luyện thi đại học phần (1)

Trng THPT Tõn Chõu
Bi Son lp luyn thi: i s
-

Đa thức và tam thức bậc hai


Đ 1. a Thc
a thc bc n ca bin s x l biu thc cú dng:
Pn ( x) = an x n + an- 1 x n- 1 + ... + a1x + a0 trong ú n l s t nhiờn; an , an- 1 ,..., a1 , a0 l cỏc
s thc v an ạ 0 .
Nu Pn ( x0 ) = 0 thỡ x0 c gi l nghim ca a thc An ( x) .
nh lớ Bdu: Nu x0 l nghim ca a thc Pn ( x) = an x n + an- 1 x n- 1 + ... + a1x + a0 thỡ
a thc Pn ( x) chia ht cho ( x - x0 ) tc l:
Pn ( x) = ( x - x0 )(bn- 1 x n- 1 + bn- 2 x n- 2 + ... + b1 x + b0 ).
Vớ d: x 4 - 5 x3 + 6 x 2 - x - 1 = ( x - 1)( x3 - 4 x 2 + 2 x + 1)
Chia a thc: Ta cú th chia mt a thc bc n cho mt a thc bc m (m n).
13
2
3x + 6 x - 1 = 3 x + 9 4 .
2x + 1
2
4 2x + 1

Đ2. Tam Thc Bc Hai & Phng Trỡnh Bc Hai
Dng tng quỏt: P2 ( x) = ax 2 + bx + c (a ạ 0) (1)
ộổ b ử2 b 2 - 4ac ự ộổ b ử2
ự
2
ờ
ỳ

ờ
ỳ
ữ
ữ
ỗ
ỗ
ax
+
bx
+
c
=
a
x
+
=
a
x
+
Bin i:
ữ
ữ
ỗ
2
2ỳ
ờỗ
ỳ
ờ
ữ
ữ

ỗ
ỗ
ố 2a ứ
ố 2a ứ 4a ỳ
4a
ờ
ỳ
ở
ỷ ờ
ở
ỷ
P
x
=
0
Nghim: + Nu < 0 thỡ tam thc (ph.trỡnh 2 ( )
) vụ nghim.
b
+ Nu = 0 thỡ tam thc cú nghim kộp l x0 = .
2a
- b+
- b-
+ Nu > 0 thỡ tam thc cú hai nghim l x1 =
; x2 =
2a
2a
2
S phõn tớch: Nu P2 ( x) = ax + bx + c (a ạ 0) cú hai nghim x1 , x2 thỡ:
P2 ( x) = ax 2 + bx + c = a ( x - x1 ) ( x - x2 )
th: th ca hm s y = ax 2 + bx + c (a ạ 0) l mt parabol cú b lừm quay lờn

nu a > 0 v cú b lừm quay xung nu a < 0.
y

y

y

a >0, < 0
y

a >0, = 0

x2

a > 0, > 0

y
x

x

x1

x
x

y
x

x

x1

a < 0, < 0

a < 0, = 0
Trang 1

x2

a < 0, > 0
GV: TRUNG LAI


Trng THPT Tõn Chõu
Bi Son lp luyn thi: i s
-

+ Khi < 0: th v trc honh khụng cú im chung.
+ Khi = 0: th tip xỳc vi trc honh.
+ Khi > 0: th ct trc honh ti hai im phõn bit.
ổ b ổ b ửử
ổ b
ử
ữ
ữ
ỗ
ữ
;
; y ỗữ

To nh: ỗ
hay
ữ
ữ
ỗ
ỗ
ữ.
ữ
ữứ
ỗ
ỗ 2a ứ
ỗ 2a ỗ
ố 2a 4a ứ
ố
ố

Giỏ tr ln nht v giỏ tr nh nht: Da vo th ta cú:


b
ti x = .
4a
2a

b
+ Khi a > 0: P2 ( x) = ax 2 + bx + c t giỏ tr nh nht l ti x = .
4a
2a
nh lý Viet: Nu tam thc P2 ( x) = ax 2 + bx + c (a ạ 0) (1) cú hai nghim x1; x2 thỡ:
+ Khi a < 0: P2 ( x) = ax 2 + bx + c t giỏ tr ln nht l -

b
c
và P = x1.x2 =
a
a
Chỳ ý: + Nu a + b + c = 0 thỡ (1) cú hai nghim l 1 v c/a. Nu a b + c = 0 thỡ (1)
cú hai nghim l 1 v c/a.
+ Nu hai s x, y cú tng l S v cú tớch l P thỡ chỳng l nghim ca phng
trỡnh t 2 - S t + P = 0 .
S = x1 + x2 = -

Biu thc i xng gia cỏc nghim: Nu P2 ( x) = ax 2 + bx + c (a ạ 0)
x1; x2 thỡ:

(1)

cú hai nghim

2
ổ bử
c
2
ữ
+ x12 + x22 = ( x1 + x2 ) - 2 x1 x2 = S 2 - 2 P = ỗ
- ữ
- 2
ỗ
ữ
ỗ

ố aứ
a

+ x13 + x23 = ( x1 + x2 )( x12 + x22 - x1 x2 ) = S ( S 2 - 3P )
1
1
x + x1 S
= 2
=
+ +

x1 x2
x1 x2
P
Du ca cỏc nghim: + P2 ( x) = ax 2 + bx + c (a ạ 0)
2
+ P2 ( x) = ax + bx + c (a ạ 0)

(1)

2
+ P2 ( x) = ax + bx + c (a ạ 0)

(1)

Vớ d & bi tp:

(1)

cú hai nghim trỏi du a.c < 0.

ỡù > 0
ùù
cú hai nghim u dng ớ P > 0
ùù
ùùợ S > 0
ùỡù > 0
ù
cú hai nghim u õm ớ P > 0
ùù
ùùợ S < 0

1
.
2
Vi giỏ tr no ca a thỡ cỏc nghim ca phng trỡnh x 2 - 3ax + a 2 = 0 cú tng bỡnh
phng bng 7/4?
Xỏc nh giỏ tr ca a tng bỡnh phng cỏc nghim ca phng trỡnh
2
x - ( 2a - 1) x + 2 ( a - 1) = 0 nh nht.
Gii phng trỡnh: ( x + 1) ( | x | - 1) = -

Tỡm tt c cỏc giỏ tr ca m f ( x) = mx 2 - 2 ( m - 1) x + 3( m - 2) cú hai nghim
x1; x2 sao cho x1 + 2 x2 = 1 .
Trang 2

GV: TRUNG LAI


Trường THPT Tân Châu
Bài Soạn lớp luyện thi: Đại số

−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−-−−−−

ìï
7
ïï x + y + xy =
2
ï
⑤ Giải hệ phương trình í
ïï 2
5
2
ïï x y + xy =
2
ïî

⑥ Tìm m để phương trình 4 x3 - 3 x + 1 = mx - m + 2 có ba nghiệm phân biệt.
⑦ Với giá trị nào của m thì phương trình: (m - 1) x 2 - ( 2m - 1) x + m + 5 = 0 .
a) có đúng một nghiệm?
b) có hai nghiệm trái dấu?
c) có hai nghiệm cùng dương?
⑧ Cho phương trình 2 x 3 - 3(a + 1) x 2 + 6ax - 4 = 0 .
a) Chứng minh rằng phương trình có một nghiệm cố định không phụ thuộc vào a.
b) Tìm a để phương trình có ba nghiệm phân biệt.
⑨Tìm tất cả các giá trị của m sao cho phương trình x 2 - mx + m 2 - m - 3 = 0 có hai
nghiệm dương x1; x2 thỏa x12 + x22 = 4 .
ìï x + y + xy = m + 1
ï
⑩ Cho hệ phương trình: í 2
ïïî x y + xy 2 = m
a) Giải hệ khi m = −2

b) Tìm m để hệ có nghiệm với x < 0, y < 0.

§3 Dấu Của Tam Thức Bậc Hai
▪ Định lý về dấu của tam thức:Cho tam thức P2 ( x) = ax 2 + bx + c (a ¹ 0)
* Nếu ∆ < 0 thì P2 ( x) cùng dấu với a với mọi x ( a. f ( x) > 0; " x Î ¡ ) .

(1)

.

bö
b æ
÷
ç
a
.
f
(
x
)
>
0;
"
x
¹
÷
ç
÷
è
2a ø

2a ç
* Nếu ∆ > 0 thì P2 ( x) có hai nghiệm x1; x2 (giả sử x1 < x2 ). Khi đó P2 ( x) cùng dấu với
a với mọi x Î (- ¥ ; x1 ) È ( x2 ; + ¥ ) và trái dấu với a với mọi x Î ( x1; x2 ) .
▪ Nếu P( x) = a ( x - x1 )( x - x2 )...( x - xn ) víi x1 < x2 < ... < xn thì P( x) cùng dấu với a khi
x > xn và lần lượt đổi dấu ở các khoảng tiếp theo ( xn- 1; xn ) , ( xn- 2 ; xn- 1 ) ,...,( x2 ; x1 ) .
* Chú ý: Nếu xk là nghiệm kép, tức là
* Nếu ∆ = 0 thì P2 ( x) cùng dấu với a với mọi x ¹ -

P( x) = a ( x - x1 )( x - x2 )...( x - xk ) 2 ...( x - xn ) víi x1 < x2 < ... < xk < ... < xn
thì P( x) bằng 0 tại xk và P( x) không đổi dấu khi x đi qua xk .
 Vdụ: Xét dấu đa thức P( x) =- 5( x - 1)( x - 3)( x - 4) 2 ( x - 8)
+

+

+
1

-

3

4

8

-

● Ví dụ và bài tập:
① Giải các bất phương trình:

a) | x 2 - 2 x - 3 | < 3 x - 3
b) | x - 6 |> | x 2 - 5 x + 9 |
Trang 3

GV: ĐỖ TRUNG LAI


Trường THPT Tân Châu
Bài Soạn lớp luyện thi: Đại số
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−-−−−−

② Giải và biện luận bất phương trình:

2
x
1
- 2
<
2
x+ a x - a
a- x

③ Giải các bất phương trình:
a) x 2 - 7 x + 12 < | x - 4 |
x2 - 5x + 4
£1
b)
x2 - 4
1
3

1
+
<
.
x 2a x + 3a
⑤ Tìm m để bất phương trình x 2 + 6 x + 7 + m £ 0 có nghiệm là một đoạn trên trục số
có độ dài bằng 1.
④ Giải và biện luận bất phương trình:

§ 4. Các Bài Toán Biện Luận Bất Phương Trình Bậc Hai
▪ Bài toán: Tìm điều kiện để P2 ( x) = ax 2 + bx + c > 0, " x Î ¡
hoặc P2 ( x) = ax 2 + bx + c < 0, " x Î ¡
Ta phải xét hai trường hợp:
* a = 0: Xét trực tiếp.
* a  0:
é
ìïï ∆ < 0
êP2 ( x) > 0, " x ÎÛ¡
í
ê
ïïî a > 0
ê
ê
ìïï ∆ < 0
ê
P
(
x
)
<

0,
"
x
ÎÛ
¡
í
ê2
ïïî a < 0
ê
ë
 Chú ý: Khi gặp các bài toán P2 ( x) = ax 2 + bx + c ³ 0, " x Î ¡ hoặc
P2 ( x) = ax 2 + bx + c £ 0, " x Î ¡ , ta phải thay đổi điều kiện cho phù hợp.
● Ví dụ:
① Tìm m để (m - 1) x 2 + (4m - 3) x + 5m - 3 < 0, " x Î ¡ .
② Cho bất phương trình (m 2 - 4) x 2 + (m - 2) x + 1 < 0. Tìm m để bất phương trình vô
nghiệm.
x 2 - mx - 2
> - 1 thỏa x  .
③Với giá trị nào của m bất phương trình 2
x - 3x + 4

Ⓐ BÊt ®¼ng thøc
I. Dùng định nghĩa, tính chất, phép biến đổi tương đương:
● Các tính chất cơ bản:
▪ a > b  a − b >0.
▪ a > b  a + c > b + c.

▪ a > b và b > c  a > c.
Trang 4

GV: ĐỖ TRUNG LAI


Trường THPT Tân Châu
Bài Soạn lớp luyện thi: Đại số
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−-−−−−

ìïï a > b
Þ ac > bc
▪í
ïïî c > 0
ìïï a > b
Þ a+ c> b+ d
▪í
ïïî c > d
ìïï a > b
1 1
Þ <
▪í
ïïî ab > 0 a b

ìïï a > b
Þ ac < bc
▪í
ïïî c < 0
ìïï a > b > 0
Þ ac > bd .
▪í
ïïî c > d > 0

▪ a ³ b ³ 0 Û a 2 ³ b 2 và a ³ b ³ 0 Û a ³
▪ | a | ³ a, " a .
éa £ - b
▪ | a | £ b Û - a £ b £ a ; | a | ³ bÛ ê
ê
ëa ³ b

b

a c
a a+ c c
> Þ >
> ; (a, b, c, d > 0)
b d
b b+ d d
● Để chứng minh a > b ta chứng minh a − b > 0.
● Dùng phép biến đổi tương đương A  B  C  … D, nếu D đúng thì A đúng.
● Ta thường dùng các bất đẳng thức:
▪

2
( a - b) ³ 0, " ab Û a 2 + b 2 ³ 2ab.
2

" a, b Û ( a + b) ³ 4ab, " a, b .
a 2 + b 2 ³ ab, " a, b Û a 2 + ab + b 2 ³ 0, " a, b
● Chú ý: Không được:
▪ Nhân hai vế của hai bất đẳng thức cùng chiều mà không có điều kiện.
▪ Trừ hai vế của hai bất đẳng thức cùng chiều.
▪ Bình phương hay lấy căn bậc hai hai vế của một bất đẳng thức mà không có điều kiện.

▪ Đơn giản hai vế của một bất đằng thức mà không có điều kiện.
▪ Khử mẫu số hai vế của bất đẳng thức mà không có điều kiện.
● Các ví dụ:
① Chứng minh rằng với mọi a, b, c:
a) a 2 + b 2 + c 2 ³ ab + bc + ca .
b) a 2 (1 + b 2 ) + b 2 (1 + c 2 ) + c 2 (1 + a 2 ) ³ 6abc .
1
c) a 2 + b 2 + c 2 ³ (a + b + c )2 .
3
2
d) ( a + b + c ) ³ 3(ab + bc + ca ) .
a 2 - ab + b 2 1
³
e) Chứng minh rằng với mọi số thực a, b, c ta có: 2
a + ab + b 2 3
② Chứng minh rằng với mọi a, b  0: 2(a 5 + b5 ) ³ (a 2 + b 2 )(a 3 + b3 )
a
b
c
1 1 1
+
+
³ + + .
③ Chứng minh rằng với mọi a, b, c > 0:
bc ca ab a b c
4
④ Chứng minh rằng: Nếu a + b = 2 thì a + b 4 ³ 2
II. Bất đẳng thức Cauchy (Cô-si) cho các số không âm :
a+ b
³ ab . Dấu bằng xảy ra khi a = b .

 Với a & b là hai số không âm ta có :
2
Trang 5

GV: ĐỖ TRUNG LAI


Trường THPT Tân Châu
Bài Soạn lớp luyện thi: Đại số
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−-−−−−

a+ b+ c 3
³ a.b.c . Dấu bằng xảy ra khi a = b = c .
3
 Tổng quát với n số không âm a1 ,a2 , ... , an ta có :
a1 + a2 + ... + an n
³ a1.a2 ...an Dấu bằng xảy ra khi a1 = a2 = ... = an .
n
 Với ba số không âm a ,b, c ta có :

Hay

n

n
ai
= n Õ ai
i=1
i=1 n

å

Dấu bằng xảy ra khi ai = aj , ∀i,j = 1, n

☻ Hệ quả :
▪ Nếu hai số không âm a và b có tích không đổi thì tổng a + b nhỏ nhất khi a = b.
▪ Nếu hai số không âm a & b có tổng không đổi thì tích a.b lớn nhất khi a = b.
● Ví dụ và bài tập:
① Chứng minh rằng với mọi a, b ³ 0: (2a + 1)(b + 3)(3a + 2b) ³ 48ab .
② Chứng minh rằng với mọi a, b, c ³ 0: ab(a + b) + bc(b + c) + ca (c + a ) ³ 6abc .
③ Chứng minh rằng với mọi a, b ³ 0: 2 a + 3 3 b ³ 5 5 ab .
④ Chứng minh rằng với mọi a ³ 1, b ³ 1, c ³ 1:
3abc
ac b - 1 + ba c - 1 + cb a - 1 £
2
a
b
c
3
+
+
³ .
⑤ Chứng minh rằng với mọi a, b, c > 0:
b+ c c+ a a+ b 2
é1 ù
⑥ Tìm giá trị lớn nhất của hàm số y = (2 x - 1)(3 - x) trên đoạn ê ;3ú.
ê
ë2 ú
û
⑦ Cho hai số x,y sao cho 0 ≤ x ≤ 3 , 0 ≤ y ≤ 4 . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :

A = (x − 3)(4 − y)(2x +3y) .
⑧ Chứng minh rằng với mọi số thực dương a, b, c ta có:
a2
b2
c2
a+ b+ c
+
+
³
b+ c c+ a a+ b
2
III. Bất đẳng thức Bunhiacôpxki:
▪ Với bốn số a, b, x, y ta có : (ax + by ) 2 £ (a 2 + b 2 )( x 2 + y 2 ) . Dấu bằng xảy ra khi
a b
ay = bx hay = (nếu x ¹ 0; y ¹ 0)
x y
2
æa + b ö
a2 + b2
÷
ç
● Ví dụ và bài tập: ① Chứng minh rằng với mọi a, b > 0: ç
.
÷
÷£
ç
è 2 ø
2
4
æa + b ö

a4 + b4
÷
ç
Từ đó suy ra: ç
.
÷
÷£
ç
è 2 ø
2

49
.
8
③ Cho a + b + c = 1 và a, b, c> 0 . Chứng minh rằng:
a+ b + b+ c + c+ a £ 6 .
④ Cho a > c > 0; b > c > 0 . Chứng minh rằng: c(a - c) +
② Cho 3x + 5y = 7. Chứng minh rằng: 3 x 2 + 5 y 2 ³

⑤ Cho a + b = 1 . Chứng minh rằng: a 4 + b 4 ³
Trang 6

c(b - c) £

ab .

1
.
8
GV: ĐỖ TRUNG LAI

Trường THPT Tân Châu
Bài Soạn lớp luyện thi: Đại số
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−-−−−−

⑥ Chứng minh rằng với mọi số thực dương a, b, c ta có:
a2
b2
c2
a+ b+ c
+
+
³
b+ c c+ a a+ b
2
IV. Chứng minh bất đẳng thức bằng véctơ:
r
r
Giả sử a = (a1; a2 ) và b = (b1; b2 ) , ta có:
r r
r
r
▪ | a + b |£ | a | + | b | Û (a1 + b1 ) 2 + (a2 + b2 ) 2 £ a12 + a22 + b12 + b22
(Minkowski)
r
r
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a & b cùng hướng hay
a1 = kb1; a2 = kb2 (k > 0)
r r

r
r
▪ | a - b |£ | a | + | b | Û (a1 - b1 ) 2 + ( a2 - b2 ) 2 £ a12 + a22 + b12 + b22
r
r
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a & b ngược hướng hay
a1 = kb1; a2 = kb2 (k < 0)
rr
r r
▪ | a.b |£ | a | . | b | Û | a1b1 + a2b2 | £ a12 + a22 . b12 + b22 (BĐT Svac−xơ)
2

Û ( a1b1 + a2b2 ) £ ( a12 + a22 ) ( b12 + b22 ) (BĐT Bunhiacốpski)
r
r
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a & b cùng phương
a1 = kb1; a2 = kb2 (k Î ¡ )
● Ví dụ: ➊ Chứng minh rằng với a, b, c Î ¡ , ta luôn có:
2
2
( a + c) + b2 + ( a - c) + b 2 ³ 2 a 2 + b 2

➋ Chứng minh rằng với a, b, c tùy ý, ta luôn có:
a 2 - ab + b 2 + b 2 - bc + c 2 ³
➌ Chứng minh rằng với mọi x, y, z ta đều có:

a 2 + ac + c 2

x 2 + xy + y 2 + x 2 + xz + z 2 ³
➍ Chứng minh rằng với mọi , ta có:

y 2 + yz + z 2

cos 2 α - 2cos α + 3 + cos 2 α + 4cos α + 6 ³
➎ Chứng minh với mọi giá trị của x,y ta có :

17 .

4cos 2 x.cos 2 y + sin 2 ( x - y ) + 4sin 2 x.sin 2 y + sin 2 ( x - y ) ³ 2
➏ Chứng minh rằng với mọi a, b, c:
3 2
a 2 + (1- b) 2 + b 2 + (1- c) 2 + c 2 + (1- a ) 2 ³
2
IV. Sử dụng đạo hàm:
Để chứng minh một bất đẳng thức, ta biến đổi BĐT về dạng f (a ) £ f (b), (a < b) sau đó
ta cần chứng tỏ y = f ( x) là hàm số tăng trên [a; b) . Nếu bất đẳng thức được biến đổi về dạng
f (a ) ³ f (b) ( a < b ) thì ta cần chứng tỏ hàm số giảm trên (a; b] .
● Ví dụ và bài tập:
1
➊ Chứng minh rằng x 4 + (1- x) 4 ³ , " x
8
2
2
2
➋ Cho a, b, c > 0 & a + b + c = 1 . Chứng minh rằng
Trang 7

GV: ĐỖ TRUNG LAI

Trường THPT Tân Châu
Bài Soạn lớp luyện thi: Đại số
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−-−−−−

a
b
c
3 3
+ 2
+ 2
³
2
2
2
2
b +c
c +a
a +b
2

 Các bài tập :
1) Chứng minh rằng nếu a,b,c là ba số dương thì :
2
2
2
9
+
+
³
a+ b b+ c c+ a a+ b+ c

2) Chứng minh với a,b,c,d thuộc R thì :
a 2 + b2 +

c2 + d 2 ³

(a - c ) 2 + (b - d ) 2
æx y ö
x2 y2
x
,
y
¹
0
+ ÷
÷
3) Cho
, chứng minh rằng 2 + 2 - 3ç
ç
÷+ 4 ³ 0
ç
÷
y
x
èy x ø
4) Cho x, y, z là các số dương thỏa mãn

1 1 1
+ + = 4 . Chứng minh rằng
x y z

1
1
1
+
+
£1
2x + y + z x + 2 y + z x + y + 2z
5) Cho các số dương x, y, z thỏa mãn xyz= 1. Chứng minh rằng:
1 + x3 + y 3
1+ y3 + z3
1 + z 3 + x3
+
+
³ 3 3.
xy
yz
zx
6) Cho x, y, z là ba số thực dương thay đổi. Chứng minh rằng:
æx 1 ö
æz
æy 1 ö
1ö
9
÷
ç
÷
ç
xç
+ ÷
+

y
+
+
z
+
³
÷
÷
÷
ç
ç
ç
÷
÷
÷ è
ç2 zx ø
ç
ç2 xy ø
÷ è
÷ 2
è2 yz ø
7) Cho hai số thực thỏa x 2 + y 2 = 1 . Chứng minh rằng :
2( x 2 + 6 xy )

- 6 ££
3
1 + 2 xy + 2 y 2
8) Chứng minh rằng với mọi số thực dương x, y, z thoả mãn x( x + y + z ) = 3 yz , ta có:
( x + y )3 + ( x + z )3 + 3( x + y )( x + z )( y + z ) £ 5( y + z )3 .
3

9) Cho x, y là các số thực thay đổi thỏa mãn: ( x + y ) + 4 xy ³ 2 . Chứng minh rằng:
7
A = 3( x 4 + y 4 + x 2 y 2 ) - 2 ( x 2 + y 2 ) ³ .
16

Ⓐ ph¬ng tr×nh − BÊt ph¬ng tr×nh − hÖ ph¬ng
tr×nh
−−−−−−−
I. PHƯƠNG TRÌNH−BPT−HỆ PT KHÔNG CHỨA CĂN THỨC:
 Phương trình:
 Nếu hàm số y = f ( x) liên tục trên ( a; b) và f (a ). f (b) < 0 thì phương trình f ( x) = 0
có ít nhất một nghiệm trên ( a; b) .
Ví dụ: Chứng tỏ rằng với ∀m ∈ ℝ , phương trình sau luôn có nghiệm thực dương:

x3 + 3mx 2 + 3mx - 2 = 0 .
 Sử dụng PT đối xứng, đặt ẩn phụ, qui về bậc hai.
Trang 8

GV: ĐỖ TRUNG LAI


Trường THPT Tân Châu
Bài Soạn lớp luyện thi: Đại số
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−-−−−−

 Ví dụ: Giải các phương trình:
2
æx ö
2

÷
ç
① x +ç
÷
÷ =1
ç
èx + 1ø
2
2
æ 1
ö
æ 1
ö
13
÷
÷
ç
ç
②ç 2
+ç 2
=
÷
÷
÷
÷
çx + x + 1ø è
çx + x + 2 ø 36
è
③ 2 x 4 + 3 x3 - 16 x 2 + 3x + 2 = 0
④ x 7 - 2 x 6 + 3x5 - x 4 - x3 + 3x 2 - 2 x + 1 = 0 .

 Hệ phương trình:
● Phương pháp thế và đặt ẩn phụ: Khi đặt ẩn phụ, công việc đầu tiên là tìm tập giá trị của
ẩn phụ (điều kiện của ẩn phụ)
x- y
ïìï x + y
ï x - y + 6 x + y = 5 (1)
 Ví dụ 1: Giải hệ: í
ïï
(2)
ïïî xy = 2
ìï
1
ïï x - = 1 (1)
ïï
y
ïï
1
ï
 Ví dụ 2: Giải hệ: í y - = 1 (2)
ïï
z
ïï
ïï z - 1 = 1
(3)
ïï
x
î

● Sử dụng tổng−tích:
 Ví dụ: Giải các hệ phương trình:

ìï x 2 - xy + y 2 = 7
ï
①í
(Hệ đối xứng loại I)
ïïî x + y = 5
ìï x 2 y 2
ïï +
= 18
ï
x
②í y
ïï
ïïî x + y = 12
ìï (2 x + y )2 - 5(4 x 2 - y 2 ) + 6(2 x - y ) 2 = 0
ïï
③í
1
ïï 2 x + y +
=3
ïïî
2x - y
ìï
1 1
ïï x + y + + = 5
ïï
x y
④í
ïï 2
1
1

2
ïï x + y + 2 + 2 = 9
x
y
ïî
● Qui PT chứa căn thức về PT−HPT không chứa căn thức:
 Ví dụ: Giải các PT sau:

(

3
3
① x 35 - x x +

3

)

35 - x 3 = 30

② x + 17 - x 2 + x 17 - x 2 = 9 .
③ 3 x + 34 - 3 x - 3 = 1 → u = 3 x + 34,
2

2

④ 3 ( 2 - x) + 3 ( 7 + x) -

3

v = 3 x- 3 .

( 2 - x) ( 7 + x) = 3 .
Trang 9

GV: ĐỖ TRUNG LAI


Trường THPT Tân Châu
Bài Soạn lớp luyện thi: Đại số
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−-−−−−

● Dùng phép biến đổi tương đương:
 Ví dụ: Giải các hệ PT:
ìï x 2 - 3x = y 2 + y + 1
ï
①í 2
(hệ đối xứng loại II)
ïï y - 3 y = x 2 + x + 1
î
ìï 2
1
ïï 3 x = 2 y +
ï
y
② ïí
ïï 2
1
ïï 3 y = 2 x +
x

ïî
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
II. PHƯƠNG TRÌNH−BPT−HỆ PT CHỨA CĂN THỨC:
 Kiến thức cơ bản:
ìï f ( x) ³ 0
ïï
ìï g ( x) ³ 0
ï
ï
f
(
x
)
=
g
(
x
)
Û³Û
g
(
x
)
0
í
í
▪
.
ïï
ïï f ( x) = [ g ( x) ] 2

2
î
ïï f ( x) = [ g ( x) ]
ïî
ìï f ( x) ³ 0
ïï
ï
▪ f ( x) < g ( x) Û³ í g ( x) 0
.
ïï
ïï f ( x) < [ g ( x) ] 2
ïî
éìï g ( x) < 0
êïí
(I )
êï f ( x) ³ 0
ïêî
▪ f ( x) > g ( x) Û ê
nghiệm của BPT đã cho là hợp của nghiệm hệ
êìïï g ( x) ³ 0
( II )
êí
ïïî f ( x) > g 2 ( x)
ê
ë
(I) với hệ (II).
● Các dạng cơ bản:
 Ví dụ: Giải các phương trình và bất phương trình sau:
ⓐ 3 x 2 + 15 x + 2 x 2 + 5 x + 1 = 2 .
ⓐ

4
x+

x2 + x

-

1
x-

3
= .
x2 + x x

ⓐ

x 2 + 3x + 3 < 2 x + 1 .

ⓐ

8 + 2 x - x 2 > 6 - 3x .

ⓐ 5 + x - - x - 3 < - 1 + (5 + x)(- x - 3) .
● Hệ phương trình chứa căn:
 Ví dụ: Giải các hệ phương trình sau:
ìï x + y + 2 x + y + 2 = 7
ⓐ ïí
.
ïï 3 x + 2 y = 23

î
ìï x + y + x + y = 20
ï
ⓐí 2
.
ïï x + y 2 = 136
î

Trang 10

GV: ĐỖ TRUNG LAI


Trường THPT Tân Châu
Bài Soạn lớp luyện thi: Đại số
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−-−−−−

ìï x + 1 + 2 - y = 3
ï
. → VT − VP: Bđổi
ⓐí
ïï 2 - x + y + 1 = 3
ïî
● Sử dụng tính đơn điệu:
 Ví dụ: ⓐ Giải phương trình: x5 + x3 - 1- 3 x + 4 = 0 .
ìï x + 2 - y = 2
ï
ⓐ Giải hệ í
.
ïï 2 - x + y = 2

ïî
● Bài toán định tính về PT−BPT chứa tham số:
 Ví dụ: ① Cho phương trình 4 - x + x + 5 = m . Tìm m để phương trình có nghiệm
duy nhất.
 C1: BĐ x0 là nghiệm  4 - (- 1- x0 ) + 5 + (- 1 - x0 ) = m nên - 1- x0 cũng là
nghiệm → đk cần; xét điều kiện đủ → m.
 C2: Dùng đạo hàm.
CÁC BÀI TOÁN TRONG CÁC ĐỀ TUYỂN SINH CÁC NĂM QUA
ĐỀ THI NĂM 2002:
ìï 3 x - y = x - y
ï
ⓐ KHỐI B: (1 điểm) Giải hệ phương trình: í
.
ïï x + y = x + y + 2
ïî
ⓐ KHỐI D: (1điểm) Giải bất phương trình: ( x 2 - 3 x) 2 x 2 - 3 x - 2 ³ 0 .
ĐỀ THI NĂM 2003:

ìï
1
1
ïï x - = y x
y.
ⓐ KHỐI A: (1 điểm) Giải hệ phương trình: í
ïï
ïïî 2 y = x3 + 1
2
ìï
ïï 3 y = y + 2
ïï

x2
ⓐ KHỐI B: (1 điểm). Giải hệ phương trình: í
.
ïï
x2 + 2
ïï 3 x =
y2
ïî
ĐỀ THI NĂM 2004:
Ⓐ KHỐI A: (1 điểm) Giải bất phương trình:

2 ( x 2 - 16)

+

x- 3 >

x- 3
ⓐ KHỐI B: (1 điểm) Xác định m để phương trình sau có nghiệm:
m

(

1 + x2 -

)

1- x 2 + 2 = 2 1- x 4 + 1 + x 2 -

7- x .

x- 3

1- x 2 .

ⓐ KHỐI D: (1 điểm) Xác định m để hệ phương trình sau có nghiệm:
ìï x + y = 1
ï
.
í
ïï x x + y y = 1- 3m
ïî
ĐỀ THI NĂM 2005:
ⓐ KHỐI A: (1 điểm) Giải bất phương trình:
Trang 11

5x - 1 -

x- 1>

2x - 4 .
GV: ĐỖ TRUNG LAI


Trường THPT Tân Châu
Bài Soạn lớp luyện thi: Đại số
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−-−−−−

ⓐKHỐI D: (1 điểm) Giải phương trình: 2 x + 2 + 2 x + 1 -

x+ 1=4.

ĐỀ THI NĂM 2006:
ìï x + y - xy = 3
ï
ⓐ KHỐI A: (1 điểm) Giải hệ phương trình: í
.
ïï x + 1 + y + 1 = 4
ïî
ⓐ KHỐI B: (1 điểm) Tìm m để phương trình sau có hai nghiệm thực phân biệt:
x 2 + mx + 2 = 2 x + 1 .
ⓐ KHỐI D: (1 điểm) Giải phương trình:

2 x - 1 + x 2 - 3x + 1 = 0 ( x Î ¡ ) .

ĐỀ THI NĂM 2007:
ⓐ KHỐI A: (1 điểm) Xác định m để phương trình sau có nghiệm:
3 x - 1 + m x + 1 = 2 4 x2 - 1 .
ⓐ KHỐI B: (1 điểm)
Chứng minh rằng với mọi giá trị dương của tham số m, phương trình sau có hai nghiệm
thực phân biệt: x 2 + 2 x - 8 = m( x - 2) .

Trang 12

GV: ĐỖ TRUNG LAI