Đề thi học kì 2 môn Toán lớp 12 trường THPT Trần Hưng Đạo, TP Hồ Chí Minh năm học 2015 - 2016

SỞ GD & ĐT TP. HỒ CHÍ MINH

ĐỀ THI HỌC KỲ II

TRƯỜNG THPT TRẦN HƯNG ĐẠO

MÔN TOÁN - KHỐI 12
Ngày thi: 20/04/2016
Thời gian làm bài: 120 phút

Câu 1: (2 điểm) Cho hàm số y 

x2
có đồ thị (H)
2x 1

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (H)
b) Gọi (d) là đường thẳng đi qua A(2; 2) và có hệ số góc k. Tìm k để (d) cắt (H) tại 2 điểm
phân biệt.
Câu 2: (2 điểm)
1

a) Tính tích phân: I    3 x  1 e 2 x dx
0

b) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường: y  x 2  2 x , x  1 , x  3 và trục hoành.
Câu 3: (2 điểm)
a) Tìm số phức liên hợp của số phức z thỏa : (1  i) 2 z  3  4i  (2  3i)z
b) Cho số phức z thỏa mãn:  3  2i  z  4 1  i    2  i  z . Tính môđun của z.
Câu 4: (2 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho các điểm A  4;3;1 , B 1;5; 1 và
đường thẳng.  :

x  4 y 1 z  4


1
1
3

a) Viết phương trình mặt phẳng   đi qua điểm A và vuông góc với đường thẳng  . Tìm tọa
độ giao điểm của đường thẳng  và mặt phẳng   .
b) Tìm tọa độ hình chiếu của điểm B trên đường thẳng  và viết phương trình mặt cầu  S  có
tâm B, tiếp xúc với đường thẳng  .
Câu 5: (2 điểm) Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B và AB  2a ,
AC  4a. Hình chiếu vuông góc của đỉnh S trên mặt phẳng (ABC) là trung điểm H của đoạn

thẳng AC. Cạnh bên SA tạo với mặt đáy một góc 60o. Tính theo a thể tích khối chóp S.ABC
và khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SC.

-------------HẾT----------


ĐÁP ÁN ĐỀ THI HỌC KỲ 2-MÔN TOÁN KHỐI 12
Câu 1: y  x  2

2x 1

5
 1 
Tập xác định: D  R \   ; y ' 
 0, x  D

(2 x  1) 2
2
1
1
Hàm số đồng biến trên (;  ) và ( ; ) (0.25đ)
2
2
lim  y   ; lim  y    Đường thẳng x  

x 

1
2

x 

1
2

1
là tiệm cận đứng
2

1
1
1
là tiệm cận ngang
; lim y   Đường thẳng y 
x 
x 

2
2
2
(0.25đ)
Bảng biến thiên:
lim y 





x
y’

1
2



+

+

1
2



y

1
2



(0.25đ)

Đồ thị: (0.25đ)
b) (d ) : y  k ( x  2)  2 .

(0.25đ)
x2
1
 k ( x  2)  2  x  2  (2 x  1)(kx  2k  2)( x  )
2x 1
2

PThđgđ của (H) và (d):

 2kx 2  (5k  5) x  2k  0 (*) (0.25đ)
(H) và (d) cắt nhau tại 2 điểm pb khi và chỉ khi pt (*) có 2 nghiệm phân biệt

k  0
k  0
5



 k   k  5 (0.5đ)
5

2
9
  9k  50k  25  0
k  9  k  5
1

Câu 2: a) I    3 x  1 e dx
2x

0

du  3dx
u  3 x  1

Đặt 

1 2x
2x
dv  e dx v  e
2


1
1
3 2x
1
3 2 x 1 5e 2  1
2x 1
2x 1
I   3 x  1 e


e dx   3 x  1 e
 e

0 0 2
0 4
0
2
2
4
3

b) Diện tích cần tìm: S   x 2  2 x dx
1

 x  0  [1;3]
Xét : x 2  2 x  0  
 x  2  [1;3]
2

3

 x3

 x3

2 4
 S    x  2x  dx    x  2x  dx    x 2     x 2      2
3 3
 3

1  3
2
1
2
2

3

2

2


Câu 3: a) (1  i ) 2 z  3  4i  (2  3i ) z  2iz  3  4i  (2  3i ) z

 (2  i ) z  3  4i (0.25đ)  z 

(0.25đ)

3  4i (3  4i )(2  i )
10  5i

z
 2  i (0.25đ)
2  i
5
5

 z  2  i (0.25đ)
b) Giả sử z = a + bi  a, b  R 

Gt   3  2i  a  bi   4  4i   2  i  a  bi  (0.25đ)

 3a  2b  4   2a  3b  4  i  2a  b   a  2b  i (0.25đ)
3a  2b  4  2a  b
a  3
(0.25đ)  z  10 (0.25đ)


 4  2a  3b  a  2b
b   1

Câu 4:


 
a)  có vectơ chỉ phương u  1; 1;3 ; ( )      có vtpt n  u  1; 1;3 .(0.25đ)

Mà   qua A  4;3;1  ( ) : 1 x  4   1 y  3  3  z  1  0  ( ) : x  y  3z  4  0 (0.25đ)
Gọi M      .

Điểm M    M  4  t ;1  t ; 4  3t  . (0.25đ)

Điểm M    nên  4  t   1  t   3  4  3t   4  0  t  1  M  3; 2;1 (0.25đ)


b) Gọi H là hình chiếu của B trên   H   H (4  t;1  t;4  3t )  BH  (3  t; 4  t;5  3t )
 
(0.25đ) BH    BH .u  0  11t  22  0  t  2  H (2;3; 2) (0.25đ)
Mặt cầu (S) có tâm B 1;5; 1 , bán kính R = BH =

6 (0.25đ)

S

 ( S ) :  x  1   y  5    z  1  6 (0.25đ)
2

2

2





  SAH
  60o
Câu 5: a) SH  ( ABC )  SA,(ABC)

  1 AC.tan SAH
  2 3a
 SH  AH .tan SAH
2
BC  AC 2  AB 2  2 3a  S ABC

1
 AB.BC  2 3a 2
2

K

D

E
A

H

1
1
VS . ABC  SH .S ABC  .2 3a.2 3a 2  4a 3 .
3
3

C

B

b)Dựng hình chữ nhật ABCD  AB // CD  AB // (SCD)

 d(AB,SC)  d(AB,(SCD))  d(A,(SCD))  2d(H,(SCD)) (do AC  2HC )
Trong (ABCD), gọi E là trung điểm CD  HE  CD  CD  (SHE)
Trong (SHE), kẻ HK  SE (K SE)  HK  (SCD)  d(H,(SCD))  HK
Ta có: HE 

1
A D  3a
2

SHE vuông tại E 

1
1
1
1
1
5
2 15





 HK 
a
HK 2 H S 2 HE 2 12 a 2 3 a 2 12 a 2
5

Vậy d ( AB, SC )  2 HK 

4 15
a
5