ĐỀ TÀI: NHỮNG BÀI TOÁN CỰC TRỊ

Đặt vấn đề
Sau nhiều năm dạy toán học ở bậc trung học cơ sở, tôi nhận thấy khái niệm
cực trị không đợc xây dựng thành một hệ thống lý thuyết hoàn chỉnh mà chỉ hình
thành từng bớc cho học sinh qua một số bài tập trong sách giáo khoa. Nhng các
bài toán cực trị lại là một vấn đề thờng gặp trong các kỳ thi, các đợt kiểm tra hàng
năm. Do đó việc hình thành khái niệm cực trị một cách hệ thống cho học sinh và
việc giải quyết các baì toán này của học sinh còn gặp nhiều trở ngại. Xuất phát từ
những kinh nghiệm có đợc của bản thân qua thực tế giảng dạy, từ những kiến thức
mà tôi đã lĩnh hội đợc trong chơng trình đại học toán và sự tìm hiểu thêm các tài
liệu tham khảo, đặc biệt là sự hớng dẫn tận tình của các Thầy, Cô giáo. Tôi mạnh
dạn chọn đề tài : Những bài toán cực trị trong chơng trình Trung học cơ sở
làm đề tài điều kiện tốt nghiệp của mình.
Qua đề tài, tôi mong rằng bản thân mình sẽ tìm hiểu sâu hơn về vấn đề này,
tự phân loại đợc một số dạng toán về cực trị, nêu lên một số phơng pháp giải cho
từng dạng bài tập. Từ đó giúp học sinh có thể dễ dàng hơn trong việc nắm các
kiến thức về dạng toán này. Tôi hy vọng có thể giúp học sinh phát triển t duy sáng
tạo, khả năng phân tích, tổng hợp, khái quát hoá qua các bài tập góp phần nhỏ
nâng cao hiệu quả giờ học của học sinh.
Nội dung đề tài gồm 3 phần:
Phần I : Khái quát chung.
Phần II : Các bài toán cực trị trong đại số.
Phần III : Các bài toán cực trị trong hình học.
20
Phần I :
Khái quát chung
A/Mục đích yêu cầu:
1/ Đối với giáo viên:
- Xây dựng đợc cơ sở lý thuyết để giải bài toán cực trị.
- Tuyển chọn, phân loại đợc các dạng bài tập cơ bản và nêu lên các phơng
pháp chính giải từng loại về bài toán cực trị.
- Dự đoán đợc các sai sót của học sinh, nêu đợc những điểm cần chú ý khi

giải các bài toán về cực trị.
2/ Đối với học sinh:
- Hiểu đợc bản chất của khái niệm cực trị và nắm đợc các bớc giải của bài
toán cực trị.
- Nhận dạng đợc từng loại bài toán cực trị, vận dụng sáng tạo các phơng
pháp giải toán cực trị vào từng bài cụ thể, từ dễ đến khó.
- Bớc đầu ứng dụng đợc các bài toán cực trị vào đời sống.
B. Lý thuyết chung:
Các bài toán cực trị có nguồn gốc từ rất xa xa trong lịch sử toán học. Nó bắt
nguồn từ hoạt động thực tiễn của con ngời, ngày nay các bài toán cực trị đợc
nghiên cứu rất nhiều và có ứng dụng rộng rãi trong đời sống và kỹ thuật. Chúng
góp phần hình thành nên các ngành của toán học nh quy hoạch tuyến tính, lý
thuyết điều khiển tối u.
Trong bài viết này, tôi chỉ đề cập đến những bài toán cực trị giải không
dùng phơng pháp đạo hàm.
Xét hàm số n biến: F (x,y,z...) liên tục trên miền đóng D

R
n

Nếu F(x,y,z...)

A với mọi (x,y,z)

D = const
Đồng thời

(x
0
,y

0
,z
0
...) sao cho F(x
0
,y
0
,z
0
...) = A, thì A gọi là giá trị lớn nhất
của F (x
0
,y
0
,z
0
...) trên D. Ký hiệu max F (x
0
,y
0
,z
0
...) = A
Tơng tự, nếu F (x
0
,y
0
,z
0
...)

A (a = const)

(x,y,z...)

D
Và

(x
0
,y
0
,z
0
...)

D sao cho F (x
0
,y
0
,z
0
...) = a
Thì a là giá trị nhỏ nhất của F (x,y,z...) trên D
Ký hiệu: min F (x,y,z...) = a
Trong chơng trình Trung học cơ sở, thông thờng n =
3;1
. Nh vậy để giải
một bài toán cực trị, thông thờng ta tiến hành theo 2 bớc:
Bớc 1: Chỉ rõ F (x,y,z...)

a (hoặc

A)
(Với A; a là hằng số)

(x,y,z...)

D
Bớc 2: Chỉ ra đợc (x
0
,y
0
,z
0
...)

D sao cho F (x
0
,y
0
,z
0
...) = a (hoặc = A)
Phần II
20
một số bài toán cực trị trong đại số
I/ Cực trị của hàm đa thức một biến:
1.1- Phơng pháp:
Đa về dạng: f (x) = k

g
2
(x) (k = const)
Nếu f (x) = k + g
2
(x) thì min f (x) = k

g (x) = 0
Nếu f (x) = k - g
2
(x) thì max f (x) = k

g (x) = 0
Ví dụ 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:
A = (x+2)
2
+ (x-1)
2

Giải: Ta có: (x+2)
2


0 dấu =

x = - 2
(x-1)
2

0 dấu =

x = 1
Nên A > 0
Nhng không thể kết luận đợc min A = 0 vì không đồng thời xảy ra dấu đẳng
thức.
Do vậy ta phải giải nh sau:
A = (x+2)
2
+ (x-1)
2
= x
2
+ 4x + 4 + x
2
- 2x + 1
= 2x
2
+ 2x + 5 = 2 ( x
2
+x +
2
5
)
= 2 (x
2
+ 2x
2
1

+
4
1
) +
4
9
= 2 (x +
2
1
)
2
+
2
9
Do đó min A =
2
9
khi x = -
2
1
Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau:
B = - ( x-1) (x + 2 ) (x + 3) (x + 6)
Giải: Ta có: B = - ( x
2
+ 5x - 6) (x
2
+ 5x + 6)
Đặt: x
2
+ 5x = t

Ta có: B = - (t- 6) (t+6) = - (t
2
-36)
B = 36 - t
2


36
x = 0
Vậy B = 36 khi x
2
+ 5x = 0


x = -5

x= 0
Do đó: max B = 36 Khi


x = -5
1.2- Một số nhận xét:
- Dựa vào tính biến thiên của hàm số là tam thức bậc hai, ta có kết quả mỗi
tam thức bậc hai đều có một cực trị (hoặc giá trị lớn nhất, hoặc giá trị nhỏ nhất ).
- Trong bài toán cực trị, ta có thể đổi biến. Cụ thể nh ví dụ 1 ta có thể dặt
y = x + 2 kho đó A = ( y-1)
2
+ ( y-1)
2
1.3- Một số bài tập tơng tự:

Bài 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:
A = x
4
- 6x
3
+ 10x
2
- 6x + 9
B = x
4
- 2x
3
+ 3x
2
- 2x + 1
C = (x+1)
2
+ ( x+3)
2
D = x( x+1) ( x+2) ( x+3)
20
E = x
6
- 2x
3
+ x
2
- 2x + 2
Bài 2: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau:
A= 4x - x

2
+1
B = 5- 8x- x
2

C = -5x
2
- 4x + 1
D = 1- x- x
2

II/ Cực trị của hàm số đa thức nhiều biến số:
Ví dụ 3: Tìm giá trị nhỏ nhất của đa thức
P = 19x
2
+ 54y
2
+ 16z
2
- 16xz- 24yz + 36x + 5
Giải: P = (9x
2
+36xy+36y
2
)+(18y
2
- 24yz+8z
2
)+ (8x
2

-16xz+8z
2
)+2x
2
+ 5
= 9 (x + 2y)
2
+ 2 (3y- 2z)
2
+ 8 (x- y)
2
+ 2x
2
+ 5
Ta thấy P

5
Với x = y = z = 0 thì P = 5
Do đó P = 5 khi x = y = z = 0
Ví dụ 4: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
Q = 15- 10x- 10x
2
+ 24 xy- 16y
2
Giải: Q = - (x
2
+ 10x + 25) - (9x
2
- 24xy + 16y
2

) + 40
= 40- (x + 5)
2
- (3x- 4y)
2


40
x = -5
Vậy max Q = 40


y = -
4
15
Nhận xét:
+ Ta vận dụng kiến thức cho F = F
1
+ F
2
thì maxF = maxF
1
+ maxF
2
hay
(min F = min F
1
+ min F
2
)

Trong đó F
1
,F
2
là các biểu thức chứa biến đối lập với nhau hoặc có chứa
cùng một biến thì cùng đạt max (min) tại một bộ giá trị xác định của biến (Với đa
thức nhiều biến)
+ Trong quá trình giải ta có thể dùng cách đổi biến
Ví dụ 5: Tìm giá trị nhỏ nhất của M
M = a
2
- 4ab + 5b
2
+ 10a- 22b + 28
Giải:
Cách 1:
M = a
2
- 4ab + 5b
2
+ 10a- 22b + 28
= (a
2
- 4ab + 4b
2
) + (b
2
- 2b + 1) + 27 + 10a-20b
= (a- 2b)
2

+ (b- 1)
2
+ 27 + 10 (a- 2b)
Đặt a- 2b = t ta đợc
D = t
2
+ (b- 1)
2
+ 27 + 10t
= (t + 5)
2
+ (b- 1)
2
+ 2

2
t + 5 = 0 a- 2b + 5 = 0 a = -3
Dấu = xảy ra khi



b- 1 = 0 b = 1 b = 1
Vậy min M = 2

b = 1; a = -3
Cách 2: Đối với đa thức nhiều biến ta có thể chọn một biến làm biến chính rồi
thêm bớt cùng một hạng tử để trở thành hằng đẳng thức bình phơng một tổng
hoặc bình phơng một hiệu
(a
1

+ a
2
+.....+ a
n
)
2
= a
1
2
+ a
2
2
+...+ a
n
2
+ 2a
1
a
2
+ ...+ 2a
n-1
a
n
+ 2a
n
a
1
20

M = a
2
- 4ab + 5b
2
+ 10a- 22b + 28
= ( a
2
+ 4b
2
+ 25- 4ab + 10a- 20b) + (b
2
- 2b + 1) + 2
= (a- 2b + 5)
2
+ (b-1)
2
+ 2
Vì (a- 2b +5 )
2


0 ; (b-1)
2


0

a,b

R

(b-1)
2
= 0 b = 1


M

2

min M = 2




(a- 2b + 5)
2
= 0 a = - 3
áp dụng phơng pháp này ta có thể làm cho ví dụ 3 và ví dụ 4.
Ví dụ 6: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
A = ax
2
+ by
2
+ cx + dy + e (a,b,c,d,e = const ; a,b > 0)
= a(x
2
+
a
c

2
2
x +
2
2
4a
c
) + b(y
2
+
b
d
2
2
y +
2
2
4b
d
)-
a
c
4
2
-
b
d
4
2
+ e

= a(x +
a
c
2
)
2
+ b (y +
b
d
2
)
2
+
ab
abeadbc
4
4
22
+
Vì a,b > 0 ; (x +
a
c
2
)
2


0; (y +
b
d

2
)
2


0

x,y

R


A


ab
abeadbc
4
4
22
+


Amin =
ab
abeadbc
4
4
22
+

x +
a
c
2
= 0 x =
a
c
2






y +
b
d
2
= 0 y =
b
d
2

Ví dụ 7: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
N = (x- 2y + 1)
2
+ (2x + ay + 5)
2
(a là hằng số)

Giải: Ta có N

0
(x- 2y + 1)
2
= 0

Dấu đẳng thức xảy ra

(Có nghiệm)
(2x + ay + 5)
2
= 0

x- 2y + 1


Có nghiệm


2

a

1
2


a -4
2x + ay + 5 = 0

Nếu a = - 4 ta có M = (x- 2y + 1)
2
+ (2x- 4y + 5)
2

2
= (x- 2y + 1)
2
+ 2(x- 2y + 1) + 3

= (x- 2y + 1)
2
+ 4 (x- 2y + 1)
2
+ 12 (x- 2y + 1) + 9

20
= 5 (x- 2y + 1)
2
+
5
12
(x- 2y + 1) +
25
36
+
5
9

2

= 5 (x- 2y + 1) +
5
6
+
5
9
2
= 5 x- 2y +
5
11
+
5
9



5
9
Dấu đẳng thức xảy ra

x- 2y +
5
11
= 0


M
min
= 0

x- 2y +
5
11
0
Bài tập t ơng tự:
Bài 3: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau:
A = 1- 4x- 5x
2
B = xy- x
2
- y
2
+ 4x+ 5
C = x
2
+ y
2
- 6x- 2y + 17
Bài 4: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:
A = 5x
2
- 12xy + 9y
2
- 4x + 4
B = x
2
+ xy + y
2
- 3x- 3y + 2003
C = 10x

2
+ 12xy + 4y
2
+ 6x + 7
D = 2x
2
+ 9y
2
- 6xy- 6x- 12y + 2004
E = x
2
- 2xy + 6y
2
- 12x + 12y + 45
F = (x+2y)
2
+ (x- 4)
2
+ (y- 1)
2
- 27
G = x
4
- 8xy- x
3
y + x
2
y
2
- xy

3
+ y
4
+ 2001
H = (x-y)
2
+ (x+1)
2
+ (y- 5)
2
+ 2006
I = x
2
+ 2y
2
+ 3z
2
- 2xy + 2xz- 2x- 2y- 8z + 2000
III/ Cực trị của phân thức đại số:
3.1- Một số kiến thức cần lu ý:
Cho P =
A
m
với A > 0 :
- Nếu m = 0

P = 0
- Nếu m > 0
max P =
Amin

1
; min P =
Amax
1
- Nếu m < 0 ta có max P =
Amax
1
; min P =
Pmin
1
Bằng cách áp dụng các tính chất trên, ta có thể đa bài toán tìm cực trị của
phân thức về bài toán cực trị của đa thức.
3.2- Các ví dụ:
Ví dụ 6: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
M =
544
3
2
+
xx
Giải: M =
544
3
2
+
xx
=
4)12(
3
2

+
x
Ta thấy: (2x- 1)
2


0 nên (2x- 1)
2
+ 4

4
Do đó
4)12(
3
2
+
x



4
3
(Theo quy tắc so sánh hai phân thức cùng tử, tử
20
mẫu đều dơng)
Vậy maxM =
4
3
với x =
2

1
Chú ý: Sẽ không chính xác nếu lập luận rằng M có tử là hằng số nên M lớn nhất
khi mẫu nhỏ nhất.
Lập luận trên có thể dẫn đến sai lầm, chẳng hạn với phân thức
3
1
2

x
Mẫu thức x
2
- 3 có giá trị lớn nhất là (-3) khi x = 0
Nhng với x= 0 thì:
3
1
2

x
=
3
1

không phải là giá trị lớn nhất của
phân thức
(Chẳng hạn với x = 2 thì
3
1
2

x

= 1 >
3
1

)
Từ a < b chỉ suy ra
a
1
>
b
1
khi a,b cùng dấu
Ví dụ 7: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:
N =
54
662
2
2
++
++
xx
xx
Giải: N =
54
662
2
2
++
++
xx

xx
=
54
1254
2
22
++
+++++
xx
xxxx
(x + 1)
2


0

x
= 1 +
1)2(
)1(
2
2
++
+
x
x


0

x vì
(x+2)
2
+ 1 > 0

x
Dấu = xảy ra

x = -1 vậy min N = 1

x = -1
Ví dụ 8: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:
P =
12
1
2
2
+
+
xx
xx

Giải: P =
12
1
2
2
+
+
xx

xx
=
2
2
)1(
1112

+++
x
xxx
= 1 +
1
1

x
+
2
)1(
1

x
Đặt
1
1

x
= A ta có P = 1 +A + A
2
P = A
2

+ A + 1 = A
2
+ 2A
2
1
+
4
1
+
4
3
= (A +
2
1
)
2
+
4
3



4
3
P =
4
3
khi A = -
2
1

hay x = -1
Vậy min P =
4
3


x = -1
3.3- Nhận xét:
ở ví dụ 6: Phân thức có tử là hằng số, nên bài toán đa về tìm cực trị của đa
thức ở mẫu.
Trong ví dụ 7, ví dụ 8: ta đã chia tử cho mẫu vì bậc của tử và mẫu bằng
nhau. Trong ví dụ 8 là trờng hợp mẫu là bình phơng của nhị thức ta có thể đổi
biến.
3.4- Một số bài tập tơng tự:
20
Bài tập 5: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:
A =
2
956
2
xx

B =
2
2
)1(
1
+
++
x

xx

C =
1
1
2
2
+
+
xx
x
Bài tập 6: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau:
D =
544
3
2
+
x
E =
2
)1(
+
x
x
G =
2
12
2
+
+

x
x
IV/ Cực trị của hàm chứa dấu giá trị tuyệt đối:
4.1- Kiến thức cần thiết:
a, f (x) = f (x) nếu f (x)

0
f (x) = - f (x) nếu f (x)

0
b, f (x) + g (x)

f (x) + g (x) dấu = xảy ra

f (x). g (x)

0
c, f (x) - g (x)

f (x) - g (x) dấu = xảy ra

f (x). g (x)

0
f (x)

g (x)
max f (x) = A
d, Giả sử ta có
min f(x) = a với f (x) xét trên đoạn (a

1
,b
1
)
Nếu f (x)

0 ta có: max f (x) = max f (x) = A trên đoạn (a
1
,b
1
)
min f (x) = min f (x) = a trên đoạn (a
1
,b
1
)
Nếu max f (x)

0 còn min f (x)

0 trên đoạn (a
1
,b
1
)
Ta có: max f (x) = max (A; a )
min f (x) = 0
Nếu f (x) < 0 ta có: max f (x) = - min f (x) trên đoạn (a
1
,b

1
)
min f (x) = - max f (x) trên đoạn (a
1
,b
1
)
Chứng minh:
a, Luôn đúng theo định nghĩa
b, Với mọi f (x), g (x) ta luôn có
- f (x)

f (x)

f (x)
- g (x)

g (x)

g (x)
Cộng từng vế hai bất đẳng thức kép ta có
- (f (x) + g (x))

f (x) + g (x)

f (x) + g (x)


f (x) + g (x)

f (x) + g (x)
Dấu đẳng thức xảy ra

f (x) và g (x) cùng dấu

f (x).g (x)

0


f (x) = (f (x) - g (x)) + g (x)

f (x) -g (x) + g (x)


f (x) -g (x)

f (x) - g (x)
Dấu đẳng thức xảy ra

f (x) . g (x)

0
d, Việc chứng minh câu d là hiển nhiên
20
Nhận xét: Việc chứng minh câu b,c có thể bình phơng hai vế
( Xét các trờng hợp có thể xảy ra)
Ví dụ: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
A = x +1 + 2x + 5 + 3x- 8
Nhận xét: Từ bất đẳng thức f (x) + g (x)

f (x) + g (x)
Ta mở rộng đợc: f (x) + g (x) + ...+ h(x)

f (x) + g (x) +...+ h(x)
Dấu đẳng thức xảy ra

f (x), g (x),..., h(x) cùng dấu.
(Việc chứng minh đơn giản)
Giải: A = x +1 + 2x + 5 + 18-3x
áp dụng bất đẳng thức trên ta có:
A

x +1 + 2x + 5 + 18-3x = 24 = 24
Dấu đẳng thức xảy ra

x +1, 2x + 5, 18-3x cùng dấu


- 1

x

6
4.2- Các ví dụ:
Ví dụ 9: Tìm giá trị nhỏ nót của biểu thức sau:
A = x-1996 + x- 2000
Giải:
Cách 1: Chia khoảng để xét.
Nếu x < 1996: A = -x + 1996- x + 2000 = 3996- 2x

Do x < 1996

2x < 3993; -2x > -3992
A = 3996- 2x > 3996- 3992 = 4

A> 4 (1)
Nếu 1996

x

2000: A = x- 1996 + 2000- x = 4 (2)
Nếu x > 2000 thì A = x- 1996 + x- 2000 = 2x- 3996
x > 2000

2x > 4000

2x- 3996 > 4000- 3996


A > 4 (3)
Từ (1), (2), (3)

min A = 4

1996

x

2000
Cách 2: áp dụng bất đẳng thức

x + y

x +y dấu = xảy ra khi xy

0
Ta có: A = x- 1996 + x- 2000
= x- 1996 + x- 2000
= x- 1996 + 2000- x

x- 1996- x +2000 = 4
Vậy A

4

(x- 19996) (2000- x)

0

Lập bảng xét dấu:
x 1996 2000
x- 1996
- 0 + +
2000- x
+ + 0 -
(x-1996) (2000- x) - 0 + 0 -
(x- 1996) (2000- x)

0

1996

x

2000
Vậy min A = 4

1996

x

2000
20
Ví dụ 10: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:
B = x- x
2
-
4
3
-2
Giải: Ta có B đạt giá trị nhỏ nhất x- x
2
-
4
3
đạt giá trị nhỏ nhất
Đặt f(x) = x- x
2
-
4
3

ta có f(x) < 0

x
R/

f(x) = - (x
2
- x +
4
1
+
2
1
= - (x-
2
1
)
2
-
2
1


-
2
1
Dấu = xảy ra

x =
2

1
vậy max f(x) =
2
1


x =
2
1
Theo ý (d) vì max f(x) = -
2
1


x =
2
1
min f(x) =
2
1
khi x =
2
1
min B =
2
1
- 2 = -
2
3
khi x =

2
1
4.3- Bài tập ứng dụng:
Bài tập 7: Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất (nếu có) của các biểu thức sau:
A = 2x- 3
B = 5- 3x + 2
C = 5 1- 4x - 1
D = x -1 + x- 4
E = 5- 2x -1
H =
32
1
+
x
I = x- 1 + x- 3 + x- 6
K = x- 1 + x + 2 + x + 3 + x + 15 + x- 16
L = x- a
1
+ x- a
2
+ ... + x- a
2m - 1

Trong đó a
1
, a
2
,..., a
2m 1
cho trớc

V/ Cực trị của hàm căn thức:
5.1- Kiến thức cần thiết: P(x,y)

a

(x,y)

D

a,
),( yxP
Min
D
=
a
( a = const, a

0 )




(x
0
,y
0
)

D, P(x
0

,y
0
) = a



P(x,y)

A

(x,y)

D
b,
),( yxp
Max
D
= A (A = const, A

0 )




(x
0
,y
0
)

D, P(x
0
,y
0
) = A
20
c, Nếu P(x,y) > 0 muốn tìm min, max của P(x,y) ta tìm min, max của P(x,y)
2
5.2- Các ví dụ:
Ví dụ 11: (Đa về hàm giá trị tuyệt đối)
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:
P =
44
2
+
xx
+
4
1
2
+
xx
Giải: Tập xác định R
P =
2
)2(

x
+
2

)
2
1
1(

= x- 2+ x -
2
1

= x- 2+
2
1
- x = x- 2 +
2
1
- x = -
2
3
=
2
3
Dấu = xảy ra

(x- 2) (
2
1
- x)

0

2
1


x

2
Vậy min P =
2
3



2
1


x

2
Ví dụ 12: (áp dụng bất đẳng thức Cauchy)
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
B =
2

x
+
x

4
x - 2

0


2

x

4 (*)
Giải: Điều kiện để B xác định
4- x

0
Với điều kiện (*) B

0 bình phơng 2 vế đợc
B
2
= x- 2 + 4 - x + 2
)4)(2( xx

= 2 + 2
)4)(2( xx

áp dụng bất đẳng thức Cauchy với 2 số không âm (x-2) và (4-x) ta có
2 = (x-2) + (4-x)

2

)4)(2( xx

Dấu = xảy ra

x-2 = 4- x

x = 3
Suy ra: B
2


4 vì B

0 nên ta đợc
MaxB = 2 khi x= 3
Ví dụ 13: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:
C =
2
1
35
x
x


Giải:
Tập xác định -1

x

1 khi đó C > 0

Ta có C
2
=
2
2
1
)35(
x
x


=
2
2
1
93025
x
xx

+
=
2
22
1
161625309
x
xxx

++
=

2
2
1
)53(
x
x


+ 16

16

C

4


C
2


16


C

-4 ( loại) Vì 1 - x
2
> 0 với -1 < x < 1
Dấu = xảy ra khi 3 5x = 0

x =
5
3
Vậy min C = 4

x =
5
3
20
5.3- Bài tập ứng dụng:
Bài tập 8: Tìm giá trị nhỏ nhất của:
A = 1996 +
xx 2
2

B =
12
2
++
xx
+
12
2
+
xx
C =
21
3

x
x
Bài tập 9: Tìm giá trị lớn nhất của:
D =
2

x
+
x

3

E =
x28

+
32

x
G =
3
6
+

x
xx
VI/ Cực trị có điều kiện:
Các bài toán về cực trị có điều kiện rất đa dạng và thuộc loại toán khó. Để
giải quyết đợc các bài toán dạng này, đòi hỏi phải kết hợp nhiều bớc trung gian

một cách hợp lý và khéo léo.
Từ điều kiện đã cho ta biến đổi đa thức về dạng có một đối số rồi giải theo
cách giải ở trên.
6.1- Các ví dụ:
Ví dụ 14: Cho hai số thực x,y thoả mãn diều kiện x
2
+ y
2
= 1. Tìm giá trị nhỏ nhất,
tìm giá trị lớn nhất của x + y.
Giải: Với x,y R ta đều có:
(x+y)
2
+ (x-y)
2
= x
2
+ 2xy + y
2
+ x
2
- 2xy +y
2
= 2(x
2
+ y
2
) = 2 (Vì x
2
+ y

2
= 1)
Do (x-y)
2


0 dấu = xảy ra

x= y
Nên (x+y)
2


2
x+y


2
-
2


x +y


2
Khi x = y ta có x
2
+ x
2

= 1

x
2
=
2
1


x=
2
2

+
Vậy max (x+y) =
2
x = y =
2
2
min (x+y) = -
2
x = y =
2
2

Ví dụ 15: Tìm giá trị nhỏ nhất, tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
N = 2x+ 3y- 4z
Biết rằng x,y,z

0 và thoả mãn hệ phơng trình

2x+y+3z = 6 (1)


3x+4y-3z = 4 (2)
Giải: Từ hệ phơng trình điều kiện ta có:
5x+5y = 10

x +y = 2

y = 2-x (3)
Thay (2) vào (1) ta có: 2x+2-x+3z = 6

z =
4
3
-
ă
3
x
Thay (3) vào (2) vào biểu thức N ta có:
20
N = 2x+3y- 4z = 2x+3 (2-x)- 4 (
3
4
-
3
x
)
= 2x + 6- 3x-

3
16
+
3
4x
=
3
x
+
3
2


N
min
(N
max
)

3
x
có giá trị nhỏ nhất (giá trị lớn nhất) mà 3 > 0 cố
định

N
min
(N
max
)

x
min
(x
max
)
Do x

0 nên min N =
3
2


x=0; y= 2; z=
3
4
Lại có: y

0 nên từ (3) ta có x
2

x
2

z

0 nên từ (2) ta có x
4


Vậy maxN =

3
2
+
3
2
=
3
4


x = 2, y = 0, z =
3
2
Ví dụ 16: Cho a,b,c

-1;2 thoả mãn a+ b+ c = 0
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
A = a
2
+ b
2
+ c
2

Giải: Ta có a,b,c

-1;2


-1

a

2

a+1

0 và a- 2

0


(a+1) (a- 2)

0

a
2


a + 2
tơng tự ta cũng có: b
2


b + 2
c
2

c + 2
Cộng 3 bất đẳng thức trên vế với vế ta có:
a
2
+ b
2
+ c
2


a + b + c + 6


a
2
+ b
2
+ c
2


6
a=2; b = c = -1


max A= 6

b=2; a = c = - 1
c=2; a = b = - 1
6.2- Bài tập tơng tự:

Bài 10: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:
A = x
3
+ y
3
Biết x+y = 1
B =
x
xx
2
1416
2
++
biết x > 0
C = 5x- 6y + 7z
Biết x,y,z là số không âm và thoả mãn hệ phơng trình

4x + y+ 2z = 4
3x + 6y- 2x = 6
VII/ Tìm cực trị bằng cách dùng tam thức bậc hai:
7.1- Nhắc lại kiến thức:
Cho tam thức bậc hai f(x) =ax
2
+ bx + c (a 0)

= b
2
- 4ac
a, Nếu

< 0 thì a. f(x)

x

R
b, Nếu

= 0 thì a.f(x)

0

x

R dấu = xảy ra khi x =
a
b
2

c, Nếu

> 0 ta có bảng xét dấu:
20
X

x
1
x
2
+

a.f(x) + 0 - 0 +
7.2- Các ví dụ:
Ví dụ 16: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức:
A = x +
x

2
Giải: Điều kiện x

2
Đặt:
x

2
= y

0 ta có y
2
= 2- x
Do đó: A = 2- y
2
+ y = - (y-
2
1
)
2
+
4
9

4
9
max A=
4
9


y =
2
1


2- x =
4
1


x =
4
7
Ví dụ 17: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức sau:
P = 19x
2
+ 54y
2
+ 16z
2
- 16xz- 24yz+ 36 xy

Giải: Ta chứng minh rằng P > 0 x,y,z
Biến đổi P về tam thức bậc hai đối với x
P= f(x) = 19x
2
- 2(8z - 18y)x + (54y
2
+ 16z
2
- 24yz)
Ta có:


x = (8z- 18y)
2
- 19 (54y
2
+ 16z
2
- 24yz)



x = - 702y
2
+ 168yz- 240z
2
Ta coi


x là một tam thức bậc hai đối với y

Khi đó:


y = 842.z
2
- 702. 240z
2



y =- 161. 424y
2


0

x





x

0

y,z


P = f(x)

0

x,y,z
Vậy min P= 0 khi x = y = z = 0
Ví dụ 18: Xác định a,b sao cho hàm số y =
1
2
+
+
x
bax
đạt giá trị lớn nhất bằng 4, nhỏ nhất bằng 1
Giải: ta phải tìm a,b để 1


1
2
+
+
x
bax


4 (1) khi nào dấu bằng xảy ra.
(1)


1
2

+
+
x
bax


4

1
2
+
+
x
bax


1

x và dấu = xảy ra đợc
4x
2
- ax + 4-b

0

x và dấu = cũng xảy ra đợc



4x

2
+ ax + b + 1

0

x và dấu = cũng xảy ra đợc


1
= a
2
- 16 (4-b) = 0

= a
2
- 16 (4-b) = 0 b = 3








2
= a
2
- 4 (b+1) = 0

= a

2
- 4 (b+1) = 0 a =

4
Vậy a = 4, b= 3 hoặc a = -4, b= 3 thì:
f(x) =
1
2
+
+
x
bax
đạt giá trị lớn nhất bằng 4 và giá trị nhỏ nhất bằng 1
VIII/ Tìm cực trị dựa vào miền giá trị hàm số:
20