Các Phương Pháp Số - Hoàng Xuân Huấn

H O À N G XUÂN HUẤN

GIÁO TRÌNH

NHÀ XUẤT BẢN ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI


HOÀNG XUÂN HUÂN

G IÁ O T R ÌN H
C Ắ C PH Ư Đ N G P H Á P S Ố

NHÀ XUẤT BẢN ĐẠI
HỌC
QUỐC GIA HÀ NỘI
•
*
m


M ục lụ c
Lời nói đầu..............................................................................................1
Chương 1. Tính gẩn đúng và sai số .........................................................................3
§1. Khái niệm số gần đúng....................................................................................... 3
1.1. Sai số tuyệt đối vầ sai số tương đối....................................................................3
1.1.1. Sai số tuyệt đối......................................................................................3
1.1.2. Sai số tương đối...................................................................................... 4
1.2. Các loại sai số khác............................................................................................5
1.2.1. Ví dụ..................................................................................................... 5
1.2.2. Các loại sai số........................................................................................5
§2. Biểu diễn số gần đúng........................................................................................6

2.1. Chữ số có nghĩa................................................................................................ 6
2.2. Chữ số đảng tin................................................................................................. 7
2.3. Số thu gọn........................................................................................................ 7
§3. Một SỐbầi toán ước lượng sai số......................................................................... 8
3.1. Sai số hàm một biến...........................................................................................8
3.1.1. Bài toán thuận........................................................................................8
3.1.2. Bầi toán ngược........................................................................................9
3.2. Sai số qua các phép toán số học........................................................................ 9
3.2.1. Sai số của tổng hoặc hiệu....................................................................... 9
3.2.2. Sai SỐcủa tích hoặc thương................................................................. 10
3.3. Sai số hàm nhiéu biến.............. ..................................................................... 11
3.3.1. Bâi toán thuận.................................................................................... 11
3.3.2. Bài toàn ngược.................................................................................... 11
Bài tập chương 1 ..................................................................................................13
Chương 2. Tính giá trị và xấp xì hàm số................................................................15
§1. Tính giá trị hàm số............................................................................................ 15


1.1. Thuật toản Homer (tính giá trị đa thức).............................................................15
1.1.1. Giới thiệu thuật toán...........................................................................15
1.1.2. Sơ đó tính bằng tay.............................................................................16
1.2. Tíntí hàm số nhở chuỗi luỹ thừa...................................................................... 16
1.3. Tinh hàm số nhờ giải phương trình bằng phương pháp lặp.................................. 17
§2. Nội suy hàm số.............................................................................................18
2.1. Bài toán nội suy tổng quát..............................................................................18
2.1.1. Phát biểu bài toán...............................................................................18
2.1.2. Lược đố giải quyết..............................................................................18
2.2. Đa thức nội suy Lagrange..............................................................................19
•

2.2.1. Xây dựng đa thức nội suy.................................................................... 19
2.2.2. Sai số nội suy.................................................................................... 21

2.3. Đa thức nội suy với mốc cách đéu................................................................... 21
2.3.1. Còng thức tổng quát............................................................. ............. 22
2.3.2. Sai phân hữu hạn...............................................................................23
2.3.3. Công thức nội suy Newton................................................................... 23
2.4. Nội suy Spline...............................................................................................23
2.4.1. Hàm Spline....................................................................................... 24
2.4.2. Xây dựng hàm nội suy Spline bậc m..................................................... 24
2.5. Nội suy hàm nhiéu biến................................................................................. 26
2.5.1. Phát biểu bài toán...............................................................................26
2.5.2. Phương pháp k-lân cận gán nhát.......................................................... 26
§3. Xấp xì binh phương tối thiểu...........................................................................27
3.1. Xấp xì thực nghiệm....................................................................................... 27
3.1.1. Bài toán tổng quát............................................................................. 27
3.1.2. Xấp xỉ bằng đa thức.......................................................................... . 29
3.1.3. Xấp xì bậc nhát..................................................................................29
3.2. Xấp xỉ hàm khả tích...................................................................................... 30
3.2.1. Bài toán ước lượng tham số tổng quát................................................... 30
3.2.2. Xấp xì bằng đa thức............................................................................31
3.2.3. Xáp xỉ nhờ hệ trực chuẩn.....................................................................32
§4. Xấp XỈ bằng mạng nơron nhân lạo..................................................................33
4.1. Kiến trúc của mạng truyén tới......................................................................... 33

iv


4.1.1. Mô hinh của một nơron....................................................................... 33
4.1.2. Kiến trúc của mang nơron nhiéu táng truyén tới..................................... 35

4.1.3. Huấn luyện mạng nơron nhiéu táng truyén tới.......................................35
Bài tập chương 2 ................................................................................................ 39
Chương 3. Giải phương trinh và hệ phương trinh................................................ 41
§ 1. Giải phương trinh.......................................................................................... 41
1.1. Giải sơ bộ....................................................................................................41
1.1.1. Một số định lý cơ sở.............................................................................42
1.1.2. Phương pháp đổ thị............................................................................. 42
1.1.3. Giải sơ bộ đa thức............................................................................... 43
1.1.3.1. Miền nghiệm dương.................................................................. 43
1.1.3.2. Mién nghiệm âm...................................................................... 43
1.1.3.3. Giảm bậc phương trinh khi biết một nghiệm..................................44
1.2. Các phương pháp giải chinh xác.................................................................... 44
1.2.1. Phương pháp chia đôi........................................................................ 45
1.2.1.1. Mô tả phương pháp...................................................................45
1.2.1.2. Ước lượng sai số.......................................................................45
1.2.2. Phương pháp lặp đơn giản....................................................................46
1.2.2.1. Mô tả phương pháp...................................................................46
1.2.2.2. Sự hội tụ và sai số....................................................................46
1.2.2.3. Đặc tả thuật toán..................................................................... 48
1.2.3. Phương pháp tiếp tuyến (Newton)....................................................... 49
1.2.3.1. Mô tả phương pháp...................................................................49
1.2.3.2. Sự hội tụ........................................................................... .....49
1.2.3.3. Ước lượng sai số.......................................................................49
1.2.3.4. Đặc tả thuật toán..................................................................... 49
1.2.4. Phương pháp dày cung........................................................................ 51
1.2.4.1. Mô tả phương pháp................................................................... 51
1.2.4.2. Sự hại tụ và sai số.....................................................................51
1.2.4.3. Đặc tả thuật toán......................................................................53
§2. Hệ phương trình tuyến tính............................................................................53
2.1. Phương pháp Gauss.....................................................................................54

V


2.1.1. Mô tả phương pháp............................................................................ 54
2.1.2. Sơ đó Compac Gauss........................................................................56
2.1.3. Phương pháp Gauss- Jordan...............................................................57
2.1.4. ứng dụng phương pháp Gauss............................................................... 57
2.1.4.1. Tính định thức............................................................................57
2.1.4.2. Tim ma trận nghịch đảo............................................................. 58
2.2. Các phương pháp lập...................................................................................... 59
2.2.1. Phương pháp lặp đơn........................................................................... 59
2.2.1.1. Giới thiệu phương pháp...............................................................59
2.2.1.2. Sự hội tụ và sai sổ.....................................................................59
2.2.1.3. Trường hợp đường chéo trội....................................................... 60
2.2.2. Phương pháp lặp Seidel........................................................................ 61
§3. Hệ phương trinh phi tuyến............................................................................... 62
3.1. Phương pháp lặp đơn...................................................................................... 62
3.1.1. Mô tả phương pháp..............................................................................62
3.1.2. Sự hội tụ và sai sổ..............................................................................63
3.2. Phương phảp Newton......................................................................................64
Bài tập chương 3 .................................................................................................. 66
Chương 4. Tính đạo hàm và tích phân..................................................................69
§1. Tính gán đúng đạo hàm................................................................................69
1.1. Đặt vấn đé...................................................................................................69
1.2. Đạo hàm cấp 1 ............................................................................................ 70
1.2.1. Đạo hầm tại điểm biên........................................................................70
1.2.2. Đạo hầm tại điểm trong........................................................................ 70
1.3. Đạo hàm cáp 2 .............................................................................................. 70
§2. Tính tích phân xác định................................................................................... 71

2.1. Công thức hinh thang..................................................................................... 72
2.1.1. Xây dựng công thức............................................................................. 72
2.1.2. Ước lượng sai số................................................................................. 73
2.2. Công thức Simpson (Công thức paraboi)...........................................................74
2.2.1. Xây dựng công thức............................................................................. 74
2.2.2. Ước lượng sai số................................................................................. 75


2.3. Phương phảp Monte - Carlo............................................................................76
2.3.1. Phương pháp thứ nhất......................................................................... 76
2.3.2. Phương phàp thứ hai...........................................................................77
Bầi tập chương 4 .................................................................................................. 79
Chương 5. phương trinh vi phân và tíchphân........................................................80
§1. Phương pháp sỗ trị giải bầi toán Côsi............................................................... 80
1.1. Phát biểu bài toán..........................................................................................80
1.2. Phương pháp ơle (Euler)................................................................................ 80
1.3. Phương pháp ơle cải tiến...............................................................................82
1.3.1. Phương pháp cải tiến thứnhất.............................................................. 82
1.3.2. Phương pháp cải tiến thứ hai............................................................... 82
1.4. Phương pháp Runge-Kutta............................................................................. 83
§2. Phương pháp giải tích giải bài toán Cốsi.............................................................. 84

2.1. Bài toán Cốsi tổng quát..................................................................................84
2.2. Phương pháp đạo hàm liên tiếp.......................................................................85
2.3. Phương pháp hệ số bất định.......................................................................... 86
§3. Bài toán biên tuyến tính................................................................................. 87
3.1. Phát biểu bài toán biẻn 2 điểm.........................................................................87
3.2. Phương pháp sai phàn................................................................................... 88
3.3. Phương pháp vượt......................................................................................... 89
§4. Phương trinh đạo hàm riẻng............................................................................ 92

4.1. Phân loại phương trinh tuyến tính cấp hai.......................................................... 92
4.2. Phương pháp lưới giải phương trinh đạo hàm riêng..............................................94
4.2.1. Giải bài toán Dirichlet........................................................................... 94
4.2.2. Phương trinh parabolic......................................................................... 94
4.2.3. Phương trinh hypecbolic....................................................................... 95
§5. Phương trinh tích phân...................................................................................95
5.1. Phương trinh Fredholm...................................................................................95
5.2. Phương pháp tổng hữu hạn............................................................................ 96
Bài tập chương 5 ................................................................................................. 98
Chương 6. Giới thiộu vé quy hoạchtoán học.......................................................100
§1. vận trù học và quy hoạch toán học................................................................. 100


1.1. Vận trù học là gi ?....................................................................................... 100
1.2. Phương pháp luận cùa vận trù học................................................................100
1.3. Mô hinh hoá và quy hoạch toán học..............................................................101
§2. Một số bài toàn Quy hoạch điển hinh............................................................ 103
2.1. Đầi toản lập kế hoạch sản xuất với tài nguyén hạn chế.................................... 103
2.1.1. Ví dụ................................................................................................ 103
2.1.2. Bâi toán tổng quảt............................................................................. 104
2.2. Bài toán vận tải............................................................................................. 105
2.3. Bài toản điéu khiển tối ưu...............................................................................106
§3. Phân loại cảc bài toán quy hoạch.................................................................... 107
3.1. Bải (oàn tổng quát.........................................................................................107
3.2. Phân loại bài toán..........................................................................................108
Bài tập chương 6 .................................................................................................110
Chương 7. Quy hoạch tuyến tính..................................................................... 111
§ 1. Bài toán tổng quát...................................................................................... 111
1.1. Dạng tổng quát cùa bài toàn........................................................................111
1.2. Các tính chát cơ bản................................................................................... 112

1.2.1. Một số khái niêm................................................................................112
1.2.2. Cảctính chất......................................................................................112
1.3. Dạng chinh tắc........................................................................................... 113
1.4. Đưa bài toán tổng quát vé dạng chính tắc.......................................... ........... 114
§2. Phương phảp đơn hinh................................................................................115
2.1. Mô tả hinh học cùa phương pháp.................................................................115
2.2. Co sở toán học.......................................................................................... 116
2.2.1. Cơ sở của phương án......................................................................... 116
2.2.2. Các định lý cơ sở............................................................................... 117
2.2.3. Công thức đệ quy.............................................................................. 121
2.3. Phương pháp giải bài toán dạng chuẩn........................................................... 123
2.3.1. Giới thiệu thuật toán đơn hinh.............................................................. 123
2.3.2. Bài toán dạng chuẩn...........................................................................125
2.4. Giải bài toán dạng chính tắc........................................................................128
2.4.1. Tìm phương án xuất phát.................................................................... 128

viii


2.4.2. Phương phảp phạt............................................................................129
§3. Bài toán đối ngẫu.......................................................................................... 133
3.1. Thiết lặp bài toán đổi ngẫu..............................................................................133
3.1.1. Bài toán đối ngẫu dạng đổi xứng.......................................................... 133
3.1.2. Thiết lập bài toán đối ngẫu tổng quát.................................................... 134
3.2. Quan hệ giữa cặp bài toán đỗi ngẫu.............................................................. 139
3.2.1. Các định lỹ đối ngẫu............................................................................139
3.2.2. Đânh giá độ nhạy cảm......................................................................... 144
§4. Bài toán vận tải..............................................................................................146
4.1. Bầi toán vận tài tổng quát............................................................................... 146
4 1.1. Bài toán cân bằng thu phát.................................................................. 146

4.1.2. Đưa bài toán bất kỳ vé dạng cân bằng thu phát...................................... 148
4.2. Cảc tính chất cơ bản của bài toán cản bằng thu phát.......................................... 148
4.3. Lập phương ản cơ bản xuất phát...................................................................... 151
4.4. Thuật toán “Quy không cước phr.....................................................................152
Bài lập chương 7 .................................................................................................160
Chương 8. Quy hoạch phi tuyến......................................................................... 164
§1. Các diéu kiện cực tri...................................................................................... 164
1.1. Cực tri không điéu kiên.............. .................................................................... 164
1.2. Cực tri cốdiéu kiện........................................................................................ 166
§2. Phương pháp Gradient.................................................................................. 168
2.1. Giới thiệu phương pháp................................................................................. 168
2.2. Sự hội tụ...................................................................................................... 169
2.3. Các dạng khác cùa phương pháp.....................................................................171
2.3.1. Phương pháp với bước dịch chuyển cố định............................................ 171
2.3.2. Phương pháp cực tiểu hàm theo hướng chuyển động.............................. 172
§3. Phương pháp hàm phạt................................................................................. 172
3.1. Mô tả phương pháp ......................................................................................172
3.2. Sự hội tụ......................................................................................................173
§4. phương pháp Monte'Carlo.............................................................................. 175
4.1. Bài toán ấp dụng.......................................................................................... 175
4.2. Thuật toán....................................................................................................175


phương pháp giải phương trinh vi phân và tích phân trong chương 5. Chương 6 dành
cho tổng quan vé quy hoạch toán học dể sau dỏ trinh bày về quy hoạch tuyến tính
trong chương 7 và quy hoạch phi tuyến trong chương 8. Để không làm nhiẻu các vấn
đé trọng tâm, một số khái niêm cẫn thiết vé giải tích lói được đưa vào phán phụ lục ở
cuối cuốn sảch để khi cán sinh viên có thể tham khảo.
Do hạn chế vé thời gian và trình độ, chắc chắn giáo trinh còn nhiéu thiếu sót,
chúng tôi rất mong nhận được góp ý để cuốn sách ngày càng hoàn chỉnh hơn.

Tác glả

2


Chương 1
T ín h g ầ n đ ú n g và sai số
§1. K hái niệm sô g ần đ ú n g
Trong thực tế chúng ta thường phải xử lý, tính toán vối các
đại lượng gần đúng như các số đo vật lý. các dữ liệu ban đầu, các
số làm tròn...

vớisaisố nào đó, tức là các

số gần dúng. Việc ưỏc

lượng sai số hợp lý cho phép ta đánh giá được

chất lượng

của quá

trình tính toán, quyết định sô chữ số giữ lại trong các phép tính
trung gian và trong kết quả. Vì vậy, đầu tiên ta cần nghiên cứu về
sai số.

1.1 Sai số tuyệt đổì và sai số tương đối
1 . 1 . 1 S a i số tu y ệ t dối
Nếu số gần đúng a có giá trị đúng là a0 thì ta nói a xấp xỉ a0

hay a là số gần đúng của a0. Khi đó sai số của a là:
Ea = a - a0

(1.1)

Nhưng giá trị này nói chúng ta không biết được mà chỉ ưốc
lượng được cận trên của trị tuyệt đôì của nó.
Đ ịn h n g h ĩa : Giá trị ước lượng Aa sao cho
| a - a 0| ắ A a

(12)

được gọi là sai số tuyệt đối của số gần đúng a.
Sai số tuyệt đối nhỏ nhất có thể biết được gọi là sai số tuyệt
dối giới hạn của a. Thông thường ước lượng sai số tuyệt đối giới
hạn là khó và nhiều khi không cần thiết nên người ta chỉ cần ưốc
lượng sai sô tuyệt đối đủ nhỏ và dùng từ 1 đến 3 chữ sô có nghĩa


(là sô* chữ số bắt đầu từ chữ sô' khác không đầu tiên từ trái sang
phẳi - xem mục 2.1) để biểu diễn sai số tuyệt đôì của số gần đúng.
Thay cho (1.2) người ta còn dùng cách biểu diễn sau để chi sai
số tuyệt đối của
a 0 = a ± Aa

(1.3)

Trong thực tế thì sai số E„ không thể biết được nên khi
không có sự hiểu lầm người ta còn dùng từ sa i sô' để chỉ sai sò'
tuyệt đối Aa.

V í dụ: Căn phòng có chiểu dài d = 5,45m và chiểu rộng
r = 3,94 m với sai số 1 cm. Khi đó ta hiểu là:
Ad = 0,01 m hay d = 5,75 ± 0,01 m
Âr = 0,01 m hay d = 3,94 ± 0,01 m
Như vậy diện tích của phòng được ước lượng bởi
s = d.r = 5,45. 3,94 = 2 1,4 73 m2
với cận trên và cận dưối của s là
(5 ,4 5 - 0 ,0 1 )(3 ,9 4 - 0 ,0 1 )

= 2 1,3 7 9 2 < s < (5,45 + 0,01)(3t94 + 0,01) = 2 1,5 6 7
Vậy ta có ước lượng sai số tuyệt đối của s là
ị s - s 0j ^ 0,094 mz
hoặc làm tròn là 0 ,1 m2.
1 .1 .2 S a i s ố tương đối
Hai số gần đúng có cùng sai số tuyệt đối sẽ có “m ức độ chính
xác" khác nhau nếu độ lốn của chúng khác nhau, số bé hơn sẽ có độ
chính xác kém hơn. Để biểu diễn độ chính xác này ngưòi ta dùng
sai số gọi là sai số tương đối.
Đ ịnh nghĩa-. Sai sô' tương đối của số gần đúng a là tỷ số giữa
sai số tuyệt đối và giá trị tuyệt đối của nó, được ký hiệu là Sa.
5a =

(1.4)

r
Thường sai sô' tương đối được biểu diễn dưới dạng phần trăm
với 2 hoặc 3 chữ số.
4

Từ (1.4) ta thấy nếu biết ôa thì
Aa=|aịôa

(1.5)

nên ta chỉ cần biết một trong hai loại sai số của nó là được.
V í dụ: Nếu a = 57 và Aa = 0,5 thì ôa = 0,0087719 hoặc 0,88%
(gọn hơn 0,9%)

1.2

Các loai sai số k h ác
Để hình dung các loại sai số khác ta xét ví dụ sau:

1 .2 .1

Ví dụ

Một vật thể rơi từ độ cao H0 với vận tốc ban đầu v0 (được đo
nhờ thiết bị nào đó). Tính độ cao H(t) của vật thể sau thời gian t.
Bài toán có thể giải như sau:
Nếu gọi ngoại lực tác động vào vật thể là F(t) (gồm lực hút
trọng trường và lực cản), khối lượng vật thể là m thì H(t) là
nghiệm của phương trình vi phân cấp hai
H'(x) = ^ ®
m
với điểu kiện ban dầu H(o)= H0;

(1.6)

H'(o)= - v 0

Ta chọn một phương pháp gần đúng để giải phương trình này,
Fit)
chẳng hạn nếu giả thiết —— = g không đổi thì
m
H (t)= H 0 - g y - v 0t.
Qua ví dụ trên ta thấy sai số của kết quả nhận được chịu ảnh
hưởng của các số đo H0, v 0; cách lập luận để xác định F(t); phương
pháp giải phương trình (1,6) và các yếu tố ngẫu nhiên khác. Theo
các yếu tố ảnh hưởng tói kết quả tính toán ta phân ra các loại sai
số sau.

1.2.2 Các lo ạ i s a i số
S a i sô 'd ữ liệu (còn gọi là sai số của số liệu ban đầu). Trong ví
dụ trên là sai số khi đo H0 và v0.


S a i s ố g iả thiết: Sai số này gặp phải khi ta đơn giản hoá bài
toán thực tiễn để thiết lập mô hình toán học có thể giải được.
Trong thí dụ trên có thể giả thiết ngoại lực chỉ là trọng lực.
S a i s ố phư ơ ng pháp-. Là sai số của phương pháp giải gần đúng
bài toán theo mô hình được lập. Trong thí dụ trên là phương pháp
giải phương trình vi phân (1.6).
S a i s ố tín h toán: Là sai số tích luỹ trong quá trình tính toán
theo phương pháp được chọn.
S a i sô là m tròn: Khi tính toán ta thường phải làm tròn các sô
nên ảnh hưởng tới kết quả nhiều khi rất đáng kể.
S a i sô' ngẫu nhiên: Là sai số chịu các quy luật chi phối ngẫu
nhiên không tránh được.

v ể sau ta quan tâm tối sai sô'tính toán và sai số phương pháp.

§2. B iểu d iễ n số g ần đ ú n g
Trong mục này ta xét các số được biểu diễn dưới dạng thâp
phân. Khi các số' là gần đúng, vấn đề đặt ra là nên biểu diễn chúng
với bao nhiêu chữ số? Thu gọn chúng như thê nào?
2 .1

C h ữ s ố c ó n g h ĩa

Trong biểu diễn thập phân, các chữ số kể từ chữ số khác 0 đầu
tiên tính từ trái sang phải gọi là chữ số có nghĩa, các chữ số 0 bên
trái là không có nghĩa.
Nếu a được viết dưới dạng
n

(1.7)
thì các chữ số 0 bên trái không có ở biểu diễn này, ý nghĩa của các
chữ sô" 0 bên phải liên quan tới cách biểu diễn sô” gần đúng sẽ xét
dưới đây.
Vỉ' dụ. Số a = 03,4050 thì chữ số 0 đầu tiên là không có nghĩa
(người ta có thể điển để tránh viết thêm) còn các chữ sô 3; 4; 0; 5; 0
là có nghĩa. Số b = 0,034 thì các chữ số 3; 4 là có nghĩa, hai chữ số
0 bên trái không có nghĩa vì nếu biểu diễn theo dạng (1.7) thì các
chữ số này không cần đến.
6


2.2

C h ữ sô đ á n g tin
Đ ịn h nghĩa. Nếu a có biểu diễn (1.7) với sai số Aa áO.õ.lO1"

thì ak là chữ số đáng tin v k > m (theo nghĩa hẹp dùng trong tính
toán) còn khi Aa < 10 m thì ak với k > m gọi là đáng tin theo nghĩa
rộng.
V i d ụ . a = 2 1,4 7 3 và Aa = 0,094 thì
Các chữ số 2; 1 là đáng tin theo nghĩa hẹp và chữ số 4 là đáng
lin theo nghĩa rộng. Còn các chữ số 7; 3 là không đáng tin.
Khi cho sô' gần đúng ta có thể cho theo hai cách
Cách 1: Viết kèm vối sai số tuyệt đối
Cách 2: Chì viết các chữ sô đáng tin. Nếu ta có số gần đúng
mà không cho sai số thì luôn ngầm hiểu các chữ số có nghĩa là các
chữ số đáng tin. Như vậy các chữ số không ớ bên phải cho ta biết
nó là chữ số đáng tin.
Trong quá trình tính toán, người ta thường để lại vài chữ sô
không dáng tin và trong kết quả thì giữ lại các chữ sô” đáng tin
theo nghĩa rộng.
2 .3

S ố th u g ọ n
Khi số a có nhiều chữ sô' không đáng tin hoặc có quá nhiều

chữ số có nghĩa thì người ta thường thu gọn thành số a có ít chữ
số có nghĩa hơn. Nếu a có biểu diễn (1.7) và số thu gon được giữ lại
đến a m(m>p) thì a có biểu diễn
n
(1.8)

k=m

nhờ bỏ đi các chữ số ak (k < m) theo quy tắc sau:
Q uy tắc c h ữ s ố chẵn:
G iả sử a > 0 và phần bỏ đi là ạ . Nếu |i < 0 ,5.l0 mthì

n
(1.9)
Nếu n > 0 ,5 .10m thì
7


n

(1.10)

a = £ a k10k + 1 0 m

Nếu n = 0,5. lữ " thì theo (1.9) nếu a mchẵn còn theo (1.10 ) nếu
amlẻ.
Khi a < 0 ta thu gọn giá trị tuyệt đôì và giữ nguyên dấu.
Khi thu gọn a thành a ta có sai sô' thu gọn

r„ <, 0 ,5.10 '” . Để

nó ít ảnh hưỏng tỏi sai số tuyệt đối ta thu gọn số và giữ lại một
hoặc hai chữ số không đáng tin.
Nếu a có biểu diễn (1.7) và ak đáng tin vối k ă m thì Aa <, 10™
nên

Như vậy sai số tương đối của số gần đúng có thế ước lượng
bởi nghịch đảo của số gồm các chữ số đáng tin của a không có

dấu phảy.

§3. Một số bài to á n ước lượng sai số
Trong bài này ta xét các bài toán ưóc lượng sai số tính toán
khi thực hiện các phép toán số học và tính giá trị hàm số.

3.1

Sai số hàm một biến

Cho hàm số y = f(x) và X là số gần đúng của Xoi K ý hiệu Ax và
Ay là sai số tuyệt đốì tương ứng của đổi số và hàm số. Ta sẽ xét các
bài toán ước lượng sai số của hàm hoặc của đối 8ố khi biết một
trong hai sai số’.
3 . Ỉ . 1 B à i to án th u ậ n
Bài toán này ta ước lượng Ay khi biết X và Ax.
Theo công thức số gia hữu hạn ta có

|y - y0| = M
8

x -x 0


ỏ đây y„ là giá trị đúng của y và c là điểm thuộc miền (x,
X < x„ và thuộc (x,„ x) nếu Xo < X.

Xo)

nếu

Khi Ax bé, X gần x<, ta có ước lượng

hay

<

V í dụ. C h o y = lnx ta có ước lượng
AÍln x) = —Ax = Sx
'
2

(1.12 )

3.1.2 Bài toán ngược
Trong bài toán này, ta biết giá trị gần đúng X . ta cần xác định
phải tính X với Ax là bao nhiêu để đảm bảo Ay < A. Với giá trị A cho
trước, từ công thức ( 1 .1 1 ) ta thấy nếu
(1.13 )
thì đủ để Ay < A.
V í d ụ : y = ex với X ss 3 để có Ay < 0,01 ta tính X với ủx < —
e

là

đủ.

3.2

Sai số qua các phép toán số học

Khi tính toán với các số gần đúng thì sai số sẽ tích luỹ qua các
phép toán cơ bản. Sau đây ta ước lượng sai số khi cộng, trừ, nhân
chia các số gần đúng.
3 .2 .1 S a i s ố c ủ a tổ n g h o ặ c h iệu
M ệnh để. Sai số tuyệt đôì của một tổng hoặc hiệu bằng tổng
các sai số tuyệt đối thành phần.
C hứng m in h : Để đơn giản ta xét u = a ± b với các số a. b có giá
trị đúng a0, b0 và sai số tuyệt đối Aa, Ab tương ứng.
Khi đó ta có


Do đó ta có
a 0 + b 0 - (Aa + Ab) < a + b < a 0 + b 0 + (Aa + Ab)

a 0 - b 0 - (Aa + A b ) < a - b < a 0 - b 0 + (Aa + Ab)
Nên a„ ± b0 - (Aa + Ab) < a ± b < a 0 ± b 0 + (Aa + Ab) đpcm.

Trường hợp có nhiều số hạng được xét tương tự.
V í dụ. Cho a = 50,5; b = 50,9 vối Aa = Ab = 0,05 và u = a - b
Ta có u = 0,4 với Au = 0,05 + 0,05 = 0,1
Vậy Su = — = 25% . Từ đó ta thấy khi trừ hai số gần bằng
nhau thì hiệu số sẽ có sai số tương đối lốn.
3 .2 .2 S a i s ố củ a tích h o ặ c thương
M ệnh đề. Sai số tương đối của tích hoặc thương bằng tổng các
sai số tương đối thành phần.
C hứng m in h . Xét u = x X | "

yi-yp

Ta có thể giả thiết các Xj và y, đều dương. Khi đó ta có
l n u = In X, + ... + l n x „ - l n y , - . . . - l n y m
* •

%

Do mệnh đề (3.2.1) ta có
A(ln u ) = A ( l n x , ) + . . . + A (ln x n) + A Ộ n y ! ) + ... + A ( l n y m)

Nhò ví dụ (3 .1.1) ta suy ra
5u = 6Xj + ... + 5xn +8yj + ... + 8ym đpcm
V í dụ. Xét s = d.r như ở ví dụ 1 . 1 1 d = 5,45; r = 2,94;
Ad = Ar = 0,001
Ta có ôd = 0,001835
ôr = 0,002538
s s = 0,004373 nên AS = 0,094
ta có được ưỏc lượng đã tính.


3.3 Sai sô' hàm nhiều biến
Ta xét hàm nhiêu biến u = f( x ,,...,x n) với giá trị gần đúng
X, ,...,x n và y đã biết ta xét các bài toán ước lượng sai số hàm số
và đôi số.
3 .3 .1 B à i to án th u ậ n
Trong bài toán này, ta cần ước lượng sai số Ay khi biết AXị,Vi < n.
Tương tự hàm một biến, sử dụng công thức sô gia hữu hạn ta
có ước lượng

n
(1.14 )

với ỉị' là đạo hàm riêng của u theo biến Xj.
V í dụ. Xét u = a2b vối a = 2,0; b = 25,0; Aa = Ab = 0,1
Ta có u = 100
Vói Au = 2abAa + a2Ab = 100.0,1 + 4.0,1 = 10,4.

3.2.2 Bài toán ngược
Bây giò ta đã biết các số gần đúng Xj, ta phải tính chúng vối
sai số tuyệt đối như thế nào để có Ay < A; ở đây A là số cho trước.
Các phương pháp xử lý bài toán này đều dựa trên công thức
(1.14 ) một cách linh hoạt. Sau đây ta xét hai phương pháp thông
dụng.
Sai số của đối sô như nhau: Axk = Ax v k < n.
Từ (1.14 ) ta có

Vậy để cho Au < A thì chỉ cần
A
Ax < ----------n

là đủ

(1.15 )

Phân bố đểu sai số.

11


Bây giò ta xét khi |f'(x, ...x ^ A X ị = |fi(x j ...x n]jAxk

Vi,k

Khi đó Vj < n, từ (1.14 ) ta có
Au = n|f'(x1 ...x n)|AxJ
V ậy để cho Au < A thì chỉ cần tính
Ax, &

A------ J
n|f;(x...... X„J|

wj = l .....n là

đủ(1.16 )

Ví dụ. Mảnh vườn có cạnh d « 45,0 m v à r * 20.0 m. Cần tính
d và r với Ad, Ar như thế nào để AS < 0 ,1 m2.
- Cách 1. Xét Ad = Ar = Ax ta áp dụng (1.15 )
Cần tính Ax < — — — = 0,0015 m là đủ.
45 + 20
- Cách 2. Khi đo chiều dài thường có sai số lón hơn chiểu rộng
nên ta có thể dùng (1.16 ).
Ad <
Ar <,
là đủ để AS < 0 ,1 m2.

12

2.20
2.45

= 0,0025 m

= 0,0010 m


B ài tậ p c h ư ơ n g 1
1.

Cho các số gần đ ú n g a = 3,7495 và b = 2,547 VỚI Aa = 5.10 1 và

Ab = 10

u = a.b.

a. Tìm sai số tương đôi của ôa, ỗb.
b. Tính u và ước lượng sai sô Au, 8u.
2.

Cho a = 2 13 5 7 ; ôa = 0,1% ; b = 35,65; 8b = 0,8%. Xác định sai
số tuyệt đôi và các chữ số đáng tin.

3.

Tính diện tích hình chữ nhật có cạnh d = 40,0; r = 24,0 và ưỏc
lượng sai số tuyệt đối, tương đối nếu các chữ số biêu diễn d và
r đêu là chữ số đáng tin.

4.

Cho hình hộp có cạnh d ss 10m; r « 5m; h as 3,5m ; thế tích V.
a. Tính V và ước lượng sai sô" nếu Ad = Ar = Ah = 0,005m.
b. Cần tính các cạnh với sai sô như thê nào để sai SÔ AV < 0 ,1.

. 5. Hình trụ tròn xoay có bán kính R = 10 cm, chiều cao h = 20 cm.
a. Tính thế tích V nếu AR = Ah = 0,5 cm; 7t = 3,14 16 ; An = 0 .5 .10 4.
b. Với 71 cho như trên, cần tính R và h như thê nào để AV < 1.
6.

Cho u = a-.b với a = 56,23; b = 56,20; Aa = Ab = 0,005.
a. Tính u, Au và Su.
b. Giải thích vì sao khi tính toán người ta thường tránh trừ
hai số gần bằng nhau.

7.

Cho u = —+ c vói a = 12 5 ; b = 0,5; c = 5; Aa = Ab = 0 ,1; Ao = 1.
b
a. Tính u và ôu.
b. Giải thích vì sao người ta tránh chia cho số bé ở các bưốc
tính toán trung gian.

8.

Tìm các chữ số đáng tin và làm tròn, chỉ giữ lại các số không
đáng tin nếu
13


9.

a.

a = 57,4365; ôa = 0,5%.

b.

a = 1,40805; 8a = 0,6%.

Thu gọn các số sau chỉ giữ lại 3 chữ số có nghĩa.
0,0037450
0,004855
0,13689
0,23224

10 . Tính u = a*b + c nếu a = 4,0; b = 5,5; c = 25,48 và thu gọn u chi
giữ lại một chữ số không chắc.
1 1 . Hàm số y = f(x) gọi là không ổn định nếu Ax bé nhưng Ay lớn.
Chứng minh rằng đa thức bậc cao là hàm không ổn định.
1 2 . Cho y = e*cosx với x = >/3. Đặt X = 1,732. Ước lượng sai số
tuyệt đối và tương đối của y.

14


C hương 2

T í n h g i á t r ị v à x ấ p xỉ h à m sô"
§1. T ính giá t r ị h àm sô
Các phép toán cơ bản đối vối hầu hết máy tính là cộng, trừ,
nhân và chia. Vì vậy, khi tính giá trị hàm số ta thường phải thực
hiện tuần tự một dãy các phép toán sơ cấp này. Để giảm khối
lượng tính toán và dung lượng bộ nhỏ ta cần cần chọn kỹ thuật

tính giá trị hàm số thích hợp. Dưới đây giới thiệu một số kỹ thuật
thông dụng.
1.1

T h u ậ t t o á n H o r n e r ( tín h g iá t r ị đ a th ứ c )

1 . 1 . 1 G iới th iê• u th u â+ t to án
Cho đa thức p(x)= a 0x n + ajX n_1 + ••• + a n. 1x + a n . Để tính giá
trị p(x0) theo từng số hạng ta cần đến 2n - 1 phép nhân và n phép
cộng. Hơn nữa các s ố hạng trong đa thức thường lớn nên bất lợi
cho tính toán.
Nếu ta phân tích đa thức p(x) thành
p(x) = (b0x n•’ + - + bn_2x + bn_, )(x - x 0)+ bn
Ta có ngay p(x0)= bn. Để tìm các hệ số bk ta xét đồng nhất
thúc
a 0x n +--- + a n_,x + a n = b 0x n + £ ( b k - b k_,x0)x"’ k
k-0

Đồng n h ấ t hệ sô' của xm (m < n ) hai vế ta có b0 = a0; bk - bk.ịXo
= a k. Vk = l,n (ký hiệu này có nghĩa k bằng 1 đến n) hay bk = ak +
bk lx0 . Thuật toán Horner thực hiện như sau:
15


b0 —a 0
Tính:

ck = b k_jX0

ị

bfc = a k + c k

khi đó b„=

vk = l ,n ,

(2.1)

.

p (X o ).

Theo thuật toán này ta chỉ cần tính n phép nhân và n phép
cộng là đủ, các số hạng khi tính cũng thường bé hơn phương pháp
truyền thống.
1 .1 .2

Sơ đồ tín h b ằ n g ta y
Để tính bằng tay ta biểu diễn (2.1) dưới dạng bảng sau

a„
bo =

a,

...

a„

c, = b0x0

...

cn= b„.iX0

b, = a, + C|

...

bn= an + c„

X(,

Ví dụ. Tính 2 x r’ - S x 4 + x :ì - 4 x 2 + 7x + 8 tại
2
2

-3

1

•4

7

8

4

2

6

4

22

1

3

2

11

29

X

p(x„) = b„

= 2 như sau
x„ = 2
p(‘2) = 29

Chú ý. Khi đa thức có nghiệm X = x0, thuật toán này cho phép
tìm ước của p(x) dưới dạng q (x )= b 0x " ‘ I + ... + bn_j đế ta tìm các
nghiệm còn lại.
1 .2

T ín h h à m s ô n h ờ c h u ỗ i lu ỷ th ừ a
Nếu hàm số y = f(x)dễ tính đạo hàm mọi cấp tại X = xơ và f(x)

được khai triển theo chuỗi Taylor:
(x o)/
f(x ) = 2 , "~u, L (X ~ Xo)
k=0

K!

thì ta có thể tính gần đúng hàm này khi

X

gần

Xo

bởi da thức

(2.2)
k=0
16

K!


Khi dó sai số được ước lượng bởi công thức:
|R„M| =

1in+1
f (nt,)(c) 1
Ịx - X0Ị
(n + l)

V í dụ: Tính sin36°. Với n = 1. x0 = rt/6 ta có:
sin 36" = siní —+ — = sin —+ — .COS—+ R,
(6 3 0 j
30
6
'

2
1.3

30

s in c M 1
< 10 ‘ 2
2 ,3 0 ,

2

T ín h h à m s ố n h ờ g iả i p h ư ơ n g t r ìn h b ằ n g

phương p h áp lặp
Mỗi hàm số y= f(x) đểu có thế biểu diễn dưới dạng ẩn:
F(x,y)=0. Thông thường phương trình này của y có thê giải dễ dàng
nhờ phương pháp lặp vì vậy mà giảm khối lượng tính toán.

Chẳng hạn để tính V = -j=

X > 0 ta đưa về giai phương trình

VX

F(x.y) = — - x = 0

của biến V theo phương pháp Newton trong

chương 3 như sau.
1
Ký hiệu E(x) là phần nguyên của X và X, G ( —.1] .sao cho
2
X = 2 mx, trong đó m là số nguyên. Chọn xấp xỉ ban đầu
y0 = 2
và dùng công thức lặp

ta tính được y mà không dùng phép chia và khai căn.

17