Phương trình hàm và bất phương trình hàm trong đa thức

Header Page 1 of 126.

Công trình được hoàn thành tại
ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

Người hướng dẫn khoa học: GS. TSKH. Nguyễn Văn Mậu

Phản biện 1: PGS. TS. Nguyễn Gia Định
Phản biện 2: TS. Hoàng Quang Tuyến

Luận văn sẽ được bảo vệ trước Hội đồng chấm Luận văn
tốt nghiệp thạc sĩ Toán học họp tại Đại học Đà Nẵng
vào ngày 29 tháng 5 năm 2011

Có thể tìm hiểu luận văn tại:
- Trung tâm Thông tin - Học liệu, Đại học Đà Nẵng
- Thư viện trường Đại học Sư Phạm, Đại học Đà Nẵng
Ttt12345
Footer Page 1 of 126.


Header Page 2 of 126.

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG

NGUYỄN THỊ QUỲNH

PHƯƠNG TRÌNH HÀM
VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH HÀM
TRONG ĐA THỨC

Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp
Mã số: 60.46.40
TÓM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Đà Nẵng – Năm 2011
Footer Page 2 of 126.


1

Header Page 3 of 126.
Mé U

1. Lỵ do chồn ã ti
a thực l mởt chuyản ã cỡ bÊn cừa Ôi số.

a thực cõ

v trẵ rĐt quan trồng vẳ nõ khổng nhỳng l mởt ối tữủng nghiản
cựu trồng tƠm cừa Ôi số m cỏn l mởt cổng cử ưc lỹc cừa GiÊi
tẵch trong Lỵ thuyát xĐp x, Lỵ thuyát biu diạn, Lỵ thuyát nởi
suy,... CĂc kẳ thi hồc sinh giọi toĂn quốc gia v Olimpic toĂn khu
vỹc v quốc tá thẳ cĂc bi toĂn vã a thực cụng thữớng ữủc
ã cêp án v ữủc xem nhữ nhỳng bi toĂn khõ v rĐt khõ cừa
bêc phờ thổng.
Chúng ta  lm quen vợi nhỳng phữỡng trẳnh Ôi số mởt
hay nhiãu bián số.

GiÊi phữỡng trẳnh hm cụng giống nhữ giÊi

phữỡng trẳnh Ôi số l i tẳm ân số, tuy nhiản ân Ơy l mởt
hm số.

Viằc giÊi cĂc bi toĂn ny cƯn nưm vỳng cĂc tẵnh chĐt

v cĂc c trững cỡ bÊn cừa a thực.

2. Mửc ẵch nghiản cựu
Trẳnh
hm,

bĐt

by

phữỡng

phữỡng

trẳnh

phĂp
hm

giÊi

m

mởt

số

nghiằm

l

dÔng
a

phữỡng

thực

vợi

trẳnh
hằ

số

thỹc.

3. ối tữủng v phÔm vi nghiản cựu
Trản cỡ s nghiản cựu tứ cĂc ti liằu, giĂo trẳnh cừa GS
-

TSKH

Nguyạn

Vôn

Mêu

v

cĂc

sĂch

chuyản

ã

vã

a

thực,

phữỡng trẳnh hm, cĂc bi toĂn nởi suy, cĂc bi bĂo toĂn hồc
viát vã a thực.

4. Phữỡng phĂp nghiản cựu
Nghiản
chuyản

Footer Page 3 of 126.

khÊo,

cựu
tÔp

lỵ

luên:

chẵ

toĂn

ồc

ti

hồc

vã

liằu,
cĂc

sĂch

bi

tham

toĂn

khÊo,

phữỡng

sĂch
trẳnh


2

Header Page 4 of 126.
hm, bĐt phữỡng trẳnh hm.

5. ị nghắa khoa hồc v thỹc tiạn cừa ã ti
GiÊi mởt lợp cĂc phữỡng trẳnh hm, bĐt phữỡng trẳnh hm
cõ ân l a thực. ã ti õng gõp thiát thỹc cho viằc dÔy v hồc
a thực, phữỡng trẳnh, bĐt phữỡng trẳnh trong trữớng THPT.

6. CĐu trúc cừa luên vôn
Luên vôn gỗm
Chữỡng 1.

3

chữỡng.

Trẳnh by tõm tưt cĂc khĂi niằm, mởt số nh

lỵ dũng trong chữỡng 2, chữỡng 3.

Chữỡng 2.

KhÊo sĂt mởt số dÔng phữỡng trẳnh hm cõ

nghiằm l a thực cõ dÔng xĂc nh.
Chữỡng 3.

Trẳnh by phữỡng phĂp giÊi bĐt phữỡng trẳnh

hm vợi cp bián tỹ do.
cỡ bÊn cừa chúng.

Footer Page 4 of 126.

XĂc nh a thực theo cĂc c trững


3

Header Page 5 of 126.
CHìèNG 1.

A THC V MậT Sẩ TNH CHT

Trong chữỡng ny ta nhưc lÔi cĂc kián thực cỡ bÊn cõ liản
quan án a thực: cĂc nh nghắa, tẵnh chĐt, php tẵnh, nghiằm
cừa a thực v mởt số bi toĂn ữủc trẵch dăn.

1.1. nh nghắa v cĂc tẵnh chĐt

A

nh nghắa 1.1 Cho vnh giao hoĂn
(trản

A)

ân số

x

n

bêc

cõ

ỡn

v.

a

thực

l tờng hẳnh thực cõ dÔng

Pn (x) = an xn + an1 xn1 + ã ã ã + a1 x + a0 (an = 0),
Trong õ

ai A, i = 1, n gồi l cĂc hằ số, n gồi l bêc cừa

an

a0

a thực,

a thực



gồi l hằ số tỹ do cừa

Pn (x).
P (x) = a0 , a0 = 0

Náu

P (x)

gồi l hằ số bêc cao nhĐt,

thẳ ta nh nghắa bêc cừa a thực

0.
Náu P (x) = 0 thẳ ta nh nghắa bêc cừa a thực P (x) bơng

bơng

v gồi

P (x)

l a thực

0.

Têp hủp tĐt cÊ cĂc a thực vợi hằ số thuởc vnh
kỵ hiằu l
Khi

A[x].
A l mởt

trữớng thẳ vnh a thực

A[x]

A

ữủc

l mởt vnh

giao hoĂn cõ ỡn v. Ta thữớng xt cĂc vnh a thực

Z[x], Q[x],

R[x], C[x].

Trong luên vôn ny ta thữớng xt cĂc a thực vợi hằ số
thuởc vnh

R[x]

v

C[x].

nh lỵ 1.1 GiÊ sỷ
a thực cừa vnh

Footer Page 5 of 126.

A

A[x].

l mởt trữớng,

f (x)

v

g(x) = 0

l hai

Khi õ, luổn tỗn tÔi hai a thực duy

4

Header Page 6 of 126.
q(x)

nhĐt

bêc cừa

r(x)

v

r(x)

Náu

A[x]

thuởc

nhọ thua bêc cừa

r(x) = 0

ta nõi

nh lỵ 1.2 GiÊ sỷ

A

a

nh lỵ 1.3 Số
hát cho a thực

m

bởi

(x a)m

chia hát cho

Khi

f (x)

g(x).

a A, f (x) A[x].

cho a thực

l nghiằm cừa

(xa).

a

cĐp

v

m=1

ta gồi

f (x)

m

f (x)

cừa

xa

a

l nghiằm kp.

chẵnh l

khi v ch khi

f (a).

f (x)

chia

f (x)

khi

v

ch

khi

1.

Khi õ

f (x)

(x a)m+1 .

chia

a

l mởt

hát

l mởt nghiằm ỡn cỏn khi

m=2

n

Vẳ

m nhữ mởt

nghiằm trũng nhau.

nh lỵ 1.4 Mội a thực hằ số thỹc bêc
quĂ

thẳ

Số nghiằm cừa mởt a thực l tờng số

vêy, ngữới ta coi mởt a thực cõ mởt nghiằm bởi cĐp

m

cho

Trong trữớng

nghiằm cừa a thực õ k cÊ bởi cừa cĂc nghiằm (náu cõ).

a thực cõ

Số

A l mởt trữớng, a A, f (x) A[x]

khổng chia hát cho

thẳ ta gồi

vợi

g(x).

l mởt số tỹ nhiản lợn hỡn hoc bơng

nghiằm

hủp

f (x)

f (x) = g(x)q(x) + r(x)

l mởt trữớng,

dữ cừa php chia a thực

v

sao cho

n N

ãu cõ khổng

nghiằm thỹc.

Hằ quÊ 1.1 a thực cõ vổ số nghiằm l a thực khổng.

Hằ quÊ 1.2 a thực cõ bêc nhọ hỡn hoc bơng
mởt giĂ tr tÔi

n+1

Footer Page 6 of 126.

n m nhên cũng

im thẳ a thực õ l a thực hơng.


5

Header Page 7 of 126.
Hằ quÊ 1.3 Hai a thực cõ bêc nhọ hỡn hoc bơng

n+1

giĂ tr bơng nhau tÔi

n+1

n

m nhên

giĂ tr khĂc nhau cừa ối số thẳ

hai a thực õ bơng nhau.

nh lỵ 1.5 Mồi a thực

f (x) C[x]

bêc

n

cõ úng

n

nghiằm

(tẵnh cÊ bởi cừa nghiằm).

nh lỵ 1.6 Mồi a thực

an = 0

f (x) R[x] cõ bêc n cõ hằ số dăn Ưu

ãu cõ th phƠn tẵch duy nhĐt thnh nhƠn tỷ

m

s

i=1
vợi

(x2 + bk x + ck )

(x di )

f (x) = an

k=1

di , bk , ck R, 2s + m = n, b2k 4ck < 0, m, n N .

nh lỵ 1.7 (nh lỵ Bezout) a thực
v ch khi

P (x)

chia hát cho

cõ Ôo hm trản oÔn

x0 (a; b)

sao cho

cõ nghiằm

x0

khi

x x0 .

nh lỵ 1.8 (nh lỵ Rolle) Náu hm số

[a; b],

P (x)

[a; b]

v

f (x) liản tửc trản oÔn

f (a) = f (b)

thẳ tỗn tÔi im

f (x0 ) = 0.

1.2. XĐp x hm số bi a thực

Trong số cĂc hm số mởt bián thỹc thẳ a thực ữủc coi
l hm số ỡn giÊn nhĐt vã nhiãu phữỡng diằn, nhĐt l vã mt
tẵnh toĂn.

Bi vêy, mởt vĐn ã ữủc chúng ta quan tƠm nhiãu

hỡn cÊ l bi toĂn xĐp x mởt hm số cho trữợc bi mởt a thực,
c biằt l tẳm iãu kiằn (cƯn v ừ)  mởt hm số cho trữợc
cõ th xĐp x ữủc bi mởt a thực.

Footer Page 7 of 126.


6

Header Page 8 of 126.
GiÊ sỷ hm số

Pn (x)

(

f (x)

ữủc xĐp x bi mởt a thực

Pn (x)

l a thực Ôi số hoc a thực lữủng giĂc hoc l cĂc a

thực c biằt khĂc).
cừa php xĐp x.

Gồi

R[f, P, n] = |f (x) Pn (x)|

Ta cƯn xĂc nh

nhọ nhĐt trản mởt oÔn

[a; b]

P (x)

v

n

sao cho

cho trữợc. Khi õ

l a thực xĐp x tốt nhĐt cừa

f (x)

l ở lằch

trản oÔn

Pn (x)

[a; b]

R[f, P, n]
ữủc gồi

õ v ữủc

f (x) Pn (x).
Náu hm số f (x) khÊ vi (n + 1) lƯn thẳ cõ th sỷ dửng cổng

kỵ hiằu l

thực khai trin Taylor tÔi

x=0

n

f (x) =
k=0
vợi phƯn dữ l

f (k) (0) k
x + R(x, n)
k!

R(x, n) = (xn ).

Nhữ vêy

n

f (x) Pn (x) =
k=0
Tuy nhiản lợp cĂc hm khÊ vi
bi a thực l quĂ hàp.
oÔn

[a; b]

f (k) (0) k
x .
k!
(n + 1)

lƯn dũng  xĐp x

Song ối vợi cĂc hm số liản tửc trản

văn cõ cĂc nh lỵ tữỡng tỹ vã xĐp x chúng bi a

thực. Ta s chừ yáu quan tƠm án hai vĐn ã sau.
Mởt l xƠy dỹng cĂc a thực xĐp x thổng qua cĂc cổng
thực nởi suy v hai l xƠy dỹng cổng thực tẵnh ở lằch sai ối
vợi cĂc xĐp x õ.

1.3. Php tẵnh trản a thực

Bi toĂn 1.1 Xt

f : R[x] R

thọa mÂn cĂc iãu kiằn sau:

f (1 P1 + 2 P2 ) = 1 f (P1 ) + 2 f (P2 ), 1 , 2 R, P1 , P2 R[x],
(1.1)

Footer Page 8 of 126.


7

Header Page 9 of 126.
1
2

f (P1 P2 ) = f (P1 )P2

Chùng minh r¬ng

1
2

+ P1
∃C ∈ R

f (P2 ), ∀P1 , P2 ∈ R[x].

sao cho

1
2

f (P ) = CP
Gi£i. Vîi

f (x) ≡ C

∀P ∈ R[x]

(1.2)

ta luæn câ

.

th¼ theo gi£ thi¸t cõa b i to¡n ta câ

1
1
f (x2 ) = f (x) + f (x) = C,
2
2
1
1
3
f (x3 ) = f (x2 ) + f (x) = 2 C.

2
4
2
B¬ng ph÷ìng ph¡p quy n¤p to¡n håc v  sû döng gi£ thi¸t
(1.2) ta d¹ d ng chùng minh ÷ñc

f (xk ) =
Vîi måi

P ∈ R[x]

k
2k−1

C, ∀k ∈ N.

d¤ng

n

ak xk

P (x) =
k=0

theo i·u ki»n (1.1) cõa b i to¡n ta ÷ñc:

n

n

n
k

ak x

f (P ) = f

kak
k=0

1
2

k−1

â ch½nh l  i·u ph£i chùng minh.

Footer Page 9 of 126.

k=0

k=0

n

ak

ak f (x ) =

=

k=0

=C

k

= CP

1
2

k
2k−1

C


8

Header Page 10 of 126.
Chữỡng 2. PHìèNG TRNH HM TRONG A THC

2.1. Mởt số dÔng hm số cƯn tẳm

f (x) C

DÔng hm số cƯn tẳm

2.1.1.

Bi toĂn 2.2 Tẳm tĐt cÊ cĂc hm số

f (x) = f x2 +

1
4

GiÊi. Tứ giÊ thiát ta cõ

f

iãu kiằn

Cho
Vợi

1
4 , n

f

liản tửc trản

R thọa mÂn

, x R.
l hm số chđn.

x1 0, ta xt hai
0 x1 < 12 ta xt

trữớng hủp:
dÂy số

{xn }

nh bi

xn+1 = x2n +

1.
Bơng quy nÔp, ta chựng minh ữủc

xn+1 xn =

x2n

xn +

1
4

= xn

1 2
2

0 xn < 12 , n 1

> 0, n 1,

nản

{xn }

v
l

dÂy tông v b chn trản nản cõ giợi hÔn.
t

lim xn =

n+

Hỡn nỳa, do
M

f

1
2

.

f

thẳ

= 2 +

liản tửc trản

f (xn+1 ) = f x2n +

1
4

R

1
4

= 12 .

nản

lim f (xn ) = f ( 12 ).

n+

= f (xn ), n 1

nản

f (x1 ) =

Do õ

f (x) = f

Vợi

x1 >

Bơng

1
2

quy

1
2

, x 0;

1
2

.

(2.1)

{xn } xĂc nh bi xn = x2n+1 + 14 .
1
chựng minh ữủc xn >
2 , n 1 v

ta xt dÂy số
nÔp

ta

2

xn xn+1 =
+ xn+1 = xn+1 12 > 0, n 1.
Nản {xn } l dÂy giÊm v b chn dữợi nản cõ giợi hÔn.
t
lim xn = = 2 + 41 = 12 .
1
4

x2n+1

n+

Hỡn nỳa, do

Footer Page 10 of 126.

f

liản tửc trản

R

nản

lim f (xn ) = f ( 12 ).

n+


9

Header Page 11 of 126.
M

f

1
2

f (xn+1 ) = f x2n+1 +

1
4

= f (xn ), n 1,

1
2

1
, x > .
2

nản

f (x1 ) =

. Do õ

f (x) = f
Tứ

f (x) = f
const

(2.1)

1
2

v

(2.2),

, x R

ta

(vẳ

f

suy

ra

(2.2)

f (x) = f

l hm số chđn).

1
2

, x 0

Vêy

hay

f (x) = c =

, x R.

2.1.2.

DÔng hm số cƯn tẳm cõ dÔng

Bi toĂn 2.3 Tẳm hm số

f :RR

f (x) = ax + b

sao cho

f (30.f (y) + 4x) = 19x + 75y + 2010, x, y R.
GiÊi.

Ta chựng

f

Thêy vêy, xt

(2.3)

l mởt ỡn Ănh:

f (x) = f (y) vợi x, y R.

Tực l

f (30.f (y)+

4x) = f (30.f (x) + 4x) 19x + 75y + 2010 = 19x + 75x + 2010.
x = y . Do õ f l mởt ỡn Ănh.
Cho x = 0, y = 0 ta ữủc f (30.f (0)) = 2010.
75y
4.75y
Vợi x =

ta thu ữủc f
30f (y)
= 2010 =
19
19
4.75
f (30f (0)). Vẳ f ỡn Ănh nản 30f (y)
y = 30f (0). Hay l
19
4.75
f (y) = f (0) +
y.
19.30
30f (0)
Mt khĂc, cho y = 0, x =
ta ữủc
4
8040
4020
19.30f (0)
+ 2010. Suy ra f (0) =
=
.
f (0) =
4
574
287
10
4020
Vêy f (y) =

y+
.
19
287
4020
10
x+
thọa mÂn yảu cƯu ã
Thỷ lÔi ta thĐy f (x) =
19
287
Suy ra

bi.

Footer Page 11 of 126.


10

Header Page 12 of 126.
2.1.3. DÔng hm số cƯn tẳm cõ dÔng

P (x)

P (x)

vợi

l a thực cõ bêc lợn hỡn hoc bơng 2

Bi toĂn 2.4 Cho
thực

f (x) P (x)

k

l số nguyản dữỡng.

Tẳm tĐt cÊ cĂc a

thọa mÂn iãu kiằn

(x 2010)k .P (x) = (x 2011)k .P (x + 1), x R.
P (x) thọa mÂn iãu
thĐy x = 2011 l mởt

GiÊi. GiÊ sỷ a thực
Tứ giÊ thiát ta

kiằn bi toĂn
nghiằm bởi cừa

k.
k
t P (x) = (x 2011) .Q(x), x R.

P (x)

vợi bêc lợn hỡn hoc bơng

Thay

P (x) vo iãu

kiằn ã bi ta ữủc

(x2010)k .(x2011)k .Q(x) = (x2011)k (x2010)k .Q(x+
1), x R.
õ

Suy ra

Q(x) = Q(x + 1), x R\{2010, 2011}.

Q(x) = c = const , x R.

c(x 2011)k , x

P (x) =
P (x) = c(x 2011)k

Vêy

Thỷ lÔi ta thĐy a thực

Do

R.

thọa mÂn

iãu kiằn ã bi.

2.1.4. DÔng hm số cƯn tẳm

f (x) =

P (x)
Q(x)

vợi

a thực cõ bêc nhọ hỡn hoc bơng 3,

P (x)
Q(x)

l
cõ

bêc nhọ hỡn hoc bơng 2

Bi toĂn 2.5 Cho hm số

f

liản tửc trản

R

v thọa mÂn hai

iãu kiằn

Trong õ,

f (2010) = 2009,

(2.4)

f (x).f4 (x) = 1, x R

(2.5)

fn (x) = f (f . . . (f (x))), n

Footer Page 12 of 126.

lƯn

f.

HÂy tẳm

f (2008).


11

Header Page 13 of 126.
GiÊi.

t

Df = f (R)

cho ta biát ữủc

Mt khĂc,

Do õ

f

x = 2010

liản tửc trản

1
, x D.
x
nỳa, f liản tửc

f3 (x) =

Hỡn

ta cõ

2009 Df .

Trong (2.5) lĐy

Df .

x Df

thẳ

thẳ

R

Suy ra

1
1
hay

2009
2009
1
D=
; 2009 Df .
2009

nản

f

l ỡn Ănh trản

D nản f
x0 D sao

Sỷ dửng tẵnh chĐt ỡn iằu giÊm

f (x0 ) >

Suy ra

f

1
.
x0

1
x0

1
cho f (x0 ) >
.
x0
cừa hm f , ta cõ
1
x0

.

1
x0

= x0

(2.7)

f (x0 ) >

1
.
x0

Chựng minh tữỡng tỹ cụng khổng tỗn tÔi
Vêy

Hin nhiản

2.1.5.

1
f (x) = , x D.
x
rơng 2008 D nản f (2008) =

DÔng hm số cƯn tẳm

Bi toĂn 2.6 Tẳm hm số

(2.6)

x0 > f2 (x0 ) hay f (x0 ) < f3 (x0 ) =

MƠu thuăn vợi iãu ta giÊ sỷ

1
f (x0 ) <
.
x0

D.

1
x0

< f3

Tứ (2.6) v (2.7) ta ữủc

D.

ỡn iằu giÊm trản

1
f2 (x0 ) < f
x0

1

= f3 (x0 ) > f2
x0

Tứ (2.4)

f4 (2010) =

trản

BƠy giớ giÊ sỷ tỗn tÔi

xf3 (x) = 1.

x0 D

sao cho

1
.
2008

f (x) = p.ax+ + q.bx+

f : R R thọa mÂn cÊ hai iãu kiằn

sau: Ơy:

f (x) ex , x R,

Footer Page 13 of 126.

(2.8)


12

Header Page 14 of 126.
f (x + y) f (x).f (y), x, y R.
GiÊi.
khĂc,

Ta cõ

f (x) ex , x R

nản

f (x + y) f (x).f (y), x, y R

ln f (y), x, y R.
t h(x) = ln f (x), x R.

(2.9)

ln f (x) x, x R.
nản

Mt

ln f (x + y) ln f (x) +

Ta cõ

h(x) x, x R.

(2.10)

h(x + y) h(x) + h(y), x, y R.

(2.11)

Tứ (2.10) suy ra

h(0) 0

h(0) 2h(0).

v tứ (2.11) suy ra

Do õ

h(0) = 0

Trong bĐt ng thực (2.10) thay

x

bi

h(x) x, x R.

x

(2.12)

ta ữủc

(2.13)

Tứ (2.10) v (2.13) ta suy ra

h(x) + h(x) 0, x R.
Thay

x

bi

x

(2.14)

vo (2.11) ta ữủc

0 = h(0) h(x) + h(x), x R

hay

h(x) + h(x) 0, x R.
(2.15)

Tứ (2.14) v (2.15) ta suy ra

h(x) + h(x) = 0, x R.
Tứ (2.10), (2.13) v (2.16) ta suy ra ữủc

(2.16)

h(x) = x, x R.

Hay

f (x) = ex , x R.
Thỷ lÔi ta thĐy
bi.

Footer Page 14 of 126.

f (x) = ex , x R

thọa mÂn iãu kiằn ã


13

Header Page 15 of 126.
2.2. a thực xĂc nh bi php bián ời ối số

2.2.1.

Mởt số bi toĂn xĂc nh a thực ỡn giÊn

Bi toĂn 2.7 Cho

R[x]

a, b R+ .

Tẳm tĐt cÊ cĂc a thực

P (x)

thọa mÂn iãu kiằn

xP (x a) = (x b)P (x), x R.
a = 0, b = 0

GiÊi. Khi

ta ữủc

P (x a) = P (x),

(2.17)

tực l

P (x)

l

a thực hơng.

a = 0, b = 0, ta xt cĂc trữớng hủp sau:
b
Náu

/ N thẳ x = b a, x = b 2a, . . . , x = b na ãu l
a
nghiằm cừa a thực. Vêy P (x) cõ vổ số nghiằm nản P (x) 0.
b
Náu
N thẳ P (x) cõ cĂc nghiằm x = a, x = 2a, . . . , x =
a
(n 1)a. Do vêy
Khi

P (x) = (x a)(x 2a) ã ã ã (x (n 1)a)Q(x).
2.17)

Thay vo (

ta ữủc

Q(x) = c = const .

Q(x a) = Q(x)

vợi mồi

x R.

Do õ

Vêy trong trữớng hủp ny, ta thu ữủc

P (x) = c(x a)(x 2a) ã ã ã (x (n 1)a), c R.

2.2.2.

Php bián ời vi phƠn - hm

Bi toĂn 2.8 Tẳm tĐt cÊ cĂc a thực

P (x) bêc n thọa mÂn iãu

kiằn sau:

(1 x2 )[P (x)]2 = n2 [1 P 2 (x)], x R.

Footer Page 15 of 126.


14

Header Page 16 of 126.
GiÊi. GiÊ sỷ

P (x) = an xn + an1 xn1 + ã ã ã + a0

cĂc c trững cừa hm

cos t

(an = 0).

Tứ

ta thĐy hai a thực

P (x) = cos(n arccos x)
thọa mÂn iãu kiằn bi ra.
cỏn nghiằm no khĂc nỳa.
ã

n2

bi

ta

ữủc

P 2 (1)

Ta chựng minh rơng ngoi ra khổng

x=1

Thêt vêy, thay

= 1.

Mt

khĂc,

(1

vo iãu kiằn

x2 )(P

(x))2

=

P 2 (x)

1
hay
2
P (x) n P (x) xP (x) + (1 x2 )P (x) = 0, x R.
Vẳ a thực P (x) ch cõ th cõ hỳu hÔn nghiằm nản suy

ra

n2 P (x) xP (x) + (1 x2 )P (x) 0.
So sĂnh cĂc hằ số trong ng thực trản, ta ữủc

an1 = 0

v

k(k 2n)ank = (n k + 2)(n k + 1)ank+2 .
Do vêy, theo cổng thực truy hỗi ta ữủc

an1 = an3 = an5 = ã ã ã = 0.
CĂc hằ số

an .

M

2.2.3.

an2 , an4 , ã ã ã

P (1) = 1

ữủc xĂc nh mởt cĂch duy nhĐt theo

nản ch cõ hai giĂ tr ựng vợi

Phữỡng trẳnh dÔng

Bi toĂn tờng quĂt. GiÊ sỷ
thuởc

R[x]

P (f )P (g) = P (h)

f (x), g(x)

 cho thọa mÂn iãu kiằn

Tẳm tĐt cÊ cĂc a thực

P (x)

thuởc

v

h(x)

l cĂc a thực

deg(f ) + deg(g) = deg(h).

R[x]

sao cho

P (f (x))P (g(x)) = P (h(x))

Footer Page 16 of 126.

an .

(2.18)


15

Header Page 17 of 126.
vợi mồi

x

thuởc

R.

Nghiằm cừa phữỡng trẳnh hm

(2.18)

cõ nhiãu tẵnh chĐt

c biằt giúp chúng ta cõ th xƠy dỹng ữủc tĐt cÊ cĂc nghiằm

cừa nõ tứ cĂc nghiằm bêc nhọ.

Tẵnh chĐt 2.1 Náu
nghiằm cừa

l nghiằm cừa

(2.18)

P.Q

cụng l

P n (x)

cụng l

thẳ

(2.18).

Hằ quÊ 2.4 Náu
nghiằm cừa

P, Q

P (x)

(2.18)

l nghiằm cừa

thẳ

(2.18).

Trong khĂ nhiãu trữớng hủp, hằ quÊ 2.4 cho php chúng

ta mổ tÊ hát cĂc nghiằm cừa

(2.18).

 lm iãu ny, ta cõ nh

lẵ quan trồng sau Ơy:

nh lỵ 2.9 Náu
iãu kiằn

f, g, h

l cĂc a thực vợi hằ số thỹc thọa mÂn

deg(f ) + deg(g) = deg(h)

v thọa mÂn mởt trong hai

iãu kiằn sau:

1.

deg(f ) = deg(g).

2.

deg(f ) = deg(g)

v

f + g = 0,

cao nhĐt cừa cĂc a thực

f

v

g

Khi õ vợi mồi số nguyản dữỡng

a thực

Footer Page 17 of 126.

P (x)

cõ bêc

n

trong õ

f , g

l hằ số

tữỡng ựng.

n

tỗn tÔi nhiãu nhĐt mởt

v thọa mÂn phữỡng trẳnh

(2.18).

p dửng nh lỵ 2.9 v hằ quÊ 2.4, ta thĐy rơng náu

P0 (x)

l mởt a thực bêc nhĐt thọa mÂn phữỡng trẳnh (2.18) vợi

f, g, h


16

Header Page 18 of 126.
l cĂc a thực thọa mÂn iãu kiằn cừa nh lỵ 2.9 thẳ tĐt cÊ cĂc
nghiằm cừa (2.18) s cõ dÔng:

P (x) 0, P (x) 1, P (x) (P0 (x))n
2.2.4.

Phữỡng trẳnh dÔng

P (f )P (g) = P (h) + Q

BƠy giớ chúng ta xt án phữỡng trẳnh dÔng

P (f )P (g) = P (h) + Q
trong

õ

f, g, h, Q

l

cĂc

a

thực

Â

cho,

(2.19)

deg(f ) + deg(g) =

deg(h).
Q

Vợi phữỡng trẳnh (2.19), náu

khổng ỗng nhĐt bơng

0

thẳ ta s khổng cỏn tẵnh chĐt nhữ tẵnh chĐt 2.1 v hằ quÊ 2.4.

Vẳ thá, viằc xƠy dỹng nghiằm tr nản khõ khôn hỡn. Ơy chẵnh

l khĂc biằt cỡ bÊn cừa (2.19) vợi dÔng (2.18). Tuy nhiản, ta cõ

th chựng minh ữủc nh lỵ duy nhĐt nghiằm, ữủc phĂt biu

nhữ sau:

nh lỵ 2.10 Cho
iãu kiằn

ngoi ra

f, g, h

l cĂc a thực khổng hơng thọa mÂn

deg(f ) + deg(g) = deg(h), Q l mởt a thực cho trữợc,
deg(f ) = deg(g)

hoc

deg(f ) = deg(g)

Khi õ, vợi mội số nguyản dữỡng

nhĐt mởt a thực

P

n

v số thỹc

a,

f + g = 0.
tỗn tÔi nhiãu

thọa mÂn ỗng thới cĂc iãu kiằn

deg(P ) = n
P = a
P (f )P (g) = P (h) + Q

Footer Page 18 of 126.

v


17

Header Page 19 of 126.
2.3. mởt số bi toĂn tờng hủp

Bi toĂn 2.9 Tẳm mồi a thực

P (x) = 0,

thọa mÂn iãu kiằn:

xP (x 1) = (x 3)P (x), x R.
GiÊi.
2.9.

GiÊ

sỷ

Ta thay

P (x)

l

a

thực

x = 0, x = 1, x = 2

thọa

mÂn

iãu

nghiằm cừa

P (x).

Do õ

kiằn

bi

toĂn

vo ng thực (2.20) ta ữủc

3P (0) = 0, P (0) = 2P (1), 2P (1) = P (2)
P (1) = 0, P (2) = 0.

(2.20)

P (x)

nhên

hay

P (0) = 0,

x = 0; x = 1; x = 2

Theo nh lẵ Bezout thẳ

P (x)

cõ dÔng

l

P (x) =

x(x 1)(x 2)Q(x). Vợi Q(x) l a thực no õ.
Tứ õ thay P (x) vo ng thực (2.20) ta ữủc
x(x1)(x2)(x3)Q(x1) = (x3)x(x1)(x2)Q(x), x R.
Q(x 1) = Q(x), x R
Hằ thực (2.21) chựng tọ rơng

(2.21)

Q(x) l hm tuƯn hon. Q(x)

l a thực m lÔi l hm tuƯn hon, nản suy ra

Q(x) C ,

vợi

C = const .
Nhữ vêy

P (x) = Cx(x 1)(x 2)
Thỷ lÔi, ta thĐy

P (x)

(2.22)

xĂc nh bi cổng thực (2.22) thọa

mÂn ã bi, õ chẵnh l lợp cĂc a thực cƯn tẳm.
Náu cho thảm mởt iãu kiằn phử, chng hÔn

P (3) = 6,

thẳ

P (3) = 6 = C.3.2.1 C = 1.
Lúc ny ch cõ duy nhĐt mởt a thực P (x) = x(x1)(x2)

tứ cổng thực (2.22) ta cõ

thọa mÂn yảu cƯu.

Footer Page 19 of 126.


18

Header Page 20 of 126.
Chữỡng 3.
BT PHìèNG TRNH HM
V XC NH A THC THEO CC C TRìNG

3.1.

Mởt số dÔng bĐt phữỡng trẳnh hm liản quan án

a thực

BĐt phữỡng trẳnh hm vợi cp bián tỹ do

3.1.1.

Trong phƯn ny ta xt mởt số vẵ dử vã bĐt phữỡng trẳnh hm

vợi cp bián tỹ do.

Dỹa vo mởt số c trững cỡ bÊn cừa hm

số, ta khÊo sĂt mởt số bĐt phữỡng trẳnh hm sỡ cĐp thữớng gp

trong cĂc ã thi Olympic toĂn hồc.

Ơy l cĂc vẵ dử liản quan

án viằc xĂc nh lợp hm số cõ dÔng a thực trong cĂc rng

buởc dữợi dÔng hằ bĐt ng thực.

Vẵ dử 3.1 XĂc nh hm số

f (x)

thọa mÂn cĂc iãu kiằn sau:

f (x + y) f (x).f (y) 2010x+y , x, y R
GiÊi.



Cho

x=y=0

ta ữủc




f (0)



0 f (0)

f (0) [f (0)]2 1

1
suy ra

hay

f (0) = 1

1

Cho y = x ta ữủc 1 f (x).f (x) 1 hay f (x).f (x) =
1.

2010x .

Cho

y = 0

ta

ữủc

f (x) 2010x .

Theo chựng minh trản:

1
1

= 2010x .

f (x)
2010x

Footer Page 20 of 126.

Vẳ thá

Do

f (x).f (x) = 1
f (x) = 2010x .

õ

f (x)

nản

f (x) =

Ngữủc lÔi, xt


19

Header Page 21 of 126.
hm số

f (x) = 2010x

ta thĐy nõ thọa mÂn cĂc iãu kiằn cừa ã

bi.
Vêy hm số cƯn tẳm l

f (x) = 2010x .

3.1.2. Mởt số bi toĂn vã bĐt phữỡng trẳnh hm liản

quan án a thực

Bi toĂn 3.10 XĂc nh hm số

f (x) 2010x

f : R R thọa mÂn iãu kiằn:

v

f (x + y) f (x) + f (y), x, y R
GiÊi.

Dạ thĐy hm số

f (x) = 2010x

(3.1)

l mởt hm số thọa mÂn

(3.1).
t



g(x) = f (x) 2010x

Thay

(3.2) ta ữủc



Thay

g(x) 0,

(3.2)

g(x + y) g(x) + g(y), x, y R.

(3.3)

x=y=0

vo (3.3) ta ữủc

g(0) = 0.
x bi y

vo (3.3) ta ữủc

theo (3.2) ta cõ

g(x) = 0.

Do

f (x) = 2010x

v thay vo (3.1) ta ữủc

g(0) 0,

g(0) g(x) + g(x),

g(x) 0, g(x) 0, x R.
õ,

kát hủp vợi

f (x) = 2010x, x R.

Suy ra

Thỷ

lÔi,

g(x) =

hm

số

thọa mÂn iãu kiằn bi toĂn.

Vêy hm số cƯn tẳm l

Bi toĂn 3.11 Cho

P (x)

f (x) = 2010x.

l a thực cõ hằ số thỹc v thọa mÂn

cĂc iãu kiằn:

0 < 2P 2 (xy) P (x)P (y 3 ) + P (x3 )P (y), x, y R

Footer Page 21 of 126.

(3.4)


20

Header Page 22 of 126.
P (2010) > 0.
Chựng minh rơng

P (2011) > 0.
P (x)

GiÊi. GiÊ sỷ a thực
kiằn cừa ã bi.

(3.5)

y

Thay

vợi hằ số thỹc v thọa mÂn cĂc iãu

bi

x

vo trong (3.4) ta ữủc

0 < 2P 2 (x2 ) 2P (x)P (x3 ), x R.
P (x3 )

x.
2
Thay x = 0 vo bĐt ng thực (3.4) ta ữủc 0 < 2P (0)
Tứ (3.6) suy ra

P (x)

(3.6)

P (0)P (y 3 ) + P (0)P (y).

v

cũng dĐu vợi mồi

Hay

P (0) 2P (0) P (y) P (y 3 ) 0, y R.

(3.7)

Ch cõ mởt trong 3 khÊ nông sau xÊy ra:
1. Náu

P (x) < 0

thẳ

0 > 2P (0) P (y) + P (y 3 ), y R.
Theo (3.6) thẳ

P (y)

v

P (y 3 )

cũng dĐu vợi mồi

(3.8)

y,

vêy tứ

(3.8) suy ra

P (y) < 0, y R.

(3.9)

Tứ (3.9) suy ra vổ lẵ, vẳ theo (3.5), ta cõ

P (2010) > 0.

Vêy trữớng hủp ny khổng xÊy ra.
2. Náu

P (x) > 0

thẳ

0 < 2P (0) P (y) + P (y 3 ), y R.
Hỡn nỳa,

P (y)

v

P (y 3 )

cũng dĐu nản

P (2011) > 0.
P (0) = 0 thẳ P (x)

(3.10)

P (y) > 0, y R.

Nõi riảng ta cõ
3.
(do

Náu

P (0) = 0, P (2010) > 0).

Footer Page 22 of 126.

khổng phÊi l a thực hơng số

Mt khĂc theo nh lẵ Bezout suy


21

Header Page 23 of 126.
ra

P (x) = xQ(x)

số nguyản dữỡng

Q(x)

vợi

n

l a thực.

v a thực

G(x)

Nhữ vêy ưt phÊi tỗn tÔi

sao cho

P (x) = xn G(x)

vợi

G(0) = 0.
Theo trản

(xn )3

P (x)

cụng cũng dĐu

v

P (x3 )

x R

cũng dĐu

nản

G(x)

v

x R,
G(x3 )

do õ

xn

v

cụng cũng dĐu

x R. Lúc ny (3.4), (3.5) cõ dÔng
0 < 2x2n G2 (xy) xn G(x)y 3n G(y 3 )+x3n G(x3 )y n G(y), x,
y R,

2010n G(2010) > 0.

v

Bơng cĂch chựng minh nhữ trản suy ra

G(x) > 0, x R

G(2011) > 0.
n
Ta cõ P (2011) = 2011 G(2011) > 0 (do n > 0 v G(2011) >
0).
Tõm lÔi ta  chựng minh ữủc

P (2011) > 0.

3.2. XĂc nh a thực theo cĂc c trững cừa chúng

3.2.1. XĂc nh a thực theo cĂc c trững nghiằm

Bi toĂn 3.12 XĂc nh a thực bêc 4 dÔng

P (x) = x4 + bx2 + c, (b, c > 0)
sao

cho

phữỡng

trẳnh

P (x) = x2

khổng

cõ

(3.11)

nghiằm

thỹc

cỏn

phữỡng trẳnh

P (P (x)) = x4

(3.12)

thẳ cõ nghiằm thỹc.

GiÊi.  ỵ rơng

P (x) > 0

v

P (x) = P (x), x R

v

Q(x) =

P (P (x)) cụng cõ tẵnh chĐt Q(x) = Q(x), x R nản ta ch cƯn
xt

Footer Page 23 of 126.

x 0.

Theo giÊ thiát thẳ phữỡng trẳnh

P (x) = x2

vổ nghiằm


22

Header Page 24 of 126.
v vẳ

P (x) x2 = x4 + (b 1)x2 + c
nản

P (x) > x2 , x R.

Suy ra

P (P (x)) > [P (x)]2 > x4 .

Vêy phữỡng trẳnh (1) vổ nghiằm. Tứ õ suy ra khổng tỗn
tÔi a thực dÔng (3.11) thọa mÂn iãu kiằn ã bi.

3.2.2. XĂc nh a thực theo cĂc c trững nởi suy

Bi toĂn 3.13 Chựng minh rơng khổng tỗn tÔi a thực

Z[x]

m

GiÊi.

f (2011) = 2012

f (2009) = 2009.

f (x) = an xn + an1 xn1 + ã ã ã + a0 , ai Z, i

GiÊ sỷ

{0, 1, . . . , n}.

v

f (x)

Khi

õ

ta

cõ

f (2011) f (2009) = an (2011n

2009n ) + an1 (2011n1 2009n1 ) + ã ã ã + a1 (2011 2009)
hát cho

2.

Mt khĂc,

chia hát cho

2.

chia

f (2011) f (2009) = 2012 2009 = 3 khổng

Vêy khổng tỗn tÔi a thực

f (x)

thọa mÂn iãu

kiằn ã bi.

3.2.3.

XĂc nh a thực theo cĂc c trững số hồc

Bi toĂn 3.14 Tỗn tÔi hay khổng tỗn tÔi mởt a thực

2010

thọa mÂn iãu kiằn

P (x) bêc

.
.
.

P (x2 2009) P (x)

P (x) = (x + a)2010 . Khi õ
P (x2 2009) = (x2 + a 2009)2010
= (x + a)2 2a(x + a) + a2 + a 2009)

GiÊi. GiÊ sỷ

Náu ta chồn

thẳ

a sao cho

a2 +a2009

=0

P (x2 2009) = (x + a)2010 (x a)2010

cõ hai a thực bêc

(x + a)2010

vợi

a

2010

a=

.

8037
2
P (x). Vêy

1

chia hát cho

thọa mÂn iãu kiằn ã bi l

l nghiằm cừa phữỡng trẳnh

Footer Page 24 of 126.

2010

a2

P (x) =

+ a 2009 = 0.


23

Header Page 25 of 126.
KT LUN
Luên vôn "Phữỡng trẳnh hm v bĐt phữỡng trẳnh hm
trong a thực" Â ữủc tĂc giÊ nộ lỹc nghiản cựu dữợi sỹ hữợng
dăn khoa hồc, nhiằt tẳnh v nghiảm khưc cừa GS. TSKH. Nguyạn

Vôn Mêu.
Mởt số kát quÊ Â Ôt ữủc:
Chữỡng 1. Luên vôn  trẳnh by mởt số kián thực vã khĂi
niằm, nh lỵ vã a thực s ữủc sỷ dửng trong cĂc chữỡng 2,
chữỡng 3 cừa luên vôn.
Chữỡng 2.

Luên vôn  trẳnh by phữỡng phĂp giÊi mởt

số dÔng phữỡng trẳnh hm thữớng gp:

nghiằm l hơng số, a

thực bêc nhĐt, mởt số a thực cõ bêc lợn hỡn hoc bơng

2, phƠn

thực hỳu t vợi bêc cừa tỷ thực nhọ hỡn hoc bơng 3 cỏn bêc
cừa mău thực nhọ hỡn hoc bơng

2,

tờng cừa hm số mụ v mởt

số bi toĂn tờng hủp.
Chữỡng 3.

Trẳnh by phữỡng phĂp giÊi bĐt phữỡng trẳnh

hm vợi cp bián tỹ do, mởt số dÔng bĐt phữỡng trẳnh hm cõ

nghiằm l a thực v xĂc nh ữủc a thực theo cĂc c trững
cừa nõ.
Mội phữỡng phĂp ãu cõ cĂc vẵ dử hoc bi toĂn minh hồa
cho phữỡng phĂp giÊi phữỡng trẳnh hm, bĐt phữỡng trẳnh hm.
Mởt số tỗn tÔi: phữỡng trẳnh hm, bĐt phữỡng trẳnh hm
l

mởt

ã

ti

rĐt

rởng,

nhiãu

dÔng

bi

têp

nản

luên

vôn

ch

hằ thống ữủc phữỡng phĂp giÊi mởt số dÔng, chữa tẳm ữủc
phữỡng phĂp giÊi cho tĐt cÊ cĂc dÔng bi toĂn.

c biằt thới

gian v khÊ nông cõ hÔn nản luên vôn chữa trẳnh by cĂc lới giÊi
khĂc nhau cừa cũng mởt bi toĂn. TĂc giÊ s tiáp tửc nghiản cựu
 giÊi quyát cĂc tỗn tÔi ny cừa luên vôn.

Footer Page 25 of 126.