Bài toán biên hilbert và các phương trình tích phân liên quan

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

HOÀNG QUẾ HƯỜNG

BÀI TOÁN BIÊN HILBERT
VÀ CÁC PHƯƠNG TRÌNH
TÍCH PHÂN LIÊN QUAN

LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC

HÀ NỘI - NĂM 2016


ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

HOÀNG QUẾ HƯỜNG

BÀI TOÁN BIÊN HILBERT
VÀ CÁC PHƯƠNG TRÌNH
TÍCH PHÂN LIÊN QUAN

LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC
Chuyên ngành: Giải tích
Mã số: 60.46.01.02

Người hướng dẫn khoa học
GS. TSKH. NGUYỄN VĂN MẬU

HÀ NỘI - NĂM 2016

1

Mục lục
Lời mở đầu
1

2

3

Một số khái niệm cơ bản
1.1 Các khái niệm cơ bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.1 Điều kiện Holder
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
¨
1.1.2 Chỉ số của hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.3 Bậc của hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.4 Định nghĩa tích phân dạng Cauchy . . . . . . . . . .
1.2 Bài toán biên Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3 Toán tử Schwarz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.2 Bài toán xác định một hàm giải tích có một cực điểm
với điều kiện giá trị thực nằm trên chu tuyến . . . . .

3
6
6
6

7
9
9
10
11
12
13

Bài toán biên Hilbert
2.1 Thừa số chính quy hóa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.1 Khái niệm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.1.2 Cách xác định các loại thừa số chính quy hóa . . . . .
2.2 Các dạng bài toán biên Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.1 Bài toán thuần nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.2 Bài toán không thuần nhất . . . . . . . . . . . . . . .
2.2.3 Bài toán trên đường tròn đơn vị . . . . . . . . . . . .
2.2.4 Bài toán cho miền ngoài đường tròn đơn vị . . . . . .
2.3 Mối liên hệ giữa bài toán biên Hilbert và bài toán biên Riemann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17
17
17
18
23
23
24
26
27

Một số dạng phương trình tích phân kỳ dị liên quan

35

30


2

3.1

Mối quan hệ của phương trình tích phân kỳ dị đặc trưng với
nhân Hilbert và bài toán biên Hilbert . . . . . . . . . . . . . .
Các dạng phương trình tích phân kỳ dị với nhân Hilbert . .
3.2.1 Phương trình thuần nhất . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2.2 Phương trình không thuần nhất . . . . . . . . . . . .
3.2.3 Phương trình với hệ số hằng . . . . . . . . . . . . . .

35
37
37
40
43

Ví dụ áp dụng
4.1 Bài toán biên Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4.2 Phương trình tích phân kì dị . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

46
46
51

3.2

4

Kết luận

56

Tài liệu tham khảo

57


3

Lời mở đầu
Bài toán tìm một hàm giải tích trong một miền xác định từ hệ thức liên hệ
giữa phần thực và phần ảo của giá trị biên của hàm, lần đầu tiên được đưa ra
bởi G. F. B. Riemann vào năm 1857, được gọi là bài toán biên Riemann. Tương
tự như vậy, David Hilbert đã xây dựng một bài toán như sau: Tìm hàm F (z) =
u(z) + iv(z) là hàm giải tích trong miền đơn liên D + giới hạn bởi chu tuyến L và liên
tục trên D + ∪ L, với điều kiện biên
a(t)u(t) + b(t)v(t) = c(t)
trong đó a(t), b(t) và c(t) là những hàm thực liên tục H¨older trên L.
Bài toán trên cũng thuộc vào nhóm những bài toán giá trị biên cơ bản của
hàm giải tích, một trong những bài toán lâu đời nhất của dạng này và thường
được gọi là bài toán biên Hilbert.
Mục đích chính của luận văn là nghiên cứu dạng cơ bản thứ hai này của
bài toán biên của hàm giải tích và lớp phương trình tích phân kỳ dị với nhân

Hilbert tương ứng. Tiếp theo, khảo sát một số vấn đề liên quan hỗ trợ cho việc
giải bài toán biên Hilbert như toán tử Schwarz, thừa số chính quy hóa,. . .
Nội dung chính của khóa luận được chia làm bốn chương.
Chương 1: Một số khái niệm và kiến thức bổ trợ.
Chương 2: Bài toán giá trị biên Hilbert cho miền đơn liên, khảo sát nghiệm
của bài toán thuần nhất, bài toán không thuần nhất, bài toán cho miền
trong và miền ngoài đường tròn đơn vị thông qua thừa số chính quy hóa
và chỉ số của hàm số.
Chương 3: Phương trình tích phân kỳ dị với nhân Hilbert. Từ nghiệm của
các bài toán giá trị biên Hilbert suy ra nghiệm của các phương trình tích
phân kỳ dị tương ứng và tính chất cơ bản của phương trình với nhân
Hilbert.


4

Chương 4: Áp dụng bài toán biên Hilbert giải một số phương trình tích
phân liên quan.


5

LỜI CẢM ƠN
Trước khi trình bày nội dung chính của luận văn, em xin bày tỏ lòng biết
ơn sâu sắc tới GS.TSKH. Nguyễn Văn Mậu người đã tận tình hướng dẫn để em
có thể hoàn thành luận văn này.
Em cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới toàn thể các thầy cô giáo
trong khoa Toán - Cơ - Tin học, Trường Đại học Khoa Học Tự Nhiên, Đại Học
Quốc Gia Hà Nội đã dạy bảo em tận tình trong suốt quá trình học tập tại khoa.
Nhân dịp này em cũng xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình,

bạn bè đã luôn bên em, cổ vũ, động viên, giúp đỡ em trong suốt quá trình học
tập và thực hiện luận văn tốt nghiệp.
Em xin chân thành cảm ơn!
Hà Nội, ngày 14 tháng 08 năm 2016
Học viên

Hoàng Quế Hường


6

Chương 1
Một số khái niệm cơ bản
Trong chương này, lí thuyết về bài toán biên Riemann được trình bày với
đa số các kí hiệu được dùng trong sách của F. D. Gakhov [1]. Dưới đây là một số
kiến thức chuẩn bị.

1.1

Các khái niệm cơ bản

1.1.1

Điều kiện Holder
¨

Giả sử L là chu tuyến trơn và ϕ(t) là tham số hóa tọa độ của L. Ta có định
nghĩa cơ bản dưới đây.
Định nghĩa 1.1. Hàm ϕ(t) được gọi là thỏa mãn điều kiện H¨older nếu với mọi cặp
điểm phân biệt tùy ý trên L đều có

| ϕ (t1 ) − ϕ (t2 )| ≤ A|t1 − t2 |λ

(1.1)

trong đó A và λ là các số dương. A được gọi là hằng số H¨older, λ được gọi là chỉ số
H¨older (0 < λ ≤ 1).
Với λ > 1 thì (1.1) trở thành
ϕ ( t1 ) − ϕ ( t2 )
≤ A | t 1 − t 2 | λ −1
t1 − t2
lấy giới hạn hai vế khi t1 → t2 ta được ϕ (t2 ) = 0 với mọi t2 thuộc miền xác định.
Khi đó, ϕ(t) là hằng số (tức là chu tuyến L suy biến thành 1 điểm). Do đó, trong
luận văn này, ta luôn xét trường hợp 0 < λ ≤ 1.
Với λ = 1 điều kiện này được gọi là điều kiện Lipschitz.


7

√

t (với t ≥ 0). Ta có
√
√
√
√
√
√
t1 + t2
t1 − t2

sin
| sin t1 − sin t2 | = 2 cos
2
√ 2
√
≤ | t1 − t2 |
t − t2
= √1 √
t1 + t2
≤ 2|t1 − t2 |1/2

Ví dụ 1.1. Xét hàm ϕ(t) = sin

¨
Do đó hàm ϕ thỏa mãn điều kiện Holder
với hằng số A = 1 và chỉ số λ = 1/2
Ví dụ 1.2. Ta xét hàm
ϕ(t) =

với 0 < t ≤ 1/2
với t = 0

1/ln t
0

Do
lim tλ ln t = 0
t →0

∀λ > 0

nên với mọi hằng số A, λ, luôn tồn tại t đủ nhỏ sao cho

| ϕ(t) − ϕ(0)| =

1
> A | x − 0| λ .
ln t

¨
Cho nên hàm ϕ xác định như trên không thỏa mãn điều kiện Holder.

1.1.2

Chỉ số của hàm số

Cho L là một chu tuyến đóng, đơn, trơn và G (t) là hàm số liên tục và không
triệt tiêu trên L.
Định nghĩa 1.2. Chỉ số của một hàm số G (t) dọc theo chu tuyến L là tỷ số độ tăng
trưởng (số gia) của argumen của nó khi chuyển động hết một lượt (theo chiều dương)
dọc theo chu tuyến L với 2π. Ta ký hiệu Ind G (t) là chỉ số của hàm G (t).
Ký hiệu [ω ] L là số gia của ω dọc theo L thì chỉ số của G (t) được viết dưới
dạng
1
[arg G (t)] L .
2π
Chỉ số dễ dàng tính được thông qua sự biến thiên logarit của hàm số; tức là

κ = IndG (t) =

ln G (t) = ln | G (t)| + i arg G (t).
Sau khi chuyển động dọc theo L, | G (t)| trở lại giá trị ban đầu. Vậy nên
1
[arg G (t)] L = [ln G (t)] L ,
i


8

do vậy mà
1
[ln G (t)] L .
2iπ
Chỉ số có thể tính theo tích phân (hiểu theo nghĩa Stieltjes)

κ=

κ = IndG (t) =

1
2π

d arg G (t) =
L

1
2πi

dln G (t).
L

Ví dụ 1.3. Xét hàm G (t) = tn trên chu tuyến là đường tròn đơn vị được tham số hóa
bởi t = eiθ , 0 ≤ θ ≤ 2π. Khi đó,
G (t) = tn = einθ .
Do đó,

κ = IndG (t) =

1
1
[ln G (t)] L =
2nπ = n
2πi
2π

Từ định nghĩa trên ta thấy: Vì hàm G (t) liên tục nên số gia của argumen
dọc theo chu tuyến đóng sẽ là bội của 2π. Vậy nên ta có
1. Chỉ số của một hàm số liên tục trên chu tuyến và không triệt tiêu trên đó
luôn là một số nguyên.
2. Chỉ số của tích hai hàm bằng tổng các chỉ số, chỉ số của thương hai hàm
bằng hiệu các chỉ số tương ứng.
Giả sử hàm G (t) là khả vi và là giá trị biên của hàm giải tích bên trong hoặc
bên ngoài chu tuyến L. Khi đó

κ=

1
2πi

dln G (t) =

L

1
2πi

L

G (t)
dt.
G (t)

Đây cũng chính là thặng dư logarit của hàm số G (t). Từ định lý về thặng
dư logarit, ta suy ra các tính chất sau đây của chỉ số
3. Nếu G (t) là giá trị biên của hàm giải tích bên trong hoặc bên ngoài chu
tuyến, thì chỉ số của nó bằng số không điểm từ bên trong hoặc số không
điểm từ bên ngoài lấy dấu âm.
4. Nếu G (t) là giá trị biên của hàm giải tích bên trong chu tuyến trừ ra hữu
hạn điểm (có thể là các cực điểm) thì chỉ số của nó bằng hiệu giữa số không
điểm và số cực điểm (kể cả bội).


9

1.1.3

Bậc của hàm số

Định nghĩa 1.3. Bậc của hàm số giải tích Φ(z) tại một điểm z0 là lũy thừa nhỏ nhất
trong khai triển Φ(z) thành chuỗi lũy thừa của (z − z0 ).
Từ định nghĩa này suy ra khi Φ(z) có 0- điểm bậc m tại điểm z0 thì m là bậc

của hàm số, còn với cực điểm bậc m ta có bậc âm (bằng −m). Nếu hàm số là giải
tích tại z0 và khác không tại đây thì bậc là 0.

1.1.4

Định nghĩa tích phân dạng Cauchy

Giả sử L là chu tuyến đóng, đơn và trơn trong mặt phẳng phức. Miền bên
trong chu tuyến L được gọi là miền trong và ký hiệu bởi D + , còn phần bù của
D + ∪ L được gọi là miền ngoài và ký hiệu bởi D − .
Khi f (z) là hàm giải tích trong D + và liên tục trong D + ∪ L, theo công thức
tích phân Cauchy trong lý thuyết hàm biến phức, ta có
1
2πi

L

f (τ )
dτ =
τ−z

f (z)
0

khi z ∈ D + ,
khi z ∈ D − .

(1.2)

Nếu hàm f (z) là giải tích trong D − và liên tục trong D − ∪ L, thì

1
2πi

L

f (τ )
dτ =
τ−z

f (∞)
− f (z) + f (∞)

khi z ∈ D − ,
khi z ∈ D + .

(1.3)

Trong đó hướng dương của chu tuyến L là hướng mà D + nằm ở bên trái khi đi
theo đường cong dọc theo hướng đó.
Công thức tích phân Cauchy cho phép ta tính giá trị của hàm số tại mọi
điểm trong miền thông qua giá trị trên biên đã biết. Do đó, có thể nói rằng công
thức tích phân Cauchy cho ta lời giải của bài toán biên trong lớp hàm giải tích.
Tích phân ở vế trái của công thức (1.2) và (1.3) được gọi là tích phân Cauchy. Mở
rộng khái niệm trên đối với chu tuyến bất kì, ta có định nghĩa dưới đây
Định nghĩa 1.4. Giả sử L là chu tuyến trơn, đóng hoặc mở trong mặt phẳng phức,
ϕ(τ ) là hàm xác định liên tục trên chu tuyến. Khi đó, tích phân
Φ(z) =

1
2πi

L

ϕ(τ )
dτ
τ−z


10

được xây dựng theo phương pháp như đối với tích phân Cauchy, được gọi là tích phân
dạng Cauchy.
Hàm số ϕ(τ ) được gọi là hàm mật độ và hàm

1.2

1
là nhân Cauchy.
τ−z

Bài toán biên Riemann
Công thức dưới dây được chứng minh vào năm 1873 bởi nhà toán học

người Nga là Yu. V. Sokhotski cho ta thông tin về giới hạn của tích phân Cauchy
trên chu tuyến bất kì.
Định lý 1.1. Giả sử L là chu tuyến trơn (đóng hoặc mở), ϕ(τ ) là hàm số thỏa mãn điều
kiện H¨older theo tọa độ τ trên đó. Khi đó, tồn tại giới hạn Φ+ (t), Φ− (t) của công thức
tích phân Cauchy
Φ(z) =

1
2πi

L

ϕ(τ )
dτ
τ−z

Trong đó t ∈ L không trùng với các đầu mút và Φ+ (t), Φ− (t) lần lượt là các giới hạn
bên trong, giới hạn bên ngoài dọc theo chu tuyến. Hơn nữa, ta có công thức

1
ϕ(τ )
1


dτ
Φ+ (t) = ϕ(t) +



2
2πi τ − t
L


− (t) = − 1 ϕ(t) + 1

Φ




2
2πi

L

ϕ(τ )
dτ
τ−t

Nhận xét 1.1. Với định lí trên, hàm duy nhất Φ thỏa mãn điều kiện
Φ+ (t) − Φ− (t) = ϕ(t)
trên chu tuyến L, có công thức là
Φ(z) =
L

ϕ(τ )
dτ.
τ−z

Bây giờ, ta xét L là chu tuyến đóng, đơn, trơn và chia mặt phẳng thành hai
miền D + , D − (∞ ∈ D − ). G (t), g(t) là các hàm xác định trên chu tuyến, thỏa mãn
điều kiện Holder,
G (t) không triệt tiêu trên L. Bài toán biên Riemann phát biểu
¨
như sau
Tìm hàm Φ+ (z) giải tích trong D + , Φ− (z) giải tích trong D − thỏa mãn điều
kiện biên

Φ+ (t) = G (t)Φ− (t) (bài toán thuần nhất)


11

hoặc
Φ+ (t) = G (t)Φ− (t) + g(t) (bài toán không thuần nhất).
Hàm G (t) được gọi là hệ số của bài toán Riemann, hàm g(t) là hàm bất kì.
Dưới đây, ta xem xét bài toán trong điều kiện biên thuần nhất.
Xét bài toán Riemann với kí hiệu N + , N − lần lượt là số không điểm của
hàm Φ+ , Φ− . Theo tính chất của chỉ số, ta có
N + + N − = IndG (t) = κ

(1.4)

Chỉ số trên được gọi là chỉ số của bài toán Riemann. Do công thức (1.4), nên chỉ
số bài toán Riemann là không âm. Ta chia bài toán thành 2 trường hợp
Trường hợp 1. κ = 0. Khi đó, ln G (t) là hàm đơn trị và Φ+ , Φ− là các hàm
giải tích. Lấy logarith hai vế của điều kiện biên ta thu được
ln Φ+ (t) − ln Φ− (t) = ln G (t).

(1.5)

Bài toán được chuyển thành "Tìm hàm giải tích ln G (t) thỏa mãn điều kiện (1.5)".
Theo Nhận xét 1.1 ta có nghiệm duy nhất của bài toán là
ln G (t) =

1
2πi

L

ln G (τ )
dτ
τ−t

khi đó
−

Φ+ (t) = AeΓ (t),

Φ− (t) = AeΓ (t)

+

trong đó A là hằng số bất kì và
Γ(t) =

1
2πi

L

ln G (τ )
dτ
τ−t

Trường hợp 2. κ > 0 Ta xét trường hợp đặc biệt gốc tọa độ nằm trên miền
D + . Bằng lập luận như trong [5] ta có kết quả dưới đây
Định lý 1.2. Nếu chỉ số κ của bài toán biên Riemann dương thì bài toán có nghiệm là

không gian vector κ + 1 chiều với cơ sở là
Φk+ (t) = tk eΓ

1.3

+ (t)

,

Φk− (t) = tk−κ eΓ

− (t)

,

(k = 0, 1, . . . , κ ).

Toán tử Schwarz
Trước khi kết thúc Chương 1, ta đưa vào khái niệm quan trọng khác là toán

tử Schwarz, được dùng trong giải quyết bài toán Hilbert ở Chương 2.


12

1.3.1

Định nghĩa

Giả sử cho hàm thực u(s) thỏa mãn điều kiện Holder

trên một chu tuyến
¨
đóng, đơn và trơn.
Định nghĩa 1.5. Toán tử Schwarz S là toán tử xác định một hàm giải tích F (z) mà có
phần thực của giá trị biên trùng với hàm u(s) trên chu tuyến và phần ảo bị triệt tiêu tại
điểm z0 cho trước.
Ta có thể viết phát biểu trên như sau:
F (z) = u( x, y) + iv( x, y) = (Su)(z).
Nếu L là đường tròn đơn vị thì toán tử Schwarz sẽ đồng nhất với tích phân
Schwarz; nếu L là trục thực thì toán tử Schwarz đơn giản là tích phân dạng
Cauchy. Cho một chu tuyến tùy ý, biểu thức chi tiết của toán tử Schwarz có thể
cho trong những điều kiện của hàm Green.
Đặt

1
+ g( x, y; ξ, η )
r
là hàm Green của toán tử Laplace trong miền xác định D + , trong đó
G ( x, y; ξ, η ) = ln

( x − ξ )2 + (y − η )2 và g( x, y; ξ, η) là một hàm điều hòa với hai cặp tham

r=

biến x, y và ξ, η; lấy giá trị ln r khi một trong hai điểm ( x, y), (ξ, η ) nằm trên chu
tuyến.
Ta coi G ( x, y; ξ, η ) là hàm của hai biến số phức z = x + iy và ζ = ξ + iη đều
biến thiên trong miền D + ; ký hiệu là G (z, ζ ).
Từ lý thuyết của hàm điều hòa, nghiệm của bài toán biên thứ nhất - bài toán
Dirichlet được cho bởi công thức

u( x, y) =

1
2π

L

∂G (z, τ )
u(σ)dσ,
∂n

(1.6)

trong đó τ = τ (σ) là tọa độ phức của một điểm trên chu tuyến và n là pháp
tuyến trong.
Đặt H (z, ζ ) là hàm điều hòa liên hợp phức của G (z, ζ ) với tham số z. Nó
được xác định trên cơ sở của phương trình Cauchy-Riemann bằng hệ thức
z

−

H (z, ζ ) =
z0

∂G
∂G
∂x +
∂y ,
∂y
∂x

(1.7)


13

trong đó z0 là điểm cố định trong miền D + .
Vì D + là miền đơn liên nên hàm H được xác định duy nhất và thỏa mãn
điều kiện
H (z0 , ζ ) ≡ 0.
Hàm
M (z, ζ ) = G (z, ζ ) + iH (z, ζ )
được gọi là hàm phức Green cho miền D + . Nó là hàm giải tích khắp nơi với mọi z
trừ điểm z = ζ ở đó có một kỳ dị logarit.
Từ hệ thức (1.6) và (1.7) ta có công thức
v( x, y) =

1
2π

L

∂H (z, τ )
u(σ)dσ,
∂n

xác định hàm điều hòa v( x, y) là hàm liên hợp phức của hàm u( x, y). Do đó, hệ
thức
1
F (z) = u( x, y) + iv( x, y) =

2π

l

0

∂M(z, τ )
u(σ)dσ
∂n

cho hàm giải tích có phần thực bằng hàm u(σ) đã cho trên chu tuyến. Hàm này
cũng thỏa mãn điều kiện bổ sung v(z0 ) = 0.
Do vậy, toán tử Schwarz được cho bởi công thức
1
Su(z) ≡
2π

l

0

∂M (z, τ )
u(σ )dσ.
∂n

(1.8)

Nếu điều kiện v(z0 ) = 0 được hủy bỏ thì
F (z) = Su(z) + iβ 0 ,

(1.9)

trong đó β 0 là một hằng số tùy ý và bằng v(z0 ).
Hàm T (z, τ ) = ∂M (z, τ )/∂n được gọi là nhân Schwarz cho chu tuyến L.
Trong một ánh xạ bảo giác từ miền D + vào đường tròn đơn vị nó trở thành
nhân Schwarz cho đường tròn T (z, τ ) = (τ + z)/(τ − z) .

1.3.2

Bài toán xác định một hàm giải tích có một cực điểm với điều
kiện giá trị thực nằm trên chu tuyến

Trong phần trên, chúng ta đã xác định một hàm giải tích trong một miền
với điều kiện giá trị phần thực của nó nằm trên chu tuyến cho trước. Trong phần


14

xét tiếp theo yêu cầu giải bài toán một cách tổng quát hơn với việc cho phép sự
hiện diện của một cực điểm của hàm giải tích cần tìm. Bài toán này sẽ được gọi
là bài toán A.
Xét chu tuyến đóng, đơn và trơn L được giới hạn một phần trong miền
D + . Yêu cầu tìm một hàm F (z) là giải tích trong miền D + ngoại trừ tại điểm z0
(z0 ∈ D + ), tại đó có một cực điểm mà bậc không vượt quá n và có phần thực
bằng một hàm u(s) đã cho trên chu tuyến L.
Bài toán thuần nhất tương ứng (u(s) ≡ 0) sẽ được gọi là bài toán A0 và
nghiệm được ký hiệu là Q(z).
Trước tiên cho một nghiệm của bài toán A0 trong trường hợp chu tuyến L
là đường tròn đơn vị và z0 = 0.
Cho khai triển của hàm Q(z) trong lân cận gốc tọa độ

∞

∑

Q(z) =

ck zk .

k =−n

Theo điều kiện đã biết,

∞

Re

∑

ck eiks = 0.

k =−n

Ký hiệu ck = αk + iβ k ta thu được
∞

∑

(αk cos ks − β k sin ks) = 0.

k =−n

Từ tính duy nhất trong khai triển chuỗi Fourier ta có

α0 = 0, α−k = −αk , β −k = β k , k = 1, 2, . . . , n
αk = β k = 0, k = n + 1, n + 2, . . . ,
từ đó
c0 = iβ 0 , c−k = −ck (k = 1, 2, . . . , n), ck = 0 (k > n).
Do đó, hàm cần tìm Q(z) có dạng
n

Q(z) = iβ 0 +

∑ ( c k z k − c k z − k ).

k =1

(1.10)


15

Chú ý 1.1. Nếu xét bài toán A0 cho đường tròn đơn vị, miền trong D + được thay
bởi miền ngoài D − thì cả lý luận và kết quả không có gì thay đổi và do đó công
thức (1.10) cũng cho nghiệm của bài toán A0 đối với miền ngoài D − của đường
tròn đơn vị. Điểm mà tại đó hàm có một cực điểm là điểm vô cùng.
Nghiệm của bài toán A0 cho một miền tùy ý cũng như cho đường tròn đơn
vị với cực điểm tại z0 có thể được suy ra từ cách xây dựng trên bằng ánh xạ bảo
giác. Đặt
w = ω (z)

(1.11)

là ánh xạ bảo giác từ miền D + của mặt phẳng z lên đường tròn đơn vị của mặt
phẳng w với giả thiết điểm z0 được biến đổi thành gốc tọa độ ω (z0 ) = 0 và
ω (z0 ) > 0.
Khi đó, công thức
n

Q(z) = iβ 0 +

∑ {ck [ω (z)]k − c¯k [ω (z)]−k },

(1.12)

k =1

là nghiệm của bài toán A0 trong một miền D + tùy ý.
Nếu ω (z) là hàm của ánh xạ bảo giác từ miền D − lên miền ngoài của đường
tròn đơn vị, biến điểm ở vô cực thành điểm ở vô cực và hơn nữa ω (∞) > 0 thì
công thức (1.12) cũng cho nghiệm của bài toán A0 trong miền D − .
Bây giờ chúng ta sẽ giải bài toán A.
Trong định nghĩa của toán tử Schwarz, Su(z) là một hàm giải tích trong D +
mà phần thực bằng hàm u(s) đã cho trên chu tuyến. Hiển nhiên, hiệu sai phân
F (z) − (Su)(z) là một hàm thỏa mãn điều kiện của bài toán A0 . Do đó
F (z) − (Su)(z) = Q(z),
từ đó
F (z) = Su(z) + Q(z),

(1.13)

toán tử Schwarz Su(z) được xác định bởi công thức (1.8) và nghiệm của bài toán
A0 là Q(z) được xác định bởi công thức (1.12).
Công thức (1.12), (1.13) chứng tỏ rằng nghiệm của bài toán A0 và bài toán
A có chứa 2n + 1 hằng số thực tùy ý
β 0 , αk , β k , k = 1, 2, . . . , n (ck = αk + iβ k ),


16

cụ thể là khi không có cực điểm (n = 0) thì công thức (1.13) trở thành công thức
(1.9).
Để xây dựng hàm F (z) có các tính chất nêu trên với vai trò của phần ảo v(s)
của giá trị biên chỉ cần chọn
ImF (t) =

[−iF (t)] = v(s),

từ đó

−iF (z) = Sv + Q(z),
suy ra
F (z) = iSv + iQ(z).


17

Chương 2
Bài toán biên Hilbert
Mục đích chính của chương này là nghiên cứu bài toán biên Hilbert cho các
trường hợp biên thuần nhất và biên không thuần nhất. Từ đó, các kết quả được

mở rộng hơn cho bài toán đường tròn đơn vị và miền ngoài của đường tròn đơn
vị. Trước tiên, ta cần phát biểu lại bài toán biên Hilbert.
Xét một chu tuyến đóng, đơn, trơn L và những hàm thực a(s), b(s), c(s) trên
L được thỏa mãn điều kiện Holder.
Bài toán biên Hilbert được phát biểu như
¨
sau: Cần tìm trong miền D + một hàm
F (z) = u( x, y) + iv( x, y),
liên tục trên chu tuyến và có phần thực, phần ảo của giá trị biên thỏa mãn hệ thức tuyến
tính
a ( s ) u ( s ) + b ( s ) v ( s ) = c ( s ).

(2.1)

Khi c(s) ≡ 0 ta có bài toán thuần nhất .
Khi c(s) ≡ 0 thì ta có bài toán không thuần nhất.
Trước khi giải quyết bài toán, ta cần khảo sát đến lớp hàm có tính chất quan
trọng, được gọi là thừa số chính quy hóa.

2.1

Thừa số chính quy hóa

2.1.1

Khái niệm

Cho L là một chu tuyến đóng, đơn, trơn giới hạn miền D + và
G (t) = G [t(s)] = a(s) + ib(s),

s ∈ [0; 1]

là một hàm phức được xác định trên chu tuyến thỏa mãn điều kiện Holder;
hơn
¨
nữa, hàm này không triệt tiêu trên L. Nói chung một hàm G (t) tùy ý không là


18

giá trị biên của một hàm giải tích trong miền D + . Cần xác định một hàm R(t) trên
chu tuyến sao cho khi nhân với hàm G (t) nó sẽ trở thành giá trị biên của một hàm giải
tích Φ+ (z) trong D + , tức là
G ( t ) R ( t ) = Φ + ( t ).

(2.2)

Hàm R(t) có tính chất này được gọi là thừa số chính quy hóa.
Việc xây dựng công thức nghiệm của bài toán có thể được tổng quát hóa
khi nghiệm có những điểm kỳ dị nào đó đối với một hàm Φ+ (z) tại một số điểm
cho trước trong miền D + .
Nhận xét rằng nếu bài toán đã nêu có một nghiệm thì hiển nhiên nó có vô
số nghiệm khác được suy ra bằng cách nhân nó với giá trị biên của một hàm giải
tích tùy ý trong miền D + . Do đó, việc xây dựng công thức của bài toán cần có
thêm giả thiết kèm theo. Để xác định bài toán tìm thừa số chính quy hóa ta bổ
sung thêm một số điều kiện khác nữa.
Xét điều kiện biên của bài toán dưới dạng
G ( t ) Φ − ( t ) = Φ + ( t ),
ta thấy đây là một công thức có dạng (2.2) trong đó R(t) = Φ− (t). Do đó bài
toán giá trị biên Riemann có thể coi như là bài toán xác định thừa số chính quy

hóa với điều kiện bổ sung nó là giá trị biên của một hàm giải tích trong miền
ngoài D − . Nghiệm của bài toán Riemann này xác định sự tồn tại của một thừa
số khi κ ≥ 0.
Có hai loại thừa số chính quy hóa đó là:
(1) Thừa số chính quy hóa thực (argumen là không đổi),
(2) Thừa số chính quy hóa với mô đun không đổi (hằng số).
Không mất tính tổng quát, chúng ta có thể giả sử cho trường hợp đầu là
hằng số argumen bằng 0 và do đó có thể coi thừa số đó là một số thực dương;
trong trường hợp thứ hai có thể giả sử rằng mô đun bằng 1.

2.1.2

Cách xác định các loại thừa số chính quy hóa

Thừa số chính quy hóa thực

Cho thừa số chính quy hóa R(t) là một hàm thực, ký hiệu là p(s), ta có
p(s)[ a(s) + ib(s)] = Φ+ (t).


19

Tính toán chỉ số của cả hai vế và lấy chỉ số của p(s) bằng 0, ta được

κ = Ind [ a(s) + ib(s)] = Ind Φ+ (t).
Dựa vào tính chất của chỉ số trong phần (1.1.7) ta có kết quả như sau
1. Với κ = 0 thì hàm Φ+ (z) không có 0-điểm nào trong miền D + ;
2. Với κ > 0 thì hàm Φ+ (z) có κ không điểm trong D + ;
3. Với κ < 0 thì hàm Φ+ (z) không là giải tích trong D + ; hàm cần phải có
trong miền này không quá −κ cực điểm.

Để đảm bảo tính giải được và tính duy nhất nghiệm của bài toán xác định
thừa số chính quy hóa với chỉ số tùy ý cho trước, ta coi nghiệm là hàm giải tích
có thể trừ ra một điểm là cực điểm của nó trong miền D + .
Để đơn giản, ta giả sử gốc tọa độ nằm trong miền D + .
Định nghĩa 2.1. Thừa số chính quy hóa của hàm phức a(s) + ib(s) xác định trên chu
tuyến L là một hàm số thực dương p(s) trên chu tuyến thỏa mãn tích số p(s)[ a(s) +
ib(s)] là giá trị biên của hàm giải tích Φ+ (z) trong D + , hàm có bậc 0 khắp nơi trong
miền này trừ tại gốc tọa độ có bậc bằng chỉ số κ của hàm a(s) + ib(s) (xem Định nghĩa
1.4).
Ta có khẳng định
Định lý 2.1. Mọi hàm xác định trên chu tuyến L đều có duy nhất một thừa số chính
quy hóa.
Chứng minh. Xét hai trường hợp sau:
(1) κ = 0.
Khi đó hàm Φ+ (z) không có 0-điểm trong miền D + và được biểu diễn bằng
hàm số mũ
Φ+ (z) = eiγ(z) , γ(z) = ω ( x, y) + iω1 ( x, y).
Theo định nghĩa của thừa số chính quy hóa ta có
p(s)[ a(s) + ib(s)] = eiγ(t) = e−ω1 (s) eiω (s) .

(2.3)


20

Lập phương trình mô đun và argumen cả hai vế của hệ thức thứ hai ta thu
được
a2 (s) + b2 (s) = e−ω1 (s) , ω (s) = arctan

p(s)

b(s)
·
a(s)

(2.4)

Đây là công thức cho giá trị biên của hàm điều hòa ω ( x, y). Hàm ω ( x, y)
được xây dựng bằng việc giải bài toán Dirichlet, từ đó dùng phương trình
Cauchy-Riemann để xác định hàm điều hòa liên hợp phức ω1 ( x, y); yêu
cầu biểu diễn thừa số chính quy hóa p(s) trong những điều kiện giá trị
biên của các hàm sau đó.
Kết quả có được dưới dạng đơn giản nhất bằng cách đưa vào toán tử
Schwarz.
Kết hợp (1.9) và (2.4) ta có
b
γ(z) = ω ( x, y) + iω1 ( x, y) = S arctan ;
a
để đảm bảo tính xác định ta đặt điều kiện cho γ(z) :
Imγ(z0 ) = ω1 (z0 ) = 0.

(2.5)

Thừa số chính quy hóa được cho bởi công thức
p(s) =

e − ω1 ( s )
a2 ( s ) + b2 ( s )

·

(2.6)

Xét tính duy nhất của thừa số chính quy hóa.
Giả sử tồn tại hai thừa số chính quy hóa phân biệt là p(s) và p1 (s). Ta có hệ
thức
p(s)[ a(s) + ib(s)] = Φ+ (z), p1 (s)[ a(s) + ib(s)] = Φ1+ (z).
chia vế cho vế của những hệ thức trên và đặt Φ1+ (z)/Φ+ (z) = ψ(z) ta thu
được
p1 ( s )
= ψ ( z ).
p(s)
Phần ảo của hàm ψ(z) bị triệt tiêu trên chu tuyến. Do đó theo tính duy nhất
nghiệm của bài toán Dirichlet Im ψ(z) = 0 khắp nơi trong miền D + . Từ
đó, ψ(z) = const.


21

Do đó, thừa số chính quy hóa được xác định như một nhân tử hằng số với
điều kiện (2.5).
Từ đó chúng ta chứng minh được tính tồn tại và duy nhất của thừa số chính
quy hóa trong trường hợp κ = 0 với điều kiện bổ sung (2.5).
(2) κ = 0 .
Từ định nghĩa ta có
p(s)[ a(s) + ib(s)] = tκ eiγ(t) = tκ e−ω1 (s) eiω (s) .

(2.7)

Lấy mô đun và argumen của hai vế ta thu được

p(s) =






| t | κ e − ω1 ( s )
,
a2 ( s ) + b2 ( s )


b

ω (s) = arg{t−κ [ a(s) + ib(s)]} = arctan − κ arg t. 
a
Do đó,
γ(z) = S

arctan

b
− κ arg t .
a

(2.8)

(2.9)

Thừa số chính quy hóa được cho bởi công thức (2.8). Tính duy nhất nghiệm

của bài toán cũng được suy ra từ kết quả nói trên, từ đó theo hệ thức (2.7)
thì bài toán là tìm thừa số chính quy hóa cho hàm t−κ [ a(s) + ib(s)] với chỉ
số bằng 0.
Từ đó, chứng minh được hoàn tất.

Chứng minh trên chứng tỏ rằng xác định thừa số chính quy hóa dưới dạng
một hàm thực thì tương đương với việc xác định một hàm giải tích mà giá trị
argumen của nó được xác định trên chu tuyến, điều này dẫn tới việc giải bài
toán Dirichlet.
Thừa số chính quy hóa với mô đun là hằng

Tìm số chính quy hóa dưới dạng
R(t) = eiθ (s) .


22

Cho biểu diễn của hàm phức trong tọa độ cực là a + ib = reiα . Theo định nghĩa
ta có
rei(α+θ ) (s) = Φ+ (t).

(2.10)

Chúng ta tìm hàm θ (s) với điều kiện trong sự tịnh tiến trên chu tuyến L nó có
một số gia 2πν, ở đó ν là một số nguyên cho trước. Lấy chỉ số cả hai vế ta được

κ + ν = n,
trong đó n là số 0- điểm của hàm Φ+ trong miền D + ; do đó, θ (s) không chỉ phụ
thuộc vào chỉ số của hàm đã cho a + ib mà còn phụ thuộc vào chỉ số của thừa số
chính quy hóa.

Xét hàm Φ+ (z) với điều kiện có bậc n ở gốc tọa độ thuộc miền D + . Biểu
diễn hàm Φ+ (z) dưới dạng zn eγ(z) ta có
r ei(θ +α) = tn eγ(t) = tn eω (s) eiω1 (s) .
Lập phương trình mô đun và argumen với hệ thức thứ hai ta được
ω = ln (r |t|−n ),
ω1 = θ + α − n arg t.

(2.11)

Do đó, chúng ta biết được phần thực ω của giá trị biên của hàm giải tích
γ(z). Giải bài toán Dirichlet tìm được hàm điều hòa ω ( x, y). Tiếp theo tìm hàm
liên hợp phức ω1 , chúng ta xác định hàm θ theo công thức (2.11) và biểu diễn
thừa số chính quy hóa bằng công thức (2.10).
Nghiệm được viết với điều kiện của toán tử Schwarz
γ(z) = ω ( x, y) + iω1 ( x, y) = Sln (r |t|−n ),

(2.12)

trong đó để xác định, ta chọn
Imγ(z0 ) = 0.
Thừa số chính quy hóa được cho bởi công thức
R(t) = ei(ω1 −α+n arg t) .

(2.13)

Công thức (2.12) - (2.13) xác định duy nhất thừa số chính quy hóa của dạng đã
yêu cầu.
Sự xác định của thừa số chính quy hóa với mô đun là hằng số tương đương
với việc xác định của một hàm giải tích có giá trị biên là mô đun đã cho, cuối
cùng là đưa về việc giải bài toán Dirichlet.

23

2.2

Các dạng bài toán biên Hilbert

2.2.1

Bài toán thuần nhất

Định lý 2.2. Bài toán biên thuần nhất
a(s)u(s) + b(s)v(s) = 0

(2.14)

(các hệ số a(s) và b(s) không đồng thời bằng 0) với điều kiện biên
Re

F (t)
a + ib

= 0,

(2.15)

tương đương với bài toán tìm hàm
F (z) = u( x, y) + iv( x, y)
có điều kiện biên

Re

F (t)
tκ eiγ(t)

= 0.

(2.16)

Chỉ số κ của hàm a(s) + ib(s) được gọi là chỉ số của bài toán Hilbert. Chứng
minh. Chia hệ thức (2.15) cho thừa số chính quy hóa của hàm a + ib với điều kiện
a2 (s) + b2 (s) = 1.

(2.17)

ta thu được điều kiện biên (2.16).
Xét các trường hợp sau :
1. κ = 0.
Trong trường hợp này điều kiện biên (2.16) là điều kiện của bài toán Dirichlet. Theo tính duy nhất nghiệm của bài toán, ta có trong miền D +
Re

F (t)
= 0,
eiγ(t)

do đó, trong trường hợp tổng quát nghiệm của bài toán là
F (z) = iβ 0 eiγ(z) ,
trong đó β 0 là một hằng số tùy ý.
Bài toán chỉ có nghiệm tầm thường ( F ≡ 0) khi v(z0 ) = 0 tức là β 0 = 0.