Nghiên cứu đối lưu tự nhiên trong miền hai chiều bằng phương pháp số (Tóm tắt trích đoạn)

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
---------------------

Trần Thị Thu Duyên

NGHIÊN CỨU ĐỐI LƢU TỰ NHIÊN TRONG MIỀN HAI CHIỀU BĂNG PHƢƠNG
PHÁP SỐ

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Hà Nội – Năm 2017


ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
---------------------

Trần Thị Thu Duyên

NGHIÊN CỨU ĐỐI LƢU TỰ NHIÊN TRONG MIỀN HAI CHIỀU BẰNG PHƢƠNG
PHÁP SỐ

Chuyên ngành: Cơ chất lỏng
Mã số:

60440108

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

PGS. TS.Trần Văn Trản

Hà Nội – Năm 2017


LỜI CẢM ƠN
Trong quá trình học tập tại trường nói chung và trong quá trình thực hiện khóa
luận này nói riêng, tôi đã nhận được sự giảng dạy và chỉ bảo của các thầy cô giáo thuộc
bộ môn Cơ học, khoa Toán cơ tin trường Đại học Khoa học tự nhiên – ĐHQGHN.
Đầu tiên tôi xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến PGS. TS. Trần Văn Trản, người thầy
đã tận tình hướng dẫn vạch ra cho tôi hướng đi, đưa ra những nhận xét và sửa chữa , bổ
sung cho tôi rất nhiều kiến thức quý báu trong việc nghiên cứu khoa học và giúp tôi
hoàn thành tốt khóa luận.
Đồng thời tôi cũng xin cảm ơn Ban lãnh đạo trường, các thầy cô giáo trong khoa
Toán cơ tin học, các thầy cô giáo trong bộ môn Cơ học và tất cả các thầy cô giáo đã
giảng dạy tôi trong suốt thời gian học tập và nghiên cứu tại trường Đại học khoa học tự
nhiên đã tạo mọi điều kiện để tôi có thể tham gia nghiên cứu và thực hiện luận văn này.
Cuối cùng tôi xin gửi lời cám ơn chân thành nhất tới gia đình, bạn bè, anh chị,
những người luôn sát cánh bên tôi, giúp đỡ, quan tâm, động viên trong suốt quá trình
học tập và hoàn thành khóa luận.
Mặc dù đã rất cố gắng để hoàn thành tốt đề tài tuy nhiên do thời gian có hạn
cũng như kiến thức còn hạn chế. Tôi mong nhận được sự thông cảm, những đóng góp ý
kiến chỉ bảo của các thầy cô và các bạn để có thể hiểu sâu sắc hơn về vấn đề mà mình
đang nghiên cứu.
Tôi xin chân thành cảm ơn.
Hà nội, ngày 16 tháng 12 năm 2016
Học viên
Trần Thị Thu Duyên.

MỤC LỤC
Đặt vấn đề

2

Chƣơng 1. Bài toán đối lƣu tự nhiên trong miền hai chiều đóng kín

4

1.1 Đặt bài toán ..........................................................................................................4
1.2 Hệ phương trình Bussinesq ...................................................................................4
1.3 Mô hình bài toán mô phỏng số..............................................................................8
Chƣơng 2. Phƣơng pháp giải số

14

2.1 Mô tả thuật toán phân rã thời gian kết hợp quét luân hướng ...............................14
2.2 Sơ đồ sai phân Samarski ......................................................................................15
2.3 Phương pháp đa lưới giải phương trình hàm dòng ...............................................15
Chƣơng 3. Kết quả mô phỏng số

17

3.1 Bài toán nhiệt độ biên không đổi ..........................................................................17
3.2 Bài toán biên không truyền nhiệt ( bảo ôn) ..........................................................18
Kết luận

20

Tài liệu tham khảo

21

Phụ lục

23


ĐẶT VẤN ĐỀ
Đối lưu là hiện tượng liên quan tới sự truyền nhiệt trong chất lỏng. Đó cũng là
một cách thức trao đổi nhiệt phổ biến trong tự nhiên và kỹ thuật. Đối lưu tự nhiên được
hình thành bởi sự thay đổi mật độ do chênh lệch nhiệt độ trong lòng chất lỏng. Sự khác
biệt đó cũng như nhiệt độ trung bình của dòng chất lỏng là không lớn lắm để chất lỏng
vẫn được coi là không nén được. Trong đối lưu tự nhiên, quá trình truyền nhiệt và
chuyển động của chất lỏng ảnh hưởng qua lại lẫn nhau, và chuyển động của chất lỏng
có nguyên nhân duy nhất là lực Archimede gây ra bởi sự chênh lệch nhiệt độ trong lòng
chất lỏng. Khác với đối lưu tự do, đối lưu cưỡng bức còn bị ảnh hưởng bởi các lực tác
động bên ngoài khác, chẳng hạn chuyển động của chất lỏng trong các lò phản ứng xảy
ra dưới tác động của đối lưu nhiệt và lực hút của bơm.
Truyền nhiệt bởi đối lưu rất đa dạng, phụ thuộc hoàn cảnh cụ thể và khó tính
toán hơn truyền nhiệt thông thường. Khả năng dự đoán ảnh hưởng của dòng chảy đối
lưu lên sự phân bố nhiệt độ rất có ích khi phân tích các ứng dụng liên quan tới đốt nóng
hay làm lạnh chất lỏng, ví dụ hệ phát thải, hệ thống thông hơi. Hơn nữa, dòng đối lưu
không chỉ gây ra sự lan truyền nồng độ các chất hóa học có trong môi trường mà còn
góp phần thúc đẩy các phản ứng hóa học giữa chúng.
Trong bài này chúng ta sẽ nghiên cứu một số đặc trưng của dòng chảy đối lưu tự do
hai chiều trong một miền kín bằng phương pháp số. Dòng chảy đối lưu tự do được hiểu
là dòng chảy sinh ra có sự khác biệt về phân bố nhiệt độ trong lòng một bộ phận chất
lỏng, và sự khác biệt đó cũng như nhiệt độ trung bình của chất lỏng không lớn lắm để
có thể coi chất lỏng là không nén được. Các nghiên cứu về chuyển động đối lưu như

vậy đã được tiến hành từ lâu và vẫn còn đang thu hút sự quan tâm của các chuyên gia
bởi nhiều hiện tượng mới lạ đã được phát hiện bằng phương pháp thực nghiệm. Các
nghiên cứu đầu tiên về mô hình dòng chảy đối lưu tự do thuộc về Oberbeck [1] và

2


Bouissinespq [2]. Hoàn thiện và mở rộng mô hình từ phương diện phân tích chi tiết các
giả thiêt vật lý đã được đề cập trong các công trình của Sorokin [3], Spiegel và
Veronis[4], Mihaljan[5], Malkus[6], Gray và Giorgini [7]. Tổng quan về dòng chảy đối
lưu có thể thấy trong cuốn sách của Turner [8].
Do bài toán đối lưu tự nhiên trong miền kín liên quan đến những vấn đề kĩ thuật
như: thông thoáng không gian sống và làm việc, làm mát các thiết bị điện tử, truyền
nhiệt trong các thiết bị thu năng lượng mặt trời… nên gần đây bài toán này vẫn thu hút
được sự quan tâm của các chuyên gia. Nhiều công trình nghiên cứu đã được thực hiện
được bằng phương pháp số trong mấy năm qua như [9÷16].
Trong luận văn này bài toán đối lưu tự do của chất lỏng thực trong miền kín hai
chiều với nguồn nhiệt phân bố rời rạc hoặc liên tục trên đáy được mô phỏng số dựa
trên phương pháp sai phân hữu hạn. Các điều kiện khác nhau cho nhiệt độ được mô
phỏng để kiểm tra các đặc trưng khác biệt của dòng chảy trong từng trường hợp. Mô
phỏng số được thực hiện cho một số giá trị của số Grashof- đại lượng đặc trưng cho
cường độ dòng nhiệt dùng để đót nóng chất lỏng từ dưới lên.

3


CHƢƠNG 1. BÀI TOÁN ĐỐI LƢU TỰ NHIÊN TRONG
MIỀN HAI CHIỀU ĐÓNG KÍN
1.1. Mô tả bài toán
Chất lỏng thực chứa trong miền hai chiều kích thước L×L. Dưới tác động của

nguồn nhiệt cung cấp tại các phần lk (k  1 , lk  l j  ) của cạnh đáy chuyển động đối
lưu tự nhiên sẽ xuất hiện. Mục tiêu của luận văn này là mô phỏng số dòng chảy đối lưu
đó với các điều kiện biên khác nhau cho nhiệt độ từ đó phát hiện các đặc trưng của nó
và ảnh hưởng của các điều kiện biên cũng như phương pháp cấp nhiệt lên dòng chảy
đối lưu trong miền kín hai chiều.

1.2. Hệ phƣơng trình Bussinesq
Chúng ta sử dụng mô hình đối lưu do Bussinesq [1,2,3] đề xuất. Mô tả ngắn ngọn
về các giả thiết vật lý và cách thu nhận hệ phương trình như sau:
Xuất phát từ hệ phương trình Navier Stockes đầy đủ cho chất lỏng thực
 V

n

 V  V   p  V      divV   g
 t

3




 s

 V s   T  D
 t


(1)

T 

(2)


 div  V   0
t

(3)

4


Trong đó V là vận tốc, p, T , s là áp suất, nhiệt độ, entropy của chất lỏng,  , ,  , 
lần lượt là tỉ khối, hệ số nhớt trượt, hệ số nhớt thể tích và hệ số truyền nhiệt của chất
lỏng, g là gia tốc trọng trường , còn D là hàm tán xạ có dạng:

2


  v v 2
2
D   1  k   ik divV     divV 
2  xk xi 3


Để khép kín hệ (1)-(3) ta cần đưa thêm vào phương trình trạng thái của môi trường
hai tham số, có dạng tổng quát:
ρ=ρ(T,p)

(4)

Bây giờ ta xét chuyển động đối lưu tự do của chất lỏng, chất khí, trong đó tính nén
được của môi trường không đáng kể. Ta bắt đầu dơn giản hóa từ phương trình trạng
thái. Ta biểu diễn áp suất và nhiệt độ của chất lỏng ở dạng:
T  T  T ';

p  P  P'

(5)

Với T , P là các giá trị trung bình nào đó lấy làm điểm gốc, còn T ', P ' đặc trưng
cho sự lệch khỏi các giá trị trung bình nói trên. Chúng ta giả thiết rằng các giá trị lệch
đó không lớn lắm theo nghĩa chúng tạo ra sự lệch về tỉ khối không đáng kể so với tỉ
khối “trung bình”, nghĩa là ta có





  0 T , P   ' ;

'

0

(6)

Giới hạn đến số hạng bậc nhất cho phân tích Taylor của (4) ta có:
  

  
 P '  0 1   T '  P '
 T ' 
 T  p
 p T

  0  

(7)

Trong đó  ,  là hệ số nén đẳng nhiệt và hệ số giãn nở nhiệt của chất lỏng. Từ giả thiết
(6) ta phải có:
P'

1,  T '  1

(8)

5


Giả thiết thêm rằng, ảnh hưởng của biến đổi áp suất đến tỉ khối quá bé so với ảnh
hưởng của nhiệt độ (điều này là đúng đắn đối với chuyển động đối lưu tự do):
P'

T '

(9)

Do đó, phương trình trạng thái có thể viết dưới dạng xấp xỉ sau:

  0 1   T '

(10)

Chính mối quan hệ (10) dẫn đến chuyển động đối lưu tự do của chất lỏng, khi mà
phân bố nhiệt độ trong lòng nó không đồng nhất hoặc không thỏa mãn điều kiện cân
bằng nhiệt. Nên xuất phát từ biểu thức cho áp suất thủy tĩnh trong chất lỏng thì điều
kiện (8), (9) dẫn đến điều kiện tương ứng:
0 gH



(11)

1

Trong đó H là đặc trưng cho chiều thẳng đứng trong miền dòng chảy, còn θ là đặc
trưng về độ lệch nhiệt độ. Những giả thiết nêu trên cho phép ta coi chất lỏng là không
nén được, và do đó có thể viết phương trình liên tục ở dạng:
divV  0

(12)

Bằng cách tuyến tính hóa biểu thức của emtropy theo biến đổi áp suất và nhiệt độ,
đồng thời sử dụng định nghĩa của các hệ số nhiệt dung, ta đi đến kết quả:

 2T

s  s0  T ' P ' ; c p  cv 
0

0
T
cp

(13)

Lại một lần nữa ta có đánh giá ảnh hưởng của biến thiên áp suất nhỏ hơn so với biến
thiên nhiệt độ nên ta có:

s  s0 

cp
T

T'

(14)

Thay (14) vào (2) bỏ qua ảnh hưởng không đáng kể của thành phần không tán xạ, ta có
thể coi:
T '
 V T '   T '
t

(15)

6


Với    /  oc p 

Ta chuyển sang xem xét việc đơn giản hóa phương trình Navier Stockes. Thay (10)
vào (1) với lưu ý (12) ta nhận được:
0 1   T '

dV
 p  V   0 1   T '  g
dt

(16)

Nếu ta phân tách áp suất thành hai thành phần: p  p  p ' trong đó thành phần thứ nhất
là áp suất thủy tĩnh tương ứng với áp suất ở trạng thái cân bằng  0 , và do đó
 p  0

g.

Khi đó, vế phải của (16) có thể viết ở dạng
p ' V  0  T ' g

(17)

Ta lại sử dụng một giả thiết nữa thường đúng cho chuyển động đối lưu tự do. Đó là
giả thiết cho rằng gia tốc do đối lưu tự nhiên (tất nhiên theo chiều thẳng đứng) nhỏ hơn
so với gia tốc trọng trường. Khi đó thành phần ứng với gia tốc đối lưu ở vế trái sẽ bị bỏ
qua và ta nhận được phương trình:
V
1
 V  V   p  vV  g  T ' k
t
0

(18)

Trong đó k là véc tơ đơn vị theo chiều thẳng đứng hướng lên trên.
Vậy hệ mô tả phương trình chuyển động đối lưu tự do sẽ bao gồm: (12), (15), và (18).
Trong tiếp cận của Bussineq như mô tả ở trên, ta thấy sự giãn nở của tỉ khối do chênh
lệch nhiệt độ chỉ được tính đến duy nhất trong phương trình chuyển động (lực Asimed)
còn phương trình liên tục vẫn ở dạng không nén được. Điều này có vẻ không bình
thường. Tuy nhiên những thực nghiệm cẩn trọng đã chỉ ra rằng giả thiết đó vẫn hợp lí
vì nó mô tả khá chính xác những đặc trưng cơ bản của chuyển động đối lưu tự nhiên.

7


1.3. Mô hình bài toán mô phỏng số
Hệ phương trình dùng để mô phỏng đối lưu tự nhiên bao gồm:
+ Phương trình Boussineq 2 chiều cho chuyển động đối lưu:

 

V
1
 V  V   p  νΔV  gβT k
t
ρ0

(i)

+ Phương trình liên tục:
divV  0.

(2i)

+ Phương trình khuếch tán nhiệt:

 

T 
 V  T   χΔT .
t

(3i)

Bây giờ chúng ta nói đến các điều kiện biên của bài toán đối lưu nhiệt. Nếu chất
lỏng được chứa trong các biên cứng thì vận tốc của chất lỏng bằng không trên các biên
đó. Để có điều kiện biên về nhiệt ta cần đưa vào thêm phương trình truyền nhiệt trong
vật rắn (biên cứng) ở dạng:
Tc
  c Tc
t

(19)

Trong đó chỉ số c có nghĩa là nhiệt độ của thành cứng. Khi đó trên biên cứng ta có
các điều kiện cho phương trình truyền nhiệt:
T '  Tc



(20a)

T
T '
 c c
n
n

(20b)

Các biểu thức (20) mô tả điều kiện liên tục của nhiệt độ và dòng nhiệt trên bề mặt
tiếp xúc. Ngoài ra cũng đặt điều kiện biên cho biên ngoài của thành cứng tương ứng
với điều kiện nó được nung nóng hay làm nguội. Trong các bài toán được đề cập dưới
đây, chúng ta sẽ sử dụng điều kiện ở ngay trên biên của chất lỏng. Hệ phương trình

8


chuyển động đối lưu ở trên có nghiệm tầm thường ứng với trạng thái đồng nhất nhiệt
độ ở mọi nơi và vận tốc bằng không ở mọi thời điểm (không có chuyển động của chất
lỏng). Ngoài trạng thái đó ta còn một trạng thái gọi là trạng thái cân bằng cơ học, được
thiết lập như sau.
Nếu ta coi V=0 ở mọi điểm và kí hiệu nhiệt độ và áp suất ở trạng thái đó là p0 , T0
thì hệ phương trình (15), (18) thu được:
1

0

p0 g  T0 k =0

T0  0

Từ hai phương trình này ta dễ dàng nhận được
T0  k =0

Bỏ qua trường hợp T0  0 ứng với trạng thái đồng nhất nhiệt độ khắp nơi mà ta nhắc
đến ở trên, ta còn có lời giải với gradient nhiệt độ cùng chiều thẳng đứng với vec tơ k,
nghĩa là ta có lời giải ở dạng (kết hợp với phương trình truyền nhiệt):
T0  T0  z    Az  B

(21)

Với A, B là các hằng số. Đó là trạng thái cân bằng cơ học. Nếu ta có A  0 ta có phân
bố nhiệt độ giảm dần theo chiều cao còn A  0 ứng với nhiệt độ chất lỏng tăng dần
theo chiều cao.

9


Trường hợp (A<0) thứ hai không dẫn
đến đối lưu nhiệt, trong khi trường hợp
thứ nhất với một số điều kiện thường dẫn

B3

đến mất ổn định Rayleigh –Taylor và
xuất hiện chuyển động đối lưu.

L
B2

Trong nghiên cứu này chuyển động

B4

đối lưu sẽ được xem xét xuất phát từ cả
hai trạng thái mô tả ở trên do tồn tại
những kích động về nhiệt trong lòng chất

O

lỏng hoặc trên biên của nó.

lx

ly

B1

L

Hình 1
Bây giờ ta đề cập đến việc đưa hệ
phương trình và các điều kiện biên ban đầu của bài toán chuyển động đối lưu về dạng
không thứ nguyên. Ta lấy các đại lượng sau làm các đại lượng đặc trưng: L độ dài đặc
trưng cho kích thước của miền dòng chảy; θ đặc trưng cho sự chênh lệch nhiệt độ, τ
thời gian đặc trưng cho các thay đổi của các yếu tố bên ngoài gây ra chuyển động đối
lưu, và các thông số nhiệt động lực học: v,  , g  . Từ các đại lượng kể trên ta có thể tạo
nên các đại lượng không thứ nguyên như :
Gr 

v
g L3
, Pr  ,
2

v

F


L2

;

R  Gr  Pr

Các số trên lần lượt được đặt tên là số Grashof, Prandtl, Fourier và Rayleigh.
Chúng ta sẽ mô phỏng chuyển động đối lưu hai chiều trong một miền giới hạn bởi bốn
biên cứng như trên hình 1(kích thước hình học đã được không thứ nguyên hóa bằng
cách chia cho L). Các biên cứng lần lượt được đánh dấu bằng các kí hiệu B1 , B2 , B3 , B4 .

10


Hệ phương trình cho trường hợp này sẽ là:
u
u
u
p 1   2u  2u 
u

v
 



t
x
y
x Re  x 2 y 2 

(22)

v
v
v
p 1   2v  2v  Gr
u v   

T


t
x
y
y Re  x 2 y 2  Re2

(23)

T
T

T
1   2T  2T 
u
v




t
x
y Pr Re  x 2 y 2 

(24)

u v
 0
x y

(25)

Trong các phương trình trên nếu ta lấy vận tốc đặc trưng là v / L thì hệ số Reynolds
sẽ nhận giá trị bằng đơn vị. Để loại áp suất ra khỏi hệ phương trình chuyển động,
chúng ta sử dụng các biến hàm dòng và hàm xoáy. Từ (25) ta thấy tồn tại một hàm số
mà ta gọi là hàm dòng có các tính chất sau:
u


;
y

v


x

(26)

Ngoài ra ta cũng đưa hàm số đặc trưng cho rotV gọi là hàm xoáy, mà trong trường hợp
hai chiều chỉ có một thành phần khác không:



u v

y x

(27)

Khi đó hệ (22), (23) sẽ đưa được về dạng sau:


 1   2  2 
Gr T
u
v

 2  2  2
t
x
y Re  x

y 
Re x

11

(28)


 2  2


x 2 y 2

(29)

Như vậy, hệ mô tả chuyển động tự do đối lưu hai chiều bao gồm (24), (26), (28) và
(29).
Điều kiện biên cho bài toán trên, ta có thể thu nhận theo các luận cứ sau. Do vận
tốc của chất lỏng thực luôn bằng không trên biên cứng cố định nên từ điều kiện
u  v  0 trên B1  B4 nên ta có:



Bk

0

(30)

Để cho hàm xoáy từ (29) ta có

 B   B   yy ,
1

 B   B   xx

3

2

4

Nếu ta lấy luôn sai phân với bước lưới đều theo hai biến x và y và sử dụng công thức
xấp xỉ đạo hàm cấp hai trên biên [17], ta nhận được công thức tính giá trị của hàm xoáy
trên biên qua các các giá trị hàm dòng lân cận:
B 

1
1
2 1 j  5 2 j  4 3 j  4 j  ;  B  2  2 Nj  5 N 1, j  4 N  2, j  N 3, j 
2 
4
h
h

B 

1
1
2 i1  5 i 2  4 i 3  i 4  ;  B  2  2 i ,N  5 i ,N 1  4 i ,N  2  i ,N 3 

2 
3
h
h

2

1

(31)

Đối với nhiệt độ ta sẽ sự dụng hai loại điều kiện sau
a/

T B  0; T l  1

(32)

 0; T lk  1

(33)

k

b/

Tn

B

Điều kiện biên (32) thể hiện nhiệt độ trên thành giữ không đổi, nhờ tính chất
truyền nhiệt qua thành cứng một cách tức thời, trong khi (33) lại thể hiện khả năng

12


cách nhiệt tuyệt đối của thành cứng. Trong (33) và (34) ta kí hiệu B là ba cạnh B2 ; B3 ;
B4 và các phần không đót nóng của cạnh đáy nắm giữa các đoạn lk .

Như thế bài toán chuyển động đối lưu tự nhiên của chất lỏng mà ta sẽ sử dụng để
mô phỏng số sẽ bao gồm (24), (28), (29), (30), (32) hoặc (33).

13


TÀI LIỆU THAM KHẢO

1. Oberbeck A. , 1879, Ann. Der Phys. Und Chem. 7, 271
2. Boussinesq J., 1903, Theorie analytique de la chaleur, Vol. 2
3. Dorokin V., 1953, Variational method in the thory of convective motion. Appl. Math.
& Mech. , 17, 1
4. Spiegel E., Veronis G., 1960. On the Boussinesq approximation for a compressible
fluid flow. Astrophys. J., 131, 142
5. Mihalijan J. 1962. Arigorous exposition of the boussinesq approximation applicable to
a thin liquid layer. Astrophys. J. 136, 1126
6. Malkus W., 1964, Boussinesq equations. Woods Hole Oceanographic Inst. Rep. 46-64
7. Gray o., Giorgini A., 1976, The validity of the Buossinesq approximation for liquids
and gases. Int. J. Heat Mass Transfer, 19, 545
8. Turner J., 1973, Buoancy Effect in Fluids, Cambridge Univ. Press
9. Aydin O., Yang W., 2000, Natural convection in enclosures with localized heating

from below and symmetrical cooling from sides. Int. J. Numer. Methods Heat Fluid
Flow, 10(5), 519-529
10. Calcagni B., et al. 2005, Natural convective transfer in square enclosures heated from
below. Appl. Therm. Engin. 25, 2522-2531
11. Basak T., et al., 2005, Effects of thermal boundary conditions on natural convective
flows within a square cavity. Int. J. Heat Mass Transfer, V49, 4525-4535

21


12. Qi-Hong Deng, 2008, Fluid flow and heat transfer characteristics of natural convection
in square cavity due to discrete source-sink paires. Int. J. Heat Mass Transfer, v51,
5949-5957
13. Che Sidik N. A., 2009, Prediction of natural convection in a square cavity with
partially heated from below and symmetical cooling from sides by the finite difference
Latice Boltzman method. European J. Scie. Res. V35 (3), 347-354
14. Rahman M., et al., 2010, Natural convection flow in a square cavity with internal heat
generation and flush mounted heater on a side wall. J. of Naval Arch. And Marine
Engin.
15. Delavar M., Sedighi K., 2011, Effects of discrete heater at the vertical wall of the
cavity over heat transfer and entropy generation using Latice Boltzman method.
Thrmal Science V15 (2) 423-435
16. Debbah D., et al., 2014, Numerical simulation of natural convection in a quare cavity
with partially active vertical and horizontal walls. IPCO, V2.
17. Trần Văn Trản, 2007, Phương pháp số thực hành, Tập 1, NXB DHQG HN
18. Polezaev V., et al. 1987, Mathematical modelization of convective heat and mass
transfer on Navier-Stokes equations, Nauka press, Moscow.

22