Tài liệu Tuyển tập các bài toán giải tích trong hình học phẳng doc

Trung học Phổ thông Tam Quan Phạm Công Như
NHỮNG BÀI TOÁN THI ĐẠI HỌC VỀ
PHƯƠNG TRÌNH ĐƯỜNG THẲNG, ĐƯỜNG TRÒN
VÀ CÁC ĐƯỜNG CONIC TRONG MẶT PHẲNG
…………
Bài tập 1: Cho tam giác ABC có B(3;5), C(4;–3), phân giác trong góc A có phương trình: x + 2y– 8 =
0. Viết phương trình các cạnh tam giác
Bài tập 2: Cho A(1;2), B(3;3) .Tìm toạ độ điểm C sao cho OABC là hình thang cân với AB song song
với OC
Bài tập 3: Một đường thẳng d đi qua điểm M(3;4) cắt 2 nửa trục Ox, Oy tương ứng tại A, B. Viết
phương trình đường thẳng d ứng với khi OA + OB nhỏ nhất
Bài tập 4:Cho tam giác ABC có B( –4; 0), phương trình đường cao AH : 4x – 3y – 2 = 0. Trung tuyến
CM có phương trình : 4x+ y + 3 = 0. Tìm toạ độ A,C
Bài tập 5: Lập phương trình đường thẳng ∆ qua P(2;–1) sao cho ∆ cung với 2 đường thẳng d
1
, d
2
tạo
thành một tam giác cân có đỉnh A= d
1
∩ d
2
. Trong đó d
1
: 2x – y + 5 = 0, d
2
: 3x + 6y – 1 = 0
Bài tập 6: Cho tam giác ABC có AB: 4x + 3y – 1= 0, AC : 3x + 4y – 6= 0, BC : y = 0.
a- Viết phương trình phân giác trong góc A
b- Tìm tâm và bán kính đường tròn nội tiếp tam giác
Bài tập 7: Cho tam giác ABC biết A(2; –3), B(3;–2). Diện tích tam giác ABC S = 3/2. Trọng tâm G ∈

đường thẳng d: 3x – y –8 = 0. Xác đònh toạ độ điểm C
Bài tập 8: Cho tam giác ABC có C(–3;1). Phân giác trong góc A: x + 3y + 12 = 0. Đường cao AH có
phương trình: x + 7y – 32 = 0. Viết các phương trình các cạnh tam giác .
Bài tập 9: Cho tam giác ABC có phương trình phân giác trong AD: x – y + 0. Đường cao CH : 2x +y +
3 = 0. Cạnh AC qua M(0;–1). Biết AB = 2AM. Viết phương trình các cạnh tam giác.
Bài tập 10: Cho một đường thẳng d: 2x + y = 0 và 2 điểm A(–1;0), B(1;1)
a- Tìm M ∈ d sao cho: MA + MB nhỏ nhất
b- Tìm N ∈ d sao cho: NA –NB lớn nhất
c- Tìm K ∈ d sao cho: 
KA
+
KB
 lớn nhất
Bài tập 11: Viết phương trình của đường thẳng d qua M(4;4) cắt Ox, Oy lần lượt tại A,B sao cho:
a- Diện tích tam giác OAB là nhỏ nhất
b- Đoạn AB là ngắn nhất
Bài tập 12: Cho đường thẳng ∆:x – y +1 = 0 và 2 điểm A(–2;0), B(0;–3)
c- Tìm M ∈ ∆ sao cho:  MA –MB  lớn nhất
d- Tìm N ∈ ∆ sao cho: NA –NB  bé nhất
e- Tìm K ∈ ∆ sao cho: KA + KB  nhỏ nhất
Bài tập 13: Một tam giác cân có đáy : 3x – y + 5 = 0. Một cạnh bên : x + 2y – 1 = 0. Lập phương trình
của cạnh còn lại biết rằng nó đi qua M(1;–3)
Bài tập 14: Cho hình vuông ABCD, biết AB: 2x – y + 1 = 0. Tâm I(0;–1). Viết phương trình các cạnh
còn lại
Bài tập 15: Viết phương trình đường thẳng đối xứng với d
1
qua d
2
. Với d
1

: x + y – 1 = 0, d
2
: 2x – y +
1 = 0
Bài tập 16: Biện luận theo m vò trí tương đối của 2 đường thẳng:d
1
: 4x – my + 4 – m =0 và d
2
:
(2m+6)x+ y – 2m –1 = 0
Bài tập 17: Viết phương trình đường thẳng qua I(3;1) và cắt Ox, Oy lần lượt tại A và B sao cho tam
giác ABC cân tại C(2;–2)
Toán Hình học – Ôn thi Đại học
Trung học Phổ thông Tam Quan Phạm Công Như
Bài tập 18: Cho điểm M ∈



+=
−=
t21y
t32x
Δ
. Xác đònh toạ độ điểm M biết rằng M cách d: 3x +y – 3 = 0
một đoạn
10
Bài tập 19: Cho các đường thẳng:

( )
( )






=−+
−−=−=
=−+−+
01yx2:d
t21my,t1mx:
03my1mmx:
2
1
Δ
Δ
a- Xác đònh m để ∆
1
trùng ∆
2
b- Xác đònh m để 3 đường thẳng trên đồng quy.
Bài tập 20: Đònh m để 2 đường thẳng : x + 2y + m = 0 và : mx + (m + 1)y + 1 = 0 cắt nhau tại một
điểm thuộc góc phần tư thứ nhất
Bài tập 21: Cho tam giác ABC trọng tâm G(0;1/3), AB: x – y + 3 =0, BC: 3x – 5y + 9 = 0. Viết
phương trình đường thẳng AC
Bài tập 22: Viết phương trình 3 cạnh tam giác ABC biết C(4;3). Phân giác trong và trung tuyến vẽ từ
một đỉnh của tam giác lần lượt là: x + 2y – 5 = 0 và 4x + 13y – 10 = 0
Bài tập 23: Cho đường tròn (C) :x
2
+ y
2

– 2x + 8y + 1 = 0. Lập phương trình tiếp tuyến của (C) biết
tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng 3x – y + 6 = 0. Xác đònh toạ độ tiếp điểm
Bài tập 24: Cho họ đường tròn (Cm): x
2
+ y
2
– 2mx –4m+1)y +3m+14 = 0
a- Tìm m để (Cm) là một họ đường tròn
b- Tìm tập hợp các tâm của các đường tròn (Cm)
Bài tập 25: Lập phương trình đường tròn tiếp xúc với Ox tại A(–1;0) và đi qua B(3;2)
Bài tập 26: Viết phương trình tiếp tuyến chung của2 đường tròn: (C
1
) : x
2
+ y
2
– 6x +5 = 0, (C
2
): x
2
+
y
2
–12x – 6y+ 44 = 0
Bài tập 27: Viết phương trình tiếp tuyến chung của 2 đường tròn: (C
1
) : x
2
+ y
2

– 10x + 24y – 56 = 0,
(C
2
): x
2
+ y
2
–2x – 4y– 20 = 0. Chứng tỏ 2 đường tròn trên cắt nhau tại 2 điểm. Tính khoảng cách giữa
2 giao điểm này.
Bài tập 28: Chứng minh (C
1
) : x
2
+ y
2
– 4x –8y+11 = 0, (C
2
): x
2
+ y
2
–2x – 2y – 2 = 0 là 2 đường tròn
cắt nhau tại 2 điểm Tính khoảng cách 2 giao điểm
Bài tập 29: Chứng minh K(0;2) nằm bên trong đường tròn (C): x
2
+ y
2
–2x – 2y – 2 = 0. Đường thẳng
d qua K cắt (C) tại M, N. Viết phương trình của d trong trường hợp MN ngắn nhất
Bài tập 30: Cho họ đường cong: x

2
+ y
2
–2(m+1)x + 2my + 3m
2
+ 6m –12 = 0. Có bao nhiêu số
nguyên m để họ trên là họ phương trình đường tròn
Bài tập 31: Viết phương trình tiếp tuyến chung của 2 đường tròn: x
2
+ y
2
–2x – 2y – 2 = 0 và x
2
+ y
2
–
8x – 4y + 16 = 0
Bài tập 32: Viết phương trình tiếp tuyến với (C) : x
2
+ y
2
–x + 3y +1/4 = 0 biết tiếp tuyến đi qua điểm
A(2;1). Viết phương trình đường thẳng đi qua 2 tiếp điểm
Bài tập 33: Tính độ dài dây cung tạo bởi đường tròn (C) x
2
+ y
2
+2x – 4y – 5 = 0 và đường thẳng ∆: x
+ y + 1 = 0
Bài tập 34: Có bao nhiêu giá trò nguyên của m để 2 đường tròn sau có 4 tiếp tuyến chung: x

2
+ y
2
–4x
= 0 và x
2
+ y
2
+ 2y + m = 0
Bài tập 35: Cho họ đường tròn: x
2
+ y
2
–2mx + 2(m–2)y –3 = 0. Ứng với 2 giá trò của m chứng tỏ có 2
đường tròn tương ứng có một trục đẳng phương cố đònh. Viết phương trình truc này
Bài tập 36: Cho 2 đường tròn: (C): x
2
+ y
2
–6x – 4y + 1 = 0 và (C
/
): x
2
+ y
2
– 4 – 2 = 0. Tìm tập hợp
những điểm M sao cho độ dài tiếp tuyến từ M đến (C
/
) bằng ½ lần độ dài tiếp tuyến từ M đến (C)
Toán Hình học – Ôn thi Đại học

Trung học Phổ thông Tam Quan Phạm Công Như
Bài tập 37: Cho (C) là đường tròn tâm I(2;1) bán kính R = 3. Viết phương trình đường thẳng qua
A(4;0) và cắt (C) tại 2 điểm M,N sao cho MN =
24
Bài tập 38 : Chứng minh rằng đường thẳng
062sincos2siny2cosx:
2
=−++−
ααααΔ
luôn tiếp
xúc với một đường tròn cố đònh
Bài tập 39: Chứng minh rằng đường thẳng: (1–m
2
)x + 2my + m
2
– 4m + 3 = 0 luôn tiếp xúc với một
đường tròn cố đònh
Bài tập 40: Xác đònh m để 2 đường tròn sau có 4 tiếp tuyến chung: x
2
+ y
2
– 2my + 4 = 0 và x
2
+ y
2
–
4mx + 2m
2
– 2 = 0
Bài tập 41: Lập phương trình đường tròn (C) qua A(1;–2) và qua 2 giao điểm của d: x – 7y + 10 = 0

với (C
1
): x
2
+ y
2
–2x +4y – 20 = 0
Bài tập 42: Cho: (C): x
2
+ y
2
= 0 và (C
/
): x
2
+ y
2
–4x –3 = 0. Viết phương trình đường tròn qua giao
điểm của 2 đường tròn trên và có bán kính là :
a- R =
5
b- R = 5
Bài tập 43: Lập phương trình tiếp tuyến chung của 2 conic: (E):
1y
3
x
2
2
=+
và (H):

1
7
y
4
x
22
=−
Bài tập 44: Từ M(–4;3) kẻ 2 tiếp tuyến với (E):
1
5
y
6
x
22
=+
. Viết phương trình 2 tiếp tuyến đó. Viết
phương trình đường thẳng đi qua 2 tiếp điểm
Bài tập 45: Cho hyperbol (H): 2x
2
– y
2
+ 4 = 0 và điểm A(–1;1)
a- Chứng minh rằng qua A có 2 tiếp tuyến với (H) và 2 tiếp tuyến này vuông góc với nhau
b- Tính khoảng cách từ A đến đường thẳng nối 2 tiếp điểm
Bài tập 46: Cho (E)
1
2
y
7
x

22
=+
. Viết phương trình các cạnh của hình vuông ngoại tiếp ellíp này
Bài tập 48: Cho (P): y
2
= 2px có đường chuẩn ∆
a- N là một điểm∈ ∆. Chứng minh rằng qua N kẻ được 2 tiếp tuyến với (P) và 2 tiếp tuyến này
vuông góc nhau
b- Chứng minh đường thẳng qua 2 tiếp điểm luôn đi qua 1 điểm cố đònh khi N thay đổi
Bài tập 49: Cho parabol (P): y
2
= 2px và đường thẳng d: 2mx – 2y – mp = 0. Gọi M, M
/
là giao điểm
của d và (P). Chứng minh rằng đường tròn (C) đường kính MM
/
tiếp xúc với đường chuẩn ∆ của
parabol
Bài tập 50: Cho (E) :
1
3
y
4
x
22
=+
a- Viết phương trình tiếp tuyến với (E) biết tiếp tuyến qua điểm M(–2;1)
b- Xác đònh toạ độ tiếp điểm
c- Viết phương trình đường tròn (C) qua 2 giao điểm của (E) và (E
/

):
1
4
y
3
x
22
=+
Bài tập 51: Cho (E) :
1
b
y
a
x
2
2
2
2
=+
. ∆ là tiếp tuyến bất kì của (E). Chứng minh rằng tích các khoảng
cách từ 2 tiêu điểm của (E) đến ∆ bằng một hằng số
Bài tập 52: Cho ellíp (E):
1
18
y
50
x
22
=+
. ∆ là một tiếp tuyến của (E) tại M. Đường thẳng ∆ lần lượt cắt

Ox, Oy tại A và B. Tìm M sao cho tam giác OAB có diện tích lớn nhất
Bài tập 53:Tìm M ∈ (P): y
2
= 64x sao cho khoảng cách từ M đến đường thẳng : 4x + 3y + 68 = 0 là bé
nhất
Toán Hình học – Ôn thi Đại học
Trung học Phổ thông Tam Quan Phạm Công Như
Bài tập 54:Tìm N ∈ (E):
1
9
y
16
x
22
=+
sao cho khoảng cách từ N đến đường thẳng: x + y – 8 = 0 là nhỏ
nhất, lớn nhất
Bài tập 55: Cho (H):
1
b
y
a
x
2
2
2
2
=−
. Chứng minh rằng:
a- Tích các khoảng cách từ một điểm thuộc (H) đến 2 tiệm cận của (H) bằng một hằng số

b- Diện tích hình bình hành xác đònh bởi 2 tiệm cận và 2 đường thẳng xuất phát từ một điểm ∈ (H)
song song với 2 tiệm cận là một hằng số
Bài tập 56: Viết phương trình chính tắc của (E) biết tiêu điểm F(
10
−
;0), độ dài trục lớn là 2
18
a- Biết đường thẳng d tiếp xúc với (E) tại M cắt 2 trục toạ độ tại A, B. Tìm toạ độ M khi diện tích
tam giác OAB là bé nhất
b- Tìm toạ độ các đỉnh hình chữ nhật nội tiếp trong (E) ( các cạnh song song với các trục toạ độ) có
diện tích lớn nhất
Bài tập 57: Chứng minh rằng nếu 2 parabol :y
2
= 2px và y = ax
2
+ bx + c cắt nhau tại 4 điểm phân
biệt thì 4 điểm đó nằm trên một đường tròn
Bài tập 58: Cho (E) :
1
9
y
25
x
22
=+
. A(–5;0), B(0;3).
a- Tìm điểm M ∈ (E) sao cho tam giác MAB có diện tích lớn nhất
b- Viết phương trình tiếp tuyến với (E) biết tiếp tuyến song song với đường thẳng : 3x – 5y= 0
Bài tập 59: Cho (H):
1

12
y
16
x
22
=−
, M(0;1). Viết phương trình đường thẳng qua M cắt (H) tại A,B sao
cho M là trung điểm của đoạn AB
Bài tập 60: Cho (E) :
1
25
y
16
x
22
=+
. M(1;2). Viết phương trình đường thẳng qua M cắt (E) tại A, B sao
cho M là trung điểm của AB
Bài tập 61: Cho (E)
1
b
y
a
x
2
2
2
2
=+
, M

0
(x
0
;y
0
) ∈ (E). Tiếp tuyến tại M cắt 2 tiếp tuyến tại A(–a;0) và
A
/
(a;0) lần lượt tại T và T
/

a- Chứng minh rằng Giá trò AT.A
/
T
/
không phụ thuộc vào vò trí của M
b- Tìm M để diện tích tứ giác ATT
/
A
/
bé nhất. Tính diện tích đó
c- Gọi N là giao điểm A
/
T và AT
/
. Tìm quỹ tích của N khi M chạy trên (E)
Toán Hình học – Ôn thi Đại học