Đề thi HSG toán 9 Nam Đàn 13-14

PHÒNG GIÁO DỤC&ĐÀO TẠO ĐỀ HỌC SINH GIỎI HUYỆN LỚP 9
HUYỆN NAM ĐÀN NĂM HỌC 2013-2014
Đề chính thức
Môn thi: TOÁN
Thời gian làm bài: 150 phút
Câu 1: (5,0 điểm)
1. Tính
2
6 4 2 (1 2)
+ − −
2. cho biểu thức A =
2 2
1 1
x x x x
x x x x
− +
−
+ + − +
a, Rút gọn B = 1 -
1x
+ +
A
b, Với x
≥
1; Tìm x để P =
1x +
B
nhận giá trị nguyên
Câu 2: (2,0 điểm)
Tìm số tự nhiên n sao cho n + 3 và n - 4 đều là :
a, Số chính phương

b, Số nguyên tố
Câu 3: (4,0 điểm)
Giải các phương trình sau :
a,
2 2013 2 3x
− + =
b,
1 4 1 2x x x
− = + − −
Câu 4: (3,0 điểm)
a, Cho a, b, c là ba số không âm thỏa mãn điều kiện a + b + c = 1. Chứng minh
rằng: 4(1 - a)(1 - b)(1 - c)
≤
a + 2b + c.
b, Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình:
3x
2
+ 2y
2
+ z
2
+ 4xy + 2yz = 26 - 2xz
c, Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức C =
2
3 2
1
x
x
−
−

Câu 5: (2,0 điểm)
Cho tam giác ABC. Hãy tìm điểm D trên cạnh AB sao cho từ điểm D đó ta vẽ
được một đường thẳng chia tam giác ABC thành hai hình có diện tích bằng nhau. Có
bao nhiêu vị trí của điểm D như thế ?
Câu 6:(4,0 điểm)
Cho tam giác ABC cả 3 góc đều nhọn. Vẽ đường cao AD; BE; CF cắt nhau tại H.
a, Chứng minh AF.BD.CE = AE.CD.BF
b, Gọi K là giao điểm của AD với EF và G là giao điểm của BE và DF. Chứng
minh DEF là tam giác vuông khi DK.EG = 2DH.EH.