DẠY HỌC KHÁI NIỆM GIỚI HẠN DÃY SỐ TRONG MÔI TRƯỜNG SKETCHPAD

Header Page 1 of 185.

BỘ GIÁO DỤC VÀO ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

Nguyễn Anh Quốc

DẠY HỌC KHÁI NIỆM GIỚI HẠN DÃY SỐ
TRONG MÔI TRƯỜNG SKETCHPAD

LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC

Thành phố Hồ Chí Minh – 2014

Footer Page 1 of 185.


Header Page 2 of 185.

BỘ GIÁO DỤC VÀO ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

Nguyễn Anh Quốc

DẠY HỌC KHÁI NIỆM GIỚI HẠN DÃY SỐ
TRONG MÔI TRƯỜNG SKETCHPAD
Chuyên ngành : Lí luận và phương pháp dạy học bộ môn Toán
Mã số

: 60 14 01 11

LUẬN VĂN THẠC SĨ GIÁO DỤC HỌC
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:
TS. NGUYỄN THỊ NGA

Thành phố Hồ Chí Minh – 2014

Footer Page 2 of 185.


Header Page 3 of 185.

LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan luận văn này là một công trình nghiên cứu độc lập,những
trích dẫn trong luận văn đều chính xác và trung thực.

Footer Page 3 of 185.


Header Page 4 of 185.

LỜI CẢM ƠN
Trước tiên, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến TS. Nguyễn Thị Nga,
người đã tận tình hướng dẫn và giúp đỡ tôi hoàn thành luận văn này.
Xin chân thành cảm ơn quý thầy cô: PGS-TS Lê Văn Tiến, PGS-TS Lê
Thị Hoài Châu, TS. Lê Thái Bảo Thiên Trung, TS. Vũ Như Thư Hương, TS.
Trần Lương Công Khanh đã nhiệt tình giảng dạy tôi trong hai năm học qua.
Xin cảm ơn quý lãnh đạo, quý thầy cô Phòng Sau Đại Học trường
ĐHSP Thành Phố Hồ Chí Minh đã tạo những điều kiện thuận lợi để tôi hoàn
thành khóa học của mình.
Tôi xin gởi lời cảm ơn đến BGH trường THPT Châu Văn Liêm cùng tập

thể học sinh lớp 10A6 đã giúp đỡ tôi trong thời gian tiến hành thực nghiệm
luận văn. Tôi cũng xin chân thành cảm ơn tập thể lớp Didactic toán K23 đã
cùng tôi sẻ chia những khó trong học tập suốt hai năm qua.
Cuối cùng tôi xin chân thành biết ơn những người thân trong gia đình và
những người bạn thân thiết đã cỗ vũ và động viên tôi trong suốt quá trình học
tập của tôi.

NGUYỄN ANH QUỐC

Footer Page 4 of 185.


Header Page 5 of 185.

MỤC LỤC
Trang phụ bìa
Lời cam đoan
Mục lục
Lời cảm ơn
Danh mục viết tắt
Danh mục các bảng
Danh mục các hình vẽ
MỞĐẦU

................................................................................................................. 1

Chương 1. ĐẶC TRƯNG KHOA HỌC LUẬN CỦA KHÁI NIỆM GIỚI HẠN 6
1.1. Lịch sử hình thành và phát triển của khái niệm giới hạn ................................. 6
1.2. Phạm vi tác động và các bài toán liên quan đến khái niệm giới hạn ............... 7
1.2.1. Phạm vi tác động của khái niệm giới hạn ................................................. 7

1.2.2. Các bài toán liên quan đến khái niệm giới hạn ......................................... 8
1.3. Các đối tượng có liên quan đến khái niệm giới hạn......................................... 8
1.4. Chướng ngại khoa học luận của khái niệm giới hạn ........................................ 9
1.5. Các quan điểm về khái niệm giới hạn ............................................................ 10
1.6. Các tổ chức toán học tham chiếu ................................................................... 11
1.7. Kết luận chương I và một số câu hỏi nghiên cứu........................................... 12
Chương 2. GIỚI HẠN DÃY SỐ TRONG CHƯƠNG TRÌNH VÀ SÁCH GIÁO
KHOA THPT ....................................................................................... 14
2.1. Phân tích chương trình ................................................................................... 14
2.1.1. Đối với chương trình chuẩn .................................................................... 14
2.1.2. Đối với chương trình nâng cao ............................................................... 16
2.2. Phân tích SGK ................................................................................................ 17
2.2.1. Hoạt động tiếp cận khái niệm giới hạn của dãy số ................................. 17
2.2.2. Định nghĩa dãy số có giới hạn 0.............................................................. 19
2.2.3. Định nghĩa dãy số có giới hạn hữu hạn................................................... 22
2.2.4. Vai trò của giới hạn dãy số ..................................................................... 26
2.3. Các kiểu nhiệm vụ liên quan đến khái niệm giới hạn dãy số......................... 29
2.4. Kết luận chương 2 .......................................................................................... 36
Chương 3. THỰCNGHIỆM ................................................................................... 39

Footer Page 5 of 185.


Header Page 6 of 185.

3.1. Hình thức và đối tượng thực nghiệm ............................................................. 39
3.2. Nội dung thực nghiệm .................................................................................... 39
3.2.1. Tình huống tiếp cận phần mềm Sketchpad ............................................. 40
3.2.2. Tình huống thực nghiệm ......................................................................... 40
3.3. Dàn dựng kịch bản ......................................................................................... 45

3.4. Những sự lựa chọn cho tình huống thực nghiệm ........................................... 47
3.5. Phân tích tiên nghiệm ..................................................................................... 48
3.5.1. Biến và giá trị của chúng......................................................................... 48
3.5.2. Chiến lược, cái có thể quan sát được, sự ảnh hưởng của biến và môi
trường phản hồi từ phần mềm.................................................................. 49
3.6. Phân tích hậu nghiệm ..................................................................................... 54
3.6.1. Phân tích Phiếu số 1 (Pha 1) ................................................................... 54
3.6.2. Phân tích phiếu số 2 (pha 2) .................................................................... 55
3.6.3. Phân tích phiếu số 3 (pha 3) .................................................................... 57
3.6.4. Phân tích pha 4 ........................................................................................ 65
3.6.5. Phân tích phiếu số 4 (pha 5) .................................................................... 68
3.6.6. Phân tích phiếu số 5 (pha 6) .................................................................... 68
3.6.7. Phân tích phiếu số 6 (pha 7) .................................................................... 69
3.6.8. Phân tích pha 8 ........................................................................................ 73
3.7. Kết luận thực nghiệm ..................................................................................... 75
KẾT LUẬN .............................................................................................................. 77
TÀI LIỆU THAM KHẢO ...................................................................................... 80
PHỤCLỤC

Footer Page 6 of 185.


Header Page 7 of 185.

DANH MỤC VIẾT TẮT
SBT

: Sách bài tập

SBTC11

: Sách bài tập chương trình chuẩn lớp 11 hiện hành

SBTN11

: Sách bài tập chương trình nâng cao lớp 11 hiện hành

SGK

:Sách giáo khoa

SGKC11

: Sách giáo khoa chương trình chuẩn lớp 11 hiện hành

SGKN11

: Sách giáo khoa chương trình nâng cao lớp 11 hiện hành

SGVC11

: Sách giáo viên chương trình chuẩn lớp 11 hiện hành

SGVN11

: Sách giáo viên chương trình nâng cao lớp 11 hiện hành

THPT

: Trung học phổ thông

Footer Page 7 of 185.


Header Page 8 of 185.

DANH MỤC CÁC BẢNG
Bảng 2.1.

Thống kê các kiểu nhiệm vụ liên quan đến giới hạn dãy số trong ........31

Bảng 3.1.

Thống kê kết quả các chiến lược ở phiếu số 1 ......................................54

Bảng 3.2.

Thống kê kết quả các chiến lược ở phiếu số 2 ......................................55

Bảng 3.3.

Thống kê kết quả các chiến lược ở phiếu số 3 ......................................57

Bảng 3.4.

Tổng hợp câu trả lời các nhóm câu 3.1 .................................................57

Bảng 3.5.

Tổng hợp câu trả lời các nhóm câu 3.2 .................................................58

Bảng 3.6.

Tổng hợp câu trả lời các nhóm câu 3.4 .................................................63

Bảng 3.7.

Thống kê các câu trả lời của phiếu số 4 ................................................68

Bảng 3.8.

Thống kê kết quả các chiến lược ở phiếu số 5 ......................................68

Bảng 3.9.

Thống kê kết quả các chiến lược ở phiếu số 6 ......................................69

Bảng 3.10. Tổng hợp câu trả lời các nhóm câu 6.2 .................................................72

Footer Page 8 of 185.


Header Page 9 of 185.

DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ
Hình 2.1. Biểu diễn dãy số

..................................33

Hình 2.2. Hình "mô phỏng" bài tập 8a SGKN11 trang 135. ...................................34

Hình 2.3. Biểu diễn dãy số (un) với

.............................................................35

Hình 2.4. Biểu diễn dãy số (un) với

với số lần lặp là 100 ............................36

Hình 3.1. Biểu diễn trục tọa độ ................................................................................41
Hình 3.2. Biểu diễn vị trí đóng quân của ta và địch ................................................42
Hình 3.3. Biểu diễn dãy số (un) với

................................................43

Hình 3.4. Hình vuông điều khiển bởi hai điểm A và B ...........................................44
Hình 3.5. 5 hình vuông……………………………………………………………43
Hình 3.6. Hình vẽ bằng phép lặp .............................................................................44

Footer Page 9 of 185.


Header Page 10 of 185.

1

MỞ ĐẦU
1. Ghi nhận ban đầu và câu hỏi xuất phát
Theo SGVN11, giới hạn là một trong những chương quan trọng của Giải
tích. Đây là một trong các chương khó của Giải tích ở trường THPT. Các khái niệm
giới hạn là mới, trừu tượng và cách tiếp cận khái niệm này khác với cách tiếp cận

của các khái niệm trước đây. Do sự khó khăn trong việc dạy học khái niệm giới hạn
và thời gian dạy học có hạn, nên đã xảy ra tình trạng, giáo viên ở một số nơi ít quan
tâm đến việc giảng dạy lí thuyết giới hạn hoặc dạy lí thuyết một cách đối phó mà
chỉ hướng dẫn học sinh giải các bài tập một cách máy móc. Hơn nữa, cả hai SGK
chương trình chuẩn và nâng cao không dùng ngôn ngữ ε, ℕ để định nghĩa giới hạn
dãy số khi đó khó có định nghĩa nào mô tả đúng bản chất của khái niệm giới hạn

theo nhận định SGVC11. Mặt khác theo Bùi Thành Vinh (2013), quan điểm đại số
hóa chiếm ưu thế gần như tuyệt đối trong tổ chức tri thức gắn liền với khái niệm
giới hạn. Điều này cho thấy quan điểm xấp xỉ xuất hiện khá mờ nhạt mà bản chất
của giới hạn là sự xấp xỉ.
Ngày nay dưới sự hỗ trợ của công nghệ thông tin nhiều phần mềm dạy học
toán ra đời và có ứng dụng mạnh mẽ. Qua tìm hiểu chúng tôi nhận thấy rằng phần
mềm Sketchpad có nhiều chức năng thích hợp cho việc dạy học toán nói chung và
việc dạy học khái niệm giới hạn dãy số nói riêng. Bởi vì, phép lặp của phần mềm
Sketchpad cho phép biểu diễn dãy số trên trục số và bảng dưới dạng động cũng như
tạo ra những hình ảnh “mô phỏng”. Những chức năng này giúp học sinh có thể dự
đoán được giới hạn của dãy số đồng thời tạo điều kiện thuận lợi cho việc xây dựng
các hoạt động tiếp cận khái niệm giới hạn dãy số theo quan điểm xấp xỉ.
Qua thực tế dạy học khái niệm giới hạn, chúng tôi nhận thấy rằng nhiều học
sinh gặp một số chướng ngại khi học khái niệm giới hạn, chẳng hạn như nhiều học
sinh luôn cho rằng “một tổng vô hạn luôn có kết quả là vô hạn”. Ngoài ra, nhiều học
sinh nghĩ, toán giới hạn là môn học thuộc lĩnh vực đại số và không liên quan gì đến
hình học. Tuy nhiên, giới hạn lại có nguồn gốc từ hình học.

Footer Page 10 of 185.


Header Page 11 of 185.

2

Từ những ghi nhận trên, chúng tôi nhận thấy sự cần thiết phải đặt ra các câu
hỏi sau:
-

Khái niệm giới hạn được hình thành và phát triển như thế nào trong lịch
sử?Những chướng ngại nào gắn liền với khái niệm giới hạn?

-

Xây dựng tình huống tiếp cận khái niệm giới hạn dãy sốtheo quan điểm xấp
xỉ dưới sự hỗ trợ của phần mềm Sketchpad như thế nào?

-

Tình huống nào cho phép học sinh vượt qua một số chướng ngại khi học khái
niệm giới hạn dãy số đồng thời thấy được sự nối kết giữa hình học và đại số
trong dạy học khái niệm giới hạn dưới sự trợ giúp của phần mềm Sketchpad?

Để tìm câu trả lời cho các câu hỏi trên chúng tôi tiến hành chọn đề tài nghiên cứu:
Dạy học khái niệm giới hạn dãy số trong môi trường Sketchpad.
2. Tổng quan lịch sử nghiên cứu vấn đề
Nhằm tạo điều kiện thuận lợi cho việc nghiên cứu chúng tôi điểm qua một số
công trình nghiên cứu đã có trong nước liên quan đến giới hạn như sau:
- Luận văn thạc sĩ của tác giả Lê Thái Bảo Thiên Trung (2004): Nghiên cứu
vềkhái niệm giới hạn hàm số trong dạy - học toán: Đồ án Didactic trong môi trường
máytính bỏ túi.
- Luận văn thạc sĩ của tác giả Nguyễn Thành Long (2004): Nghiên cứu
Didacticvề khái niệm giới hạn trong dạy học toán ở trường trung học phổ thông.

- Luận văn thạc sĩ của tác giả Lê Thành Đạt (2010): Dạy học khái niệm giới
hạn hữu hạn của hàm số ở trường trung học phổ thông.
- Luận văn thạc sĩ của tác giả Nguyễn Thị Kim Cúc (2010): Dạy học khái
niệmgiới hạn vô hạn của hàm số ở trường trung học phổ thông.
- Luận án tiến sĩ của tác giả Lê Thái Bảo Thiên Trung (2007): Nghiên
cứudidactic mối liên hệ giữa khái niệm giới hạn và sự thập phân hoá các số thực
trong môitrường máy tính bỏ túi.
- Luận văn thạc sĩ tác giả Bùi Thành Vinh (2013): Sự nối khớp giữa dạy học
khái niệm giới hạn ở THPT và ở trường Đại học sư phạm.
Qua việc tổng kết các công trình trên chúng tôi nhận thấy chưa có công trình
nào nghiên cứu việc dạy học khái niệm giới hạn dãy số trong môi trường

Footer Page 11 of 185.


Header Page 12 of 185.

3

Sketchpad. Đây cũng là sự cần thiết để chúng tôi thực hiện đề tài nghiên cứu của
mình.
3. Mục đích nghiên cứu, khung lý thuyết tham chiếu và phương pháp nghiên cứu
Mục đích nghiên cứu là tìm câu trả lời cho các câu hỏi trên. Để đạt được điều
đó chúng tôi đặt nghiên cứu của mình trong phạm vi của Didactic toán, cụ thể: Lý
thuyết nhân chủng học, lý thuyết tình huống. Với khung lý thuyết đã chọn, các câu
hỏi xuất phát có thể viết lại như sau:
Q1: Khái niệm giới hạn có những đặc trưng khoa học luận nào?Những
chướng ngại khoa học luận nào liên quan đến khái niệm giới hạn?
Q2: Đối tượng khái niệm giới hạn dãy số được trình bày như thế nào trong
thể chế dạy học THPT?

Q3: Xây dựng đồ án dạy học như thế nào để cho phép học sinh tiếp cận với
khái niệm giới hạn dãy số theo quan điểm xấp xỉ, giúp học sinh vượt qua một số
chướng ngại khoa học luận khi học khái niệm giới hạn của dãy số đồng thời giúp
cho học sinh thấy được sự nối kết giữa đại số và hình học trong dạy học khái niệm
giới hạn của dãy số?
Để đạt được mục tiêu đề ra phương pháp nghiên cứu mà chúng tôi chọn được
sơ đồ hóa như sau

Nghiên cứu khoa học luận khái niệm giới hạn
(tổng kết các công trình đã có)
Phân tích thể chế dạy học khái niệm giới hạn
dãy số ở THPT
Xây dựng đồ án dạy học khái niệm giới hạn dãy số có ứng
dụng công nghệ thông tin (phần mềm Sketchpad)
Lược đồ có thể giải thích như sau: trước hết chúng tôi nghiên cứu khoa học
luận về khái niệm giới hạn bằng cách tổng kết các công trình đã có. Sau đó chúng
tôi tiến hành phân tích thể chế dạy học khái niệm giới hạn dãy số ở trường THPT.

Footer Page 12 of 185.


Header Page 13 of 185.

4

Từ đó làm cơ sở để chúng tôi đưa ra các tình huống dạy học khái niệm giới hạn dãy
số có ứng dụng công nghệ thông tin.
4. Tổ chức luận văn
Luận văn được cấu trúc trong 5 phần
Phần mở đầu

Chương 1. Đặc trưng khoa học luận của khái niệm giới hạn.
1.1.

Lịch sử hình thành và phát triển của khái niệm giới hạn.

1.2.

Phạm vi tác động và các bài toán liên quan đến khái niệm giới hạn.

1.3.

Các đối tượng liên quan đến khái niệm giới hạn.

1.4.

Chướng ngại khoa học luận của khái niệm giới hạn.

1.5.

Các quan điểm về khái niệm giới hạn.

1.6.

Các tổ chức toán học tham chiếu.

1.7.

Kết luận chương 1 và một số câu hỏi nghiên cứu.

Chương 2. Giới hạn dãy số trong chương trình và Sách giáo khoa THPT

2.1.

Phân tích chương trình.

2.1.1. Đối với chương trình chuẩn.
2.1.2. Đối với chương trình nâng cao.
2.2.

Phân tích SGK

2.2.1. Hoạt động tiếp cận khái niệm giới hạn của dãy số.
2.2.2. Định nghĩa dãy số có giới hạn 0.
2.2.3. Định nghĩa dãy số có giới hạn hữu hạn.
2.2.4. Vai trò của giới hạn dãy số.
2.3.

Các kiểu nhiệm vụ liên quan đến khái niệm giới hạn dãy số.

2.4.

Kết luận chương 2.

Chương 3. Thực nghiệm
3.1.

Hình thức và đối tượng thực nghiệm

3.2.

Nội dung thực nghiệm

3.2.1. Tình huống tiếp cận phần mềm Sketchpad
3.2.2. Tình huống thực nghiệm

Footer Page 13 of 185.


Header Page 14 of 185.

5

3.3.

Dàn dựng kịch bản

3.4.

Những sự lựa chọn cho tình huống thực nghiệm

3.5.

Phân tích tiên nghiệm

3.5.1. Biến và giá trị của chúng
3.5.2. Chiến lược, cái có thể quan sát được, sự ảnh hưởng của biến và môi
trường phản hồi từ phần mềm
3.6.

Phân tích hậu nghiệm

3.6.1. Phân tích pha 1
3.6.2. Phân tích pha 2
3.6.3. Phân tích pha 3
3.6.4. Phân tích pha 4
3.6.5. Phân tích pha 5
3.6.6. Phân tích pha 6
3.6.7. Phân tích pha 7
3.6.8. Phân tích pha 8
3.7.

Kết luận chương 3

Kết luận

Footer Page 14 of 185.


Header Page 15 of 185.

6

Chương 1. ĐẶC TRƯNG KHOA HỌC LUẬN CỦA KHÁI
NIỆM GIỚI HẠN
Mục tiêu của chương: Tổng kết các công trình nghiên cứu đã có để tìm hiểu
lịch sử hình thành và phát triển của khái niệm giới hạn, phạm vi tác động của giới
hạn, các bài toán và các đối tượng liên quan đến khái niệm giới hạn, đặc biệt là
những chướng ngại khoa học luận của khái niệm giới hạn cũng như các quan điểm
về khái niệm giới hạn và các tổ chức toán học tham chiếu.Từ đó làm cơ sở tham
chiếu cho những phân tích ở các chương sau.
Tài liệu tham khảo của chúng tôi sử dụng nghiên cứu chương này là

Luận văn Thạc sĩ của tác giả Lê Thái Bảo Thiên Trung (2004).
Luận văn Thạc sĩ của tác giả Nguyễn Thành Long (2004).
Luận văn Thạc sĩ của tác giả Nguyễn Thị Phương Mai (2005).
Luận văn Thạc sĩ của tác giả Lê Thành Đạt (2010).
Luận văn Thạc sĩ của tác giả Nguyễn Thị Kim Cúc (2011)
1.1. Lịch sử hình thành và phát triển của khái niệm giới hạn

Theo Nguyễn Thành Long (2004), lịch sử hình thành và phát triển của khái
niệm giới hạn có thể chia thành ba giai đoạn như sau:
a) Giai đoạn 1: Tiến trình của khái niệm vô hạn (từ thời Hi Lạp cổ đại đến thế
kỷ XVII), trong giai đoạn này giới hạn chủ yếu liên quan đến các đại lượng hình
học khi tính diện tích, thể tích,…Nhận thức về vô hạn đi từ thái độ phủ định sang
thái độ khẳng định. Khái niệm giới hạn bắt đầu xuất hiện ngầm ẩn qua các thuật ngữ
“terminus”, “hội tụ”. Mầm mống của tư tưởng vô cùng bé cũng đã xuất hiện. Nhiều
đối tượng không được định nghĩa nhưng vẫn có sức thuyết phục do dựa vào hiệu
quả của chúng. Có thể nói trong giai đoạn này khái niệm giới hạn lấy cơ chế của
một khái niệm protomathématique (không tên, không định nghĩa) và xuất hiện như
là một công cụ ngầm ẩn cho phép giải quyết một số bài toán chủ yếu thuộc phạm vi
hình học.
b) Giai đoạn 2: Sự ra đời của Giải tích các vô cùng bé (từ thế kỷ XVII đến nửa

Footer Page 15 of 185.


Header Page 16 of 185.

7

đầu thế kỷ XVIII), trong giai đoạn này, giới hạn đã được chính thức đặt tên (limit)
bởi Newton (1642 – 1727). Các nhà giải tích đã có ý tưởng trực giác về khái niệm

giới hạn và họ đã sử dụng điều đó một cách ngầm ẩn rất chính xác. Tuy nhiên chưa
có một định nghĩa giới hạn chính thức nào được chấp nhận. Khái niệm giới hạn
trong giai đoạn này vẫn lấy cơ chế công cụ chưa phải là đối tượng nghiên cứu.
c) Giai đoạn 3: Xây dựng lý thuyết giới hạn (từ nửa sau thế kỷ XVIII đến thế
kỷ XIX) trong giai đoạn này cùng với quá trình đại số hóa giải tích, khái niệm giới
hạn đã chuyển hẳn sang lĩnh vực số. Nhưng vẫn chưa có sự nhất trí đối với khái
niệm giới hạn và vô cùng bé. Thông qua gợi ý quan trọng của D’Alembert (1717 –
1783) là lý thuyết vững vàng về giới hạn là cái cần để xây dựng một cơ sở vững
chắc cho Giải tích. Cauchy (1789 – 1857) là người đã thực hiện thành công gợi ý đó
bằng cách phát triển một lý thuyết giới hạn, diễn đạt qua “ngôn ngữ ε, δ” mà ngày
nay vẫn thường dùng. Trước tiên, ông định nghĩa hàm số, sau đó định nghĩa sự hội
tụ, vô cùng bé, tính liên tục, tính khả vi và tích phân xác định theo quan điểm về
giới hạn. Tuy nhiên, lý thuyết giới hạn này được xây dựng trên khái niệm trực giác
đơn giản về hệ thống số thực. Do đó muốn trình bày chặt chẽ lý thuyết giới hạn thì
phải có một sự hiểu biết sâu sắc về lý thuyết số thực. Weierstrass (1815 – 1897) đã
vận động thực hiện một chương trình “số học hóa giải tích” trong đó bản thân số
thực phải được làm cho chặt chẽ rồi từ đó mới rút ra tất cả các khái niệm cơ bản của
giải tích. Định nghĩa giới hạn hàm số bằng khái niệm lân cận được ông đưa ra (năm
1880). Có thể nói rằng giai đoạn này đã hoàn thành nghiên cứu cơ sở của giải tích.
Các khái niệm cơ bản như hàm số, giới hạn, liên tục, số thực…,đã được định nghĩa
tường minh. Vậy giới hạn chính thức có cơ chế của một khái niệm toán học. Nó
được định nghĩa và là đối tượng nghiên cứu của các nhà toán học đồng thời nó cũng
là công cụ tường minh cho phép giải quyết nhiều bài toán của Giải tích.
1.2. Phạm vi tác động và các bài toán liên quan đến khái niệm giới hạn
1.2.1. Phạm vi tác động của khái niệm giới hạn

Nguyễn Thành Long (2004) chỉ ra khái niệm giới hạn đã xuất hiện ngầm ẩn
trong hình học từ thời cổ Hi Lạp đến thế kỉ XVI nhằm giải quyết các bài toán về độ
dài, diện tích, thể tích. Các bài toán này làm nảy sinh việc tính tổng vô hạn từ đó

Footer Page 16 of 185.


Header Page 17 of 185.

8

khái niệm giới hạn có thêm phạm vi tác động là đại số nhưng ở mức độ kĩ thuật.
Với những nghiên cứu của Newton về lý thuyết các fluxi và tỉ số biến thiên thì khái
niệm giới hạn đã đi vào cơ học. Theo hướng đi khác, khởi đầu từ Leibniz với “đại
số các vô cùng bé” vào thế kỉ XVIII, Euler và Lagrange đã có nhiều công trình
nhằm đại số hóa giải tích song vẫn còn nhiều hạn chế. Với những công trình của
Cauchy và Weierstrass thì khái niệm giới hạn xuất hiện trong phạm vi số thực và
được định nghĩa chính xác vào thế kỉ XIX.
Phạm vi tác động của khái niệm giới hạn có thể được tóm tắt như sau:
Hình học

→

Cơ học

(Cổ Hi Lạp)

→

(thế kỉ XVII)

Đại số

→ Số

(thế kỉ XVIII)

(thế kỉ XIX)

1.2.2. Các bài toán liên quan đến khái niệm giới hạn

Các bài toán mà khái niệm giới hạn có cơ hội tác động là
• Tính diện tích hay thể tích chẳng hạn như: Xấp xỉ hình viên phân parabol
bằng tam giác, xấp xỉ tam giác cong bằng các hình chữ nhật, dùng tỉ số
biến thiên để chứng minh diện tích hình thang cong có đạo hàm là giá trị
hàm số đó, …
• Tính tổng của chuỗi số.
• Tính đạo hàm.
1.3. Các đối tượng có liên quan đến khái niệm giới hạn

Đối tượng ưu tiên hàng đầu theo Nguyễn Thành Long (2004) là khái niệm vô
hạn, nó vừa như là một chướng ngại và vừa như là một động cơ, không có thể hiểu
được khái niệm giới hạn nếu không có quan điểm thỏa đáng về vô hạn. Bên cạnh đó
những khái niệm có vai trò quyết định trong lịch sử giới hạn như: diện tích, thể tích,
cấu trúc của các đại lượng này, khái niệm thời gian cũng được nhiều nhà toán học
quan tâm. Các khái niệm có tính chất kĩ thuật như: dãy số, chuỗi số, vô cùng bé, cực
đại, cực tiểu, tiếp tuyến cũng đi cùng lịch sử của giới hạn. Khái niệm hàm số giữ vai
trò quan trọng làm cho giới hạn trở thành một công cụ hoạt động trong lĩnh vực số.
Hơn nữa, khái niệm liên tục, đạo hàm và tích phân cho phép xác rõ hơn nữa khái
niệm giới hạn. Mối quan hệ sâu xa giữa số thực và giới hạn giữ vai trò quan trọng vì
theo Weierstrass có làm chặt chẽ hệ thống số thực mới định nghĩa chặt chẽ được

Footer Page 17 of 185.

Header Page 18 of 185.

9

khái niệm giới hạn. Ngoài ra còn có những khái niệm: chuyển động chất điểm, vận
tốc tức thời, tốc độ hội tụ, chặn trên, chặn dưới, cận trên, cận dưới, điểm tụ được
xác định rõ và phân biệt với khái niệm giới hạn.
1.4. Chướng ngại khoa học luận của khái niệm giới hạn

Theo Lê Thành Đạt (2010) chướng ngại khoa học luận chính của khái niệm
giới hạn là khía cạnh vô hạn trong khái niệm này.Để có những hiểu biết sâu sắc hơn
về khái niệm vô hạn, theo luận văn thạc sĩ của Nguyễn Thị Phương Mai (2005), có
nhiều quan điểm khác nhau về vô hạn:
« Vô hạn chỉ một dạng vật chất không xác định là cơ sở đầu tiên của thế
giới
Vô hạn đối với các số là một số lớn hơn tất cả các số hoặc nhỏ hơn tất
cả các số
Vô hạn là một quá trình liên tục, không có điểm kết thúc
Vô hạn là phủ định của hữu hạn
Vô hạn là một cái gì đó không có bờ, mênh mông, vượt qua tất cả những
giới hạn đã biết, không xác định được ranh giới
Vô hạn được hiểu một cách trực giác bằng hình ảnh ở xa hai đầu của một
đường thẳng
Vô hạn là đại lượng dùng để chỉ lực lượng của một tập hợp vô hạn »
[6, tr.19-20]
Theo Lê Thành Đạt (2010), việc vận dụng những quy tắc hữu hạn vào quá
trình vô hạn dẫn đến một số nghịch lí trong toán học chẳng hạn như:
“ Nghịch lý Asin đuổi rùa: Giả sử A-sin chạy với vận tốc 100km/h, rùa
chạy với vận tốc 1km/h. Lúc xuất phát, rùa cách A-sin quãng đường là

100km. Hỏi nếu A-sin và rùa xuất phát cùng một lúc thì A-sin có đuổi kịp
rùa không? D. Zenon lý giải rằng, khi A-sin chạy đến vị trí A (100km) thì
rùa đã chạy đến vị trí A1 (1km), khi A-sin chạy đến A1 thì rùa đã chạy đến
vị trí A2 (

1
km ), … Do vậy A-sin không bao giờ đuổi kịp rùa. Nghịch lí
100

này xuất phát từ quan niệm cho rằng tổng của một dãy số vô hạn không

Footer Page 18 of 185.


Header Page 19 of 185.

10

thể là một số hữu hạn.”
“ Nghịch lí chia đôi: Nếu có thể cắt đôi một đối tượng, bằng cách lặp quy
trình này một cách vô hạn, thì về mặt Toán học luôn còn lại một đoạn
nào đó. Ngược lại về mặt vật lý ta biết rằng sẽ có một thời điểm ta không
còn có thể cắt đôi được nữa! Khó khăn là ở chỗ ta không thể trừ một số
vô hạn các độ dài ngày càng bé và khó khăn để quan niệm tổng này có
thể là một số hữu hạn.”

[2, tr.13]

Mặt khác theo luận văn thạc sĩ của tác giả Lê Thái Bảo Thiên Trung (2004):
“Cornu (1983) cũng nghiên cứu các chướng ngại khoa học luận xuất hiện và tiến

triển trong suốt lịch sử của khái niệm giới hạn. Theo tác giả, các chướng ngại khoa
học luận chính của khái niệm giới hạn là:
- “Sự chuyển đổi sang phạm vi số” xuất hiện trong tiến trình trừu tượng ngữ
cảnh hình học và ngữ cảnh chuyển động học, “các đại lượng” được quy về phạm vi
số mà ở đó khái niệm giới hạn được hợp nhất.
- Khía cạnh “siêu hình” của khái niệm giới hạn: đòi hỏi phải áp dụng một
kiểu suy luận toán học mới gắn với khía cạnh vô hạn. Đối với khái niệm này, không
chỉ còn là một dãy các suy luận logic, mà là suy luận trên các tiến trình vô hạn.
- Khái niệm “vô cùng bé” hay “vô cùng lớn”: có tồn tại hay không các đại
lượng chưa bằng không, nhưng chúng không thể “gán được” nữa? Có tồn tại hay
không các đại lượng “tan dần” mà chỉ cần qua một “khoảnh khắc” thì chúng bằng
không? Có phải một số nhỏ hơn tất cả các lượng (dương) cho trước thì bằng
không?
- Một giới hạn có thể đạt tới hay không?
- Ngoài ra còn có các chướng ngại khác: mô hình đơn điệu. Một tổng vô hạn
có thể là một số hữu hạn. Hai đại lượng tiến về không vậy mà tỷ số giữa chúng lại
tiến về một lượng hữu hạn”.[10, tr1]
1.5. Các quan điểm về khái niệm giới hạn

Theo luận văn thạc sĩ của Nguyễn Thành Long (2004) có ba quan điểm chủ
yếu về khái niệm giới hạn:
• Quan điểm xấp xỉ

Footer Page 19 of 185.


Header Page 20 of 185.

11

+ Xấp xỉ hình học (phương pháp vét cạn của Eudoxe, phép phân hoạch
của Fermat,…).
+ Xấp xỉ đại số (tính tổng của chuỗi số,…).
+ Xấp xỉ số (xấp xỉ một số vô tỉ bởi dãy các số thập phân).
Quan điểm xấp xỉ thể hiện rõ nét nhất trong định nghĩa khái niệm giới
hạn theo ngôn ngữ ε – δ. Theo Bkoucher (1996) “Định nghĩa theo (ε,η )
không gì khác hơn là sự hệ thống hóa quan điểm xấp xỉ”.
• Quan điểm động học
Theo Bkoucher (1996)“đúng như tên gọi của nó, quan điểm này gắn liền
với chuyển động. Nếu đại lượng biến thiên x dần về một giá trị của đại
lượng này (theo nghìa là nó lấy những giá trị càng ngày càng giá trị của
a), thì một đại lượng y phụ thuộc đại lượng x (nghĩa là một hàm số của x)
dần về một giá trị b nếu đại lượng x càng gần tới giá trị a thì đại lượng y
cũng gần tới b”. Để làm rõ sự khác biệt giữa quan điểm xấp xỉ và quan
điểm động học theo Bkoucher (1996):“Nếu trong khái niệm động học
chính biến kéo theo hàm số, thì trong khái niệm xấp xỉ, chính độ xấp xỉ
mà người ta muốn sẽ xác định xấp xỉ của biến”.
• Quan điểm đại số: tìm cách xác định các quy tắc, các phép toán cho phép
thao tác trên các đối tượng mà không cần quan tâm đến bản chất của
những đối tượng này.
1.6. Các tổ chức toán học tham chiếu

Nguyễn Thị Kim Cúc (2011) chỉ ra, nhóm nghiên cứu của Bosch (2002) đã
đề nghị hai tổ chức toán học địa phương quy chiếu của khái niệm giới hạn sau đây:
- OM1đại số các giới hạn xoay quanh vấn đề tính các giới hạn đã tồn tại
bằng các thao tác đại số.
- OM2tôpô các giới hạn xoay quanh vấn đề tồn tại giới hạn của một hàm số.
Hai tổ chức toán học này được tác giả Lê Thái Bảo Thiên Trung (2004) làm rõ như
sau:
Tổ chức toán học OM1 xuất phát từ sự giả sử sự tồn tại giới hạn hàm số và

chỉ đặt vấn đề làm sao xác định giá trị giới hạn của những hàm số quen thuộc. Vấn

Footer Page 20 of 185.


Header Page 21 of 185.

12

đề này được xử lí qua các kiểu nhiệm vụ như: tính giới hạn của hàm số f(x) khi
x → a, với a là số thực hữu hạn hay vô cực; xác định giới hạn của hàm số tại một
điểm hay vô cực. Những kĩ thuật toán học gắn liền với kiểu nhiệm vụ này về cơ bản
dựa trên sự thực hiện các thao tác đại số trên biểu thức f(x).
OM2 có ý định muốn đề cập đến bản chất của đối tượng “giới hạn hàm số”
và trả lời chủ yếu cho câu hỏi về sự tồn tại giới hạn của một kiểu xác định các hàm
số. Câu hỏi này được xử lí qua một số kiểu nhiệm vụ như: chứng minh sự tồn tại
hay không tồn tại giới hạn của một hàm số f(x) khi x -> a với a là số thực hữu hạn
hay vô cực; xác định giới hạn của hàm số tại một điểm hay vô cực; chứng minh sự
tồn tại hay không tồn tại các giới hạn tại các biên của một khoảng cho một số lớp
xác định các hàm số; chứng minh các tính chất về các phép toán trên các giá trị giới
hạn của các hàm số, một cách đặc biệt bao gồm sự chứng minh các quy tắc tính
toán, là công nghệ tối thiểu của OM1. Công nghệ tối thiểu của OM2 (giải thích cho
các kĩ thuật toán học gắn với các kiểu nhiệm vụ này) được tập trung trên việc sử
dụng các tính chất giới hạn của dãy số và trên định nghĩa cổ điển bằng ngôn
ngữ
1.7. Kết luận chương 1 và một số câu hỏi nghiên cứu

Từ việc tổng kết các kết quả nghiên cứu trên, chúng tôi thấy rằng các tác giả
đã đưa ra những kết luận khá rõ ràng và chi tiết về:
- Lịch sử hình thành và phát triển của khái niệm giới hạn.

- Phạm vi tác động của giới hạn, các bài toán và các đối tượng liên quan đến
khái niệm giới hạn.
- Những chướng ngại khoa học luận của khái niệm giới hạn.
- Các quan điểm về giới hạn.
- Các tổ chức toán học tham chiếu.
Từ đây, chúng tôi đặt ra một số câu hỏi nghiên cứu như sau:
Q1: SGK Đại số và Giải tích 11 hiện hành có tiếp cận khái niệm giới hạn dãy
số theo quan điểm xấp xỉ không? Quan điểm đó được thể hiện ở những đối tượng tri
thức nào trong thể chế? Vị trí của quan điểm xấp xỉ so với quan điểm đại số trong
dạy học giới hạn dãy số như thế nào? Khái niệm giới hạn dãy số có vai trò gì đối

Footer Page 21 of 185.


Header Page 22 of 185.

13

với các khái niệm liên quan?
Q2: Những kiểu nhiệm vụ nào liên quan đến giới hạn dãy số có thể giải quyết
được với sự hỗ trợ của công nghệ thông tin (phần mềm Sketchpad)?
Chúng tôi sẽ phân tích thể chế SGK 11 Đại số và Giải tích hiện hành để trả
lời cho các câu hỏi nghiên cứu trên trong chương 2.

Footer Page 22 of 185.


Header Page 23 of 185.

14

Chương 2. GIỚI HẠN DÃY SỐ TRONG CHƯƠNG TRÌNH
VÀ SÁCH GIÁO KHOA THPT
Mục tiêu chương: sử dụng tri thức tham chiếu ở chương 1, phân tích SGK
Đại số và Giải tích 11 hiện hành để trả lời cho các câu hỏi sau:
Q1: SGK Đại số và Giải tích 11 hiện hành có tiếp cận khái niệm giới hạn dãy
số theo quan điểm xấp xỉ không? Quan điểm đó được thể hiện ở những đối tượng tri
thức nào trong thể chế? Vị trí của quan điểm xấp xỉ so với quan điểm đại số trong
dạy học giới hạn dãy số như thế nào?Khái niệm giới hạn dãy số có vai trò gì đối với
các khái niệm liên quan?
Q2: Những kiểu nhiệm vụ nào liên quan đến giới hạn dãy số có thể giải quyết
được với sự hỗ trợ của công nghệ thông tin (phần mềm Sketchpad).
Tài liệu tham khảo
1. SGK Đại số và Giải tích 11 chương trình chuẩn.
2. SGK Đại số và Giải tích 11 chương trình nâng cao.
3. SGV Đại số và Giải tích 11 chương trình chuẩn.
4. SGV Đại số và Giải tích 11 chương trình nâng cao.
5. SBT Đại số và Giải tích 11 chương trình chuẩn.
6. SBT Đại số và Giải tích 11 chương trình nâng cao.
7. Luận văn Thạc sĩ của Bùi Thành Vinh (2013).
2.1. Phân tích chương trình

Do mục đích nghiên cứu của luận văn, nên việc phân tích chương trình của
chúng tôi chỉ tập trung ở phần dãy số có giới hạn hữu hạn.
Ở cả hai chương trình chuẩn và nâng cao, giới hạn được trình bày trong
chương IV, sau khi học sinh được học chương III: Dãy số, cấp số cộng và cấp số
nhân. Chương cuối cùng là chương V: Đạo hàm.
2.1.1. Đối với chương trình chuẩn

Trong chương trình chuẩn, mục tiêu của chương giới hạn được thể hiện trong

SGVC11 như sau:

Footer Page 23 of 185.


Header Page 24 of 185.

15

“-Đưa vào các khái niệm cơ sở của Giải Tích (giới hạn của dãy số, giới hạn
của hàm số, hàm số liên tục) và qua đó bước đầu hình thành kiểu tư duy toán học
gắn liền với sự vô hạn và liên tục.
- Cung cấp một số định lí cơ bản làm công cụ cho việc nghiên cứu giới hạn
của dãy số và của hàm số, tính liên tục của hàm số và giải một số bài toán liên
quan dạng đơn giản.
- Chuẩn bị những khái niệm và công cụ cơ bản nhất làm cơ sở cho việc
nghiên cứu các nội dung sẽ đưa vào sau đó như Đạo hàm ở lớp 11, Khảo sát hàm
số và Tích phân ở lớp 12.”[4, tr.20]
Qua mục tiêu tổng quát của chương giới hạn chúng tôi thấy rằng chương
trình chỉ xem giới hạn là công cụ để nghiên cứu các tri thức có liên quan như: sự
liên tục, đạo hàm, tích phân và chương trình không yêu cầu nghiên cứu sâu phần
giới hạn.
Về khái niệm giới hạn dãy số, chương trình chuẩn yêu cầu:
“- Không dùng ngôn ngữ ε, ℕ để định nghĩa giới hạn của dãy số.

-Thông qua các ví dụ cụ thể để hình thành khái niệm giới hạn 0, từ đó dẫn
đến giới hạn khác 0.

Nói cách khác, vấn đề là đưa vào khái niệm giới hạn dãy số mà không trình
bày định nghĩa hoàn toàn chính xác. Vả lại, ở cấp độ phổ thông, khi đã không dùng

ngôn ngữ ε, ℕ thì khó có định nghĩa nào có thể mô tả đúng bản chất của khái niệm
giới hạn.”

[4, tr 121-22]
Chương trình chuẩn không dùng ngôn ngữ ε, ℕ để định nghĩa giới hạn của

dãy số và cũng khẳng định “ở cấp độ phổ thông, khi đã không dùng ngôn ngữ ε, ℕ

thì khó có định nghĩa nào có thể mô tả đúng bản chất của khái niệm giới hạn”.

Bài giới hạn của dãy số được giảng dạy trong 5 tiết, mục đích yêu cầu của

bài dạy là:
“- Biết khái niệm giới hạn của dãy số, chủ yếu thông qua các ví dụ và minh
họa cụ thể. Biết định nghĩa giới hạn của dãy số và vận dụng nó vào việc giải một số
bài toán đơn giản liên quan đến giới hạn.

Footer Page 24 of 185.


Header Page 25 of 185.

16

- Biết các định lí về giới hạn trình bày trong SGK và biết vận dụng chúng để
tính giới hạn của các dãy số đơn giản.
- Biết khái niệm cấp số nhân lùi vô hạn và công thức tính tổng của nó. Biết
nhận dạng các cấp số nhân lùi vô hạn và vận dụng công thức vào giải một số bài
toán liên quan có dạng đơn giản.”[4, tr124]
Về mức độ nhận thức cần đạt được trong dạy học giới hạn dãy số là biết và

vận dụng vào một số bài toán đơn giản. Điều này cũng có nghĩa là đối tượng giới
hạn chưa được chương trình khai thác nhiều.Qua đó, ta có thể khẳng định thêm
chương trình chuẩn không đi sâu vào nghiên cứu giới hạn mà nó chỉ là công cụ cho
các tri thức có liên quan về sau như tính liên tục, đạo hàm và tích phân.
2.1.2. Đối với chương trình nâng cao

Theo SGVN11, mục tiêu của chương trình là:
“Về kiến thức
Làm cho học sinh nắm được
- Định nghĩa dãy số có giới hạn 0;
- Định nghĩa dãy số có giới hạn hữu hạn;
- Định nghĩa dãy số có giới hạn vô cực;
- Định nghĩa giới hạn hữu hạn và giới hạn vô cực của hàm số;
- Các định lí và các quy tắc tìm giới hạn hữu hạn, giới hạn vô cực và
giới hạn một bên của dãy số và hàm số;
- Định nghĩa hàm số liên tục tại một điểm, trên một khoảng và trên
một đoạn;
- Một số tính chất quan trọng của hàm số liên tục.
Về kĩ năng
Giúp học sinh biết vận dụng linh hoạt các định lí và các quy tắc tìm giới hạn
của dãy số và hàm số để từ một số giới hạn đã biết tìm được giới hạn của những
dãy số và những hàm số khác, biết chứng minh hàm số liên tục tại một điểm, trên
một khoảng và trên một đoạn.” [8, tr 167]
Thông qua mục tiêu của chương trình nâng cao, đối tượng giới hạn được
nghiên cứu một cách chi tiết hơn và sâu sắc hơn chương trình chuẩn. Chương trình

Footer Page 25 of 185.