Ôa tập : Tọa độ và vectơ

Buổi : Toạ độ của điểm và vectơ
I/ Các kiến thức cơ bản :
1) Độ dài đại số : Với 3 điểm A, B, C trên trục số , ta có :
+)
B A
AB x x=
+)
AC AB BC= +
2) Hệ trục toạ độ Đềcác :
+) Biểu thức toạ độ của các phép toán vectơ :
Cho
( )
a x;y=
r
và
( )
b x';y'=
r
. Khi đó :

( ) ( )
a b x x';y y' ; a b x x';y y '+ = + + =
r r r r
k
( )
a kx;ky=
r
với
k Ă
Véctơ
b

r
cùng phơng với vectơ
a 0
r r
khi và chỉ khi có số k sao cho x = kx và y=ky

2 2
a x y= +
r
+) Nếu A(x
A
; y
A
) , B(x
B
; y
B
) thì
( )
2 2
B A B A B A B A
AB x x ;y y AB (x x ) (y y )= = +
uuur uuur
+)
( ) ( )
x x'
u x;y v x';y '
y y'
=

=

=

r r
+) Nêu công thức toạ độ trung điểm và toạ độ trọng tâm
II/ Các ví dụ :
VD1: Cho 4 điểm A,B,C, D trên trục . CM :
a)
AD BC AC BD+ = +
. Tính 2 tổng đó theo
IJ
, trong đó I,J lần lợt là trung điểm của AB, CD
b)
AB.CD AC.DB AD.BC 0+ + =
c)
2 2 2
AB CD AC DB AD BC CD.DB.BC 0+ + + =
VD2: a) Cho 2 vectơ có toạ độ là :
( ) ( )
a x;y ;b x';y'
r r
không đồng thời bằng vectơ
0
r
. CMR
a;b
r r
cùng
phơng khi và chỉ khi xy = xy .

b) Trên hệ trục Oxy cho các điểm A(0; 1) , B(-1;4) , C(2;5) ; D(6;3) . Hỏi tứ giác ABCD là hình
thang hay hình bình hành ? Gọi M là trung điểm của AD . Hỏi tứ giác BCDM có là hình thoi không ?
c) Tìm điểm E trên trục hoành sao cho CE // OB
d) Hãy biểu diễn vectơ
OM
uuuur
qua vectơ
OB
uuur
và
OC
uuur
( HD : G/s
OM kOB lOC= +
uuuur uuur uuur
, tìm k, l )
VD3: Trên mp toạ độ Oxy lấy các điểm A(2; 1) và B(3; 4)
a) Biết
2
AN AB
3
=
uuur uuur
. Hãy xác định toạ độ điểm N .
b) Tọa độ điểm M phải nh thế nào để điểm M nằm trên đờng thẳng AB ? Để M nằm trên tia AB, Để
M nằm trong đoạn AB ?
c) Tìm tọa độ giao điểm của đờng thẳng AB với 2 trục tọa độ
d) Xác định tọa độ điểm P trên đờng thẳng AB , biết độ dài OP =
85 / 3
HD : b)

( )
MA kAB k=
uuuur uuur
Ă
. Suy ra : x = k + 2 và y = 3k + 1

M( k + 2 ; 3k + 1 )
+) M thuộc tia AB nếu
( )
AM kAB k 0=
uuuur uuur
+) M thuộc đoạn AB nếu
( )
AM kAB 1 k 0=
uuuur uuur
c) G/S AB cắt Ox, Oy tại D( x; 0) và E(0; y) thì
AD kAB=
uuur uuur
, suy ra k = ? và x = ?
hoặc vì D, E thuộc AB nên D,E có tọâ dộ dạng : ( k +2; 3k + 1 ) . Vì D thuộc Ox nên 3k + 1 = 0
d) Điểm P( k +2; 3k + 1 ) thoả mãn OP =
85 / 3
nghĩa là : (k +2)
2
+ (3k + 1 )
2
= 85/9 . PTnày có 2
nghiệm là k = 1/3 và k = -4/3
VD 4: Trên mp tọa độ Oxy lấy các điểm A(-1; 2 ) và B( 3; 4 ) .
a) Tính tọa độ các vectơ :

OA OB+
uuur uuur
và
OA OB
uuur uuur
b) Xác định toạ độ trọng tâm G của tam giác ABO
c) CMR vetơ
AG
uuur
song song với trục hoành
d) Tìm điểm C trên trục hoành sao cho BC song song với OA
VD 5: Trên mp tọa độ Oxy lấy các điểm A(-1; 2 ) và B( 5; 3 ) ; C(-2; 5)
a) Tính tọa độ của các vectơ sau :
AB AC; AB AC; AM; AG;+
uuur uuur uuur uuur uuuur uuur
với M là trung điểm của BC ,
G là trọng tâm của tam giác ABC
b) Hãy biểu thị vectơ
OM
uuuur
qua các vectơ
OA
uuur
và
OB
uuur
c) Tính chu vi và diện tích tam giác ABC . Từ đó suy ra độ dài đờng cao AH .
d) Tìm tọa độ tâm đờng tròn ngoại tiếp ABC
VD 6: Cho ABC : A(1;0) ; B(0;3) ; C(-3; -5 )
a) Xác định tọa độ điểm I thoả mãn hệ thức :

2IA 3IB 2IC 0 + =
uur uur uur r
b) Tìm tập hợp các điểm M sao cho :
2MA 3MB 2MC MB MC + =
uuuur uuuur uuuur uuuur uuuur
c) Xác định điểm D sao cho ABCD là hình bình hành
d) Tìm tọa độ trọng tâm G và tính đờng cao AH .( HD : Sử dụng công thức Hêrông tính diện
tích , từ đó suy ra đờng cao )
VD 7: Trên mp tọa độ Oxy lấy các điểm A( 1; 3 ) và B( 4; 2 ) .
a) Tìm tọa độ điểm D nằm trên trục Ox và cách đều hai điểm Avà B
b) Tính chu vi và diện tích OAB
c) Tìm tọa độ trọng tâm OAB
d) Đờng thẳng AB cắt các trục Ox, Oy lần lợt tại M, N . Các điểm M, N chia đoạn thẳng AB
theo tỉ số nào
e) Phân giác trong của góc AOB cắt AB tại E . Tìm tọa độ điểm E .
VD 8 : Viết PT đờng thẳng song song với đờng thẳng (d) : 2x + 5y = 0 , sao cho nó cùng với 2 trục
tọa độ hợp thành 1 tam giác có diện tích bằng 5 .
VD 9 : Tìm tập các điểm M(x; y) thoả mãn PT :
a) x
2
+ y
2
= R
2
( R là hằng số )
b) ( x a )
2
+ (y b)
2
= R

2
.
c) x
2
+ y
2
2x + 6y + 14 = 0
d) 4x
2
+ 4y
2
4x + 4y + 1 = 0
VD 10 : Cho 2 điểm A, B . Tìm tập hợp điểm M sao cho : MA = 2 MB .
HD : Chọn hệ tọa độ Oxy nh sau : Trục hoành là đờng thẳng AB , gốc là A và
i AB=
r uuur
. Trục tung là
đờng thẳng qua A và vuông góc với AB . Ta có A(0; 0) và B(1; 0)
MA = 2MB
( )
2 2
2
2 2 2 2
4 2
x y 2 x 1 y x y
3 3

+ = + + =
ữ ữ

Vậy tập hợp điểm M là đờng tròn tâm I(4/3; 0) và bán kính R = 2/3
VD 11 : Cho 2 điểm cố định A, B và số thực k . Tìm tập các điểm M sao cho :
a) MA
2
MB
2
= k
b) MA
2
+ MB
2
= k
2

HD : Chọn hệ trục sao cho A(-a; 0) và B( a; 0)