x 2
4x 2
3
x
x2
2x
8x
3
x
1
1
x3
Câu 3 (1,0 điểm) Xét tính liên tục của hàm số f x
Câu 4 (1,0 điểm) Tìm a để hàm số f x
7x 2 9x 3
khi x
5x 2 3x 2
x2 3
khi x
2x 5
x 1
khi x
x2 1
xa 2
khi x
1
liên tục tại x
x
1
tại điểm x
1.
1
1.
1
Câu 5 (1,0 điểm) Cho hàm số y
cos x
. Chứng minh 1 sin x y '' cos x. y ' 2 y
1 sin x
Câu 6 (1,0 điểm) Cho hàm số y
x
9
.
x 2 . Giải phương trình y '
0.
0.
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Hồ Long Thành
Gò Vấp – TP HCM
Fanpage: Luyện thi thầy Thành
ĐT: 01228684317
13
2x 3
, bit tip tuyn song song vi ng
x 1
Cõu 7 (1,0 im) Vit phng trỡnh tip tuyn ca th hm s C : y
thng d : x
5 y 10
0.
Cõu 8 (3,0 im) Cho chúp u S.ABCD cú cnh ỏy bng 2a , O l tõm mt ỏy, cnh bờn SB
3a . Gi I , J ln lt
l trung im ca AB, CD .
a) Chng minh SIJ
SJ . Chng minh OH
b) V OH
c)
SCD .
SC .
Tớnh gúc gia cnh bờn SA v ỏy ABCD .
d) Tớnh khong cỏch t im I n mt phng SCD .
HệễNG DAN VAỉ ẹAP SO
Cõu 1 (1,0 im) Tớnh cỏc gii hn sau:
a)
2x 3
lim
1
x
3x 2
x
x
2x 3
a) Ta cú lim
3x 2
2
x
x
1
x
2x 3
Vy lim
3x 2
x2
b) Ta cú lim
1
x
1
x2
1
Vy lim
1
x
1
3x 2
lim
x
1
x
3x 2
2
x
3x 2
x2
3x
2
5x
1
6
2
3x 2
x2
1 3x 1
.
3x 2
lim
2x 2
x
1
x
5x
2
6
13
.
3
13
.
3
3x 1
2
x
1 x
x
1
1
1 3x 1
3x 2
1
2
3x 1
3x
2
2
1
6x x 1
lim
x
3x 1
6x
lim
x
3x
2
1 2x 2
x
lim
6
x
2
lim
b)
x
1 3x 1
3x 2
3x
lim
x
3x 2
x
x
.
6
x
2
2
1
x
6
x
2
2
1
x 1 x
2
3x 2
4x 2
2x
1
3x 1
3
.
2
3x 1
3
.
2
Cõu 2 (1,0 im) Tớnh cỏc gii hn sau:
a)
lim
x
a) Ta cú lim
x
4x 2
4x 2
x2 4
2x
1
x
x
4
1
x
b)
lim
x
2x
x
4x
3
8x
3
x
1
1
x
.
2x
x
1
x
4
2x
1
lim
2x
x
x2
x
x
x
lim
x
2
lim
x
lim
x
x
x
lim
x
2x .
x
4
1
x
2
1
.
4
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------H Long Thnh
Gũ Vp TP HCM
Fanpage: Luyn thi thy Thnh
T: 01228684317
14
4x 2
Vậy lim
x
4x
b) Ta có lim
2
2x
3
x
4
x 1
x3 8
1
x2
lim
2
x
1
8
1
x2
x
3
4x 2
Vậy lim
8x
lim
3
1
x2
1
1
4
1
x
8
x3 8
1
x2
x3 8
1
x2
1
x2
x
1
1
x2
1
1
1.
1.
1
x
1 1
3
x2 1
x 1
lim
x
2
x
2
x
x 4
1
x2
3
x
x
1
x2
1
x
2x
3
x
1
x2 4
1
x
2
x
lim
x
2
x
8x 3
4
x
1
.
4
2x
x
x3
7x 2 9x 3
khi x
5x 2 3x 2
x2 3
khi x
2x 5
Câu 3 (1,0 điểm) Xét tính liên tục của hàm số f x
Ta có lim f x
lim
1
x
lim
1
x 1 x2
tại điểm x
1.
1
7x 2 9x 3
5x 2 3x 2
6x
x 1 5x
1
x
x
x3
1
3
lim
2
x
x2
6x
5x
1
3
2
.
7
2
2
.
7
Mà f 1
Suy ra lim f x
f 1.
1
x
Vậy hàm số đã cho liên tục tại điểm x
1
x 1
khi x
x2 1
xa 2
khi x
Câu 4 (1,0 điểm) Tìm a để hàm số f x
1
1.
liên tục tại x
1
Ta có
a2 .
●
f 1
●
lim f x
●
x
1
lim f x
x
1
lim
x
1
x
x
2
lim xa 2
x
1
Để hàm số liên tục tại x
1
1
lim
x
1
x 1
x 1 x
1
1
x
lim
x
1
1
x
1
x
1
1
.
4
a2 .
1 khi và chỉ khi lim f x
x
1
lim f x
x
1
f 1
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Hồ Long Thành
Gò Vấp – TP HCM
Fanpage: Luyện thi thầy Thành
ĐT: 01228684317
15
1
4
1
và a
2
Vậy a
cos x
. Chứng minh 1 sin x y '' cos x. y ' 2 y
1 sin x
sin x 1 sin x
sin 2 x
cos2 x
1
1 sin x
2
sin x
1 sin x
2
1 sin x
0.
cos x.cos x
1 sin x
y ''
1
.
2
a
1
là giá trị cần tìm.
2
Câu 5 (1,0 điểm) Cho hàm số y
Ta có y '
a2
/
1 sin x
cos x
1 sin x
2
1
;
1 sin x
.
2
Khi đó ta có 1 sin x . y '' cos x. y ' 2 y
cos x
1 sin x .
cos x
1 sin x
1 sin x
cos x
1 sin x
Vậy 1 sin x y '' cos x. y ' 2 y
Câu 6 (1,0 điểm) Cho hàm số y
Tập xác định: D
Đạo hàm y '
Do đó y '
2 cos x
1 sin x
1
1 sin x
cos x
1 sin x
2.
0.
0.
x 2 . Giải phương trình y '
9
0.
.
/
x2
9
1
0
x
cos x .
2
2 9
x
2
x
1
9
x
Vậy phương trình y '
2
1
0
x
x2
9
9
.
x2
x
9
0 có nghiệm duy nhất x
x
3
2
2
0
x
0
x
x
9
2
x2
2
Gọi M a;
Ta có y '
5 y 10
x
1
2
2
.
2x 3
, biết tiếp tuyến song song với đường
x 1
0.
2a 3
với a
a 1
5
3
.
Câu 7 (1,0 điểm) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số C : y
thẳng d : x
x
1 là tọa độ tiếp điểm.
.
Suy ra hệ số góc của tiếp tuyến của C tại M là k
y' a
5
a
1
2
.
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Hồ Long Thành
Gò Vấp – TP HCM
Fanpage: Luyện thi thầy Thành
ĐT: 01228684317
16
Ta có x
5y
10
0
1
5
Yêu cầu bài toán: k
●
1
x
5
y
2 nên đường thẳng d có hệ số góc bằng
5
1
a
1
5
2
4 , suy ra M 4;1 và k
Với a
6 , suy ra M
Với a
1
2
a
25
4
6
a
.
1
.
5
1
x
5
Phương trình tiếp tuyến là d : y
●
a
1
.
5
1 hay d : y
1
x
5
1
.
5
6
3 hay d : y
1
x
5
21
.
5
1
.
5
6;3 và k
1
x
5
Phương trình tiếp tuyến là d : y
4
1
x
5
Vậy có hai phương trình tiếp tuyến cần tìm là y
1
x
5
1
và y
5
21
.
5
Câu 8 (3,0 điểm) Cho chóp đều S.ABCD có cạnh đáy bằng 2a , O là tâm mặt đáy, cạnh bên SB
3a . Gọi I , J lần lượt
là trung điểm của AB, CD .
a) Chứng minh SIJ
b) Vẽ OH
c)
SCD .
SJ . Chứng minh OH
SC .
Tính góc giữa cạnh bên SA và đáy ABCD .
d) Tính khoảng cách từ điểm I đến mặt phẳng SCD .
S
K
A
D
I
J
O
C
B
a) Do S.ABCD là hình chóp đều và O là tâm mặt đáy ABCD nên có SO
Suy ra SO
1
CD .
Tam giác OCD cân tại O và có J là trung điểm của CD nên có CD
OJ .
Từ 1 và 2 , suy ra CD
SCD .
b) Theo giả thiết OH
Theo câu a) ta có CD
Vì SO
SIJ . Mà CD
SCD nên suy ra SIJ
2
3
SJ .
SIJ
Từ 3 và 4 , suy ra OH
c)
ABCD .
CD
SCD
4
OH .
OH
SC .
ABCD , suy ra OA là hình chiếu của SA trên mặt phẳng ABCD .
Do đó SA, ABCD
SA, AO
SAO.
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Hồ Long Thành
Gò Vấp – TP HCM
Fanpage: Luyện thi thầy Thành
ĐT: 01228684317
17
SO
AO
Trong tam giác vuông SOA , ta có tan SAO
SB
IJ
d O, SCD
OJ
SIJ
Từ 5 và 6 , suy ra OK
14
.
2
2d O, SCD .
CD
5
SJ .
6
OK .
SCD nên d O, SCD
Trong tam giác vuông SOJ , ta có OK
Vậy d I , SCD
14
.
2
thỏa mãn tan
Gọi K là hình chiếu của O trên SJ , suy ra OK
Theo câu a) ta có CD
BO
2
AO
Vậy SA hợp với mặt đáy ABCD một góc nhọn
d) Ta có d I , SCD
2
OK .
SO.OJ
SO
2
OJ
a 14
.
4
2
a 14
.
2
2OK
TRƯỜNG THPT THĂNG LONG
KIỂM TRA HỌC KỲ II LỚP 11 THPT
NĂM HỌC 2015 – 2016
Thời gian làm bài:90 phút, không kể thời gian phát đề
Câu 1 (2,0 điểm)
a) Tính giới hạn lim
x
2
x2
x 1 1
.
3x 2
3x 2
b) Cho hàm số f x
m
2x 1
2 x
2m
vôùi x
1
vôùi x
1
1.
Tìm các giá trị của m để hàm số liên tục tại x
c) Cho phương trình ax
Câu 2 (2,5 điểm)
2
bx
c
0 , biết 4a
a) Tính đạo hàm của các hàm số f x
x3
( m là tham số).
3b
2x
4
5c
0 . Chứng minh phương trình đã cho luôn có nghiệm.
và g x
x
x
2
1
.
x3
x 2 1 , biết tiếp tuyến có hệ số góc bằng 3 .
3
Câu 3 (1,0 điểm) Tìm ba số lập thành một cấp số nhân biết tổng của chúng bằng 21 và tích của chúng bằng 168 .
2x 1
Câu 4 (0,5 điểm) Cho hàm số y
. Tìm điểm M thuộc đồ thị hàm số sao cho tiếp tuyến với đồ thị hàm số tại
x 1
b) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số y
1
.
2
Câu 5 (4,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , các cạnh bên của hình chóp bằng nhau
và bằng 2a . Gọi O là tâm của đáy.
điểm M cắt hai trục Ox và Oy tại hai điểm A và B , biết diện tích tam giác OAB bằng
a) Chứng minh SO
ABCD và SAC
SBD .
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Hồ Long Thành
Gò Vấp – TP HCM
Fanpage: Luyện thi thầy Thành
ĐT: 01228684317
18
b) Tính cosin của góc giữa đường thẳng SA và ABCD .
c)
Tính tang của góc giữa hai mặt phẳng SAB và ABCD .
d) Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng SCD .
HƯỚNG DẪN VÀ ĐÁP SỐ
Câu 1 (2,0 điểm)
a) Tính giới hạn lim
2
x
x2
x 1 1
.
3x 2
3x 2
b) Cho hàm số f x
2x 1
2 x
m
2m
với x
1
với x
1
1.
Tìm các giá trị của m để hàm số liên tục tại x
c)
Cho phương trình ax
a) Ta có lim
2
x
Vậy lim
x
2
x 1 1
x
3x 2
lim
2
x2
x 1 1
3x 2
2
2
x
bx
0 , biết 4a
c
3b
5c
2
x
x
( m là tham số).
2 x 1
x 1 1
2x 1
2.
0 . Chứng minh phương trình đã cho ln có nghiệm.
lim
x
2
1
x 1
1
.
2
x 1 1
1
.
2
b) Ta có
●
●
●
c)
f 1
2.
lim f x
x
1
lim f x
x
1
3x 2
lim
x
1
lim m
x
1
2 x
2m
2 m.
Để hàm số liên tục tại x 1 khi và chỉ khi 2 2 m m 4.
Vậy với m 4 thì hàm số liên tục tại điểm x 1.
● Nếu a 0 thì phương trình trở thành bx c 0 với điều kiện 5b
▪
b 0 phương trình có vơ số nghiệm.
▪
●
b
Nếu a
b2
4ac
b2
3b
5c c
b2
5c 2
3bc
0.
c
.
b
0 phương trình có nghiệm duy nhất x
0 thì
3c
b
2
3
c
2
11 2
c
4
0
nên phương trình có nghiệm.
Do đó trong tất cả các trường hợp phương trình ln có nghiệm.
Câu 2 (2,5 điểm)
x3
a) Tính đạo hàm của các hàm số f x
2x
4
b) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số y
a) Đạo hàm
f' x
4. x 3
/
2x . x 3
2x
3
4. 3x 2
x
và g x
x3
3
2 . x3
x
x2
2
1
.
1 , biết tiếp tuyến có hệ số góc bằng 3 .
3
2x ;
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Hồ Long Thành
Gò Vấp – TP HCM
Fanpage: Luyện thi thầy Thành
ĐT: 01228684317
19
x' x
g' x
b) Gọi M a;
Ta có y '
a3
3
a2
x2
Với a
x x
2
2 . x3
a2
3
1 , suy ra M 1;
3
1 x.2 x
x
2
1
1 x2
và g ' x
x2
1
1 x
2
2
x2
1
2
.
.
2
2a
1
a
3
3
a
a2
y' a
2a.
.
1
.
3
3 x 1
1
hay y
3
3x
8
.
3
1 hay y
3x
8.
3; 1 .
3 , suy ra M
Với a
x
2
2 x , suy ra hệ số góc của tiếp tuyến là k
Phương trình tiếp tuyến y
●
1'
2
1
2x
2
1 là tọa độ tiếp điểm.
Theo giả thiết, ta có k
●
1
x
4. 3x 2
Vậy f ' x
2
Phương trình tiếp tuyến y
3 x
3
8
, y
3
3x
Vậy có hai phương trình tiếp tuyến cần tìm là: y
3x
8.
Câu 3 (1,0 điểm) Tìm ba số lập thành một cấp số nhân biết tổng của chúng bằng 21 và tích của chúng bằng 168 .
Gọi a, b, c là ba số của một CSC cần tìm với công sai d .
Theo giả thiết, ta có
a
b
a.b.c
168
a
a. a
a
2
a
2d
24
7 d
a
2
d
5
25
a
d
a. a
7 d
a
d
21
c
2d
a
d . a
2d
21
168
a
7
d
a. a
2d
24
7 d
7 d .7
12
a
hoặc
24
d
5
d
.
Vậy có hai cấp số cộng cần cần tìm là: 2, 7, 12 hoặc 12, 7, 2.
Câu 4 (0,5 điểm) Cho hàm số y
2x 1
. Tìm điểm M thuộc đồ thị hàm số sao cho tiếp tuyến với đồ thị hàm số tại
x 1
điểm M cắt hai trục Ox và Oy tại hai điểm A và B , biết diện tích tam giác OAB bằng
Gọi M a;
Ta có y '
2a 1
với a
a 1
1
x
1
2
1
.
2
1 là điểm thuộc đồ thị.
, suy ra hệ số góc của tiếp tuyến tại M là k
Phương trình tiếp tuyến tại M có dạng d : y
1
a
1
2
x
a
y' a
1
a
1
2
.
2a 1
.
a 1
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Hồ Long Thành
Gò Vấp – TP HCM
Fanpage: Luyện thi thầy Thành
ĐT: 01228684317
20
Ta có d Ox
A
2a 2
Tam giác OAB vuông tại O nên S
1
2
1
. 2a 2
2
2a 2
2a
a 1
2a 2 2a
a 1
Vậy M 0;1 và M
B 0;
2a 1;0 , d Oy
2a 1 .
1
1
1
1
2a
a
2a
1
a
1
2
.
1
OA.OB
2
OAB
2a 2
2a
2
1
2a 2
a
2a 2
3a
1
2
1
0
2
2a 2
2a
a 1
a
0
2
1.
2
a
0
1
1
;0 thỏa mãn yêu cầu bài toán.
2
Câu 5 (4,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , các cạnh bên của hình chóp bằng nhau
và bằng 2a . Gọi O là tâm của đáy.
a) Chứng minh SO
ABCD và SAC
SBD .
b) Tính cosin của góc giữa đường thẳng SA và ABCD .
c)
Tính tang của góc giữa hai mặt phẳng SAB và ABCD .
d) Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng SCD .
S
K
A
D
I
J
O
C
B
a) Theo giả thiết, ta có SA
SB
SD.
SC
Tam giác SAC cân tại S và có O là trung điểm AC nên SO
AC.
1
Tam giác SBD cân tại S và có O là trung điểm BD nên SO
BD.
2
Từ 1 và 2 , suy ra SO
ABCD .
----------------------------------------------------------------------------------------------------------------
BD.
Do ABCD là hình vuông nên AC
Theo chứng minh trên, ta có SO
Từ 3 và 4 , suy ra AC
Mà AC
b) Vì SO
ABCD
3
SO
AC .
4
SBD .
SAC , suy ra SAC
SBD .
ABCD , suy ra OA là hình chiếu của SA trên mặt phẳng ABCD .
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Hồ Long Thành
Gò Vấp – TP HCM
Fanpage: Luyện thi thầy Thành
ĐT: 01228684317
21
Do đó SA, ABCD
SA, AO
SAO.
2
.
4
OA
SA
Trong tam giác vuông SOA , ta có cos SAO
c)
Gọi I là trung điểm AB , suy ra OI
Ta có
AB
OI
AB
SO
SAB
AB
ABCD
OI
AB
AB .
SI .
AB
SAB ; SI
Ta có SI
SOI
SAB , ABCD
AB
ABCD ; OI
SI , OI
SIO.
AB
SO
IO
Trong tam giác vuông SOI , ta có tan SIO
14.
thỏa mãn tan
Vậy mp SAB hợp với mặt đáy ABCD một góc nhọn
d) Do AI CD nên d A, SCD
IJ
d O, SCD
OJ
d I , SCD
Gọi J là trung điểm CD , suy ra OJ
OJ
CD
CD
SO
CD
Từ 5 và 6 , suy ra OK
SIJ
CD
2OK
30
5
SJ .
6
SCD nên d O, SCD
2a 7
2d O, SCD .
OK .
Trong tam giác vuông SOJ , ta có OK
Vậy d I , SCD
14.
CD .
Gọi K là hình chiếu của O trên SJ , suy ra OK
Ta có
2
.
4
thỏa mãn cos
Vậy SA hợp với mặt đáy ABCD một góc nhọn
OK .
SO.OJ
SO
2
a 7
OJ
2
30
.
.
TRƯỜNG THPT TÂN CHÂU
KIỂM TRA HỌC KỲ II LỚP 11 THPT
NĂM HỌC 2015 – 2016
Thời gian làm bài:90 phút, không kể thời gian phát đề
Câu 1 (2,0 điểm) Tính các giới hạn sau:
a)
lim
x2
4x
3
.
x 1
Câu 2 (2,0 điểm) Tìm đạo hàm các hàm số sau:
3x 1
a) y
.
x 2
x
1
2
b)
b)
lim
x
y
x4
3x 2
sin 3x 2
4 .
2 .
Câu 3 (4,0 điểm) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a . Cạnh bên SA
a 3 và vuông góc với
mặt đáy ABC .
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Hồ Long Thành
Gò Vấp – TP HCM
Fanpage: Luyện thi thầy Thành
ĐT: 01228684317
22
a) Gi M l trung im ca BC . Chng minh rng BC
SAM .
b) Tớnh tan gúc gia hai mt phng SBC v ABC .
c)
Tớnh khong cỏch t A n mt phng SBC .
3x 2
Cõu 4 (1,0 im) Vit phng trỡnh tip tuyn ca th C ca hm s y
:x
vi ng thng
3y
Cõu 5 (1,0 im) Cho hm s y
2016
3x
1 . Bit tip tuyn vuụng gúc
0.
x.cos x . Chng minh rng 2 cos x
y'
x. y '' y
0.
HệễNG DAN VAỉ ẹAP SO
Cõu 1 (2,0 im) Tớnh cỏc gii hn sau:
a)
lim
x
x2
4x 3
.
x2 1
1
a) Ta cú lim
x2
x
1
x
Vy lim
x2
3
lim
1
x4
b) Ta cú lim
x
1
x
4x 3
x2 1
1
x
4x
2
x4
x
1
lim
x
1
3
1
x
x
3x 2
3
x2
1
4
3
x2
1
x
x
Vy lim
x 1 x
lim x 4
4
v lim
x
3
x
3x 2
4 .
1.
1.
3x 2
M lim x 4
x 1 x
x4
lim
b)
1
x4
1
x4
1
0.
b)
y
.
.
Cõu 2 (2,0 im) Tỡm o hm cỏc hm s sau:
a)
y
3x 1
.
x 2
Vy y '
b) Ta cú y
/
3x
a) Ta cú y '
1 . x
7
x
2
2
3x
x
2
2
1. x
/
2
3. x
2
x
3x
2
2
2 .
1 .1
7
x
2
2
.
.
sin 3x 2
2
2 sin 3x 2
3x 2
2 sin 3x
3x.cos 3 x 2
sin 3 x 2
2
2
2
2
2
/
2 .cos 3 x 2
2 sin 3x 2
2
6 x.cos 3x 2
Vy y
2
sin 3x 2
3x.cos 3x 2
sin 3 x
2
2
2
2
2
.
.
Cõu 3 (4,0 im) Cho hỡnh chúp S.ABC cú ỏy ABC l tam giỏc u cnh a . Cnh bờn SA
a 3 v vuụng gúc vi
mt ỏy ABC .
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------H Long Thnh
Gũ Vp TP HCM
Fanpage: Luyn thi thy Thnh
T: 01228684317
23
a) Gọi M là trung điểm của BC . Chứng minh rằng BC
SAM .
b) Tính tan góc giữa hai mặt phẳng SBC và ABC .
c)
Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng SBC .
S
K
A
C
M
B
a) Tam giác ABC đều và có M là trung điểm BC nên AM
Do SA
ABC
b) Theo câu a) ta có BC
Ta có SM
SAM .
SAM
ABC
BC
SM .
BC
SBC ; SM
SBC , ABC
BC
ABC ; AM
AM
2
BC .
SA
Từ 1 và 2 , suy ra BC
SBC
1
BC .
SM , AM
SMA.
BC
a 3
.
2
Tam giác ABC đều cạnh a , suy ra trung tuyến AM
SA
2.
AM
Vậy mp SBC hợp với mặt đáy ABC một góc nhọn
thỏa mãn tan
Trong tam giác vuông SAM , ta có tan SMA
c)
Gọi K là hình chiếu của A trên SM , suy ra AK
Theo câu a) ta có BC
SAM
Từ 3 và 4 , suy ra AK
AK
4
SBC nên d A, SBC
Trong tam giác vuông SAM , ta có AK
Vậy d A, SBC
3
SM .
AK .
BC
AK .
SA.AM
SA
2
AM
3a
2
15
a 15
.
5
a 15
.
5
Câu 4 (1,0 điểm) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị C của hàm số y
với đường thẳng
Gọi M x 0 ;3x 02
Ta có y '
6x
3x0
:x
2.
3y
2016
3x 2
3x
1 . Biết tiếp tuyến vuông góc
0.
1 là tọa độ tiếp điểm.
3 , suy ra hệ số góc của tiếp tuyến là k
y ' x0
6x0
3.
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Hồ Long Thành
Gò Vấp – TP HCM
Fanpage: Luyện thi thầy Thành
ĐT: 01228684317
24
3y
2016
0
u cầu bài tốn: k.
1
3
Ta có x
1
x
3
y
1
k
1 , suy ra M 1;1 và k
Với x 0
672 nên d có hệ số góc bằng
3
Đạo hàm: y '
Suy ra 2 cos x
2 cos x
y'
3
x0
1.
3 x 1
1 hay d : y
3x
x.cos x . Chứng minh rằng 2 cos x
x sin x ; y "
cos x
3
3
Vậy phương trình tiếp tuyến là d : y
Câu 5 (1,0 điểm) Cho hàm số y
6x0
1
.
3
x cos x
2 sin x .
x cos x
2 sin x
2.
y'
x. y '' y
0.
x. y '' y
cos x
x sin x
x
x cos x
2 x sin x 2 x sin x 0.
Vậy ta có điều phải chứng minh.
TRƯỜNG THPT QUỲ HỢP
KIỂM TRA HỌC KỲ II LỚP 11 THPT
NĂM HỌC 2015 – 2016
Thời gian làm bài:90 phút, khơng kể thời gian phát đề
Câu 1 (3,0 điểm) Tìm các giới hạn sau:
3n 4 5n 3 n 2
4x 1 3
.
b) lim
.
x 2
x 2
2n 4 3n3 n 2
Câu 2 (2,0 điểm) Tìm đạo hàm của các hàm số sau:
a)
lim
a)
y
1 4
x
4
2x 2
x
1.
Câu 3 (2,0 điểm) Cho hàm số y
a) Giải phương trình y ' 4
b)
sin 2 x
y
c)
lim
x
2
2x 1
.
x 2
4 cos x .
3x 2
có đồ thị C .
2 x
0.
b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị C , biết rằng tiếp tuyến song song với đường thẳng d : y
Câu 4 (3,0 điểm) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABCD là hình vng cạnh a , tâm O . Cạnh bên SA
x
2016.
2a và vng góc
với mặt đáy ABCD . Gọi H và K lần lượt là trung điểm của cạnh BC và CD .
a) Chứng minh rằng HK vng góc với mặt phẳng SAC .
b) Xác định và tính góc giữa SO và mặt phẳng ABCD .
c)
Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng HK và SD .
HƯỚNG DẪN VÀ ĐÁP SỐ
Câu 1 (3,0 điểm) Tìm các giới hạn sau:
a)
lim
3n 4 5n 3 n 2
.
2n 4 3n3 n 2
b)
lim
x
2
4x 1 3
.
x 2
c)
lim
x
2
2x 1
.
x 2
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Hồ Long Thành
Gò Vấp – TP HCM
Fanpage: Luyện thi thầy Thành
ĐT: 01228684317
25
Vậy lim
4x 1 3
x 2
2
x
Vậy lim
x
c)
2
Ta có
2
2
x
2
3
n
n4 2
2
n4
5
n
3
lim
1
n2
3
n
2
1
n3
1
n2
2
n4
3
.
2
3
.
2
4 x
lim
2
x
2
x
2
4x
1
4
lim
3
x
4x
2
1
3
2
.
3
2
lim x
x
1
n3
4x 1 3 2
.
x 2
3
lim x 2
0;
x
Vậy lim
lim
3n 4 5n 3 n 2
2n 4 3n3 n 2
b) Ta có lim
5
n
n4 3
3n 4 5n 3 n 2
a) Ta có lim
2n 4 3n 3 n 2
0 và x
2x 1
x 2
2
0, x
2.
.
Câu 2 (2,0 điểm) Tìm đạo hàm của các hàm số sau:
1 4
x
2x 2 x 1 .
a) y
b)
4
a) Đạo hàm y ' x 3 4 x 1 .
b) Đạo hàm y '
2 cos 2 x
y
sin 2 x
4 cos x .
4 sin x.
3x 2
có đồ thị C .
2 x
a) Giải phương trình y ' 4 0 .
Câu 3 (2,0 điểm) Cho hàm số y
b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị C , biết rằng tiếp tuyến song song với đường thẳng d : y
4
a) Đạo hàm y '
2
Khi đó y ' 4
x
2
2
x2
2
4
0 (điều kiện: x
4x
3
0
x
x
1
x
3
2)
.
;1
Kết hợp điều kiện, ta có tập nghiệm của BPT là: S
b) Gọi M x 0 ;
Ta có y '
3x 0 2
với x 0
2 x0
4
2
x
2
2016.
.
4
0
x
3;
.
2 là tọa độ tiếp điểm.
, suy ra hệ số góc của tiếp tuyến là k
4
y ' x0
2
x0
2
.
Đường thẳng d có hệ số góc bằng 1 .
Yêu cầu bài toán: k
●
Với x 0
1
4
2
x0
2
1
0 , suy ra M 0; 1 và k
Phương trình tiếp tuyến là d : y
2
x0
2
4
x0
0
x0
4
.
1.
1 x
0
1 hay d : y
x 1.
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Hồ Long Thành
Gò Vấp – TP HCM
Fanpage: Luyện thi thầy Thành
ĐT: 01228684317
