ứng dụng bất đẳng thức tìm GTLN-GTNN và giải phương trình

Vận dụng bất đẳng thức t ìm GTLN - GTNN và giải phương trình
Trang
1
PHẦN MỞ ĐẦU
Vận dụng bất đẳng thức t ìm GTLN - GTNN và giải phương trình
Trang
2
I. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
Có thể nói trong chương trình toán ở bậc trung học phổ thông th ì phần kiến
thức về bất đẳng thức l à khá khó. Nói về bất đẳng thức thì có rất nhiều bất đẳng
thức được các nhà Toán học nổi tiếng tìm ra và chứng minh. Đối với phần kiến thức
này thì có hai dạng bài tập là chứng minh bất đẳng thức v à vận dụng bất đẳng thức
để giải các bài toán có liên quan.
Là một sinh viên ngành toán tôi không ph ủ nhận cái khó của bất đẳng thức v à
muốn tìm hiểu thêm về các úng dụng của bất đẳng thức để phục vụ cho việc giảng
dạy toán sau này. Do đó tôi chọn đề tài “Vận dụng bất đẳng thức để t ìm giá trị lớn
nhất, giá trị nhỏ nhất v à giải phương trình” để tìm hiểu thêm. Khi vận dụng bất đẳng
thức để giải các bài toán dạng này thì có rất nhiều bất đẳng thức để chúng ta vận
dụng. Ở đây tôi chỉ giới hạn trong ba bất đẳng thức l à bất đẳng thức Côsi,
Bunhiacopski và bất đẳng thức vectơ. Trong đề tài này tôi trình bày cách v ận dụng
ba bất đẳng thức trên để tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất v à giải phương trình để
rèn luyện khả năng vận dụng bất đẳng thức để giải toán v à qua đó có thể tích lũy
được kinh nghiệm trong giải toán để giảng dạy sau n ày.
II. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU
Mục tiêu chính của đề tài này là tổng hợp các bài toán tìm giá trị lớn nhất,
nhỏ nhất và giải phương trình bằng bất đẳng thức chủ yếu vận dụng ba bất đẳng
thức nói trên. Qua đây tôi hi vọng sẽ đưa ra đầy đủ các dạng vận của các bất đẳng
thức nói trên.
III. ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU
Đối tượng của đề tài là ba bất đẳng thức Côsi, Bunhiacopski v à bất đẳng thức
vectơ cùng với các bài toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất v à các phương trình. Đề

tài này chủ yếu xoay quanh ba đối t ượng trên bên cạnh đó tôi cũng giới thiệu v à
chứng minh một số bất đẳng thức thông d ụng khác.
IV. PHẠM VI NGHIÊN CỨU
Phạm vi của đề tài này chỉ xoay chủ yếu vào ba bất đẳng thức đã nêu trên để
giải các bài toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất v à giải phương trình.
VI. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN C ỨU
Tìm và tham khảo tài liệu, sưu tầm phân tích và bài tập giải minh họa, tham
khảo ý kiến của cán bộ h ướng dẫn
Vận dụng bất đẳng thức t ìm GTLN - GTNN và giải phương trình
Trang
3
PHẦN NỘI DUNG
Vận dụng bất đẳng thức t ìm GTLN - GTNN và giải phương trình
Trang
4
Phần 1: SƠ LƯỢC VỀ BẤT ĐẲNG THỨC
1.1. Định nghĩa bất đẳng thức
Cho hai số thực
ba,
bất kỳ, ta định nghĩa:
0 baba
1.2. Tính chất cơ bản của bất đẳng thức

cbcaba 

bacbca 

bcacba 

ba 

dc 
fdbeca 
fe 

ba 
và
mbmam  0

ba 
và
mbmam  0

0 ba
0 dc
bdac 

0 ba
nn
ba 
n
ba 
1.3. Một số bất đẳng thức c ơ bản
1.3.1. Bất đẳng thức chứa trị tuyệt đối
baba 
dấu “=” xảy ra
0 ab
baba 
nn
aaaaaa 
2121

1.3.2. Bất đẳng thức Côsi
Cho hai số dương a, b ta có:
abba 2
Dấu “=” xảy ra
ba 
Tổng quát: cho n số không âm
 
1 2
, , , 2
n
a a a n 
, ta luôn có:
1 2
1 2

.
n
n
n
a a a
n a a a
n
  

Dấu “=” xảy ra
1 2

n
a a a   
Mở rộng: Cho n số dương

 
1 2
, , , 2
n
a a a n 
và n số
1 2
, , ,
n
  
dương
có:
1 2
1
n
     
. Thì:
1 2
1 2 1 1 2 2
.
n
n n n
a a a a a a

 
     
Dấu “=” xảy ra
1 2

n

a a a   
Vận dụng bất đẳng thức t ìm GTLN - GTNN và giải phương trình
Trang
5
1.3.3. Bất đẳng thức Bunhiacopski
Bất đẳng thức Bunhiacopski:
Cho hai bộ số a, b và c, d ta có:
 
  
2222
2
dcbabdac 
Dấu “=” xảy ra
d
b
c
a

Tổng quát: Cho n số
1 2 1 2
, , , và , , ,
n n
a a a b b b
tùy ý ta có:
 
   
2
2 2 2 2 2 2
1 1 2 2 1 2 1 2

n n n n
a b a b a b a a a b b b         
Dấu “=” xảy ra
1 2
1 2

n
n
a
a a
b b b
   
Mở rộng:
Cho m bộ số, mỗi bộ gồm n số không âm:
 
 
, , 1,2, ,
i i i
a b c i m
Khi đó ta có:
 
     
1 2 1 2 1 2
1 1 1 2 2 2


m
m m m
m m m m m m m m m
m m m

a a a bb b c c c
a b c a b c a b c
  
         
Dấu “=” xảy ra
1 1 1 2 2 2
: : : : : : : : :
n n n
a b c a b c a b c   
1.3.4. Bất đẳng thức Bernuolli
Cho
1a
và
Nr
:
 Nếu
1n
thì
 
naa
n
 11
dấu “=” xảy ra
0 a
hoặc
1n
 Nếu
1 na
thì
 

naa
n
 11
1.3.5. Bất đẳng thức vectơ

vuvu 

vuvu 

vuvu 

wvuwvuwvu 
Vận dụng bất đẳng thức t ìm GTLN - GTNN và giải phương trình
Trang
6
Phần 2: TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT
CỦA HÀM SỐ HOẶC BIỂU THỨC
2.1 KIẾN THỨC CẦN NHỚ
2.1.1. Định nghĩa
Cho biểu thức
1 2
P( , , , )
n
x x x
( hàm số
1 2
( , , , )
n
f x x x
), xác định trên D

- Nếu
1 2
P( , , , ) M
n
x x x 
(hoặc
1 2
( , , , ) M
n
f x x x 
)
1 2
( , , , ) D
n
x x x 
và
1 2
( , , , ) D
n
x x x 
sao cho:
1 2
P( , , , ) M
n
x x x 
thì M gọi là giá trị lớn nhất của
1 2
P( , , , )
n
x x x

(hoặc
1 2
( , , , )
n
f x x x
). Kí hiệu là maxP hoặc P
max
(
1 2
max ( , , , )
n
f x x x
hoặc
1 2 max
( , , , )
n
f x x x
).
- Nếu
1 2
P( , , , ) m
n
x x x 
( hoặc
1 2
( , , , ) m
n
f x x x 
) thì m gọi là giá trị nhỏ
nhất của

1 2
P( , , , )
n
x x x
( hàm số
1 2
( , , , )
n
f x x x
). Kí hiệu là minP hoặc P
min
(min
1 2
( , , , )
n
f x x x
hoặc
1 2 min
( , , , )
n
f x x x
).
2.1.2. Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của biểu thức (h àm số) bằng
phương pháp vận dụng bất đẳng thức
Đối với việc tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức (hàm số) thì
có thể kể đến các phương pháp sau: phương pháp kh ảo sát, phương pháp đánh giá
thông thường và phương pháp sử dụng bất đẳng thức. Trong các ph ương pháp nêu
trên thì phương pháp sử dụng các bất đẳng thức có thể coi là một trong những
phương pháp thông dụng và hiệu quả nhất để tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của
biểu thức và hàm số. Đối với phương pháp này, ta sử dụng các bất đẳng thức thông

dụng như: bất đẳng thức Côsi, Bunhiacopski, Schwartz, Bernouli, bất đẳng thức
vectơ… để đánh giá biểu thức P (h oặc hàm số
1 2
( , , , )
n
f x x x
), từ đó suy ra giá trị
lớn nhất, giá trị nhỏ nhất cần t ìm.
Phương pháp này, như tên g ọi của nó, dựa trực tiếp v ào định nghĩa của giá trị
lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức v à hàm số. Lược đồ chung của phương pháp này
có thể miêu tả như sau:
- Trước hết chứng minh một bất đẳng thức có dạng
1 2
P ( , , , ) D
n
x x x  
với bài toán tìm giá trị nhỏ nhất (hoặc
1 2
P ( , , , ) D
n
x x x  
đối với bài toán tìm
giá trị lớn nhất), ở đây P là biểu thức hoặc hàm số xác định trên D.
- Sau đó chỉ ra một phần tử
01 02 0
( , , , ) D
n
x x x 
sao cho
01 02 0

P( , , , )
n
x x x 
.
Tùy theo dạng của bài toán cụ thể mà ta chọn một bất đẳng thức thích hợp để áp
dụng vào việc tìm giá trị nhỏ nhất và lớn nhất.
Do phạm vi của đề tài, ở đây chỉ giới thiệu phương pháp sử dụng ba bất đẳng
thức là: Côsi, Bunhiacopski và phương pháp b ất đẳng thức vectơ.
Ví dụ : Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số
2
3
2
( )f x x
x
 
(
0x 
)
Giải:
Ta có:
3
2 2 2 2
5
3 3 6
5
1 1 1 1 1 1 1 5
( ) 5
3 3 3 3
27
f x x x x x

x x x
 
      
 
 
( BĐT Côsi)
Vận dụng bất đẳng thức t ìm GTLN - GTNN và giải phương trình
Trang
7
Dấu “ =” xảy ra
2 5
5
3
1 1
3 3
3
x x x
x
     
Vậy Min
 
f x
=
5
5
27
tại
5
3x 
2.2. BÀI TẬP

2.2.1. Sử dụng bất đẳng thức Côsi
Lưu ý: Để biết được bài toán nào sử dụng bất đẳng Côsi ta cần chú ý đến các
thành phần của hàm số hoặc biểu thức. Nếu nó có dạng tích hoặc l à tổng của hai
phần không âm và đặc biệt sau khi vận dụng bất đẳng thức Côsi th ì xuất hiện biểu
thức của giả thiết ban đầu và đưa được về hằng số thì ta có thể sử dụng bất đẳng
thức Côsi để đánh giá để tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất.
Bài 1: Cho ba số thực dương
cba ,,
. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:



















a
c

c
b
b
a
111P
Giải:
Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có:
b
a
b
a
21 
c
b
c
b
21 
a
c
a
c
21 
Suy ra
88111 



















abc
abc
a
c
c
b
b
a
Hay
8P 
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi
1 cba
Vậy
8P
min

Bài 2: Cho ba số thực
0,, cba

thỏa
2
1
1
1
1
1
1





 cba
.
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
M abc
Giải:
Ta có:
2
1
1
1
1
1
1






 cba
cba 





1
1
1
1
2
1
1
c
c
b
b
acba 
























111
1
1
1
1
1
1
1
1
1
Vận dụng bất đẳng thức t ìm GTLN - GTNN và giải phương trình
Trang
8
Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta được:
  
cb
bc

c
c
b
b





11
2
11
   
1
2
1 1 1
bc
a b c
 
  
(1)
Tương tự, ta có:
  
ca
ac
b



11

2
1
1
(2)
  
ba
ab
c



11
2
1
1
(3)
Từ (1) , (2) và (3) nhân vế với vế ta được:
     
2 2 2
2 2 2
1 1 1
8
1 1 1
1 1 1
a b c
a b c
a b c
   
   
   


  
  
           
1
8
1 1 1 1 1 1
abc
a b c a b c
 
     
Suy ra:
1
8
M abc 
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi
1 1 1 1
1 1 1 2
a b c
a b c
     
  
(thỏa điều kiện ban đầu)
Vậy
1
8
M
max

tại

1
2
a b c  
Cách khác:
Từ giả thiết ta có:
                 
1 1 1 1 1 1 2 1 1 1b c a c a b a b c           
       
2 3 2 1 1 1a b c ab bc ac a b c          
1 2abc ab bc ac    
(1)
Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có:
3 3 3
4
2 4 2abc ab bc ac a b c   
(2)
Từ (1) và (2) ta được:
3 3 3
4
1 4 2 1 8a b c abc  
hay
1
M
8
abc 
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi
1
2
2
abc ab bc ac a b c      

Vận dụng bất đẳng thức t ìm GTLN - GTNN và giải phương trình
Trang
9
Vậy M
max
=
1
8
tại
1
2
a b c  
Bài toán tổng quát:
Cho
1 2
, , , 0
n
a a a 
thỏa mãn :
1
1
1
1
n
i
i
n
a
 



Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
1 2
M .
n
a a a
Lập luận như trên ta được M
max
2
n

tại
1 2
1

1
n
a a a
n
   

Bài 3: Cho hàm số
2
4
4 4
( ) 1 1 1f x x x x     
xác định trên
 
D R : 1 1x x    
. Tìm giá trị lớn nhất của

( )f x
trên D.
Giải:
Áp dụng bất thức Côsi ta có:
2
4
4 4
1 1
1 1 . 1
2
x x
x x x
  
    
(1)
4 4
1 1
1 1 .1
2
x
x x
 
   
(2)
4 4
1 1
1 1 .1
2
x
x x

 
   
(3)
Từ (1), (2), (3) cộng vế theo vế ta đ ược:
D( ) 1 1 1 xf x x x      
(4)
Nhận thấy (4) xảy ra khi v à chỉ khi (1), (2) và (3) đồng thời xảy ra khi v à chỉ
khi
0x 
.
Lại áp dụng bất đẳng thức Côsi, ta có:
 
1 1
1 1 .1
2
x
x x
 
   
(5)
 
1 1
1 1 .1
2
x
x x
 
   
(6)
Từ (5), (6) đưa đến:

1 1 2 1 1 1 3x x x x         
(7)
Dấu “=” ở (7) xảy ra khi v à chỉ khi ở (5) và (6) đồng thời xảy ra khi v à chỉ
khi
0x 
.
Từ (4) và (7) suy ra
( ) 3 Df x x  
.
Vận dụng bất đẳng thức t ìm GTLN - GTNN và giải phương trình
Trang
10
Ta lại có
à 0 D(0) 3, vf 
. Do đó: max
( )f x
= 3.
Bài 4: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số thực sau:
1 1
( )
1
f x
x x
 

với
0 1x 
Giải:
Ta có:
1 1 1 1 1 1

( )
1 1 1 1
x x x x
f x
x x x x x x x x
   
   
   
 
       
   
1
2
1
x x
x x

  

Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta được:
2
1 1
( ) 2 . 2 4
1 1
x x x x
f x
x x x x

 
    

 
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi
1 1
1 2
x x
x
x x

  

Vậy
min ( ) 4f x 
tại
1
2
x 
Bài 5: Cho ba số thực dương
, ,a b c
.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
P
a b c
b c c a a b
  
  
Giải:
Đặt:
, ,x b c y c a z a b     
 
1

2
a b c x y z     
Và
, ,
2 2 2
y z x z x y x y z
a b c
     
  
(*)
Từ đó ta có:
1
P 3
2 2 2 2
y z x z x y x y z y z z x x y
x y z x y z
 
 
 
        
      
1
3
2
y x z x z y
x y x z y z
 
   
 
 

   
 
 
   
 
      
Vận dụng bất đẳng thức t ìm GTLN - GTNN và giải phương trình
Trang
11
 
3
2
1
2 2 2 3
2
   
( Bất đẳng thức Côsi)
Dấu “=” xảy ra
y x
x y
z x
x y z
x z
z y
y z






    






Từ (*) ta có
a b c 
Vậy
min
3
P
2

với mọi số thực dương
, ,a b c
thỏa
a b c 
.
Bài 6: Cho ba số thực dương
, ,a b c
thỏa:
1a b c  
. Tìm giá trị lớn nhất của
biểu thức
     
S abc a b b c c a   
Giải:
Áp dụng BĐT Côsi cho ba số dương, ta có:

3 3
3 1 3a b c abc abc    
(1)
Và
           
3
3a b b c c a a b b c c a        
     
3
2 3 a b b c c a    
(2)
Từ (1) và (2) nhân vế với vế ta được:
     
3
3
2 9 9 Sabc a b b c c a    
3
8 9 S
8
S
729
   
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi
1
3
a b c  
Vậy
ax
8
S

729
m

Bài 7: Tìm giá trị lớn nhất của hàm số
2
( ) 1 2
2
x
f x x x   
trên miền
1
D R : 1
2
x x
 
    
 
 
.
Vận dụng bất đẳng thức t ìm GTLN - GTNN và giải phương trình
Trang
12
Giải:
Nhận thấy D là miền xác định của
( )f x
.
Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có:
 
 
2

2 2
1 1 2
1 2 1. 1 2 D
2
x x
x x x x x
  
       
Do đó:
 
2
1 1 2
( )
2 2
x x
x
f x
  
 
2
( ) 1f x x  
Từ đó suy ra:
( ) 1 Df x x  
Mặt khác để dấu “=” xảy ra th ì
2
2
1 1 2
1 1 0 D
1
1

2
x x
x x
x


  

    



  

Ta lại có:
(0) 1f 
Vậy
D
max ( ) 1
x
f x


Bài 8: Cho hàm số
 
2
2
1 2
( ) 1 1f x x
x x

 
   
 
 
.
Tìm giá trị nhỏ nhất của
( )f x
với
0x 
Giải:
Ta có:
 
 
2
2
2
1 2 1
( ) 1 1 1 1f x x x
x x x
 
   
      
   
 
   
 
Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta được:
2
1
( ) 2 .2 16f x x

x
 
 
 
 
Dấu “=” xảy ra
1x 
> 0.
Vậy
0
min ( ) 16
x
f x


tại
1x 
Bài 9: Cho ba số thức dương
, ,a b c
. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:
Vận dụng bất đẳng thức t ìm GTLN - GTNN và giải phương trình
Trang
13
   
1 1 1
A 1
a b c
abc a b c
a b c b c a
 

         
 
 
Giải:
Ta viết biểu thức A lại dưới dạng sau:
 
1 1 1
A
a b c
ab bc ac a b c
b c a a b c
     
           
     
     
Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta được:
2 , 2 , 2
a b c
ab a bc b ac c
b c a
     
Từ đó suy ra:
 
1 1 1
A 2 2 2a b c a b c
a b c
        
1 1 1 1 1 1
A a b c a b c
a b c a b c

     
            
     
     
1 1 1
2 . 2 . 2 . 6A a b c
a b c
    
(BĐT Côsi)
Dấu “=” xảy ra
1a b c   
Vậy MinA = 6 tại
1a b c  
Bài toán tổng quát:
Cho
 
1 2
1 2
1 1 1
P . 1
n
n
a a a
a a a
 
     
 
 
 
1 2

1 2
2 3 1 3 1 2 1

. . .
n
n
n n n
a
a a
a a a
a a a a a a a a a

       
với
0 1,
i
a i n  
Thì MinP = 2n tại
1 2
1
n
a a a   
Bài 10: Cho biểu thức sau:
 
2 2 2
3 3 3
3 3 3
1 1 1
P
ab bc ca

a b c
c a b
 
  
    
 
 
Tìm giá trị nhỏ nhất của P với
0, 0, 0a b c  
và
1abc 
Giải:
Ta có:
3 3 3 3 3 3
3 3 3 3 3 3
P 3
a a b b c c
b c c a a b
 
       
 
 
Vận dụng bất đẳng thức t ìm GTLN - GTNN và giải phương trình
Trang
14
 
4 2 5 4 2 5 5 2 4
2 2 2
3 3 3 3 3 3
a b ab b c bc a c a c

ab bc ca
c c a a b b
 
        
 
 
(1)
Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có:
3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3
6
3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3
6 . . . . . 6
a a b b c c a a b b c c
b c c a a b b c c a a b
      
(2)
4 2 5 4 2 5 5 2 4 4 2 5 4 2 5 5 2 4
6
3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3
6 . . . . .
a b ab b c bc a c a c a b ab b c bc a c a c
c c a a b b c c a a b b
     
4 2 5 4 2 5 5 2 4
3 3 3 3 3 3
6 6
a b ab b c bc a c a c
abc
c c a a b b
       

(3)
2 2 2 2 2 2
3
3 . . 3 3ab bc ca ab bc ca abc    
(4)
Từ (1), (2), (3) và (4) ta có:
P 3 6 6 3 18    
Dấu “=” xảy ra
1a b c   
Vậy P
min
= 18 tại
1a b c  
Bài 11: Cho n số dương
 
1 2 3
, , , , 2
n
x x x x n 
thỏa mãn
1 2
1
n
x x x   
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
1 2
1 2
S .
n
a

a a
n
x x x
,
Trong đó:
1 2 3
, , , ,
n
a a a a
là n số dương cho trước.
Giải:
Đặt
1 2

n
a a a a   
,
 
1,2, ,
i
i
a
b i n
a
 
thì
0
i
b 
Và

1 2
1
n
b b b   
. Áp dụng bất đẳng thức Côsi mở rộng ta có:
1 2
1 2 1 2
1 2
1 2 1 2
.
n
b
b b
n n
n
n n
x b
x x b b
x x x
a a a a a a
 
   
   
 
   
   
 
 
1 2
1 1

n
x x x
a a
    
1 2 1 2
1 2 1 2
1
S . .
n n
a a
a a a a
n n
a
x x x a a a
a
  
Dấu “=” xảy ra
1 2
1 2 1 2
1 2 1 2 1 2



n n n
n n n
x x x x x
x x x x
a a a a a a a a a
  

        
  
 
1 2
1 2
1
1,2, ,
n i
i
n
x a
x x
x i n
a a a a a
       
Vậy
1 2
max 1 2
1
S .
n
a
a a
n
a
a a a
a

Vận dụng bất đẳng thức t ìm GTLN - GTNN và giải phương trình
Trang

15
2.2.2. Sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopski
Lưu ý: Để áp dụng được bất đẳng thức Bunhiacopski thì hàm số hoặc biểu
thức hoặc các biểu thức giả thiết phải có dạng tích của hai biểu thức hoặc tổng của
các biểu thức mà chúng là tích của hai thừa số. V à sau khi áp dụng bất đẳng thức
Bunhiacopski thì phải có phần đưa về biểu thức giả thiết ban đầu v à đưa được về
hằng số.
Bài 1: Cho
3
, ,
4
a b c  
và
3a b c  
. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau:
P 4 3 4 3 4 3a b c     
.
Giải:
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski ta có:
 
   
2
1. 4 3 1. 4 3 1. 4 3 1 1 1 4 3 3 3a b c a ab ac            
 
 
3 4 9a b c   
 
3 4.3 9 63  
P 4 3 4 3 4 3 3 7a b c       
Dấu “=” xảy ra

4 3 4 3 4 3
1 1 1
1 1
3
, ,
4
a b c
a b c a b c
a b c

  
 



       



 


Vậy MinP =
3 7
tại
1a b c  
.
Bài 2: Cho các hằng số dương
, ,a b c
và các số dương

, ,x y z
thay đổi sao cho
1
a b c
x y z
  
. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
A x y z  
.
Giải:
Ta có:
a b c
a b c x y z
x y z
    
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski ta có:
 
 
2
2
a b c a b c
a b c x y z x y z
x y z x y z
 
 
         
 
 
 
 

 
2
a b c x y z     
Dấu “=” xảy ra
b
a
c
y
a b c
x
z
x y z
x y z
     
(1)
Vận dụng bất đẳng thức t ìm GTLN - GTNN và giải phương trình
Trang
16
Mặt khác:
1
a b c
x y z
  
(2)
Từ (1) và (2) suy ra:
 
x a a b c  
 
y b a b c  
 

z c a b c  
Vậy maxA =
 
2
a b c 
Bài 3: Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số
4 4 4
( , , )f x y z x y z  
,
trên miền
 
 
D , , : , , 0 và 1x y z x y z xy yz zx    
Giải:
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski ta d ược:
   
2
2 2 2 4 4 4
1. 1. 1. 3x y z x y z    
(1)
Lại áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski ta có:
 
     
2
2
2 2 2 2 2 2 2 2 2
xy yz zx x y z x y z x y z         
Vì
1xy yz zx  
nên:

 
2
2 2 2
1x y z  
(2)
Từ (1) và (2) ta có:
 
4 4 4
3 1x y z  
1
( , , )
3
f x y z 
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi (1) và (2) đồng thời xảy ra
2 2 2
x y z
x y z
y z x

 



 


kết hợp với điều kiện
1xy yz zx  
Ta được:
3

3
x y z  
Vậy
( , , ) D
1
Max ( , , )
3
x y z
f x y z


Bài 4: Cho các số dương
, ,a b c
thỏa
2 2 2
1a b c  
. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu
thức
3 3 3
P
2 3 2 3 2 3
a b c
a b c b c a c a b
  
     
Giải:
Ta có:
Vận dụng bất đẳng thức t ìm GTLN - GTNN và giải phương trình
Trang
17

4 4 4
2 2 2
P
2 3 2 3 2 3
a b c
a ab ac b bc ba c ca cb
  
     
(1)
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski cho hai d ãy số sau:
2 2 2
2 3 , 2 3 , 2 3a ab ac b bc ba c ca cb     
và
2 2 2
2 2 2
, ,
2 3 2 3 2 3
a b c
a ab ac b bc ba c ca cb     
ta có:
 
 
4 4 4
2
2 2 2
2 2 2
2 2 2
.
2 3 2 3 2 3
. 2 3 2 3 2 3

a b c
a b c
a ab ac b bc ba c ca cb
a ab ac b bc ba c ca cb
 
    
 
     
 
       
 
 
2
2 2 2 2 2 2
P 5a b c a b c ab bc ca
 
        
 
(2)
Mà
2 2 2
1a b c  
, từ (2) suy ra
 
1
P
1 5 ab bc ca

  
(3)

Mặt khác theo bất đẳng thức C ôsi ta có:
2 2
2 2 2 2 2
2 2
2
2 1
2
a b ab
b c bc ab bc ca a b c
c a ca

 

        


 

Từ (3) ta có:
 
1 1 1
P
1 5 1 5.1 6ab bc ca
  
   
Dấu “=” xảy ra
3
3
a b c   
Vậy MinP =

1
6
Bài 5: Cho hai số dương
,a b
thỏa
0 1,0 1a b   
. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu
thức
2 2
1
M
1 1
a b
a b
a b a b
    
  
Giải:
Ta có:
Vận dụng bất đẳng thức t ìm GTLN - GTNN và giải phương trình
Trang
18
2 2
2 2 2 2
1
M 1 1 2
1 1
1 1 1
2
1 1

1 1 1
2
1 1
a b
a b
a b a b
a a b b
a b a b
a b a b
       
  
   
   
  
   
  
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski ta có:
     
2
1 1 1
1 1
1 1
1 1 1
1 1
1 1
a b a b
a b a b
a b a b
a b a b
 

     
 
  
 
 
         
 
 
  
 
1 1 1 9 9 5
M 2
1 1 2 2 2a b a b
       
  
Dấu “=” xảy ra
1 1
1
1
1 1
3
1
a a b
a b
b a b




 

   




 

Vậy minM =
5
2
Bài toán tổng quát:
Cho
2
2 2
1 2
1 2 1 2
1
P
1 1 1
n
n n
a
a a
a a a a a a
    
     
với
0 1 1,
i
a i n   

Thì minP
2 1n
n


Bài 6: Cho hàm số thực


2
( ) 2007 2009f x x x  
. Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ
nhất của
( )f x
trên miền xác định của nó.
Giải:
Ta có miền xác định của
( ): D 2009; 2009f x
 
 
 
Mặt khác:


2
( ) 2007 2009 ( )f x x x f x      
( ) là hàmf x
lẻ
Và
( ) 0, D 0; 2009f x x


 
   
 
Do đó:
D
D
max ( ) max ( )
x
x
f x f x




và
D
D
min ( ) max ( )
x
x
f x f x



 
Với
Dx


, ta có:



2
( ) 2007. 2007 1. 2009f x x x  
Theo bất đẳng thức Bunhiacopski th ì:
Vận dụng bất đẳng thức t ìm GTLN - GTNN và giải phương trình
Trang
19
 
 
2 2
2
2007. 2007 1. 2009 2008 2007 2009
2008 4016
x x
x
    
 
Suy ra:
   
2 2 2
( ) 2008 4016 2008. 4016f x x x x x   
Áp dụng bất đẳng thức Cosi ta có:
2 2
4016
( ) 2008. 2008.2008
2
x x
f x
 

 
Dấu “=” xảy ra
2
2 2
2007
1 2009
2008
2007
4016
x
x
x x

  

  


 

Vậy
D
max ( ) 2008 2008
x
f x


tại
2008x 
D

min ( ) 2008 2008
x
f x

 
tại
2008x  
Bài 7: Cho
, , 0x y z 
thỏa mãn
1xy yz zx  
. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu
thức
2 2 2
T
x y z
x y y z z x
  
  
Giải:
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski ta có:
1 x y y z z x x y z y z x x y z          
 
   
2
2
2 2 2
2T
x y z
x y z x y y z z x

x y y z z x
x y z
x y y z z x x y z
x y y z z x
 
        
 
 
  
 
 
          
 
  
 
 
1 1
T
2 2
x y z    
Dấu “=” xảy ra
1
3
x y z   
Vậy minT =
1
2
tại
1
3

x y z  
.
Bài 8: Cho ba số dương
, ,a b c
thỏa mãn:
1a b c  
. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu
thức
2 2 2
1 1 1 1
P
a b c ab bc ca
   
 
Giải:
Vận dụng bất đẳng thức t ìm GTLN - GTNN và giải phương trình
Trang
20
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopski ta đ ược:
 
     
2
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2
1 1 1 1
100 3 3 3
1 1 1 1

9 9 9
P 7 P 1 7
a b c ab bc ca
ab bc ca
a b c
a b c ab bc ca
a b c ab bc ca
a b c ab bc ca ab bc ca
 
      
 
 
 
 
        
 
 
 
 
           
 
 
Mà ta lại có:
 
2
1
3
a b c ab bc ca    
Thật vậy, từ trên ta có:
   

2
3a b c ab bc ca    
2 2 2
a b c ab bc ca     
(suy ra từ bất đẳng thức Cosi)
Do đó:
 
2
7 10
100 P 1 P
3 3
P 30
a b c
 
    
 
 
 
Dấu “=” xảy ra
1
3
a b c   
Vậy minP = 30 tại
1
3
a b c  
Bài toán tổng quát:
Cho n số dương
 
1 2 1 2

, , , 2 và 1
n n
a a a n a a a    
.
Đặt
1 2 1 2 2 3 1 1
1 1 1 1 1
P =

n n n n
a a a a a a a a a a a

    
  
Thì
 
3 2
2
minP
2
n n n 

khi
1 2
1

n
a a a
n
   

2.3. Sử dụng bất đẳng thức vect ơ
Lưu ý: Để sử dụng bất đẳng thức vect ơ thì biểu thức giả thiết hoặc biểu thức
cần tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất có dạn g tổng bình phương của các số hạng hoặc
căn bậc hai của tổng bình phương hoặc là tổng của các tích của các thừa số .
Bài 1: Cho hai số thực
yx,
thỏa mãn
132  yx
. Tìm giá trị nhỏ nhất của tổng
22
23S yx 
Giải:
Ta có
   
22
22
2323S yxyx 
Vận dụng bất đẳng thức t ìm GTLN - GTNN và giải phương trình
Trang
21
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy chọn
6
35
2
9
3
4
2
3
,

3
2







 uu
 
35
6
2323.
6
35
.132.
232,3
2222
22


yxyxvuyxvu
yxvyxv
Dấu “=” xảy ra
xy
yx
94
2
3

3
2

Kết hợp với điều kiện ban đầu ta đ ược:
35
9
,
35
4
 yx
Vậy minS =
35
6
tại
35
9
,
35
4
 yx
Bài 2: Cho
1x y z  
. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
2 2 2
P x y z  
Giải:
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy chọn:
 
222
,, zyxuzyxu 

 
222
,, zyxvyxzv 
Ta có:
222
zyxyzxyxzvuvu 
 
 
 
 
3
1
13
2223
2222
222
2
222
222222
222




zyx
zyxzyx
yzxyxzzyxzyx
yzxyxzzyx
Dấu “=” xảy ra
3

1
 zyx
y
z
x
y
z
x
Vậy minP =
3
1
khi
3
1
 zyx
Bài 3: Cho
1
22
 ba
. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
abba  11A
Giải:
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy chọn:
 
 
21,1
1,
22



bavabv
baubau
Theo bất đẳng thức Bunhiacopski ta có:
 
22.1.1
22
 baba
Vận dụng bất đẳng thức t ìm GTLN - GTNN và giải phương trình
Trang
22
Do đó:
22 v
222.11.A  yxvuabbavu
Dấu “=” xảy ra
a
b
b
a




11
Kết hợp với điều kiện ban đầu
1
22
 ba
Suy ra:
2
2

 ba
Vậy
22A
max

khi
2
2
 ba
Bài 4: Cho ba số dương
zyx ,,
và
1 zyx
.
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau
2
2
2
2
2
2
111
P
z
z
y
y
x
x 
Giải:

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy ta chọn:
2
2
11
,
x
xu
x
xu 







2
2
11
,
y
yv
y
yv 










2
2
11
,
z
zw
x
zw 
















zyx
zyxwvu
111

,
Áp dụng bất đẳng thức
wvuwvu 
ta có:
 
2
2
2
2
2
2
2
2
111111









zyx
zyx
z
z
y
y
x

x
(1)
Nhận thấy:
     










22
2
2
8081
111
zyxzyx
zyx
zyx
2
111










zyx
(2)
Áp dụng bất đẳng thức Cosi ta đ ược:
   



















zyx
zyx
zyx
zyx

111
9.2
111
81
2
2
81.2
1
3.3.9.2
3
3

xyz
xyz
(3)
Từ (2) và (3) ta có:
Vận dụng bất đẳng thức t ìm GTLN - GTNN và giải phương trình
Trang
23
 
828081.2
111
2
2











zyx
zyx
Và do (1) nên:
82
111
P
2
2
2
2
2
2

z
z
y
y
x
x
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi
3
1
 zyx
Vậy
82P
min


khi
3
1
 zyx
.
Bài 5: Cho
2 cba
và
6 czbyax
. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
     
2
2
2
2
2
2
161616P czcbybaxa 
Giải:
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy ta chọn:
   
   
   
    
106,8,4
16,4
16,4
16,4
2

2
2
2
2
2




wvuczbyaxcbawvu
czcwczcw
bybvbybv
axauaxau
Ta có:
wvuwvu 
     
10161616aP
2
2
2
2
2
2
 czcbybax
Giá trị nhỏ nhất của P: P
min
= 10
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi:
a. Có hai trong ba vectơ b ằng vectơ
0

b. Có một trong ba vectơ bằng vectơ
0
Giả sử
0u
thì
vkw 
 
0k
c. Không có vectơ nào b ằng vectơ
0



































0,,
2
3
0
2
0,
0
0
cba
cba
zyx
czbyax
cba
mk
mczby
kbyax

kba
m
cz
by
c
b
k
by
ax
b
a
Vận dụng bất đẳng thức t ìm GTLN - GTNN và giải phương trình
Trang
24
Bài 6: Cho các số dương
zyx ,,
thỏa
4 zxyzxy
. Tìm giá trị bé nhất của biểu
thức
444
F zyx 
Giải:
Trong không gian Oxyz chọn:
 
 
31,1,1
,,
444222



vv
zyxuzyxu
Ta có:
222
. zyxvu 
Mà:
 
22
2
vuvu 
   
2
222444
3 zyxzyx 
Mặt khác ta có:
zxxz
yzzy
xyyx
2
2
2
22
22
22



 
 

zxyzxyzyxzxyzxyzyx 
222222
22
= 4
Từ đó ta có:
 
3
16
1643
4442444
 zyxzyx
Vậy: minF = 16 khi
13
2
 zyx
Bài 7: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
1064284A
2222
 bbbabaaa
Giải:
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy chọn:
 
   
 
 
255,5
1061,3
42,
842,2
2

2
2




wvuwvu
bbwbw
bavbav
aauau
Ta có:
wvuwvu 
251064284
2222
 bbbabaaa
Dấu “=” xảy ra
2,0
1
2
2
3
2















 ba
ba
a
b
a
Vận dụng bất đẳng thức t ìm GTLN - GTNN và giải phương trình
Trang
25
Vậy
25A
min

tại
2,0  ba
Bài 8: Cho
Ra
. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
52134M
22
 aaaa
Giải:
Ta có:
   
4192M

22
 aa
Trong mặt phẳng tọ độ Oxy chọn:
   
   
 
345,3
412,1
923,2
2
2



vuvu
avav
auau
Mà:
   
344192
22
 aavuvu
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi
5
1
a
Vậy:
34M
min


khi
5
1
a
Bài 9: Cho ba số dương
cba ,,
thỏa:
abccabcab 
. Tìm giá trị nhỏ nhất của
biểu thức
ca
ca
bc
bc
ab
ab
222222
222
B






Giải:
Ta có:
222222
212121
B

accbba

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy chọn:
22
22
22
212
,
1
212
,
1
212
,
1
ac
w
ac
w
cb
v
cb
v
ba
u
ba
u































Và














cbacba
wvu
111
2,
111
Mặt khác:
1
111

cba
abccabcab