tóm tắt Tích phân xác định và ứng dụng trong hình học và vật lý

1

2

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

Công trình ñược hoàn thành tại

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

Header Page 1 of 126.

 

NGUYỄN THỊ KIM HUYỀN

Người hướng dẫn khoa học: TS. LÊ HẢI TRUNG

TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH

Phản biện 1: TS. Nguyễn Duy Thái Sơn.

VÀ ỨNG DỤNG TRONG HÌNH HỌC VÀ VẬT LÝ

Phản biện 2: PGS. TS Nguyễn Gia Định

Chuyên nghành: Phương pháp Toán sơ cấp
Mã số:

60. 46. 40

Luận văn sẽ ñược bảo vệ trước hội ñồng chấm Luận văn tốt nghiệp
thạc sĩ khoa học họp tại Đà Nẵng vào ngày 26 tháng 11 năm 2011

TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Có thể tìm hiểu luận văn tại:
- Trung tâm Thông tin – Học liệu, Đại học Đà Nẵng.
- Thư viện trường Đại học Sư phạm, Đại học Đà Nẵng.
Đà Nẵng – Năm 2011

Footer Page 1 of 126.


3

4

MỞ ĐẦU

chương sau khi áp dụng các phép tính của tích phân xác ñịnh trong
hình học và vật lý.
Chương 2: Ứng dụng của tích phân xác ñịnh trong hình học và vật
lý: xác ñịnh diện tích của hình phẳng trong hệ tọa ñộ Đề - các và hệ
tọa ñộ cực; thể tích của vật thể nhận ñược khi quay quanh trục Ox,
Oy; xác ñịnh ñộ dài của ñường cong; xác ñịnh trọng tâm của ñường
cong, trọng tâm của vật thể; moment của vật thể, áp suất của chất
lỏng lên bề mặt của phiến mỏng; công cần bỏ ra ñể nâng một vật lên
một ñộ cao nào ñó...

Header Page 2 of 126.

1. Lý do chọn ñề tài
Trong chương trình toán học phổ thông và ñại học vấn ñề về tích
phân chiếm một vị trí quan trọng và không thể thiếu ñược trong khối
kiến thức của bất kỳ học sinh – sinh viên nào. Với tính ñặc thù và ñộ
hay, khó, cùng với sự ñòi hỏi về tư duy trừu tượng cao, các bài toán
liên quan ñến tích phân trở thành một trong những chuyên ñề quan
trọng trong việc bồi dưỡng học sinh giỏi các cấp và tuyển sinh ñại
học, cao ñẳng, trung cấp.... Hơn thế, lý thuyết và các bài toán về tích
phân còn có rất nhiều ứng dụng trong thực tiễn và là công cụ tính
toán hữu hiệu khoa học lý thuyết. Vì vậy tôi chọn ñề tài : Tích phân
xác ñịnh và ứng dụng trong hình học và vật lý.
2. Mục tiêu nghiên cứu
Tìm hiểu, xem xét cụ thể, hệ thống về tích phân xác ñịnh, tích
phân suy rộng cùng với một vài ứng dụng trong hình học và vật lý.
3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
3.1. Đối tượng nghiên cứu
Tích phân xác ñịnh, tích phân suy rộng và ứng dụng trong hình học
và vật lý.
3.2. Phạm vi nghiên cứu
Thực hiện nghiên cứu tích phân xác ñịnh và ứng dụng của tích
phân xác ñịnh trong hình học và vật lý của các hàm một biến thực.
4. Phương pháp nghiên cứu
Nghiên cứu các tài liệu, sách tham khảo, chuyên khảo về tích phân
và ứng dụng của tích phân xác ñịnh trong hình học và vật lý.
5. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của ñề tài
Đề tài có giá trị về mặt lý thuyết. Luận án có thể sử dụng như là tài
liệu tham khảo dành cho học sinh, sinh viên và giáo viên giảng dạy

phần tích phân xác ñịnh thuộc môn toán khối phổ thông trung học.
6. Cấu trúc luận văn
Ngoài phần mở ñầu và kết luận, luận văn ñược chia làm 02
chương:
Chương 1: Các kiến thức cơ sở
Trình bày các kiến thức cơ bản về tích phân xác ñịnh: ñịnh nghĩa
tích phân xác ñịnh, các tính chất của tích phân xác ñịnh, các ñịnh lý
về giá trị trung bình ñối với tích phân xác ñịnh.... Là cơ sở cho

Footer Page 2 of 126.


5

6

CHƯƠNG 1
KIẾN THỨC CƠ SỞ

Hiển nhiên tổng các diện tích của n hình chữ nhật biểu diễn gần
ñúng diện tích cần tìm S của hình thang cong AabB ñã cho. Nói một

Header Page 3 of 126.

1.1. Bài toán diện tích hình thang cong
Cho hàm số y = f(x) , xác ñịnh liên tục trên khoảng ñóng [a, b] ,
ngoài ra giả sử f(x) không âm trên [a, b] . Xét hình thang cong
AabB là hình giới hạn bởi ñồ thị của hàm số f(x) trên [a, b] , các
ñường thẳng x = a, x = b và trục hoành Ox, ta ñặt vấn ñề ñịnh nghĩa
diện tích S của hình thang cong AabB.

cách khác, ta có thể viết: S ≈

n

∑ f(ξ )∆x
i

i

.

i=1

Ta nhận thấy nếu số ñoạn chia càng nhiều sao cho ñộ lớn của các
n

ñoạn chia càng nhỏ thì tổng

∑ f(ξ )∆x
i

i

càng gần giá trị ñúng S.

i=1

Từ ñó có thể nói rằng khi chuyển giới hạn n → ∞ sao cho

∆x i → 0 (i = 1, n) thì giá trị giới hạn của tổng chính là diện tích S
cần tìm của hình thang cong AabB ñã cho:
n

S=

lim

max∆x i →0

∑ f(ξ )∆x
i

i

(1.1)

i=1

1.2. Định nghĩa tích phân xác ñịnh
Cho hàm số f(x) xác ñịnh và bị chặn trong khoảng ñóng [a, b] ,
chia [a, b] thành n ñoạn nhỏ bởi các ñiểm chia
Hình 1.1
Ta chia ñoạn [a, b] thành n ñoạn nhỏ bởi các ñiểm chia:

x 0 ≡ a < x1 < x 2 < ... < x i-1 < x i < ... < x n ≡ b.
Các ñiểm chia x i (i = 0, 1, ..., n) ñược chọn tuỳ ý theo thứ tự
tăng dần và ñiểm ñầu

x0

trùng với a, ñiểm cuối cùng

x n trùng với b.

Từ các ñiểm chia x i (i = 0, 1, ..., n) ta dựng các ñường thẳng

x = x i , như thế ta ñã chia hình thang cong AabB thành n hình thang
cong nhỏ Pi −1x i −1x i Pi (i = 1, n) (Hình 1.1), mỗi hình thang cong nhỏ
ñó

có

ñáy

là

∆x i = x i − x i −1 (i = 1, n) . Chọn các ñiểm

ξi ∈ [x i −1 , x i ] . Thay mỗi hình thang cong nhỏ Pi −1x i −1x i Pi (i = 1, n)
bằng một hình chữ nhật có cùng ñáy ∆x i và chiều cao là f(ξi ) . Diện
tích các hình chữ nhật là:
f(ξ1 )∆x1 , f(ξ 2 )∆x 2 ,..., f(ξ i )∆x i ,..., f(ξ n )∆x n .

Footer Page 3 of 126.

x 0 ≡ a < x1 < x 2 <...< x i −1 < x i <...< x n ≡ b .
Đặt ∆x i = x i − x i −1 và λ = max ∆x i , i = 1, 2, ..., n. Ta gọi các
i

ñiểm chia τ = {x i } là một phân hoạch của ñoạn [a, b] và λ là
ñường kính phân hoạch. Trong mỗi ñoạn nhỏ [x i −1 , x i ] lấy một ñiểm

ξ i tuỳ ý:

x i −1 ≤ ξ i ≤ x i , (i = 1, 2, ..., n) ,
và lập tổng:
n

σ =

∑ f(ξ )∆x , ∆x
i

i

i

= x i − x i −1 , (i = 1, n) .

(1.2)

i=1
n

Ta thấy tổng σ = ∑ f(ξ i )∆x i là một số xác ñịnh, số ñó phụ
i=1

thuộc vào phân hoạch τ = {x } và các ñiểm ξ i trong [x i −1 , x i ] . Đại
i

7

8

lượng trên ñược gọi là tích phân Riman của hàm số f(x) theo phân

Định lý 1.3.5. Nếu m và M lần lượt là các giá trị nhỏ nhất và lớn nhất
của f(x) trên [a, b] thì:

Header Page 4 of 126.

hoạch τ = {x i } trên ñoạn [a, b] .
Nếu khi n tăng vô hạn ( n → ∞ ) sao cho
max ∆xi = λ, λ → 0 , σ có giới hạn (hữu hạn) I, và giới hạn I này
1≤i ≤ n

không phụ thuộc vào phân hoạch τ = {x i } trên ñoạn [a, b] và cách
chọn ñiểm ξ i :
lim

∑ f(ξ )∆x
i

λ →0
(n →∞ ) i = 1

i

(1.3)

=I

thì I ñược gọi là tích phân xác ñịnh của hàm số f(x) (theo Riman)
b

lấy trên khoảng [a, b] và kí hiệu là f(x)dx, như vậy:
∫
a
b

I = ∫ f(x)dx.

(1.4)

a

1.3. Các tính chất của tích phân xác ñịnh
Định lý 1.3.1. (Tính chất tuyến tính) Nếu f, g là hai hàm khả tích trên
[a, b] thì αf + βg cũng khả tích trên [a, b] , trong ñó α, β = const
và:
b

b

b

a

a

a

∫ [αf(x) + βg(x)] dx = α ∫ f(x)dx + β ∫ g(x)dx.

(1.5)

Định lý 1.3.2. Cho 3 khoảng ñóng [a, b] , [a, c] , [c, b] , nếu f(x)
khả tích trên khoảng có ñộ dài dài nhất thì cũng khả tích trên hai
khoảng còn lại và:
b

c

b

a

a

c

∫ f(x)dx = ∫ f(x)dx + ∫ f(x)dx.

(1.6)

Định lý 1.3.3. Nếu f(x) khả tích trên [a, b], f(x) ≥ 0 ∀x ∈ [a, b],
b

a < b thì ∫ f(x)dx ≥ 0.
a
b

b

a

a

Định lý 1.3.4. Nếu f(x) ≤ g(x) ∀x ∈ [a, b] thì ∫ f(x)dx ≤ ∫ g(x)dx.

(1.8)

a

1.4. Các ñịnh lý về giá trị trung bình
Định lý 1.4.1. Giả sử f(x) khả tích trên [a, b] , (a < b) và
m = inf f(x); M = sup f(x). Khi ñó tồn tại µ ∈ [m, M] thỏa mãn:
x∈[a, b]

n

Footer Page 4 of 126.

b

m(b − a) ≤ ∫ f(x)dx ≤ M(b − a).

x∈[a, b]

b
∫ f(x)dx = µ(b − a).
a

(1.9)

Định lý 1.4.2. Giả sử:
a) f(x) và f(x)g(x) khả tích trên [a, b] ;
b) m ≤ f(x) ≤ M, ∀x ∈ [a, b];
c) g(x) không ñổi dấu trên [a, b] .
Khi ñó với m ≤ µ ≤ M ta có:
b
b
(1.10)
∫ g(x)f(x)dx = µ ∫ g(x)dx.
a
a
1.5. Nguyên hàm và tích phân xác ñịnh
Định nghĩa 1.5.1. Cho hàm số f:[a, b] → R . Hàm số khả vi
F:[a, b] → R ñược gọi là nguyên hàm của hàm f nếu
F'(x) = f(x) ∀x ∈ [a,b] . Tập hợp tất cả các nguyên hàm của f(x) ñược
kí hiệu là ∫ f(x)dx và ñược gọi là tích phân không xác ñịnh của f(x).
Định nghĩa 1.5.2. Cho hàm f(x) khả tích trên [a, b] . Khi ñó với mọi
x ∈ [a, b] hàm f(x) khả tích trên [a, x] . Xét hàm Φ : [a, b] → R cho
bởi:
x
Φ(x) = ∫ f(t)dt.
(1.12)
a

Hàm Φ(x) ñược xác ñịnh như trên ñược gọi là tích phân xác ñịnh như
hàm của cận trên.
Định lý 1.5.1. Nếu f(x) liên tục trên [a, b] thì Φ(x) là một nguyên
hàm của f(x), tức là:
Φ'(x) = f(x) ∀x ∈ [a, b].
(1.13)


9

10

Định lý 1.5.2. Nếu f(x) khả tích trên [a, b] thì Φ(x) liên tục trên
[a, b] .
Định lý 1.5.3. Giả sử f(x) liên tục trên [a, b] và Φ(x) là một nguyên
hàm của f(x). Khi ñó:
b
b
(1.14)
∫ f(x)dx = Φ(b) − Φ(a) = Φ(x) a .
a
1.6. Một vài phương pháp tính tích phân xác ñịnh
1.6.1. Phương pháp ñổi biến số
1.6.2. Phương pháp tích phân từng phần
1.7. Tích phân suy rộng
1.7.1. Tích phân suy rộng loại 1 (Trường hợp cận lấy tích phân là vô
hạn)
1.7.2. Tích phân suy rộng loại 2 (Trường hợp hàm số lấy tích phân
không bị chặn)

CHƯƠNG 2
ỨNG DỤNG CỦA TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH TRONG
HÌNH HỌC VÀ VẬT LÝ

Header Page 5 of 126.

2.1. Sơ ñồ áp dụng tích phân xác ñịnh
Giả sử ta cần xác ñịnh giá trị của một ñại lượng hình học hoặc
vật lý A nào ñó (diện tích của mảnh, thể tích của khối, áp suất của
chất lỏng lên bề mặt phiến…), với việc thay ñổi trên ñoạn [a, b] ñược
mô tả bởi biến ñộc lập x. Giả sử ñại lượng A là cộng tính, khi ñó ñể
xác ñịnh ñược ñại lượng A ta tiến hành như sau:
- Các ñiểm x 0 = a, x1 ,..., x n = b chia ñoạn [a, b] thành n phần
tương ứng với việc ñại lượng A ñược phân thành n “số hạng thành
phần” ∆A i , i = 1, 2,..., n . Như vậy:
A = ∆A1 + ∆A 2 + ... + ∆A n .
(2.1)
- Biểu diễn mỗi một số hạng thành phần dưới dạng tích của một
vài hàm nào ñó (phụ thuộc vào ñiều kiện bài toán), sau ñó tính toán
tại một ñiểm bất kỳ tương ứng với ñoạn ñó và giá trị của hàm:
∆A i ≈ f(ξ i )∆x i . Trong việc xác ñịnh giá trị gần ñúng ∆A i ta chấp
nhận một vài ñiểm ước lượng sau: cung trên một phần ñủ nhỏ ñược
thay bằng dây mà nối hai ñầu mút của nó; vận tốc biến thiên trên một
ñoạn ñủ nhỏ coi như là hằng số…. Ta nhận ñược giá trị gần ñúng của
ñại lượng A dưới dạng tổng:
(2.2)
A ≈ f(ξ1 )∆x1 + f(ξ 2 )∆x 2 + ... + f(ξ n )∆x n .
- Chuyển qua giới hạn ta nhận ñược giá trị của ñại lượng A:
n

b

i=1

a

A = lim
∑ f(ξ i )∆x i = ∫ f(x)dx.
n →∞

(2.3)

2.2. Tính diện tích hình phẳng
2.2.1. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi ñồ thị hàm số y = f(x) liên
tục trên ñoạn [a, b] (f(x) nằm trên trục Ox), hai ñường thẳng x = a,
x = b và trục Ox từ bài toán xác ñịnh diện tích hình thang cong ta có
ngay:
b
S = ∫ f(x)dx.
(2.4)
a

Footer Page 5 of 126.


11

12

Header Page 6 of 126.

Như vậy ta có nội dung của ñịnh lý sau ñây:
Định lý 2.2.1. Nếu y = f(x) ≥ 0 và liên tục trên ñoạn [a, b] thì diện
tích của hình thang cong tạo bởi ñồ thị của hàm số y = f(x) và trục
Ox ñược xác ñịnh bởi công thức (2.4).
Hệ quả 2.2.1. Chú ý rằng nếu như hình thang cong D nằm dưới trục
Ox: D = {(x, y): a ≤ x ≤ b, y = f(x) < 0}, thì khi ñó diện tích SD của
*

hình thang cong D bằng diện tích của hình thang D ñối xứng với D
qua trục Ox:
b
b
SD = SD* = ∫ ( − f(x) ) dx = − ∫ f(x)dx.
(2.5)
a
a
Như vậy gộp cả hai trường hợp trên ta viết công thức xác ñịnh diện
tích hình phẳng ñược viết dưới dạng:
b
S = ∫ f(x) dx
(2.6)
a
Nếu bài toán phát biểu dưới dạng: “Tính diện tích hình phẳng giới
hạn bởi ñồ thị hàm số x = φ(y) liên tục trên ñoạn [c, d], hai ñường
thẳng y = c và y = d và trục Oy” (Hình 2.1).

Hình 2.4
2.2.3. Giả sử miền xác ñịnh ñược cho trong tọa ñộ cực. Gọi miền D
hình quạt cong, ñược giới hạn bởi các tia φ = α, φ = β và ñường
cong r = r(φ) (Hình 2.6)

Hình 2.6
Định lý 2.2.2. Nếu hàm r = r(φ) ≥ 0 và liên tục trên [α, β] thì diện
tích của hình quạt cong ñược tính bởi công thức:

S=

1β 2
∫ r (φ)dφ.
2α

2.2.4 Nếu diện tích của miền cần tính ñược giới hạn bởi các ñường
cong ñược cho dưới dạng tham số:

 x = φ(t)

 y = ψ(t)

Hình 2.1
Khi ñó, công thức tính diện tích là:
d

S = ∫ φ(y) dy

(2.7)

c

2.2.2. Nếu hình phẳng giới hạn bởi ñồ thị hàm số
y = f1 (x), y = f 2 (x) liên tục trên ñoạn [a, b] , hai ñường thẳng

x = a, x = b, (a < b) (Hình 2.4) thì diện tích của nó ñược xác ñịnh
bằng:
b

S=

∫ f (x) − f
1

a

Footer Page 6 of 126.

2

(x) dx

(2.8)

ở ñây t1 ≤ t ≤ t 2 , thì bằng phép ñổi biến ta ñưa ñược tích phân cần
tính về dạng:
b

φ(t 2 )

a

φ(t1 )

S = ∫ f(x)dx =

∫

ψ(t)φ'(t)dt.

(2.11)

2.3. Tính ñộ dài ñường cong
Giả sử ta có ñường cong AB ñược cho bởi ñồ thị của hàm số
y = f(x) liên tục trên ñoạn [a, b] (Hình 2.12). Ta chia ñoạn [a, b]
thành n mảnh nhỏ bởi các ñiểm chia:

x i : a = x 0 < x1 <...< x i < x i+1 <...< x n = b.


13

14

Header Page 7 of 126.
y'(x) =

dy
dx

=

y'(t)

; dx = x'(t)dt.

x'(t)

Từ ñây ta suy ra:
β

L AB = ∫ 1 +
α

Hình 2.12
Ta dựng các ñường thẳng x = x i , i = 1, 2, ..., n-1. Như thế
cung AB sẽ bị chia thành n cung nhỏ bởi các ñiểm
A = M 0 , M1 ,..., Mi ,..., M n = B theo hướng từ A ñến B. Nối các ñiểm
trên với nhau bằng các ñường thẳng ta nhận ñược một ñường gấp
khúc M 0 M1...M n . Kí hiệu L n là ñộ dài của ñường gấp khúc nhận
ñược, ñộ dài của mỗi mẩu nhỏ là ∆li , λ = max ∆li .

 y'(t) 
 x'(t) 



2

λ →0

α

2

+ ( y'(t) ) dt.
2

(2.14)

Hệ quả 2.3.2. Nếu như AB ñược cho trong tọa ñộ cực
r = r(φ), φ ∈ [α, β]. Khi ñó ta có thể tham số hóa phương trình của
ñường cong bằng cách:

{

x = r(φ)cosφ
y = r(φ)sinφ

với φ ∈ [α, β]. Khi ñó từ công thức (2.14) ta nhận ñược:

1≤ i ≤ n

Định nghĩa 2.3.1. Đường cong AB ñược gọi là cầu trường (nắn
thẳng) nếu tồn tại giới hạn hữu hạn của các ñường gấp khúc mô tả
ñường cong AB khi λ → 0. Giới hạn trên ta gọi là ñộ dài cung AB
của ñường cong và kí hiệu là L AB . Như vậy:
(2.12)
LAB = lim Ln .

( x'(t) )

β

x'(t)dt = ∫

β

LAB =

∫ ( r(φ) )

2

+ ( r'(φ) ) dφ.
2

(2.15)

α

2.4. Tính thể tích vật thể
2.4.1. Tính thể tích vật thể khi biết diện tích thiết diện ngang: Cho
một vật thể giới hạn bởi một mặt cong và hai mặt phẳng vuông góc
với trục Ox tại các ñiểm x = a, x = b, a < b (Hình 2.15)

Định lý 2.3.1. Nếu ñường cong AB cho bởi ñồ thị của hàm số
y = f(x) , ở ñây f(x) và f '(x) liên tục trên ñoạn [a, b], khi ñó AB là
cầu trường và:
b

L AB =

∫

1+[f '(x)]2 dx.

(2.13)

a

Hệ quả 2.3.1. Nếu như AB ñược cho dưới dạng tham số:
 x = x(t)

 y = y(t)
ở ñây α ≤ t ≤ β; A(x(α),y(α)), B(x(β),y(β)). Giả sử x = x(t); y = y(t)
là các hàm khả vi liên tục trên [α, β]. Khi ñó công thức (2.13) viết
ñược dưới dạng:
b

L AB =

∫

1 + [y '(x)]2 dx.

a

Ta tiến hành ñổi biến trong tích phân nhận ñược: x = x(t) , khi ñó:

Footer Page 7 of 126.

Hình 2.15
Giả sử ta biết diện tích S của thiết diện của vật thể trên một mặt
phẳng vuông góc với trục Ox là S = S(x), trong ñó x là hoành ñộ của

giao ñiểm của mặt phẳng cắt trục Ox, giả sử S(x) là một hàm số liên
tục trong khoảng ñóng [a, b] . Ta sẽ ñịnh nghĩa thể tích vật thể nói
trên.
Chia [a, b] thành n ñoạn nhỏ bởi các ñiểm chia:

a = x 0 < x1 <...< x i −1 < x i <...< x n = b.


15

16

Qua mỗi ñiểm chia x i , i = 0, n ta dựng một mặt phẳng vuông góc
với trục Ox, các mặt phẳng ñó chia vật thể thành n vật thể nhỏ. Trên

Giả sử f(x) liên tục trong [a, b] , khi ñó mọi thiết diện vuông góc
với trục Ox ñều là mặt tròn có tâm nằm trên Ox và có bán kính là
y = f(x) nên diện tích S(x) của thiết diện ứng với hoành ñộ x là:

Header Page 8 of 126.

mỗi ñoạn [ x i −1 , x i ] lấy một ñiểm

ξ i tuỳ ý, dựng hình trụ ñứng giới

2

S(x) = πy .

hạn bởi các mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại các ñiểm

x = x i −1 , x = x i và mặt trụ có ñường sinh song song với trục Ox, ñi
qua biên của thiết diện vật thể ñã cho bởi mặt phẳng x = ξ i , thể tích

b

Do ñó, từ công thức V = ∫ S(x)dx ta suy ra công thức tính thể
a

tích của vật thể tròn xoay quay quanh trục Ox là:
b

của hình trụ ñó là S(ξ i )∆x i , ∆x i = x i − x i −1.
Thể tích của tất cả các hình trụ ñó ứng với mọi i, i = 1, 2, ..., n là:

V = π ∫ f 2 (x)dx.

(2.17)

a

Nếu như cần tính thể tích của vật thể nhận ñược khi quay
AabB quanh trục Oy (Hình 2.19) ta lập luận như sau:

n

∑ S(ξi )∆x i .
i=1
n

Khi ñó giới hạn của tổng

∑ S(ξ )∆x
i

i

khi n → ∞ sao cho

i=1

max∆x i → 0 ñược gọi là thể tích vật thể ñã cho. Theo ñịnh nghĩa
b

tích phân xác ñịnh, giới hạn ñó chính là

∫ S(x)dx , tích phân này tồn
a

tại vì S(x) ñược giả thiết liên tục trong [a, b] .
Vậy, nếu gọi V là thể tích vật thể nói trên ta ñược:
b

V = ∫ S(x)dx.

Hình 2.19
thể thành các hình trụ với bán kính
a = x 0 < x1 <...< xi−1 < x i <...< x n = b , chiều cao f(x i ) . Thể tích của
khối ñược tạo bởi hai hình trụ liền kề nhau bằng:
(2.18)

πxi 2f(xi ) − πxi −12f(x i−1 ).
Ta

(2.16)

a

chia

vật

2.4.2. Thể tích vật thể tròn xoay: Giả sử phải tìm thể tích của vật thể
tròn xoay tạo bởi hình thang cong AabB giới hạn bởi ñường

Gọi ξ i ∈ [x i −1 , x i ] (i = 1, n). Nếu phép chia cho ta các phần bán
kính rất nhỏ, nhỏ ñến mức mà các ñiểm x i −1 , x i , ξ i ∈ [x i −1 , x i ] rất

quay nó quanh trục Ox (Hình 2.18).

gần nhau, do ñó ta có thể thay thế x i−1 , x i bằng ξ i , khi ñó biểu thức
(2.18) viết ñược dưới dạng:

y = f(x), x ∈ [ a, b] , trục Ox, các ñường thẳng x = a, x = b khi

πx i 2f(x i ) − πx i −12f(x i −1 ) ≅ 2πξ i f(ξ i )∆x i .
Lập tổng của các thể tích và chuyển qua giới hạn khi
n → ∞ tương ứng với max∆x i → 0 . Ta nhận ñược:
b

Vy = 2π ∫ xf(x)dx.

Hình 2.18

Footer Page 8 of 126.

a

(2.19)


17

18

Header Page 9 of 126.
2.5. Diện tích mặt tròn xoay
Tiến hành xem xét mặt nhận ñược khi quay ñường cong y = f(x)
(hàm y = f(x) ñược giả thiết là không âm và khả vi liên tục trên

[a, b] ) quanh trục Ox. Ta cần xác ñịnh diện tích của mặt tròn xoay
nhận ñược. Trước tiên ta sẽ làm sáng tỏ câu hỏi, hiểu thế nào là diện
tích của mặt ñược hình thành khi quay một ñường cong quanh trục
Ox?
Ta chia ñoạn [a, b] một cách tùy ý thành n phần:

x i : a = x 0 < x1 <...< x i < x i+1 <...< x n = b.
Tại ñây mỗi một ñiểm x i xác ñịnh một ñiểm M i ( x i , f(x i ) ) trên
ñường cong. Nối tất cả các ñiểm M i ta nhận ñược ñường gấp khúc
mô tả ñường cong ñã cho. Xét trường hợp ñơn giản nhất, trên một
mẩu M i −1M i của ñường gấp khúc. Khi quay ñường ñã cho quanh
trục Ox ta nhận ñược một hình nón cụt mà diện tích bề mặt của nó

bằng π(y i −1 + y i )∆li , ở ñây ∆li là ñộ dài của ñoạn M i −1M i . Kí hiệu

i −1

+ yi )∆li .

1≤i ≤ n

tròn xoay và kí hiệu là P:
(2.21)

P = lim
P.
λ →0 n

Định lý 2.5.1 Nếu hàm số y = f(x) khả vi liên tục trên [a, b] thì diện
tích bề mặt P của vật thể tròn xoay ñược xác ñịnh theo công thức:

P = 2π ∫ f(x) 1 + ( f '(x) ) dx.
2

(2.22)

a

2.6. Khối lượng, moment và tọa ñộ trọng tâm của ñường cong
Giả sử ñường cong L ñược cho dưới dạng:
y = y(x), x ∈ [a, b],
(2.25)

Footer Page 9 of 126.

Các hàm y(x), x = x(t), y = y(t) ñược xác ñịnh như trên ñược giả
thiết là khả vi liên tục.
Chúng ta sẽ xem xét ñường cong trên như là một sợi dây vật chất
(có khối lượng). Giả sử khối lượng ñược phân bổ dọc theo sợi dây
với mật ñộ bằng ñơn vị, tức là khối lượng của mỗi một mẩu của ñoạn
dây trên bằng với ñộ dài của nó. Khi ñó moment của ñường cong
tương ứng với trục Ox, kí hiệu là M x ñược xác ñịnh bởi công thức:
b

2

M x = ∫ y(x) 1 + y'(x) dx,

(2.26)

a

và trong trường hợp tham số:
t2

2

2

M x = ∫ y(t) x'(t) + y'(t) dt.

(2.27)

t1

Moment của ñường cong tương ứng với trục Oy, kí hiệu là M y
2

(2.28)

a

Định nghĩa 2.5.1. Nếu tồn tại giới hạn hữu hạn Pn khi
λ = max ∆x i → 0, thì ta sẽ gọi nó là diện tích bề mặt của vật thể

hoặc dưới dạng tham số:

với t ∈ [t1 , t 2 ].

b

i=1

b

y = y(t)

M y = ∫ x 1 + y'(x) dx,

n

∑ π(y

x = x(t)

ñược xác ñịnh bởi công thức:

Pn là tổng diện tích bề mặt của tất cả các hình nón trên:

Pn =

{

và trong trường hợp tham số:
t2

2

2

M y = ∫ x(t) x'(t) + y'(t) dt.

(2.29)

t1

Ta biết rằng moment của một chất ñiểm bất kỳ với khối lượng m
tương ứng với trục (tọa ñộ) nào ñó bằng tích khối lượng của nó với
ñộ dài từ chất ñiểm ñến trục. Trong trường hợp hệ có k chất ñiểm thì
moment sẽ bằng tổng các moment của các ñiểm riêng biệt. Nếu như
các khối lượng không tập trung tại các ñiểm riêng biệt mà phân bổ
một cách trù mật (liên tục) thì ñể mô tả moment ta cần ñưa vào tích
phân xác ñịnh.

Giả sử ñường cong L cho bởi phương trình (2.25). Ta chia ñoạn
[a, b] thành các mảnh nhỏ bởi các ñiểm chia

x 0 = a < x1 < x 2 <...< x n = b.


19

20

Phép chia ñoạn trên sẽ tương ứng với phép chia ñường cong thành
những mảnh nhỏ. Tại mỗi phần nhỏ ñó ta lấy tùy ý các ñiểm M i với
tọa ñộ (ξ i , y(ξ i )). Khi ñó khối lượng của mảnh thứ i bằng với ñộ dài

my 0 . Mặt khác, ñây cũng chính là moment M x của cả ñường cong
tương ứng với trục Ox, suy ra:
M x = my 0 ,
từ ñó:
M
y0 = x .
(2.30)
m
Một cách tương tự ta tính ñược:
My
x0 =
,
(2.31)
m
ở ñây khối lượng m của ñường cong L chính bằng ñộ dài của ñường
cong ñó:

Header Page 10 of 126.

của nó và bằng

xi

∫

1 + y'(x) 2 dx.

x i −1

Theo ñịnh lý về giá trị trung bình ta có:
xi

∫

1 + y'(x) 2 dx = 1 + y'(ξ i ) 2 ∆x i ,

x i−1

ở ñây M i (ξ i , y(ξ i )) là một ñiểm nào ñó trên ñoạn thứ i của ñường
cong, còn ∆x i = x i − x i −1. Ta sẽ giả ñịnh rằng khối lượng của mảnh
thứ i là trù mật tại ñiểm M i . Khi ñó moment của mảnh thứ i tương
ứng với trục Ox bằng tích của khối lượng mảnh này với khoảng cách
từ ñiểm M i ñến trục Ox, hay y(ξ i ) 1 + y'(ξ i ) 2 ∆x i . Để nhận ñược
moment của cả ñường cong ta cần lấy tổng của tất cả các moment của
các mảnh nhỏ. Như thế ta nhận ñược tổng tích phân của tích phân
xác ñịnh:

b

∫ y(x)

2

1 + y'(x) dx.

a

Chuyển qua giới hạn ta nhận ñược công thức (2.26). Lý luận tương
tự cho ta các công thức (2.27) và (2.28). Như vậy ta phát biểu ñược
ñịnh lý sau ñây:
Định lý 2.6.1. Giả sử ñường cong L ñược cho dưới dạng
y = y(x), x ∈ [a, b], khả vi liên tục trên [a, b]. Khi ñó moment của L
theo trục Ox, kí hiệu là M x ñược xác ñịnh theo công thức (2.26) và
moment của L theo trục Oy, kí hiệu là M y ñược xác ñịnh theo công
thức (2.28).
Bây giờ ta giả sử trọng tâm của ñường cong có tọa ñộ là (x 0 , y 0 ) .
Nếu cho rằng m là khối lượng của cả ñường cong ñược phân bổ một
cách trù mật tại một ñiểm, là trọng tâm của ñường cong, thì moment
của chất ñiểm trên có khối lượng m tương ứng với trục Ox bằng

Footer Page 10 of 126.

b

m=

∫

1 + y'(x) 2 dx,

a

và trong trường hợp ñường cong ñược cho dưới dạng tham số:
t2

m=

∫

x'(t) 2 + y'(t) 2 dt.

t1

Ta phát biểu ñược ñịnh lý sau:
Định lý 2.6.2. Trọng tâm của ñường cong L, kí hiệu là M(x 0 , y 0 ) ,
ñược xác ñịnh theo công thức (2.30) – (2.31).
Chú ý: Nếu trong trường hợp khối lượng phân bổ dọc theo ñường
cong với hàm mật ñộ ρ(x) thì trong các công thức ñối với
m, M x , M y dưới dấu tích phân ta thêm vào hàm ρ(x) .

Từ công thức ñối với tọa ñộ trọng tâm của ñường cong ta nhận
ñược hệ quả hình học có ý nghĩa sau ñây: nếu ta nhân cả hai vế của
ñẳng thức M x = my 0 với 2π ta nhận ñược:
2πM x = 2πmy 0 ,

Hay:
b

2π ∫ y(x) 1 + y'(x) 2 dx = 2πmy0 .
a

Khi ñó vế trái của biểu thức nhận ñược chính là diện tích của bề
mặt tròn xoay, nhận ñược khi ta quay ñường cong


21

22

y = y(x), x ∈ [a, b], y(x) ≥ 0 quanh trục Ox, còn vế phải chính là ñộ
dài (chu vi) của vòng tròn với tâm trùng với trọng tâm của ñường
cong nhân với khối lượng của ñường cong hay cũng chính là ñộ dài
của ñường cong. Kết quả ñó cho ta nội dung của ñịnh lý Guldin thứ
nhất sau ñây:
Định lý 2.6.3. Diện tích của mặt tròn xoay nhận ñược khi quay
ñường cong L theo một trục, bằng tích chu vi của vòng tròn, nhận
ñược khi quay ñường cong ñó quanh trục, với tâm trùng với trọng
tâm nhân với ñộ dài của ñường cong ñó.
2.7. Khối lượng, moment và tọa ñộ trọng tâm của một vật thể
Giả sử ta có một vật thể nhẵn, phẳng Q ñược giới hạn bởi:
Pi = {(x, y): x i−1 ≤ x ≤ x i , y1 (ξ i ) ≤ y ≤ y 2 (ξ i )}. y1 (x) ≤ y ≤ y 2 (x);

Như vậy moment ñược xác ñịnh bằng:
1
2
2
y 2 (ξ i ) − y1 (ξ i ) ρ(ξ i )∆x i .

2
Cộng tất cả các thành phần nhận ñược cho ta tổng tích phân xác
1b
2
2
ñịnh:
∫ y 2 (x) − y1 (x) ρ(x)dx. Như vậy moment M x của vật
2a
thể Q tương ứng với trục Ox ñược xác ñịnh bởi:
1b
2
2
M x = ∫ y 2 (x) − y1 (x) ρ(x)dx.
(2.33)
a
2
Tương tự như thế, moment của mỗi mảnh Pi tương ứng với trục
Oy bằng tích của khoảng cách từ trọng tâm ñến trục Oy với khối
lượng của nó:

Header Page 11 of 126.

a ≤ x ≤ b, ở ñây y1 (x), y 2 (x) là các hàm liên tục trên ñoạn [ a, b ] .
Giả sử trên Q khối lượng ñược phân bổ theo hàm mật ñộ ρ(x) . Khi
ñó khối lượng của vật thể Q cho bởi:
b

(

)

m = ∫ y 2 (x) − y1 (x) ρ(x)dx.
a

(2.32)

Trong trường hợp riêng nếu ρ(x) = 1 thì khối lượng của vật thể
trùng với diện tích của nó. Để tính ñược moment ta tiến hành chia

[a, b]

thành bởi các ñiểm x 0 = a< x1 < x 2 <...< x n = b, và giả sử

ξ i ∈ [x i −1 , x i ] . Ta sắp xếp vật thể ñã cho bởi các hình chữ nhật nhỏ

(

(

Hiển nhiên trọng tâm của hình chữ nhật nằm tại tâm của nó.
Khoảng cách từ tâm của mỗi hình chữ nhật nhỏ Pi theo cách xác
1

(

)

y1 (ξ i ) + y 2 (ξ i ) . Moment của
2
mỗi hình chữ nhật Pi tương ứng với trục Ox bằng tích của khoảng

cách từ trọng tâm ñến trục Ox với khối lượng
2

)

(ξ i ) − y1 (ξ i ) ρ(ξ i )∆x i của nó.

Footer Page 11 of 126.

)

1
(x i−1 + x i ) ( y 2 (ξ i ) − y1 (ξ i ) ) ρ(ξ i )∆x i .
2
Nếu phép chia cho ta các mảnh rất nhỏ, nhỏ ñến mức mà các ñiểm
x i −1 , x i , ξ i ∈ [x i −1 , x i ] rất gần nhau, do ñó ta có thể thay thế

x i −1 , x i

bằng

ξ i , khi ñó 1 (x i −1 + x i ) = ξ i .
2

Cộng tất cả các thành phần nhận ñược cho ta tổng tích phân xác
b

ñịnh:

∫ x(y

2

(x) − y1 (x) ) ρ(x)dx. Như vậy moment M y của vật thể

a

Pi ={(x, y): x i −1 ≤ x ≤ x i , y1 (ξ i ) ≤ y ≤ y 2 (ξ i )}.

(y

)

(

Pi ñược xác ñịnh bởi:

ñịnh như trên ñến trục Ox bằng

)

Q tương ứng với trục Oy ñược xác ñịnh bởi:
b

M y = ∫ x ( y 2 (x) − y1 (x) ) ρ(x)dx.

(2.34)

a

Tọa ñộ trọng tâm của Q bằng:
x0 =

và:

y0 =

My
m
Mx

,

.
m
Như vậy ta nhận ñược nội dung của ñịnh lý sau ñây:

(2.35)
(2.36)


23

24

Định lý 2.7.1. Moment của một vật theo Ox và Oy ñược xác ñịnh
theo công thức (2.33) – (2.34), trọng tâm tương ứng của nó ñược xác
ñịnh bởi công thức (2.35) – (2.36).
Nhân cả hai vế trong công thức M x = my 0 với 2π (với ρ = 1 ) ta
nhận ñược:

trong ñó g là gia tốc rơi tự do, γ là mật ñộ của chất lỏng, S là diện
tích bị bao phủ bởi chất lỏng, h là ñộ sâu.
Áp suất của bề mặt chất lỏng theo phương thẳng ñứng ñược giới hạn
bởi các ñường: x = a, x = b, y1 = f1 (x), y 2 = f 2 (x) (Hình 2.26) không
thể tính ñược theo công thức trên bởi tại mỗi ñiểm khác nhau thì có
ñộ sâu khác nhau.

Header Page 12 of 126.

b

π ∫ ( y 2 2 (x) − y12 (x) ) ρ(x)dx = 2πmy 0 .
a

Vế trái của công thức nhận ñược chính là thể tích của vật thể, nhận
ñược khi quay quanh trục Ox, còn vế phải là tích của chu vi vòng
tròn với tâm trùng với trọng tâm của vật thể nhân với diện tích của
vật thể Q. Bằng cách ñó ta nhận ñược ñịnh lý Guldin thứ hai sau
ñây:
Định lý 2.7.2. Thể tích của vật thể nhận ñược khi quay nó theo trục
Ox, bằng tích chu vi của vòng tròn với tâm trùng với trọng tâm của
vật thể nhân với diện tích của vật thể ñó.
2.8. Quãng ñường ñi qua của vật thể chuyển ñộng
Quãng ñường S mà vật thể ñi qua với vận tốc biến thiên v(t) trong
khoảng thời gian [t 1 , t 2 ] ñược xác ñịnh bởi tích phân xác ñịnh:
t2

S = ∫ v(t)dt.

(2.37)

t1

2.9. Công của lực
Công A của lực thay ñổi, cho bởi hàm số F = F(x) và có hướng
dọc theo trục Ox trên ñoạn [a, b] bằng tích phân xác ñịnh:
b

A = ∫ F(x)dx.

(2.38)

a

Công A của lực co hoặc giãn của lò xo ñược xác ñịnh bởi:
x2

A = k ∫ xdx,
x1

ở ñây k là hệ số tỉ lệ phụ thuộc vào tính chất của lò xo, x1 , x 2 là các
giá trị ñầu và cuối của trạng thái co (giãn) tương ứng.
2.10. Áp suất của chất lỏng lên bề mặt của tấm mỏng
Theo ñịnh luật Pascal thì áp suất của bề mặt chất lỏng theo phương
nằm ngang ñược xác ñịnh theo công thức:
P = gγSh,

Footer Page 12 of 126.

Hình 2.26
Giả sử ta nhấn chìm vật thể trong chất lỏng theo phương thẳng
ñứng, ñược giới hạn bởi các ñường x = a, x = b, y1 = f1 (x), y 2 = f 2 (x).
Hệ trục tọa ñộ ñược chọn theo hình vẽ 2.26. Giả sử một phần áp suất
phải tìm biểu diễn dưới dạng hàm p = p(x) , như vậy p = p(x) là áp
suất lên một phần của vật thể tương ứng trên ñoạn [a, x] , ở ñây
x ∈ [a, b], p(a) = 0, p(b) = P.
Cho ñối số x số gia ∆x = dx. Hàm p(x) nhận số gia ∆p (trên hình
vẽ 2.26 là dải nhỏ với bề dày dx ). Ta sẽ ñi xác ñịnh vi phân dp của
hàm này. Do dx rất nhỏ nên ta có thể coi dải là hình chữ nhật, mà tất
cả các ñiểm của nó ñều nằm ở cùng một ñộ sâu x, như thế lúc này
phiến mỏng của ta ñược coi là nằm theo phương ngang, do ñó theo
ñịnh luật Pascal ta có ñược:
dp = gγ(y 2 − y1 )dx.x,
ở ñây (y 2 − y1 )dx ñóng vai trò là S, còn x ñóng vai trò là h. Lấy tích
phân cả hai vế hệ thức cuối trên [a, b] ta nhận ñược:
b

(

)

P = gγ ∫ x y 2 (x) − y1 (x) dx.
a

(2.39)


25

Header Page 13 of 126.

KẾT LUẬN
Luận văn “Tích phân xác ñịnh và ứng dụng trong hình học và
vật lý” ñã thực hiện ñược một số vấn ñề sau ñây:
- Trình bày các kiến thức cơ bản về tích phân xác ñịnh: ñịnh
nghĩa tích phân xác ñịnh, các tính chất của tích phân xác ñịnh, các
ñịnh lý về giá trị trung bình ñối với tích phân xác ñịnh....
- Xác ñịnh diện tích của hình phẳng trong hệ tọa ñộ Đề - các
và hệ tọa ñộ cực;
- Thể tích của vật thể nhận ñược khi quay quanh trục Ox, Oy;
- Xác ñịnh ñộ dài của ñường cong;
- Xác ñịnh trọng tâm của ñường cong, trọng tâm của vật thể;
và moment của vật thể;
- Áp suất của chất lỏng lên bề mặt của phiến mỏng; công cần
bỏ ra ñể nâng một vật lên một ñộ cao nào ñó...
Trong quá trình thực hiện ñề tài mặc dù ñã hết sức cố gắng
nhưng do hạn chế về chuyên môn cũng như ñây là bước khởi ñầu ñể
tác giả làm quen với công việc nghiên cứu khoa học và mặt hạn chế
về thời gian nên trong luận văn không thể tránh khỏi thiếu sót. Cho
nên trong thời gian tới, nếu ñiều kiện cho phép, tác giả rất ñược mong
muốn ñược tiếp cận và nghiên cứu ñề tài một cách sâu rộng hơn.

Footer Page 13 of 126.