xu ly so tin hieu

2.3 các phương pháp tìm biến đổi z ngược
Tìm biến đổi Z ngược để xác định dãy x(n) bằng cách tính trực tiếp tích phân [2.1-25] thường rất phức tạp, vì thế
người ta xây dựng các phương pháp gián tiếp sau để tìm biến đổi Z ngược :
- Phương pháp thặng dư.
- Phương pháp khai triển X(z) thành chuỗi lũy thừa.
- Phương pháp phân tích X(z) thành tổng các phân thức đơn giản.
2.3.1 Phương pháp thặng dư
Trong lý thuyết hàm biến số phức, phương pháp thặng dư dùng để tính tích phân :
∫
C
dzz
j
Q
)(
1
2
π
[2.3-1]
Tích phân [2.3-1] được lấy theo chiều dương trên đường cong khép kín C bao quanh gốc tọa độ và nằm trong miền
hội tụ của hàm Q(z).
Nếu Q(z) có một cực bội bậc q tại
p
zz
=
thì có thể phân tích Q(z) thành :
q
p
zz
z
z
N

Q
)(
)(
)(
−
=
Trong đó, các nghiệm của phương trình
0
)(
=
z
N
phải khác cực bội
p
z
.
Khi đó tích phân [2.3-1] sẽ có dạng :
p
C
q
p
C
sdz
zz
z
j
dzz
j
N
Q

Re
)(
)(1
)(
1
22
=
−
=
∫∫
ππ
Với
p
sRe
được gọi là thặng dư của hàm Q(z) và được tính theo biểu thức :
p
q
q
p
zz
dz
zd
q
s
N
=
−
−
−
=

)1(
)1(
)(
)!(
Re
1
1
[2.3-2]
Trong trường hợp riêng, nếu
p
z
là nghiệm đơn thì
1
=
k
nên :

)()(Re
p
p
p
z
zz
zs
NN
=
=
=
[2.3-3]
Để tìm biến đổi Z ngược theo tích phân [2.1-25], áp dụng phương pháp thặng dư cho hàm

)1(
).()(
−
=
n
zzz
XQ
. Giả sử Q(z) có m cực bội bậc
i
q
thì có thể phân tích Q(z) thành tổng :

∑
=
−
−
==
m
i
q
pi
i
n
i
zz
z
zzz
N
XQ
1

)1(
)(
)(
).()(
Khi đó, biểu thức biến đổi Z ngược [2.1-25] được đưa về dạng :
∫
∑
∫
=
−
−
==
C
m
i
q
pi
i
C
n
dz
zz
z
j
dzzz
j
nx
i
N
X

1
)1(
)(
)(
1
)(
1
)(
22
ππ
[2.3-4]
Vì đường cong khép kín C nằm trong miền hội tụ của hàm
)1(
).(
−
n
zzX
nên tích phân ở vế phải của [2.3-4] có
thể lấy trên từng số
hạng của chuỗi, vì thế có thể đổi vị trí của dấu tổng và dấu tích phân :
∑∑
∫∫
==
−
=
−
==
m
i
pi

m
i
C
q
pi
i
C
n
sdz
zz
z
j
dzzz
j
nx
i
N
X
11
)1(
Re
)(
)(
)()(
2
1
2
1
ππ
Vậy :

∑
∫
=
−
==
m
i
pi
C
n
sdzzz
j
nx
X
1
)1(
Re)(
1
)(
2
π
[2.3-5]
Các thặng dư
pi
sRe
ứng với các cực
pi
z
của
)1(

).(
−
n
zz
X
.
pi
sRe
của cực đơn tính theo [2.3-3] ,
pi
sRe
của
cực bội bậc q tính theo [2.3-2].
Ví dụ 2.15 : Hãy tìm






−
==
)(
)]([)(
az
z
zIZTnx
X
với
||||:)](

[
azz
XRC
>
Giải : Có
)()(
.
).(
)1(
)1(
az
z
az
zz
zz
nn
n
X
−
=
−
=
−
−
.
Với
0
≥
n
, hàm

)(
).(
)1(
az
z
zz
n
n
X
−
=
−
có một cực đơn
az
p
=
và
n
zz
N
=
)(
. Từ biểu thức thặng dư [2.3-3] ,
với
0
≥
n
tìm được :
n
p

aas
N
==
)(Re
84
Theo [2.3-5] thì :
0
Re)(
≥==
nkhiasnx
n
p
Vì
||||:)](
[
azz
XRC
>
nên
)(nx
là dãy nhân quả, do đó kết quả là :
)(
)(
)( nua
az
z
IZTnx
n
=







−
=
Ví dụ 2.16 : Cho
22
ba
<
, hãy tìm dãy x(n) của hàm ảnh :
).(
)(
22
2
bzaz
z
z
X
++
=
với
||||:)](
[
bzz
XRC
>
Giải : Ta có
).(

).(
22
)1(
2
bzaz
z
zz
n
n
X
++
=
−
. Với
0
≥
n
, hàm
)1(
).(
−
n
zzX
có hai điểm cực là nghiệm của
phương trình :
02
22
.
=++
bzaz

Vì
0
2222
<−=∆
′
⇒<
baba
, nên phương trình trên có hai nghiệm là cặp số phức liên hợp :
p
j
ppp
ezabjazz
ϕ
.||)(
22
1
=−+−==

và :
p
j
ppp
ezabjazz
ϕ
−
=−−−==
.||)(
22*
2
Với :

babaz
p
=−+=
)(||
222
và








−
−=
a
ab
arctg
p
)(
22
ϕ
[2.3-6]
Theo các cực điểm
p
z
và
*
p

z
có thể phân tích
)1(
).(
−
n
zzX
thành :
))((
).(
*
)1(
pp
n
n
zzzz
z
zz
X
−−
=
−
Với cực
p
z
có
)(
)(
*
1

p
n
zz
z
z
N
−
=
, theo biểu thức thặng dư [2.3-3] tìm được :
( )






−−−−






−+−
=
−
==
)()(
.||
)(

)(
)(Re
2222
*
11
abjaabja
ez
zz
z
zs
n
j
p
pp
n
p
pp
p
N
ϕ
Vậy :
)(
.
Re
22
1
2
abj
eb
s

p
jn
n
p
−
=
ϕ
Với cực
*
p
z
có
)(
)(
2
p
n
zz
z
z
N
−
=
, theo biểu thức thặng dư [2.3-3] tìm được :
( )







−−−−






−+−
=
−
==
−
)()(
.||
)(
)(
)(Re
2222
*
*
*
22
abjaabja
ez
zz
z
zs
n
j

p
pp
n
p
pp
p
N
ϕ
Vậy :
)(
.
Re
22
2
2
abj
eb
s
p
jn
n
p
−
=
−
−
ϕ
Theo [2.3-5] thì :
)(
.

)(
.
ReRe)(
2222
21
22
abj
eb
abj
eb
ssnx
p
p
jn
n
jn
n
pp
−
−
−
=+=
−
ϕ
ϕ
)(
).sin(.
)(
)(
2222

2
ab
nb
j
ee
ab
b
nx
p
n
jnjn
n
pp
−
=








−
−
=
−
ϕ
ϕϕ
Vì

||||:)](
[
bzz
XRC
>
nên x(n) phải là dãy nhân quả, do đó kết quả là :



















−
−
−
=







++
a
ab
arctgn
ab
nub
bzaz
z
IZT
n
)(
.sin.
)(
)(
).(
22
22
22
2
[2.3-7]
Trong đó
22
ba
<
, góc pha ϕ

p
được tính theo [2.3-6] và
||||:)](
[
bzz
XRC
>
2.3.2 Phương pháp khai triển X(z) thành chuỗi lũy thừa
Vì X(z) là hàm giải tích của z, nên trong miền hội tụ của nó, có thể khai triển X(z) thành chuỗi lũy thừa của
n
z
−
theo dạng :
∑
∞
−∞=
−
=
n
n
n
zaz
X
.)(
[2.3-8]
Mặt khác, theo định nghĩa của biến đổi Z có :
85
∑
∞
−∞=

−
=
n
n
znxz
X
).()(
[2.3-9]
Trong miền hội tụ của X(z), cả hai chuỗi trên đều hội tụ nên khi đồng nhất các hệ số của hai chuỗi [2.3-8] và [2.3-
9], tìm được dãy :
n
anx
=
)(
[2.3-10]
Vậy khi khai triển X(z) thành chuỗi luỹ thừa [2.3-8], sẽ tìm được dãy x(n) theo các hệ số của chuỗi.
Ví dụ 2.17 : Hãy tìm dãy x(n) của hàm ảnh
)(
)(
az
z
z
X
+
=
a. Với
||||:)](
[
azz
XRC

>
b. Với
||||:)](
[
azz
XRC
<
Giải : a. Chia cả tử số và mẫu số cho z nhận được :
).(
)(
)(
1
1
1
−
+
=
+
=
za
az
z
z
X
Vì
||||:)](
[
azz
XRC
>

nên
)(nx
là dãy nhân quả, do đó hàm ảnh phải là chuỗi lũy thừa của
n
z
−
. Để khai triển
X(z) thành chuỗi lũy thừa của
n
z
−
, chia tử số cho đa thức mẫu số (1 + az
-1
) :
1 | 1 + az
-1
_


1 + az
-1
1 - az
-1
+ a
2
z
-2
- a
3
z

-3
+ a
4
z
-4
- ......
- az
-1

- az
-1
- a
2
z
-2

+ a
2
z
-2
+ a
2
z
-2
+ a
3
z
-3

- a

3
z
-3
- a
3
z
-3
- a
4
z
-4

+ a
4
z
-4
...................
Một cách tổng quát nhận được :
n
n
n
zaz
X
−
∞
=
∑
−=
0
)()(

Theo [2.3-10] nhận được :
)()()( nuanx
n
−=
với
||||:)](
[
azz
XRC
>
b. Với
||||:)](
[
azz
XRC
<
thì x(n) là dãy phản nhân quả, nên hàm ảnh phải là chuỗi luỹ thừa của
n
z
. Để
khai triển X(z) thành chuỗi luỹ thừa của
n
z
, chia tử số cho đa thức mẫu số (az
-1
+ 1) :
1 | az
-1
+ 1 _

1 + a
-1
z a
-1
z - a
-2
z
2
+ a
-3
z
3
- a
-4
z
4
+ ......
- a
-1
z
- a
-1
z - a
-2
z
2

+ a
-2

z
2
+ a
-2
z
2
+ a
-3
z
3

- a
-3
z
3
- a
-3
z
3
- a
-4
z
4

+ a
-4
z
4
...................
Một cách tổng quát nhận được :

m
m
m
zaz
X
∑
∞
=
−
−−=
1
)()(
Để đưa chuỗi về dạng [2.3-8] , đổi biến đặt n = (- m + 1) ⇒ m = (- n + 1) ,
khi m = 1 thì n = 0 và khi m = ∞ thì n = - ∞ :

n
n
nn
n
n
zazzaz
X
−
−∞
=
−+−
−∞
=
−
∑∑

−−=−−=
0
)1()1(
0
)1(
)(.)()(
Theo [2.3-10] và tính chất trễ của biến đổi Z nhận được :
)()()(
1
)1(
+−−−=
−
nuanx
n
với
||||:)](
[
azz
XRC
<
Từ ví dụ 2.17 có các nhận xét sau :
- Cùng một hàm ảnh nhưng với hai miền hội tụ khác nhau sẽ nhận được hai hàm gốc khác nhau, điều đó có nghĩa
là quan hệ giữa hàm ảnh và hàm gốc của biến đổi Z hai phía chỉ là đơn trị khi ứng với một miền hội tụ xác định. Vì thế, để
tìm biến đổi Z ngược của biến đổi Z hai phía, cần phải biết miền hội tụ của hàm ảnh X(z).
- Trong ví dụ 2.17, chuỗi lũy thừa biến đổi có quy luật nên tìm được biểu thức của số hạng tổng quát
n
a
và biểu
thức của hàm gốc x(n). Trong đa số các trường hợp, khi chia đa thức để khai triển X(z) thành chuỗi lũy thừa, không thể
tìm được quy luật biến đổi của chuỗi lũy thừa, nên chỉ tìm được giá trị một số mẫu của hàm gốc x(n). Đó chính là nhược

điểm cơ bản của phương pháp khai triển X(z) thành chuỗi lũy thừa, và vì thế phương pháp này ít được sử dụng.
2.3.3 Phương pháp phân tích X(z) thành tổng các phân thức
86
Đây là phương pháp sử dụng bảng biến đổi Z cơ bản (bảng 2.3). Để tìm dãy x(n) của các hàm X(z) phức tạp, chỉ
cần phân tích X(z) thành tổng của các hàm ảnh có trong bảng biến đổi Z , và áp dụng tính chất tuyến tính tìm được hàm
gốc bằng tổng của các hàm gốc thành phần.
Trong đa số trường hợp, có thể đưa hàm X(z) về dạng [2.1-20] :
)...(
)...(
)(
)(
)(
1
1
1
1
1
10
)(
.
.
NN
NN
MN
MM
MM
azazaz
zbzbzbzb
z
z

z
A
D
B
AX
++++
++++
==
−
−
−
−
−
[2.3-10]
Trong đó A là hằng số và đa thức ở mẫu số D(z) có a
0
= 1 được gọi là đa thức đặc trưng của hàm X(z). Phương
trình đặc trưng D(z) = 0 có N nghiệm z
pk
, chúng là các cực điểm của hàm X(z).
Nếu hàm X(z) [2.3-10] có bậc của đa thức ở mẫu D(z) lớn hơn bậc của đa thức ở tử B(z), tức là N > M thì nó được
gọi là hàm X(z) dạng chính tắc. Trong trường hợp hàm X(z) [2.3-10] có N ≤ M thì nó là hàm dạng không chính tắc. Khi đó,
bằng cách chia đa thức ở tử cho đa thức ở mẫu hoặc bằng biến đổi toán học, sẽ nhận được hàm X(z) dạng :
)()(
0
.
)(
)(
)(.
zzcz

XA
zD
zN
zCAX
NM
r
r
r
′
+
+=






=
∑
−
=
−
Trong đó X’(z) là hàm dạng chính tắc. Vì C(z) là đa thức lũy thừa của z, nên có thể dễ dàng tìm được biến đổi Z
ngược của nó :
∑
−
=
−==
NM
r

r
rnczIZTnc
ACA
0
)()]([)(
..
δ
Vì vậy, trong mọi trường hợp chỉ cần nghiên cứu phương pháp tìm biến đổi Z ngược của hàm X(z) [2.3-10] dạng
chính tắc. Có thể biểu diễn hàm X(z) chính tắc [2.3-10] qua các cực điểm z
pk
:
))....()((
)....(
)(
)(
)(
21
2
2
1
10
)(
.
.
N
MN
M
M
ppp
zzzzzz

zbzbzbzb
z
z
z
A
D
B
AX
−−−
++++
==
−
[2.3-11]
Các cực điểm z
pk
của hàm X(z) [2.3-10] và [2.3-11] có thể là các cực đơn (cực có giá trị khác nhau), hoặc các cực
bội bậc q (q cực có giá trị giống nhau), hơn nữa z
pk
có thể là các số thực hoặc số phức. Trước hết chúng ta nghiên cứu
trường hợp X(z) có nghiệm đơn giản.
2.3.3a Trường hợp hàm X(z) chỉ có các cực đơn là số thực
Khi X(z) là hàm [2.3-10] hoặc [2.3-11] dạng chính tắc và có N cực đơn z
pk
là số thực (N cực thực đơn), thì có thể
phân tích X(z) thành tổng của các phân thức đơn giản dạng :

)(
...
)()()()(
)(

)(
2
2
1
1
1
.
N
N
N
ppp
k
pk
k
zzzzzzzzz
z
z
B
BB
B
D
B
AX
−
++
−
+
−
=
−

==
∑
=
[2.3-12]
Để xác định hệ số
k
B
, nhân cả hai vế của [2.3-12] với (z - z
pk
) :
)(
)(
......
)(
)(
)(
)(
))((
2
2
1
1
N
N
p
pk
k
p
pk
p

pk
pk
zz
zz
zz
zz
zz
zz
zzz
B
B
BB
X
−
−
++++
−
−
+
−
−
=−
Tại z = z
pk
thì trừ
k
B
, còn tất cả các số hạng khác ở vế phải của biểu thức trên đều bằng không, do đó có :

[ ]

pk
pkk
zz
zzz
XB
=
−=
))((
[2.3-13]
Lấy biến đổi Z ngược hàm X(z) [2.3-13] , tìm được dãy x(n) :








−
=








−
==

−
==
∑∑
)(
.
)(
)]([)(
1
11
pk
k
k
k
pk
k
zz
z
zIZT
zz
IZTzIZTnx
NN
B
B
X
Theo tính chất trễ và [2.1-18], với
]max[||:)]([
pk
zzzXRC
>
, nhận được :

∑
=
−
−=
N
k
n
pk
k
nuznx
B
1
)1(
)(..)(
1
[2.3-14]
Dãy [2.3-14] có dạng trễ, để nhận được các dãy x(n) không ở dạng trễ như trên, chia cả hai vế của [2.3-10] cho z và
phân tích hàm :
∑
=
−
==
N
k
pk
k
zzzz
z
z
z

B
D
B
A
X
0
)()(
)()(
.
.
[2.3-15]
Chỉ số k chạy từ 0, do z.D(z) = 0 có thêm một nghiệm z
p0
= 0 (hoặc B(z) = 0 giảm một nghiệm tại z
01
= 0 ). Từ [2.3-
15] nhận được :
87

∑
=
−
=
N
k
pk
k
zz
z
z

BX
0
)(
)(
[2.3-16]
Trong đó, các hệ số
k
B
được xác định theo biểu thức :
pk
pkk
zz
zz
z
z
X
B
=






−=
)(
)(
[2.3-17]
Lấy biến đổi Z ngược hàm X(z) [2.3-16] , tìm được dãy x(n) :









−
==
∑
=
N
k
pk
k
zz
z
IZTzIZTnx
BX
0
)(
)]([)(
Theo [2.1-18] hoặc bảng 2.3, với
]max[||:)]([
pk
zzzXRC
>
, nhận được :
∑
=

==
N
k
n
pkk
nuzzIZTnx
BX
0
)(..)]([)(
[2.3-18]
Ví dụ 2.18 : Hãy tìm hàm gốc nhân quả của
)(
)(
)(
682
5
2
+−
+
=
zz
z
z
X
Giải : Hàm X(z) là phân thức dạng chính tắc. Vì đa thức đặc trưng có
12
0
≠=
a
nên phải nhóm thừa số 2 ra ngoài. Để

nhận được hàm gốc x(n) dạng không trễ, phân tích hàm :
)()())((
)(
)(
)()(
31312
5
342
5
21
0
2
−
+
−
+=
−−
+
=
+−
+
=
zzzzzz
z
zzz
z
z
z
BB
B

X
Theo [2.3-17] xác định được các hệ số
0
B
,
1
B
, và
2
B
:
6
5
312
5
0
312
5
))(())((
)(
00
=
−−
=⇒
=







−−
+
=
BB
z
zzz
zz
2
3
4
6
311.2
51
1
312
15
).(
)(
))((
))((
11
−=
−
=
−
+
=⇒
=







−−
−+
=
BB
z
zzz
zz
88