Giải bài tập trang 80, 81 SGK Hình học 10: Phương trình đường thẳng

VnDoc - Tải tài liệu, văn bản pháp luật, biểu mẫu miễn phí

Giải bài tập trang 80, 81 SGK Hình học 10: Phương trình đường thẳng
I. Lý thuyết phương trình đường thẳng
1. Vectơ chỉ phương của đường thẳng
Định nghĩa: vectơ
của

được gọi là vectơ chỉ phương của đường thẳng ∆ nếu

≠

và giá

song song hoặc trùng với ∆

Nhận xét
- Nếu

là một vectơ chỉ phương của đường thẳng ∆ thì k

(k ≠ 0) cũng là một vectơ chỉ

phương của ∆, do đó một đường thẳng có vô số vectơ chỉ phương.
- Một đường thẳng hoàn toàn được xác định nếu biết môt điểm và một vectơ chỉ phương
của đường thẳng đó.
2. Phương trình tham số của đường thẳng
- Phương trình tham số của đường thẳng ∆ đi qua điểm M0(x0; y0) và nhận vectơ

= (u1;

u2) làm vectơ chỉ phương là:
∆:
Khi hệ số u1 ≠ 0 thì tỉ số k=

được gọi là hệ số góc của đường thẳng.

Từ đây, ta có phương trình đường thẳng ∆ đi qua điểm M0(x0; y0) và có hệ số góc k là:
y – y0 = k(x – x0)
Chú ý: Ta đã biết hệ số góc k = tanα với góc α là góc của đường thẳng ∆ hợp với chiều
dương của trục Ox
3. Vectơ pháp tuyến của đường thẳng
Định nghĩa: Vectơ
nếu

≠

và

được gọi là vec tơ pháp tuyến của đường thẳng ∆

vuông góc với vectơ chỉ phương của ∆


VnDoc - Tải tài liệu, văn bản pháp luật, biểu mẫu miễn phí

Nhận xét:
- Nếu

là một vectơ pháp tuyến của đường thẳng ∆ thì k

(k ≠ 0) cũng là một vectơ

pháp tuyến của ∆, do đó một đường thẳng có vô số vec tơ pháp tuyến.
- Một đường thẳng được hoàn toàn xác định nếu biết một và một vectơ pháp tuyến của nó.
4. Phương trình tổng quát của đường thẳng
Định nghĩa: Phương trình ax + by + c = 0 với a và b không đồng thời bằng 0, được gọi là
phương trinh tổng quát của đường thẳng.
Trường hợp đặc biết:
+ Nếu a = 0 => y =

; ∆ // Ox

+ Nếu b = 0 => x =

; ∆ // Oy

+ Nếu c = 0 => ax + by = 0 => ∆ đi qua gốc tọa độ
+ Nếu ∆ cắt Ox tại (a; 0) và Oy tại B (0; b) thì ta có phương trình đường thẳng ∆ theo
đoạn chắn:

+

=1

5. Vị trí tương đối của hai đường thẳng
Xét hai đường thẳng ∆1 và ∆2 có phương trình tổng quát lần lượt là:
a1x + b1y + c1 = 0 và a2 + b2y + c2 = 0
Điểm M0(x0; y0) là điểm chung của ∆1 và ∆2 khi và chỉ khi (x0; y0) là nghiệm của hệ hai
phương trình:
(1)

Ta có các trường hợp sau:
a) Hệ (1) có một nghiệm: ∆1 cắt ∆2
b) Hệ (1) vô nghiệm: ∆1 // ∆2
c) Hệ (1) có vô số nghiệm: ∆1 = ∆2
6.Góc giữa hai đường thẳng
Hai đường thẳng ∆1 và ∆2 cắt nhau tạo thành 4 góc. Nếu ∆1 không vuông góc với ∆2thì góc
nhọn trong số bốn góc đó được gọi là góc giữa hai đường thẳng ∆1 và ∆2. Nếu ∆1 vuông


VnDoc - Tải tài liệu, văn bản pháp luật, biểu mẫu miễn phí

góc với ∆2 thì ta nói góc giữa ∆1 và ∆2 bằng 900. Trường hợp ∆1 và ∆2 song song hoặc
trùng nhau thì ta quy ước góc giữa ∆1 và ∆2 bằng 00. Như vậy gương giữa hai đường
thẳng luôn bé hơn hoặc bằng 900
Góc giữa hai đường thẳng ∆1 và ∆2 được kí hiệu là
Cho hai đường thẳng ∆1 = a1x + b1y + c1 = 0
∆2 = a2 + b2y + c2 = 00

Chú ý:
+ ∆1 ⊥ ∆2 <=> n1 ⊥ n2 <=> a1a2 + b1b2 = 0
+ Nếu ∆1 và ∆2 có phương trình y = k1 x + m1 và y = k2 x + m2 thì
∆1 ⊥ ∆2 <=> k1.k2 = -1.
7. Công thức tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng
Trong mặt phẳng Oxy cho đường thẳng ∆ có phương trình ax + by + c = 0 và điểm M0(x0;
y0). Khoảng cách từ điểm M0 đến đường thẳng ∆ kí hiệu là (M0; ∆), được tính bởi công
thức d(M0; ∆) =
II. Giải bài tập trang 80, 81 SGK Hình học 10
Bài 1 trang 80 sgk hình học 10
Lập phương trình tham số của đường thẳng d trong mỗi trường hợp sau:
a) đi qua điểm M(2; 1) và có vectơ chỉ phương

= (3; 4)

b) d đi qua điểm M(-2; 3) và có vec tơ pháp tuyến

= (5; 1)

Hướng dẫn giải:
Phương trình tham số: d:
b) vì

= (5; 1) nên ta chọn vectơ

⊥

là vec tơ

= (1; -5)


VnDoc - Tải tài liệu, văn bản pháp luật, biểu mẫu miễn phí

Từ đây ta có phương trình tham số của d:
Bài 2 trang 80 sgk hình học 10
Lập phương trình tổng quát của đường thẳng ∆ trong mỗi trường hợp sau:
a) ∆ đi qua điểm M (-5; -8) và có hệ số góc k = -3
b) ∆ đi qua hai điểm A(2; 1) và B(-4; 5)
Hướng dẫn giải:
a) Phương trình của ∆ là : y + 8 = -3(x + 5) <=> 3x + y + 23 = 0
b) Đường thẳng ∆ đi qua A(2; 1) và B(-4; 5) nhận vectơ

= (-6; 4) là một vectơ chỉ

phương
Phương trình tham số của ∆:
∆:
Khử t giữa hai phương trình ta được phương trình tổng quát:
∆ : 2x + 3y - 7 = 0
Bài 3 trang 80 sgk hình học 10
Cho tam giác ABC, biết A(1; 4), B(3; -1) và C(6; 2)
a) Lập phương trình tổng quát của các đường thẳng AB, BC, và CA
b) Lập phương trinh tham số của đường thẳng AH và phương trình tổng quát của trung
tuyến AM
Hướng dẫn giải:
a) Ta có

= (2; -5). Gọi M(x; y) là 1 điểm nằm trên đường thẳng AB thì AM = (x - 1; y

- 4). Ba điểm A, B, M thẳng hàng nên hai vec tơ
=

và

cùng phương, cho ta:

<=> 5x + 2y -13 = 0

Đó chính là phương trình đường thẳng AB.
Tương tự ta có phương trình đường thẳng BC: x - y -4 = 0
phương trình đường thẳng CA: 2x + 5y -22 = 0

b) Đường cao AH là đường thẳng đi qua A(1; 4) và vuông góc với BC.


VnDoc - Tải tài liệu, văn bản pháp luật, biểu mẫu miễn phí

= (3; 3) =>

⊥

nên

nhận vectơ

= (3; 3) làm vectơ pháp tuyến và

có phương trình tổng quát:
AH : 3(x - 1) + 3(y - 4) = 0
3x + 3y - 15 = 0
=> x + y - 5 = 0
Gọi M là trung điểm BC ta có M ( ; )
Trung tuyến AM là đường thẳng đi qua hai điểm A, M. Theo các viết phương trình đường
thẳng đi qua hai điểm trong câu a) ta viết được:
AM : x + y - 5 = 0
Bài 4 trang 80 sgk hình học 10
Viết phương trình tổng quát của đường thẳng đi qua điểm M(4; 0) và N(0; -1)
Hướng dẫn giải:
Phương trình đường thẳng MN:

+

= 1 => x - 4y - 4 = 0

Bài 5 trang 80 sgk hình học 10
Xét vị trí tương đối của các cặp đường thẳng sau đây:
a) d1: 4x - 10y + 1 = 0

d2: x + y + 2 = 0

b)d1: 12x - 6y + 10 = 0

d2:

c) d1: 8x + 10y - 12 = 0

d2:

Hướng dẫn giải:
a) Xét hệ
D = 4.1 = 10.1 = -6 ≠ 0
Vậy d1 và d2 cắt nhau
b) Tương tự, ta có: d1: 12x - 6y + 10 = 0
d2 = 2x - y - 7 = 0


VnDoc - Tải tài liệu, văn bản pháp luật, biểu mẫu miễn phí

D = 12 . (-1) -(-6).2 = -12 + 12 = 0
Dx = (-6) . (-7) - (-1). 10 = 42 + 10 = 52 ≠ 0
Vậy d1 // d2
c) Tương tự, ta có d1: 8x + 10y - 12 = 0

d2: 4x + 5y - 6 = 0
D = 8 . 5 - 4 . 10 = 0
Dx = 10. (-6) - (-12) . 5 = 0
Dy = (-12) . 4 - (-6) . 8 = 0
Vậy d1 trùng d2
Chú ý:
1. Ta có thể thấy 8x + 10y - 12 = 0 ; <=> 4x + 5y -6 = 0
d1 và d2 cùng có phương trình là 4x + 5y -6 = 0 Vậy chúng trùng nhau.
2. Ta cũng có thể giải bằng cách xét vectơ chỉ phương:
d1 có vectơ chỉ phương
d2 vectơ chỉ phương
Vì

≠

=>

= (10; 4)
= (2; -2)

và

không cùng phương => Vậy d1 và d2 cắt nhau

Bài 6 trang 80 sgk hình học 10
Cho đường thẳng d có phương trình tham số


VnDoc - Tải tài liệu, văn bản pháp luật, biểu mẫu miễn phí

Khi t = 1 thay vào ta được M(4; 4)

Vậy có 2 điểm M thuộc d cách điểm A(0; 1) một khoảng bằng 5
Bài 7 trang 81 sgk hình học 10
Tìm số đo của góc giữa hai đường thẳng d1 và d2 lần lượt có phương trình:
d1 : 4x - 2y + 6 = 0 và d2 : x - 3y + 1 = 0
Hướng dẫn giải:
Áp dụng công thức cos
ta có cos
=> cos

=

=
=

=

=

=>

= 450


VnDoc - Tải tài liệu, văn bản pháp luật, biểu mẫu miễn phí

Bài 8 trang 81 sgk hình học 10
Tìm khoảng cách từ điểm đến đường thẳng trong các trường hợp sau:
a) A(3; 5)

∆ : 4x + 3y + 1 = 0;

b) B(1; -2)

d: 3x - 4y - 26 = 0;

c) C(1; 2)

m: 3x + 4y - 11 = 0;

Hướng dẫn giải:
Áp dụng công thức:
d(M0 ;∆) =
a) d(M0 ;∆) =

=

b) d(B ;d) =

=

=

=3

c) Dễ thấy điểm C nằm trên đường thẳng m: C ε m
Bài 9 trang 81 sgk hình học 10
Tìm bán kính của đường tròn tâm C(-2; -2) và tiếp xúc với đường thẳng
∆ : 5x + 12y - 10 = 0 .

Hướng dẫn giải:
Bán kính R của đường tròn tâm C(-2; -2) và tiếp xúc với đường thẳng
∆ : 5x + 12y - 10 = 0 thì bằng khoảng cách từ C đến ∆