Hàm lồi và bất đẳng thức

Header Page 1 of 126.

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

THÁI THÙY LINH

HÀM LỒI VÀ BẤT ĐẲNG THỨC

Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP
Mã số: 60.46.40

TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Đà Nẵng - Năm 2011

Footer Page 1 of 126.


Header Page 2 of 126.

Công trình được hoàn thành tại
ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS. Trần Văn Ân.

Phản biện 1:
Phản biện 2:

Luận văn sẽ được bảo vệ tại Hội đồng chấm Luận văn tốt nghiệp thạc sĩ khoa học họp
tại Đại học Đà Nẵng vào ngày .... tháng .... năm ....

Có thể tìm hiểu luận văn tại:
- Trung tâm Thông tin - Học liệu, Đại học Đà Nẵng.
- Thư viện trường Đại học Sư phạm, Đại học Đà Nẵng.

Footer Page 2 of 126.


-1-

Header Page 3 of 126.

MỞ ĐẦU
1. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Chứng minh bất đẳng thức luôn là một phần khó đối với học sinh trung học,
kể cả đối với sinh viên Đại học. Do đó việc tìm ra cách giải chúng theo các phương
pháp tổng quát hơn luôn được nhiều người quan tâm.
Một trong số những công cụ đưa ra để giải bài toán trên là Hàm lồi, cụ thể là
sử dụng bất đẳng thức Jensen, Muirhead và Schur để làm cơ sở chứng minh các
bất đẳng thức khác. Vì vậy tôi chọn đề tài "Hàm lồi và bất đẳng thức" để làm
luận văn tốt nghiệp của mình ở cấp cao học.
2. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU
Trong quá trình bồi dưỡng học sinh giỏi ở nhà trường phổ thông trung học, lý
thuyết hàm lồi và sử dụng hàm lồi để chứng minh bất đẳng thức chưa được đưa
vào giảng dạy và quan tâm đúng mức.
Do vậy, tôi viết luận văn này nhằm góp phần làm tăng chất lượng bồi dưỡng
học sinh giỏi ở cấp phổ thông trung học.
3. ĐỐI TƯỢNG VÀ PHẠM VI NGHIÊN CỨU
- Đối tượng nghiên cứu: Nghiên cứu về hàm lồi và phương pháp chứng minh
bất đẳng thức bằng hàm lồi.

- Phạm vi nghiên cứu: Các bất đẳng thức về hàm lồi và việc ứng dụng chúng
vào chương trình chuyên toán ở bậc trung học.
4. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
- Trình bày tóm tắt lý thuyết và các chứng minh định lý, hệ quả, mệnh đề.
- Trình bày các bất đẳng thức về hàm lồi và đưa ra các bài tập vận dụng chúng
trong chứng minh bất đẳng thức.
5. Ý NGHĨA KHOA HỌC VÀ THỰC TIỄN CỦA ĐỀ TÀI
Luận văn tiếp cận một vấn đề mới của hàm lồi, trong đó có hàm lồi theo nghĩa
Schur.
6. CẤU TRÚC CỦA LUẬN VĂN
Luận văn được chia làm các chương:
Footer Page 3 of 126.


Header Page 4 of 126.

-2-

- Chương 1: Chương này trình bày các kiến thức cơ bản về hàm lồi trên Rn để
làm lý thuyết cần thiết cho các chương tiếp theo. Trong đó có giới thiệu về
hàm lồi theo nghĩa Schur, các tính chất của hàm lồi theo nghĩa Schur và một
vài ví dụ minh họa việc áp dụng các tính chất này để chứng minh bất đẳng
thức.
- Chương 2: Một số bất đẳng thức cổ điển và các bài toán vận dụng chúng
trong chứng minh bất đẳng thức được trình bày trong chương này. Ngoài ra,
chương này giới thiệu một số ứng dụng của các bất đẳng thức Jensen thông
qua các bài toán.
- Chương 3: Giới thiệu một cách cơ bản về bất đẳng thức Muirhead, bất đẳng
thức Schur và một số ứng dụng của các bất đẳng thức Muirhead, Schur thông
qua các bài toán.

Footer Page 4 of 126.


-3-

Header Page 5 of 126.

Chương 1
HÀM LỒI TRÊN RN

TẬP LỒI VÀ HÀM LỒI TRÊN RN

1.1
1.1.1

Tập lồi trên Rn

Định nghĩa 1.1.1.1. Tập con A trong Rn được gọi là một tập hợp lồi nếu với mọi
x1 , x2 ∈ A; với mọi λ ∈ R sao cho 0 ≤ λ ≤ 1 thì λx1 + (1 − λ)x2 ∈ A.
Chú ý: Tập ∅ được xem là tập lồi.
Định nghĩa 1.1.1.2. Cho x1 , x2 ∈ Rn . Đoạn nối x1 , x2 được định nghĩa như sau:
[x1 , x2 ] = {x ∈ X : x = λx1 + (1 − λ)x2 , 0 ≤ λ ≤ 1} .
Nhận xét: Tập A là lồi nếu với mọi x1 , x2 ∈ A thì [x1 , x2 ] ⊂ A.
Tính chất 1.1.1.1. Giả sử Aα ⊆ Rn , α ∈ I là các tập lồi; với I là tập chỉ số bất kỳ.
Khi đó, tập A =

α∈I

Aα cũng lồi.

Định nghĩa 1.1.1.3. Cho A, B là các tập trong Rn và λ ∈ R. Các tập A + B, λA
được xác định như sau:
A + B = {x + y|x ∈ A, y ∈ B}
λA = {λx|x ∈ A}.
Tính chất 1.1.1.2. Giả sử tập Ai ⊆ Rn lồi, λi ∈ R, i = 1, m. Khi đó: λ1 A1 + λ2 A2 +
. . . + λm Am là tập lồi.
Tính chất 1.1.1.3. Cho các tập Ai lồi trong Rn , i = 1, m. Khi đó, tích Descartes
m
i=1 Ai

là một tập lồi trong

m
n
i=1 R .

Định nghĩa 1.1.1.4. Vectơ x ∈ Rn được gọi là tổ hợp lồi của các vectơ x1 , x2 , . . . , xm
trong Rn nếu tồn tại λi ≥ 0, i = 1, m với

m
i=1 λi

= 1 sao cho x =

m
i=1 λi xi .

Định lý 1.1.1.1. Giả sử tập A ⊆ Rn là tập lồi và x1 , x2 , . . . , xm ∈ A. Khi đó, A chứa
tất cả các tổ hợp lồi của x1 , x2 , . . . , xm .

Footer Page 5 of 126.


-4-

Header Page 6 of 126.

1.1.2

Hàm lồi trên Rn

Giả sử f : D → R ∪{±∞} với D ⊆ Rn
Định nghĩa 1.1.2.1.
i) Hàm số f được gọi là lồi trên D nếu với mọi x1 , x2 ∈ D và với mọi cặp số thực không
âm λ1 , λ2 : λ1 + λ2 = 1, ta đều có: f (λ1 x1 + λ2 x2 ) ≤ λ1 f (x1 ) + λ2 f (x2 ) (1) mỗi khi
vế phải được xác định; nghĩa là (1) được thỏa mãn trừ khi f (x1 ) = −f (x2 ) = ±∞.
Nếu đẳng thức xảy ra chỉ khi x1 = x2 hoặc λ = 0 hoặc λ = 1 thì ta nói hàm f (x)
lồi thật sự (chặt) trên D.
ii) Hàm số f được gọi là lõm trên D nếu với mọi x1 , x2 ∈ Rn và với mọi cặp số thực
không âm λ1 , λ2 : λ1 + λ2 = 1, ta đều có: f (λ1 x1 + λ2 x2 ) ≥ λ1 f (x1 ) + λ2 f (x2 )
(2) mỗi khi vế phải được xác định; nghĩa là (2) được thỏa mãn trừ khi f (x1 ) =
−f (x2 ) = ±∞.
Nếu đẳng thức xảy ra chỉ khi x1 = x2 hoặc λ = 0 hoặc λ = 1 thì ta nói hàm f (x)
lõm thật sự (chặt) trên D.
Nhận xét: Hàm f được gọi là lõm trên D nếu −f là hàm lồi trên D.
Định nghĩa 1.1.2.2. Ta gọi tập {(x, r) ∈ D × R : r ≥ f (x)} là trên đồ thị của hàm f
và ký hiệu là epi(f ).
Nhận xét: Hàm f được gọi là lồi trên D nếu epi(f ) là tập lồi trong D × R.
Định nghĩa 1.1.2.3. Miền hữu hiệu (effective domain) của hàm f , ký hiệu domf , là
tập được xác định như sau: domf = {x ∈ D : f (x) < +∞}.

Nhận xét: Nếu f lồi thì domf lồi.

Từ nay ta chỉ xét các hàm lồi chính thường; đó là các hàm lồi f : D → (−∞; +∞]
có domf = ∅.
Định lý 1.1.2.1 (Bất đẳng thức Jensen).
Giả sử f : D → (−∞; +∞]. Khi đó, f là hàm lồi chỉ khi với mọi xi ∈ X, λi ≥ 0,
m

i = 1, m mà

λi = 1 ta có:
i=1

Footer Page 6 of 126.


Header Page 7 of 126.

-5-

f (λ1 x1 + λ2 x2 + ... + λm xm ) ≤ λ1 f (x1 ) + λ2 f (x2 ) + ... + λm f (xm ).
Các tính chất 1.1.2.1, 1.1.2.2 được suy ra dễ dàng từ định nghĩa của hàm lồi.
Tính chất 1.1.2.1. Nếu f (x) là hàm lồi trên D thì g(x) := c.f (x) là hàm lồi (lõm)
trên D khi c > 0 (c < 0).
Tính chất 1.1.2.2. Tổng hữu hạn các hàm lồi trên D là một hàm lồi trên D.
Tính chất 1.1.2.3. Nếu f (x) là hàm số liên tục và lồi trên D và nếu g(x) là hàm lồi
và đồng biến trên tập giá trị của f (x) thì g(f (x)) là hàm lồi trên X.
Chứng minh tương tự, ta có tính chất sau:
Tính chất 1.1.2.4.
i) Nếu f là hàm số liên tục và lõm trên D và nếu g là hàm lồi và nghịch biến trên

tập giá trị của f thì g(f (x)) là hàm lồi trên D.
ii) Nếu f là hàm số liên tục và lõm trên D và nếu g là hàm lõm và đồng biến trên
tập giá trị của f thì g(f (x)) là hàm lõm trên D.
iii) Nếu f là hàm số liên tục và lồi trên D và nếu g là hàm lõm và nghịch biến trên
tập giá trị của f thì g(f (x)) là hàm lõm trên D.
Tính chất 1.1.2.5. Nếu f là hàm số liên tục và đơn điệu trên D và nếu g là hàm
ngược của f thì ta có các kết luận sau:
i) f lõm, đồng biến khi và chỉ khi g lồi, đồng biến.
ii) f lõm, nghịch biến khi và chỉ khi g lõm, nghịch biến.
iii) f lồi, nghịch biến khi và chỉ khi g lồi, nghịch biến.
Định lý 1.1.2.2. Nếu f là hàm thực (một biến) khả vi bậc hai và f ”(x) ≥ 0 (f ”(x) ≤
0) trên X ⊆ R thì f lồi (tương ứng, lõm) trên X .
Định lý 1.1.2.3. (Tổng quát hóa của định lý trên)
Nếu f là hàm n biến thực khả vi đến cấp 2 trong D ⊆ Rn thì f là hàm lồi trên D
chỉ khi ma trận Hessian của f xác định không âm trên D.

Footer Page 7 of 126.


-6-

Header Page 8 of 126.

1.2

BỘ TRỘI VÀ HÀM LỒI THEO NGHĨA SCHUR

1.2.1

Bộ trội và các tính chất

Định nghĩa 1.2.1.1. Cho hai bộ số thực (x1 , x2 , ..., xn ) và (y1 , y2 , ..., yn ). Ta nói rằng
bộ (x1 , x2 , ..., xn ) trội hơn bộ (y1 , y2 , ..., yn ), hay bộ (y1 , y2 , ..., yn ) được làm trội bởi bộ
(x1 , x2 , ..., xn ), nếu các điều kiện sau thõa mãn:
i) x1 ≥ x2 ≥ ... ≥ xn ; y1 ≥ y2 ≥ ... ≥ yn .
ii) x1 + x2 + ... + xi ≥ y1 + y2 + ... + yi , ∀i = 1, n − 1.
iii) x1 + x2 + ... + xn = y1 + y2 + ... + yn .
Ký hiệu: (x1 , x2 , ..., xn )

(y1 , y2 , ..., yn ).

Tính chất 1.2.1.1.
i) (x1 , x2 , ..., xn )

(x1 , x2 , ..., xn ).

ii) (x1 , x2 , ..., xn )

(x, x, ..., x); trong đó: x1 ≥ x2 ≥ ... ≥ xn và x =

iii) Cho x1 ≥ x2 ≥ ... ≥ xn ≥ 0 thõa
(1, 0, ..., 0)

n
i=1 xi

1
n

n

i=1 xi .

= 1. Khi đó:

(x1 , x2 , ..., xn )

1 1
1
, , ...,
.
n n
n

Tính chất 1.2.1.2. Nếu hai bộ số thực (x1 , x2 , ..., xn ) và (y1 , y2 , ..., yn ) thõa mãn các
điều kiện sau:
i) y1 ≥ y2 ≥ ... ≥ yn .
ii) x1 + x2 + ... + xi ≥ y1 + y2 + ... + yi , ∀i = 1, n − 1.
iii) x1 + x2 + ... + xn = y1 + y2 + ... + yn
thì (x∗1 , x∗2 , ..., x∗n )

(y1 , y2 , ..., yn ).

Trong đó, (x∗1 , x∗2 , ..., x∗n ) là bộ số nhận được từ bộ (x1 , x2 , ..., xn ) bằng cách sắp xếp
x1 , x2 , ..., xn theo thứ tự giảm dần.
Tính chất 1.2.1.3. Nếu x1 ≥ x2 ≥ ... ≥ xn > 0; y1 ≥ y2 ≥ ... ≥ yn > 0 thõa mãn:
xi
yi
≥ , ∀i < j;
xj
yj

Footer Page 8 of 126.

n

n

xi =
i=1

yi
i=1


-7-

Header Page 9 of 126.

thì:
(x1 , x2 , ..., xn )
Tính chất 1.2.1.4. Nếu (x1 , x2 , ..., xn )
1.2.2

(y1 , y2 , ..., yn ).
(y1 , y2 , ..., yn ) thì xn ≤ yn .

Hàm lồi theo nghĩa Schur

Định nghĩa 1.2.2.1. Hàm lồi theo nghĩa Schur (hàm S-lồi).
Hàm thực ϕ xác định trên A ⊂ Rn được gọi là hàm lồi theo nghĩa Schur trên A
nếu: x ≺ y trên A thì ϕ(x) ≤ ϕ(y).

Trường hợp nếu x ≺ y trên A thì ϕ(x) ≥ ϕ(y) thì ϕ được gọi là hàm lõm theo
nghĩa Schur trên A.
Nhận xét: Hàm ϕ là lõm theo nghĩa Schur trên A khi và chỉ khi −ϕ là hàm lồi theo
nghĩa Schur trên A.
Bổ đề 1.2.2.1. Cho ϕ là hàm thực xác định trên D. Điều kiện:
x ≺ y trên D ⇒ ϕ(x) ≤ ϕ(y)
tương đương với: Với mọi z ∈ D và k = 1, n − 1, hàm




ϕ(z1 + ε, z2 − ε, z3 , z4 , ..., zn ) khi k = 1



g(ε) = ϕ(z1 , z2 , ..., zk−1 , zk + ε, zk+1 − ε, zk+2 , ..., zn ) khi k = 2, n − 2





ϕ(z1 , z2 , ..., zn−2 , zn−1 + ε, zn − ε) khi k = n − 1
không giảm theo ε, trong đó:
0 ≤ ε ≤ z2 − z3 nếu k = 1.
0 ≤ ε ≤ min(zk−1 − zk ; zk+1 − zk+2 ) nếu k = 2, n − 3
0 ≤ ε ≤ zn−2 − zn−1 nếu k = n − 1.
k

Nhận xét: Đặt z = (z1 , z2 , ..., zn ) ∈ D, zk = i=1 zi thì



xk ≤ yk ; k = 1, n − 1
x≺y⇔

xn = yn
và [x ≺ y ⇒ ϕ(x) ≤ ϕ(y)] ⇔ h(zk ) = ϕ(z1 , z2 , ..., zn ) = ϕ(z1 , z2 − z1 , ..., zn − zn−1 ) là
hàm không giảm theo zk , k = 1, n.
Footer Page 9 of 126.


-8-

Header Page 10 of 126.

Định lý 1.2.2.1. Cho ϕ là hàm thực xác định, liên tục trên D và khả vi liên tục trong
D. Khi đó, ϕ là hàm lồi theo nghĩa Schur khi và chỉ khi
ϕ(k) (x) =

∂ϕ
∂xk

không tăng theo k, k = 1, n trong D với x = (x1 , x2 , ..., xn ).
Ta ký hiệu:
∂ 2 ϕ(z)
.
ϕ(i,j) (z) =
∂zi .∂zj
Bổ đề 1.2.2.2. Nếu hàm thực f xác định trên [a, b] ⊂ R và khả vi cấp hai trên (a, b)
thõa mãn: f (x) ≥ 0, ∀x; f ”(x) > 0 nếu f (x) = 0 thì f là hàm số tăng thật sự trên
[a, b].

Định lý 1.2.2.2 (Schur 1923). Cho ϕ là hàm thực xác định trên D, khả vi cấp hai và
lồi theo nghĩa Schur trong D; đồng thời hàm ϕ thõa mãn: nếu ϕ(k) (z) = ϕ(k+1) (z) thì
suy ra được ϕ(k,k) (z) − ϕ(k,k+1) (z) − ϕ(k+1,k) (z) + ϕ(k+1,k+1) (z) > 0. Khi đó, nếu x ≺ y
trên D và x = y thì ϕ(x) < ϕ(y).
Từ định lý 1.2.2.2 suy ra một định lý rất quan trọng và tiện lợi trong ứng dụng để
giải các bài toán chứng minh bất đẳng thức. Định lý được phát biểu như sau:
Định lý 1.2.2.3 (Định lý Schur 1923_Dstrowski 1952). Cho I ⊂ R là một
khoảng mở và ϕ : I n → R là hàm khả vi liên tục. Để hàm ϕ là lồi theo nghĩa Schur
điều kiện cần và đủ là ϕ là hàm đối xứng trên I n và hàm ϕ(i) (z) đơn điệu không tăng
theo i = 1, n đối với mọi z ∈ D ∩ I n .
Ở đây ký hiệu D = {x = (x1 , x2 , ..., xn ) ∈ Rn : x1 ≥ x2 ≥ ... ≥ xn }.
Nói cách khác: hàm ϕ là hàm lồi theo nghĩa Schur trên I n khi và chỉ khi ϕ là hàm
đối xứng và nếu i = j thì (zi − zj ) ϕ(i) (z) − ϕ(j) (z) ≥ 0, ∀z ∈ D ∩ I n .

Bổ đề 1.2.2.3. Nếu ϕ là hàm đối xứng và lồi thì nó là hàm lồi theo nghĩa Schur.
Ví dụ 1.2.2.1. Nếu pi > 0, i = 1, n và

n
i=1 pi

= 1, ta gọi hàm số
n

H(p1 , p2 , ..., pn ) = −

pi ln pi
i=1

là hàm entropi của phân phối p = (p1 , p2 , ..., pn ) thì H(p1 , p2 , ..., pn ) ≤ ln n.
Footer Page 10 of 126.

-9-

Header Page 11 of 126.

Ví dụ 1.2.2.2. Cho yi > 0, i = 1, n. Chứng minh rằng:
n

(1 + yi ) ≤
i=1

Footer Page 11 of 126.

1
1+
n

n

n

yi
i=1

.


-10-

Header Page 12 of 126.

Chương 2
CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC BẰNG CÁCH SỬ
DỤNG HÀM LỒI

2.1

SỬ DỤNG HÀM LỒI CHỨNG MINH MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC
CỔ ĐIỂN

Bất đẳng thức 2.1.1. (Bất đẳng thức AM-GM)
Cho x1 , x2 , ..., xn ≥ 0. Ta luôn có bất đẳng thức:
√
x1 + x2 + ... + xn
≥ n x1 .x2 ...xn .
n
Bất đẳng thức 2.1.2. (Bất đẳng thức Schwarz)
Cho 2n số a1 , a2 , ...,an và b1 , b2 , ..., bn ; trong đó: bi > 0, ∀i = 1, n.. Ta luôn có
bất đẳng thức:
n

i=1

2
n
i=1 ai )
.
n
i=1 bi

(
a2i
≥
bi

Bất đẳng thức 2.1.3. (Bất đẳng thức Minkowski)
Cho 2n số dương a1 , a2 , ...,an và b1 , b2 , ..., bn . Ta luôn có bất đẳng thức:
√
n

a1 a2 ...an +

n

b1 b2 ...bn ≤

n

(a1 + b1 )(a2 + b2 )...(an + bn ).

Bất đẳng thức 2.1.4. (Bất đẳng thức H o¨lder)
Cho ai > 0, bi > 0, ∀i = 1, n; p > 0, q > 0,
n

i=1

i=1

+

1
q

= 1. Ta luôn có bất đẳng thức:
1
q

n

api

a i bi ≤

2.2

1
p

n

1
p

bqi

.

i=1

ỨNG DỤNG CỦA BẤT ĐẲNG THỨC JENSEN

Bài toán 2.2.1. Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng:
2
(b + c) .(c + a) .(a + b) ≤ (a + b + c)
3
a

Footer Page 12 of 126.

b

c

a+b+c

.


-11-

Header Page 13 of 126.

Bài toán 2.2.2. Cho 0 ≤ xi ≤ Π, i = 1, n. Chứng minh rằng:
1
n

n

sin xi ≤ sin

i=1

1
n

n

xi .
i=1

Từ đó suy ra rằng trong mọi tam giác ABC, ta có:
√
3 3
.
sin A + sin B + sin C ≤
2
Bài toán 2.2.3. Cho a, b, c là ba số thực dương; chứng minh rằng:
a
b
c
9
+
+
≥
.
(b + c)2 (c + a)2 (a + b)2
4(a + b + c)
Bài toán 2.2.4. Chứng minh rằng với mọi
tan

A
2

√
2 2

+ tan

B
2

ABC ta có:

√
2 2

Bài toán 2.2.5. Chứng minh rằng với mọi

+ tan

C
2

√
2 2

√

≥ 31− 2 .

ABC nhọn, ta có:

(sin A)sin A .(sin B)sin B .(sin C)sin C ≥

2
3

√
3 3
2

.

Bài toán 2.2.6. (IMO 2001/2) Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh:
√

a
b
c
+√
+√
≥ 1.
a2 + 8bc
b2 + 8ca
c2 + 8ab

Bài toán 2.2.7. (IMO 1983/6) Cho a, b, c là độ dài các cạnh của một tam giác.
Chứng minh rằng:
a2 b(a − b) + b2 c(b − c) + c2 a(c − a) ≥ 0.

2.3

CÁC PHƯƠNG PHÁP KHÁC

2.3.1

Phương pháp sử dụng bất đẳng thức cổ điển

Một số bất đẳng thức có thể được chứng minh bằng cách áp dụng thích hợp, khéo
léo các bất đẳng thức cổ điển. Việc áp dụng các bất đẳng thức cổ điển một cách linh
hoạt giúp ta giải quyết được nhiều bất đẳng thức khá khó và phức tạp. Mục này nêu
ra một số ví dụ cụ thể để minh họa cho điều đó.
Bài toán 2.3.1.1. Với a, b, c là các số thực tùy ý; chứng minh rằng:
√
3
2
a2 + (1 − b)2 + b2 + (1 − c)2 + c2 + (1 − a)2 ≥
.
2
Footer Page 13 of 126.


-12-

Header Page 14 of 126.

Bài toán 2.3.1.2. (JBMO 2002 Shortlist) Cho a, b, c là các số thực dương thõa
mãn abc = 2. Chứng minh rằng:
√
√

√
a3 + b3 + c3 ≥ a b + c + b c + a + c a + b.
Đẳng thức xảy ra khi nào ?
Bài toán 2.3.1.3. (JBMO 2003) Với các số thực bất kỳ x, y, z > −1; chứng minh
rằng:
1 + x2
1 + y2
1 + z2
+
+
≥ 2.
1 + y + z 2 1 + z + x2 1 + x + y 2
Bài toán 2.3.1.4. (Russia, 2002) Cho x, y, z là các số thực dương có tổng bằng 3.
Chứng minh rằng:
√
√
√
x + y + z ≥ xy + yz + zx.
Bài toán 2.3.1.5. Cho a, b, c là các số thực dương sao cho a + b + c = 1. Chứng minh
rằng:

√
a b

√
3 3
.
+
+
≥

√
√
√
√
√
√
4
a.
3c + ab
b.
3a + bc
c.
3b + ca
√
b c

√
c a

Bài toán 2.3.1.6. (MOSP, 2001) Chứng minh rằng nếu a, b, c là các số dương có
tích bằng 1 thì:
(a + b)(b + c)(c + a) ≥ 4(a + b + c − 1).

2.3.2

Phương pháp chuẩn hóa

Đặt vấn đề:
Cho H(x, y, z) là một đa thức thuần nhất bậc k, nghĩa là:
H(tx, ty, tz) = tk H(x, y, z),

và cho F (x, y, z) là hàm số thuần nhất bậc 0, nghĩa là:
F (x, y, z) = F (λx, λy, λz).
Khi đó, giá trị của F (x, y, z) trên miền {(x, y, z)/H(x, y, z) = a, a > 0} là không
thay đổi khi a thay đổi.

Footer Page 14 of 126.


-13-

Header Page 15 of 126.

Chứng minh. Thật vậy, giả sử M (x, y, z) ∈ {(x, y, z)/H(x, y, z) = a1 , a1 > 0}.
Ta có:
H(x, y, z) = a1
a2
⇔ H(x, y, z) = a2 với a2 = a1 , a2 > 0
a1
k
a2
k
⇔
.H(x, y, z) = a2
a1
a2 k a2 k a2
⇔H k
x,
y,
z = a2 .
a1

a1
a1
Đặt:
x =

k

a2
x; y =
a1

k

a2
y; z =
a1

k

a2
z
a1

⇒ F (x , y , z ) = F (x, y, z) với H(x , y , z ) = a2 .
và ta có:
M (x, y, z) ∈ {(x, y, z)/H(x, y, z) = a1 }
⇔ M (x , y , z ) ∈ {(x , y , z )/H(x , y , z ) = a2 }.
Do đó, ta có đpcm.
Như vậy để chứng minh bất đẳng thức dạng: F (x1 , x2 , ..., xn ) ≥ T , trong đó F là
hàm thuần nhất; ta có thể chuyển về việc chứng minh bất đẳng thức F (x1 , x2 , ..., xn ) ≥

T ; với mọi x1 , x2 , ..., xn thõa mãn điều kiện:
H(x1 , x2 , ..., xn ) = a, a > 0.
Kỹ thuật chuẩn hóa cho phép chúng ta biến một bất đẳng thức phức tạp thành
một bất đẳng thức có dạng đơn giản hơn. Điều này giúp ta có thể áp dụng các biến
đổi đại số một cách dễ dàng hơn, thay vì phải làm việc với các biểu thức cồng kềnh
ban đầu.
Bài toán 2.3.2.1. (Ukraine, 2001) Cho a, b, c, x, y, z là các số thực dương thõa
mãn x + y + z = 1. Chứng minh rằng:
ax + by + cz + 2

(xy + yz + zx)(ab + bc + ca) ≤ a + b + c.

Bài toán 2.3.2.2. Chứng minh rằng với x, y, z là các số thực bất kỳ ta có bất đẳng
thức:
6(x + y + z) x2 + y 2 + z 2 ≤ 27xyz + 10 x2 + y 2 + z 2
Footer Page 15 of 126.

3
2

.


-14-

Header Page 16 of 126.

Bài toán 2.3.2.3. Cho a, b, c là các số thực dương, chứng minh rằng:
2

(b + c − a)2
(c + a − b)2
(a + b − c)
3
+
+
≥ .
2
2
2
2
2
a + (b + c)
b + (c + a)
5
c2 + (a + b)
Bài toán 2.3.2.4. (USAMO 2003) Cho các số dương a, b, c. Chứng minh rằng:
(2a + b + c)2
(2b + a + c)2
(2c + b + a)2
+
+
≤ 8.
2a2 + (b + c)2 2b2 + (a + c)2 2c2 + (b + a)2
Bài toán 2.3.2.5. Cho a, b, c > 0, chứng minh rằng:
a(b + c)
b(c + a)
c(a + b)2
6
+

+
≤ .
2
2
2
2
2
2
(b + c) + a
(c + a) + b
(a + b) + c
5
Bài toán 2.3.2.6. Cho a, b, c > 0; chứng minh rằng:
(a + b + c)2 1
+
a 2 + b2 + c2 2
2.3.3

a 3 + b3 + c3
a2 + b2 + c2
−
abc
ab + bc + ca

≥ 4.

Phương pháp lượng giác

Phương pháp lượng giác là phương pháp chuyển các bất đẳng thức đại số thành
bất đẳng thức lượng giác bằng cách đổi biến thích hợp. Sau đó dùng các công thức

lượng giác hay tính chất của các hàm lượng giác để biến đổi, chứng minh.
Một số dạng đổi biến:
1. Sử dụng điều kiện của biến: |x| ≤ k (k > 0).
Đặt: x = k sin a với − π2 ≤ a ≤

π
2

hoặc x = k cos x với 0 ≤ a ≤ π.

2. Biến x, y của bất đẳng thức có điều kiện: x2 + y 2 = k 2 (k > 0).
Đặt: x = k sin a, y = k cos a với 0 ≤ a ≤ 2π.
3. Sử dụng điều kiện của biến x ≥ k (k > 0).
Đặt x =

k
;
cos a

a ∈ 0; π2 ∪ π; 3π
.
2

Khi đó: x2 − k 2 = k 2

1
cos2 a

− 1 = k 2 tan2 a và tan a > 0.

4. Bất đẳng thức có biểu thức x2 + k 2 .
Đặt x = k tan a với a ∈ − π2 ; π2 .
Khi đó: x2 + k 2 = k 2 1 + tan2 a =

k2
cos2 a

và cos a > 0.

Bài toán 2.3.3.1. Cho |a| ≤ 1, |b| ≤ 1; chứng minh rằng:
4ab
Footer Page 16 of 126.

(1 − a2 ) (1 − b2 ) + 2a2 − 1

2b2 − 1

≤ 1.


-15-

Header Page 17 of 126.

Bài toán 2.3.3.2. Chứng minh rằng
1+

√

1 − x2

(1 + x)3 −

√
√
(1 − x)3 ≤ 2 2 + 2 − 2x2 .

Bài toán 2.3.3.3. Cho 4x2 + 9y 2 = 25. Chứng minh rằng:
−25 ≤ 6x + 12y ≤ 25.
Bài toán 2.3.3.4. Cho x2 + y 2 − 2x − 4y + 4 = 0. Chứng minh rằng:
√
√
√
√
x2 − y 2 + 2 3xy − 2 1 + 2 3 x + 4 − 2 3 y − 3 + 4 3 ≤ 2.
Bài toán 2.3.3.5. Cho x ≥ 1. Chứng minh rằng:
√
5 − 12 x2 − 1
≤ 9.
−4 ≤
x2
Bài toán 2.3.3.6. Chứng minh rằng:
(a2 − b2 ) . (1 − a2 b2 )
1
1
≤ .
− ≤
2
2
4

4
(1 + a2 ) . (1 + b2 )
Bài toán 2.3.3.7. (Junior TST 2002, Romania) Nếu a, b, c ∈ (0; 1); chứng minh
rằng:

Footer Page 17 of 126.

√
abc +

(1 − a)(1 − b)(1 − c) < 1.


-16-

Header Page 18 of 126.

Chương 3
BẤT ĐẲNG THỨC MUIRHEAD VÀ BẤT ĐẲNG
THỨC SCHUR

3.1

TRÌNH BÀY CÁC BẤT ĐẲNG THỨC

3.1.1

Bất đẳng thức Muirhead

Định nghĩa 3.1.1.1. Cho F (a1 , a2 , ..., an ) là hàm số có n biến a1 , a2 , ...,an > 0 được

xác định bởi
F (a1 , a2 , ..., an ) = ax1 1 ax2 2 ...axnn ,
trong đó (x1 , x2 , ..., xn ) là dãy số thực không âm.
Ký hiệu

!F (a1 , a2 , ..., an ) là tổng của n! biểu thức thu được từ tất cả các hoán vị

của dãy (a1 , a2 , ..., an ).
Đặt
1
!F (a1 , a2 , ..., an )
n!
hoặc chỉ cần M [x1 , x2 , ..., xn ] nếu dãy (a1 , a2 , ..., an )đã được xác định.
M [x1 , x2 , ..., xn ](a1 , a2 , ..., an ) =

Định lý 3.1.1.1. (Bất đẳng thức Muirhead tổng quát)
Nếu (x1 , x2 , ..., xn )

(y1 , y2 , ..., yn ) thì M [x1 , x2 , ..., xn ] ≥ M [y1 , y2 , ..., yn ].

Đẳng thức xảy ra chỉ khi (x1 , x2 , ..., xn ) và (y1 , y2 , ..., yn ) đồng nhất hoặc các ai ,
i = 1; n bằng nhau.
Định lý 3.1.1.2. (Bất đẳng thức Muirhead cho đa thức 2 biến)
Cho (x1 , x2 )

(y1 , y2 ) và xi , yi ≥ 0, ∀i = 1; 2. Ta luôn có:
ax1 bx2 + ax2 bx1 ≥ ay1 by2 + ay2 by1 ; ∀a, b > 0.

Định lý 3.1.1.3. (Bất đẳng thức Muirhead cho đa thức 3 biến)
Cho (x1 , x2 , x3 )

(y1 , y2 , y3 ) và xi , yi ≥ 0, ∀i = 1; 3. Ta luôn có:
ax1 bx2 cx3 ≥
sym

Footer Page 18 of 126.

ay1 by2 cy3 ; ∀a, b, c > 0.
sym


-17-

Header Page 19 of 126.

3.1.2

Bất đẳng thức Schur

Định lý 3.1.2.1. (Bất đẳng thức Schur)
Nếu x, y, z là các số thực dương và λ ∈ R thì ta luôn có:
xλ (x − y)(x − z) + y λ (y − z)(y − x) + z λ (z − x)(z − y) ≥ 0.
Định lý 3.1.2.2. (Bất đẳng thức Schur mở rộng)
Cho f (x): (a, b) → R+ là một hàm lồi trên khoảng (a, b). Khi đó với mọi x, y,
z ∈ (a, b) ta luôn có
(x − y)(x − z)f (x) + (y − z)(y − x)f (y) + (z − x)(z − y)f (z) ≥ 0.
Định lý 3.1.2.3. Xét ba số a, b, c ∈ R và ba số x, y, z ∈ R+ . Điều kiện cần và đủ
của các số a, b, c, x, y, z sao cho bất đẳng thức sau đúng
x(a − b)(a − c) + y(b − c)(b − a) + z(c − a)(c − b) ≥ 0
là một trong các điều kiện sau thõa mãn:

1. a ≥ b ≥ c và x + z ≥ y.
2. x, y và z là độ dài các cạnh của một tam giác nào đó.
3. ax, by và cz là độ dài các cạnh của một tam giác nào đó.

3.2
3.2.1

ỨNG DỤNG
Ứng dụng của bất đẳng thức Muirhead

Bài toán 3.2.1.1. Cho a, b, c là các số thực dương sao cho abc = 1. Chứng minh rằng:
1
1
3
1
+ 3
+ 3
≥ .
+ c) b (c + a) c (a + b)
2

a3 (b

Bài toán 3.2.1.2. Cho x, y, z là các số thực dương, chứng minh rằng:
(xy + yz + zx)

1
1
1
9

+
+
≥ .
2
2
2
(x + y)
(y + z)
(z + x)
4

Bài toán 3.2.1.3. Cho x, y, z là các số thực không âm sao cho xy + yz + zx = 1.
Chứng minh rằng:
1
1
1
5
+
+
≥ .
x+y y+z z+x
2
Footer Page 19 of 126.


-18-

Header Page 20 of 126.

Bài toán 3.2.1.4. Cho ba số thực dương a, b, c. Chứng minh rằng:

(a + b)(b + c)(c + a) ≥ 8abc.
Bài toán 3.2.1.5. Cho các số thực dương x, y, z sao cho xyz = 1. Chứng minh rằng:
x3
y3
z3
3
+
+
≥ .
(1 + y)(1 + z) (1 + z)(1 + x) (1 + x)(1 + y)
4
Bài toán 3.2.1.6. Cho a, b, c, d > 0. Chứng minh rằng:
√
√
√
√
√
√
3 3
a + b3 + c3 + d3 ≥ ad bc + bd ac + cd ab + bc ad + ab cd + ac bd.
2
Bài toán 3.2.1.7. (USAMO, 1997) Cho a, b, c > 0. Chứng minh rằng:
1
1
1
1
+
+
≤
.

a3 + b3 + abc b3 + c3 + abc c3 + a3 + abc
abc
Bài toán 3.2.1.8. (IMO-shortlist, 1990) Cho các số thực a, b, c. Chứng minh rằng:
a2 + ab + b2

3.2.2

b2 + bc + c2

c2 + ca + a2 ≥ (ab + bc + ca)2 .

Ứng dụng của bất đẳng thức Schur

Nhận xét: Bất đẳng thức Schur khi λ = 1 là:
x(x − y)(x − z) + y(y − z)(y − x) + z(z − x)(z − y) ≥ 0.
Viết dưới dạng khai triển là:
x3 + y 3 + z 3 − (x2 y + y 2 z + z 2 x + xy 2 + yz 2 + zx2 ) + 3xyz ≥ 0.
Viết dưới dạng ký hiệu tổng đối xứng là:
(x3 − 2x2 y + xyz) ≥ 0.
sym

Sau đây là một số cách viết khác của bất đẳng thức Schur khi λ = 1 sau khi khai triển
cả hai vế và sắp xếp lại các số hạng:
i) x3 + y 3 + z 3 + 3xyz ≥ xy(x + y) + yz(y + z) + zx(z + x).
ii) xyz ≥ (x + y − z)(y + z − x)(z + x − y).
iii) 4(x + y + z)(xy + yz + zx) ≤ (x + y + z)3 + 9xyz.
Footer Page 20 of 126.


-19-

Header Page 21 of 126.

Bài toán 3.2.2.1. (2000 IMO) Cho a, b, c là các số thực dương sao cho abc = 1.
Chứng minh rằng:
a−1+

1
b

b−1+

1
c

c−1+

1
a

≤ 1.

Bài toán 3.2.2.2. (1984 IMO) Chứng minh rằng:
0 ≤ yz + zx + xy − 2xyz ≤

7
,
27

với x, y, z là các số thực không âm thõa mãn x + y + z = 1.

Bài toán 3.2.2.3. (2004 APMO) Chứng minh rằng:
a2 + 2

b2 + 2

c2 + 2 ≥ 9(ab + bc + ca),

với a, b, c là các số thực dương bất kỳ.
Bài toán 3.2.2.4. (2000 USA Team Selection Test) Chứng minh rằng:
a+b+c √
3
− abc ≤ max
3

√
√
a− b

√

2

,

b−

√

2

c

,

√

c−

√

a

2

với a, b, c là các số thực dương bất kỳ.
Bài toán 3.2.2.5. (2003 USA Team Selection Test) Cho a, b, c là các số thực
thuộc khoảng 0, Π2 . Chứng minh rằng:
sin a. sin(a − b). sin(a − c) sin b. sin(b − c). sin(b − a)
+
sin(b + c)
sin(c + a)
sin c. sin(c − a). sin(c − b)
≥ 0.
+
sin(a + b)
Bài toán 3.2.2.6. Cho a, b, c là các số dương thõa mãn a + b + c = 1. Chứng minh
rằng:
5 a2 + b2 + c2 ≤ 6 a3 + b3 + c3 + 1.
Bài toán 3.2.2.7. (Proposed for the Balkan Mathematical Olympiad) Cho a,
b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng:

a3
b3
c3
3(ab + bc + ca)
+
+
≥
.
b2 − bc + c2 c2 − ca + a2 a2 − ab + b2
a+b+c
Bài toán 3.2.2.8. Chứng minh rằng với các số thực dương a, b, c bất kỳ ta có:
a2
27 + 2 +
bc
Footer Page 21 of 126.

b2
c2
. 2+
. 2+
ca
ab

≥ 6(a + b + c)

1 1 1
+ +
.
a b c

-20-

Header Page 22 of 126.

Bài toán 3.2.2.9. Cho x, y, z là các số thực dương thõa mãn xyz = x + y + z + 2.
Chứng minh rằng:
xy + yz + zx ≥ 2(x + y + z).
Bài toán 3.2.2.10. (Kvant, 1993) Cho a, b, c, d > 0 thõa mãn a + b + c = 1. Chứng
minh rằng:
a3 + b3 + c3 + abcd ≥ min

1 1
d
; +
4 9 27

.

Bài toán 3.2.2.11. (Iran, 1996) Chứng minh bất đẳng thức sau với các số thực
dương x, y, z:
(xy + yz + zx)

1
1
1
9
+
+
≥

.
(x + y)2 (y + z)2 (z + x)2
4

Bài toán 3.2.2.12. Chứng minh rằng nếu a, b, c là các số thực dương và có tổng bằng
1 thì:
a 2 + b2

b2 + c2

c2 + a2 ≥ 8 a2 b2 + b2 c2 + c2 a2

2

.

Bài toán 3.2.2.13. (KMO Summer Program Test, 2001) Chứng minh rằng nếu
a, b, c là các số thực dương thì:
√

a4 + b4 + c4 +

Footer Page 22 of 126.

√

a2 b2 + b2 c2 + c2 a2 ≥

√

a 3 b + b3 c + c3 a +

√

ab3 + bc3 + ca3 .


-21-

Header Page 23 of 126.

KẾT LUẬN
Luận văn đạt được các kết quả sau:
1. Trình bày tổng quan các tính chất cơ bản của hàm lồi trênRn .
2. Khảo sát hàm lồi theo nghĩa Schur.
3. Luận văn tập trung vào các bất đẳng thức liên quan đến hàm lồi và ứng dụng
chúng trong các bài toán chứng minh bất đẳng thức.
4. Luận văn là một tài liệu về sử dụng hàm lồi để chứng minh bất đẳng thức.
Dù đã cố gắng nhiều nhưng chắc chắn không tránh khỏi những khiếm khuyết. Tôi
rất mong nhận được những ý kiến đóng góp xây dựng của quý thầy cô giáo và các bạn
đồng nghiệp để luận văn được hoàn hảo hơn.

Footer Page 23 of 126.