ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC NĂM 2017 CHO CÁC BẠN HỌC SINH LỚP 12

SỞ GIÁO DỤC& ĐÀO TẠO

ĐỀ THI THPT QUỐC GIA NĂM 2017
Môn: TOÁN
Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian giao đề

Câu 1. (2,0 điểm). Cho hàm số y = x

(C).

x −1

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số
b) Tìm tọa độ điểm M thuộc (C), biết rằng tiếp tuyến của (C) tại M vuông góc với đường thẳng
đi qua điểm M và điểm I(1; 1).
Câu 2. (1,0 điểm).
a. Giải phương trình sin 2x +1 = 6sin x +cos 2x .
2
b) Tìm số phức z thỏa mãn: z 2 + 2z.z + z = 8 và z + z = 2 .
2x+1

−2 6.7x +1 = 0 .
 x −( x+y) 3x−y=y
=
Câu 4. (1,0 điểm). Giải hệ phương trình: 
2x  1
11
2
2
2 ( x + y ) − 3

Câu 3. (0,5 điểm). Giải phương trình

Câu 5. (1,0 điểm). Tính tích phân

7

(x, y ∈ ) .

2

x3 − 2 ln x
I=∫
dx .
1
x2

Câu 6. (1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vuông tại A, AB = AC = a, I là
trung điểm của SC, hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng (ABC) là trung điểm H của
0
BC, mặt phẳng (SAB) tạo với đáy 1 góc bằng 60 . Tính thể tích khối chóp S.ABC và tính
khoảng cách từ điểm I đến mặt phẳng (SAB) theo a.
Câu 7. (1,0 điểm). Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy cho tam giác ABC có A(1; 4), tiếp
tuyến tại A của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC cắt BC tại D, đường phân giác trong của
ADB có phương trình x - y + 2 = 0, điểm M(-4; 1) thuộc cạnh AC. Viết phương trình đường
thẳng AB.
Câu 8. (1,0 điểm). Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho điểm A(-4; 1; 3) và đường
+
−
+
thẳng d : x 1 = y 1 = z 3 . Viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua A và vuông góc với đường

−2

1

3

thẳng d. Tìm tọa độ điểm B thuộc d sao cho AB = 5 .
Câu 9. (0,5 điểm). Một hộp đựng 10 viên bi đỏ, 8 viên bi vàng và 6 viên bi xanh. Lấy ngẫu
nhiên 4 viên bi. Tính xác suất để các viên bi lấy được đủ cả 3 màu.
Câu 10. (1,0 điểm). Cho các số thực dương a, b, c thỏa mãn ab ≥ c (a + b + c) ≥ 3.
1;
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

P=

b + 2c
1+ a
1

+

a + 2c
1+ b

+ 6ln(a + b + 2c) .


-----------------------------Hết ----------------------Họ và tên thí sinh ........................................................SBD: ......................
(Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm)

2


1/1

SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO

HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI THPT QUỐC GIA NĂM 2017
Bản hướng dẫn chấm có 6 trang
Câu

NỘI DUNG

Điểm

x
.
x −1

Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số y =
TXĐ : D = R\{1}

1.0

y’ = −

1
2
0 (x −1)<
lim f (x) = lim f (x) = 1 nên y = 1 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số

x→+∞
x→−∞

lim+ f (x) = +∞, lim− = −∞ nên x = 1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số

x→1

x→1

0.5

Bảng biến thiên
1.a

x

-∞

1

+∞

-

y'

-

1

+∞

y

1

-∞

Hàm số nghịch biến trên (−∞;1) và (1; +∞) ,Hàm số không có cực trị
Đồ thị : Nhận xét : Đồ thị nhận giao điểm của 2 đường tiệm cận I(1 ;1) làm tâm đối xứng

0.25

10

8

6

0.25

4

2

10

5

5

10

15

2

4

6

Tìm tọa độ điểm M thuộc (C), biết rằng tiếp tuyến của (C) tại M vuông góc với đường thẳng đi qua điểm M
và điểm I(1; 1).
Với

x0
x0 ≠ 1, tiếp tuyến (d) với (C) tại M(x0
) có phương trình :
x0 −1
;

1.0


y=−

1
2

(x −1)

(x − x0 ) +

0

2

x0
x −1

⇔

0

x0
1
2 x + y −
2 = 0
(x0 −1)
(x0 −1)

(d) có vec – tơ chỉ phương u = (−1;

1
2

(x0 −1)

) , IM = (x 0 −1;

1
x0 −1
1

0.5
)

 x0 = 0
=
0
⇔

2
(x −1) x −1
x =2
0
0
 0
+ Với x0 = 2 ta có M(2, 2)

Để (d) vuông góc IM điều kiện là : u.IM = 0 ⇔ −1.(x0 −1) +
+ Với x0 = 0 ta có M(0,0)

1

0.5

Câu 2:1 điểm

0.25

sin 2x +1 = 6sin x + cos 2x
⇔ (sin 2x − 6sin x) + (1− cos 2x) =
0
2
⇔ 2sin x (cos x − 3)+ 2sin x = 0
2a.

2.b

⇔ 2sin x (cos x − 3 + sin x) = 0
sin x = 0
⇔
sin x + cos x = 3(Vn)
⇔ x = kπ . Vậy nghiệm của PT là x = kπ , k ∈ Z
2

2

Tìm số phức z thỏa mãn : z + 2z.z + z = 8 và z + z = 2
2

0. 25

0. 25
0.25
0.5

2

2
2
Gọi z = x + iy ta có z = x − iy; z = z = zz = x + y

2

2

2

2

2

2

z + 2z.z + z = 8 ⇔ 4(x + y ) = 8 ⇔ (x + y ) = 2 (1)
z + z = 2 ⇔ 2x = 2 ⇔ x = 1 (2)
Từ (1) và (2) tìm được x = 1 ; y = ±1 Vậy các số phức cần tìm là 1 + i và 1 – i
Câu 3:0,5 điểm
2x+1

− 6.7x +1 = 0 ⇔ 7.72 x − 6.7x +1 = 0
x
Đặt t=7 ,t>0
7

0.25

 3− 2

t = 7 (tm)
2
Phương trình đã cho trở thành:7t -6t+1=0 ⇔ 
 3+ 2
(tm)
t =

7
0.25



3− 2
 x = log 7(
)
7
Tim ra x và kết luận nghiệm của pt là 

3+ 2
 x = log (
)
7
7


Câu 4:1 điểm

 x 2 − ( x + y ) 3 x − y = y (1 )
Hệ đã cho tương đương với 
= 11(2)


2x  1
 2 ( x + y
2

2

) −3

2   xra
 y  y ≥ 0, vì nếu y<0 thì x-y>0,
x2  x  y do đó VT(1) > VP( 1)
Từ (1) xsuy

(1)

x  y 1
x − y −1 3+
 x  y 1
3  x  y 2

(

x2   x  y 

⇔

(



x2   x  y 

 3  x  y 2  3 x  y  1


⇔
x

)

)

3

x2  x  y−  yy = 0
+ 2 − x − y − y2
=0
x2  x  y  y

2x 1

⇔( x−y
2x 1
−1)

2x 1
+

x+y

 1 vào phương trình (2) ta được:
Thế y =2x
x −1

4x − 4x + 2 −
3
2

0.25

= 11 ⇔ ( 2x −1)2
−3

0.25


 = 0 ⇔ x − y −1 = 0


0.25

−10 =
0

Đặt t =

, t ≥ 0 , ta có t − 3t −10 = ⇔ (t − 2 ) (t 3 + 2t 2 + 4t + 5) = 0 ⇔ t =
0
2

Khi đó

=2⇔x=

4

5
2

⇒y=

3

. Vậy hệ phương trình có nghiệm ( x; y ) =
2

5 3
; .


2 2 

0.25


Câu 5:1 điểm
2

2

ln x

I = ∫ xdx − 2∫
1

1

x

2

x
dx =

2 2

2

1

2

2

ln x
3
ln x
−2∫ 2 dx = − 2∫ 2 dx
1 x
1 x

2

0.25

2

ln x
Tính J = ∫ 2 dx
1 x

0.25


Đặt u = ln x, dv =
1

1
2

dx . Khi đó du =

x
2

2

1

1
dx, v = −

x
x

1

Do đó J = − ln x + ∫ 2 dx
1
1 x
x
2
1
1
1
1
J = − ln 2 − = − ln 2 +
2
x1
2
2
1
Vậy I = + ln 2
2

0.25
0.25

Câu 6:1 điểm

Gọi K là trung điểm của AB ⇒ HK ⊥ AB (1)
Vì SH ⊥ ( ABC ) nên SH ⊥ AB (2)

Sj

0.25

Từ (1) và (2) suy ra ⇒ AB ⊥ SK
Do đó góc giữa (SAB)với đáy bằng góc

giữa SK và HK và bằng SKH = 60
M
B

H

C

Ta có SH = HK tan SKH =

a 3
2

K
A

3

1
1 1
a 3
= SABC .SH = . AB.AC.SH =

3
3 2
12

Vậy VS . ABC

0.25

Vì IH / /SB nên IH / / ( SAB ) . Do đó d ( I , (SAB )) = d ( H , (SAB ))
0.25

Từ H kẻ HM ⊥ SK tại M ⇒ HM ⊥ (SAB) ⇒ d ( H , (SAB )) = HM
Ta có

1
HM

2

=

Câu 7:1 điểm

1
HK

2

+

1
SH

2

=

16
3a

2

⇒ HM =

a 3
4

. Vậy d ( I , (SAB)) =

a3
4

0,25


Gọi AI là phan giác trong của BAC

A

Ta có : AID = ABC + BAI

M'

B

E

IAD = CAD + CAI

K
I

0,25

M
C

D

Mà BAI = CAI , ABC = CAD nên AID = IAD
⇒ ∆DAI cân tại D ⇒ DE ⊥ AI

PT đường thẳng AI là : x + y − 5 = 0

0,25

Goị M’ là điểm đối xứng của M qua AI ⇒ PT đường thẳng MM’ : x − y + 5 = 0
Gọi K = AI ∩ MM ' ⇒K(0;5) ⇒M’(4;9)

0,25

VTCP của đường thẳng AB là AM ' = (3;5) ⇒VTPT của đường thẳng AB là n = (5; −3)

0,25

Vậy PT đường thẳng AB là: 5 ( x −1) − 3( y − 4) = 0 ⇔ 5x − 3y + 7 = 0

Câu 8:1 điểm

(1,0 điểm)
Đường thẳng d có VTCP là ud = (−2;1;3)

Vì ( P ) ⊥ d nên ( P ) nhận ud = (−2;1;3) làm VTPT
Vậy PT mặt phẳng ( P ) là : −2( x + 4 ) +1 ( y −1)+ 3 ( z − 3) = 0
⇔ −2x + y + 3z −18 = 0
Vì B ∈d nên B (−1− 2t;1+ t; −3 + 3t )

0.25

0.25
0.25

AB = 5 ⇔ AB 2 = 5 ⇔ ( 3 − 2t )2 + t 2 + ( −6 + 3t )2 = 5 ⇔ 7t 2 − 24t + 20 = 0

t = 2
⇔  10
t =

7

Câu 9:0,5 điểm

 27 17 9 
Vậy B (−5;3;3) hoặc B −
; ; 
 7 7 7

0.25


Tổng số viên bi trong hộp là 24. Gọi  là không gian mẫu.
Lấy ngẫu nhiên 4 viên trong hộp ta có C 244 cách lấy hay n(  )= C244 .
Gọi A là biến cố lấy được các viên bi có đủ cả 3 màu. Ta có các trường hợp sau:
+) 2 bi đỏ, 1 bi vàng và 1 bi xanh: có C2 10
C1C81 
2160 cách
6

0.25

+) 1 bi đỏ, 2 bi vàng và 1 bi xanh: có C1 10
C2C861  1680 cách

cách
+) 11200
bi đỏ,
1 bi vàng và 2 bi xanh: có C110C1C8 2 6
Do đó, n(A)=5040
Vậy, xác suất biến cố A là P( A)  n( A)  5040
 47, 4%
n()10626

0.25

Câu 10:1 điểm

P+2=

a + b + 2c +1

+

a + b + 2c +1

+ 6 ln(a + b + 2c)
1+ a  1
1+
b
1 
= (a + b + 2c +1)
+
+ 6 ln(a + b + 2c)
1+a 1+b


0.25



Ta chứng minh được các BĐT quen thuộc sau:
1

ab + 1
1
≥ 1 ab2
+) ab ≤
(2)
+) 1+ +
a
1+ b
2
(1)
Thật vậy,
ab
ab
1
1
2
+)
+
≥
⇔ (2 + a +
≥ 2(1+ a)(1+ b)
ab
b ) 1+
1+ b 1+
1+
luôn đúng vì ab ≥ 1. Dầu “=” khi a=b hoặc ab=1
2
a
ab −
ab

b
−1 ≥ 0 2
a
⇔

)

(

)(

(

)

(

ab +1
+)
≤ 2 ⇔
1 + 1 ≥
Do đó, 1+
a
1+ b
≥

4
ab + bc + ca +
2
c

1 ab
−1

) ≥ 0 . Dấu “=” khi ab=1.

2

2
4
= 3 + ab
ab +1
1+ 2
=
4
16
≥
( a + c )(b + c ) ( a + b + 2c )2

Đặt t = a + b + 2c,t > 0 ta có:

≥

0.5


P+2
≥

f (t) =

16(t +1)

+ 6 ln t, t > 0;

t2
2
6 16 (t + 2) 6t −16t −
32
f '(t) = −
=
3
3
t
t
t

(t − 4)(6t + 8)
=

t

3


t 0
f’(t)

-

4
0

+

+∞

f(t)
5+6ln4
Vậy, GTNN của P là 3+6ln4 khi a=b=c=1.

-----------------------------Hết -----------------------

Chú ý : Học sinh làm cách khác đúng vẫn cho điểm tối đa !!!