CÔNG THỨC HÌNH học tổng hợp

Hoùc thay thũnh - hoùc chổ coự theồ toỏt hụn
www.facebook.com/thinh.dc.5

CễNG THC HèNH HC 12
C BN V NNG CAO CN NH

I. T S GểC NHN TRONG TAM GIC VUễNG
1. sin =
3. tan =

AB
(I chia HUYN)
BC
AB
(I chia K)
AC

2. cos =

4. cot =

AC
(K chia HUYN)
BC

A

AC
(K chia I)
AB

B
H

II. H THC LNG TRONG TAM GIC VUễNG
1. BC2 = AB2 + AC2 (nh lớ Pitago)=>AB2 = BC2 - AC2
2. AB2 = BH.BC
4. AH2 = BH.CH

3. AC2 = CH.BC
5. AB.AC = BC.AH

6.

1
1
1


2
2
AH
AB AC 2

III. NH L CễSIN

1. a2 = b2 + c2 2bccosA 2. b2 = a2 + c2 2accosB 3. c2 = a2 + b2 2abcosC
IV. NH L SIN

A

a
b
c


2R
sin A sin B sin C
M

V. NH L TALET

MN // BC
B

a)

AM AN MN


;
AB AC BC

N

b)

AM AN

MB NC

VI. DIN TCH TRONG HèNH PHNG

C

C


Hoùc thay thũnh - hoùc chổ coự theồ toỏt hụn
www.facebook.com/thinh.dc.5

1. Tam giỏc thng:
a) S =

1
ah
2

b) S = p(p a)(p b)(p c) (Cụng thc Hờ-rụng)

c) S = pr (r: bk .trũn ni tip tam giỏc)
a2 3
b) S =
4

a 3
a) ng cao: h =
;
2

2. Tam giỏc u cnh a:

c) ng cao cng l ng trung tuyn, ng phõn giỏc, ng trung trc
3. Tam giỏc vuụng:

a) S =

1
ab (a, b l 2 cnh gúc vuụng)
2

b) Tõm ng trũn ngoi tip tam giỏc l trung im ca cnh huyn
4. Tam giỏc vuụng cõn (na hỡnh vuụng):
a) S =

1 2
a (2 cnh gúc vuụng bng nhau)
2

b) Cnh huyn bng a 2

5. Na tam giỏc u:

A

a) L tam giỏc vuụng cú mt gúc bng 30o hoc 60o
a 3
c) AC =
2

b) BC = 2AB

6. Tam giỏc cõn: a) S =

d) S =

a

2

3

B

60 o

30 o

C

8

1
ah (h: ng cao; a: cnh ỏy)
2

b) ng cao h t nh cng l ng trung tuyn, ng phõn giỏc, ng trung trc
7. Hỡnh ch nht:

S = ab (a, b l cỏc kớch thc)

A

8. Hỡnh thoi:

1
S = d1.d2 (d1, d2 l 2 ng chộo)
2

N

M

9. Hỡnh vuụng: a) S = a

2

b) ng chộo bng a 2

10. Hỡnh bỡnh hnh: S = ah (h: ng cao; a: cnh ỏy)

G
B

P

C


Hoùc thay thũnh - hoùc chổ coự theồ toỏt hụn
www.facebook.com/thinh.dc.5

11. ng trũn: a) C = 2 R (R: bỏn kớnh ng trũn)
b) S = R2 (R: bỏn kớnh ng trũn)
VII. CC NG TRONG TAM GIC
1. ng trung tuyn: G: l trng tõm ca tam giỏc
a) Giao im ca 3 ng trung tuyn ca tam giỏc gi l trng tõm
b) * BG =

2
1
BN; * BG = 2GN; * GN = BN
3
3

2. ng cao: Giao im ca ca 3 ng cao ca tam giỏc gi l trc tõm
3. ng trung trc: Giao im ca 3 ng trung trc ca tam giỏc l tõm ng trũn
ngoi tip tam giỏc
4. ng phõn giỏc: Giao im ca 3 ng phõn giỏc ca tam giỏc l tõm ng trũn
ni tip tam giỏc
VIII. HèNH HC KHễNG GIAN
1. Hỡnh t din u: Cú 4 mt l cỏc tam giỏc u bng nhau.
Chõn ng cao trựng vi tõm ca ỏy (hay trựng vi trng tõm ca tam giỏc ỏy).
Cỏc cnh bờn to vi mt ỏy cỏc gúc bng nhau
2. Hỡnh chúp u: Cú ỏy l a giỏc u .Cú cỏc mt bờn l nhng tam giỏc cõn bng
nhau. Chõn ng cao trựng vi tõm ca a giỏc ỏy .Cỏc cnh bờn to vi mt ỏy cỏc
gúc bng nhau
3. ng thng d vuụng gúc vi mp( ):
d a; d b

a) t d vuụng gúc vi 2 t ct nhau cựng nm trờn mp( ) Tc l: a b

d ( )
a,b



Hoùc thay thũnh - hoùc chổ coự theồ toỏt hụn
d
www.facebook.com/thinh.dc.5
A

() ()

b) () () a d ( )
a d ()




O

d'
H



c) t d vuụng gúc vi mp( ) thỡ d vuụng gúc vi mi t nm trong mp( )
4. Gúc gia t d v mp( ): d ct ( ) ti O v A d
AH ()
=
thỡ gúc gia d v ( ) l hay AOH

H ( )

Nu



F

5. Gúc gia 2 mp( ) v mp( ):
() () AB

Nu FM AB;EM AB
EM (),FM ()


E

B

M


A

=
thỡ gúc gia ( ) v ( ) l hay EMF

6. Khong cỏch t im A n mp( ):
Nu AH ( ) thỡ d(A, ( )) = AH

(vi H ( ))

IX. KHI A DIN:
1. Th tớch khi lng tr:

V = Bh (B: din tớch ỏy; h: chiu cao)

2. Th tớch khi chúp:

V = Bh (din tớch ỏy l a giỏc)

3. T s th tớch ca khi chúp:

VS.ABC SA SB SC

.
.
VS.ABC SA SB SC

4. Din tớch xq ca hỡnh nún trũn xoay:

Sxq = Rl (R: bk ng trũn; l: ng sinh)

5. Th tớch ca khi nún trũn xoay:

V = Bh (din tớch ỏy l ng trũn)

1
3

1
3


Hoùc thay thũnh - hoùc chổ coự theồ toỏt hụn
www.facebook.com/thinh.dc.5

6. Din tớch xq ca hỡnh tr trũn xoay:
sinh)

Sxq = 2 Rl (R: bk ng trũn; l: ng

7. Th tớch ca khi tr trũn xoay:

V = Bh = R 2 h ( h: chiu cao khi tr)
S = 4 R 2 (R: bk mt cu )

8. Din tớch ca mt cu:
9. Th tớch ca khi nún trũn xoay:

V=

4 3
R (R: bỏn kớnh mt cu)
3


Hoùc thay thũnh - hoùc chổ coự theồ toỏt hụn
www.facebook.com/thinh.dc.5

HèNH HC TRONG KHễNG GIAN
I. CễNG THC VECT:
. Trong khụng gian vi h trc Oxyz cho

a a1 ; a 2 ; a3


b b1 ; b2 ; b3

v k R

Ta cú:




1) a b a1 b1 ; a2 b2 ; a3 b3


2) ka ka1 ; ka2 ; ka3


3) a.b a1 b1 a2 b2 a3 b3


4) a a12 a22 a32

5) Tớch cú hng ca hai vect a v b l

a, b ab ba


2

3

2

3

;

a3 a1 a1 a2
;
b3 b1 b1 b2






a, b a . b .Sina, b

6)

a1 b1

7) a b a2 b2
a b
3
3








8) a cựng phng b a, b 0








9) aa, b hay ba, b
10)



a , b , c ng phng a, b .c 0

11)

ab a1 b1 a2 b2 a3 b3 0




Học thầy thònh - học chỉ có thể tốt hơn
www.facebook.com/thinh.dc.5

 Ứng dụng của vectơ:





1
. AB, AC
2



SABC 



VHộpABCD. A B C D  AB, AD .AA/



VTứdiệnAB

CD 

/

/

/



/







1
. AB, AC .AD
6

II. TOẠ ĐỘ ĐIỂM:
Trog khơng gian Oxyz cho Ax A ; y A ; zA 
B x B ; yB ; zB 

1) AB  xB  x A ; yB  yA ; zB  zA 
2) AB   x B  x A 2  yB  y A 2  zB  zA 2
3) G là trọng tâm ABC , ta có:
x A  xB  xC


 xG 
3

y A  yB  yC

 yG 
3

z A  z B  zC

 zG 
3


4) G là trọng tâm tứ diện ABCD
x A  xB  xC  X D

 xG 
4

  y G  y A  y B  y C  y D
4

z A  z B  zC  z D

 zG 
4



 GA GB  GC  GD  0


Hoùc thay thũnh - hoùc chổ coự theồ toỏt hụn
www.facebook.com/thinh.dc.5

5) im M chia on AB theo t s k. Ta cú:
x A kx B

xM
1 k

y A ky B

yM
1 k

z A kz B

zM
1 k


, k 1

6) I l trung im ca on AB thỡ:
xA xB

xI

2

yA yB

yI
2

z A z2

zI
2


III. MT PHNG:
1) Gi s mp cú cp VTCP l :

a a1 ; a2 ; a3


b b1 ; b2 ; b3

Nờn cú VTPT l:
a2 a3 a3 a1 a1 a2

;
;
n a, b

b
b

b
b
b
b
2
3
3
1
1
2





2) Phng trỡnh tng quỏt ca mp cú dng:
Ax + By + Cz + D = 0


Vi A2 B 2 C 2 0 ; trong ú n A; B; C l VTPT ca mp
3) Phng trỡnh cỏc mt phng to :

(Oxy) : z = 0

; (Ozy) : x = 0


Hoùc thay thũnh - hoùc chổ coự theồ toỏt hụn
www.facebook.com/thinh.dc.5

(Oxz) : y = 0
4) Chựm mt phng:Cho hai mt phng ct nhau:

1 : A1 x B1 y C1 z D1 0

2 : A2 x B2 y C2 z D 2 0
P.tr ca chựm mp xỏc nh bi 1 v 2 l:
A1x B1y C1z D1 A2 x B2y C2z D2 0

vi 2 2 0
5) Cỏc vn vit phng trỡnh mt phng:
Vn 1: Vit phng trỡnh mt phng
P.Phỏp:




Tỡm VTPT n A; B; C v im i qua M 0 x0 ; y0 ; z 0



dng: Ax x 0 By y 0 Cz z0 0

Vn 2: Vit phng trỡnh mt phng qua ba im A, B, C
P.Phỏp:


Tớnh AB, AC

Mp (ABC) cú VTPT l n AB, AC v qua A



Kt lun.







Vn 3: Vit phng trỡnh mp i qua im A v vuụng gúc BC
P.Phỏp:
Mp BC. Nờn cú VTPT l BC qua A


Hoùc thay thũnh - hoùc chổ coự theồ toỏt hụn
www.facebook.com/thinh.dc.5

Chỳ ý:




Trc Ox cha i 1;0;0

Trc Oy cha j 0;1;0



Trc Oz cha k 0;0;1





Vn 4: Vit phng tỡnh mp l mt phng trung trc ca AB.
P.Phỏp:


Mp AB. Nờn cú VTPT l AB i qua I l trung im ca AB



Kt lun.

Vn 5: Vit phng tỡnh mp i qua im M 0 x 0 ; y 0 ; z0 v song song vi mt
phng : Ax By Cz D 0
P.phỏp:


// . Nờn phng trỡnh cú dng:
Ax + By + Cz + D / = 0

M 0 D /



Kt lun

Vn 6: Vit phng trỡnh mp (P) i qua hai im A, B v vuụng gúc vi mp (Q)
P.Phỏp:




Mp (P) cú cp VTCP l: AB v VTPT ca (Q) l nQ


Hoùc thay thũnh - hoùc chổ coự theồ toỏt hụn
www.facebook.com/thinh.dc.5












Mp (P) cú VTPT l n AB, nQ v qua A

Kt lun.

Vn 7: Vit phng trỡnh mp i qua cỏc im l hỡnh chiu ca im
M x 0 ; y0 ; z0 trờn cỏc trc to .
P.Phỏp:* Gi M1, M2, M3 ln lt l hỡnh chiu ca im M trờn Ox, Oy, Oz. Thỡ
M1(x0;0;0) , M2(0;y0;0) , M3(0;0;x0)
x
y
z

1
x0 y
z0

* Phng trỡnh mp l:

Vn 8: Vit phng trỡnh mp i qua im M0 v vuụng gúc vi hai mt
phng (P) v (Q).
P.Phỏp:




(P) cú VTPT l nP



(Q) cú VTPT l nQ

Mp cú VTPT l nP , nQ v qua Mo
Kt lun

Vn 9: Vit phng trỡnh mt phng tip din ca mt cu (S) ti tip im A.
P.Phỏp:


Xỏc nh tõm I ca mt cu (S)



Mt phng : Mp tip din cú VTPT : IA



Vit phng trỡnh tng quỏt.


Hoùc thay thũnh - hoùc chổ coự theồ toỏt hụn
www.facebook.com/thinh.dc.5

IV. NG THNG:
Phng trỡnh ng thng:
A1 x B1 y C1 z D1 0
A2 x B2 y C 2 z D 2 0

1) Phng trỡnh tng quỏt ca ng thng:
vi A1 : B1 : C1 A2 : B2 : C2

2) Phng trỡnh tham s ca ng thng i qua im M 0 x 0 ; y 0 ; z0 cú VTCP

aa1 ; a2 ; a3 l:
x x 0 a1 t

y y 0 a2 t
z z a t

0
3

t R


3) Phng trỡnh chớnh tc ca ng thng i qua im M0 cú VTCP: aa1 ; a2 ; a3 l
x x 0 y y 0 z z0


a1
a2
a3

Vi a12 a22 a32 0

Qui c: Nu ai = 0 thỡ x x0 = 0

Vn 1: Tỡm VTCP ca ng thng tng quỏt.
A1 x B1 y C1 z D1 0
:
A2 x B2 y C 2 z D 2 0

P.Phỏp:
BC

CA

AB


cú VTCP l : a 1 1 ; 1 1 ; 1 1
B2 C 2 C 2 A2 A1 B2

Vn 2: Vit phng trỡnh ng thng :
P.Phỏp:


Hoùc thay thũnh - hoùc chổ coự theồ toỏt hụn
www.facebook.com/thinh.dc.5

Cn bit VTCP a a1 ; a2 ; a3 v im M 0 x 0 ; y 0 ; z0



Vit phng trỡnh tham s theo cụng thc (2)



Vit phng trỡnh chớnh tc theo cụng thc (3)


Vit phng trỡnh tng quỏt. thỡ t phng trỡnh chớnh tc , ta cú phng trỡnh tng
quỏt:
x x0 y y0
a a
1
2

x x 0 z z0
a1
a3



Rỳt gn v dng (1)

Chỳ ý:
Vit phng trỡnh tng quỏt v phng trỡnh tham s Hoc chớnh tc. Ta tỡm:

- VTCP u a1 ; a2 ; a3 bng vn 11
- Cho mt n bng 0 Hoc bng mt giỏ tr no ú. Gii h tỡm x, y => z
- Cú im thuc ng thng
- Kt lun.

Vn 3: Vit ptr ng thng i qua im M 0 x 0 ; y 0 ; z0 v vuụng gúc vi mt
phng : Ax By Cz D 0
P.Phỏp:


Mp cú VTPT l n A; B; C


ng thng i qua im M0 v cú VTCP l n


Vit phng trỡnh chớnh tc => Ptr tng quỏt


Hoùc thay thũnh - hoùc chổ coự theồ toỏt hụn
www.facebook.com/thinh.dc.5

Vn 4: Vit phng trỡnh hỡnh chiu ca d trờn mp
P.Phỏp:
Gi d/ l hỡnh chiu ca d trờ mp
Gi l mt phng cha d v
Nờn cú cp VTCP l

VTCP ca d l ud v n l VTPT ca mt phng








Mp cú VTPT n ud , n



Mp i qua im M0 d



Vit phng trỡnh tng quỏt ca Mp



Phng trỡnh ng thng d/:

:
:

Vn 5: Vit phng trỡnh ng thng d qua im M 0 x 0 ; y 0 ; z0 v vuụng gúc
vi hai ng 1 v 2

P.Phỏp:


1 cú VTCP u1


2 cú VTCP u2




d vuụng gúc vi 1 v 2 . Nờn d cú VTCP l ud u1 ,u2

Vn 6: Vit phng trỡnh ng thng d i qua im A v ct c hai ng 1
v 2 .


Hoùc thay thũnh - hoùc chổ coự theồ toỏt hụn
www.facebook.com/thinh.dc.5

P.Phỏp:
Thay to A vo phng trỡnh 1 v 2

A 1 , A 2

Gi (P) l mt phng i qua im A v cha 1
Gi (Q) l mt phng i qua im A v cha 2
P :
Q :

P.tr ng thng d:

Vn 7: Vit phng trỡnh ng thng d P ct c hai ng 1 v 2 .
P.Phỏp:
Gi A 1 P
Gi B 2 P
ng thng chớnh l ng thng AB

Vn 8: Vit phng trỡnh ng thng d // d1 v ct c hai ng 1 v 2 .
P.Phỏp
Gi (P) l mt phng cha 1 v (P) // d1
Gi (Q) l mt phng cha 2 v (Q) // d1
d P Q
P :
Q :

Phng trỡnh ng thng d


Hoùc thay thũnh - hoùc chổ coự theồ toỏt hụn
www.facebook.com/thinh.dc.5

Vn 9: Vit phng trỡnh ng vuụng gúc chung ca hai ng thng chộo
nhau 1 v 2 .
P.Phỏp:

Gi u1 v u2 ln lt l VTCP ca 1 v 2
Gi v u1 , u2












Gi (P) l mt phng cha 1 v cú mt VTCP l v . Nờn cú VTPT l nP u1 , v
phng trỡnh mt phng (P)
Gi (Q) l mt phng cha 2 v cú mt VTCP l v . Nờn cú VTPT l nQ u2 , v
phng trỡnh mt phng (Q)


P :
Q :

Phng trỡnh ng vuụng gúc chung ca 1 v 2 :

Vn 10: Vit phng trỡnh ng thng d vuụng gúc (P) v ct hai ng
thng 1 v 2

P.Phỏp:


Gi l mt phng cha 1 v cú mt VTCP l nP ( VTPT ca (P) )



Gi l mt phng cha 2 v cú mt VTCP l nP ( VTPT ca (P) )



ng thng d

Vn 11: Vit phng trỡnh ng thng d i qua im M0 vuụng gúc vi
ng thng 1 v ct ng thng 2
P.Phỏp:
Gi l mt phng i qua M0 v vuụng gúc 1


Hoùc thay thũnh - hoùc chổ coự theồ toỏt hụn
www.facebook.com/thinh.dc.5

Gi l mt phng i qua im M0 v cha 2
ng thng d

Vn 12: Vit phng trỡnh ng thng d i qua giao im ca ng thng
v mt phng v d , d
P.Phỏp:

Gi A


ca

Gi l mt phng i qua A v vuụng gúc vi . Nờn cú VTPT l VTCP

ng thng d

V. MT CU:
1. Phng trỡnh mt cu (S) cú tõm I (a;b;c) bỏn kớnh R l: (x-a)2 + (y-b)2 + (z-c)2 = R2
2. Mt cu (S) cú phngtrỡnh : x2 + y2 + z2 - 2ax - 2by -2cz + d = 0 vi k a2 + b2 +
c2 d > 0
thỡ (S) cú :

Tõm I(a ; b ; c)
Bỏn kớnh R a 2 b 2 c 2 d

Vn 1: Vit phng trỡnh mt cu
P.Phỏp:

Cn:

Xỏc nh tõm I(a ; b ; c) ca mt cu
Bỏn kớnh R


Hoùc thay thũnh - hoùc chổ coự theồ toỏt hụn
www.facebook.com/thinh.dc.5

Vit phng trỡnh mt cu
(x-a)2 + (y-b)2 + (z-c)2 = R2

Vn 2: Vit phng trỡnh mt cu ng kớnh AB
P.Phỏp:





Gi I l trung im ca AB. Tớnh to I => I l tõm mt cu



Bỏn kớnh R AB

1
2



Vit phng trỡnh mt cu

Vn 3: Vit phng trỡnh mt cu (S) cú tõm I(a ; b ; c) v tip xỳc vi : Ax
+ By + Cz + D = 0
P.Phỏp:

Mt cu (S) cú tõm I v tip xỳc vi . Nờn cú bỏn kớnh



R dI ,



Vit phng trỡnh mt cu

AxI ByI CzI D
A2 B 2 C 2

Vn 4: Vit phng trỡnh mt cu (S) ngoi tip t din ABCD
P.Phỏp:


Phng trỡnh mt cu (S) cú dng
x2 + y2 + z2 + 2Ax + 2By +2Cz + D = 0



A, B, C, D thuc (S). Ta cú h phng trỡnh


Hoùc thay thũnh - hoùc chổ coự theồ toỏt hụn
www.facebook.com/thinh.dc.5

Gii h phng trỡnh tỡm A, B, C, D



Kt lun

Vn 5: Lp phng trỡnh mt cu i qua ba im A, B, C cú tõm nm trờn
mt phng Oxy
P.Phỏp:


Gi I(xI ; yI ; 0) l tõm ca mt cu, I Oxy



Ta cú AI2 = BI2 = CI2



AI 2 BI 2
Ta cú Hpt 2
2
AI CI



Gii Hpt I

Kt lun

IA = R

VI. KHONG CCH:
1) Khong cỏch gia hai im AB
AB

xB x A 2 yB y A 2 zB zA 2

2) Khong cỏch t im M0(x0 ; y0 ; z0) n mt phng : Ax + By + Cz + D = 0
dM 0 ,

Ax0 By0 Cz0 D
A2 B 2 C 2

3) Khong cỏch t im M1 n ng thng d


Ly M0 d



Tỡm VTCP ca ng thng d l u




Hoùc thay thũnh - hoùc chổ coự theồ toỏt hụn
www.facebook.com/thinh.dc.5

dM 1 , d

M M , u
0

1


u

4) Khong cỏch gia hai ng thng chộo nhau v /




Gi u v u / ln lt l VTCP ca v /



i qua im M0 , M 0/ /

u, u .M M
d,
u, u
/

0

/

/
0

/

VII.GểC:




1. Gúc gia hai vect a v b




Gi l gúc gia hai vect a v b

a.b
Cos
a.b

Gi



a1 b1 a2 b2 a3 b3
a12 a22 a32 . b12 b22 b32

2. Gúc gia hai ng thng (a) v (b)

l gúc gia hai ng thng (a) v (b)

0 90
0

ng thng (a) v (b) cú VTCP ln lt l :

a a1 , a2 , a3


b b1 , b2 , b3

a.b
Cos
a.b

a1 b1 a2 b2 a3 b3
a12 a22 a32 . b12 b22 b32

3. Gúc gia hai mt phng v /

: Ax + By + Cz + D = 0



c bit: ab a.b 0


Hoùc thay thũnh - hoùc chổ coự theồ toỏt hụn

www.facebook.com/thinh.dc.5

: A/x + B/y + C/z + D/ = 0
/

Gi



l gúc gia hai mt phng v /
AA/ BB/ CC /

Cos

A2 B 2 C 2 . A / 2 B / 2 C / 2

4. Gúc gia ng thng (d) v mt phng


(d): cú VTCP l u = (a, b, c)

: Ax + By + Cz + D = 0
Gi



Sin

l gúc nhn gia (d) v
Aa Bb Cc

A2 B 2 C 2 . a 2 b2 c 2

5. V trớ tng i gia mp v mt cu (S) cú tõm I, bỏn kớnh R
P.Phỏp:
Tớnh d(I, )
Nu d(I, ) > R => khụng ct (S)
Nu d(I, ) = R => tip xỳc (S)
Nu d(I, ) < R => ct (S) theo mt ng trũn giao tuyn cú bỏn kớnh
r R2 dI ,

2

Gi d/ l ng thng i qua tõm I v d /
Gi H d / H l tõm ng trũn giao tuyn


Hoùc thay thũnh - hoùc chổ coự theồ toỏt hụn
www.facebook.com/thinh.dc.5

6. Ta giao im ca ng thng v mt cu (S)
P.Phỏp:
* Vit phng trỡnh ng v dng phng trỡnh tham s
* Thay vo phng trỡnh mt cu (S) ta c phng trỡnh () theo t
Nu ptr () vụ nghim => khụng ct mt cu (S)
Nu ptr () cú nghim kộp => ct (S) ti mt im
Nu ptr () cú hai nghim => ct (S) ti hai im. Th t = ... vo phng trỡnh tham
s ca => Ta giao im

Vn 1: Ta im M/ i xng ca M qua mt phng
P.Phỏp:

Gi M/ (x/ ; y/ ; z/ ) l im i xng ca M qua


Gi d l ng thng i qua M v d . Nờn d cú VTCP l n
Vit phng trỡnh tham s ca d
Gi H d
d :
=> Ta im H
:

Ta im H l nghim ca h phng trỡnh

Vỡ H l trung im ca MM/ => Ta im M/

Vn 2: Tỡm ta im M/ i xng ca M0 qua ng thng d
P.Phỏp:


Gi M/ (x/ ; y/ ; z/ )


Hoùc thay thũnh - hoùc chổ coự theồ toỏt hụn
www.facebook.com/thinh.dc.5


VTPT

Gi (P) l mt phng i qua im M0 v Pd . Nờn (P) nhn VTCP ca d lm

Gi H d P


M 0M /

M/ l im i xng ca M0 qua ng thng d. Nờn H l trung im ca on

x0 x /
xH
2

y0 y /

Ta cú: y H
2


z0 z/
zH
2


=> M/