Đề thi giữa học kì 2 môn Toán lớp 12 trường THCSTHPT Khai Minh, TP Hồ Chí Minh năm học 2013 2014

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TP.HCM
TRƯỜNG THCS – THPT KHAI MINH

ĐỀ KIỂM TRA GIỮA HỌC KỲ II
NĂM HỌC 2013-2014
Môn thi: TOÁN 12
Thời gian làm bài:120 phút, không kể thời gian phát đề

I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm)
x 1
Câu 1 (3,0 điểm). Cho hàm số y 
.
2x  1
a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị  C  của hàm số đã cho.
b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị  C  , biết tiếp tuyến đó song song với đường thẳng y  3x  8 .
Câu 2 (3,0 điểm).
a) Giải phương trình log 3  3x  5   2log 9  x  1  1  log 1  x  1 .
3
1

b) Tính tích phân I  
0

2x
dx .
x 3
2

c) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số f  x   x 2 e1 x trên đoạn  1; 2 .
Câu 3 (1,0 điểm). Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a 2 và ABC  600 , cho
biết SA  SB  SC  2a . Tính thể tích khối chóp S . ABCD theo a .

II. PHẦN RIÊNG - PHẦN TỰ CHỌN (3,0 điểm)
Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần riêng (phần A hoặc phần B).
A. Theo chương trình Chuẩn
Câu 4.a (2,0 điểm). Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho điểm M  2;3; 1 và đường thẳng
x  4  t

d :  y  1  2t
 z  5  2t


t   .

a) Viết phương trình mặt phẳng  α  đi qua điểm M và vuông góc với đường thẳng d . Tìm tọa độ giao
điểm của đường thẳng d và mặt phẳng  α  .
b) Tìm tọa độ điểm I thuộc đường thẳng d sao cho điểm I cách đều hai điểm O và M , trong đó O là
gốc tọa độ.
Câu 5.a (1,0 điểm). Tìm các số thực x và y , biết: x  5  3i   y  4  i   7  11i .
B. Theo chương trình Nâng cao
Câu 4.b (2,0 điểm). Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng  P  : 2 x  y  z  10  0 và
2

2

2

mặt cầu  S  :  x  1   y  3   z  3  24 .
a) Xác định tọa độ tâm T và bán kính của mặt cầu  S  . Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc của tâm T
trên mặt phẳng  P  .
b) Viết phương trình mặt phẳng  Q  song song với mặt phẳng  P  và tiếp xúc với mặt cầu  S  .
Câu 5.b (1,0 điểm). Cho số phức z thỏa mãn 1  i  z   2  3i  z  3  16i . Tính môđun của số phức

1 z  z2 .
------ HẾT ------Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh: ………………………………………… Số báo danh: ……….
– Thư viện đề thi toán học


SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TP.HCM
TRƯỜNG THCS – THPT KHAI MINH

ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM
KIỂM TRA GIỮA HỌC KỲ II - TOÁN 12
Năm học 2013 – 2014

Đáp án gồm 5 trang
Câu
Câu 1
(3,0 điểm)

Đáp án
Cho hàm số y 

Điểm

x 1
.
2x  1

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị  C  của hàm số đã cho.

 1
\   .
 2

 Tập xác định D 

0, 25

 Sự biến thiên:
+ Giới hạn, tiệm cận

lim y 

x 

1
1
: Đồ thị có tiệm cận ngang y  .
2
2

0, 25

1
lim y   , lim y   : Đồ thị có tiệm cận đứng x   .
1
1
2
x 
x 

2

2

+ Lập bảng biến thiên

y'

Ta có

x

3

 2 x  1

2





y'

1
2








y

0, 25

y '  0, x  D .

,

1
2

0,5

1
2





1  1
2  2




Hàm số đã cho đồng biến trên các khoảng  ;   ,   ;   .

0,25

Hàm số không có cực trị.
 Đồ thị:
Cho
x  0  y  1 : A  0;1 .

y  0  x  1 : B 1;0  .

0,5

– Thư viện đề thi toán học


Câu

Đáp án

Điểm

y

4

3

2

1

I
-4

-3

-2

-1

x

O

1

2

3

4

-1

-2

-3

-4

Nhận xét: Đồ thị hàm số nhận giao điểm của hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng.
b) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị  C  , biết tiếp tuyến đó song song với đường

thẳng y  3x  8 .
Gọi M  x0 ; y0  là toạ độ tiếp điểm.
Ta có f '  x0  

3

 2 x0  1

2

.

0, 25

Vì tiếp tuyến song song với đường thẳng y  3x  8 nên f '  x0   3 .

 x0  0
3 
.
 2 x0  1
 x0  1
+ Với x0  0  y0  1 . PTTT là: y  3x  1 .
+ Với x0  1  y0  2 . PTTT là: y  3x  5 .
3



Câu 2
(3,0 điểm)

0, 25

2

0, 25
0, 25

a) Giải phương trình log 3  3x  5   2log 9  x  1  1  log 1  x  1 .
3

5
Điều kiện: x  .
3
Phương trình đã cho tương đương với:
log 3  3 x  5  x  1   log3 3  x  1 

0, 25
0, 25

  3 x  5  x  1  3  x  1

x  2
 3x  5 x  2  0  
x   1
3


Kết hợp với điều kiện, suy ra phương trình có 1 nghiệm x  2 .
1
2x
dx .
b) Tính tích phân I   2
x 3
0
2

Đặt t  x 2  3  dt  2 xdx
Đổi cận:
x  1 t  4
x 0t 3
– Thư viện đề thi toán học

0, 25

0, 25

0, 25
0, 25
0, 25 x 2


Câu

Đáp án

Điểm

4
4
1
4
Khi đó I   dt  ln t  ln .
t
3
3
3

c) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số f  x   x 2 e1 x trên đoạn  1; 2 .
Hàm số đã cho liên tục trên đoạn  1; 2 .
Ta có

0, 25

f '  x   e1 x  2 x  x 2 
 e1 x  0
f '  x  0  e  2x  x   0  
2
2 x  x  0
 x  2   1; 2 

.
 x  0   1; 2 
1 x

2

0, 25

4
Tính f  1  e 2 , f  2   , f  0   0 .
e
Vậy max f  x   f  1  e 2 ; min f  x   f  0   0 .
 1;2

Câu 3
(1,0 điểm)

0, 25
0, 25

 1;2

Cho hình chóp S . ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a 2 và ABC  600 , cho biết
SA  SB  SC  2a . Tính thể tích khối chóp S . ABCD theo a .
Ta có AB  BC  a 2 và ABC  600 .Suy ra tam giác ABC đều.
Gọi H là tâm của tam giác đều ABC .
S
Khi đó HA  HB  HC và ta lại có SA  SB  SC .
Suy ra SH là trục của đường tròn ngoại tiếp ΔABC ,
hay SH   ABC  .

0, 25

2a

 SH là chiều cao của khối chóp S . ABCD
Diện tích hình thoi ABCD

A
1
S ABCD  2S ABC  2. AB.BC.sin 600  a 2 3 .
O
2
0
60
Gọi O là tâm của hình thoi ABCD . Ta có
H
a 2
B
3 a 6
BO  AB.

2
2
2
2 a 6 a 6
BH  BO  .

.
3
3 2
3
Xét ΔSHB vuông tại H , ta có
6a 2 10a 2
a 30
.
SH 2  SB 2  BH 2  4a 2 


 SH 
9
3
3
Thể tích khối chóp S . ABCD
1
1
a 30 a 3 10
.
VS . ABCD  S ABCD .SH  .a 2 3.

3
3
3
3
Câu 4a
(2,0 điểm)

D

0, 25

a 2

C

x  4  t

Trong không gian Oxyz , cho điểm M  2;3; 1 và đường thẳng d :  y  1  2t
 z  5  2t



0, 25

0, 25

t   .

a) Viết phương trình mặt phẳng  α  đi qua điểm M và vuông góc với đường thẳng d .
– Thư viện đề thi toán học


Câu

Đáp án

Điểm

Tìm tọa độ giao điểm của đường thẳng d và mặt phẳng  α  .

Đường thẳng d có VTCP a  1; 2; 2  .
 
Vì mặt phẳng  α  vuông góc với d nên có VTPT n  a  1; 2; 2  .

0, 25
0, 25

Phương trình mặt phẳng  α  đi qua điểm M  2;3; 1 và có vectơ pháp tuyến

n  1; 2;2  là:

0, 25 x 2

1 x  2   2  y  3  2  z  1  0  x  2 y  2 z  6  0 .

Gọi H  d   α  .
Điểm H  d  H  4  t ;1  2t ;5  2t  .

0, 25

Điểm H   α    4  t   2 1  2t   2  5  2t   6  0  t  2 .
Với t  2  H  2;5;1 .

0, 25
b) Tìm tọa độ điểm I thuộc đường thẳng d sao cho điểm I cách đều hai điểm O và M .
Điểm I  d  I  4  t ;1  2t ;5  2t 
0, 25
Vì điểm I cách đều hai điểm O và M nên
IO  IM
2

2

2

2

2

 0  4  t    0 1 2t    0  5  2t    2  4  t    3 1 2t    1 5  2t 

2
2
2
2
2
2
  4  t   1  2t    5  2t    2  t    2  2t    6  2t 



1
6
1
 23 4 14 
Với t    I  ; ;  .
6
 6 3 3
Tìm các số thực x và y , biết: x  5  3i   y  4  i   7  11i .
t

Câu 5a
(1,0 điểm)

0, 25

Ta có x  5  3i   y  4  i   7  11i

  5 x  4 y    3 x  y  i  7  11i
5 x  4 y  7


3x  y  11
 x  3

y  2
Câu 4.b
(2,0 điểm)

2

0, 25 x 2
0, 25

0, 25

Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho mặt phẳng  P  : 2 x  y  z  10  0 và mặt cầu
2

2

 S  :  x  1   y  3   z  3

2

 24 .

a) Xác định tọa độ tâm T và bán kính của mặt cầu  S  . Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc
của tâm T trên mặt phẳng  P  .
Mặt cầu  S  có tâm T  1;3; 3 và bán kính r  2 6 .

0, 25

Gọi d là đường thẳng đi qua tâm T và vuông góc với mặt phẳng  P  .

Mặt phẳng  P  có VTPT nP   2; 1;1 .
 
Vì d   P  nên có VTCP ad  nP   2; 1;1 .

0, 25

– Thư viện đề thi toán học


Câu

Đáp án

Điểm

Phương trình tham số của đường thẳng d đi qua tâm T  1;3; 3 và có vectơ

chỉ phương ad   2; 1;1 là:
 x   1  2t

t   .
y  3 t
 z  3  t

Gọi H là hình chiếu của tâm T trên mặt phẳng  P  . Suy ra H  d   P  .

Điểm H  d  H  1  2t ;3  t; 3  t  .

Điểm H   P   2  1  2t    3  t    3  t   10  0  t  3 .
Với t  3  H  5;0;0  .
b) Viết phương trình mặt phẳng  Q  song song  P  và tiếp xúc với mặt cầu  S  .
Phương trình mặt phẳng  Q  song song với mặt phẳng  P  có dạng:
2 x  y  z  D  0 , với D  10 .

0, 25

Vì mặt phẳng  Q  tiếp xúc với mặt cầu  S  nên
d T ,  Q    r



2.  1  1.3  1.  3  D
2

0, 25

2 6

22   1  12
 8  D  12

 8  D  12
 D  20
(nhận)


 8  D  12
 D  4

Vậy có 2 phương trình mặt phẳng  Q  là:
2 x  y  z  20  0 , 2 x  y  z  4  0 .
Câu 5.b
(1,0 điểm)

0, 25
0, 25

Cho số phức z thỏa mãn 1  i  z   2  3i  z  3  16i . Tính môđun của số phức 1  z  z 2 .
Gọi số phức z  a  bi , với a, b 

.

Ta có 1  i  z   2  3i  z  3  16i
 1  i  a  bi    2  3i  a  bi   3  16i
 a  bi  ai  bi 2   2a  2bi  3ai  3bi 2   3  16i

0, 25

   a  4b    2a  3b  i  3  16i
 a  4b  3
a  5


2a  3b  16
b  2
Suy ra số phức z  5  2i .
Ta có
2
1  z  z 2  1   5  2i    5  2i   1   5  2i   25  20i  4i 2  17  18i .

2

Do đó 1  z  z 2  17  18i  17 2   18  613 .

– Thư viện đề thi toán học

0, 25

0, 25
0, 25