Định lý điểm bất động cho lớp ánh xạ kiểu SUZUKI trên không gian kiểu Metric

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC ĐỒNG THÁP
BÁO CÁO TỔNG KẾT
ĐỀ TÀI KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ CẤP CƠ SỞ
ĐỊNH LÍ ĐIỂM BẤT ĐỘNG CHO HAI ÁNH XẠ
KIỂU SUZUKI TRÊN KHÔNG GIAN
KIỂU-MÊTRIC
Mã số: CS2013.01.15
Chủ nhiệm đề tài: ThS. Nguyễn Thị Thanh Lý
Đồng Tháp, 5/2014
i
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC ĐỒNG THÁP
BÁO CÁO TỔNG KẾT
ĐỀ TÀI KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ CẤP CƠ SỞ
ĐỊNH LÍ ĐIỂM BẤT ĐỘNG CHO HAI ÁNH XẠ
KIỂU SUZUKI TRÊN KHÔNG GIAN
KIỂU-MÊTRIC
Mã số: CS2013.01.15
Xác nhận của Chủ tịch HĐ nghiệm thu Chủ nhiệm đề tài
Xác nhận của Chủ tịch HĐ nghiệm thu
Nguyễn Thị Thanh Lý
Đồng Tháp, 5/2014
MỤC LỤC
Thông tin kết quả nghiên cứu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iv
Summary . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . vi
Mở đầu 1
1 Tổng quan tình hình nghiên cứu . . . . . . . . . . . . . . . 1
2 Tính cấp thiết của đề tài . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
3 Mục tiêu nghiên cứu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
4 Cách tiếp cận và phương pháp nghiên cứu . . . . . . . . . 3

5 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu . . . . . . . . . . . . . . 3
6 Nội dung nghiên cứu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1 Không gian kiểu-mêtric 4
1.1 Định nghĩa và tính chất của không gian kiểu-mêtric . . . 4
1.2 Định lí điểm bất động kiểu Suzuki cho một ánh xạ trên
không gian kiểu-mêtric . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2 Định lí điểm bất động kiểu Suzuki cho hai ánh xạ trên
không gian kiểu-mêtric và áp dụng 9
2.1 Định lí điểm bất động cho hai ánh xạ kiểu Suzuki trên
không gian kiểu-mêtric . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
ii
iii
2.2 Ví dụ minh họa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
Kết luận và kiến nghị 29
1 Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2 Kiến nghị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
Phụ lục 33
iv
bộ giáo dục & đào tạo CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM
TRƯỜNG ĐẠI HỌC ĐỒNG THÁP Độc lập - Tự do - Hạnh phúc
TÓM TẮT KẾT QUẢ ĐỀ TÀI KH & CN CẤP CƠ SỞ
Tên đề tài: Định lí điểm bất động cho hai ánh xạ kiểu Suzuki trên
không gian kiểu-mêtric
Mã số: CS2013.01.15
Chủ nhiệm đề tài: Nguyễn Thị Thanh Lý
Tel.: 0939654465 E-mail:
Cơ quan chủ trì đề tài: Trường Đại học Đồng Tháp
Cơ quan và cá nhân phối hợp thực hiện: Không
Thời gian thực hiện: 4/2013 đến 5/2014
1. Mục tiêu:

- Thiết lập một số định lí điểm bất động kiểu Suzuki cho hai ánh xạ
trên không gian kiểu-mêtric.
- Xây dựng một số ví dụ minh họa cho kết quả đạt được.
2. Nội dung chính:
- Không gian kiểu-mêtric.
- Một số định lí điểm bất động trên không gian kiểu-mêtric và ứng dụng.
3. Kết quả chính đạt được (khoa học, ứng dụng, đào tạo,
kinh tế - xã hội, ):
- 2 định lí điểm bất động cho hai ánh xạ kiểu Suzuki trên không gian
kiểu-mêtric được thiết lập và chứng minh.
- 3 hệ quả được rút ra từ định lí và 2 ví dụ được xây dựng để minh
họa cho kết quả đạt được.
v
- Các kết quả chính này cũng được công bố trên tạp chí Journal of
Nonlinear Analysis and Optimization. Kết quả đề tài là một tài liệu
tham khảo bổ ích cho giảng viên, sinh viên Khoa Sư phạm Toán - Tin,
Trường Đại học Đồng Tháp trong giảng dạy, nghiên cứu và học tập giải
tích hiện đại.
Chủ nhiệm đề tài
Nguyễn Thị Thanh Lý
vi
ministry of education and training SOCIALIST REPUBLIC OF VIET NAM
DONG THAP UNIVERSITY Independence - Freedom - Happiness
SUMMARY
Project Title: Suzuki type fixed point theorems for two maps in
metric-type spaces
Code number: CS2013.01.15
Coordinator: Nguyen Thi Thanh Ly
Tel.: 0939654465 E-mail:
Implementing Institution: Dong Thap University.

Cooperating Institution(s): No
Duration: from 2013, April to 2014, May
1. Objectives:
- To state some Suzuki type fixed point theorems on metric-type spaces.
- To give some examples to demonstrate the validity of the results.
2. Main contents:
- Metric-type spaces.
- Some fixed point theorems on metric-type spaces and applications.
3. Results obtained:
- Two Suzuki type fixed point theorems for two mappings on metric-
type spaces.
- Three corollaries are obtained from these theorems.
- Two examples illustrate the results.
- An article published on Journal of Nonlinear Analysis and Optimization.
vii
- A reference for lecturers and students of Faculty of Mathematics
and Information Technology Teacher Education, Dong Thap University
in studying, lecturing and researching advanced analysis.
Coordinator
Nguyen Thi Thanh Ly
1
MỞ ĐẦU
1 Tổng quan tình hình nghiên cứu
Lí thuyết điểm bất động là một trong những vấn đề quan trọng trong
toán học. Nó có nhiều ứng dụng trong giải tích nhất là trong việc khảo
sát sự tồn tại nghiệm của các bài toán liên quan đến các phương trình
phi tuyến. Vấn đề này đã và đang được nhiều tác giả quan tâm nghiên
cứu. Năm 1922, Nguyên lí ánh xạ co Banach được giới thiệu trong [3]
được xem là một trong những kết quả cơ bản nhất trong lí thuyết điểm
bất động. Từ đó, việc mở rộng Nguyên lí co Banach cho lớp các ánh

xạ khác nhau trên các không gian khác nhau được nhiều tác giả quan
tâm nghiên cứu. Nhiều dạng ánh xạ co và định lí điểm bất động được
nghiên cứu, chứng minh và đạt được một số kết quả nhất định không
chỉ trên không gian mêtric [4], [6], [8], [18], [23], [24] mà còn trên không
gian mêtric suy rộng [7], [20], [21].
Gần đây, trong [17] Khamsi và Hussain đã nêu lại một lớp không gian
đối xứng đã được giới thiệu trong [2] và là tổng quát của không gian
mêtric với tên gọi mới là không gian kiểu-mêtric. Qua đó, các tác giả
cũng đề cập đến một số vấn đề về định lí điểm bất động trên lớp không
gian này. Vấn đề nảy sinh một cách tự nhiên là mở rộng các dạng ánh
xạ co và định lí điểm bất động trên không gian mêtric cho không gian
kiểu-mêtric. Hiện nay, hướng nghiên cứu này đang được nhiều tác giả
quan tâm nghiên cứu và đạt được một số kết quả [15], [17], [22]. Hiện
2
tại, nhóm nghiên cứu Giải tích toán học và áp dụng của Khoa Sư Phạm
Toán Tin - Trường Đại học Đồng Tháp đang thảo luận một số vấn đề về
không gian mêtric và những suy rộng của nó và bước đầu đã thu được
một số kết quả [9], [10], [12].
Trong [13], Husan, Doric, Kadelburg và Radenovic mở rộng các định
lí điểm bất động kiểu Suzuki [23] và [24] trên không gian kiểu-mêtric.
Đề tài này chúng tôi tiếp tục mở rộng các định lí chính trong [13] cho
hai ánh xạ trên không gian kiểu-mêtric.
2 Tính cấp thiết của đề tài
Từ tình hình tổng quan đề tài và kết quả các công trình nghiên cứu
liên quan đến đề tài thể hiện đề tài mà chủ nhiệm đang nghiên cứu được
sự quan tâm nhất định của các tác giả cùng lĩnh vực. Hơn nữa, vấn đề
về mở rộng các định lí chính trong [13] cho hai ánh xạ trên không gian
kiểu-mêtric chưa được thực hiện trước đó. Do đó, kết quả đề tài sẽ góp
phần làm phong phú thêm các định lí điểm bất động trên không gian
mêtric suy rộng. Bên cạnh đó, đề cập cũng nhật các tài liệu có liên quan

nên là một tài liệu tham khảo tốt cho các tác giả quan tâm nghiên cứu.
3 Mục tiêu nghiên cứu
Thiết lập và chứng minh định lí điểm bất động cho cặp ánh xạ trên
không gian kiểu-mêtric.
Xây dựng các ví dụ minh họa để chứng minh các kết chính của đề tài
là mở rộng của một số kết quả trước đó.
3
4 Cách tiếp cận và phương pháp nghiên cứu
Cách tiếp cận: Trên cơ sở nghiên cứu định lí điểm bất động trên
không gian mêtric và kiểu-mêtric trong một số tài liệu tham khảo,
chúng tôi thiết lập định lí điểm bất động cho cặp ánh xạ trên không
gian kiểu-mêtric.
Phương pháp: Từ việc nghiên cứu các tài liệu tham khảo, sử dụng
phương pháp tương tự hóa, khái quát hóa để thiết lập các định lí điểm
bất động trên không gian kiểu-mêtric. Các kết quả này được thảo luận
chi tiết với một số tác giả cùng lĩnh vực nghiên cứu.
5 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
Đề tài nghiên cứu lớp ánh xạ co kiểu Suzuki trên không gian kiểu-
mêtric thuộc lĩnh vực lí thuyết điểm bất động trên không gian mêtric
suy rộng.
6 Nội dung nghiên cứu
Nội dung đề tài được trình bày trong hai chương
Chương 1 trình bày một số kiến thức chuẩn bị cần sử dụng cho
chương sau gồm một số khái niệm và tính chất của không gian kiểu-mêtric
và hai định lí điểm bất động kiểu Suzuki trên không gian kiểu-mêtric.
Chương 2 trình bày kết quả chính của đề tài gồm hai định lí điểm
bất động kiểu Suzuki cho hai ánh xạ trên không gian kiểu-mêtric và ví
dụ minh họa cho kết quả đạt được.
4
CHƯƠNG 1

KHÔNG GIAN KIỂU-MÊTRIC
1.1 Định nghĩa và tính chất của không gian kiểu-mêtric
Trong mục này, chúng tôi trình bày định nghĩa và một số tính chất
của không gian kiểu-mêtric cần sử dụng cho chương sau.
1.1.1 Định nghĩa ([17], Definition 6). Cho X là tập khác rỗng, số thực
K ≥ 1 và hàm D : X × X −→ [0, ∞) thỏa mãn các điều kiện sau
1. D(x, y) = 0 nếu và chỉ nếu x = y.
2. D(x, y) = D(y, x) với mọi x, y ∈ X.
3. D(x, z) ≤ K

D(x, y) + D(y, z)

với mọi x, y, z ∈ X.
Khi đó D được gọi là kiểu-mêtric trên X và (X, D, K) được gọi là một
không gian kiểu-mêtric .
1.1.2 Nhận xét. 1. Mỗi không gian mêtric (X, d) là một không gian
kiểu-mêtric (X, d, 1) và ngược lại.
2. Không gian kiểu-mêtric cũng được nghiên cứu với tên gọi là không
gian b-mêtric trong [2]. Hơn nữa, trong [17], Khamsi đã giới thiệu
không gian kiểu-mêtric với điều kiện (3) của Định nghĩa 1.1.1 được
5
thay bởi điều kiện sau
D(x, z) ≤ K

D(x, y
1
) + . . . + D(y
n
, z)


với mọi x, y
1
, . . . , y
n
, z ∈ X.
Trong đề tài này chúng tôi xét không gian kiểu-mêtric theo Định nghĩa 1.1.1.
1.1.3 Mệnh đề ([25], Mệnh đề 2.2.4). Cho (X, D
1
, K
1
) và (X, D
2
, K
2
)
là hai không gian kiểu-mêtric. Khi đó, các công thức sau là kiểu-mêtric
trên X × X, ở đây x = (x
1
, x
2
), y = (y
1
, y
2
) ∈ X × Y.
1. D(x, y) = D
1
(x
1
, y

1
) + D
2
(x
2
, y
2
) với K = max{K
1
, K
2
}.
2. D(x, y) = max{D
1
(x
1
, y
1
), D
2
(x
2
, y
2
)} với K = max{K
1
, K
2
}.
3. D(x, y) =


D
2
1
(x
1
, y
1
) + D
2
2
(x
2
, y
2
) với K = max{K
1
, K
2
}.
1.1.4 Định nghĩa ([25], Mệnh đề 2.2.4). Không gian kiểu-mêtric (X × X, D, K)
trong Mệnh đề 1.1.3 được gọi là không gian kiểu-mêtric tích với không gian
kiểu-mêtric đã cho.
Tiếp theo, chúng tôi trình bày một số khái niệm và tính chất về sự
hội tụ trong không gian kiểu-mêtric.
1.1.5 Định nghĩa ([17], Definition 7). Cho (X, D, K) là một không gian
kiểu-mêtric. Khi đó
1. Dãy {x
n
} được gọi là hội tụ đến x ∈ X, kí hiệu x

n
−→ x hay
lim
n→∞
x
n
= x nếu và chỉ nếu lim
n→∞
D(x
n
, x) = 0. Khi đó x được gọi là
điểm giới hạn của dãy {x
n
}.
2. Dãy {x
n
} được gọi là Cauchy nếu và chỉ nếu lim
n,m→∞
D(x
n
, x
m
) = 0.
3. Không gian (X, D, K) được gọi là đầy đủ nếu và chỉ nếu bất kì dãy
Cauchy trong X là một dãy hội tụ.
6
1.1.6 Nhận xét. 1. Tôpô trên không gian kiểu-mêtric (X, D, K) được
hiểu là tôpô sinh bởi sự hội tụ của nó, tức là, tập G mở trong không
gian kiểu-mêtric (X, D, K) nếu và chỉ nếu với mỗi x ∈ G và mọi dãy
{x

n
} trong X mà x
n
−→ x thì tồn tại n
0
∈ N sao cho x
n
∈ G với
mọi n ≥ n
0
.
2. Kiểu mêtric D : X × X −→ [0, ∞) trên không gian (X, D, K) là liên
tục tại (x, y) khi và chỉ khi lim
n,m→∞
D(x
n
, y
n
) = D(x, y) với mọi dãy
{x
n
}, {y
n
} trong X mà lim
n→∞
x
n
= x và lim
n→∞
y

n
= y.
3. Khái niệm compắc trong không gian kiểu-mêtric được hiểu như khái
niệm trong không gian tôpô.
1.1.7 Mệnh đề. Cho (X, D, K) là không gian kiểu-mêtric. Nếu dãy {x
n
}
trong X hội tụ thì điểm giới hạn của nó là duy nhất.
Chứng minh. Giả sử x, y là hai điểm giới hạn của dãy {x
n
} trong X.
Khi đó
D(x, y) ≤ K

D(x, x
n
) + D(x
n
, y)

Cho qua giới hạn ta được D(x, y) = 0 hay x = y. Vậy giới hạn của dãy
{x
n
} là duy nhất.
1.1.8 Định nghĩa ([19], Definition 1.2). Cho không gian mêtric (X, D, K)
và ánh xạ T : X −→ X. Khi đó T được gọi là thương dãy nếu {y
n
} hội
tụ với mỗi dãy {T y
n

} hội tụ.
1.1.9 Bổ đề ([15], Lemma 3.1). Giả sử {y
n
} là một dãy trong không
gian kiểu-mêtric (X, D, K) thỏa mãn điều kiện sau
D(y
n
, y
n+1
) ≤ λD(y
n−1
, y
n
) (1.1)
với λ ∈ [0,
1
K
) và mọi n ∈ N. Khi đó {y
n
} là một dãy Cauchy trong
không gian (X, D, K).
7
1.2 Định lí điểm bất động kiểu Suzuki cho một ánh
xạ trên không gian kiểu-mêtric
Trong mục này, chúng tôi trình bày một số kết quả về định lí điểm
bất động trong [13]. Các kết quả này là tổng quát của một số kết quả
trong [23] và [24].
1.2.1 Định nghĩa ([14], page 2). Một ánh xạ T : X → X được gọi là có
tính chất (P ) nếu F(T ) = F(T
n

) với mọi n ∈ N, với
F(T ) = {x ∈ X : T x = x}.
1.2.2 Định lí ([13], Theorem 3). Giả sử (X, D, K) là một không gian
kiểu-mêtric đầy đủ, T : X −→ X là ánh xạ và θ = θ
K
: [0, 1) −→

1
K + 1
, 1

được định nghĩa như sau
θ(r) = θ
K
(r) =




















1 nếu 0 ≤ r ≤
√
5 − 1
2
1 − r
r
2
nếu
√
5 − 1
2
< r ≤ b
K
1
K + r
nếu b
K
< r < 1
(1.2)
trong đó b
K
=
1 − K +
√
1 + 6K + K
2

4
là nghiệm dương của phương trình
1 − r
r
2
=
1
K + r
, thỏa mãn các điều kiện sau
1. D liên tục.
2. Tồn tại r ∈ [0, 1) sao cho với mỗi x, y ∈ X thỏa mãn
θ(r)D(x, T x) ≤ D(x, y) suy ra D(T x, T y) ≤
r
K
M(x, y) (1.3)
8
trong đó
M(x, y) = max

D(x, y), D(x, T x), D(y, Ty),
1
2K

D(x, T y)+D(y, T x)


.
Khi đó
1. T có duy nhất một điểm bất động z ∈ X.
2. Với mỗi x ∈ X, dãy {T

n
x} hội tụ đến z.
3. T có tính chất (P ).
1.2.3 Định lí ([13], Theorem 4). Giả sử (X, D, K) là không gian kiểu-mêtric
và T : X −→ X là một ánh xạ thỏa mãn các điều kiện sau
1. X là tập compắc.
2. D là hàm liên tục.
3. Với mọi x, y ∈ X và x = y,
1
1 + K
D(x, T x) < D(x, y) suy ra D(T x, T y) <
1
K
D(x, y). (1.4)
Khi đó T có duy nhất điểm bất động trong X.
9
CHƯƠNG 2
ĐỊNH LÍ ĐIỂM BẤT ĐỘNG KIỂU SUZUKI CHO
HAI ÁNH XẠ TRÊN KHÔNG GIAN
KIỂU-MÊTRIC VÀ ÁP DỤNG
Trong chương này chúng tôi trình bày các kết quả chính của đề tài
gồm hai định lí điểm bất động kiểu Suzuki cho hai ánh xạ trên không
gian kiểu-mêtric, một số hệ quả và ví dụ cho kết quả đạt được. Các kết
quả chính này được công bố trong [11].
2.1 Định lí điểm bất động cho hai ánh xạ kiểu
Suzuki trên không gian kiểu-mêtric
Trước hết chúng tôi thiết lập bổ đề về điều kiện đủ cho một ánh xạ
trên không gian kiểu-mêtric có tính chất (P ). Nếu K = 1 thì ta được [14,
Theorem 1.1].
2.1.1 Bổ đề. Giả sử (X, D, K) là không gian kiểu-mêtric và T : X −→ X

là ánh xạ thỏa mãn điều kiện
D(T x, T
2
x) ≤ λD(x, T x) (2.1)
với 0 ≤ λ < 1 và mọi x ∈ X. Khi đó T có tính chất (P ).
10
Chứng minh. Nếu u ∈ F(T
n
), tức là T
n
u = u, thì sử dụng (2.1) ta có
D(u, T u) = D(T T
n−1
u, T
2
T
n−1
u) ≤ λD(T
n−1
u, T T
n−1
u) ≤ . . . ≤ λ
n
D(u, T u).
Vì 0 ≤ λ
n
< 1 nên D(u, Tu) = 0, tức là u ∈ F(T ). Nếu u ∈ F(T ), tức là
T u = u, thì
D(u, T
n

u) = D(u, T
n−1
u) = . . . = D(u, T u) = 0.
Khi đó T
n
u = u, hay u ∈ F(T
n
). Vậy bổ đề được chứng minh.
Sau đây là định lí điểm bất động kiểu Suzuki cho hai ánh xạ trên
không gian kiểu-mêtric. Những kết quả này là sự tổng quát của một số
kết quả trong [13], [23] và [24].
2.1.2 Định lí. Giả sử (X, D, K) là không gian kiểu-mêtric đầy đủ; T, F :
X −→ X là hai ánh xạ và θ = θ
K
: [0, 1) −→

1
K + 1
, 1

được định nghĩa
bởi (1.2) và thỏa mãn các điều kiện sau
1. D liên tục.
2. Tồn tại r ∈ [0, 1) sao cho với mỗi x, y ∈ X
θ(r)D(F x, F T x) ≤ D(F x, F y) suy ra
D(F Tx, F T y) ≤
r
K
M(x, y) (2.2)
trong đó

M(x, y) = max

D(F x, F y), D(F x, F Tx), D(F y, F T y),
1
2K

D(F x, F T y) + D(F y, F T x)


;
3. F là đơn ánh, liên tục và thương dãy.
11
Khi đó
1. T có duy nhất điểm bất động a ∈ X.
2. Với mỗi x ∈ X, dãy {F T
n
x} hội tụ đến F a.
3. Nếu T F = F T , thì T có tính chất (P ) và F , T có duy nhất một điểm
bất động chung.
Chứng minh. (1). Với mỗi x ∈ X, vì θ(r) ≤ 1 nên
θ(r)D(F x, F T x) ≤ D(F x, F T x).
Sử dụng (2.2) ta được
D(F Tx, F T
2
x)
≤
r
K
max


D(F x, F T x), D(F x, F T x), D(F Tx, F T
2
x),
1
2K

D(F x, F T
2
x) + D(F T x, F T x)


≤
r
K
max

D(F x, F T x), D(F Tx, F T
2
x),
1
2K
K

D(F x, F T x) + D(F T x, FT
2
x)


=
r

K
max

D(F x, F T x), D(F Tx, F T
2
x)

. (2.3)
Ta xét hai trường hợp sau
Trường hợp 1. max

D(F x, F T x), D(F Tx, F T
2
x)

= D(F T x, FT
2
x).
Sử dụng (2.3) ta được D(F T x, FT
2
x) ≤
r
K
D(F Tx, F T
2
x). Vì
r
K
< 1 nên
D(F Tx, F T

2
x) = 0 (2.4)
tức là F T x = F T
2
x. Vì F đơn ánh nên T x = T
2
x. Vì vậy, a = T x là điểm
bất động của T .
12
Trường hợp 2. max

D(F x, F T x), D(F Tx, F T
2
x)

= D(F x, F T x).
Sử dụng (2.3) ta được
D(F Tx, F T
2
x) ≤
r
K
D(F x, F T x). (2.5)
Đặt x
n+1
= T x
n
và y
n
= F T x

n
với mọi n ∈ N trong đó x
0
= x. Ta cũng
có x
n
= T
n
x và y
n
= F x
n+1
. Sử dụng (2.5) ta được
D(y
n
, y
n+1
) = D(F T x
n
, F T
2
x
n
)
≤
r
K
D(F x
n
, F T x

n
)
=
r
K
D(y
n−1
, y
n
). (2.6)
Sử dụng Bổ đề 1.1.9 ta được {y
n
} là dãy Cauchy trong không gian kiểu-
mêtric đầy đủ X. Do đó y
n
hội tụ đến z với z ∈ X. Vì F hội tụ theo dãy
nên x
n
hội tụ đến a ∈ X và cũng từ tính liên tục của F nên F x
n
hội tụ
đến F a. Vì y
n−1
cũng hội tụ đến z nên
y
n−1
= F T x
n−1
= F x
n

−→ F a = z. (2.7)
Bây giờ ta chứng minh bất đẳng thức sau
D(F Tx, z) ≤
r
K
max

D(F x, z), D(F x, F T x)

(2.8)
với mỗi x = a. Thật vậy, vì F x
n
→ z, F T x
n
→ z và D liên tục nên ta được
D(F x
n
, F T x
n
) → 0 và D(F x
n
, F x) → D(z, F x) = 0. (2.9)
Khi đó tồn tại n
0
∈ N sao cho với mọi n ≥ n
0
,
θ(r)D(F x
n
, F T x

n
) < D(F x
n
, F x). (2.10)
13
Sử dụng (2.2) và (2.10) ta có
D(F Tx
n
, F T x) ≤
r
K
max

D(F x
n
, F x), D(F x
n
, F T x
n
), D(F x, F Tx),
1
2K

D(F x
n
, F T x) + D(F x, F T x
n
)



. (2.11)
Cho n → ∞ trong (2.11) và sử dụng (2.9) và tính liên tục của D ta được
D(z, FT x)
≤
r
K
max

D(z, Fx), D(F x, F T x),
1
2K

D(z, FT x) + D(F x, z)


≤
r
K
max

D(z, Fx), D(F x, F T x),
1
2K
K

D(z, Fx) + D(F x, F T x)

+
1
2K

D(F x, z)

≤
r
K
max

D(z, Fx), D(F x, F T x)

.
Vì vậy (2.8) được chứng minh.
Với mỗi n ≥ 1, đặt x = T
n−1
a. Ta có,
D(F T
n
a, F T
n+1
a) ≤
r
K
D(F T
n−1
a, F T
n
a)
với mỗi n ∈ N trong đó F T
0
a = z. Sử dụng qui nạp ta được
D(F T

n
a, F T
n+1
a) ≤
r
n
K
n
D(z, FT a). (2.12)
Sử dụng qui nạp ta tiếp tục chứng minh bất đẳng thức sau
D(F T
n
a, z) ≤ D(F T a, z) (2.13)
với mọi n ≥ 1. Với n = 1 bất đẳng thức được thỏa mãn. Giả sử biểu thức
đúng với n nào đó. Nếu F T
n
a = z thì T
n
a = a vì z = F a và F là đơn
14
ánh. Do đó F T
n+1
a = F T a và D(F T
n+1
a, z) = D(F T a, z). Nếu F T
n
a = z
thì sử dụng (2.8), (2.12) và giả thiết qui nạp, ta được
D(F T
n+1

a, z) ≤
r
K
max

D(F T
n
a, z), D(F T
n
a, F T
n+1
a)

≤
r
K
max

D(F Ta, z),
r
n
K
n
D(z, FT a)

≤
r
K
D(F Ta, z)
và do đó (2.13) được chứng minh.

Tiếp theo ta sẽ chứng minh a là điểm bất động của T . Giả sử ngược
lại, tức là T a = a, suy ra, F T a = F a hay,
F T a = z. (2.14)
Ta xét hai trường hợp nhỏ sau.
Trường hợp 2.1. 0 ≤ r < b
K
. Điều này kéo theo θ(r) ≤
1 − r
r
2
.
Ta sẽ chứng minh
D(F T
n
a, F T a) ≤
r
K
D(F Ta, z) (2.15)
với mọi n ≥ 1 bằng giả thiết qui nạp. Với n = 1, (2.15) đúng. Với
n = 2, (2.15) được suy ra từ (2.12). Giả sử rằng (2.15) đúng với n > 2
nào đó. Khi đó, ta có
D(z, FT a) ≤ K

D(z, FT
n
a)+D(F T
n
a, F T a)

≤ K


D(z, FT
n
a)+
r
K
D(F Ta, z)

.
Vì vậy
D(z, FT a) ≤
K
1 − r
D(z, FT
n
a). (2.16)
15
Vì θ(r) ≤
1 − r
r
2
và sử dụng (2.7), (2.12) và (2.16) ta được
θ(r)D(F T
n
a, F T
n+1
a) ≤
1 − r
r
2

D(F T
n
a, F T
n+1
a)
≤
1 − r
r
n
D(F T
n
a, F T
n+1
a)
≤
1 − r
K
n
D(z, FT a)
≤
1
K
n−1
D(z, FT
n
a)
≤ D(z, FT
n
a)
= D(F a, F T

n
a).
Mặt khác, từ giả thiết (2.2) ta suy ra
D(F Ta, F T
n+1
a) ≤
r
K
max

D(F a, F T
n
a), D(F a, F Ta), D(F T
n
a, F T
n+1
a),
1
2K

D(F a, F T
n+1
a) + D(F T
n
a, F T a)


.
Tiếp tục sử dụng (2.12), (2.13) và giả thiết qui nạp ta được
D(F Ta, F T

n+1
a) ≤
r
K
D(F Ta, z).
Vậy (2.15) được chứng minh. Sử dụng (2.14) ta được F T
n
a = z với mỗi
n ∈ N. Nếu F T
n
a = z với n ∈ N nào đó thì sử dụng (2.15) ta được
D(z, FT a) = 0. Điều này mâu thuẫn với (2.14). Do đó F T
n
a = z với mỗi
n ∈ N. Vì vậy, từ (2.8) và (2.12) ta suy ra
D(F T
n+1
a, z) ≤
r
K
max

D(F T
n
a, z), D(F T
n
a, F T
n+1
a)


(2.17)
≤
r
K
max

D(F T
n
a, z),
r
n
K
n
D(z, FT a)

.
16
Mặt khác, vì D(F Ta, z) ≤ K

D(F Ta, F T
n
a)+D(F T
n
a, z)

nên sử dụng (2.15)
ta được
D(F T
n
a, z) ≥

1
K
D(F Ta, z) −D(F Ta, F T
n
a) ≥
1 − r
K
D(F Ta, z).
Hơn nữa, luôn tồn tại n
1
∈ N sao cho 1 − r ≥ r
n
với mọi n ≥ n
1
và
0 ≤ r ≤ b
K
. Với n ≥ n
1
, ta có
D(F T
n
a, z) ≥
r
n
K
D(F Ta, z) ≥
r
n
K

n
D(F Ta, z).
Tiếp tục sử dụng (2.17) ta được
0 ≤ D(F T
n+1
a, z) ≤
r
K
D(F T
n
a, z) ≤ . . . ≤

r
K

n−n
1
+1
D(F T
n
1
a, z).
(2.18)
Cho n → ∞ trong (2.18) ta được F T
n
a → z và cho n → ∞ trong (2.15)
ta được D(F T a, z) ≤
r
K
D(F Ta, z). Điều này suy ra D(F T a, z) = 0. Vì

vậy, F T a = z. Điều này mâu thuẫn với (2.14).
Trường hợp 2.2. b
K
≤ r < 1. Điều này suy ra θ(r) =
1
K + r
. Ta sẽ
chứng minh tồn tại dãy con {y
n
j
} của {y
n
} thỏa mãn
θ(r)D(F x
n
j
+1
, F T x
n
j
+1
) = θ(r)D(y
n
j
, y
n
j
+1
) ≤ D(y
n

j
, z) (2.19)
với mỗi j ∈ N. Nếu
1
K + r
D(y
n−1
, y
n
) > D(y
n−1
, z) và
1
K + r
D(y
n
, y
n+1
) > D(y
n
, z)
với n ∈ N thì từ (2.6) ta có
D(y
n−1
, y
n
) ≤ K

D(y
n−1

, z) + D(z, y
n
)

<
K
K + r

D(y
n−1
, y
n
) + D(y
n
, y
n+1
)

≤
K
K + r

D(y
n−1
, y
n
) +
r
K
D(y

n−1
, y
n
)

= D(y
n−1
, y
n
).
17
Điều này vô lí. Do đó
θ(r)D(y
n−1
, y
n
) ≤ D(y
n−1
, z) hoặc θ(r)D(y
n
, y
n+1
) ≤ D(y
n
, z)
với n ∈ N . Đặc biệt
θ(r)D(y
2n−1
, y
2n

) ≤ D(y
2n−1
, z) hoặc θ(r)D(y
2n
, y
2n+1
) ≤ D(y
2n
, z)
với mọi n ∈ N. Nói cách khác, tồn tại dãy con {y
n
j
} của {y
n
} thỏa
mãn (2.19) với mỗi j ∈ N. Nhưng từ điều kiện (2.2) suy ra
D(F Tx
n
j
+1
, F T a)
≤
r
K
max

D(F x
n
j
+1

, F a), D(F x
n
j
+1
, F T x
n
j
+1
), D(F a, F Ta),
r
2K

D(F x
n
j
+1
, F T a) + D(F a, F T x
n
j
+1
)


. (2.20)
Cho qua giới hạn khi j → ∞ trong (2.20) ta được
D(z, FT a) ≤
r
K
D(F a, F T a) =
r

K
D(z, FT a).
Từ đó suy ra D(z, FT a) = 0, tức là z = F T a. Điều này mâu thuẫn
với (2.14).
Trong cả hai trường hợp nhỏ trên ta đều được T a = a, tức là a là
điểm bất động của T .
Cuối cùng ta chứng minh a là điểm bất động duy nhất của T. Thật
vậy, giả sử a và b là hai điểm bất động của T . Sử dụng (2.8) ta suy ra
D(F a, F b) = D(F T a, Fb) ≤
r
K
max

D(F a, F b), D(F a, F T a)

=
r
K
D(F a, F b).
Vì
r
K
< 1 nên D(F a, F b) = 0. Điều này suy ra F a = F b. Vì F là đơn ánh
nên ta được a = b.