hinh hoc tong hop neww

TRƯỜNG TRUNG HỌC PHỔ THÔNG
Tổ Tốn


Tài liệu lưu hành nội bộ
Năm 20108
Toán 12 Thể Tích Khối Đa Diện – Mặt Tròn Xoay
MỤC LỤC
PHẦN I . THỂ TÍCH KHỐI CHĨP – KHỐI LĂNG TRỤ
1. Thể tích khối chóp, khối lăng trụ2-11Các Sai Lầm và Thiết Sót Khi Tính Giới
Hạn.
2. Kỹ Năng Giải Tốn Trắc Nghiệm Về Giới HạnThể Tích khối chóp, khối lăng trụ
liên quan đến góc................................................................................................12-16
I. Giới hạn dãy có dạng
( )
( )
n
P n
u
Q n
=
, Giới hạn hàm số dạng
∞
∞
……..10 - 11
II. Giới hạn hàm số dạng
0
0
và dạng
∞ − ∞
…………………………....12 - 13

3. Một Số Câu Hỏi Trắc Nghiệm Về Giới HạnTỷ số thể tích 16 ..........17-19
4. Một Số Câu Hỏi Trắc Nghiệm Về Giới HạnDiện tích mặt cầu – Thể tích khối cầu
ngoại tiếp khối chóp 16 ......................................................................................20-21
Bài tập tự rèn luyện...............................................................................22-23
PHẦN II . MẶT TRỊN XOAY
1. Cơng Thức, Ví dụ .............................................................................24-26
2. Bài tập tự rèn luyện..............................................................................277
PHẦN III . MỘT SỐ ĐỀ THI
Một đề thi học kỳ , tốt nghiệp liên quan đến thể tích.......................................28-308
Phụ lục Đáp số.......................................................................................................318
Tài liệu lưu hành nội bộ 2
Toán 12 Thể Tích Khối Đa Diện – Mặt Tròn Xoay
Phần I. THỂ TÍCH KHỐI CHÓP – KHỐI LĂNG TRỤ
Trong trường phổ thông , Hình học Không gian là một bài toán rất khó đối với học
sinh, do đó học sinh phải đọc thật kỹ đề bài và từ đó xác đònh giả thuyết bài toán, vẽ
hình rồi tiến hành giải bài toán.
Cả hai chương trình chuẩn và nâng cao đều đề cập đến thể tích của khối đa diện
( thể tích khối chóp, khối lăng trụ).
Thông thường bài toán về hình chóp được phân thành 2 dạng như sau:
Cho hình chóp
Hình chóp có cạnh bên vuông góc với mặt
phẳng đáy
A
C
B
S
Đa giác đáy :
− Tam giác vuông
− Tam giác cân
− Tam giác đều

− Hình vuông, chữ nhật
− Hình chóp đều
A
C
B
S
O
- Hình chóp tam giác đều
- Hình chóp tứ giác đều
Thông thường bài toán về hình lăng trụ:
.V B h
=
B: diện tích đáy
h : đường cao
Lăng trụ đứng ABC.A
1
B
1
C
1
Lăng trụ xiên ABC.A
1
B
1
C
1
A
1
A
⊥

(ABC) A
1
G
⊥
(ABC)
Tài liệu lưu hành nội bộ 3
A C
B
B1
C1
A1
H
A1
B
CA
B1
C1
G
Toán 12 Thể Tích Khối Đa Diện – Mặt Tròn Xoay
HỆ THỐNG KIẾN THỨC CƠ BẢN
A.Các Tính Chất :
a. Tam giác :
− Diện tích của tam giác
*
µ
1
. . .sin
2
ABC
S AB AC A

∆
=
*
1
. .
2
ABC
S BC AH
∆
=
− Các tam giác đặc biệt :
o Tam giác vng :
+ Định lý pitago:
2 2 2
BC AB AC= +
+ Tỷ số lượng giác trong tam giác vng

µ
= =
Đối
sin
Huyền
b
B
a

µ
= =
Kề
cos

Huyền
c
B
a
µ
= =
Đối
tan
Kề
b
B
c
+ Diện tích tam giác vng:
1
. .
2
ABC
S AB AC
∆
=
o Tam giác cân:
+ Đường cao AH cũng là đường trung tuyến
+ Tính đường cao và diện tích

µ
.tanAH BH B=
1
. .
2
ABC

S BC AH
∆
=
o Tam giác đều
+ Đường cao của tam giác đều
= =
3
.
2
h AM AB
( đường cao h = cạnh x
3
2
)
+ Diện tích :
2
3
( ) .
4
ABC
S AB
∆
=
Tài liệu lưu hành nội bộ 4
h
H
A
B
C
c

a
b
C
B
A
A
B
C
H
B
A
G
C
M
b. T giỏc
Hỡnh vuụng
+ Din tớch hỡnh vuụng :
2
( )
ABCD
S AB=

( Din tớch bng cnh bỡnh phng)
+ ng chộo hỡnh vuụng
= = . 2AC BD AB
( ng chộo hỡnh vuụng bng cnh x
2
)
+ OA = OB = OC = OD
Hỡnh ch nht

+ Din tớch hỡnh vuụng :
.
ABCD
S AB AD=

( Din tớch bng di nhõn rng)
+ ng chộo hỡnh cha nht bng nhau v
OA = OB = OC = OD
B. Th Tớch Khi Chúp:
+ Th tớch khi chúp
=
1
. .
3
V B h
Trong ú : B l din tớch a giỏc ỏy
h : l ng cao ca hỡnh chúp
Cỏc khi chúp c bit :
Khi t din u:
+ Tt c cỏc cnh u bng nhau
+ Tt c cỏc mt u l cỏc tam giỏc u
+ O l trng tõm ca tam giỏc ỏy
V AO

(BCD)
B
Khi chúp t giỏc u
+ Tt c cỏc cnh bờn bng nhau
+ a giỏc ỏy l hỡnh vuụng tõm O
+ SO

(ABCD)
Taứi lieọu lửu haứnh noọi boọ 2 Lửu Tuaỏn Hieọp
O
B
D
A
C
O
A
B
D
C
h
S
B
A
C
H
A
C
D
M
O
O
C
D
B
A
S

C.Gúc:
Cỏch xỏc nh gúc
Gúc gia ng thng d v mt phng (P):
o Tỡm hỡnh chiu d
/
ca d lờn mt phng (P)
o Khi ú gúc gia d v (P) l gúc gia d v d
/

Vớ d 1: Cho hỡnh chúp S.ABCD cú ABCD l hỡnh vuụng, SA vuụng gúc vi (ABCD) v gúc
gia SC vi (ABCD) bng 45
0
. Hóy xỏc nh gúc ú.
Gii
Ta cú :
=
( )ABCD
AC hc SC


ã
ã
ã
= = =( ,( )) ( , ) 45
o
SC ABCD SC AC SCA
Gúc gia hai mt phng (P) v (Q) :
o Xỏc nh giao tuyn d ca (P) v (Q)
o Tỡm trong (P) ng thng a

(d) , trong mt phng (Q) ng thng b

(d)
o Khi ú gúc gia (P) v (Q) l gúc gia hai ng thng a v b
Vớ d 2: Cho hỡnh chúp t giỏc u S.ABCD cú ABCD l hỡnh vuụng, v gúc gia mt bờn
vi mt ỏy bng 60
0
. Hóy xỏc nh gúc ú.
Gii
Gi M l trung im BC
Ta cú :
(SBC)

(ABCD) = BC
(ABCD)

AM

BC
(SBC)

SM

BC
( vỡ
( )
SM
ABCD
AM hc=
)

ã
ã
ã
(( ),( )) ( , ) 60
o
SBC ABCD SM AM SMA= = =
Taứi lieọu lửu haứnh noọi boọ 3 Lửu Tuaỏn Hieọp
45O
S
C
D
B
A
60
M
O
S
A
B
C
Baứi Toaựn 1.1:
Cho hỡnh chúp S.ABC cú tam giỏc ABC vuụng ti B, AB = a
2
, AC = a
3
,
cnh bờn SA vuụng gúc vi mt phng ỏy v SB =

3a
.Tớnh th tớch khi chúp
S.ABC
Gii
Giỏo viờn phõn tớch cho hc sinh hiu bi v hng dn hc sinh v hỡnh:
V tam giỏc ỏy, v ng cao SA

(ABC) v v thng ng
S dng nh lý pitago trong tam giỏc vuụng
Li gii:
Ta cú : AB = a
2
,
AC = a
3

SB =
3a
.
*

ABC vuụng ti B nờn
2 2
BC AC AB a= =


2
ABC
1 1 . 2
S . . 2.

2 2 2
a
BA BC a a

= = =
*

SAB vuụng ti A cú
2 2
SA SB AB a= =
* Th tớch khi chúp S.ABC
2 3
.
1 1 . 2 . 2
. . . .
3 3 2 6
S ABC ABC
a a
V S SA a= = =
Baứi Toaựn 1.2:
Cho hỡnh chúp S.ABC cú tam giỏc ABC vuụng cõn ti B, AC = a
2
, cnh bờn
SA vuụng gúc vi mt phng ỏy v SB =
3a
.Tớnh th tớch khi chúp S.ABC
Gii
Giỏo viờn phõn tớch cho hc sinh hiu bi v hng dn hc sinh v hỡnh:
V tam giỏc ỏy, v ng cao SA

(ABC) v v thng ng
Tam giỏc ABC vuụng , cõn ti B nờn BA = BC v s dng nh lý pitago trong
tam giỏc vuụng
Li gii:
Ta cú : AC = a
2
,
SB =
3a
.
*

ABC vuụng, cõn ti B nờn
2
2
AC
BA BC a= = =


2
ABC
1 1
S . . .
2 2 2
a
BA BC a a

= = =
*

SAB vuụng ti A cú
2 2
SA SB AB a= =
* Th tớch khi chúp S.ABC
2 3
.
1 1
. . . .
3 3 2 6
S ABC ABC
a a
V S SA a= = =
Taứi lieọu lửu haứnh noọi boọ 4 Lửu Tuaỏn Hieọp
A
C
B
S
A
C
B
S
Baứi Toaựn 1.3:
Cho hỡnh chúp S.ABC cú tam giỏc ABC u cnh 2a, cnh bờn SA vuụng gúc vi
mt phng ỏy v SB =
5a
.Tớnh th tớch khi chúp S.ABC
Gii
Giỏo viờn phõn tớch cho hc sinh hiu bi v hng dn hc sinh v hỡnh:
V tam giỏc ỏy, v ng cao SA

(ABC) v v thng ng
Tam giỏc ABC u cú ba gúc bng 60
0
v s dng nh lý pitago trong tam giỏc
vuụng SAB
Li gii:
*

ABC u cnh 2a nờn
AB = AC = BC = 2a


0 2
ABC
1 1 3
S . .sin 60 .2 .2 . . 3
2 2 2
BA BC a a a

= = =
*

SAB vuụng ti A cú
2 2
SA SB AB a= =
* Th tớch khi chúp S.ABC
3
2
.
1 1 . 3

. . . . 3.
3 3 3
S ABC ABC
a
V S SA a a= = =
Baứi Toaựn 1.4:
Cho hỡnh chúp S.ABC cú tam giỏc ABC cõn ti A, BC = 2a
3
,
ã
0
AC 120B =
,cnh
bờn SA vuụng gúc vi mt phng ỏy v SA =2a.Tớnh th tớch khi chúp S.ABC
Gii
Giỏo viờn phõn tớch cho hc sinh hiu bi v hng dn hc sinh v hỡnh:
V tam giỏc ỏy, v ng cao SA

(ABC) v v thng ng
Tam giỏc ABC cõn ti A v = 120
0

Li gii:
*

ABC cõn ti A,
ã
0
AC 120B =
, BC = 2a

3
AB = AC = BC = 2a
Xột

AMB vuụng ti M cú BM = a
3
, = 60
0

AM =
0
3
tan 60
3
BM a
a= =


2
ABC
1 1
S . . .2 3 . 3
2 2
AM BC a a a

= = =
* SA = a
* Th tớch khi chúp S.ABC
3
2

.
1 1 . 3
. . . . 3.
3 3 3
S ABC ABC
a
V S SA a a= = =
Taứi lieọu lửu haứnh noọi boọ 5 Lửu Tuaỏn Hieọp
S
B
C
A
M
S
B
C
A
Baứi Toaựn 1.5:
Cho hỡnh chúp S.ABCD cú ỏy ABCD l hỡnh vuụng cnh a
2
, cnh bờn SA
vuụng gúc vi mt phng ỏy v SC =
5a
.Tớnh th tớch khi chúp S.ABCD
Gii
Giỏo viờn phõn tớch cho hc sinh hiu bi v hng dn hc sinh v hỡnh:
V ỏy l hỡnh vuụng ( v nh hỡnh bỡnh hnh), cao SA

(ABCD) v v thng
ng

ABCD l hỡnh vuụng ; s dng nh lý pitago trong tam giỏc vuụng
Li gii:
Ta cú : ABCD l hỡnh vuụng cnh a
2

SC =
5a
.
* Din tớch ABCD


( )
2
2
ABCD
S 2 2a a= =
* Ta cú : AC = AB.
2
=
2. 2 2a a=


SAC vuụng ti A


2 2
SA SC AC a= =
* Th tớch khi chúp S.ABCD
3
2

.
1 1 2
. . .2 .
3 3 3
S ABCD ABCD
a
V S SA a a= = =
Baứi Toaựn 1.6:
Cho hỡnh chúp S.ABCD cú ỏy ABCD l hỡnh vuụng, cnh bờn SA vuụng gúc
vi mt phng ỏy v SA = AC = a
2
.Tớnh th tớch khi chúp S.ABCD
Gii
Giỏo viờn phõn tớch cho hc sinh hiu bi v hng dn hc sinh v hỡnh:
V ỏy l hỡnh vuụng ( v nh hỡnh bỡnh hnh), cao SA

(ABCD) v v thng
ng
Bit AC v suy ra cnh ca hỡnh vuụng (ng chộo hỡnh vuụng bng cnh
nhõn vi
2
)
Li gii:
Ta cú : SA = AC = a
2

* ABCD l hỡnh vuụng
AC = AB.
2

2
AC
AB a= =
Din tớch ABCD :
2
ABCD
S a=
* SA = a
2
* Th tớch khi chúp S.ABCD
3
2
.
1 1 . 2
. . . . . 2
3 3 3
S ABCD ABCD
a
V S SA a a= = =
Taứi lieọu lửu haứnh noọi boọ 6 Lửu Tuaỏn Hieọp
A
B
D
C
S
A
B
D

C
S
Bài Toán 1.7:
Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a
3
, cạnh bên bằng
2a.Tính thể tích khối chóp S.ABC
Giải
 Giáo viên phân tích cho học sinh hiểu đề bài và hướng dẫn học sinh vẽ hình:
− Hình chóp tam giác đều có đáy là tam giác đều tâm O
+ Gọi M là trung điểm BC
+ O là trọng tâm của tam ABC
+ AM là đường cao trong
∆
ABC
− Đường cao của hình chóp là SO ( SO
⊥
(ABC))
 Lời giải:
* S.ABC là hình chóp tam giác đều
Gọi M là trung điểm BC
∆
ABC đều cạnh
3a
, tâm O
SO
⊥
(ABC)
SA=SB=SC = 2a
*

∆
ABC đều cạnh
3a

⇒
AM =
3 3
3.
2 2
a
a =
⇒

2 2 3
AO= . .
3 3 2
a
AM a= =
⇒

2
0
ABC
1 1 3 3 . 3
S . .sin 60 . 3. 3.
2 2 2 4
a
AB AC a a
∆
= = =

*
∆
SAO vng tại A có
2 2
. 3SO SA AO a= − =
* Thể tích khối chóp S.ABC
2 3
.
1 1 3 3 . 3
. . . .
3 3 4 4
S ABC ABC
a a
V S SA a= = =
 Nhận xét: học sinh thường làm sai bài tốn trên
− Học sinh vẽ “sai” hình chóp tam giác đều vì
+ khơng xác định được vị trí điểm O
+ khơng hiểu tính chất của hình chóp đều là SO
⊥
(ABC)
+ khơng tính được AM và khơng tính được AO
− Tính tốn sai kết quả thể tích
Tài liệu lưu hành nội bộ 7 Lưu Tuấn Hiệp
A
C
B
S
M
O
Bài Toán 1.8:

Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng 2a, cạnh bên bằng
3a

.Tính thể tích khối chóp S.ABCD
Giải
 Giáo viên phân tích cho học sinh hiểu đề bài và hướng dẫn học sinh vẽ hình:
− Hình chóp tứ giác đều có
+ đa giác đáy là hình vng ABCD tâm O
+ SO
⊥
(ABCD)
+ tất cả các cạnh bên bằng nhau
− Đường cao của hình chóp là SO ( SO
⊥
(ABCD))
 Lời giải:
* S.ABCD là hình chóp tứ giác đều
ABCD là hình vng cạnh 2a , tâm O
SO
⊥
(ABCD)
SA=SB=SC =SD =
3a

* Diện tích hình vng ABCD
⇒
AC = 2a.
2

⇒

AC 2 2
AO= 2
2 2
a
a= =
⇒

( )
2
2
ABCD
S 2 4a a= =
*
∆
SAO vng tại O có
2 2
SO SA AO a= − =
* Thể tích khối chóp S.ABCD
3
2
.
1 1 4
. . .4 .
3 3 3
S ABCD ABCD
a
V S SA a a= = =
 Nhận xét: học sinh thường làm sai bài tốn trên
− Học sinh vẽ “sai” hình chóp tứ giác đều

+ khơng xác định được tính chất đa giác đáy là hình vng
+ khơng SO
⊥
(ABCD) mà lại vẽ SA
∆
(ABCD)
+ khơng tính được AC và khơng tính được AO
− Tính tốn sai kết quả thể tích
Tài liệu lưu hành nội bộ 8 Lưu Tuấn Hiệp
O
C
D
B
A
S
Baứi Toaựn 1.9: Tớnh th tớch ca khi t din u cnh a
Gii
Giỏo viờn phõn tớch cho hc sinh hiu bi v hng dn hc sinh v hỡnh:
T din u ABCD cú cỏc tớnh cht
+ tt c cỏc cnh u bng nhau
+ tt c cỏc mt l cỏc tam giỏc u
+ gi O l trng tõm ca tam giỏc ỏy
ng cao ca hỡnh chúp l AO ( AO

(BCD))
Li gii:
* ABCD l t din u cnh a
Gi M l trung im CD
Ta cú : AB=AC=AD = AC=CD=BD = a

BCD u cnh a, tõm O

AO

(BCD)
*

BCD u cnh a

BM =
3
2
a


2 2 3 3
BO= . .
3 3 2 3
= =
a a
BM


2
BCD
. 3
S
4

=

a
*

AOB vuụng ti O cú
( )
2
2
2 2
3 6
3 3

= = =
ữ
ữ

a a
AO AB BO a
* Th tớch khi chúp S.ABC
2 3
1 1 3 6 . 2
. . . .
3 3 4 3 12
= = =
ABCD BCD
a a a
V S AO
Baứi Toaựn 1.10:
Cho lng tr ng ABC.A
/
B

/
C
/
cú ỏy ABC l tam giỏc vuụng ti B, AB=a,
AC=a
3
, cnh A
/
B = 2a. Tớnh th tớch khi lng tr
Gii
* Tam giỏc ABC vuụng ti B

BC =
2 2
2AC AB a =


2
1 2
.
2 2
ABC
a
S AB BC= =
* Tam giỏc A
/
AB vuụng ti A


/ / 2 2

3A A A B AB a= =
*
= =
/ / /
3
/
.
6
.
2
ABC
ABC A B C
a
V S A A
Taứi lieọu lửu haứnh noọi boọ 9 Lửu Tuaỏn Hieọp
A
C
D
B
M
O
2a
a 3
a
B
/
C
/
A
/

A C
B
Dạng 2. THỂ TÍCH KHỐI CHÓP- KHỐI LĂNG TRỤ
LIÊN QUAN ĐẾN GÓC
Trong chương trình Toán phổ thông , Hình học Không gian được phân phối học ở
cuối năm lớp 11 và đầu năm lớp 12, kiến thức về góc ( góc giữa đường thẳng và mặt
phẳng ; góc giữa hai mặt phẳng) được học vào cuối năm lớp 11 và đến đầu năm lớp 12
sẽ được vận dùng vào bài toán tính thể tích của khối chóp, khối lăng trụ. Đó là một vấn
đề rất khó đối với học sinh lớp 12 khi vận dụng vì đa số học sinh quên và không biết
cách vận dụng, từ đó đa số học sinh đều bỏ hoặc làm sai bài toán tính thể tích của khối
chóp , khối lăng trụ trong các kỳ thi học kỳ, thi Tốt nghiệp THPT
Ở đây, tôi hệ thống lại một số sai lầm mà học sinh thường gặp khi giải bài toán
tính thể tích liên quan đến giả thuyết về góc
Góc
Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng
A
C
B
S
Xác đònh Góc giữa SB và (ABC)
Ta có :
( )
SB
ABC
AB hc=

⇒

·
·

·
( ,( )) ( , )SB ABC SB AB SBA= =
Góc giữa hai mặt phẳng
A
C
B
S
M
O
Xác đònh góc giữa (SBC) và
(ABC)
Ta có : (SBC)
∩
(ABC) = BC
SM
⊥
BC
AM
⊥
BC

⇒

·
·
·
(( ),( )) ( , )SBC ABC SM AM SMA= =
Chú ý : Xác đònh hai đường thẳng
nằm trong hai mặt phẳng và
cùng vuông góc với giao

tuyến tại một điểm
Tài liệu lưu hành nội bộ 10 Lưu Tuấn Hiệp