Toa do KG

CÁC KHÁI NIỆM MỞ ĐẦU
• A
∈
d: điểm A thuộc đường thẳng d, đường thẳng d qua điểm A
• A
∉
d : điểm A không thuộc đường thẳng d, đường thẳng d không qua điểm A
• A
∈
(
α
): điểm A thuộc mp (
α
), A nằm trên (
α
), (
α
) chứa A, (
α
) qua A
• A
∉
(
α
): điểm A không thuộc mp (
α
), A nằm ngoài (
α
), (
α
) không chứa A, (

α
) không qua A
• d
⊂
(
α
): đường thẳng d nằm trên (
α
), (
α
) chứa d
• d
⊄
(
α
): đường thẳng d không nằm trên (
α
), (
α
) không chứa d
Phần 1 ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG
Các tính chất Cách xác định mặt phẳng
H1
TC1: Có một và chỉ một
đường thẳng qua hai
điểm phân biệt
H7
Cách 1: Qua 3 điểm
không thẳng hàng xác
định một mp

H2
TC2: Có một và chỉ một
mặt phẳng qua ba điểm
không thẳng hàng
H8
Cách 2: Một đường
thẳng và 1 điểm nằm
ngoài đường thẳng
cho ta một mp
H3
TC3: Nếu một đường
thẳng có hai điểm phân
biệt thuộc một mphẳng
thì mọi điểm của đường
thẳng đều thuộc mp đó
H9
Cách 3: Hai đường
thẳng cắt nhau cho ta
một mp
H4
TC4: Tồn tại 4 điểm
không cùng thuộc một
mặt phẳng
H10
Cách 4: Hai đường
thẳng song song cho
ta một mp
H5
TC5: Nếu 2 mp phân biệt
có một điểm chung thì

chúng còn có một điểm
chung khác nữa
H6
TC6: Trên mỗi mp các
kết quả đã biết trong
hình học phẳng đều đúng
VÉCTƠ TRONG KHÔNG GIAN
1) Định nghĩa : Vetơ trong không gian là đoạn thẳng có hướng. KH:
AB
uuur
chỉ véctơ có điểm đầu A và
điểm cuối B. Véctơ còn được kí hiệu là
, , , ...x y a b
r r r r
2) Các phép toán về vectơ
- Tương tự trong hình học phẳng
- Qui tắc hình hộp: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Ta có:
' 'AB AD AA AC+ + =
uuur uuur uuur uuuur
3) Điều kiện đồng phẳng của 3 véctơ
a) Định nghĩa : Trong không gian 3 véctơ được gọi là đồng phẳng nếu các giá của chúng cùng song
song với 1 mp
b) Điều kiện để 3 véctơ đồng phẳng
 Định lí : Trong không gian cho 2 vectơ
,a b
r r
không cùng phương và
c
r
. Khi đó 3 vectơ

, ,a b c
r r r

đồng phẳng
⇔
có cặp số m, n sao cho
c
r
=
ma nb+
r r
. Ngoài ra cặp số m, n là duy nhất
c) Phân tích (biểu thị) 1 vectơ theo 3 vectơ không đồng phẳng
Trong không gian cho 3 vectơ
, ,a b c
r r r
không đồng phẳng. Khi đó với mọi
x
r
ta đều tìm được 1 bộ
3 số m, n, p sao cho:
x
r
=
ma nb+
r r
+ p
c
r
. Ngoài ra bộ 3 số m, n, p là duy nhất

GÓC
1
B
α
C
A
A
b
α
d
α
a
α
a
b

α
d
B
A


B
α
d
A


A
B

D
C’
A’
H 1.1
H7
Góc giữa hai vectơ trong không
gian
Trong không gian cho
u
r
và
v
r
là
2 vectơ khác
0
r
. Lấy 1 điểm A
bất kì, gọi B và C là 2 điềm sao
cho
AB
uuur
=
u
r
,
AC
uuur
=
v

r
. Khi đó ta
gọi
·
BAC
(0
0

≤

·
BAC
≤
180
0
) là
góc giữa 2 vectơ
u
r
và
v
r
trong
không gian
KH: (
u
r
;
v
r

)
cos(
u
r
;
v
r
) =
u.v
u v
r r
r r
H8
Góc giữa 2 đường thẳng
Góc giữa 2 đường thẳng a và b
trong không gian là góc giữa 2
đường thẳng a’ và b’ cùng đi qua
1 điểm và lần lượt song song
(hoặc trùng) với a và b
a có vtcp
1
a
uur
b có vtcp
2
a
uur
Gọi
ϕ
là góc giữa 2

đường thẳng a và b
cos
ϕ
=
1 2
1 2
.a a
a a
uur uur
uur uur
H9
Góc giữa đường thẳng và mp
Góc giữa đường thẳng d và (
α
)
là góc nhọn tạo bởi đường thẳng
d và hình chiếu d’ của d lên (
α
)
Lưu ý: d
⊥
(
α
) => góc giữa
đường thẳng d và (
α
) bằng 90
0
d có vtcp
a

r
(
α
) có vtpt
n
r
Gọi
Ψ
là góc giữa
đthẳng d và (
α
)
sin
Ψ
=
a.n
a n
r r
r r
H10
Góc giữa 2 mp
Là góc giữa 2 đường thẳng lần
lượt vuông góc với 2 mp đó
(
α
) có vtpt
1
n
uur
(

β
) có vtpt
2
n
uur
Gọi
Ψ
là góc giữa 2mp
(
α
) và (
β
)
cos
Ψ
=
1 2
1 2
n .n
n n
uur uur
uur uur
KHOẢNG CÁCH
2
_A
_B
_C
u
r
v

r
a’
a
b
b’
Phương pháp toạ độ trong không gian
H11
Khoảng cách giữa 2 điểm A
và B
AB =
( ) ( ) ( )
( )
2 2 2
B A B A B A
x x y y z z− + − + −
H12
P)
M
H
Khoảng cách từ 1 M điểm
đến mp (
α
)
MH = d(M, (
α
)
(MH là khoảng cách từ điểm
M đến mp (
α
))

Điểm M(x
M
, y
M
, z
M
)
(
α
) có pt: Ax + By + Cz + D = 0
d(M, (
α
)) =
2 2 2
M M M
Ax By Cz D
A B C
+ + +
+ +
(1)
H13
Khoảng cách từ 1 điểm đến
đường thẳng
MH = d(M, a)
(MH là khoảng cách từ điểm
M đến đthẳng a)
Đường thẳng a qua điểm M
0
, có vtcp
a

r
d(M, a) =
0
,MM a
a
 
 
uuuuur r
r
H14
Khoảng cách giữa 2 đường
thẳng song song
AB = d(a, b)
Đường thẳng a qua điểm M
1
, có vtcp
1
a
uur
Đường thẳng b qua điểm M
2
, có vtcp
2
a
uur
d(a, b) =
1 2 1 2
1 2
,
,

a a M M
a a
 
 
 
 
uur uur uuuuuur
uur uur
H15
Khoảng cách giữa đường
thẳng và mp song song
MH = d(a, (
α
))
(Khoảng cách giữa đường
thẳng a và mp (
α
))
- Lấy điểm M
∈
a
- Ta có: d(M, (
α
)) = d(M, a)
(áp dụng công thức (1))
H16
Khoảng cách giữa 2 mp song
song
HK = d((
α

), (
β
))
(khoảng cách giữa mp (
α
)
và mp (
β
))
H17
Khoảng cách giữa 2 đường
thẳng chéo nhau
a và b chéo nhau
HK = d(a, b)
Hk là đường vuông góc
chung của 2 đường thẳng
chéo nhau a và b
*) Cách tìm đường vuông góc chung của 2 đường thẳng chéo nhau a và b
H18 Trường hợp 1: a và b vuông góc nhau
- Dựng (
α
) chứa a và vuông góc với b tại
B
- Trong (
α
) dựng BA
⊥
a tại A, ta được
AB = d(a, b)
Trường hợp 2: a và b không vuông góc

nhau
• Cách 1:
- Dựng (
α
) chứa a và song song với b
- Lấy 1 điểm M tuỳ ý trên b, dựng MM’
⊥
(
α
) tại M’
- Từ M’ dựng b’ // b cắt a tại A
- Từ A dựng AB // MM’ cắt b tại B
KL: AB = d(a, b)
• Cách 2:
 Nhận xét :
khoảng cách giữa 2 đường
thẳng chéo nhau bằng khoảng
cách giữa mp chứa đường
thẳng này và song song với
đường thẳng kia với đường
thẳng còn lại
 Cách viết phương trình
đường vuông góc chung của 2
đường thẳng chéo nhau a và b
Giải
Đường thẳng a có vtcp
1
a
uur
Đường thẳng b có vtcp

2
a
uur
Gọi M
1
(toạ độ có chứa tham
3
A B
α
a
M
H
M
a
H
α

K
H
α
a
b
B
A
α
a
b’
M
M’
B

A
b
H
K
a
b
A
B
- Dựng (
α
) vuông góc với a tại O và cắt
b tại I
- Dựng b’
≡
CH b/(
α
)
- Trong (
α
), vẽ OH
⊥
b’tại H
- Từ H dựng đường thẳng song song với a
cắt b tại B
- Từ B dựng đường thẳng song song với
OH cắt a tại A
KL: AB = d(a, b)
số t)
∈
a

1
M
2
(toạ độ có chứa tham số t’)
∈
a
2
M
1
M
2
là đường vuông góc
chung của a
1
và a
2

⇔

1 2 1
1 2 2
. 0
. 0
M M a
M M a

=


=



uuuuuur uur
uuuuuur uur

=> t = ? t’ = ? => M
1
, M
2
?
=> Pt đvgc chính là pt M
1
M
2
VỊ TRÍ TƯƠNG ĐỐI
H19
a và b song song nhau
KH: a // b hay b // a
1 2
1
, 0a a
M b

 
=

 

∉



uur uur r
a
1
1
M
Coù v
qua
tcp a





uur
b
2
2
M
Coù v
qua
tcp a





uur
H20
a và b cắt nhau tại M

a
∩
b = M
1 2
1 2 1 2
, 0
, . 0
a a
a a M M

 
≠
 

 
=

 

uur uur r
uur uur uuuuuur
H21
a và b trùng nhau
KH: a
≡
b
1 2
1
, 0a a
M b


 
=

 

∈


uur uur r
H22
a và b chéo nhau
(nếu không có mp nào chứa
cả a và b)
1 2 1 2
, .a a M M
 
 
uur uur uuuuuur
≠
0
ĐƯỜNG THẲNG VÀ MẶT PHẲNG
H23
Đường thẳng d song song với (
α
)
KH: d // (
α
) hay (
α

) // d
. 0
( )
a n
M
α

=


∉


r r
d
M
Coù v
qua
tcp a





r
(
α
) có vtpt
n
H24

Đường thẳng d và (
α
) cắt nhau
tại M
d
∩
(
α
) = M
a
r
.
n
≠ 0
H25
Đường thẳng d nằm trong (
α
)
KH: d
⊂
(
α
) hay (
α
)
⊃
d
. 0
( )
a n

M
α

=


∈


r r
HAI MẶT PHẲNG
H26
Hai mp (
α
) và (
β
) song song với
nhau
KH: (
α
) // (
β
)
(
α
) // (
β
)
⇔
(

α
)
∩
(
β
) =
∅
(α
1
): A
1
x + B
1
y + C
1
z + D
1
= 0
(α
2
): A
2
x + B
2
y + C
2
z + D
2
= 0
2

1
2
1
2
1
2
1
D
D
C
C
B
B
A
A
≠==
H27
Hai mp (
α
) và (
β
) cắt nhau theo
giao tuyến d
(
α
)
∩
(
β
) = d

(d là giao tuyến của (
α
) và (
β
)
A
1
: B
1
: C
1
≠ A
2
: B
2
: C
2
H28
Hai mp (
α
) và (
β
) trùng nhau
KH: (
α
)
≡
(
β
)

2
1
2
1
2
1
2
1
D
D
C
C
B
B
A
A
===
4
≡

β

α

α
tr


d

d
α
α
d
α
a
b
α
a
b
α
a
M
b
a
b
α
A
B
O
I
H
b’
α
d
M


α
a

M

b
