TỔNG ôn CHUYÊN đề số PHỨC OXYZ

Tổng ôn
chuyên đề số phức
phức
Bài 1: Cho số phức z thỏa mãn z  1 . Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị
nhỏ nhất của biểu thức P  z  1  z 2  z  1 . Tính giá trị của M.n
A.

13 3
4

B.

39
4

C. 3 3

D.

13
4

 Cách 1:
Re( z ) là phần thực của số phức z, Im(z) là phần ảo của số phức z, z  1  z.z  1

 Đặt t  z  1 , ta có: 0  z  1  z  1  z  1  2  t  0; 2 





 t 2   1  z  1  z  1  z.z  z  z  2  2 Re( z)  Re( z) 

t2  2
2

 z 2  z  1  z 2  z  z.z  z z  1  z  t 2  3
 Xét hàm số: f  t   t  t 2  3 , t  0; 2  . Xét 2 TH:
 Maxf  t  

13 3
13
; Minf  t   3  M .n 
4
4

 Cách 2:
 z  r  cos x  i sin x   a  bi
 z.z  z 2  1

 Do z  1  

r  a 2  b 2  1

 P  2  2cos x  2cos x  1 , đặt t  cos x   1;1  f  t   2  2t  2t  1


 TH1: t   1; 
 2
1

maxf  t   f 1  3

f 't  
20
1
2  2t
minf  t   f    3
2

1

 TH1: t   ;1
2 
1

f 't  

7
 7  13
 2  0  t    maxf  t   f    
8
2  2t
 8 4
1

 Maxf  t  

13 3
13
; Minf  t   3  M .n 

4
4

Bài 2: Cho số phức z thỏa mãn z  3  4i  5 . Gọi M và m là giá trị lớn nhất và giá trị
nhỏ nhất của biểu thức P  z  2  z  i . Tính module số phức w  M  mi .
2

A. w  2 314

2

B. w  1258

D. w  2 309

C. w  3 137

 Cách 1:
 P  4x  2 y  3  y 

P  4x  3
2

 z  3  4i  5   x  3   y  4 
2

 P  4x  3

 5   x  3  
 4  5  f  x

2


2

2

2

 f '  x   8  x  3  8  P  4 x  11  0  x  0, 2P  1,6  y  0,1P  1,7
 P  33
 P  13

 Thay vào f  x  ta được:  0, 2 P  1,6  3   0,1P  1,7  4   5  0  
2

2

 Cách 2:
 z  3  4i  5   x  3   y  4   5 :  C 
2

2

 () : 4 x  2 y  3  P  0
 Tìm P sao cho đường thẳng  v| đường tròn  C  có điểm chung
 d  I ;    R  23  P  10  13  P  33

 Vậy MaxP  33 ; MinP  13
 w  33  13i  w  1258

Bài 3: Cho số phức z thỏa mãn z  1 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P  z  1  2 z  1
.
A. Pmax  2 5

B. Pmax  2 10

 Giải: Theo BĐT Bunhiacopxki:
 P  z 1  2 z 1 

1

2

 22

C. Pmax  3 5

 z  1

2

 z 1

2

  10  z  1  2
2

D. Pmax  3 2

5

Bài 4: Cho số phức z  x  yi  x, y  R  thỏa mãn z  2  4i  z  2i và m  min z . Tính
module số phức w  m   x  y  i .
A. w  2 3

B. w  3 2

C. w  5

D. w  2 6

 Cách 1:
 z  2  4i  z  2i  x  y  4


z  x2  y 2 

 x  y
2

2

42
2 2
2



x  y  4 x  2

 w  2 2  4i  w  2 6
x  y
y  2

 min z  2 2 , Dấu “=” xảy ra khi 

Chú ý: Với mọi x, y là số thực ta có: x 2  y 2 

 x  y

2

2

Dấu “=” xảy ra khi x  y
 Cách 2:
 z  2  4i  z  2i  y  4  x
 z  x2  y 2  x2   4  x   2  x  2  8  2 2
2

2

x  y  4 x  2

 w  2 2  4i  w  2 6
x  2
y  2

 min z  2 2 . Dấu “=” xảy ra khi 

Bài 5: Cho số phức z  x  yi  x, y  R  thỏa mãn z  i  1  z  2i . Tìm môđun nhỏ nhất
của z.


A. min z  2

D. min z 

C. min z  0

B. min z  1

1
2

 Cách 1:
 z  i  1  z  2i  x  y  1
 x2  y 2 

 x  y

2

2



1
2

1
1

2
2

 z  x2  y 2 

Chú ý: Với mọi x, y là số thực ta có: x 2  y 2 

 x  y

2

2

 Cách 2:
 z  i  1  z  2i  y  x  1
 z  x  y  x   x  1
2

2

 Vậy min z 

2

2

2

1 1
1
1

 2 x    

2 2
2
2


1
2

Bài 6: Cho số phức z thỏa mãn z  1 . Gọi M và m là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của
biểu thức P  z 3  3z  z  z  z . Tính M  m
A.

7
4

B.

13
4

C.

3
4

D.

15
4

Sáng tác: Phạm Minh Tuấn
 Cách 1:
 Ta có z  1  z.z  1
2







 Đặt t  z  z  0;2  t 2  z  z z  z  z 2  2 z.z  z  2  z 2  z
2

 z 3  3z  z  z z 2  3  z  t 2  1  t 2  1
2

 1 3 3
 P  t  t 1 t    
 2 4 4

3
 Vậy minP  ; maxP  3 khi t  2
4
15
 M n
4
2

2

2


 Cách 2: Cách này của bạn Trịnh Văn Thoại
 P  z 3  3z  z  z  z 
2

 P  z  z 1 z  z 

z 3  3z  z
z



2

 z  z  z2  3  z  z  z  z  z



2

1  z  z

3
. Đến đ}y c{c bạn tự tìm max nhé
4

Bài 7: Cho các số phức a, b, c, z thỏa az 2  bz  c  0  a  0  . Gọi z1 và z 2 lần lượt là hai
nghiệm của phương trình bậc hai đã cho. Tính gi{ trị của biểu thức
P  z1  z2  z1  z2  2  z1  z1 
2

2

A. P  2
B. P 

2

c
a

C. P  4

c
a

c
a

1 c
2 a

D. P  .

 Giải:

 Ta có : z1  z2  z1  z2   z1  z2   z1  z2    z1  z2   z1  z2   2 z1  2 z2
2

2

2

2

 Khi đó P  4 z1 z2
c
a

 Ta lại có: z1 z2   P  4 z1 z2  4

c
a

Bài 8: Cho 3 số phức z1 , z2 , z3 thỏa mãn z1  z2  z3  0 và z1  z2  z3  1 . Mệnh đề nào
dưới đ}y đúng?
A. z1  z2  z2  z3  z3  z1 là số thuần ảo
2

2

2

B. z1  z2  z2  z3  z3  z1 là số nguyên tố
2

2

2

C. z1  z2  z2  z3  z3  z1 là số thực âm
2

2

2

D. z1  z2  z2  z3  z3  z1 là số 1
2

2

2

 Chứng minh công thức:


z1  z2  z2  z3  z3  z1  z1  z2  z3  z1  z2  z3

2

2

2

2

2

2

2

2

 Ta có: z  z.z và z1  z2  ...  zn  z1  z2  ...  zn . Áp dụng tính chất này ta có
vế trái:












  z1  z2  z1  z2   z2  z3  z2  z3   z3  z1  z3  z1



 z1 z1  z2 z2  z3 z3  z1 z1  z2 z2  z3 z3  z1 z2  z2 z1  z2 z3  z3 z2  z3 z1  z1 z3
2

2



2

 

 

 z1  z2  z3  z1 z1  z2  z3  z2 z1  z2  z3  z3 z1  z2  z3



 z1  z2  z3   z1  z2  z3  z1  z2  z3
2

2

2

2

2

2

 z1  z2  z3  z1  z2  z3





2

 Áp dụng công thức đã chứng minh suy ra: z1  z2  z2  z3  z3  z1  3 là số
2

2

2

nguyến số
Bài 9: Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn hai điều kiện z  1 và
A.5

B. 6

C. 7

z
z



z
1 ?
z

D. 8

 Giải:
 Ta có: z  1  z.z
2

 Đặt z  cos x  i sin x, x   0;2   z 2  cos 2x  i sin 2x


1

2
 cos 2 x  2
z z
z2  z
 1
 1  2 cos 2 x  1  
z z
z. z
 cos 2 x   1

2

 Giải 2 phương trình lượng giác trên với x  0;2  nên ta chọn được các giá trị

  5 7 11  2 4 5 
x ; ; ;
; ; ; ; 
6 6 6 6 3 3 3 3 

 Vậy có 8 số phức thỏa 2 điều kiện đề cho
Bài 10: Cho các số phức z1 , z2 , z3 thỏa mãn đồng thời hai điều kiện z1  z2  z3  1999 và
z1  z2  z3  0 . Tính P 

z1 z2  z2 z3  z3 z1
.
z1  z2  z3

A. P  1999

P  999,5

B. P  1999 2

P  5997

 Giải
 z1 z2  z2 z3  z3 z1   z1 .z2  z2 .z3  z3 .z1 



z1  z2  z3
 z1  z2  z3  


 P2  



1999 2
 z1 
z1


1999 2
 Mặc khác: z1  z2  z3  1999  z1 z1  z2 z2  z3 z3  1999 2   z2 
z2


1999 2
 z3 
z3

 1999 2 1999 2 1999 2 1999 2 1999 2 1999 2
.

.

.

 z1 z2  z2 z3  z3 z1   z1
z2
z2
z3
z3

z1
2
 Suy ra P  

2
2
2
1999
1999
1999
 z1  z2  z3



z1
z2
z3




  1999 2




 P  1999
 Tổng quát: z1  z2  z3  k  z1 z2  z2 z3  z3 z1  k z1  z2  z3
Bài 11: Cho số phức z thỏa mãn

3  3 2i
1  2 2i

z  1  2i  3 . Gọi M và m lần lượt là giá

trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức P  z  3  3i . Tính M.m
A) M.n  25

B) M.n  20

C) M.n  24

D) M.n  30

 Dạng tổng quát: Cho số phức z thỏa mãn z1 z  z2  r . Tính Min, Max của
z  z3 . Ta có Max 

z2
z
r
r
 z3 
; Min 
 2  z3
z1
z1
z1
z1

 Áp dụng Công thức trên với z1 

3  3 2i
1  2 2i

; z2  1  2i , z3  3  3i; r  3 ta được

Max  6; Min  4

Bài tập áp dụng:
1) Cho số phức z thỏa mãn z  2  2i  1 . Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và
giá trị nhỏ nhất của z . Tính M.m
A) M.n  7

B) M.n  5

2) Cho số phức z thỏa mãn

C) M.n  2

D) M.n  4

1  2i
z  2  1 . Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất
1 i

và giá trị nhỏ nhất của z  i . Tính M.m


A) M.n  1

B) M.n  1

5

C) M.n  1

3

10

z
 i 4 n1  i 4 n với n
i2

3) Cho số phức z thỏa mãn

D) M.n  1
4

. Gọi M và m lần lượt là giá

trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của z  3  i . Tính M.m
A) M.n  20

B) M.n  15

C) M.n  24

D) M.n  30

Bài 12: Cho số phức z thỏa mãn z  1  z  1  4 . Gọi m  min z và M  max z , khi
đó M.n bằng:

B. 2 3

A. 2

C.

2 3
3

3

 Giải:
 Dạng Tổng quát: z1z  z2  z1z  z2  k với z1  a  bi; z2  c  di; z  x  yi
 Ta có: Min z 

k 2  4 z2

2

và Max z 

2 z1

k
2 z1

 Chứng minh công thức:

 Ta có: k  z1z  z2  z1z  z2  z1z  z2  z1z  z2  2 z1z  z 

Max z 

k
. Suy ra
2 z1

k
2 z1

 Mặc khác:

 ax  by  c    ay  bx  d 
2

 z1z  z2  z1z  z2  k 

2



 ax  by  c    ay  bx  d 
2

 Áp dụng BĐT Bunhiacopxki ta có:

k  1.



 ax  by  c    ay  bx  d 
2

2

 1.

 ax  by  c    ay  bx  d 
2

2

1  1   ax  by  c    ay  bx  d    ax  by  c    ay  bx  d  
4  a  b  x  y   4  c  d 
2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

k




k 2  4 c 2  d2

 Suy ra z  x  y 
2

2



4 a2  b2





k 2  4 z2

2

2 z1


42  4
 3
m 
2
 ADCT trên ta có: z1  1; z2  1; k  4  
M  4  2

2

Bài 13: Cho số phức z thỏa mãn iz 

2
2
 iz 
 4 . Gọi m  min z và
1 i
1 i

M  max z , khi đó M.n bằng:
B. 2 2

A. 2

 ADCT Câu 12 ta có: z1  i ; z2 

C. 2 3

m  2
2
;k  4  
1 i
 M  2

Bài 14: Cho các số phức z1 , z2 , z3 thỏa mãn z1 z2 z3 
2

2

1
3

i . Tính giá trị nhỏ nhất của
2 2

2

biểu thức P  z1  z2  z3 .
A. Pmin  1

C. Pmin  3

1

3

D. Pmin  2

B. Pmin 
 Giải:

2

2

 Áp dụng BĐT AM-GM ta có: P  3 3 z1 . z2 . z3
 Mặc Khác: z1 z2 z3 

D. 1

2

1
3

i  z1 z2 z3  1  z1 z2 z3  1
2 2

 Suy ra P  3 . Dấu “=” xảy ra khi z1  z2  z3  1


z3
1
z  1  2i

Bài 15: Cho số phức z  x  yi với x, y là các số thực không âm thỏa mãn

2
2
và biểu thức P  z 2  z  i  z 2  z   z  1  i   z  1  i  . Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ




nhất của P lần lượt là:
A. 0 và 1

C. 3 và 0

B. 3 và 1

D. 2 và 0

 Giải:



z3
 1  z  3  z  1  2i  x  y  1
z  1  2i
2

 x y
1

 P  16 x y  8 xy , Đặt t  xy  0  t  
 
4
 2 
2

2

 1
 P  16t 2  8t , t  0;   MaxP  0; MinP  1
 4

Bài 16: Cho các số phức z thỏa mãn z  1 . Tính giá trị nhỏ nhất của biểu thức
P  1  z  1  z2  1  z3 .

A. Pmin  1

C. Pmin  3

B. Pmin  4

D. Pmin  2

 Giải:
 Ta có: z  1   z  1





 P  1  z  1  z2  1  z3  1  z  z 1  z2  1  z3  1  z  z 1  z2  1  z3  2

Bài 17: Cho số phức z thỏa mãn
1
2
3
B. max z 
4

A. max z 

6z  i
 1 . Tìm giá trị lớn nhất của z .
2  3iz
C. max z 

1
3

D. max z  1


 Giải:
2
2
6z  i
 1  6 z  i  2  3iz  6 z  i  2  3iz
2  3iz

 6 z  i   6 z  i    2  3iz   2  3iz    6 z  i   6 z  i    2  3iz   2  3iz 

 z.z 

2
1
1
1
 z   z
9
9
3

Bài 18: Cho z  a  bi ,  a , b 

 thỏa





z 2  4  2 z và P  8 b 2  a 2  12 . Mệnh đề nào sau

đ}y đúng?

 
P   z  4
2

A. P  z  2
B.

2

2









C. P  z  2

2

D. P  z  4

2

2

 Giải:









 z 2  4  2 z  a2  b2  4   2ab   4 a2  b2  0
2

2

 Chuẩn hóa b  0  a4  4a2  16  0  a  1  i 3  z  1  i 3  P  4
2

2


 Thử đ{p {n: - ĐÁP ÁN A: P   1  i 3  2   4  Nhận



Bài 19: Cho số phức z thỏa mãn z  2  3i  1 . Gọi M  max z  1  i , m  min z  1  i .
Tính giá trị của biểu thức  M 2  n2  .
A. M 2  m 2  28

C. M 2  m 2  26

B. M 2  m 2  24

D. M 2  m 2  20

 Giải:
 z  2  3i  1   x  2    y  3   1 (1)
2

2

 Đặt P  z  1  i   x  1   y  1  P 2 (2) với P  0
2

2

P 2  10  6 x
 Lấy (1)-(2) ta được: y 
. Thay vào (1) :
4


2

 P 2  10  6 x

  x  2  
 3   1  52 x 2  40  12 P 2 x  P 4  4 P 2  52  0 (*)
4





2

 



 Để PT (*) có nghiệm thì:



  40  12 P 2



2





 4.52. P 4  4 P 2  52  0  14  2 13  P  14  2 13

 Vậy M  14  2 13 , m  14  2 13  M 2  m2  28
Bài 20: Cho số thức z 

*

thỏa mãn z 3 

1
1
 2 và M  max z  . Khẳng định nào sau
3
z

z

đ}y đúng?
A. 1  M  2
B. 1  M 

C. 2  M 

5
2

7
2

D. M 3  M 2  M  3

 Giải:
3

3




1
1
1
1 
1
1

  z    z3  3  3  z    z3  3   z    3  z  
z
z
z
z
z
z 



3

3





1
1
1
1
1
 z  3   z    3 z     z    3 z    2
z
z
z
z
z





3

3

3


1

1
1
1
3 z
 Mặt khác:  z    3  z    z 
z
z
z
z


3

 Suy ra:

1
1
1

z
 3 z   2 , đặt t  z   0 , ta được:
z
z
z

 t 3  3t  2  0   t  2  t  1  0  t  2  z 
2

1
2 M 2
z

Bài 21: Cho số phức z thỏa mãn  z  3  i  1  i    1  i 

2017

. Khi đó số thức w  z  1  i có

phần ảo bằng:
A. ( z)  21008  1

C. ( z)  21008

B. ( z)  21008  3

D. ( z)  21008  2

 Giải:



 z  3  i 1  i   1  i 

2017

  z  3  i  1  i 1  i    1  i 

2018

1009

1009
 1  i  2 
 2i 


3i 
 3  i  21008 i  3  i
 z
2
1

i
1

i
  





 w  21008 i  3  i  1  i  4  21008  2 i  ( z)  21008  2





Bài 22: Cho số phức z thỏa mãn 1  5i z 

2 42
 3i  15 . Mệnh đề n|o dưới đ}y
z

đúng:
1
 z 2
2
3
B.
 z 3
2
 Giải:

A.



C.

5
 z 4
2

D. 3  z  5

1  5i  z  2 z42  3i  15
2 42
  1  5 i  z  3i  1  5 i  
z
2 42
  1  5i  z  3i  
 1
z
2

 6. z  3 



5 i z  3i 

2 42
z



2

2
2 42
 6 z  3 . z  4.42  0  z  2
z

Bài 23: Cho ba số phức z , z1 , z2 thỏa mãn 2 z  i  2  iz và z1  z2  1 . Tính giá trị của
biểu thức P  z1  z2 .
A. P 

3
2

B. P  3
 Giải:
 Đặt z  x  yi , 2 z  i  2  iz  x 2  y 2  1
 Gọi A, B l| hai điểm biểu diễn z1 , z2 .

C. P  2
D. P 

2
2


 Ta có z1  z2  OA  OB  AB  1
 Suy ra AB  OA  OB hay tam gi{c OAB đều.
 P  z1  z2  OA  OB  2OM  2.

3
 3

2

Bài 24: Cho ba số phức z1 , z2 , z3 thỏa mãn z1  z2  z3  1 và z1  z2  z3  0 . Tính giá trị
của biểu thức P  z12  z22  z32 .
A. P  1

C. P  1

B. P  0

D. P  1  i

 Giải: Chuẩn hóa z1 

1
3
1
3

i , z2  
i , z3  1 Suy ra P  0
2 2
2 2

Bài 25: Cho hai số phức z1 , z2 thỏa mãn z1  z2  8  6i và z1  z2  2 . Tính giá trị lớn nhất
của biểu thức P  z1  z2 .
A. Pmax  5  3 5

C. Pmax  4 6

B. Pmax  2 26

D. Pmax  34  3 2

 Giải:
 Ta có: z1  z2  8  6i  z1  z2  10
2

2



2

 z1  z2  z1  z2  2 z1  z2

2

  52  z

1

2

 z2

2

z


1

 z2
2



2

 z1  z2  2.52  2 26

Bài 26. Cho z1 , z2 , z3 là các số phức thỏa mãn z1  z2  z3  1 và z1  z2  z3  0 . Khẳng
định n|o dưới đ}y l| sai.
A. z13  z23  z33  z13  z23  z33

B. z13  z23  z33  z13  z23  z33

C. z13  z23  z33  z13  z23  z33

D. z13  z23  z33  z13  z23  z33

 Giải: Chuẩn hóa z1 

1
3
1
3

i , z2  

i , z3  1 Suy ra đ{p {p D
2 2
2 2

Bài 27: Cho z1 ,z2 ,z3 là các số phức thoả mãn z1  z2  z3  1 . Khẳng định nào sau đ}y
l| đúng?


A. z1  z2  z3  z1 z2  z2 z3  z3 z1

B. z1  z2  z3  z1 z2  z2 z3  z3 z1

C. z1  z2  z3  z1 z2  z2 z3  z3 z1

D. z1  z2  z3  z1 z2  z2 z3  z3 z1

 Giải: Chuẩn hóa z1 

1
3
1
3

i , z2  
i , z3  1 Suy ra đ{p {p A
2 2
2 2

Bài 28: Cho z1 ,z2 ,z3 là các số phức thoả mãn z1  z2  z3  1 và z1  z2  z3  1 . Biểu thức



P  z12n1  z22 n1  z32 n1 , n 



 nhận giá trị n|o sao đ}y?

A. 1

B. 2

C. 4

D. 3

 Giải: Chuẩn hóa n  1, z1  1, z2  i , z3  i Suy ra đ{p {p A
Bài 29: Cho ba số phức z1 , z2 , z3 thỏa mãn z1  z2  z3  1 . Tính giá trị nhỏ nhất của

1
1
1


.
z1  z2 z1  z3 z2  z1 z2  z3 z3  z1 z3  z2

biểu thức P 

A. Pmin 

3
4

1
2
5

2

C. Pmin 

B. Pmin  1

D. Pmin

 Giải:















 z1  z2  z2  z3  z3  z1   z1  z2  z1  z2   z2  z3  z2  z3   z3  z1  z3  z1
2

2

2

 9   z1  z2  z3  z1  z2  z3
 9  z1  z2  z3



2

 Theo BĐT Cauchy- Schwarz:
P

9
9
9


2
2
2
z1  z2 z1  z3  z2  z1 z2  z3  z2  z1 z2  z3
z1  z2  z2  z3  z3  z1
9  z1  z2  z3

 Do đó: P 

2
9
 1 (do z1  z2  z3  0 )
9

Bài 30: Cho ba số phức z thỏa mãn z  1 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P 

2z  i
:
2  iz

2


A. Pmax  1
B. Pmax 

C. Pmax 

1
2

3
4

D. Pmax  2
z  1

 Giải: Chuẩn hóa z  1  

z  0

 z  1 P 

2i
 1 do đó loại B, C
2i

 z0P

i 1
do đó loại D, chọn đ{p {n A

2 2

Bài 31: Cho 3 số phức z1 , z2 , z3 thỏa mãn z1  z2  z3  0 và z1  z2  z3 

2 2
. Mệnh đề nào
3

dưới đ}y đúng?
2 2
3
8

3

A. z1  z2  z2  z3  z3  z1 
2

2

B. z1  z2  z2  z3  z3  z1
2

2

2

2

C. z1  z2  z2  z3  z3  z1  2 2
2

2

2

D. z1  z2  z2  z3  z3  z1  1
2

2

2

 Giải: z1  z2  z2  z3  z3  z1  z1  z2  z3  z1  z2  z3 

2

2

2

2

2

2

2

8
3

Bài 32: Gọi S là tập hợp các số phức z thỏa mãn z  i  3 và z  2  2i  5 . Kí hiệu z1 , z2 là
hai số phức thuộc S và là những số phức có môđun lần lượt nhỏ nhất và lớn nhất. Tính
giá trị của biểu thức P  z2  2 z1 .
A. P  2 6

C. P  33

B. P  3 2

D. P  8

 Giải:
 3  z  i  z 1 z  2

 x 2   y  12  9

o Dấu “=” xảy ra khi: 

2
2
 x  y  4

 z  2 2  z  2  2i  5  z  5  2 2

 z1  2i


2
2

45 2 45 2 
 x  2    y  2   25
o Dấu “=” xảy ra khi: 
 z2 

i


2
2
2
2
x


y

33

20
2





 P

45 2 45 2 

 i  4i  33


2
2



Bài 33: Gọi z là số phức có phần thực lớn hơn 1 v| thỏa mãn z  1  i  2 z  z  5  3i sao
cho biểu thức P  z  2  2i đạt giá trị nhỏ nhất. Tìm phần thực của số phức z đó.
A. ( z ) 

8 7
2

C. ( z ) 

4 6
2

B. ( z ) 

8 2
2

D. ( z ) 

12  2
2

 Giải:
 z  1  i  2 z  z  5  3i  y   x  2 

 x  2   y  2
2

 P

2

 y   y  2

2

2

2


3 7
7
 y   
2 4
4



3
4 6 3
y  2
z
 i
 Dấu “=” xảy ra khi: 
2
2
2
y   x  2


Bài 34: Cho số phức z thỏa mãn z  1 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P  z 3  z  2 .
A. Pmax 

11
2

B. Pmax  2 3

C. Pmax 

13
2

D. Pmax  3 5

 Giải:
Câu 35: Cho phương trình: z 3  az 2  bz  c  0 ,  a , b , c 

 . Nếu z

1

 1  i , z2  2 là hai

nghiệm của phương trình thì a  b  c bằng:
A. 2

B. 1

C. 0

D. 1

10
9
Bài 36: Cho số phức z thỏa mãn 11z  10iz  10iz  11  0 .Tính z .

A.

z 

1
2

B. z 

3
4

C. Pmax  1

D. Pmax  2


Bài 37: Cho phương trình: z 4  az 3  bz 2  cz  d  0 ,  a , b , c , d 

 có bốn nghiệm phức là

z1 , z2 , z3 , z4 . Biết rằng z1z2  13  i , z3  z4  3  4i , khẳng định n|o sau đ}y đúng?
A. b  53

B. b  50

C. b  55

D. b  51

Bài 38: Cho số phức z thỏa mãn z1  z2  z3  1 và z1  z2 z3 ; z2  z3 z1 ; z3  z1z2 là các số
thực. Tính  z1 z2 z3 

2017

.
C. 1

A. 1
B. 2

2017

D. 2 2017





C.

5
 z 4
2

Bài 39: Cho số phức z thỏa mãn đồng thời z  z  2 và z  3z  2  i 3 z . Khẳng định
n|o sao đ}y đúng?
1
 z 2

2
3
B.
 z 3
2

A.

D. 3  z  5
4

 z 1 
Bài 40: Cho z1 , z2 , z3 , z4 là nghiệm phức của phương trình: 
  1 . Tính giá trị của
 2z  i 











biểu thức P  z12  1 z22  1 z32  1 z42  1 :
18
5
17

D. P 
9

C. P 

A. P  1
B. P  1

Bài 41: Cho số phức z thỏa mãn z  1 . Gọi M và m là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất
của biểu thức P  z 3  1  z 2  z  1 . Tính M  m .
A. 2

B.7

C.6

D. 5


Bài 42: Cho hai số phức z1 , z2 thỏa mãn
P

z1
z1



z2
z2

z1  z2
z1  z2



1
. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
2

.

A. 2

B.0,75

C.0,5

D. 1

Bài 43: Trong mặt phẳng phức với gốc tọa độ O, cho hai điểm A, B (khác O) biểu diễn
hai số phức z1 , z2 thỏa mãn z12  z22  z1 z2 . Khẳng định n|o sau đ}y đúng?
A. OAB vuông cân tại A
B. OAB đều
C. OAB c}n, không đều
D. OAB cân tại A
2
và z1  z2  z3  0 . Tính giá
2

Bài 44: Cho ba số phức z1 , z2 , z3 thỏa mãn z1  z2  z3 

trị lớn nhất của biểu thức P  z1  z2  2 z2  z3  2 z3  z1 .
A. Pmax 

7 2
3

C. Pmax 

3 6
2

B. Pmax 

4 5
5

D. Pmax 

10 2
3

 Giải:
2

2

2

2

2

2

2

 z1  z2  z2  z3  z3  z1  z1  z2  z3  z1  z2  z3 

3
2

 Theo BĐT Bunhiacôpxki ta có:
P  z1  z2  2 z2  z3  2 z3  z1 

1  2

2

 22

 z

1

2

2

 z2  z2  z3  z3  z1

2

  3 26

Bài 45: Cho số phức z thỏa mãn z  1 . Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị
2
2
nhỏ nhất của biểu thức P  z 2  1  1  z . Tính P  M  n

A. 12

C. 15

B. 20

D. 18


Bài 46: Cho bốn số phức a , b , c , z thỏa mãn az 2  bz  c  0 và a  b  c  0 . Gọi
M  max z , m  min z . Tính môđun của số phức w  M  mi .

A. w  2

C. w  3

B. w  2

D. w  1

Bài 47: Cho số phức z thỏa mãn z  1  2 . Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và

giá trị nhỏ nhất của biểu thức P  z  i  z  2  i . Tính môđun của số phức w  M  mi .
A. w  2 6

C. w  3 5

B. w  4 2

D. w  4

 Giải:
 z  1  2   x  1  y 2  2
2

 P  x2   y  1 

 2  x   1  y 

 P  x 2   y  1 

 2  x   1  y 

2

2

2

2

2

2

vecto

 x  2  x   y  1  1  y 
2



bunhiacopxki

2

2 2

2
2.2  x  1  y 2  2   4





 w  4  2 2i  2 6
Bài 48: Cho hai số phức z1 , z2 thỏa mãn z1  z2 
3

3 4
 i , z1  z2  3 và biểu thức
5 5

3

P  4 z1  4 z2  3 z1  3 z2  5 đạt giá trị nhỏ nhất , khi đó giá trị của z1  z2 bằng:

A. 1

C. 1

B. 2

D.

3

 Giải:
 Ta có: z1  z2  1; 3  z1  z2  z1  z2
2

2



2

 z1  z2  z1  z2  2 z1  z2



3

 P  4 z1  z2

3





2

2 z

1





2

 z2

 3 z1  z2  5  z1  z2



2

3

z


1



 z2



2

 3  z1  z2  2

2



 3 z1  z2  5


t  1
 Xét hàm số: f  t   t 3  3t  5, t   3; 2  ; f '  t   3t 2  3  0  
 L


t  1

 Do đó minf  t   f

 3   5  minP  5

 Dấu “=” xảy ra khi z1  z2  3
Bài 49: Cho số phức z thỏa mãn z 

2
2
3
 3 2 . Gọi M  max z và m  min z , tính
z

môđun của số phức w  M  mi .
A. w  4 22

C. w  5 10

B. w  7 56

D. w  3 62

 Giải:

3
z 3 2 
z
4



z2  3
z

2

2

 18 

z

2



 3 z2  3
z

2

  18  z  3  z  z   6 z
2

4

z

2

2

9

 18

2

z 6 z 9
z

2

2

 18  12  3 15  z  12  3 15

Do đó: w  3 62
Bài 50: Cho số phức z thỏa mãn z 2  2 z  5   z  1  2i  z  3i  1 . Tìm giá trị nhỏ nhất
của biểu thức P  z  2  2i .
A. Pmin 

1
2

B. Pmin  1

C. Pmin  2
D. Pmin 

3
2

Bài 51: Cho số phức z thỏa mãn z  2 . Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị
nhỏ nhất của của biểu thức P 

zi
. Tính giá trị của biểu thức M.n :
z


A.

1
4

C. 1

B. 2

D.

3
4

Bài 52: Cho số phức z thỏa mãn z 2  4  2 z . Gọi M  max z và m  min z , tính
môđun của số phức w  M  mi .
A. w  2 3
B. w 

6
3

D. w 

Bài 53: Cho số phức z  x  yi ,  x , y 
2

C. w  14

2

2
3

 là số phức thỏa mãn hai điều kiện

z  2  z  2  26 và biểu thức P  z 

3
2



3
2

i đạt giá trị lớn nhất. Tính giá trị của

biểu thức (x.y)

9
4
16
B. xy 
9

9
2
17
D. xy 
2

A. xy 

C. xy 

Bài 54: Cho ba số phức z1 , z2 , z3 thỏa mãn z1 z2 z3 
biểu thức P 

1
15

i . Tìm giá trị nhỏ nhất của
4
4

1
1
1
6




.
z1 z2 z3 z1  z2  z3

A. Pmin  6

C. Pmin  5

B. Pmin  4

D. Pmin  3

Bài 55: Cho hai số phức z1 , z2 thỏa mãn z1  z2  1 . Gọi m là giá trị nhỏ nhất của biểu
thức P  z1  1  z2  1  z1 z2  1 . Khẳng định n|o sau đ}y sai?
A.

7
m3
4

C. 3  m 

7
2


B. 1  m 

11
5

D.

1
5
m
4
2

Bài 56: Cho số phức z  a  bi  0 sao cho z không phải là số thực và w 
z

thực. Tính

z
là số
1  z3

2

1 z

2

.

1
3a  1

2
B.
a2
 Giải:

1
3a  2
1
D.
2a  1

A.

C.



z
z
 Theo đề:

0  zz
3
1  z 1  z3



b  0( Loai )
1  z 2 z  z   0   2



z  1

2a





1
1

 2a 
2
2a  1 2a  1
1 z
2a
z

2

Bài 57: Cho hai số phức z , w khác 0 và thỏa mãn z  w  2 z  w . Gọi a, b lần lượt là
phần thực và phần ảo của số phức u 
1
2
7
B.
2
 Giải:

A.

z
. Tính a 2  b 2  ?
w

1
8
1
D.
4

C.


 Chuẩn hóa: w  1 . Theo đề ta có:





 x  12  y 2  4 x 2  y 2

1
15
1
15
1
 z 1  2 z



z 
iu 
i  a2  b2 

2
2
8
8
8
8
4
 z 1  1


 x  1  y  1

Bài 58: Cho hai số phức z , w khác 0 và thỏa mãn z  w  5 z  w . Gọi a, b lần lượt là
phần thực và phần ảo của số phức u  z.w . Tính a 2  b 2  ?
1
100
1
D.
10

1
50
1
C.
25

 Giải:

A.

C.

 Chuẩn hóa: w  1 . Theo đề ta có:





 x  12  y 2  25 x 2  y 2

1 3 11
1 3 11
1
 z 1  5 z


z

iu

i  a2  b2 

2
2
50
50

50
50
25


 z 1  1
 x  1  y  1
Bài 59: Cho số phức w và hai số thực a, b. Biết rằng w  i và 2w  1 là hai nghiệm của
phương trình z 2  az  b  0 . Tính a  b  ?
5
9
1
B. 
9
 Giải:
A.

5
9
1
D.
9

C. 

 3w  i  1   a
 1  i  a  2  2i  2a 

 i 
 1  b

 Theo định lý Viet ta có: 
3


 w  i  2 w  1  b  3

 2a2 a 1
a  2
  b

 2a2 a 1   2
4
5

9
9
3

    a  i  b  
  13  a  b  
9
9
 9 9 3 9
2 a  4  0
b  9

 9
9

Bài 60: Cho hai số phức z1 , z2 thỏa mãn điều kiện z1  z2  2017 . Tìm giá trị nhỏ nhất
2

 z1  z2
  z1  z2

của biểu thức P  



2
2
 2017  z z   2017  z z 

1 2 

1 2 

2

2
2017 2
1
D.
2017 2

1
2017
2
B.

2017

A.

C.

Đặt z1  2017  cos 2x  i sin 2x  và z2  2017  cos 2 y  i sin 2 y 
Ta có:

cos  x  y 
z1  z2
cos 2 x  i sin 2 x  cos 2 y  i sin 2 y


2017 2  z1 z2 2017  1  cos(2 x  2 y)  i sin(2 x  2 y)   2017 cos  x  y 

Tương tự:

Suy ra P 

sin  y  x 
z1  z2

2
2017  z1 z2 2017 sin  y  x 
cos 2  x  y 

2017 2 cos 2  x  y 



sin 2  x  y 

2017 2 sin 2  y  x 

cos2  x  y   1
1
1
cos2  x  y   sin 2  x  y  
Vì  2
nên P 
2 

2017
2017 2
sin  x  y   1
Bài 61: Cho ba số phức z1 , z2 , z3 thỏa mãn điều kiện z1  z2  z3  1 và
z32
z12
z22


 1  0 . Khẳng đinh n|o sau đ}y đúng? .
z2 z3 z3 z1 z1 z2

A. z1  z2  z3  3

C. z1  z2  z3  2

1

3

D. z1  z2  z3  4

B. z1  z2  z3 

Bài 62: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện z  1 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
P  1008 1  z  1  z 2  ...  1  z 2016  1  z 2017

A. 2017

C. 2018