Bài toán chia hết trong số học

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
---------------------

LÃ HỒNG HẢI LÂM

CÁC BÀI TOÁN ĐA THỨC

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Hà Nội – Năm 2016
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

1


TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
---------------------

LÃ HỒNG HẢI LÂM

CÁC BÀI TOÁN ĐA THỨC
Chuyên ngành: Phƣơng Pháp Toán Sơ Cấp
Mã số: 60460113

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC
NGƢỜI HƢỚNG DẪN KHOA HỌC:

T.S LÊ ĐÌNH ĐỊNH
CHỦ TỊCH HỘI ĐỒNG BẢO VỆ:

PGS. TS VŨ ĐỖ LONG

Hà Nội – Năm 2016

LỜI NÓI ĐẦU

2


Đa thức đƣợc học từ lớp 7, 8 bổ sung dần dần đến lớp 12 và hoàn chỉnh ở
bậc Đại học. Đa thức có vị trí quan trọng của kiến thức Toán nói chung, của chƣơng
trình phổ thông, với các lớp chuyên Toán và đặc biệt là bồi dƣỡng học sinh giỏi.
Trong các kì thi tuyển chọn học sinh giỏi, vô địch Quốc gia, Quốc tế và Olympic
sinh viên, bài toán đa thức thƣờng ở mức độ khó.
Trong chƣơng trình phổ thông có thể gặp các bài Toán liên quan đến đa thức
nhƣ các phép Toán cộng, trừ, nhân, chia các đa thức, đạo hàm các đa thức. Các bài
Toán đa thức xuất hiện trong các đề thi học sinh giỏi có nội dung thƣờng liên quan
đến nghiệm của đa thức, sai phân đa thức, phƣơng trình hàm đa thức.
Luận văn đề cập đến một số các vấn đề cơ bản của đa thức nhƣ phép chia đa
thức, ƣớc chung lớn nhất, bội chung nhỏ nhất, nghiệm của đa thức, đạo hàm của đa
thức và một số bài toán liên quan đến phƣơng trình hàm đa thức. Trong mỗi chƣơng
đề cập các vấn đề cơ bản, trên cơ sở đó đƣa ra các bài tập vận dụng, bài tập tự
luyện.
Ngoài ra, luận văn cũng đƣa ra đƣợc một số bài toán tổng hợp về đa thức có
sử dụng nhiều kiến thức Toán học khác liên quan.
Luận văn có tham khảo các tài liệu [1]-[5] viết về chuyên đề đa thức và các
đề thi học sinh giỏi.
Để viết ra đƣợc những dòng luận văn này ngoài sự nỗ lực cố gắng của bản
thân, thì còn có sự chỉ dạy tận tình của các thầy cô trong khoa Toán - Cơ - Tin học
của trƣờng Đại học khoa học Tự Nhiên- Đại học Quốc Gia Hà Nội. Đặc biệt, tác giả

xin gửi lời cảm ơn chân thành và sâu sắc tới ngƣời thầy hƣớng dẫn khoá học của
mình là TS Lê Đình Định, trƣờng Đại học khoa học Tự Nhiên- Đại học Quốc Gia
Hà Nội. Thầy đã hƣớng dẫn và chỉ bảo tận tình truyền cho tác giả các kiến thức, các
kinh nghiệm quí báu trong học tập và nghiên cứu khoa học để tác giả có thể hoàn
thành tốt bài luận văn này.
Tác giả cũng xin cảm ơn tới Ban giám hiệu, phòng sau Đại học khoa ToánCơ- Tin học trƣờng Đại học khoa học Tự Nhiên- Đại học Quốc Gia Hà Nội đã tạo

3


mọi điều kiện giúp đỡ tác giả trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu tại trƣờng.
Ngoài ra, tác giả cũng xin gửi lời cảm ơn các bạn học viên cao học trong nhóm
phƣơng pháp Toán sơ cấp lớp cao học khoá 2014-2016, đã động viên giúp đỡ tác
giả.
Do thời gian và trình độ còn hạn chế nên chắc chắn bản luận văn không thể
trách khỏi những thiếu sót, tác giả rất mong nhận đƣợc sự đóng góp tận tình của quý
thầy cô và bạn bè đồng nghiệp để tác giả ngày càng hoàn thiện mình hơn nữa. Xin
chân thành cảm ơn !

Hà Nội, Năm 2016
Học Viên

Lã Hồng Hải Lâm

MỤC LỤC

4


Lời nói đầu.................................................................................................................1

Mục lục......................................................................................................................3
Chƣơng 1. Đa thức một biến và các phép toán......................................................5
1.1. Định nghĩa đa thức một biến...................................................................5
1.2. Các phép tính đa thức...............................................................................6
1. 3. Ƣớc chung lớn nhất.................................................................................7
1.4. Bội chung nhỏ nhất..................................................................................8
Bài tập vận dụng......................................................................................................9
Bài tập tự luyện………………………………………………………………….16
Chƣơng 2. Nghiệm của đa thức............................................................................17
2.1. Định lí Bézout.......................................................................................17
2.2. Định nghĩa nghiệm bội..........................................................................17
2.3. Định lí cơ bản của đại số........................................................................17
2.4. Định lí ....................................................................................................18
2.5. Nghiệm của đa thức với hệ số nguyên...................................................18
2.6. Công thức Viéte.....................................................................................18
Bài tập vận dụng....................................................................................................19
Bài tập tự luyện…………………………………………………………………..27
Chƣơng 3. Đạo hàm đa thức.................................................................................28
3.1. Định nghĩa và tính chất..........................................................................28
3.2. Công thức Taylor...................................................................................28
3.3. Công thức Leibniz..................................................................................29
3.4. Định lí....................................................................................................29

5


Bài tập vận dụng....................................................................................................29
Bài tập tự luyện …………………………………………………………………38
Chƣơng 4. Đa thức và phƣơng trình hàm...........................................................40
4.1. Phƣơng trình sai phân bậc 1....................................................................40

4.2. Phƣơng trình sai phân bậc 2....................................................................40
Bài tập áp dụng......................................................................................................42
Bài tập tự luyện ………………………………………………………………….54
Chƣơng 5. Một số bài toán tổng hợp về đa thức.................................................55
Bài tập áp dụng......................................................................................................54
Bài tập tự luyện ………………………………………………………………….72
Kết luận:...................................................................................................................74
Tài liệu tham khảo....................................................................................................75

CHƢƠNG 1. ĐA THƢ́C MỘT BIẾN VÀ CÁC PHÉP TOÁN

6


1.1. Đinh
̣ nghiã đa thƣ́c mô ̣t biế n :
Mô ̣t hàm số P  x  gọi là đa thức mô ̣t biế n nế u nó đƣơ ̣c viế t dƣới da ̣ng chuẩ n
tắ c nhƣ sau:

P  x   a0 x n  a1x n1  ...  an1x  an
Với a  0, a1 , a2 ,......, an là những số thực bất kì và đƣợc gọi là hệ số.
Số tƣ̣ nhiên n gọi là bậc của đa thức và đƣơ ̣c kí hiê ̣u: deg P  x   n
1.2. Các phép tính đa thức
1.2.1. Phép cộng, trừ, nhân hai đa thức.
Giả sử: P  x   an x n  an1x n1  ...  a1x  ao ; Q  x   bm x m  bm1x m1  ...  b1x  bo
Khi đó:
a. P  x   Q  x    ao  bo    a1  b1  x  ...   ak  bk  x k  ...

deg  P  x   Q  x    max deg P( x),deg Q( x)
b. P( x).Q( x)  do  d1x  ...  d nm x nm

trong đó: d k 

 a b , k  0,1,..., n  m

i  j k

i

j

deg P( x).Q( x)  deg P( x)  deg Q( x)
1.2.2. Phép chia đa thức
1.2.2.1. Phép chia hết
Ta nói rằ ng đa thƣ́c P  x  chia hế t cho đa thƣ́c Q  x  , nế u tồ n ta ̣i mô ̣t đa thƣ́c

S  x  sao cho P  x   Q  x  . S  x  .
Kí hiệu P  x  chia hế t cho Q  x  là P  x Q  x 
Nhận xét: Nế u P  x Q  x  thì deg P  x   deg Q  x 

7


1.2.2.2. Phép chia có dƣ
Đinh
̣ lí Với hai đa thƣ́c bấ t kì

P  x  và Q  x  khác không , tồ n ta ̣i duy nhấ t các đa

thƣ́c S  x  và R  x  thoả mãn điều kiện

P  x   Q  x  .S  x   R  x  với deg R  x   deg Q  x 
Đa thƣ́c S  x  và R  x  trong đinh
̣ lí trên đƣơ ̣c go ̣i tƣơng ƣ́ng là thƣơng và số
dƣ trong phép chia P  x  cho Q  x  .
Đa thƣ́c P  x  gọi là đa thức bị chia, còn đa thức Q  x  gọi là đa thức ƣớc số.
Trong phép chia có dƣ:
- Nế u các hê ̣ số của P  x  và Q  x  thƣ̣c, thì các hệ số của S  x  và R  x 
cũng thực.
- Nế u các hê ̣ số của P  x  và Q  x  nguyên, hê ̣ số cao nhấ t của Q  x  là 1 ,
thì các hệ số của S  x  và R  x  cũng nguyên.
1. 2.2.3. Sơ đồ Horner
Khi chia P  x  cho  x  a  và x 2  px  q
Nế u P( x)  a0 x n  a1x n1  ...  an1x  an thì có sơ đồ Hocne khi chia cho
xa:

A

ao

ao  bo

a1

a2

...

an1

an

abo

ab1

...

abn2

abn1

b1

b2

...

bn1

R

(cô ̣ng hai hàng đầ u đƣơ ̣c hàng thƣ́ ba)
Khi đó

với Q( x)  bo x n1  b1x n2  ...  bn1 và

P( x)  ( x  a)Q( x)  R,

R  f a  .

8


Khi chia cho x 2  px  q

ao
-p

a1

a2

...

an2

an1

 pbo

 pb1

...

 pbn3

 pbn2

qb0

...

qbn4

qbn3

qbn2

b2

...

bn2

co

c1

-q

ao  bo

b1

an

(cô ̣ng ba hàng đầ u đƣơ ̣c hàng thƣ́ tƣ)
Khi đó: P  x   ( x 2  px  q).Q( x)  R( x)
với thƣơng: Q( x)  bo x n2  b1x n3  ...  bn2 phầ n dƣ: R( x)  co x  c1
1.3. Ƣớc chung lớn nhất

1.3.1. Đinh
̣ nghiã . Cho P  x  và Q  x  là hai đa thức và ít nhất một trong
chúng khác không . Đa thƣ́c D  x  gọi là ƣớc chung lớn nhất của

P  x  và Q  x 

nế u:
a. P  x  D  x  và Q  x  D  x 
b. Nế u P  x  D1  x  và Q  x  D1  x  thì D  x  D1  x 
Kí hiệu D  x    P  x  , Q  x   là ƣớc chung lớn nhất
Nhận xét :
Nế u D  x  là ƣớc chung lớn nhất của P  x  và Q  x  thì D  x  cũng là ƣớc
chung lớn nhấ t của hai đa thƣ́c trên với   0
Nế u P  x  và Q  x  chỉ có ƣớc chung là các đa thức bậc 0, ngoài ra không
còn ƣớc chung nào khác thì ta nói rằng P  x  và Q  x  nguyên tố cùng nhau và viế t

 P  x  , Q  x   1 .

9


Để tìm ƣớc chung lớn nhất ta dùng thuâ ̣t toán Ơclit hoặc phân tích các đa
thƣ́c thành tić h các nhân tƣ̉ và cho ̣n các nhân tƣ̉ chung với số mũ bé nhấ t .
1.3.2. Mô ̣t số tính chấ t
+ Đinh
̣ lí 1. Giả sử D  x    P  x  , Q  x   ; R  x  là số dƣ của P  x  chia cho Q  x  .
Khi đó Q  x  và R  x  có ƣớc chung lớn nhất và  P  x  , Q  x     Q  x  , R  x  
+ Đinh
̣ lí 2. Hai đa thƣ́c P  x  và Q  x  nguyên tố cùng nhau khi và chỉ khi tồ n ta ̣i
nhƣ̃ng đa thƣ́c U  x  và V  x  sao cho U  x  P  x   V  x  Q  x   1

1.4. Bô ̣i chung nhỏ nhấ t
1.4.1. Đinh
̣ nghiã
Bô ̣i số chung nhỏ nhất của đa thức P  x  và Q  x  là một đa thức M  x  sao
cho
+ M  x   P  x  và M  x  Q  x  .
+ Nế u M1  x   P  x  và M1  x  Q  x  thì M1  x  M  x 
Ta kí hiê ̣u bô ̣i chung nhỏ nhấ t của P  x  và Q  x  là M  x    P  x  , Q  x 
1.4.2. Đinh
̣ lí 1.
a) Nế u P  x  và Q  x  là hai đa thức sao cho P  x Q  x  thì chúng có bội chung
nhỏ nhất là  P  x  , Q  x   P  x 
b) Nế u nhƣ̃ng đa thƣ́c P  x  và Q  x  có bội chung nhỏ nhất và   0 là số bất kì
thì  P  x  , Q  x   
 P  x  , Q  x    P  x  , Q  x 
1.4.3. Đinh
̣ lí 2.

10


Với hai đa thƣ́c bấ t kì khác không là

P  x  và Q  x  đều thoả mãn đẳng thức sau :

 P  x  , Q  x  P  x , Q x  P x .Q x
BÀI TẬP VẬN DỤNG
Bài 1. Tìm a và b sao cho đa thƣ́c P  x   6 x 4  7 x 2  ax 2  3x  2 chia hế t cho

x2  x  b

Giải
Chia P  x cho x 2  x  b theo sơ đồ Horner
6
1

-7

a

3

6

-1

a - 6b -1

-6b

b

ab  6b2  b

a-6b-1

a-5b+2

ab  6b2  b  2

-b

6

-1

2

Ta có:

6 x4  7 x3  ax2  3x  2
 ( x2  x  b)(6 x2  x  a  6b  1)  (a  5b  2) x  (ab  6b2  b  2)
Để P  x chia hế t cho x 2  x  b thì (a  5b  2) x  (ab  6b2  b  2)  0 x  

 a  7

a  5b  2  0
 b  1


2
 a  12
ab  6b  b  2  0

 b  2
Bài 2. Tìm các số thực p; q sao cho đa thức P  x   x 4  1 chia hế t cho x 2  px  q
Giải
Chia P  x   x 4  1 cho x 2  px  q theo sơ đồ Hocne, ta đƣơ ̣c phần dƣ là

11

R  x   ( p3  2 pq) x  q 2  p 2q  1  0
3

 p  2 pq  0 1
Để P  x   x  1 chia hế t cho x  pqx  q ta có:  2
2

q  p q  1  0  2 

4

2

p  0
Giải (1) ta có  p3  2 pq  0  
thay vào (2)
 p  2q
Nế u p  0  q2 1  0 (loại)
Nế u p  2q  q 2  1  q  1  p 2  2  p   2
Vâ ̣y p  2, q  1 và p   2, q  1
Bài 3. Giả sử n  3 . Xác định a sao cho: x n  ax n1  ax  1 ( x  1)2
Giải
Gọi f ( x)  x n  ax n1  ax  1( x  1)2
 x  1 nghiê ̣m bô ̣i s  2

 f (1)  0, f '(1)  0
Do tổ ng các hê ̣ số bằ ng 0  f (1)  0
Lại có f '( x)  nx n1  (n  1)ax n2  a

f '(1)  0  a 

n
n2

Bài 4. Tìm số a   để ( x  a)( x  10)  1 có thể phân tích thành tích
với b, c nguyên.
Giải.
Theo bài ta có: ( x  a)( x  10)  1   x  b  x  c 
Cho x  a ta đƣơ ̣c 1  (a  b)(a  c)  1.1  1. 1

12

 x  b  x  c 


 a  b  1

a  c  1
Vâ ̣y 
  a  b  1

  a  c  1
Cho x  10 ta đƣơ ̣c:

1  (10  b)(10  c)  1.1  1. 1
10  b  1 b  9
1. Nế u 
. Suy ra a  10 hoă ̣c a  8

10


c

1
c


9



10  b  1 b  11
2. Nế u 
. Suy ra a  12 hoă ̣c a  10

10  c  1 c  11
Thƣ̉ la ̣i, loại a  10 .
Vâ ̣y a  8 hoă ̣c a  12 thoả mãn đầu bài.
Bài 5. Chứng minh rằng: Với n  * , đa thƣ́c

 x  1

2 n 1

 x n 2 chia hế t cho đa

thƣ́c x 2  x  1
Giải
Ta đi chƣ́ng minh bài toán trên bằ ng quy na ̣p
+ Với n  1 thì

 x  1

2 n 1

 x n2   x  1  x3   2 x  1  x 2  x  1 x 2  x  1
3

nên khẳ ng đinh
̣ trên đúng với n  1 .
+ Giả sử khẳng định trên đúng với n  1 , tƣ́c là ta có:  x  1

2 n 1

 x n1  x 2  x  1

+ Ta đi chƣ́ng minh khẳ ng đinh
̣ trên cũng đúng cho n .
Thâ ̣t vâ ̣y,  x  1

2 n 1

 x n2   x  1  x  1
2

2 n 1

=  x 2  x  1  x  1

13

 x.x n1

2 n 1



 x  x  1

2 n 1



 x n1  x 2  x  1


Vâ ̣y khẳ ng đinh
̣ trên đƣơ ̣c chƣ́ng minh đúng với mo ̣i n   .
Bài 6. Cho n và m là những số tự nhiên , n  m . Chứng minh rằng: Đa thƣ́c số dƣ
trong phép chia đa thƣ́c x n  1 cho x m  1 là R  x   xt  1 , ở đây t là số dƣ trong
phép chia n cho m .
Giải
Cho n  m.q  t ,0  t  m
Khi đó: x n  1  x mq t  1   x m  xt  xt  xt  1  xt
q

 x  1   x 1
m q

t

= xt  x m  1 x mqm  ...   xt  1
=  x m  1 x nm  x n2 m  ...   xt  1
Tƣ̀ đây ta có điều phải chứng minh.
Bài 7. Cho đa thƣ́c P  x  tuỳ ý với hệ số nguyên. a,b là hai số nguyên khác nhau .
Chứng minh rằng: P  a   P  b  a  b 
Giải
Xét P  x   a0 x n  a1x n1  ...  an1x  an , với ai nguyên (i = 0,1,...,n)
Ta có: P  a   P  b   a0  a n  bn   a1  a n1  bn1   ...  an1  a  b  a  b 
Do với mo ̣i k nguyên dƣơng ta có :  a k  bk  a  b 
Suy ra điều phải chứng minh.
Nhận xét: Áp dụng bài toán trên ta có cách giải bài toán sau:
(Hungary 1999). Tồ n ta ̣i hay không đa thƣ́c P  x với các hê ̣ số nguyên sao cho

P 10  400, P 14  440 và P 18  520

14


Trả lời: không tồ n ta ̣i do P 18  P 10   120 không chia hế t cho 8.
Bài 8. (HSG Quố c Gia - Bảng A - 2000)
Cho góc    0;  
a) Chứng minh rằng tồ n ta ̣i duy nhấ t tam thƣ́c bâ ̣c hai f  x  x 2  ax  b a; b  
sao cho n  , n  2 đa thƣ́c Pn  x   x n sin   x sin n  sin  n  1  f  x 
b) Chứng minh rằng không tồ n ta ̣i nhi ̣thƣ́c bâ ̣c nhấ t

g  x  x  c c   sao

cho n  , n  2 đa thƣ́c Pn  x  xác đinh
̣ nhƣ trên chia hế t cho g  x  .

Giải
a)

Ta chứng minh bằng phƣơng pháp quy nạp.
Ta có P3  x   x3 sin   x sin 3  sin 2
= x3 .sin   x 3sin   4sin 3   2sin .cos
=  x  2cos    x 2  2 x cos   1 sin 

Nhâ ̣n thấ y f  x   x 2  2 x cos x  1 không có nghiê ̣m thƣ̣c nên f  x  là tam thức bậc
hai duy nhấ t có da ̣ng x 2  ax  b mà P3  x  f  x 
Mă ̣t khác, n  3 thì
Giả sử Pn  x  xn sin   x sin n  sin n 1 chia hết cho f  x  x2  2 x cos 1 .
Ta cần chứng minh

Pn1  x  x n1 sin   x sin n 1  sin n

chia hết cho

f  x  x 2  2 x cos 1 . Thật vậy:

Pn1  x   x n1 sin   x sin  n  1   sin  n 
= xn1 sin   x sin  n  1   sin  n  1   sin  n  1   sin  n 
= x n1 sin   x sin  n  1   2sin  n  cos   sin  n 

15


= x  x n sin   sin  n  1   x sin  n    x 2  2 x cos   1 sin  n 
= x.Pn  x    x 2  2 x cos   1 sin  n 
chia hết cho f  x  x2  2 x cos 1 .

Suy ra f  x   x 2  2 x cos   1 là đa thức cần tìm.
b) Giả sử tồn tại nhị thức bậc nhất

g  x  x  c c   sao cho n  , n  2 thì

Pn  x  g  x  .
Khi đó, tồ n ta ̣i x0  c mà Pn  x0   0 n  , n  2
Do đó, tƣ̀ Pn1  x   xPn  x   f  x  sin  n 
Với n  N , n  2 và x   ta suy ra sin  n   0 n  2 .

 sin 4  sin 3  0 nên sin   0 mâu thuẫn với giả thiế t 0    
Vâ ̣y giả sƣ̉ trên là sai. Ta suy ra điều phải chứng minh.
Bài 9. Cho n, m là các số tự nhiên dƣơng bất kì . Hãy tìm ƣớc chung lớn nhất của
các đa thức x n  1 và x m  1.
Giải
Không mấ t tiń h tổ ng quát , giả sử n  m
Khi đó ta có thể tiń h đƣơ ̣c.

n  mq1  r1 ,
m  r1q2  r2
....................

rk 2  rk 1  rk
rk 1  rk qk  1

16


Ở đây với n  m  r1  r2  ...  rk
Khi đó ta biế t ƣớc chung lớn nhấ t của nhƣ̃ng số n và m là r  m, n .

Mặt khác, theo bài tâ ̣p số 6 thì số dƣ của phép chia x n  1 cho x m  1 là x r1  1 , số
dƣ của phép chia x m  1 cho x r1  1 và tiếp tục suy ra

x

n





 1, x m  1  x m  1, x r1  1  ...  x rk 1  1, x rk  1  x rk  1





Vâ ̣y ƣớc chung lớn nhấ t của  x n  1, x m  1  x r  1 với r  m, n
Bài 10. Cho P  x là đa thức có deg P  x  5 . Biế t rằ ng

 P( x)  1

chia hế t cho

( x  1)3 , còn  P( x)  1 chia hế t cho ( x  3)3 . Hãy tìm P  x .

Giải
Theo điề u kiê ̣n ta có :

P( x)  1   x  1 Q( x)

(1)

P( x)  1   x  1 S ( x)

(2)

3

3

Ở đây Q  x và S  x là những đa thức.
Tƣ̀ đẳ ng thƣ́c (1) ta nhâ ̣n đƣợc P ' x chia hế t cho  x  1

2

Còn từ (2) nhâ ̣n đƣơ ̣c P ' x chia hế t  x  1 . Bởi vì P ' x là đa thức bậc bốn.
2

P '  x   a  x  1  x  1  a  x 4  x 2  1
2

2

 x5 2 x 2

Khi đó lấ y nguyên hàm ta đƣơ ̣c P  x   a  
 x b
3
 5



Để xác đinh
̣ a, b ta dùng (1) và (2)
Tƣ̀ chúng ta thấ y P 1  1 và P 1  1 nghĩa là

17


 1 2 
a  5  3  1  b  1 a   15
 



8

1
2


a    1  b  1 b  0



  5 3 

3 5 5 3 15
Đa thƣ́c phải tim
̀ là P  x    x  x  x .

8
4
8

BÀI TẬP TỰ LUYỆN
Bài 1. Xác định các hệ số a, b sao cho đa thƣ́c x4  2 x3  ax  b là bình phƣơng của
mô ̣t đa thƣ́c.
Bài 2. Xác định các hệ số thực

a, b, c sao cho đa thƣ́c

f ( x)  2 x 4  ax 2  bx  c

chia hế t cho x  2 và chia cho x 2  1 thì đƣợc phần dƣ là x.
Bài 3. Xác định các hệ số

a, b sao cho đa thức f  x  ax4  bx3 1 chia hết cho

( x  1)2
Bài 4. Xác địn h các hệ số a, b, c sao cho f  x   x5  3x 4  2 x3  ax 2  bx  c biế t
rằ ng nó chia hế t cho đa thƣ́c  x  1 x  1 x  2  .
Bài 5: Xác định các hệ số a và b để đa thức P  x   x 4  ax3  b chia hế t cho

 x  1

2

CHƢƠNG 2. NGHIỆM CỦA ĐA THỨC
2.1. Đinh
̣ lí Bézout

18


Số  là nghiệm của đa thức P  x khi và chỉ khi P  x chia hế t cho  x   
Nhƣ vâ ̣y ta có P  x  x     P     0
2.2. Định nghĩa nghiệm bội
Nế u P  x   x   .Q  x trong đó Q  x là đa thức thì x   đƣơ ̣c go ̣i là
s

nghiê ̣m bô ̣i s của P  x  .
Vâ ̣y, nế u x   là nghiệm bội
không chia hế t cho

 x  

s 1

s của P  x  thì P  x  ( x  )s và

P  x

. Vâ ̣y P  x    x  c  Q( x) , trong đó Q  x  là đa
s

thƣ́c.
Điề u kiê ̣n để x   là nghiệm bội s là:

f ()  0, f '()  0,... f ( s 1) ()  0, f ( s ) ()  0
2.3. Đinh

̣ lí cơ bản của đại số
Mọi đa thức P  x   a0 x n  a1x n1  ...  an1x  an đều có thể biểu diễn dƣới
dạng: P  x   a0  x  1  x  2  ... x  n  , ở đây  i là các nghiệm của đa thức , i
= 1,2,...n
2.4. Định lí
Định lí 1.
Đa thƣ́c

bâ ̣c n có đúng n nghiê ̣m

deg P( x)  n, deg Q( x)  n bằ ng nhau ta ̣i

(kể

cả bội

k giá trị khác nhau mà

).

n < k

Nế u
thì

P  x  Q  x .
Định lí 2.
Mọi đa thức với các hệ số thực , nế u có nghiê ̣m phƣ́c, thì chúng từng cặp liên
hơ ̣p phƣ́c, suy ra mo ̣i đa thƣ́c bâ ̣c lẻ , có ít nhất 1 nghiê ̣m thƣ̣c.
2.5. Nghiệm của đa thức với hệ số nguyên.

19


Cho đa thức P  x   a0 x n  a1x n1  ...  an1x  an
Nế u ao , a1 ,..., an là các hệ số nguyên của P  x  thì nghiệm hữu tỷ của P  x 
(nế u có) sẽ là x 

p
với (p, q) = 1; p an ; q ao
q

Nế u ao  1 , thì nghiệm hữu tỷ là nghiệm nguyên và là ƣớc của an
Nhâ ̣n xét:
+) Các số 1 và 1 luôn là ƣớc của an . Ta tính P 1 và P  1 không khó
khăn gì . Vì nếu số x    là nghiệm nguyên của P  x  thì P( x)  ( x  ).Q( x) ,
trong đó Q  x  là đa thức với các hệ số nguyên

. Nhƣ vâ ̣y , thƣơng

P(1)
P(1)
 Q(1);
 Q(1) phải nguyên.
 1
 1
Do đó ta chỉ phải thƣ̉ các ƣớc  của số hạng tự do an (trƣ̀ các ƣớc = 1 ) mà
mỗi

P(1) P(1)

,
đều nguyên.
 1  1
+) Để tim
̀ tấ t cả các nghiê ̣m hƣ̃u tỷ của đa thƣ́c với các hê ̣ số nguyên

P( x)  ao x n  a1x n1  ...  an , ta tim
̀ tấ t cả các nghiê ̣m nguyên của đa thƣ́c .
R( y)  y n  a1 y n1  ao a2 y n2  ...  ao n2an1 y  ao n1an
rồ i chia các nghiê ̣m ấ y cho a0
2.6. Công thƣ́c Viéte
Cho

P  x   a0 x n  a1x n1  ...  an1x  an

là một đa thức bất kì

và

P  x   a0  x  1  x  2  ... x  n  , ở đây  i là các nghiệm của đa thức , i =
1,2,...n
Sau khi ta nhân các thƣ̀a số vào với nhau và nhóm các hê ̣ số theo da ̣ng đa thƣ́c
chuẩ n tắ c và so sánh các hê ̣ số của đa thƣ́c P  x  ta nhâ ̣n đƣơ ̣c.

20


1   2  ...   n  

a1

a0

1 2  13  ...   n1 n 

a2
a0

....................................................
1 2 ... k  ...   nk 1 nk  2 .... n   1

k

ak
ao

.......................................................
1 2 ... n  1 
n

an
ao

Công thƣ́c trên đƣơ ̣c go ̣i là công thƣ́c Viéte.
BÀI TẬP VẬN DỤNG
Bài 1. Chứng minh rằng, nếu f ( x)  a x 2  bx  c(a  0, a, b, c  ) có nghiệm hữu
tỉ thì ít nhất một trong ba số a, b, c chẵn.
Giải
Đặt y = ax. Thay x 

y

vào f  x  ta đƣơ ̣c: g ( y)  y 2  by  ac
a

và nghiệm nguyên y của g  y  ứng với nghiệm hữu tỷ của

f  x  là x 

y
. Theo
a

Viéte ta có y1  y2  b, y1 y2  ac  abc   y1 y2 ( y1  y2 )
Nế u g  y  có nghiệm nguyên y1 thì y2  b  y1 cũng nguyên . Trong ba số y1 , y 2
và y1  y2 phải có 1 số chẵn , do vâ ̣y abc chẵn và ít nhấ t mô ̣t trong các số

a, b, c

phải chẵn.
Bài 2. Cho đa thức P( x)  ax3  bx 2  cx  d với các hệ số nguyên a, b, c, d đồng
thời ad lẻ, bc chẵn. Chứng minh rằng P(x) có ít nhất một nghiệm vô tỷ.

21


Giải.
Giả sử xi , (i = 1, 2, 3) là các nghiệm hữu tỷ , khi đó yi  axi cũng hữu tỷ và
là nghiệm của đa thức g ( y)  y3  by 2  acy  a 2d
Vì hệ số đầu của g(y) bằ ng 1, nên nghiê ̣m hƣ̃u tỉ là nghiê ̣m nguyên . Vâ ̣y y1 , y2 , y3
nguyên và là ƣớc của a 2 d lẻ, do đó y1 , y2 , y3 lẻ và vì vậy tổng của chúng bằng b,
tổ ng của tích hai nghiê ̣m là ac phải lẻ, tƣ́c là cả b và c đều lẻ, trái với đầu bài bc

chẵn.
Bài 3. Tìm đa thức bậc bé nhất, với các hệ số nguyên, có nghiệm x  2  3
Giải.
Số

2  3 là nghiệm của đa thức bậc hai

P( x)   x  ( 2  3)  x  ( 2  3)  ( x  2) 2  3  x 2  2 2 x 1



Bởi vâ ̣y

2  3 sẽ là nghiệm của đa thức bậc 4.

( x2  1  2 2 x)( x 2  1  2 2 x)  ( x2  1)2  8x
= x4  10 x2  1
Vì P(x) có các hệ số nguyên nên

2  3 là nghiệm thì các số liên hợp

2  3,

 2  3 ;  2  3 cũng là nghiệm , nên P  x phải có ít nhất 4 nghiê ̣m và 4 là
bâ ̣c bé nhấ t của P  x .
Bài 4. Tìm các số a, b, c để a, b, c là 3 nghiệm của đa thức f ( x)  x3  ax 2  bx  c
Giải.
Theo công thƣ́c Viéte:

abc  a

(1)

ab  bc  ca  b

(2)

22


abc  c

(3)

c  0
Tƣ̀ (1) suy ra b  c 1' . Tƣ̀ (3) suy ra 
 ab  1

(3')
(3'')

Trƣờng hợp 1. Nế u c  0 , tƣ̀ (1') suy ra b  0 . Từ (1) và (2) suy ra a tuỳ ý.
Trƣờng hợp 2. Nế u ab  1 . Thay c vào (2) và (1') ta đƣơ ̣c:

b  0
b  ab  bc  ca  b  ab  b 2  ab  b  b 2  
b  1
+) Nế u b  0 , thì (1') suy ra c  0 , ta quay về trƣờng hơ ̣p 1.
+) Nế u b  1 , thì từ (1') suy ra c  1 và từ (3'') suy ra a  1.
Nhƣ vâ ̣y,

hoă ̣c là b  0, c  0, a tuỳ ý
hoă ̣c là a  1; b  1; c  1

Bài 5. Giả sử a, b là 2 trong 4 nghiệm của đa thức P  x   x 4  x3  1 . Chứng minh

rằng ab là nghiệm của đa thức x6  x4  x3  x2  1
Giải.
Giả sử a, b, c, d là các nghiệm của đa thức P  x  . Ta có:

P( x)  x 4  x3  1  ( x  a)  x  b  ( x  c)( x  d )
Ta chƣ́ng minh đẳ ng thƣ́c: (ab)3  (cd )3  ab  cd  1  0
Thâ ̣y vâ ̣y, tƣ̀ P  a   P  b   0 , ta có: a3 

 (ab)3 

1
1
, b3 
a 1
b 1

1
(1  c)(1  d )

 (1  c)(1  d )
(1  a)(1  b)
P(1)

Tƣơng tƣ̣  cd   (1  a)(1  b) . Do đó ta có:

3

(ab)3  (cd )3  ab  cd  1  (1  c)(1  d )  1  a 1  b   ab  cd  1

23


 1  a  b  c  d  0
(vì theo công thức Viéte, a  b  c  d  1 .)
Từ đó suy ra:
3


1
 1 
3
 1
(ab)  (ab)  (ab)  (ab)  1 = (ab) (ab)     ab 
ab 
 ab 

6

4

3

3

2

3
 (ab)3 (ab)3   cd   ab  cd  1  0



(Vì theo công thức Viéte abcd  1 ).
Vậy ab là nghiệm của đa thức x6  x4  x3  x2  1 .
Bài 6. Chứng minh rằng, nếu 3 số thực

a, b, c

thoả mãn hệ thức:

a
b
c

  0 1 , với m  0 thì đa thức f ( x)  ax 2  bx  c có nghiệm
m  2 m 1 m
trong khoảng  0;1 .
Giải

x  0
Nế u c  0 thì f  x   0  ax  bx  0  x(ax  b)  0  
 x   b  a  0
a

2

Tƣ̀ 1 do c  0 nên

a
b
b m 1

0 
 (0,1)
m  2 m 1
a m2

Nế u c  0; a  0 tƣ̀ 1 suy ra b  0 và f ( x)  0 x 2  0 x  0 có nghiệm x  (0,1)
Nế u c  0 thì f  0   c và

 m 1 
 m 1 
 m 1 
f
  a
  b
c 
m2
m2
m2
2

(m  1)2
=
m2

b
c
c
c
 a
 m  2  m  1  m   m(m  2)   m(m  2)

24


Ta có:

c2
 m 1 
 m 1 
f  0. f 


 0 , suy ra f  x  có nghiệm x   0,

  (0,1) .
m(m  2)
m2
 m2
Vậy đa thức f ( x)  ax 2  bx  c có nghiệm trong khoảng  0;1 , nếu 3 số thực

a, b, c thoả mãn hệ thức:

a
b

c

  0.
m  2 m 1 m

Bài 7. Tam thƣ́c bâ ̣c hai P  x  với các hê ̣ số thƣ̣c sao cho phƣơng trình P  x   x
không có nghiê ̣m thƣ̣c . Chứng minh rằng: Phƣơng trình P  P  x    x cũng không
có nghiệm thực.
Giải
Nế u tồ n ta ̣i hai số a, b  a  b  sao cho P  a   a và P  b   b
Xét hàm số Q  x   P  x   x liên tu ̣c trên  a; b và Q  a   0 và Q  b   0 .
Nên phƣơng triǹ h

Q  x   0 sẽ có nghiệm trên  a; b  , hay phƣơng triǹ h

P  x   x sẽ có nghiệm, điề u này trái với giả thiế t cho.
Nhƣ vâ ̣y chỉ còn hoă ̣c P  x   x với mo ̣i x hoă ̣c P  x   x với mọi x.
Khi đó P  P  x    P  x   x với mo ̣i x hoă ̣c P  P  x    P  x   x với mo ̣i x.
Tƣ̀ đó suy ra điều phải chứng minh.
Bài 8. Chứng minh rằng: Mọi đa thức bậc n có nhiều nhất n nghiê ̣m
Giải
Giả sử đa thức P  x   a0 x n  a1x n1  ...  an1x  an bâ ̣c n có nhiều hơn n nghiê ̣m.
Gọi các nghiệm đó là 1 , 2 ,..., k với k  n .
Khi đó ta có thể viế t P  x  dƣới da ̣ng.

25