CÔNG THỨC TÍNH NHANH KHỐI TRÒN XOAY

Biên soạn: Đoàn Trí Dũng – Điện thoại: 0902.920.389
LỚP TOÁN THẦY DŨNG
OFFLINE
CHUYÊN ĐỀ KHỐI TRÒN XOAY

CHUYÊN ĐỀ LUYỆN THI
TRUNG HỌC PHỔ THÔNG QUỐC GIA 2017
Môn: Toán

PHẦN 1: TỔNG HỢP CÁC CÔNG THỨC MẶT CẦU
Loại 1: Cạnh bên SA vuông góc đáy và

ABC  900 khi đó R 

SC
và tâm là trung điểm SC .
2

S

S

C

A

A

B
B

D

C

Loại 2: Cạnh bên SA vuông góc đáy và bất kể đáy là hình gì, chỉ cần
tìm được bán kính đường tròn ngoại tiếp của đáy là RD , khi đó ta có
công thức: R 2  RD2 
•

•

RD 

S

K

SA2
.
4

I
C

A

abc
4 p  p  a  p  b  p  c 

O

( p là nửa chu vi).
B

Nếu  ABC vuông tại A thì: R 2 

1
AB 2  AC 2  AS 2  .

4

a 2
a 3
, nếu đáy là tam giác đều cạnh a thì RD 
.
2
3
S
Loại 3: Chóp có các cạnh bên bằng nhau: SA  SB  SC  SD .

•

Đáy là hình vuông cạnh a thì RD 

Khi đó bán kính mặt cầu ngoại tiếp: R 

SA2
.
2 SO

•

ABCD là hình vuông, hình chữ nhật, khi đó O là giao hai
đường chéo.
• ABC vuông, khi đó O là trung điểm cạnh huyền.
• ABC đều, khi đó O là trọng tâm, trực tâm.
Loại 4: Hai mặt phẳng  SAB  và  ABC  vuông góc với nhau và

A

D

B
S

có giao tuyến AB . Khi đó ta gọi R1 , R2 lần lượt là bán kính đường
tròn ngoại tiếp các tam giác SAB và ABC . Ta có công thức tính
bán kính mặt cầu ngoại tiếp: R 2  R12  R22 

AB
4

2

C

O
I
A

C
J
K
B

Loại 5 (Tổng quát): Chóp S.ABCD có đường cao SH , tâm đường tròn ngoại tiếp đáy là O . Khi đó ta
giải phương trình:  SH  x   OH 2  x 2  RD2 . Với giá trị x tìm được ta có: R 2  x 2  RD2 .
2

Loại 6: Bán kính mặt cầu nội tiếp: r 

3V
.
Stp

LUYỆN THI TOÁN TRẮC NGHIỆM THPT QUỐC GIA 2017

Trang 1/3


Biên soạn: Đoàn Trí Dũng – Điện thoại: 0902.920.389
PHẦN 2: CÁC VẤN ĐỀ LIÊN QUAN ĐẾN HÌNH TRỤ VÀ KHỐI TRỤ:
•

Công thức cơ bản cần biết: V   R 2 h, S xq  2 Rh, Stp  2 R  h  R  .

•

Thiết diện vuông góc trục là một đường tròn bán kính R .

•

Thiết diện chứa trục là một hình chữ nhật ABCD trong đó AB  2 R và
AD  h . Nếu thiết diện qua trục là một hình vuông thì h  2R .

•

Thiết diện song song với trục và không chứa trục là hình chữ nhật D
BGHC có khoảng cách tới trục là: d  OO ';  BGHC    OM .

•

Nếu như AB và CD là hai đường kính bất kỳ trên hai đáy của hình trụ thì:
VABCD 

•

O

A
G

B

M

C
H
O

A

B

1
AB.CD.OO '.sin  AB, CD 
6

Đặc biệt nếu AB và CD vuông góc nhau thì: VABCD

 AB; OO ' 

C

1
 AB.CD.OO ' .
6

O'
D

•

Hình 1: Góc giữa AB và trục OO ' :

•

Hình 2: Khoảng cách giữa AB và trục OO ' : d  AB; OO '  O ' M .

•

Hình 3: Nếu ABCD là một hình vuông nội tiếp trong hình trụ thì đường chéo của hình vuông

A ' AB .

cũng bằng đường chéo của hình trụ. Nghĩa là cạnh hình vuông: AB 2  4 R 2  h 2 .
A
O

O
A

O

B

A
I
O'

O'
B

A'

Hình 1

M

A'

B

Hình 2

D

O'
C

Hình 3

PHẦN 3: CÁC VẤN ĐỀ LIÊN QUAN ĐẾN HÌNH NÓN, KHỐI NÓN, NÓN CỤT:
•

1
Công thức hình nón cụt: V   h  R 2  Rr  r 2  , S xq   l  R  r  , Stp    R 2  r 2  l  R  r   .
3

•

1
Công thức cơ bản hình nón: V   R 2 h, S xq   Rl , Stp   R  l  R  .
3

•

•

Thiết diện vuông góc trục cách đỉnh một khoảng x cắt hình nón theo một đường

r x
tròn có bán kính là r . Khi đó nếu h là chiều cao của hình nón thì:  .
R h

r
R

Thiết diện chứa trục là một tam giác cân. Nếu tam giác đó vuông cân thì h  R
còn nếu là một tam giác đều thì h  R 3 .

LUYỆN THI TOÁN TRẮC NGHIỆM THPT QUỐC GIA 2017

Trang 2/3


Biên soạn: Đoàn Trí Dũng – Điện thoại: 0902.920.389
•

Thiết diện đi qua đỉnh mà không chứa trục cắt hình nón theo một tam giác cân S
SAB . Khi đó:
o Góc giữa  SAB  và SO là

OSM .

o Góc giữa  SAB  và  ABC  là

SMO .

PHẦN 4: TỔNG HỢP CÁC CÔNG THỨC ĐẶC BIỆT VỀ KHỐI TRÒN XOAY:

Chỏm cầu:

Hình trụ cụt:

 S xq  2 Rh    r 2  h 2 


h  h 2
2
h  3r 2 

V   h  R   
3 6



 S xq   R  h1  h2 


2  h1  h2 
V   R 

 2 


V

Hình nêm loại 2:

 2

V     R 3 tan 
 2 3

Parabol bậc hai.
Paraboloid tròn xoay.

3
3

4
S'  x   a 
 S parabol  Rh;

  

3
S  h   R 


1
1
2
V   R h  Vtru

2
2

Selip   ab
Elip:

h

B

M

A

r

R

h2
h1
R

2 3
R tan 
3

Hình nêm loại 1:

•

O

C

o Nếu M là trung điểm của AB thì AB   SMO  .

x

S  x   2b  1 
x

2

t
dt
a2

LUYỆN THI TOÁN TRẮC NGHIỆM THPT QUỐC GIA 2017

R

R
h

a

b a
x x

Trang 3/3