CONG THUC TINH NHANH TOAN, NGUYEN PHU KHANH

www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01

GIỚI THIỆU MỘT SỐ THỦ THUẬT CƠ BẢN
LÀM NHANH TRẮC NGHIỆM MÔN TOÁN
Biên soạn: Nguyễn Phú Khánh - Nguyễn Chiến

b 3 + 8a
1 b2
b
và
S
=
.
−
3
b − 8a
4 a
2a
2 ∆
−
b 4a
3 cực trị: ab < 0

1 cực trị: ab ≥ 0
a < 0 : 1 cực đại

a > 0 : 1 cực đại, 2 cực tiểu

Hàm số y = ax 4 + bx 2 + c có 3 cực trị A ∈ Oy, B, C tạo thành:

Tam giác

đều

24 a + b 3 = 0

VÍ DỤ
m ? để hàm số y = x 4 + (m + 2015) x 2 + 5 có 3 cực trị tạo thành tam giác vuông

120 0 .

b2


b 3 

a 1 + 1 − 

a 

am02 + 2b = 0

ok

BC = m0

.fa

ce

bo

AB = AC = n0 16a 2 n02 − b 4 + 8b = 0
B, C ∈ Ox

w

Tam giác
cân tại A

b 2 − 4 ac = 0

Với a = 1, b = −2(1 − m 2 ) . Từ S 0 = (1 − m 2 )5 ≤ 1 ⇒ m = 0

m ? để hàm số y = x 4 − mx 2 +

đường tròn nội tiếp bằng 1 .

3
có 3 cực trị tạo thành tam giác có bán kính
2
Với a = 1/ 2, b = −m . Từ r0 ⇒ m = 2

m ? để hàm số y = m 2 x 4 − mx 2 + 1 − m có 3 cực trị mà trong đó có BC = 2

Với a = m 2 , b = −m . Từ am02 + 2b = 0 ⇒ m = 1 vì m ≠ 0

m ? để hàm số y = mx 4 − x 2 + m có 3 cực trị mà trong đó có AC = 0,25
Với a = m, b = −1 . Từ 16a 2 n02 − b 4 + 8b = 0 ⇒ m = 3 do m > 0

m ? để hàm số y = x 4 − mx 2 + 1 có 3 cực trị tạo thành tam giác có B, C ∈ Ox
Với a = 1, b = −m, c = 1 . Từ b 2 − 4 ac = 0 ⇒ m = 2 do m > 0

Phương trình qua
điểm cực trị:

Tam giác có
3 góc nhọn

8a + b 3 > 0

Tam giác có
tr. tâm O

b 2 − 6ac = 0

Tam giác có
trực tâm O

b 3 + 8a − 4 ac = 0

w
w

diện tích lớn nhất.

.c

r0 =

Với a = m, b = 2 . Từ 32a 3 (S 0 ) 2 + b 5 = 0 ⇒ m 3 + 1 = 0 ⇒ m = −1

m ? để hàm số y = x 4 − 2(1 − m 2 ) x 2 + m + 1 có 3 cực trị tạo thành tam giác có

om
/g

r∆ABC = r0

b5
32a 3

Với a = 3, b = m − 7 . Từ 8a + 3b 3 = 0 ⇒ b = −2 ⇒ m = 5

m ? để hàm số y = mx 4 + 2 x 2 + m − 2 có 3 cực trị tạo thành tam giác có diện tích
bằng 1 .

S0 = −

up
s/

m ? để hàm số y = 3 x 4 + (m − 7) x 2 có 3 cực trị tạo thành tam giác có một góc

α
=0
2

32a 3 (S 0 ) 2 + b 5 = 0

max (S0 )

9 4
x + 3(m − 2017) x 2 có 3 cực trị tạo thành tam giác vuông
8
Với a = 9 / 8, b = 3(m − 2017) . Từ 24 a + b 3 = 0 ⇒ b 3 = −27 ⇒ m = 2016

m ? để hàm số y =

ro

8a + b 3 . tan 2

S∆ABC = S 0

Với a = 1, b = m + 2015 . Từ 8a + b 3 = 0 ⇒ b 3 = −8 ⇒ m = −2017

cân.

đều.

BAC = α

uO

CÔNG THỨC
8a + b 3 = 0

Ta
iL
ie

DỮ KIỆN
Tam giác
vuông cân

a < 0 : 2 cực đại, 1 cực tiểu

nT

a > 0 : 1 cực tiểu

hi

D

Phương trình đường tròn đi qua A, B, C : x 2 + y 2 − (c + n ) x + c .n = 0, với n =

ai
H

Gọi BAC = α , ta luôn có: 8a (1 + cosα ) + b 3 (1 − cosα ) = 0 ⇒ cos α =

oc


b
∆  
b
∆ 
b4
b

b
với ∆ = b 2 − 4 ac
A (0; c ), B − − ; − , C  − ; −  ⇒ AB = AC =
− , BC = 2 −
2



2 a 4 a  
2a 4 a 
16a
2a
2a

01

Một số công thức tính nhanh “ thường gặp “ liên quan cực trị hàm số y = ax 4 + bx 2 + c

3

 −b 
∆
 x + c
BC : y = −
và AB, AC : y = ± 
4a
 2a 
m ? để hàm số y = −x 4 − (m 2 − 6) x 2 + m + 2 có 3 cực trị tạo thành tam giác có
3 góc đều nhọn Với a = −1, b = −(m 2 − 6) . Từ 8a + b 3 > 0 ⇒ b > 2 ⇒ −2 < m < 2
m ? để hàm số y = x 4 + mx 2 − m có 3 cực trị tạo thành tam giác nhận gốc tọa độ

O làm trọng tâm. Với a = 1, b = m, c = −m . Từ b 2 − 6ac = 0 ⇒ m = −6 do m < 0
m ? để hàm số y = x 4 + mx 2 + m + 2 có 3 cực trị tạo thành tam giác có trực tâm
O.

Với a = 1, b = m, c = m + 2 . Từ b 3 + 8a − 4 ac = 0 ⇒ m = −2 do m < 0

www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01


www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
Thủ Thuật Giải Nhanh Trắc Nghiệm Toán

m ? để hàm số y = mx 4 + x 2 + 2m −1 có 3 cực trị tạo thành tam giác nội tiếp

b 3 − 8a
8ab

Tam giác
cùng O tạo
hình thoi

b 2 − 2ac = 0

Tam giác,
tâm O nội
tiếp

b 3 − 8a − 4 abc = 0

Tam giác,

tâm O
ngọai tiếp

b 3 − 8a − 8abc = 0

trong đường tròn có bán kính R = 9 / 8
b 3 − 8a
Với a = m, b = 1 . Từ R0 =
⇒ m = −1 do m < 0
8ab

m ? để hàm số y = 2 x 4 + mx 2 + 4 có 3 cực trị cùng gốc tọa độ O lập thành hình
thoi.
Với a = 2, b = m, c = 4 . Từ b 2 − 2ac = 0 ⇒ m = −4 do m < 0

ai
H

tròn nội tiếp.
Với a = m, b = 2, c = −2 . Từ b 3 − 8a − 4 abc = 0 ⇒ m = −1 do m < 0

m ? để hàm số y = −mx 4 + x 2 − 2m −1 có 3 cực trị lập tam giác có O là tâm
đường tròn ngoại tiếp.
Với a = −m, b = 1, c = −2m − 1 . Từ b 3 − 8a − 8abc = 0 ⇒ m = 0, 25 do m > 0

uO

m ? để hàm số y = 9 x 4 + 2(m − 2020) x 2 + 2017m + 2016 có 3 cực trị tạo thành

3a + b 3 = 0

Với a = 9, b = m − 2020 . Từ 3a + b 3 = 0 ⇒ b = −3 ⇒ m = 2017

tam giác đều.

m ? để hàm số y = 3x 4 + 2(m − 2018) x 2 + 2017 có 3 cực trị tạo thành tam giác có

α
=0
2

một góc 120 0 .
Với a = 3, b = m − 2018 . Từ a + b 3 .tan 2 60 0 = 0 ⇒ b = −1 ⇒ m = 2017

m ? để hàm số y = mx 4 + 4 x 2 + 2017m − 2016 có 3 cực trị tạo thành tam giác có

up
s/

a 3 (S0 ) 2 + b 5 = 0

S∆ABC = S 0

Với a = 1, b = m + 2016 . Từ a + b 3 = 0 ⇒ b = −1 ⇒ m = −2017

giác vuông cân.

a + b 3 .tan 2

nT

VÍ DỤ
m ? để hàm số y = x + 2(m + 2016) x 2 + 2016m − 2017 có 3 cực trị tạo thành tam
4

Ta
iL
ie

BAC = α

CÔNG THỨC
a + b3 = 0

diện tích bằng 4 2 .

r∆ABC = r0

 2 a 
b − 

b 

m ? để hàm số y = mx 4 − 2 x 2 + 2017m 3 − 2016 có 3 cực trị tạo thành tam giác có
1  2 a 
bán kính ngoại tiếp bằng 1 .
Với a = m, b = −1 . Từ R0 =
b −  ⇒ m = 1
2 a 
b

m ? để hàm số y = x 4 + 2(m + 5) x 2 + 2016m 3 + 2017 có 3 cực trị tạo thành tam

b2


b 3 

a 1 + 1 − 

a 

giác có bán kính nội tiếp bằng 1 .
Với a = 1, b = m + 5, r0 = 1 ⇒ b ∈ {−2;1} ⇒ m = −7 ∨ m = −4

.c

r0 =

1
2a

ro

R0 =

Với a = m, b = 2 . Từ a 3 (S0 ) 2 + b 5 = 0 ⇒ m = −1

om
/g

R∆ABC = R0

hi

Hàm số y = ax 4 + 2bx 2 + c có 3 cực trị A ∈ Oy, B, C tạo thành:
DỮ KIỆN
Tam giác
vuông cân
tại A
Tam giác
đều

oc

m ? để hàm số y = mx 4 + 2 x 2 − 2 có 3 cực trị lập tam giác có O là tâm đường

01

R0 =

D

R∆ABC = R0

Nguyễn Phú Khánh – Nguyễn Chiến

ok

Tiệm cận: Tổng khoảng cách từ điểm M trên đồ thị hàm số y =

bo

Tương giao: Giả sử d : y = kx + m cắt đồ thị hàm số y =

ax + b
ad − bc
đến 2 tiệm cận đạt min d = 2
cx + d
c2

ax + b
tại 2 điểm phân biệt M , N .
cx + d

ax + b
cho ta phương trình có dạng: Ax 2 + Bx + C = 0 thỏa điều kiện cx + d ≠ 0 , có ∆ = B 2 − 4 AC
cx + d
∆OMN cân tại O
∆OMN vuông tại O
k 2 +1
MN =
∆, MN ngắn nhất
2
2
(
x
+
x
)(1
+

k
)
+
2
km
=
0
(
x
.
x
)(1
+ k 2 ) + ( x1 + x 2 ) km + m 2 = 0
1
2
1 2
A

.fa

ce

Với kx + m =

w

khi tồn tại min ∆, k = const

w

w

Khối đa diện: loại {n, p } có D đỉnh, C cạnh, M mặt thì n.M = p.D = 2.C hoặc Euler : D + M = 2 + C
Khối đa diện đều
Tứ diện đều

Số đỉnh

Số mặt

4

Số cạnh
6

Khối lập phương

8

12

6

Khối bát diện đều

6

12

8

Khối thập nhị diện ( 12 ) đều

20

30

12

Khối nhị thập diện ( 20 ) đều

12

30

20

4

Kí hiệu
{3,3}

{4,3}
{3, 4}
{5,3}
{3,5}

Một số công thức tính nhanh “ thường gặp “ liên quan thể tích khối chóp

www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01

Thể tích

V = ( 2 /12)a 3
V = a3

V = ( 2 / 3)a 3
V = (15 + 7 5)a 3 / 4
V = (15 + 5 5)a 3 /12


www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
TÍNH CHẤT

HÌNH VẼ

Cho hình chóp SABC với các mặt
phẳng (SAB ), (SBC ), (SAC ) vuông

Cho hình chóp SABC với các mặt phẳng
(SAB ),(SBC ),(SAC ) vuông góc với nhau từng đôi

A

một, diện tích các tam giác SAB, SBC , SAC lần lượt
là 15cm 2 , 20cm 2 ,18cm 2 .Thể tích khối chóp là:

S

C

2S1.S2 .S3
3

B

Cho hình chóp S.ABC có SA
vuông góc với ( ABC ) , hai mặt

a 2 3b 2 − a 2
12

ai
H

D

hi

C

a3 2
a3 2
a3 3
.
C.
.
D.
.
12

24
12
a3 2
a = b ⇒ VSABC =
⇒ Chọn đáp án B.
12
Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy
bằng a và mặt bên tạo với mặt phẳng đáy góc 600.
Thể tích khối chóp S.ABC là :
a3
a3
a3 3
a3 3
B.
.
D.
.
A.
.
C.
.
24
12
48
24

C

a 3 tan α a 3 3
=

⇒ Chọn đáp án C.
24
24
Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có các cạnh bên
bằng 2 và cạnh bên tạo với mặt phẳng đáy góc 30 0 .
Thể tích khối chóp S.ABC là :
3
3 3
3
3 3
D. .
C.
.
A.
.
B.
.
4
4
24
6

C

3b 3 .sin β cos 2 β 3 3
=
⇒ Chọn đáp án A.
4
4
Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có các cạnh đáy

bằng a, mặt bên tạo với mặt phẳng đáy góc 30 0 .
Thể tích khối chóp S.ABC là :
a3
a3
a3 3
a3 3
A.
.
B.
.
D.
.
C.
.
24
48
24
36

C

A
M

S

ro

Cho hình chóp tam giác đều S.ABC
có cạnh đáy bằng a và mặt bên tạo

với mặt phẳng đáy góc α .
a 3 tan α
Khi đó: VS . ABC =
24

A

om
/g

G

M

.c

S

bo

ok

A
G

M

VS . ABC =

B

Cho hình chóp tam giác đều
S.ABC có các cạnh đáy bằng a,
cạnh bên tạo với mặt phẳng đáy
góc β .

.fa

ce

S

w

w

w

A
G

M

a 3 tan β a 3 3
=
. ⇒ Chọn đáp án D.
12
36
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy ABCD là
hình

vuông
cạnh
bằng
a,
và
SA = SB = SC = SD = a . Thể tích khối chóp
S.ABCD là:
VSABC =

B

Cho hình chóp tứ giác đều
S.ABCD có đáy ABCD là hình
vuông cạnh bằng a, và
SA = SB = SC = SD = b .

S

D

a 2 4b 2 − 2a 2
6

A
M

O
C

B.

VSABC =

B

Cho hình chóp tam giác đều S.ABC
có các cạnh bên bằng b và cạnh bên
tạo với mặt phẳng đáy góc β .

A.

up
s/

B

a3 3
.
24

uO

S

G

Khi đó: VS . ABC =

2S1.S 2 .S3

a 3 20
.
6

Ta
iL
ie

Cho hình chóp đều S.ABC có đáy
ABC là tam giác đều cạnh bằng a,
cạnh bên bằng b .

a 3 .tan β
12

D.

nT

B

Khi đó: VS . ABC =

a 3 20
.
2

ASB = 30o . Thể tích khối chóp SABC là:
3a 3
a3 2

a3 3
a3 6
A.
.
B.
.
D.
.
C.
.
8
8
2
6
SB 3 .sin 2α. tan β 3a 3
VS . ABC =
=
⇒ Chọn đáp án A.
12
8
Cho hình chóp đều S.ABC có đáy ABC là tam giác
đều cạnh bằng a, cạnh bên bằng a . Thể tích khối
chóp S.ABC là:

C

A

SB .sin 2α. tan β
12

3b 3 .sin β cos 2 β
4

C.

(SBC ) vuông góc với nhau, SB = a 3 , BSC = 45o ,

3

Khi đó: VS . ABC =

a 3 20
.
3

oc

S

với nhau, BSC = α, ASB = β .

Khi đó: VS . ABC =

B.

= a 3 20 ⇒ Chọn đáp án A.
3
Cho hình chóp SABC có SA vuông góc với mặt
phẳng ( ABC ) , hai mặt phẳng (SAB ) và

VABCD =

phẳng (SAB ) và (SBC ) vuông góc

Khi đó: VS . ABC =

A. a 3 20.

01

góc với nhau từng đôi một, diện
tích các tam giác SAB, SBC , SAC
lần lượt là S1 ,S2 ,S3 .
Khi đó: VS . ABC =

VÍ DỤ

B

a3 6
a3 2
.
B.
.
6
2
⇒ Chọn đáp án C.
A.

www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01

C.

a3 2
.
6

D.

a3 3
.
3


www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01
Thủ Thuật Giải Nhanh Trắc Nghiệm Toán
Cho hình chóp tứ giác đều
S.ABCD có cạnh đáy bằng a, góc
tạo bởi mặt bên và mặt phẳng đáy
là α .
a 3 .tan α
Khi đó: VS . ABCD =
6

Nguyễn Phú Khánh – Nguyễn Chiến
S

A

D

B

oc

A

C

E

x

G

3

a cot α
24

M

om
/g

O1

C'
O2

O4

.c

ok

B'

O'

D'

A

O3

B
O

D

a 3 cot 300 a 3 3
=
⇒ Chọn đáp án A
24
24
Khối tám mặt đều có đỉnh là tâm các mặt của hình
lập phương cạnh a có thể tích là:
a3
a3

a3 3
a3 3
A.
.
C.
.
B.
.
.
D.
12
6
4
2
⇒ Chọn đáp án C.

C
S

bo

G2
D

A G1

3

mặt phẳng đáy là 30 0 . Thể tích khối chóp S.ABC là:
a3

3a 3
a3 3
a3 3
D.
C.
B.
A.
8
8
24
8

VSABC =

A'

Cho khối tám mặt đều cạnh a. Nối
tâm của các mặt bên ta được khối
lập phương.

ce

với BC và vuông góc với (SBC ) , góc giữa ( P ) với

C

ro

B

Khối tám mặt đều có đỉnh là tâm
các mặt của hình lập phương cạnh
a.
a3
Khi đó: V =
6

.fa

Ta
iL
ie

F
A

4 3
⇒ Chọn đáp án B.
27

Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy
bằng a. Gọi ( P ) là mặt phẳng đi qua A song song

S

( P ) với mặt phẳng đáy là α .

N

M

C

B

S'

Cho khối tám mặt đều cạnh a. Nối tâm của các mặt
bên ta được khối lập phương có thể tích bằng V. Tỷ
a3
số
gần nhất giá trị nào trong các giá trị sau?
V
A. 9,5.
B. 7,8.
C. 15, 6.
D. 22,6.

V=

2a 3 2
a 3 27 2
⇒ =
≈ 9,5 ⇒ Chọn đáp án A.
27
V
4

w

w

w

VS . ABCD =

C

N

phẳng đi qua A song song với BC
và vuông góc với (SBC ) , góc giữa

2a 2
Khi đó: V =
27

M

O

Cho hình chóp tam giác đều S.ABC
có cạnh đáy bằng a. Gọi ( P ) là mặt

Khi đó: VS . ABCD =

D

D

nT

A

B

3

(2 + tan α)

3

hi

S

4 a .tan α

a 3 tan 2 α −1 a 3 2
⇒ Chọn đáp án B.
=
6
6
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có các cạnh bên
bằng 1, góc tạo bởi mặt bên và mặt đáy là 450 .Thể
tích khối chóp S.ABCD là:
4
3
4 3
4 3

D.
.
A.
.
B.
.
C.
.
27
2
7
27
VSABCD =

B

3

2

M

O

uO

tan α −1
6

ai

H

D

2

Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD
có các cạnh bên bằng a, góc tạo bởi
mặt bên và mặt đáy là α với
 π
α ∈ 0;  .
 2 
Khi đó: VS . ABCD =

bằng a, SAB = 60 0 . Thể tích khối chóp S.ABCD là:
a3
a3 2
a3 2
a3 6
D.
.
B.
.
A.
.
C.
.
6
12
6

2

up
s/

Khi đó: VS . ABCD =

01

S

có cạnh đáy bằng a, SAB = α ,
π π 
với α ∈  ; 
 4 2 

a

VSABCD =

C

Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD

3

a 3 tan α a 3
=
⇒ Chọn đáp án D.
6

6
Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy

M

O

Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy
bằng a, góc tạo bởi mặt bên và mặt phẳng đáy là
450 . Thể tích khối chóp S.ABCD là:
a3
a3
a3 3
a3 6
A.
.
D.
.
B.
.
C.
.
12
6
6
2

GIỚI THIỆU 500 CÔNG THỨC TÍNH NHANH HÌNH HỌC KHÔNG GIAN, OXYZ VÀ 300 CÔNG THỨC GIẢI

www.facebook.com/groups/TaiLieuOnThiDaiHoc01