Đề thi học kì 2 môn Toán lớp 11 năm 2015 trường THPT Lương Ngọc Quyến, Thái Nguyên

SỞ GD & ĐT THÁI NGUYÊN

ĐỀ KIỂM TRA HỌC KỲ II NĂM HỌC 2014-2015

TRƯỜNG THPT LƯƠNG NGỌC QUYẾN

MÔN: TOÁN-LỚP 11

Thời gian làm bài: 90 phút, không kể thời gian giao đề
Câu 1.(1,5 điểm) Tìm số hạng đầu, công sai và tổng của 30 số hạng đầu tiên của cấp số
u6 − u2 = 4
u3 + u4 = 17

cộng ( un ) biết: 

Câu 2.(3,5 điểm)
a) Tính giới hạn: lim

(

n 2 + 3n + 1 − n

)

b) Tìm m để hàm số :
khi x=1
 mx + 3

f ( x) =  3x 2 + 1 − 3 7 x + 1
liên tục tại x=1.
khi x ≠ 1


x −1


c) Chứng minh phương trình x 6 + 2sin 2x − 1 = 0 luôn có nghiệm.
Câu 3.(4,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B,
mặt phẳng (SAB) và mặt phẳng (SAD) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD),
AD = SA = 2a , AB = BC = a.

a) Chứng minh rằng: SA ⊥ ( ABCD).
b) Chứng minh rằng: ( SBC ) ⊥ ( SAB).
c) Tính góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABCD).
d) Gọi M là trung điểm của cạnh CD. Tính góc giữa hai đường thẳng BM và SC.
Câu 4.(1,0 điểm) Cho tam giác ABC có AB = c, BC = a, CA = b. Chứng minh rằng ba
A
2

cạnh a, b, c theo thứ tự tạo lập một cấp số cộng khi và chỉ khi ba số cot , 3, cot

C
theo
2

thứ tự lập thành một cấp số nhân.
----------------Hết--------------Thí sinh không được sử dụng tài liệu, cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.

Họ và tên thí sinh:………………………………………. Số báo danh:……………


SỞ GD VÀ ĐT THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG THPT LƯƠNG NGỌC QUYẾN

HƯỚNG DẪN CHẤM KIỂM TRA HỌC KỲ II- MÔN TOÁN: LỚP 11
NĂM HỌC 2014-2015.
Câu

ĐIỂM

ĐÁP ÁN

Câu 1 Tìm số hạng đầu, công sai và tổng của 30 số hạng đầu tiên của cấp số cộng ( un )
1,5
u6 − u2 = 4
biết: 
u3 + u4 = 17
u6 − u2 = 4
u + 5d − ( u1 + d ) = 4
⇔ 1

u3 + u4 = 17
u1 + 2d + u1 + 3d = 17
d = 1
⇔
u1 = 6
30 [ 2u1 + 29d ]
S30 =
= 615.
2

0,5

0,5
0,5

)

(

Câu 2 a) Tính giới hạn: lim n 2 + 3n + 1 − n
a) 1,0
khi x=1
mx + 3
b) 1,5

c) 1,0 b) Tìm m để hàm số f ( x) =  3x 2 + 1 − 3 7 x + 1

khi x ≠ 1




liên tục tại x=1.

x −1
c) Chứng minh phương trình x + 2sin 2x − 1 = 0 luôn có nghiệm.
6

a) 1,0

a) lim

(

)

n 2 + 3n + 1 − n = lim

3n + 1

0,5

n + 3n + 1 + n
2

1
n
= lim
3 1
1+ + 2 +1
n n
3
=
2
3+

b) 1,5

0,25

0,25

b) x= 1 thuộc tập xác định của hàm số
f ( x) = f (1)
Hàm số liên tục tại x=1 khi và chỉ khi lim
x →1
+) f (1) = m + 3
+)

lim
x →1

0,25

3x + 1 − 3 7 x + 1
3x + 1 − 2
2 − 3 7x +1
=lim
+ lim
x −1
x −1
x −1
x →1
x →1
2

0,25

2

2

= lim
x →1

3 ( x + 1)
3x + 1 + 2
2

+ lim
x →1

−7
4 + 2 7x +1 +
3

3

( 7 x + 1)

2

=

11
12

0,5

11
−25

⇔m=
12
12
−25
Vậy: m =
12
c) Xét hàm số g ( x) = x 6 + 2sin 2x − 1 liên tục trên tập xác định ¡ nên hàm số liên
 π
tục trên khoảng  0; ÷.
 2

0,25

π  π
Có g (0) = −1 < 0 , g  ÷ = − 1 > 0
 2  64
π 
⇒ g (0).g  ÷ < 0
2

0,25

Nên m + 3 =

c) 1,0

6

0,25
0,25

0,25


π

Nên phương trình x 6 + 2sin 2x − 1 = 0 luôn có nghiệm trong khoảng  0; ÷ (đpcm).
 2

0,25

Câu 3 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B, mặt phẳng
a) 1,0
b) 1,0 (SAB) và mặt phẳng (SAD) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD), AD = SA = 2a
c) 1,0 , AB = BC = a.
d) 1,0
a) Chứng minh rằng SA ⊥ ( ABCD).
b) Chứng minh rằng ( SBC ) ⊥ ( SAB).
c) Tính góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABCD).
d) Gọi M là trung điểm của cạnh CD. Tính góc giữa hai đường thẳng BM và SC.
a) 1,0

a)

0,25

3


( SAB ) ⊥ ( ABCD)


( SAD) ⊥ ( ABCD) ⇒ SA ⊥ ( ABCD).
( SAB ) ∩ ( SAD) = SA


0,75

⇒ BC ⊥ ( SAB ), BC ⊂ ( SBC ) ⇒ ( SBC ) ⊥ ( SAB ).

0,5
0,5
0,25

b) 1,0

b) BC ⊥ AB ( gt ) , BC ⊥ SA ( Do SA ⊥ ( ABCD), BC ⊂ ( ABCD))

c) 1,0

c) Đường thẳng AC là hình chiếu của đường thẳng SC trên mp(ABCD)
Nên góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABCD) bằng góc giữa 2 đường
ˆ < 90 0
thẳng AC và SC ⇒ (SC,(ABCD)) = (SC, AC) = SCA
(vì tam giác SAC vuông tại A)
∧

AC = a 2 , tan SAC =

0,25
0,25

SA
= 2
AC

Vậy: góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABCD) bằng α sao cho tan α = 2 ,
(α ≈ 540 44 ') .
d) 1,0 d) MK là đường trung bình của tam giác SCD ⇒ MK / /SC ⇒ góc giữa hai đường

0,25
0,25

thẳng BM và SC bằng góc giữa hai đường thẳng BM và MK.
0,25

a 10
1
, MK = SC = a 6, BK = AB 2 + AK 2 = a 3
2
2
2
∧
BM + KM 2 − BK 2
11
cos BMK =
=
2 BM .MK
4 15
BM =

0,25

Vậy: góc giữa hai đường thẳng BM và SC bằng β sao cho cos β =

11
4 15

0,25

( β ≈ 440 46 ')

Câu 4 Cho tam giác ABC có AB=c, BC=a, CA=b. Chứng minh rằng ba cạnh a, b, c
1,0
A
C
theo thứ tự tạo lập một cấp số cộng khi và chỉ khi ba số cot , 3, cot theo thứ
2

2

tự lập thành một cấp số nhân.
Theo bài có: b =

a+c
A
C
⇔ cot .cot = 3
2
2
2

B
B
A+C
A−C
= 2sin
.cos
2
2
2
2
A−C
A+C
B
A+C
B
A+C
⇔ cos
= 2 cos
,sin = cos
(Do cos = sin
)
2
2
2
2
2
2
A
C

A
C
A
C
A
C
⇔ cos cos + sin .sin = 2 cos cos − 2sin .sin
2
2
2
2
2
2
2
2
A
C
A
C
A
C
⇔ 3sin .sin = cos cos ⇔ cot .cot = 3 (đpcm)
2
2
2
2
2
2

0,25

Xét 2b = a + c ⇔ 2sin B = sin A + sin C ⇔ 4sin .cos

( Lưu ý: Học sinh giải theo cách khác, đúng vẫn cho điểm )
4

0,25
0,25
0,25