Tán xạ khi các chùm không phân cực trong mô hình randall – sundrum

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI

NGUYỄN QUANG MINH

TÁN XẠ

 

 h KHI CÁC CHÙM



,



KHÔNG PHÂN CỰC TRONG MÔ HÌNH
RANDALL - SUNDRUM

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC VẬT LÝ

HÀ NỘI, 2016


BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI

NGUYỄN QUANG MINH

TÁN XẠ

 

 h KHI CÁC CHÙM



,



KHÔNG PHÂN CỰC TRONG MÔ HÌNH
RANDALL - SUNDRUM
Chuyên ngành: Vật lý thuyết và vật lý toán
Mã số: 60440103

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC VẬT LÝ

Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: TS. LÊ NHƢ THỤC

HÀ NỘI, 2016


LỜI CẢM ƠN
ồng nghiệ
bạn h c viên. Bằng tất cả lòng kính tr ng và s biế
ờ ả
ế

Lê N

ục– giả

d n, chỉ dạ
ó

ũ

ế ò

ộ

ộc s ng. Nhờ s s

a mình.
ồ

V t lí, Tổ V t lí lí thuyết –

ấ
ờ

y, cô giáo trong khoa

Đại h

S

ạm Hà Nộ

ề
ữ

kiến thức quý báu cho tôi trong quá trình h c t
ể
C

ng

ng d n nhiệt tình c a một giảng viên m u m c mà từ

ể hoàn thành lu

T

ờ

ng d

tôi trong h c t

ộng viên, khích lệ, s
ó

ê

ỉ

ạt những
ó

ó

ời hạn.

ồng nghiệp, các bạn h c viên l p v t lí lí thuyết K25, cùng những

ờ

ạo m

hoàn thành lu

ều kiệ

ộ

ê

tôi trong h c t p và

.

Lời cu i cùng, kính chúc th y cô luôn dồi dào sức kh e, hạnh phúc và
thành công. Chúc các bạn h c viên hoàn thành t t lu

a mình.
2017

Hà Nộ

HỌC VIÊN

Nguyễn Quang Minh


MỤC LỤC
MỞ ĐẦU .......................................................................................................... 1
1. Lý do chọn đề tài ....................................................................................... 1
2. Mục đích nghiên cứu ................................................................................. 3
3. Khách thể và đối tượng nghiên cứu .......................................................... 3
4. Giả thuyết khoa học .................................................................................. 3
5. Nhiệm vụ nghiên cứu ................................................................................ 4
6. Giới hạn phạm vi nghiên cứu .................................................................... 4
7. Phương pháp nghiên cứu........................................................................... 4
8. Cấu trúc luận văn ...................................................................................... 4
9. Tóm tắt cô đọng những luận điểm cơ bản và đóng góp mới của tác giả .. 5
CHƢƠNG I: MÔ HÌNH RANDALL - SUNDRUM . Error! Bookmark not
defined.
1.1. Dạng tác dụng và metric của mô hình .. Error! Bookmark not defined.
1.2. Thế năng hiệu dụng ................................................................................ 7
1.3. Đánh giá số trong mô hình ................................................................... 13
CHƢƠNG II: TIẾT DIỆN TÁN XẠ CỦA QUÁ TRÌNH
CÁC CHÙM





 

 h KHI

KHÔNG PHÂN CỰC .................................................. 20

2.1. Biên độ tán xạ của quá trình

 

 h theo kênh s ............................ 20

2.1.1. Giản đồ Feynman theo kênh s ....................................................... 20
2.1.2. Biên độ tán xạ của quá trình

 

 h theo kênh s ..................... 21


2.2. Biên độ tán xạ của quá trình

 

 h theo kênh u ........................... 22

2.2.1. Giản đồ Feynman theo kênh u ..................................................... 222
2.2.2. Biên độ tán xạ của quá trình
2.3. Biên độ tán xạ của quá trình

 

 

 h theo kênh u .................... 22

 h theo kênh t ............................ 24

2.3.1. Giản đồ Feynman theo kênh t ........................................................ 24
2.3.2. Biên độ tán xạ của quá trình

 

 h theo kênh t ..................... 25

2.4. Phần trộn giữa các kênh s, u, t .............................................................. 25
2.5. Tiết diện tán xạ của quá trình

 

 h ........................................... 29

2.6. Kết luận……………………………………………………………………………………………………………………..33
CHƢƠNG III: TÍNH SỐ VÀ THẢO LUẬN
3.1. Tiết diện tán xạ vi phân ........................................................................ 34
3.2. Tiết diện tán xạ toàn phần .................................................................... 36
3.3. Kết luận ................................................................................................ 38
KẾT LUẬN .................................................................................................... 40
TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................ 41
PHỤ LỤC ....................................................................................................... 42

MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Vật lý hạt cơ bản có mục tiêu là tìm kiếm, phân loại sắp xếp các thành
phần sơ cấp của vật chất và phám khá những tính chất cũng như những định luật
cơ bản chi phối sự vận hành của chúng. Và các quy luật tự nhiên ấy được tóm tắt
trong mô hình chuẩn. Mô hình này mô tả thành công bức tranh hạt cơ bản và các
tương tác, góp phần quan trọng vào sự phát triển của vật lý hạt. Mô hình chuẩn
là lý thuyết diễn tả và giải thích nhất quán những đặc trưng của những “viên
gạch” sơ đẳng cấu tạo nên vật chất, dưới tác động của 3 trong 4 lực cơ bản của tự
nhiên: lực điện-từ, lực hạt nhân mạnh và lực hạt nhân yếu để từ đó vạn vật được
hình thành và biến hóa. Theo mô hình chuẩn, vũ trụ cấu tạo từ 6 hạt quark và 6
hạt nhẹ chia thành 3 nhóm. Kể từ khi Mô hình chuẩn ra đời, chúng ta đã chứng
kiến những thành công nổi bật của nó. Mô hình này đã đưa ra một số tiên đoán
mới và có ý nghĩa quyết định. Sự tồn tại của dòng yếu trung hòa và các vectơ
boson trung gian cùng những hệ thức liên hệ về khối lượng của chúng đã được
thực nghiệm xác định. Đã có, một loạt các phép đo kiểm tra giá trị của các thông
số điện yếu đã được tiến hành trên các máy gia tốc Tevatron, LEP và SLC với độ
chính xác rất cao, đạt tới 0,1% hoặc bé hơn [1]. Người ta xác nhận rằng các hệ số
liên kết giữa W và Z với lepton và quark có giá trị đúng như mô hình chuẩn đã
dự đoán. Hạt Higgs boson, dấu hiệu còn lại của sự phá vỡ đối xứng tự phát,
những thông tin quan trọng được rút ra từ việc kết hợp số liệu tổng thể có tính
đến các hiệu ứng vòng của hạt Higgs đảm bảo sự tồn tại của hạt này. Số liệu thực
nghiệm cũng cho thấy rằng khối lượng của hạt Higgs phải bé hơn 260 GeV, phù
hợp hoàn toàn với dự đoán theo lý thuyết [1]. Vào ngày 4 tháng 7 năm 2012 các
nhà khoa học ở CERN đã phát hiện ra hạt mang khối lượng  125 GeV có những

1


đặc tính tựa Higgs boson từ máy gia tốc hạt LHC (Large Hadron Collider). Sự

kiện lịch sử này được các nhà vật lý hồi hộp đón chờ từ năm 1994 khi CERN
quyết định xây dựng máy gia tốc LHC có năng lượng cao nhất thế giới để săn
tìm hạt Higgs và giải thưởng Nobel đã được trao cho hai nhà vật lí học (Peter
Higgs, người Anh, và Francois Englert, người Bỉ) đã tiên đoán sự tồn tại của
Higgs trong mô hình chuẩn.
Tuy nhiên trong mô hình chuẩn còn tồn tại một số vấn đề cần giải quyết
như: Mô hình chuẩn không thể trả lời về hơn 95% lượng vật chất tối và năng
lượng tối của vũ trụ, vì những hạt trong mô hình chuẩn đều có thể quan sát được
và không thỏa mãn điều kiện vật chất tối. Mô hình chuẩn cũng không trả lời
được tại sao lại có chỉ có ba thế hệ fermion và mối liên hệ giữa các thế hệ như
thế nào?, tại sao các điện tích quan sát thấy lại gián đoạn và bằng một số nguyên
lần điện tích nguyên tố, tại sao quark t lại nặng hơn nhiều so với dự đoán (về mặt
lý thuyết dựa theo mô hình chuẩn thì khối lượng của quark t vào khoảng 10
GeV, trong khi đó năm 1995, tại Fermilab người ta đo được khối lượng của nó
là 175 GeV [1]). Đặc biệt là trong mô hình chuẩn, neutrino chỉ có phân cực trái
nghĩa là không có khối lượng nhưng thực nghiệm chứng tỏ neutrino có dao động
và có khối lượng nhỏ (bằng khoảng 1 phần triệu khối lượng electron)...Để có thể
giải thích được đầy đủ các vấn đề trên, các hướng mở rộng mô hình chuẩn ra đời
và nó hứa hẹn nhiều hiện tượng vật lí mới rất thú vị tại thang năng lượng cao.
Có nhiều hướng mở rộng mô hình chuẩn, mỗi hướng đều có ưu và nhược
điểm riêng. Ví dụ, các mô hình mở rộng đối xứng chuẩn không thể giải quyết
được sự phân bậc khối lượng. Các mô hình siêu đối xứng có thể giải thích vấn đề
này tuy nhiên lại dự đoán vật lý mới ở thang năng lượng rất thấp (cỡ TeV)…Có
một hướng khả quan là lý thuyết mở rộng thêm chiều không gian. Lý thuyết đầu

2


tiên theo hướng này là lý thuyết Kaluza – Klein, mở rộng không thời gian bốn
chiều thành không thời gian năm chiều, nhằm mục đích thống nhất tương tác hấp

dẫn và điện từ. Lý thuyết này đã gặp một số khó khăn về hiện tượng luận, tuy
nhiên ý tưởng của nó là cơ sở cho các lý thuyết hiện đại sau này như thống nhất
Higgs- Gauge (GHU), lý thuyết mở rộng với không thời gian lớn, lý thuyết
dây…
Trong luận văn này, chúng tôi đề cập đến lý thuyết mở rộng thêm mà cụ
thể đó là mô hình Randall – Sundrum (RS). Mô hình này có thể giải thích vấn đề
phân bậc, giải thích tại sao hấp dẫn lại rất nhỏ ở thang điện yếu, giải thích tại sao
chỉ có ba thế hệ fermion và có sự phân bậc giữa chúng, vấn đề neutrino…Một
đặc điểm của mô hình RS là tính bền của bán kính compact cho giải quyết vấn đề
phân bậc. Trường radion động lực gắn với bán kính này đảm bảo tính bền thông
qua cơ chế Goldberger – Wise. Radion và vật lý gắn với nó là một yếu tố mới
trong mô hình. Chứng minh sự tồn tại của radion là một trong những bằng chứng
khẳng định tính đúng đắn của mô hình RS.
Chính vì vậy chúng tôi chọn đề tài “ Tán xạ
 

 

 h khi các chùm

không phân c c trong mô hình Randall – Sundrum” làm đề tài nghiên cứu

cho luận văn của mình.
2. Mục đích nghiên cứu
Nghiên cứu quá trình tán xạ

 

 h khi chùm



,



không phân cực.

Trên cơ sở đó chỉ ra các hướng có lợi ghi tín hiệu radion từ thực nghiệm, để
khẳng định sự tồn tại của nó cũng như tính đúng đắn của mô hình mở rộng.
3. Khách thể và đối tƣợng nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu: Nghiên cứu quá trình tán xạ
chùm



,



không phân cực trong mô hình Randall – Sundrum.
3

 

 h khi các


4. Giả thuyết khoa học
Nếu luận văn thành công thì sẽ chỉ ra các hướng có lợi thu tín hiệu radion

và Higgs từ thực nghiệm để khẳng định sự tồn tại của chúng, cũng như tính đúng
đắn của mô hình mở rộng Randall-Sundrum.
5. Nhiệm vụ nghiên cứu
Nghiên cứu quá trình tán xạ

 

 h khi các chùm



,



không phân

cực cụ thể :
+ Đưa ra biểu thức bình phương biên độ tán xạ và phần trộn giữa các kênh
s, u, t khi các chùm

 

không phân cực

+ Từ đó tính được biểu thức tiết diện tán xạ vi phân và tiết diện tán xạ toàn
phần trong hệ quy chiếu khối tâm.
6. Giới hạn phạm vi nghiên cứu
Trong khuôn khổ lý thuyết trường lượng tử, chúng tôi tính toán giải tích
và đánh giá số tiết diện tán xạ của quá trình tán xạ

Higgs khi các chùm



,





,



tạo thành radion và

không phân cực.

7. Phƣơng pháp nghiên cứu
Sử dụng phương pháp trường lượng tử với sự hỗ trợ của quy tắc Feynman
để tính biên độ tán xạ và tiết diện tán xạ.
Sử dụng phần mềm Mathematica để tính số và vẽ đồ thị.
8. Cấu trúc luận văn
Ngoài phần mở đầu, kết luận và phụ lục, luận văn gồm 3 chương:
Chương I: Mô hình Randall – Sundrum.
Chương II: Tiết diện tán xạ của quá trình
không phân cực.
Chương III: Tính số và thảo luận.
4

 

 h khi các chùm



,




9. Tóm tắt cô đọng những luận điểm cơ bản và đóng góp mới của tác giả
Khi nghiên cứu quá trình tán xạ

 

 h khi các chùm

 

không phân

cực, chúng tôi sử dụng phương pháp lý thuyết trường lượng tử và giản đồ
Feynman để tính toán biên độ tán xạ theo các kênh s, u, t khi các chùm

 

không phân cực. Sau đó sử dụng phần mềm Mathematica để tính số và vẽ đồ thị.
Sau khi luận văn hoàn thành, các kết quả nghiên cứu sẽ đóng góp vào thực
nghiệm trong việc thu tín hiệu radion và Higgs. Đó là bằng chứng quan trọng về

sự tồn tại của chúng và khẳng định tính đúng đắn của mô hình Randall –
Sundrum.

5


CHƢƠNG I
TỔNG QUAN MÔ HÌNH RANDALL – SUNDRUM
1.1 . Dạng tác dụng và metric của mô hình
Năm 1999, Raman Sundrum và Lisa Randall đưa ra một mô hình năm
chiều nhằm giải quyết vấn đề thứ bậc với chiều thứ năm compact. Thực ra là mở
rộng thời gian 5 chiều (5D) trên cở sở mở rộng không - thời gian bốn chiều
Minkowski. Trong không gian này, đối xứng Orbifold S1 / Z 2 có hai điểm cố
định   0;   ; qua đối xứng S1 :   '    2k , qua đối xứng Z2 :   .
Trong không - thời gian này một điểm xác định có tọa độ (x  , ) với
y  rc   

y
. Hai Brane 3 chiều được đặt tại các điểm cố định   0 và    .
rc

Brane ở   0 là Brane ẩn hay Brane tử ngoại hay Brane Planck năng lượng cao.
Barne ở    là Brane quan sát được hay brane hồng ngoại hay Brane TeV năng
lượng thấp.
+ 3-brane tại   0 gọi là Gravity brane (UV-brane) hay gọi là brane ẩn hay
brane ở thang năng lượng cao. Trong brane này tương tác chủ yếu là tương
tác hấp dẫn.
+ 3-brane tại    gọi là Weak brane (IR-brane) hay gọi là brane hồng
ngoại là brane quan sát được hay brane ở thang năng lượng thấp. Ở brane này
tương tác chiếm ưu thế là các tương tác mạnh, yếu và tương tác điện từ.

Hàm tác dụng 5D trong mô hình Randall – Sundrum có dạng [3]:
 R

S    d 4 xdy gˆ 
 
 16G 5


6


  d 4 x g hid 

hid

 Vhid    d 4 x g vis 

vis

 Vvis  ,

(1.1)

trong đó:





R

   : là hàm tác dụng của trường hấp dẫn,
 16G 5


- Sgravity    d 4 x  d gˆ 


- Shid   d 4 x g hid 

hid

 Vhid  : là hàm tác dụng trong brane mà ta không thể quan

sát được,
- Svis   d 4 x g vis 

vis

 Vvis  : là hàm tác dụng trong brane mà ta có thể quan sát

được,
- gˆ ˆ ˆ là tenxơ metric ( với ˆ, ˆ  0,1,2,3,4, và chỉ số 4 tương ứng với trục y của
chiều thứ năm compact); tại y = 0 ta có tenxơ metric trên brane ẩn: g 
hid (x), và tại
y = 1/2 thì ta có tenxơ metric trên brane quan sát được: g
vis (x), (,   0, 1, 2, 3) .
Khi hằng số vũ trụ bulk và hằng số brane vũ trụ âm được liên quan với nhau
bởi công thức:
 / m0  Vhid  Vvis  12m0 /

ở đây

2

2

,

 16G5  1 / M 3Pl , thì bắt buộc điều kiện biên tại chiều thứ năm compact

âm là như nhau. Khi đó ta có khoảng tác dụng như sau:
ds2  e2(y)vdx dx v  b02dy2 ,

(1.2)

với (y)  m0 b0  y (2 (y)  1)  2(y  1/ 2) (y  1/ 2)  và b0 là tham số. Để xác định
dao động hấp dẫn xung quanh các metric chúng ta dùng phép thay thế sau:
    h   x, y  ,

(1.3)

b0  b0  b  x  .

7


1.2. Thế năng hiệu dụng
Thế năng hiệu dụng là yếu tố rất quan trọng để xác định được hiệu ứng thế
năng sẽ góp phần vào việc tính mật độ Lagrangian, qua đó ta có thể định nghĩa
chuẩn chân không theo thế năng tối thiểu (là điểm dừng của thế năng Higgs). Để

tái hiện thế hấp dẫn chuẩn 4D và để nhận định độ vô hướng tự do có liên quan
đến biên độ, thì ta có thể coi h  là hàm của x 2 . Ta có biểu thức tác dụng hiệu
dụng sau:
Seff   d 4 x g (

(1  b2 (x)) (4)
R (g) 
2
m0

6
( b (x))( b (x)  ...),
m0

2

(1.4)

trong đó R (4) (g) là Ricci vô hướng và b (x)  e m [b  b(x )]/2 .
0

0

Thế hấp dẫn chuẩn 4D thỏa mãn phương trình:
M 2Pl 1  02
 2
,
2
m0

(1.5)

với 0  e m b /2 là yếu tố warp, M Pl  1 / 8G 4 ~ 2.4 1018 GeV là khối lượng
0 0

Planck. Trong mô hình Randall - Sundrum trường radion không khối lượng
0 (x) được định nghĩa như sau [3]:
1/2

 12 
0 (x)   2  b (x)
 m0 

6M Plb (x),

0     6M Pl0 .

(1.6)

Ở công thức (1.4), ta coi radion là không khối lượng và không thế năng, từ đó
thu được giá trị chân không của trường radion như mong đợi. Kết quả này thu
được từ việc áp dụng lý thuyết Randall - Sundrum để giải phương trình Einstein.
Do đó, thế năng V(0 ) cho trường radion là cần thiết để xác định giá trị chân
không, đồng thời cũng có ảnh hưởng tới khoảng cách giữa các brane.

8


Hàm tác dụng của mô hình chuẩn đối với cặp Higgs Hˆ trên brane quan sát
được biểu diễn như sau:

Svis   d 4 x g vis (L vis  Vvis )

ˆ  D  4 (x) V(H)
ˆ ,
  d 4 x g b2 (x)D H
b


(1.7)

1
2

ˆ  (H
ˆ H
ˆ  vˆ 2 ) 2 .
với V(H)
1
2

ˆ  (H  H  v 2 ) 2 , ta có biểu thức của
ˆ , v0  0 vˆ , V(H)
Ta thay H0  0 H
0
0
0

tác dụng Svis trên brane quan sát được:
Svis

4
   2




  d 4 x g  0  D H 0 D H 0   0  V(H 0 )  ,
 
   

 



(1.8)

Bây giờ, chúng ta quan tâm đến radion và Higgs trong mở rộng
0   0  0 ; H0 

1
(v0  h 0  ia 0 ), với a 0 đặc trưng cho Goldstone boson và có
2

đóng góp bởi hàm:


 d x g 


4

2

SM

   1


(h 0 )  0 T (h 0 )   0     h 0  h 0  6V(h 0 )  
   2


 

  3  
 0   
,
     



(1.9)
2






T (h 0 )  4V(h 0    h 0 h 0 );


h 2
V(h 0 )    v 0h 0  0  .
2 


(1.10)

Do đó, sự tồn tại của hệ số warp   0  đóng góp vào việc giải quyết vấn đề phân
bậc cũng như giải thích được tỉ lệ lớn M Pl /1TeV. Sử dụng sự mở rộng của lí
thuyết Kaluza- Klein (KK), cho ta biểu thức:

9


n (y)
h  (x, y)   h  (x)
,
b0
n
n

(1.11)

với y = 1/2 (trên brane quan sát được). Từ đó ta có:
1


g  1  h   h  h   h  h   

2
4
2

2




1
 1
ˆ

w

trong đó,

 1 
n h   ˆ 
 w

2

n


 
3

 n m 1 n m 


 h h  h h  
2

n ,m 

 h n  3 

 , (1.12)
ˆ  
 
w  

ˆ  2 b0 ~ 2M  , n (1/ 2) ~ m b /  .

w
Pl 0
0 0
0
n (1/ 2)

(1.13)

Từ đó suy ra thế năng hiệu dụng đầy đủ cho radion và Higgs, vậy nên thu được
thế năng ổn định cho một radion có khối lượng m  :
0

brane
eff

V


1
 1 
ˆ
 
w

 1 
h

ˆ 
n
 w 
n


2

 n m 1 n m  

 h  h   h  h   ...
2
 
n,m 

4

0 

1 2 2 
  1 
V
h

m  0 .
  0
2 0 
   



(1.14)

Xét trong trường thăng giáng 0  0  0     0 của radion, với giả thiết
rằng có tồn tại các giá trị chân không khác với giá trị tầm thường của b 0 , dẫn
đến việc đưa ra trong trường thăng giáng tập hợp các khối lượng

1 2 2
m  0 xuất
2 0

hiện trong công thức (1.14).
1
4

n

n
~  h , ta tính được thế hiệu dụng trên brane là:

Trong trường hợp h 



n
n m
1
1
brane
Veff
 1 
h

h
h

...

ˆ 
ˆ 2 
4
W n m
 W n


10


   4
1 2 2 

0

 1 
 V  h 0   m0 0 .
2
   




(1.15)

Bỏ qua đạo hàm của b(x) và mở rộng năng lượng của h  , từ đó thu được hàm
mật độ Lagrangian như dưới đây:



branes

trong đó



branes

bulk

,



bulk

Giới hạn của



branes



bulk

1
 y e4 ( y) ( y h   h  ')  ,
[b0  b(x)]

(1.16)

tương ứng là hàm mật độ Lagrangian của bulk và brane.

1 là:







2

1
e4   y h     y h      y h   .
4  b0  b  x 

(1.17)

Để tìm được hiệu ứng thế năng 4D thì ta phải mở rộng h  trong mô hình KK và
sau đó tích phân toàn bộ trên y. Mô hình KK phải thỏa mãn với điều kiện trực
giao dưới đây:



1/2

1/2

e 2  ( y) b(x ) 0  n (y) m (y)dy   nm .

(1.18)

Xét đến mối quan hệ trực giao, chúng ta mở rộng phương trình (1.17) với:
  x
bx
2

ln 1  0
.
b0
m0 b0 
  

(1.19)

Vấn đề phân bậc được giải quyết khi thỏa mãn yêu cầu 2  m0 b0   1 35 , vì thế có
thể bỏ qua b  x  b 0 [3].
Sau khi sử dụng các mối quan hệ trực giao, chúng tôi tìm ra kết quả cuối
cùng cho tập hợp khối lượng hấp dẫn KK - graviton trong hiệu ứng tương quan
giữa năng lượng và khối lượng như biểu thức sau:

11


VeffKK 

1
n
m 2n h 
h n  h n h n  ,

4 n

(1.20)

với mn  m0 x n 0 là khối lượng hấp dẫn KK - graviton; và x n biểu thị những giá
1
4

n

n

~  h .
trị khác giá trị tầm thường của hàm Bessel J1 (x) , 0  em b 2 , h 
0 0

Mặt khác ta có:

VeffKK  

 

n
3
m n2 h ,

16 n

(1.21)

từ đó thu được tổng thế năng hiệu dụng theo bốn chiều 4D là:
brane
KK
Veff  Veff
 Veff


1
 1 
ˆ
 W

h
n

n



1
ˆ2
4
W

 h
n

m

n


m
h  ... 


4

n
0 
1 2 2  3


 1 
V  h 0   m0 0   m n2 h

2
   
 16 n



   ...,
2

Từ (1.22) ta thấy nếu giá trị nhỏ nhất của Veff thỏa mãn
b  x  b0

1 , thì 0 

(1.22)



n

ˆ
hn / 
w

1. Xét tại các điều kiện biên, từ phương trình (1.22) ta

được:

 1
1
0

n
ˆ
ˆ2
h
  W 2 W

Veff

1,

4
 
0 
1 2 2  3 2 n

h
1

V
h

m 0  m n h  0,





n    
0
2 0  8
 
 

n

(1.23)


n
n m 
Veff
  4V  h 0 
1
1
 0  1 
h 
h h  1  0 
 m20 0  0,


2


ˆ
ˆ
0


4 W n m
 W n
   
3

(1.24)

n
n m 
Veff
  V  h 0 
1
1
 0  1 
h  2  h h  1  0 
 0.



ˆ
ˆ n m
h
4
W
 W n
    h 0
4

(1.25)

12


Phương trình (1.25) chỉ có cách giải quyết duy nhất với 0   1 và



n

ˆ  1 , tức là: V(h 0 ) h  0  0 . Do đó, để thỏa mãn đúng yêu cầu
hn / 
0
w
h 0

của mô hình Randall - Sundrum thì V( h 0 )  0 , nếu không khi đó ta phải thay
đổi cách giải phương trình Einstein với lý thuyết Randall - Sundrum.
1.3. Đánh giá số trong mô hình
Sự trộn lẫn các yếu tố hấp dẫn với các yếu tố điện yếu được mô tả bởi biểu
thức của tương tác sau [4]:
ˆ  H,
ˆ
S    d 4 x g vis R  g vis  H

(1.26)

với R  g vis  là Ricci vô hướng trên brane khả kiến; Hˆ được gọi là trường Higgs
trong không - thời gian 5 chiều trước khi có sự thay đổi kích thước trên brane.
Sử dụng H0   Hˆ và Ω b  x  = Ω0Ω  x  , ta được:
ˆ H

ˆ  6   x      x   h      x   ... H  H , (1.27)
 g vis R  g vis  H

0 0

để tách riêng số hạng động năng, chúng ta sử dụng phép mở rộng sau:
H0 

1
 v0  h 0  ;
2

x  1

0
.
0

(1.28)

Tập hợp h v không có đóng góp nào vào động năng vì  hv  0 , do đó
h v v   h v v  0 . Từ đó ta thu được biểu thức động năng sau [5]:

L= 

1
1
1
1  6 2 0 0  0 m 20 0  h 0


2
2
2





 m h2 0 h 0  60 h 0 , (1.29)

với
  v0   ,

(1.30)

m 2h 0  2v 02 .

(1.31)

13


Góc θ được xác định bởi công thức [4]:
tan 2θ  12γξZ

mh0 2

m0 2  m h0 2  Z2  36ξ 2  γ 2 

 ,

(1.32)

Z2  1  6 2 1  6     362  2 .

(1.33)

Từ đó ta có giá trị chính tắc của h và  [4] được xác định:
h 0  (cos  

6
6
sin ) h  (sin  
cos )   dh  c,
Z
Z

0  cos

(1.34)


h
 sin  a  bh .
Z
Z

(1.35)

Để động năng có giá trị xác định dương thì Z 2 > 0, tức là   362  2 , khi đó

bình phương khối lượng có giá trị riêng tương ứng là:
m2 



2
1  2
2
2
2
2 2
2


m


m

m


m
0
h0
0
h 0   4Z m 0 m h 0
2 

2Z 



12


.


(1.36)


.


(1.37)

Mở rộng [mh , m ] với m  , ta có phương trình dưới đây:
 2
Z2  2
4m 2 m 2 
2
2 2
m , m  
 m   m    m   m   

2 
Z2 



12

2
h0

2
0

Ta thấy m 2 , m 2 đóng vai trò như nhau trong (1.37) và chúng hoàn toàn có thể
hoán vị cho nhau.
Chú ý: biểu thức dưới dấu căn bậc hai phải xác định dương, tức là:

m



2

 m



2 2

4m 2 m 2

 0,
Z2
12

m 2
2  Z2  2  Z2 

1

1    2 1   ,
m 2
Z2 
  Z 


với 1  Z2   362  2   0 . Khi  và  nhỏ, ta có:

14

(1.38)


m 2h0  m20  Z2  m 2  m 2  ,

m 2h0 m 20  Z2m 2 m 2 .

(1.39)

Khi   0 ta có m h 2  m h 2 . Như vậy thì: dấu (+) tương ứng với mh  m hay
0

tương ứng m h  m  và dấu (-) tương ứng với mh  m hay tương ứng m h  m  .
Từ phương trình (1.39) chúng ta thu được [3]:

sin 2 

12m 2h0

Z  m2  m h2 

(1.40)

.

Do sin 2 phụ thuộc vào việc m2  mh 2 hay m2  mh 2 , nên để thuận tiện thì
ta chuyển về tính tan 2θ như sau:
tan 2  12Z

m 2h0

m20  m 2h0  Z2  362  2 

.

(1.41)

Từ (1.40) và (1.41), chúng ta tìm được giá trị của . Nếu m  0 thì m   0 ,
0

m2h0  Z2 m2h , sin   12Z / , cos   Z /  , từ đó ta tính được , , m h và m .

Đồng thời tính được Z2 theo (1.33) và m 2h , m2 theo (1.37), đồng thời theo (1.32)
0

0

ta cũng tính được  . Kết hợp với (1.34) và (1.35), ta tính được a, b, c, d. Từ đó ta
có được 4 tham số độc lập để tính được a, b, c, d là ,  , mh , m .
Hai tham số nhằm đảm bảo yêu cầu hiệu chỉnh các yếu tố vô hướng, bao gồm cả
sự phân rã là:
ˆ và m ,

w
1

(1.42)

ở đây ˆ w sẽ xác định cặp KK - graviton (Kaluza - Klein graviton) và được hiệu
chỉnh trong   ; m1 là khối lượng của KK - graviton kích thích lần thứ nhất, phụ
thuộc vào   và tham số độ cong M0/ MPl. Các tham số này liên hệ với nhau bởi
các công thức sau [3]:

15


ˆ , (1.43)
ˆ  2 b0  2 M  , m n  m0 x n 0 ,    6M Pl0  3

w
w
pl 0
n1
  
2

với 0 M Pl  e m b /2 M Pl . Trong phương trình (1.43) thì x n được xác định bởi
0 0

hàm Bessel J1 ( x1~3.8, x2 ~7.0). Mặt khác, ta có:
m1  x1

m0 
,
M Pl 6

g YM  0,7 thì

(1.44)

m0
M Pl

g 2YM
6  2 

3

(1.45)

0,013.
2

Trong đó đại lượng g YM được xác định như sau:
Ms

g YM M Pl ,
M s4  Vvis g  2  
3

12m 0
2

g  2  .
3

 m0 


 M Pl5 

m0
m
Tổng quát thì 0,01  0  0,1, và
M Pl5
M Pl

2

3

là đủ nhỏ để đảm bảo về độ

chính xác của phương pháp Randall - Sundrum. Xét tương tác quan trọng của h,
η

, trước hết là cặp ZZ của h và . Higgs h 0 có cặp ZZ chuẩn trong khi 0
 và h μv

 



lại có cặp ZZ chuyển hóa từ tương tác   0 T  bằng cách sử dụng các thành
  
phần hiệp biến của T  h 0  . Xét trong các trạng thái khối lượng riêng ta có các
thành phần  của cặp ZZ tương ứng sau:
gZZh 

gm Z
gm
gm
gm
 d  b   Z g ZZh ;gZZ  Z  c  a   Z g ZZ .
Cw
Cw
Cw
Cw

16

(1.46)


Ở đây g là cặp gauge SU(2) và C w là cosin của góc Weinberg tương ứng. Tương
tự cho cặp WW, tính toán bằng cách thay thế gm w cho

gm Z
.
Cw

Tiếp theo chúng ta xét cặp fecmion của h và . h 0 có cặp fecmion chuẩn và
 0  
T  , bằng cách sử dụng tương tác






cặp fecmion của 0 được chuyển hóa từ  

Yukawa, chúng ta thu được kết quả như sau [4]:
gffh  

gmf
gmf
g ZZh ;g ff  
g ZZ .
2m w
2m w

(1.47)

Cặp VV và ff được liên kết thành những cặp chuẩn bởi những yếu tố tương tự
nhau. Sử dụng giá trị rất nhỏ  , ta được các cặp g ZZh và g ZZ có dạng như sau:

 ,

g ZZh  1 

2


6 
g ZZ    1  2

2 


m

m
h
 


  .
3

(1.48)

Nếu 1- 6𝜉 > 0 thì ta luôn chọn được cặp đôi  từ VV và ff sao cho  c  a   0.
Thật vậy,
1
1

1  2
1  2
2
m2  max  2 ,
 m h0 , m   min  2 ,
 m h0 ,
 Z 1  6 
 Z 1  6 

(1.49)

với m2  m h2 / 1  6  . Mặt khác ta lại có:
0

2
2
gZZh
 gZZ


 gmZ / Cw 

2



gff2 h  gff2 

 gmf / 2mw 

2

g

2
ZZh

g

2
ZZ

  2 1  6 2 
2
 1 
R .
2
Z



(1.50)

Chú ý rằng, R 2  1 là kết quả thu được từ các biểu thức không trực giao, chẳng
hạn như phương trình (1.34) và (1.35). Và R 2  1 trong giới hạn conformal [3],
hay suy ra từ (1.50) ta được ξ  1/ 6 . Nếu Z  0 thì cặp hằng số radion thỏa mãn:

17

g ZZ

 c  a  

Để Z2  0 thì

1

6Z

 Z

1
4 
1
4 
1  1  2     1  1  2  .
12 
 
12 
 

(1.51)


Cuối cùng chúng ta xét là tương tác giữa các trường h,  và h 
. Đặc biệt,

đây là sự thể hiện quá trình hủy ba loại hạt này. Ba trường tương tác có được từ
bốn yếu tố cơ bản sau [3]:

Một là ta có sự tương tác bậc ba từ:
2

1 

V  H 0     H 0 H 0  v02     v02h 02  v0 h 30  h 04  ,
2 


H0 

(1.52)

1
 h 0  v0  ,
2

ở đây  có liên quan đến khối lượng Higgs như phương trình (1.31). Tương tác
m2h 3
3
h 0 có thể được thể hiện như biểu thức sau:

h0.
(1.53)
2v0
0

Hai là có sự tương tác của radion 0 với vết của tenxơ momen năng lượng
là:


0 

T  h 0    0    h 0  h 0  4v 02 h 02  .



(1.54)

Ba là chúng ta có sự tương tác của các KK- graviton với sự đóng góp vào
tenxơ momen năng lượng của trường h0 :
 h  T 
2



1
ˆ

w

h

n

  h 0  h 0 ,

(1.55)

n

Bốn là chúng ta có cấu trúc ba đường phụ thuộc ξ của phương trình (1.25):

18


6  x      x   h        x   H 0 H 0

v0
 2
n


 3 h 0 0  12 ˆ 2  h   0 h 0
 w  n
  


v0
v02
n


6 2 h 00 0  6
h




.



0
0
ˆ 2 n



w 

(1.56)


n
Trong đó  h 
 0, sử dụng điều kiện h n  0 và đồng thời cũng sử dụng tính

đối xứng của h  .
1.4. Kết luận
Trong chương 1, chúng tôi đã trình bày một cách tổng quát mô hình
Randall-Sundrum với một số vấn đề sau:
- Dạng tác dụng và metric của mô hình.
- Thế năng hiệu dụng.
- Đánh giá số trong mô hình.

19


CHƢƠNG II
BIÊN ĐỘ TÁN XẠ CỦA QUÁ TRÌNH

 

 h

Trong chương này, chúng tôi xem xét quá trình sinh cặp radion và Higgs
từ va chạm của các chùm




,



khi chưa tính đến sự phân cực của các chùm

,  . Cụ thể, chúng tôi tính bình phương biên độ tán xạ và phần trộn giữa các
 

kênh s, u, t của quá trình

 h .

2.1. Biên độ tán xạ của quá trình

 

 h theo kênh s

2.1.1. Giản đồ Feynman theo kênh s
Quá trình va chạm giữa hai hạt



(với xung lượng p1 ) và



(với xung

lượng p 2 ) tạo thành radion  (với xung lượng k1) và hạt Higgs (với xung lượng
k 2 ) được biểu diễn dưới dạng:


Quá trình tán xạ

 p1     p2     k1   h  k 2 .

 

(2.1)

theo kênh s được thông qua sự trao đổi các hạt

truyền tương tác radion  và Higgs. Giản đồ Feynman mô tả như sau:

Hình 2.1. Giả

ồ Feynman mô tả quá trình

2.1.2. Biên độ tán xạ của quá trình

 

 

 h theo kênh s

 h theo kênh s

Từ giản đồ hình 2.1, theo quy tắc Feynman ta có biên độ tán xạ của quá
trình khi hạt truyền tương tác là hạt Higgs:
20