Đề thi HSG Toán 9 năm 20162017 Phòng GDĐT Thanh Thuỷ có đáp án

Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH THUỶ
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS NĂM HỌC: 2016 - 2017
MÔN:TOÁN
Thời gian: 150 phút, không kể thời gian giao đề.
Đề thi có: 02 trang
I. PHẦN TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN (8,0 điểm)
Hãy chọn phương án trả lời đúng
Câu 1: Với x  1, giá trị rút gọn của biểu thức: A = x  2x  1 - x  2x  1 là:
A. 0
B. 2 2x  1
C. 2
D. 2
Câu 2: x0 = 3 20  14 2 + 3 20  14 2 là một nghiệm của phương trình n{o:
A. x3 - 3x2 + x - 20 = 0
B. x3 + 3x2 - x - 20 = 0
C. x2 + 5x + 4 = 0
D. x2 - 3x - 4 = 0
Câu 3: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, khoảng cách giữa hai điểm A(-2; 1) và B(4; 9) là:
A. 68
B. 10
C. 104
D. Đ|p |n kh|c
Câu 4: Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, để 3 đường thẳng y = 2x - 5; y = x + 2 và y = ax - 12
đồng quy tại một điểm thì giá trị của a là:
A. 7
B. 9
C. - 3
D. 3
Câu 5: Cho đường thẳng (d): y = -x + 1 v{ điểm M(0; -1). Khoảng cách từ điểm M đến đường

thẳng (d) là:
A. 1,4
B. 2
C. 3
D. 1,5
Câu 6: Giá trị lớn nhất của hàm số y = 3  4x  x 2 là:
A. 3
B. 3
C. 7
D. 7
2
Câu 7: Biết rằng phương trình 3x - 4x + mx = 0 (m là tham số) có nghiệm nguyên dương bé
hơn 3. Khi đó gi| trị của m là:
A. - 1
B. 1
C. - 2
D. 2
Câu 8: Số nghiệm của phương trình: 2x 2  4x  1 = x - 1 là:
A. 1
B. 2
C. 3
D. Đ|p |n kh|c
Câu 9: Cho tam giác ABC có AB = 10cm; AC = 15cm. Một đường thẳng đi qua M thuộc cạnh
AB và song song với BC, cắt AC ở N, sao cho AN = BM, khi đó độ dài của đoạn AM là:
A. 3cm
B. 6cm
C. 5cm
D. 4cm
Câu 10: Cho tam giác ABC có A = 2 B ; AC = 9cm; BC = 12cm. Độ d{i đoạn AB là:
A. 7cm

B. 16cm
C. 8cm
D. Đ|p |n kh|c
0
Câu 11: Cho tam giác ABC có AB = 3cm; AC = 6cm; A = 120 . Độ d{i đường phân giác AD của
tam giác ABC là:
A. 5 cm
B. 2cm
C. 3cm
D. 6 cm
Câu 12: Một tam giác vuông có tỉ số hai cạnh góc vuông bằng

4
, tỉ số hai hình chiếu của hai
9

cạnh góc vuông đó trên cạnh huyền là:
A.

2
3

B.

16
81

C.

4

9

D.

Câu 13: Cho tam giác ABC vuông tại A có AC = 21cm, cosC =
A.

3
4

B.

4
3

C.

21
35

9
4

3
. Khi đó tanB =
5
35
D.
21

Câu 14: Bán kính của đường tròn ngoại tiếp tam gi|c đều ABC cạnh a là:
W: www.hoc247.net

F: www.facebook.com/hoc247.net

T: 098 1821 807


Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

A.

a
3

B.

a 3
6

C.

a 3
2

D.

a 3
3

Câu 15: Cho đường tròn (O), hai dây AB và CD song song với nhau, biết AB = 3cm; CD = 4cm,
khoảng cách giữa hai d}y l{ 3,5cm. B|n kính đường tròn (O) là:
A. 1,5cm
B. 2cm
C. 2,5cm
D. 3cm
Câu 16: Trong hộp có 100 viên bi, bao gồm 25 viên màu xanh, 30 viên m{u đỏ, 35 viên màu
vàng, 10 viên còn lại là bi màu nâu và màu tím. Lấy ngẫu nhiên một số viên bi trong hộp. Hỏi
phải lấy ít nhất bao nhiêu viên bi để trong số đó chắc chắn có 5 viên bi màu vàng.
A. 71 viên
B. 90 viên
C. 65 viên
D. Đ|p |n kh|c
II. PHẦN TỰ LUẬN (12,0 điểm)
Câu 1: (3,0 điểm)
a) Tìm số tự nhiên x để giá trị của biểu thức x2 + 3x + 1 là số chính phương
b) Cho các số dương x, y, z thoả m~n điều kiện xyz = 100. Tính giá trị của biểu thức:
A=

x
+
xy  x  10

y
yz  y  1

+

10 z
xz  10 z  10

Câu 2: (3,5 điểm)
a) Giải phương trình: 5x3 + 6x2 + 12x + 8 = 0
b) Giải phương trình: 3 x  20 + x  15 = 7
Câu 3: (4,0 điểm)
Cho đường tròn (O; R) v{ đường thẳng xy không giao nhau. Kẻ OH  xy tại H. Lấy một điểm
A bất kỳ thuộc xy. Từ A kẻ tiếp tuyến AB với đường tròn (O) (B là tiếp điểm). Qua B kẻ
đường thẳng vuông góc với AO cắt AO tại K và cắt đường tròn tại C.
a) Chứng minh rằng: AC là tiếp tuyến của đường tròn (O)
b) Chứng minh rằng: Khi A di động trên đường thẳng xy thì d}y BC luôn đi qua một điểm cố
định.
Câu 4: (1,5 điểm)
Cho x, y, z là các số dương thoả mãn xyz = 1.
Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A =

W: www.hoc247.net

1
1
1
+ 3 3
+ 3 3
3
x  y 1 y  z 1 z  x 1
3

F: www.facebook.com/hoc247.net

T: 098 1821 807

Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

PHÒNG GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO THANH THỦY
HƯỚNG DẪN CHẤM THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS
NĂM HỌC 2016 - 2017
MÔN: TOÁN
A. Một số chỳ ý khi chấm bài.
Đ|p |n dưới đ}y dựa vào lời giải sơ lược của một cách giải. Thí sinh giải c|ch kh|c m{ đúng
thì tổ chấm cho điểm từng phần ứng với thang điểm của hướng dẫn chấm.
B. Đáp án và thang điểm.
I. PHẦN TRẮC NGHIỆM KHÁCH QUAN (8,0 điểm)
Mỗi câu trả lời đúng cho 0,5 điểm
Câu
1
2
3 4 5 6
7
8 9 10 11 12 13 14 15 16
Đáp
C A,D B D B C B,C A D A B B A D C D
án
II. PHẦN TỰ LUẬN (12,0 điểm)
Câu 1: (3,0 điểm)
Nội dung
Điể
m
2
2
2

a) Với x  N ta có: x + 2x + 1  x + 3x + 1 < x + 4x + 4
0,5
hay (x + 1)2  x2 + 3x + 1 < (x + 2)2
Do đó để x2 + 3x + 1 là số chính phương thì x2 + 3x + 1 = (x + 1)2
0,5
<=> x2 + 3x + 1 = x2 + 2x + 1
<=> x = 0
0,5
2
Vậy với x = 0 thì giá trị của biểu thức x + 3x + 1 là số chính phương
b) Vì x, y, z là các số dương nên từ xyz = 100 => xyz = 10
0,25
Thay vào biểu thức đ~ cho ta được:
A=
=
=

x
+
xy  x  xyz

x



x
y  1  yz



+

y
yz  y  1

y
yz  y  1
y

1
+
y  1  yz

yz  y  1

+

+
+

xyz. z
xz  xyz. z  xyz



xz. yz

xz 1  yz  y

0,75



yz
1  yz  y

0,5

1  y  yz
=
=1
1  y  yz

Câu 2: (3,5 điểm)
Nội dung

Điể
m

a) Ta có: 5x3 + 6x2 + 12x + 8 = 0
<=> 4x3 + (x3 + 3.x2.2 + 3.22.x + 23) = 0
<=> (x + 2)3 = - 4x3
<=> x + 2 = - 3 4 .x
<=> (1 + 3 4 ).x = - 2

0,5
0,5

2
2

Vậy pt đ~ cho có nghiệm duy nhất x =
3
1 4
1 3 4
b) ĐK: x  - 15

<=> x =

W: www.hoc247.net

F: www.facebook.com/hoc247.net

T: 098 1821 807

0,5
0,25


Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

Đặt a =

x  20 ; b = x  15 (b  0)
a  b  7
Ta có:  3 2
a  b  35

0,25

3

0,5

Tìm được: a = 1; b = 6
Suy ra: x = 21 Vậy pt đ~ cho có nghiệm duy nhất x = 21
Câu 3: (4,0 điểm)
Nội dung

0,5
0,5
Điể
m

x

C

H

I

O
K

A
B
y

a) Chứng minh: ACO = ABO (c.g.c)
=> AC  OC mà OC = R

=> AC là tiếp tuyến của đường tròn (O; R)
b) Gọi I là giao điểm của BC và OH
- Chứng minh: OIK và OAH đồng dạng
=>

1,0
1,0
0,5

OK OI

=> OI.OH = OK.OA (1)
OH OA

- Xét ABO vuông tại B, đường cao BK ta có: OK.OA = OB2 (2)
Từ (1) và (2) suy ra: OI.OH = OB 2 => OI =

2

2

OB
R
=
(không đổi)
OH
OH

=> I cố định
Vậy khi A di động trên đường thẳng xy thì d}y BC luôn đi qua điểm I cố định.

Câu 4: (1,5 điểm)
Nội dung
Ta chứng minh BĐT: a3 + b3  ab(a + b) với a, b > 0 (*)
Thật vậy (*) <=> a3 + b3 - a2b - ab2  0
<=> a2(a - b) - b2(a - b)  0
<=> (a - b)(a2 - b2)  0
<=> (a - b)2.(a + b)  0 luôn đúng (do a, b > 0)
Dấu "=" xảy ra khi a = b
Áp dụng (*) có: x3 + y3 + 1 = x3 + y3 + xyz  xy(x + y) + xyz = xy(x + y + z) > 0
Tương tự có: y3 + z3 + 1  yz(x + y + z) > 0
z3 + x3 + 1  zx(x + y + z) > 0
Suy ra: A 

1
1
1
xyz
+
+
=
=1
xy(x  y  z)
yz(x  y  z)
zx(x  y  z) xyz(x  y  z)

Vậy MaxA = 1 đạt được khi x = y = z = 1
W: www.hoc247.net

F: www.facebook.com/hoc247.net

0,5
0,5
0,5
Điể
m

0,25

0,5
0,5
0,25

T: 098 1821 807


Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai

Vững vàng nền tảng, Khai sáng tương lai
Website Hoc247.vn cung cấp một môi trường học trực tuyến sinh động, nhiều tiện ích thông
minh, nội dung bài giảng được biên soạn công phu và giảng dạy bởi những giáo viên nhiều năm
kinh nghiệm, giỏi về kiến thức chuyên môn lẫn kỹ năng sư phạm đến từ c|c trường Đại học và
c|c trường chuyên danh tiếng.

I.

Luyện Thi Online
Học mọi lúc, mọi nơi, mọi thiết bi – Tiết kiệm 90%
-

Luyên thi ĐH, THPT QG với đội ngũ GV Giỏi, Kinh nghiệm từ c|c Trường ĐH v{ THPT danh tiếng.

-

H2 khóa nền tảng kiến thức luyên thi 6 môn: Toán, Ngữ Văn, Tiếng Anh, Vật Lý, Hóa Học và Sinh Học.

-

H99 khóa kỹ năng làm bài và luyện đề thi thử: Toán,Tiếng Anh, Tư Nhiên, Ngữ Văn+ X~ Hội.

II.

Lớp Học Ảo VCLASS
Học Online như Học ở lớp Offline
-

Mang lớp học đến tận nhà, phụ huynh không phải đưa đón con và có thể học cùng con.

-

Lớp học qua mạng, tương tác trực tiếp với giáo viên, huấn luyện viên.

-

Học phí tiết kiệm, lịch học linh hoạt, thoải mái lựa chọn.

-

Mỗi lớp chỉ từ 5 đến 10 HS giúp tương t|c dễ dàng, được hỗ trợ kịp thời và đảm bảo chất lượng học tập.

Các chương trình VCLASS:

-

Bồi dưỡng HSG Toán: Bồi dưỡng 5 phân môn Đại Số, Số Học, Giải Tích, Hình Học và Tổ Hợp dành cho
học sinh các khối lớp 10, 11, 12. Đội ngũ Giảng Viên giàu kinh nghiệm: TS. Lê Bá Khánh Trình, TS. Trần
Nam Dũng, TS. Pham Sỹ Nam, TS. Lưu Bá Thắng, Thầy Lê Phúc Lữ, Thầy Võ Quốc Bá Cẩn cùng đôi HLV đạt
thành tích cao HSG Quốc Gia.

-

Luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán: Ôn thi HSG lớp 9 và luyện thi vào lớp 10 chuyên Toán các
trường PTNK, Chuyên HCM (LHP-TĐN-NTH-GĐ), Chuyên Phan Bội Châu Nghệ An v{ c|c trường Chuyên
khác cùng TS.Trần Nam Dũng, TS. Pham Sỹ Nam, TS. Trịnh Thanh Đèo và Thầy Nguyễn Đức Tấn.

-

Hoc Toán Nâng Cao/Toán Chuyên/Toán Tiếng Anh: Cung cấp chương trình VClass Toán Nâng Cao,
Toán Chuyên và Toán Tiếng Anh danh cho các em HS THCS lớp 6, 7, 8, 9.

III.

Uber Toán Học
Học Toán Gia Sư 1 Kèm 1 Online
-

Gia sư To|n giỏi đến từ ĐHSP, KHTN, BK, Ngoại Thương, Du hoc Sinh, Gi|o viên To|n v{ Giảng viên ĐH.
Day kèm Toán mọi c}p độ từ Tiểu học đến ĐH hay c|c chương trình To|n Tiếng Anh, Tú tài quốc tế IB,…

-

Học sinh có thể lựa chọn bất kỳ GV nào mình yêu thích, có thành tích, chuyên môn giỏi và phù hợp nhất.

-

Nguồn học liệu có kiểm duyệt giúp HS và PH có thể đ|nh gi| năng lực khách quan qua các bài kiểm tra
độc lập.

-

Tiết kiệm chi phí và thời gian hoc linh động hơn giải pháp mời gia sư đến nhà.

W: www.hoc247.net

F: www.facebook.com/hoc247.net

T: 098 1821 807