Định lý điểm bất động cho một số ánh xạ co suy rộng trên các không gian kiểu mêtric và ứng dụng

Header Page 1 of 126.

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

TRẦN ĐỨC THÀNH

ĐỊNH LÝ ĐIỂM BẤT ĐỘNG
CHO MỘT SỐ ÁNH XẠ CO SUY RỘNG TRÊN
CÁC KHÔNG GIAN KIỂU MÊTRIC
VÀ ỨNG DỤNG

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

NGHỆ AN - 2015

Footer Page 1 of 126.


Header Page 2 of 126.

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

TRẦN ĐỨC THÀNH

ĐỊNH LÝ ĐIỂM BẤT ĐỘNG
CHO MỘT SỐ ÁNH XẠ CO SUY RỘNG TRÊN
CÁC KHÔNG GIAN KIỂU MÊTRIC
VÀ ỨNG DỤNG
LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

Chuyên ngành: Toán Giải tích
Mã số: 62 46 01 02

TẬP THỂ HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
1. PGS. TS. TRẦN VĂN ÂN
2. TS. KIỀU PHƯƠNG CHI

NGHỆ AN - 2015

Footer Page 2 of 126.


Header Page 3 of 126.
iii

LỜI CAM ĐOAN

Luận án được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của PGS. TS. Trần Văn Ân
và TS. Kiều Phương Chi. Tôi xin cam đoan rằng các kết quả trình bày trong
luận án là hoàn toàn trung thực, được các đồng tác giả cho phép sử dụng và
luận án không trùng lặp với bất kỳ tài liệu nào khác.
Tác giả

Footer Page 3 of 126.


Header Page 4 of 126.
iv

LỜI CẢM ƠN

Luận án được hoàn thành dưới sự hướng dẫn khoa học của PGS. TS.
Trần Văn Ân và TS. Kiều Phương Chi. Trước hết, tác giả xin được bày tỏ lòng
biết ơn sâu sắc đối với những người Thầy - PGS. TS. Trần Văn Ân và TS. Kiều
Phương Chi của mình, những người đã đặt bài toán và hướng nghiên cứu cho
tác giả. Tác giả đã học được rất nhiều kiến thức khoa học, nhận được sự chia
sẻ, yêu thương của các Thầy trong quá trình học tập và nghiên cứu.
Tác giả cũng xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến PGS. TS. Đinh Huy Hoàng.
Thầy luôn tận tình chỉ bảo và tạo mọi điều kiện thuận lợi nhất trong suốt quá
trình học tập, nghiên cứu, để tác giả học tập và hoàn thành luận án.
Tác giả xin được bày tỏ sự cảm ơn đến Ban chủ nhiệm khoa Sư phạm Toán
học, Tổ Giải tích và các đồng nghiệp trong khoa Sư phạm Toán - Trường Đại
học Vinh đã quan tâm động viên cũng như tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tác
giả tập trung học tập và nghiên cứu.
Tác giả cũng xin chân thành cảm ơn Phòng đào tạo Sau đại học và các
phòng ban khác của Trường Đại học Vinh đã tạo điều kiện thuận lợi để tác giả
hoàn thành nhiệm vụ của nghiên cứu sinh.
Tác giả xin gửi lời cảm ơn tới GS Erdal Karapinar, Department of Mathematics, Atilim University, 06836 Incek, Ankara, Turkey và GS Ljubomir Ciric,
Faculty of Mechanical Engineering, University of Belgrade, 12-35 Aleksinackih
Rudara, Belgrade, Serbia and Montenegro vì những giúp đỡ to lớn trong việc
trao đổi tài liệu và thảo luận các bài toán liên quan.
Xin cảm ơn các thầy cô giáo, các anh chị em nghiên cứu sinh của Trường
Đại học Vinh và tất cả bạn bè của tác giả về những chia sẻ, động viên trong
quá trình học tập và nghiên cứu.

Footer Page 4 of 126.


Header Page 5 of 126.
v

Cuối cùng, tác giả vô cùng biết ơn mọi thành viên trong gia đình của mình,
đã luôn tạo mọi điều kiện và dành tất cả sự quan tâm, chia sẻ mọi khó khăn
cùng tác giả suốt những năm tháng qua để tác giả có thể hoàn thành luận án
này.

Nghệ An, năm 2015
Tác giả

Footer Page 5 of 126.


Header Page 6 of 126.
1

MỤC LỤC

Mục lục

1

Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1 Điểm bất động của một số ánh xạ T -co suy rộng trong
không gian mêtric

12

1.1. Điểm bất động của ánh xạ T -co kiểu Meir-Keeler

. . . . . . . 12

1.2. Điểm bất động của ánh xạ T -co kiểu tựa co Ciric

. . . . . . . 20

1.3. Điểm bất động chung của các ánh xạ T -co kiểu (ψ, ϕ)-co yếu

. 29

2 Điểm bất động của một số lớp ánh xạ co suy rộng trong
không gian mêtric riêng

39

2.1. Không gian mêtric riêng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.2. Điểm bất động của ánh xạ co suy rộng trong không gian mêtric
riêng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2.3. Điểm bất động chung của các ánh xạ kiểu (ψ, ϕ)-co yếu trong
không gian mêtric riêng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
3 Điểm bất động bộ đôi của một số ánh xạ co suy rộng
trong không gian mêtric riêng có thứ tự bộ phận và ứng
dụng

82

3.1. Điểm bất động bộ đôi của một số ánh xạ co suy rộng trong
không gian mêtric riêng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82

3.2. ´Ưng dụng vào một lớp phương trình tích phân phi tuyến . . . 92
Footer Page 6 of 126.


Header Page 7 of 126.
2

3.3. ´Ưng dụng vào bài toán cân bằng không cộng tác trong lý thuyết
trò chơi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
Kết luận và kiến nghị

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

Danh mục công trình liên quan trực tiếp đến luận án . . . 105
Tài liệu tham khảo

Footer Page 7 of 126.

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110


Header Page 8 of 126.
3

MỞ ĐẦU

1. Lý do chọn đề tài
1.1. Lý thuyết điểm bất động và ứng dụng là lĩnh vực nghiên cứu hấp dẫn
của toán học hiện đại. Đây là lĩnh vực đã và đang thu hút được sự quan
tâm của rất nhiều nhà toán học trong và ngoài nước. Lý thuyết điểm bất

động là một công cụ quan trọng để nghiên cứu các hiện tượng phi tuyến.
Nó có nhiều ứng dụng trong nhiều lĩnh vực khác nhau của Toán học như
sự tồn tại nghiệm của các phương trình vi, tích phân, hệ phương trình
tuyến tính, phương trình hàm, quỹ đạo đóng của hệ động lực... Hơn nữa,
nó còn có nhiều ứng dụng trong các ngành khoa học khác như khoa học
máy tính, lý thuyết điều khiển, lý thuyết trò chơi, vật lý toán, sinh học,
kinh tế... Sự phát triển mạnh mẽ của lý thuyết điểm bất động có thể nói
bắt nguồn từ những ứng dụng rộng rãi của nó.
1.2. Xuất phát từ ba định lý điểm bất động nổi tiếng: Định lý điểm bất
động Brouwer (1911, [22]), định lý điểm bất động Banach (1922, [9]), định
lý điểm bất động Tarski (1955, [60]), lý thuyết điểm bất động có thể được
chia thành ba hướng nghiên cứu chính: Lý thuyết điểm bất động tôpô, lý
thuyết điểm bất động mêtric và lý thuyết điểm bất động rời rạc. Cùng với
việc nghiên cứu sự tồn tại nghiệm của các phương trình vi phân thường,
nguyên lý ánh xạ co Banach là trung tâm của lý thuyết điểm bất động
trên các không gian mêtric: "Mỗi ánh xạ co từ một không gian mêtric
đầy đủ (X, d) vào chính nó luôn có duy nhất điểm bất động". Sự ra đời
của nguyên lý ánh xạ co Banach cùng với ứng dụng của nó đã mở ra sự
phát triển mới của lý thuyết điểm bất động mêtric.
Footer Page 8 of 126.


Header Page 9 of 126.
4

1.3. Hướng nghiên cứu lý thuyết điểm bất động mêtric phát triển chủ
yếu theo 3 vấn đề sau: Mở rộng các điều kiện co cho các ánh xạ; mở rộng
các định lý điểm bất động đã biết lên các không gian có cấu trúc tương
tự không gian mêtric; và tìm các ứng dụng của chúng. Đối với vấn đề
mở rộng điều kiện co của ánh xạ, chúng ta đã biết được những lớp ánh

xạ co tiêu biểu được kể đến như của Kannan ([39]), Boyd-Wong ([21]),
Meir-Keeler ([42]), Reich ([54]), Ciric ([29]), Zamfirescu ([62]), Hardy Rogers ([36]), Ciric ([27]), Berinde ([14])... Ngoài ra, người ta còn đề xuất
thêm những loại ánh xạ co suy rộng như: Φ-co, co yếu, tựa co, hầu co...
Đối với vấn đề mở rộng không gian, người ta đã đề xuất các định lý điểm
bất động đối với các ánh xạ co trên những lớp không gian có cấu trúc
tương tự không gian mêtric như: Không gian mêtric suy rộng, không gian
mêtric nón, không gian 2-mêtric, không gian b-mêtric... Đặc biệt, năm
1992, trong dự án nghiên cứu về sự hiển thị ngôn ngữ và lưu thông mạng
máy tính, S. G. Matthew ([45]) đã đề xuất và xây dựng khái niệm không
gian mêtric riêng. Sau đó, các định lý điểm bất động đối với các ánh xạ
co trên lớp không gian này cũng được thiết lập. Và gần đây, người ta rất
quan tâm tới việc thiết lập các định lý điểm bất động của ánh xạ co suy
rộng trên lớp không gian này, xuất phát từ một số ý nghĩa và ứng dụng
của chúng. Theo mạch vấn đề về ứng dụng của các định lý điểm bất động
mêtric, ngoài những ứng dụng truyền thống đã biết, gần đây, người ta đã
tìm được những ứng dụng sâu sắc hơn của các định lý điểm bất động cho
các ánh xạ co suy rộng trên các không gian có cấu trúc kiểu không gian
mêtric vào những lĩnh vực khác nhau của toán học, kinh tế và kỹ thuật.
Có thể nói, cả 3 mạch vấn đề trên không phát triển tách rời nhau mà luôn
luôn đồng hành, gắn bó mật thiết với nhau. Những vấn đề trên đang thu
hút khá đông những người làm việc trong lĩnh vực toán giải tích trong và
ngoài nước. Đặc biệt, cả 3 mạch vấn đề trên vẫn còn những bài toán thời
sự đang được đặt ra nghiên cứu và giải quyết.

Footer Page 9 of 126.


Header Page 10 of 126.
5

Với các lý do nêu trên chúng tôi chọn đề tài nghiên cứu cho luận án
của mình là: "Định lý điểm bất động cho một số ánh xạ co suy
rộng trên các không gian kiểu mêtric và ứng dụng".
2. Mục đích nghiên cứu
Mục đích của luận án là mở rộng một số kết quả về sự tồn tại điểm
bất động của một số lớp ánh xạ trên các lớp không gian như: không gian
mêtric, không gian mêtric riêng, không gian mêtric riêng có thứ tự bộ
phận và tìm hiểu ứng dụng của chúng trong việc chứng minh sự tồn tại
nghiệm của một số lớp phương trình tích phân và bài toán cân bằng không
cộng tác trong lý thuyết trò chơi.
3. Đối tượng nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu của luận án là các không gian mêtric, không gian
mêtric riêng, các ánh xạ co suy rộng trên không gian mêtric, không gian
mêtric riêng, điểm bất động, điểm bất động bộ đôi của một số lớp ánh
xạ trong không gian mêtric, không gian mêtric riêng, một số lớp phương
trình tích phân.
4. Phạm vi nghiên cứu
Luận án nghiên cứu các định lý điểm bất động đối với các ánh xạ trong
không gian mêtric, không gian mêtric riêng và ứng dụng vào bài toán sự
tồn tại nghiệm của các phương trình tích phân và bài toán cân bằng không
cộng tác trong lý thuyết trò chơi.
5. Phương pháp nghiên cứu
Chúng tôi sử dụng phương pháp nghiên cứu lý thuyết của Giải tích
hàm, lý thuyết phương trình vi phân, phương trình tích phân và lý thuyết
điểm bất động trong quá trình thực hiện đề tài.
6.

ý nghĩa khoa học và thực tiễn
Luận án đã mở rộng được một số kết quả về sự tồn tại điểm bất động

trong không gian mêtric, không gian mêtric riêng. Đồng thời, áp dụng
cácof kết
Footer Page 10
126. quả

thu được vào việc chứng minh sự tồn tại nghiệm của một số


Header Page 11 of 126.
6

lớp phương trình tích phân và bài toán cân bằng không cộng tác trong lý
thuyết trò chơi.
Luận án có thể làm tài liệu tham khảo cho các sinh viên, học viên cao
học và nghiên cứu sinh chuyên ngành Toán giải tích nói chung, lý thuyết
điểm bất động trên các không gian kiểu mêtric và ứng dụng nói riêng.
7. Tổng quan và cấu trúc luận án
7.1. Tổng quan luận án
Năm 2010, S. Moradi và M. Omid ([47]) đã đề xuất lớp ánh xạ T -co
và thu được một số kết quả về sự tồn tại điểm bất động của chúng. Cho
(X, d) là không gian mêtric và các ánh xạ T, S : X → X . Ánh xạ S được

gọi là T-co nếu tồn tại k ∈ [0, 1) sao cho
d(T Sx, T Sy)

kd(T x, T y), với mọi x, y ∈ X.

Khi T x = x với x ∈ X thì ánh xạ T -co trở thành ánh xạ co thông thường.
Sự xuất hiện của lớp ánh xạ T -co đã thu hút sự quan tâm của các nhà
nghiên cứu lý thuyết điểm bất động mêtric. Với mục đích nghiên cứu các

định lý điểm bất động của các ánh xạ dưới điều kiện T -co suy rộng, trong
Chương 1, chúng tôi thu được một số định lý điểm bất động cho lớp ánh
xạ kiểu T -co. Trong Mục 1.1, chúng tôi thu được các kết quả về sự tồn tại
điểm bất động của các lớp ánh xạ T -co kiểu Meir-Keeler. Cụ thể, chúng
tôi chứng minh Định lý 1.1.5 và Định lý 1.1.8 khẳng định sự tồn tại duy
nhất điểm bất động của lớp ánh xạ T -co kiểu Meir-Keeler trong không
gian mêtric đầy đủ. Trong Mục 1.2, chúng tôi thu được các kết quả về sự
tồn tại điểm bất động của các lớp ánh xạ T -co kiểu tựa co Ciric. Cụ thể,
chúng tôi thiết lập Định lý 1.2.2, Hệ quả 1.2.5, Hệ quả 1.2.6 và Hệ quả
1.2.7 khẳng định sự tồn tại duy nhất điểm bất động của lớp ánh xạ T -co
kiểu tựa co Ciric trong không gian mêtric đầy đủ. Trong Mục 1.3, chúng
tôi thu được các kết quả về sự tồn tại điểm bất động chung của lớp các
Footer Page 11
of 126.
ánh
xạ T -co

kiểu (ψ, ϕ)-co yếu. Cụ thể, chúng tôi thiết lập Định lý 1.3.2


Header Page 12 of 126.
7

khẳng định sự tồn tại duy nhất điểm bất động chung của lớp các ánh xạ
T -co kiểu (ψ, ϕ)-co yếu trong không gian mêtric. Chúng tôi cũng đưa ra

Ví dụ 1.1.7, Ví dụ 1.2.4 và Ví dụ 1.3.5 nhằm minh họa cho các định lý,
cũng như để chỉ ra rằng các kết quả của chúng tôi là thực sự mở rộng so
với các kết quả đã biết.
Nếu chúng ta thực sự để ý thì sẽ thấy rằng không phải mọi tính chất,

tiên đề của không gian mêtric đều được sử dụng trong các phép chứng
minh sự tồn tại điểm bất động của các ánh xạ co trên không gian mêtric.
Câu hỏi đặt ra là: Với những không gian nào là không gian suy rộng hay
tương tự không gian mêtric thì sẽ tồn tại điểm bất động của các loại ánh
xạ co? Câu trả lời khẳng định đã có, đặc biệt gần đây là lớp không gian
mêtric riêng. Khái niệm không gian mêtric riêng nhận được bằng cách
thay thế đẳng thức d(x, x) = 0 trong định nghĩa của mêtric bởi bất đẳng
thức d(x, x)

d(x, y) với mọi x, y . Rõ ràng, với không gian mêtric riêng

(X, p) thì có thể xảy ra trường hợp p(x, x) > 0 với x ∈ X . Do vậy, bài

toán nghiên cứu điểm bất động và các ứng dụng của chúng trên không
gian mêtric riêng sẽ có nhiều ý nghĩa vì chúng ta không thể áp dụng mọi
kỹ thuật chứng minh của các lớp ánh xạ co trong không gian mêtric vào
các lớp ánh xạ co trong lớp không gian mêtric riêng. Với mục đích nghiên
cứu không gian mêtric riêng và các định lý điểm bất động cho một số lớp
ánh xạ co suy rộng trên không gian mêtric riêng, trong Chương 2, chúng
tôi đề xuất một số kết quả về sự tồn tại điểm bất động của các lớp ánh
xạ co suy rộng trong không gian mêtric riêng. Đầu tiên, trong Mục 2.1,
chúng tôi trình bày một số khái niệm, tính chất cơ bản và đặc trưng của
không gian mêtric riêng cần dùng về sau. Tiếp theo, trong Mục 2.2, chúng
tôi thiết lập Định lý 2.2.3, Định lý 2.2.9, Hệ quả 2.2.10, Hệ quả 2.2.11, Hệ
quả 2.2.12 và Hệ quả 2.2.13 về sự tồn tại điểm bất động đối với các ánh
xạ co suy rộng trong các không gian mêtric riêng. Các kết quả của mục
Footer Page 12
of 126.
này
là sự

mở rộng thật sự các kết quả gần đây của D. Ilic, V. Pavlovic


Header Page 13 of 126.
8

và V. Rakocevic ([37]), ([38]) I. Altun, F. Sola và H. Simsek ([8]). Trong
Mục 2.3, chúng tôi thiết lập Định lý 2.3.3, Hệ quả 2.3.7 và Hệ quả 2.3.8 về
sự tồn tại điểm bất động chung của hai ánh xạ cho ánh xạ kiểu (ψ, ϕ)-co
yếu trong các không gian mêtric riêng. Đây là sự mở rộng kết quả của T.
Abdeljawad, E. Karapinar và K. Tas ([2]). Ngoài ra, chúng tôi xây dựng
Ví dụ 2.2.14, Ví dụ 2.2.15 và Ví dụ 2.3.6 nhằm minh họa cho các kết quả
và sự mở rộng.
Năm 2006, theo hướng mở rộng các định lý điểm bất động trong không
gian mêtric đầy đủ (X, d) và ứng dụng của chúng vào bài toán giá trị
biên tuần hoàn , T. G. Bhaskar, V. Lakshmikantham ([10]) đã đưa ra khái
niệm điểm bất động bộ đôi của các ánh xạ F : X × X → X có tính chất
đơn điệu trộn và thu được một số kết quả cho lớp ánh xạ đó trên không
gian mêtric sắp thứ tự bộ phận. Tiếp nối kết quả này, nhiều tác giả khác
như V. Lakshmikantham và L. Ciric ([43]), N. V. Luong và N. X. Thuan
([44]), V. Berinde ([12, 13])... đã mở rộng và chứng minh nhiều kết quả đa
dạng cho loại ánh xạ này. Các kết quả thu được đã được các tác giả áp
dụng vào việc chứng minh sự tồn tại nghiệm của một số lớp phương trình
tích phân phi tuyến.
Năm 2012, khi mở rộng nguyên lý ánh xạ co Banach trong không gian
mêtric, D. Wardowski ([61]) đã đề xuất khái niệm ánh xạ F -co và chứng
minh một số định lý điểm bất động cho ánh xạ kiểu F -co. Cho (X, d) là
không gian mêtric. Ánh xạ T : X × X → X được gọi là F − co nếu tồn
tại F ∈ F và τ ∈ R+ thỏa mãn

τ + F (d(T x, T y))

F (d(x, y))

với mọi x, y ∈ X . Trong đó, F là họ các hàm F : R+ → R thỏa mãn các
điều kiện (F1 ) và (F2 )
(F1 ) F tăng ngặt và liên tục.
2)
Footer Page 13 of(F
126.

Với mỗi dãy {an } ⊂ R+ , ta có lim an = 0 nếu và chỉ nếu
n→∞


Header Page 14 of 126.
9

lim F (an ) = −∞.

n→∞

Tiếp nối các kết quả của D. Wardowski, năm 2013, M. Sgroi và C. Vetro
([59]) đã mở rộng các kết quả đó cho các ánh xạ đa trị, ánh xạ đa trị đóng
F - co kiểu Hardy-Rogers trên các không gian mêtric và không gian mêtric

có thứ tự bộ phận. D. Paesano và C. Vetro ([51]) đã thiết lập các định
lý điểm bất động cho các ánh xạ đa trị trên các không gian mêtric riêng.
Câu hỏi đặt ra ở đây là: Có thể xây dựng được ánh xạ kiểu F -co cho các
định lý điểm bất động bộ đôi trong lớp không gian mêtric riêng và tìm

các ứng dụng của chúng trong các lĩnh vực khác nhau được không? Để trả
lời câu hỏi trên, trong Chương 3, Mục 3.1, chúng tôi phát biểu và chứng
minh Định lý 3.1.4, Định lý 3.1.5, Định lý 3.1.7 và Hệ quả 3.1.6 về sự tồn
tại điểm bất động bộ đôi cho các ánh xạ kiểu F -co trên các không gian
mêtric riêng có thứ tự bộ phận. Sau đó, ở Mục 3.2, bằng cách đưa thêm
khái niệm nghiệm bộ đôi trên và dưới, áp dụng các định lý điểm bất động
ở mục trên, chúng tôi chứng tỏ được sự tồn tại duy nhất nghiệm của một
lớp phương trình tích phân phi tuyến kiểu Fredholm. Cuối cùng, trong
Mục 3.3, tiếp tục áp dụng kết quả thu được ở Mục 3.1, chúng tôi chứng
minh được sự tồn tại điểm bất động bộ đôi kéo theo sự tồn tại điểm cân
bằng không cộng tác trong trò chơi với hai người chơi.
7.2 Cấu trúc luận án
Nội dung luận án được trình bày trong 3 chương. Ngoài ra, luận
án còn có Lời cam đoan, Lời cảm ơn, Mục lục, Mở đầu, Kết luận và Kiến
nghị, Danh mục công trình khoa học của nghiên cứu sinh liên quan trực
tiếp đến luận án và Tài liệu tham khảo.
Chương 1 trình bày mở rộng các định lý điểm bất động của một số
lớp ánh xạ trên không gian mêtric cho các ánh xạ kiểu T -co. Trong Mục
1.1, chúng tôi nghiên cứu điểm bất động của ánh xạ T -co cho các ánh
xạ co Meir-Keeler. Trong Mục 1.2, chúng tôi nghiên cứu điểm bất động
Footer Page 14
of 126.
của
ánh

xạ T -co cho các ánh xạ tựa co Ciric. Trong Mục 1.3, chúng tôi


Header Page 15 of 126.
10

nghiên cứu điểm bất động của ánh xạ T -co cho các ánh xạ kiểu (ψ, ϕ)-co
yếu. Các kết quả của chương này đã được đăng trên các tạp chí Arab
Journal of Mathematical Sciences, Abstract and Applied Analysis và
International Journal of Mathematics and Mathematical Sciences.
Chương 2 nhằm trình bày một số mở rộng các kết quả về điểm bất
động cho lớp các ánh xạ co suy rộng, ánh xạ kiểu hầu co suy rộng, ánh
xạ kiểu (ψ, ϕ)-co yếu trong các không gian mêtric riêng. Mục 2.1 dành để
trình bày một số khái niệm, tính chất cơ bản của không gian mêtric riêng.
Trong Mục 2.2, chúng tôi đưa ra các định lý điểm bất động cho các ánh
xạ co suy rộng trong các không gian mêtric riêng. Trong Mục 2.3, chúng
tôi đưa ra các định lý điểm bất động chung cho các ánh xạ kiểu (ψ, ϕ)-co
yếu trong các không gian mêtric riêng. Các kết quả của chương này đã
được đăng và nhận đăng trên các tạp chí Mathematical and Computer
Modelling, Journal of Nonlinear Science and Applications, Bulletin of
the Iranian Mathematical Society.
Chương 3 dành cho việc nghiên cứu sự tồn tại điểm bất động bộ đôi
của ánh xạ trong các không gian mêtric riêng có thứ tự bộ phận và các
ứng dụng của nó. Mục 3.1 dành cho việc trình bày và chứng minh định
lý điểm bất động bộ đôi của một lớp ánh xạ kiểu F -co trong không gian
mêtric riêng. Trong Mục 3.2, chúng tôi đã ứng dụng kết quả tìm được để
nghiên cứu sự tồn tại nghiệm của phương trình tích phân phi tuyến kiểu
Fredholm. Cuối cùng, trong Mục 3.3, chúng tôi áp dụng kết quả tìm được
của điểm bất động bộ đôi vào bài toán cân bằng không cộng tác trong lý
thuyết trò chơi. Các kết quả của chương này đã được đăng trên tạp chí
Journal of Inequalities and Applications.
Các kết quả chính của luận án đã được viết thành 07 bài báo, trong đó
có 04 bài đã công bố trong các tạp chí thuộc danh mục ISI và 01 bài báo
Footer Page 15
126.

đãofđược

nhận đăng trên tạp chí thuộc danh mục ISI. Các kết quả trong


Header Page 16 of 126.
11

nội dung của luận án cũng đã được báo cáo tại:
• Seminar của Tổ Giải tích thuộc Khoa Sư phạm Toán, Trường Đại

học Vinh.
• Các Hội nghị NCS của Trường Đại học Vinh (2011 - 2015).
• Hội nghị Toán học phối hợp Việt - Pháp tại Huế 20-24/8/2012.
• Đại hội Toán học Toàn quốc lần thứ 8 tại Nha Trang 10-14/8/2013.

Footer Page 16 of 126.


Header Page 17 of 126.
12

CHƯƠNG 1
ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA MỘT SỐ ÁNH XẠ T -CO SUY
RỘNG TRONG KHÔNG GIAN MÊTRIC

Chương này dành để trình bày khái niệm ánh xạ T -co. Đồng thời,
chúng tôi phát biểu và chứng minh một số định lý điểm bất động của ánh
xạ T -co cho một số ánh xạ co Meir-Keeler ([42]), tựa co Ciric ([27]) và
(ψ, ϕ)-co yếu ([32]) trong lớp các không gian mêtric.

1.1. Điểm bất động của ánh xạ T -co kiểu Meir-Keeler

Trong mục này, chúng tôi trình bày khái niệm ánh xạ T -co, đồng thời
phát biểu và chứng minh một số mở rộng của ánh xạ T -co cho ánh xạ co
Meir-Keeler ([42]).
Trước hết chúng ta đến với định nghĩa sau.
1.1.1 Định nghĩa. ([47]) Cho (X, d) là không gian mêtric và các ánh xạ
T, S : X → X . Ánh xạ S được gọi là T -co nếu tồn tại k ∈ [0, 1) sao cho
d(T Sx, T Sy)

kd(T x, T y), với mọi x, y ∈ X.

(1.1)

Rõ ràng, nếu ta chọn T x = x với mọi x ∈ X thì ánh xạ T -co là ánh xạ
co Banach.
1.1.2 Ví dụ. Lấy X = [1, ∞) với mêtric thông thường d(x, y) = |x − y|
1
với mọi x, y ∈ X . Xét các ánh xạ T x = 2 − và Sx = 6x trên X . Rõ
x
Footer Page 17 of 126.


Header Page 18 of 126.
13

ràng, S không là ánh xạ co. Mặt khác, với mọi x, y ∈ X ta có
d(T Sx, T Sy) = 2 −

1

1
1 1 1
1
1
1
−2+
=
−
= (2 − ) − (2 − )
6x
6y
6 y x
6
x
y

1
= d(T x, T y).
6

Điều này chứng tỏ S là ánh xạ T -co.
1.1.3 Định nghĩa. ([47]) Cho (X, d) là không gian mêtric, ánh xạ T :
X → X được gọi là hội tụ dãy (sequentially convergent) nếu với bất kỳ

dãy {yn } ⊂ X mà dãy {T yn } hội tụ thì dãy {yn } hội tụ.
1.1.4 Định nghĩa. ([42]) Cho (X, d) là không gian mêtric, ánh xạ S :
X → X được gọi là co Meir-Keeler nếu với mỗi ε > 0 tồn tại δ > 0 sao

cho ε

d(x, y) < ε + δ kéo theo d(Sx, Sy) < ε với mọi x, y ∈ X .

Định lý sau là mở rộng kết quả của Meir-Keeler ([42]).
1.1.5 Định lý. Cho (X, d) là không gian mêtric đầy đủ. Giả sử ánh
xạ T : X → X đơn ánh, liên tục, hội tụ dãy và nếu ánh xạ S : X → X
thỏa mãn điều kiện:
ε

với mỗi ε > 0 tồn tại δ > 0 sao cho
d(T x, T y) < ε + δ kéo theo d(T Sx, T Sy) < ε,

(1.2)

với mọi x, y ∈ X thì S có điểm bất động duy nhất z ∈ X và lim T n x =
n→∞

z với mọi x ∈ X .

Chứng minh. Lấy x0 ∈ X tùy ý, ta xây dựng hai dãy lặp {xn } và {yn }
như sau:
xn+1 = Sxn và yn = T xn với n = 0, 1, 2, ...

(1.3)

Để ý rằng, nếu yn0 +1 = yn0 với số tự nhiên nào đó n0 ∈ N thì T xn0 +1 =
T xn0 . Vì T là đơn ánh nên xn0 +1 = xn0 . Điều này kéo theo Sxn0 = xn0 .

Vì thế xn0 là điểm bất động của S . Do đó, ta có thể giả sử
Footer Page 18 of 126.

yn+1 = yn với mọi n ∈ N.

(1.4)


Header Page 19 of 126.
14

Từ (1.4) ta có d(yn , yn+1 ) > 0 với mọi n ∈ N. Hơn nữa, từ giả thiết (1.2)
ta suy ra Kn = {d(yn , yn+1 )} = {d(T xn , T xn+1 )} là dãy giảm các số thực
không âm. Do đó, tồn tại ε0

0 sao cho lim d(yn , yn+1 ) = ε0 . Ta chứng
n→∞

minh ε0 = 0. Thật vậy, giả sử ngược lại ε0 > 0, khi đó tồn tại δ0 = δ(ε0 )
và m ∈ N sao cho
ε0 < d(ym , ym+1 ) = d(T xm , T xm+1 ) < ε0 + δ0 .

Từ (1.2) ta có
d(T Sxm , T Sxm+1 ) = d(T xm+1 , T xm+2 ) = d(ym+1 , ym+2 ) < ε0 .

Điều này mâu thuẫn với dãy {d(yn , yn+1 )} là dãy giảm hội tụ đến ε0 . Do
đó, ta có
lim d(yn , yn+1 ) = lim d(T xn , T xn+1 ) = 0.

n→∞

n→∞

(1.5)

Bây giờ, ta chứng minh {yn } là dãy Cauchy. Lấy ε > 0 tùy ý và chọn
δ = δ(ε) thỏa mãn δ

ε. Từ (1.5), ta suy ra tồn tại số nguyên dương M

sao cho
d(yn−1 , yn ) = d(T xn−1 , T xn ) < δ với mọi n > M.

(1.6)

Cố định số tự nhiên M , để chứng minh {yn } với n > M là dãy Cauchy,
ta chỉ cần chứng tỏ
d(yn , yn+p ) = d(T xn , T xn+p )

Thật vậy, vì δ

ε với p = 1, 2, · · · .

(1.7)

ε, kết hợp với (1.6) và (1.2) nên bất đẳng thức (1.7) đúng

cho trường hợp p = 1. Bây giờ, giả sử bất đẳng thức (1.7) đúng với số tự
nhiên p ∈ N. Từ (1.6) và giả thiết quy nạp ta có
d(T xn−1 , T xn+p ) = d(yn−1 , yn+p )

d(yn−1 , yn ) + d(yn , yn+p ) < δ + ε.

Do đó, từ (1.2) ta suy ra
Footer Page 19 ofd(T
126.Sx

n−1 , T Sxn+p )

= d(T xn , T xn+p+1 ) = d(yn , yn+p+1 ) < ε.

(1.8)


Header Page 20 of 126.
15

Điều này chứng tỏ bất đẳng thức (1.7) đúng với mọi p ∈ N. Do đó, {yn }
là dãy Cauchy. Hơn nữa, vì X là không gian đầy đủ nên tồn tại w ∈ X
sao cho
lim yn = lim T xn = lim T S n x0 = w.

n→∞

n→∞

n→∞

(1.9)

Vì T là hội tụ dãy nên {xn } = {S n x0 } hội tụ tới z ∈ X . Lại do T liên
tục nên ta có T z = w. Mặt khác, nhờ điều kiện (1.2) kết hợp với giả thiết
T liên tục nên ta suy ra T S liên tục. Do đó, ta có

w = lim yn+1 = lim T Sxn = T Sz.
n→∞

n→∞

Điều này kéo theo T Sz = T z . Hơn nữa, vì T là đơn ánh nên ta có Sz = z .
Cuối cùng, ta sẽ chứng minh z là điểm bất động duy nhất của S . Giả
sử ngược lại, tồn tại w ∈ X sao cho w = z và Sw = w. Khi đó, ta có
d(z, w) > 0. Vì T đơn ánh nên d(T z, T w) > 0. Với ε = d(T z, T w) > 0

này, theo giả thiết tồn tại δ = δ(ε) sao cho ε

d(T z, T w) < ε + δ. Từ

(1.2) ta suy ra d(T Sz, T Sw) = d(T z, T w) < ε. Ta gặp mâu thuẫn. Vậy,
định lý được chứng minh.
Nếu ta cho T x = x với mọi x ∈ X trong Định lý 1.1.5 thì ta nhận được
định lý sau.
1.1.6 Định lý. ([42]) Cho (X, d) là không gian mêtric đầy đủ và ánh xạ
S : X → X . Nếu với mỗi ε > 0 tồn tại δ > 0 sao cho ε

d(x, y) < ε+δ

kéo theo d(Sx, Sy) < ε với mọi x, y ∈ X thì S có điểm bất động duy
nhất.
Tiếp theo, chúng tôi sẽ trình bày một ví dụ để chứng tỏ Định lý 1.1.5
là mở rộng thực sự của Định lý 1.1.6.
1.1.7 Ví dụ. Lấy X = [1, 8] với mêtric thông thường trên R: d(x, y) =
|x − y| với mọi x, y ∈ X . Khi đó, (X, d) là không gian mêtric đầy đủ.
8

Xét
ánh xạ Sx = √ với x ∈ X . Dễ thấy, x = 4 là điểm bất động duy
Footer Page 20
of 126.
x


Header Page 21 of 126.
16

nhất của S . Đầu tiên, ta chứng minh S không thỏa mãn điều kiện co
Meir-Keeler. Thật vậy, theo điều kiện co Meir-Keeler với mỗi ε > 0 tồn
tại δ > 0 để với mọi x, y ∈ X sao cho
ε

ta có

d(x, y) = |x − y| < ε + δ

8
8
|x − y|
d(Sx, Sy) = √ − √ = 8 √ √
√ <ε
y
x
xy( x + y)

Tuy nhiên, tồn tại ε0 = 3 để với mọi δ > 0 ta có d(Sx, Sy) 8 nếu
√

√ √
xy( x + y) 8 (chẳng hạn x = 1, y = 4).
Do đó, điều kiện co Meir-Keeler không thỏa mãn với mọi δ > 0.
Bây giờ, ta sẽ chứng minh S thỏa mãn các điều kiện trong Định lý
1.1.5. Thật vậy, xét ánh xạ T : [1, +∞) → [1, +∞) xác định bởi
T x = ln x + 1, ∀x ∈ X.

Rõ ràng, T đơn ánh, liên tục và hội tụ dãy. Với mỗi ε > 0, nếu ta chọn
ε
δ = thì với mọi x, y ∈ X mà
3
4
ε d(T x, T y) = | ln x − ln y| < ε + δ = ε
3
ta có
8
8
1
2
d(T Sx, T Sy) = ln √ − ln √ = | ln x − ln y| < ε < ε.
y
2
3
x

Điều này chứng tỏ S thỏa mãn các điều kiện trong Định lý 1.1.5.
Tiếp theo, chúng tôi trình bày một mở rộng khác của Định lý 1.1.6.
1.1.8 Định lý. Cho (X, d) là không gian mêtric đầy đủ và F : X → X
là ánh xạ liên tục. Giả sử ánh xạ T : X → X là đơn ánh, liên tục, hội
tụ dãy và với mỗi ε > 0 tồn tại δ > 0 sao cho với mọi x, y ∈ X ta có

Footer Page 21 of 126.ε

MT (x, y) < ε + δ kéo theo d(T F x, T F y) < ε,

(1.10)


Header Page 22 of 126.
17

trong đó
MT (x, y) = max d(T x, T y), d(T x, T F x), d(T y, T F y),
1
[d(T x, T F y) + d(T y, T F x)] .
2

Khi đó, F có điểm bất động duy nhất x ∈ X .
Chứng minh. Lấy x0 ∈ X tùy ý, ta xây dựng hai dãy lặp {xn } và {yn }
như sau:
xn+1 = F xn và yn = T xn với n = 0, 1, 2, ...

(1.11)

Để ý rằng, nếu yn0 +1 = yn0 với số tự nhiên nào đó n0 ∈ N thì T xn0 +1 =
T xn0 . Vì T là đơn ánh nên xn0 +1 = xn0 , điều này kéo theo F xn0 = xn0 .

Do đó, xn0 là điểm bất động của F . Vì vậy, ta có thể giả sử
yn+1 = yn với mọi n ∈ N.

(1.12)

Do đó, δn := d(yn+1 , yn ) > 0 với mọi n ∈ N. Bây giờ, ta sẽ chứng minh
rằng {yn } là dãy Cauchy. Thật vậy, nếu tồn tại số tự nhiên n ∈ N sao cho
δn−1 < δn thì ta có
MT (xn−1 , xn ) = max{d(T xn−1 , T xn ), d(T xn−1 , T F xn−1 ),
1
d(T xn , T F xn ), [d(T xn−1 , T F xn ) + d(T xn , T F xn−1 )]}
2
1
= max{d(yn , yn+1 ), d(yn−1 , yn ), d(yn , yn+1 ), d(yn−1 , yn+1 )}
2
1
max{d(yn , yn+1 ), d(yn−1 , yn ), d(yn−1 , yn ) + d(yn , yn+1 )}
2
< d(yn , yn+1 ) + d(yn−1 , yn ) = δn + δn−1
(1.13)

và MT (xn−1 , xn )

d(yn−1 , yn ) = δn−1 . Từ (1.10), ta có d(T F xn−1 , T F xn ) <

δn−1 , suy ra δn < δn−1 . Ta gặp mâu thuẫn. Do đó, δn

δn−1 với mọi số

tự nhiên n ∈ N. Điều này chứng tỏ {δn } là dãy giảm các số thực dương.
Footer Page 22
126.tồn
Doofđó,

tại số thực r

0 sao cho lim δn = inf δn = r. Ta chứng minh
n→∞

n


Header Page 23 of 126.
18

r = 0. Thật vậy, nếu r > 0 thì tồn tại δ > 0 sao cho
MT (x, y) < r + δ kéo theo d(T F x, T F y) < r.

r

Vì lim δn = inf δn = r nên tồn tại số tự nhiên N sao cho
n→∞

n

r

với mọi n

N . Vì d(yn , yn+1 )

δn < r + δ
d(yn−1 , yn ) và bất đẳng thức (1.13) nên

ta có
MT (xn−1 , xn ) = d(yn−1 , yn ) = δn−1 .

Do đó, nếu n

N + 1 thì
r

MT (xn−1 , n) < r + δ,

điều này kéo theo d(T F xn−1 , T F xn ) = d(yn , yn+1 ) < r. Ta gặp mâu
thuẫn. Do vậy, lim δn = inf δn = 0.
n→∞

n

Tiếp theo, ta chứng minh {yn } là dãy Cauchy. Giả sử ngược lại, {yn }
không là dãy Cauchy, khi đó tồn tại ε > 0 và dãy con {yn(k) } của {yn }
sao cho d(yn(k) , yn(k+1) ) > 2ε. Với ε này, theo giả thiết tồn tại δ > 0 sao
cho
ε

MT (x, y) < ε + δ kéo theo d(T F x, T F y) < ε.

Đặt δ0 = min{ε, δ}. Vì lim δn = inf δn = 0 nên tồn tại N ∈ N sao cho
n→∞
n
δ0
δ0
với m N . Với n(k) N , nếu d(yn(k) , yn(k+1)−1 ) ε + thì

δm <
4
2
d(yn(k) , yn(k+1) )

d(yn(k) , yn(k+1)−1 ) + d(yn(k+1)−1 , yn(k+1) )
δ0 δ0
ε + + < 2ε.
2
4

Ta gặp mâu thuẫn với d(yn(k) , yn(k+1) ) > 2ε. Do đó, tồn tại số tự nhiên l
mà n(k)
Footer Page 23 of 126.

l

n(k + 1) sao cho
d(yn(k) , yl ) > ε +

δ0
.
2


Header Page 24 of 126.
19

Gọi l là số tự nhiên bé nhất sao cho l
d(yn(k) , yl )

n(k) thỏa mãn
ε+

δ0
.
2

Khi đó, ta nhận được
d(yn(k) , yl−1 ) < ε +

δ0
.
2

Mặt khác
d(yn(k) , yl )

d(yn(k) , yl−1 ) + d(yl−1 , yl ) < ε +

Do đó, tồn tại số tự nhiên l mà n(k)
ε+

Bởi vì

δ0
2

l

δ0 δ0
3δ0
+ =ε+
.
2
4
4

n(k + 1) thỏa mãn

d(yn(k) , yl ) < ε +

3δ0
.
4

3δ0
< ε + δ0
4
δ0
< ε + δ0
d(yn(k) , yn(k)+1 ) = δn(k) <
4
δ0
d(yl , yl+1 ) δl <
< ε + δ0
4
d(yn(k) , yl ) < ε +

và

1
[d(yn(k) , yl+1 ) + d(yn(k)+1 , yl )]
2
1
[d(yn(k) , yl ) + d(yl , yl+1 ) + d(yn(k)+1 , yn(k) ) + d(yn(k) , yl )]
2
1
= d(yn(k) , yl ) + [+d(yl , yl+1 ) + d(yn(k)+1 , yn(k) )]
2
3δ0 δ0
<ε+
+ = ε + δ0
4
4

nên ta có
MT (xn(k) , xl ) < ε + δ0

ε + δ.

Điều này kéo theo
Footer Page 24 of 126.

d(yn(k)+1 , yl+1 ) = d(T F xn(k) , T F xl ) < ε.


Header Page 25 of 126.
20

Mặt khác

d(yn(k)+1 , yl+1 )

d(yn(k) , yl ) − d(yn(k) , yn(k)+1 ) − d(yl , yl+1 )
δ0 δ0 δ0
> ε + − − = ε.
2
4
4
Ta gặp mâu thuẫn. Vậy, {yn } là dãy Cauchy. Vì (X, d) là không gian

mêtric đầy đủ nên tồn tại y ∈ X sao cho
lim yn = lim T xn = y.

n→∞

n→∞

Hơn nữa vì T hội tụ dãy nên ta suy ra tồn tại x ∈ X sao cho {xn } hội
tụ tới x. Từ tính liên tục của F ta có x = lim xn+1 = lim F xn = F x.
n→∞

n→∞

Cuối cùng, ta sẽ chứng minh tính duy nhất của điểm bất động. Nếu tồn
tại y ∈ X mà y = F y và y = x thì
MT (x, y) = d(T x, T y) > 0.

Từ điều kiện (1.10) ta có
ε

d(T x, T y) < ε + δ kéo theo d(T x, T y) < ε.

Ta gặp mâu thuẫn. Vậy, định lý được chứng minh.

1.2. Điểm bất động của ánh xạ T -co kiểu tựa co Ciric

Trong mục này, chúng tôi trình bày khái niệm ánh xạ tựa co Ciric, đồng
thời phát biểu và chứng minh một số mở rộng của ánh xạ T -co cho ánh
xạ tựa co Ciric ([27]).
1.2.1 Định nghĩa. ([27]) Cho (X, d) là không gian mêtric, ánh xạ S :
X → X được gọi là tựa co nếu tồn tại 0
d(Sx, Sy)

q < 1 sao cho

q max d(x, y), d(x, Sx), d(y, Sy), d(x, Sy), d(y, Sx) ,

(1.14)
Footer Page 25
126. x, y ∈ X .
vớiofmọi