Quan điểm Giải tích về các cách tiếp cận khái niệm Giới hạn và việc phát huy TTCNT của học sinh trong dạy học chủ đề Giới hạn ở bậc THPT

MỞ ĐẦU
1. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI
1.1. Đổi mới phương pháp dạy học nhằm phát huy tính tích cực
nhận thức của học sinh là yêu cầu tất yếu và cấp bách của Giáo dục. Để đáp
ứng được những yêu cầu mới của sự nghiệp công nghiệp hóa, hiện đại hóa đất
nước, sự thách thức trước nguy cơ tụt hậu trên con đường tiến vào thế kỷ XXI
bằng cạnh tranh trí tuệ đang đòi hỏi phải đổi mới Giáo dục, trong đó có việc
đổi mới căn bản về phương pháp dạy và học, sớm tiếp cận trình độ giáo dục
Phổ thông ở các nước phát triển trong khu vực và trên Thế giới (đây không
phải vấn đề riêng của nước ta, mà là vấn đề đang được quan tâm ở mọi quốc gia)
nhằm nâng cao chất lượng giáo dục toàn diện thế hệ trẻ, phát triển nguồn
nhân lực trong giai đoạn mới, phục vụ các yều cầu đa dạng của nền Kinh tế –
Xã hội.
Sự phát triển với tốc độ mang tính bùng nổ của khoa học công nghệ thể
hiện qua sự ra đời nhiều thành tựu mới cũng như khả năng ứng dụng chúng
vào thực tế cao, rộng và nhanh cũng đòi hỏi phải đổi mới Giáo dục. Trong bối
cảnh hội nhập giao lưu, học sinh được tiếp nhận nhiều nguồn thông tin đa
dạng, phong phú, từ nhiều mặt của cuộc sống, nên hiểu biết linh hoạt và thực
tế hơn nhiều, so với các thế hệ cùng lứa trước đây mấy chục năm (đặc biệt là
học sinh THPT). Vì vậy, đòi hỏi Giáo dục - Đào tạo phải xác định lại mục tiêu,
nội dung, phương pháp, phương tiện, tổ chức, cách đánh giá, theo định hướng
đổi mới phương pháp dạy học đã được xác định trong các tài liệu sau:
+ Nghị quyết Trung ương 4 khóa VII (1- 1993) đã đề ra nhiệm vụ ''đổi mới
phương pháp dạy học ở tất cả các cấp học, bậc học".
+ Nghị quyết Trung ương 2 khóa VIII (12- 1996) đã chỉ rõ: "phương pháp
Giáo dục - Đào tạo chậm được đổi mới, chưa phát huy được tính tích cực, chủ động
sáng tạo của người học".
1
+ Luật Giáo dục (12- 1998), cụ thể hóa trong các chỉ thị của Bộ Giáo dục -
Đào tạo, đặc biệt chỉ thị số 14 (4-1999).
+ Luật Giáo dục, điều 28.2, đã ghi: ''Phương pháp Giáo dục - Phổ thông phải

phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo của học sinh; phù hợp với đặc điểm
từng lớp học, môn học; bồi dưỡng phương pháp tự học, rèn luyện kỹ năng, vận dụng
kiến thức vào thực tiễn; tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui hứng thú cho học
sinh’'.
Như vậy, quan điểm chung về hướng đổi mới phương pháp dạy học hiện
nay (và cũng là một trong những xu thế dạy học hiện đại trên Thế giới), trong đó
có phương pháp dạy học môn Toán đã được khẳng định, không còn là vấn đề
để tranh luận nữa: Cốt lõi của phương pháp dạy học là phát huy TTCNT trong
học tập của học sinh, khơi dậy và phát triển khả năng tự học, nhằm hình
thành cho học sinh tư duy tích cực, độc lập, sáng tạo, để tạo cho học sinh học
tập một cách tích cực, chủ động, chống lại thói quen học tập thụ động. Đó là
hướng tới học tập trong hoạt động và bằng hoạt động, tức là cho học sinh
được suy nghĩ nhiều hơn, thảo luận nhiều hơn, hoạt động nhiều hơn, khi
đứng trước một vấn đề của nội dung bài học hay một yêu cầu thực tiễn của
cuộc sống. Đây chính là tiêu chí, thước đo, đánh giá sự đổi mới phương pháp
dạy học.
Trên tinh thần đó, việc dạy học không chỉ phải thực hiện nhiệm vụ trang
bị cho học sinh, những kiến thức cần thiết về môn dạy, mà điều có ý nghĩa to
lớn còn ở chổ dần dần hình thành và rèn luyện cho học sinh tính tích cực, độc
lập sáng tạo trong quá trình học tập, để học sinh có thể chủ động, tự lực, tự đào
tạo, tự hoàn thiện tri thức trong hoạt động thực tiễn sau này. Do đó, việc thiết
kế những nội dung dạy học cụ thể, nhằm tạo môi trường để tư duy nhận thức
của học sinh được hoạt động tích cực, là rất cần thiết. Chẳng hạn, dạy học khái
niệm về chủ đề Giới hạn có thể là minh chứng rõ nét cho việc dạy học theo
hướng phát huy TTCNT của học sinh.
2
1.2. Chủ đề ''Giới hạn'' là một trong những chương quan trọng, cơ bản,
nền tảng và khó của Giải tích Toán học ở THPT. Khái niệm Giới hạn không
chỉ là kiến thức cơ bản nền tảng của Giải tích vì: ''không có Giới hạn thì
không có Giải tích. Hầu hết các khái niệm của Giải tích đều liên quan đến

Giới hạn'' [37, tr. 147] mà còn là khái niệm Toán học khó đối với học sinh.
Có thể nói khi học về chủ đề Giới hạn là quá trình biến đổi về chất trong nhận
thức của học sinh, ở đây học sinh được xem xét các sự kiện trong mối liên hệ
qua lại của thế giới khách quan rõ ràng nhất. Vì ta đã biết Đại số đặc trưng
bởi kiểu tư duy “hữu hạn”, “rời rạc”, “tĩnh tại”, còn khi học về Giải tích kiểu
tư duy chủ yếu được vận dụng liên quan đến “vô hạn”, “liên tục”, “biến
thiên”. Khái niệm Giới hạn chính là cơ sở cho phép nghiên cứu các vấn đề
gắn liền với “vô hạn’’, ‘’liên tục’’, ‘’biến thiên’’. Do vậy, nắm vững được nội
dung khái niệm Giới hạn là khâu đầu tiên, là tiền đề quan trọng để xây dựng
cho học sinh khả năng vận dụng vững chắc, có hiệu quả các kiến thức Giải
tích Toán học ở phổ thông. Chủ đề Giới hạn có vai trò hết sức quan trọng
trong toán học phổ thông còn lẽ vì : "khái niệm Giới hạn là cơ sở, hàm số liên
tục là vật liệu để xây dựng các khái niệm đạo hàm và tích phân. Đây là nội
dung bao trùm chương trình Giải tích THPT’’ [4, tr. 12]. Để hiểu được chứng
minh, nắm vững nội dung của những khái niệm Giới hạn cần thiết phải có
những phương thức sư phạm tốt, đó là các cách thức và phương tiện thích
hợp, những lời nói sinh động, những hình ảnh trực quan, những ví dụ cụ thể,
rèn luyện và phát triển khả năng chuyển đổi từ ngôn ngữ thông thường sang
ngôn ngữ Toán học, khả năng thực hiện các thao tác tư duy cơ bản, những sơ
đồ, bảng biểu, những bài tập thích hợp và những tình huống sư phạm...).
Trong quá trình dạy học, giáo viên phối hợp sử dụng với từng nội dung bài
học hợp lý để góp phần tạo nên những hoạt động và giao lưu của giáo viên
với học sinh và học sinh với học sinh, nhằm đạt được các mục tiêu dạy học
chủ đề quan trọng này.
3

1.3. Thực tiễn của đổi mới chương trình, cải cách phương pháp dạy học
hiện nay cho thấy việc sử dụng các phương thức sư phạm thích hợp theo
hướng phát huy TTCNT của học sinh thì sẽ nâng cao chất lượng dạy học.
Học vấn nhà trường trang bị không thể thâu tóm được mọi tri thức mong

muốn. Vì vậy giáo viên phải coi trọng việc dạy chiếm lĩnh và kiến tạo kiến
thức của loài người. Đối với từng nội dung kiến thức, giáo viên phải biết khai
thác sử dụng những phương thức sư phạm với qui trình dạy học thích hợp để
phát huy TTCNT của học sinh, trên cơ sở đó người học có năng lực và thói
quen tiếp tục học tập suốt đời. Xã hội đòi hỏi người có học vấn hiện đại,
không chỉ có khả năng lấy ra từ trí nhớ các tri thức có sẵn đã lĩnh hội ở nhà
trường phổ thông, mà còn phải có khả năng chiếm lĩnh và biết cách thức sử
dụng tri thức một cách độc lập, có khả năng đánh giá các sự kiện, hiện tượng
mới các tư tưởng một cách thông minh sáng suốt, khi gặp trong cuộc sống
trong lao động và trong quan hệ với mọi người.
Do có những thay đổi trong đối tượng giáo dục, học sinh được tiếp nhận
nhiều nguồn thông tin đa dạng, phong phú, từ nhiều mặt của cuộc sống, hiểu
biết được nhiều hơn, linh hoạt và thực tế hơn so với các thế hệ cùng lứa tuổi
trước đây. Mặt khác, trong học tập học sinh không thỏa mãn với vai trò
người tiếp thu thụ động, không chỉ chấp nhận các giải pháp đã có sẵn được
đưa ra, ở lứa tuổi này nảy sinh một yêu cầu và cũng là một quá trình: sự lĩnh
hội độc lập các tri thức và phát triển các kĩ năng. Để hình thành phương thức
học tập một cách độc lập, phát huy được vai trò tích cực học tập của học sinh
một cách chủ định thì cần phải có sự hướng dẫn của giáo viên, các biện pháp,
phương thức sư phạm thích hợp đối với từng nội dung bài học cụ thể, giúp
học sinh học tập hứng thú, vận dụng tốt tiềm lực sẵn có để phát huy cao
TTCNT.
Vì những lý do trên đây, chúng tôi chọn đề tài nghiên cứu của luận văn:
4
“Quan điểm Giải tích về các cách tiếp cận khái niệm Giới hạn và việc phát
huy TTCNT của học sinh trong dạy học chủ đề Giới hạn ở bậc THPT''.
2. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU
2.1. Xác định cơ sở lý luận cơ bản về phát huy TTCNT của học sinh qua
học môn Toán .
2.2. Thiết kế xây dựng những phương thức sư phạm thích hợp cho việc

dạy học chủ đề Giới hạn theo hướng phát huy TTCNT của học sinh.
3. NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU
3.1. Tìm hiểu dạy học chủ đề Giới hạn ở lớp 11-THPT.
3.2. Xác định làm rõ cơ sở lý luận, sáng tỏ vai trò và vị trí của Giải tích
nói chung và chủ đề Giới hạn nói riêng ở THPT và việc phát huy TTCNT
của học sinh.
3.3. Vạch rõ bản chất, đề xuất các định hướng từ đó xây dựng các phương
thức sư phạm thích hợp theo hướng phát huy TTCNT của học sinh thông qua
dạy học chủ đề Giới hạn đặc biệt là các khái niệm "Giới hạn về dãy số và
hàm số, hàm số liên tục " cho học sinh lớp 11-THPT.
3.4. Thực nghiệm sư phạm nhằm kiểm tra, đánh giá tính khả thi và hiệu
quả của nội dung các phương thức đã đề xuất.
4. GIẢ THUYẾT KHOA HỌC
Trên cơ sở tôn trọng nội dung chương trình và SGK hiện hành nếu định
hướng được việc xây dựng các phương thức sư phạm thích hợp vào dạy học
chủ đề Giới hạn theo hướng phát huy TTCNT thì sẽ kích thích tính tích cực, tự
giác, chủ động, độc lập, sáng tạo của học sinh, từ đó nâng cao được hiệu quả
dạy học chủ đề Giới hạn nói riêng, chất lượng dạy học Toán nói chung.
5. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
5.1. Nghiên cứu lý luận: Nghiên cứu các văn kiện của Đảng, các văn bản,
tài liệu của nghành Giáo dục- Đào tạo có liên quan đến việc dạy học môn
5
Toán ở trường THPT, các tài liệu tâm lý giáo dục về phát huy TTCNT của
học sinh để phục vụ cho đề tài luận văn.
- Tìm hiểu phân tích chương trình, SGK, lý luận dạy học về Giải tích chủ
đề Giới hạn và các tài liệu tham khảo khác có liên quan.
5.2. Tìm hiểu, điều tra thực tiễn: Quan sát dự giờ thực dạy học sinh, tổng
kết kinh nghiệm dạy học chủ đề Giới hạn.
5.3. Thực nghiệm sư phạm: Tiến hành dạy thực nghiệm một số tiết ở
trường THPT để xác định tính khả thi và hiệu quả của đề tài luận văn.

6. ĐÓNG GÓP CỦA LUẬN VĂN
6.1. Về mặt lý luận:
- Hệ thống hóa một số vấn đề lý luận cơ bản về phát huy TTCNT của học sinh.
- Xây dựng và thực nghiệm các phương thức sư phạm thích hợp trong dạy
học về Giải tích chủ đề Giới hạn, nhằm phát huy TTCNT của học sinh.
6.2. Về mặt thực tiễn:
- Qua Luận văn này giúp giáo viên hiểu rõ và nắm vững hệ thống các
phương thức sư phạm thích hợp trong dạy học nhằm phát huy TTCNT của
học sinh thông qua dạy học chủ đề Giới hạn.
- Có thể sử dụng Luận văn để làm tài liệu tham khảo cho giáo viên Toán để
góp phần nâng cao hiệu quả dạy học ở trường THPT.
7. CẤU TRÚC CỦA LUẬN VĂN
Luận văn, ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, có 3 chương sau đây:
Chương 1: CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
1.1. Phát huy tính tích cực nhận thức của học sinh trong dạy học.
1.1.1. Quan niệm về tính tích cực nhận thức (TTCNT) của học sinh.
1.1.2. Vì sao phải phát huy TTCNT của học sinh?
1.1.3. Các cấp độ của TTCNT.
1.1.4. Một số biểu hiện TTCNT của học sinh trong học tập môn Toán.
6
1.1.5. Các phương thức sư phạm thích hợp nhằm phát huy TTCNT của
học sinh trong dạy học nội dung chủ đề Giới hạn.
1.2. Quan điểm về Giải tích và vị trí đặc điểm của Giới hạn ở THPT.
1.2.1. Vị trí đặc điểm Giới hạn của Giải tích ở THPT.
1.2.2. Quan điểm thứ nhất: Giải tích mà Đại số hóa tăng cường ở THPT.
1.2.3. Quan điểm thứ hai: Giải tích xấp xỉ ở THPT.
1.2.4. Quan điểm thứ ba: Giải tích hỗn hợp ở THPT.
1.3. Thực tiễn dạy học chủ đề khái niệm Giới hạn của Giải tích ở THPT .
1.4. Kết luận chương 1.
Chương 2: CÁC CÁCH TIẾP CẬN KHÁI NIỆM GIỚI HẠN VÀ VIỆC

PHÁT HUY TÍNH TÍCH CỰC NHẬN THỨC CỦA HỌC SINH
TRONG DẠY HỌC CHỦ ĐỀ GIỚI HẠN Ở BẬC THPT
2.1. Các cách tiếp cận khái niệm Giới hạn ở THPT.
2.1.1. Các cách tiếp cận định nghĩa khái niệm “ Giới hạn dãy số”.
2.1.2. Các cách tiếp cận định nghĩa khái niệm “ Giới hạn hàm số”.
2.1.3. Các cách định nghĩa sự liên tục - gián đoạn hàm số tại một điểm.
2.1.4. Về việc mở rộng khái niệm giới hạn của dãy số và hàm số.
2.2.Ví dụ minh họa dạy học chủ đề Giới hạn theo hướng phát huy TTCNT.
2.2.1. Thực hiện kế hoạch bài học theo phương pháp dạy học tích cực với
khái niệm đề giới hạn
2.2.2. Minh họa dạy học khái niệm Giới hạn.
2.2.3. Minh họa dạy học bài tập về Giới hạn với chức năng phát huy TTCNT.
2.2.4. Dự đoán phát hiện nguyên nhân và hướng khắc phục những khó
khăn sai lầm của học sinh khi học chủ đề Giới hạn.
2.3. Kết luận chương 2.
Chương 3: THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM
3.1. Mục đích thực nghiệm.
7
3.2. Tổ chức và nội dung thực nghiệm
3.3. Đánh giá kết quả thực nghiệm.
3.4. Kết luận chương 3 thực nghiệm sư phạm.
Chương 1
CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN
1.1. PHÁT HUY TTCNT CỦA HỌC SINH TRONG DẠY HỌC
Theo Rubinstein X. L : ''Người ta bắt đầu tư duy khi có nhu cầu hiểu biết
một cái gì. Tư duy thường xuất phát từ một vấn đề hay một câu hỏi, từ một sự
ngạc nhiên hay một điều trăn trở'', mà hạt nhân cơ bản của TTCNT là hoạt
động tư duy, nên phát huy tính tích cực nhận thức (TTCNT) chính là nhằm
phát triển tư duy, đặc biệt là tư duy toán học cho học sinh, vậy thế nào là
TTCNT của học sinh trong học tập ?

1.1.1. Quan niệm về TTCNT của học sinh
Theo Kharlamop: ''Tính tích cực là trạng thái hoạt động của chủ thể, TTCNT
là trạng thái hoạt động của học sinh, được đặc trưng bởi khát vọng học tập, cố
gắng trí tuệ và nghị lực cao trong quá trình nắm vững kiến thức''.
Nhiều nhà khoa học trong và ngoài nước nhận định về TTCNT của học sinh
trong quá trình học tập theo những góc độ, những dấu hiệu khác nhau của chủ
thể đối với khách thể, đó là:
- Sự căng thẳng chú ý, sự tưởng tượng, phân tích tổng hợp,...( Rôđac I.I.).
- Lòng mong muốn không chủ định và gây nên biểu hiện bên ngoài hoặc bên trong
của sự hoạt động (Ôkôn V.).
- Cường độ, độ sâu, nhịp điệu của những hoạt động, quan sát, chú ý, tư duy ghi
nhớ trong một thời gian nhất định ( TS. Phạm Thị Diệu Vân).
- Huy động mức độ cao các chức năng tâm lý, đặc biệt là chức năng tư
duy ( TS. Đặng Vũ Hoạt).
8
- Hành động ý chí, trạng thái hoạt động về vẻ bề ngoài có vẻ giống nhau nhưng
khác nhau về bản chất khi xét đến hoạt động cải tạo trong ý thức của chủ thể
(Aristova L.).
- Thái độ cải tạo của chủ thể đối với khách thể thông qua sự hoạt động ở mức độ
cao các chức năng tâm lý nhằm giải quyết những vấn đề học tập - nhận thức (
TS . Nguyễn Ngọc Bảo).
- TTCNT phải thể hiện trước hết ở động cơ học Toán đúng đắn, từ đó tự giác
học tập một cách hứng thú, từ chỗ chưa biết đến biết, từ chỗ biết đến biết sâu sắc,
không những tiếp thu được chuẩn xác kiến thức Toán học, mà còn đúc kết được
phương pháp suy nghĩ giải quyết vấn đề (TS. Lê Thống Nhất).
Trên đây là cách nhận định về TTCNT của các nhà tâm lý học, giáo dục
học. Khác với quá trình nhận thức trong nghiên cứu khoa học, quá trình nhận
thức trong học tập, không nhằm phát huy những điều loài người chưa biết mà
nhằm lĩnh hội những tri thức loài người đã tích lũy được. Tuy nhiên trong học
tập học sinh cũng phải ''khám phá'' ra những hiểu biết mới đối với bản thân.

Học sinh sẽ ghi nhớ thông tin qua hiểu những gì đã nắm được qua hoạt động
chủ động, nổ lực của chính mình. Đó là chưa nói đến, khi tới một trình độ
nhất định, sự học tập tích cực về nhận thức sẽ mang tính nghiên cứu khoa học
và người học cũng làm ra được những tri thức mới cho khoa học.
TTCNT trong hoạt động học tập liên quan trước hết với động cơ học tập.
Động cơ đúng tạo ra hứng thú. Hứng thú là tiền đề của tự giác (hứng thú và tự
giác là hai yếu tố tâm lý tạo nên TTCNT). TTCNT sản sinh nếp tư duy độc
lập. Suy nghĩ độc lập là mầm mống của sáng tạo. Tích cực gắn liền với động
cơ, với sự kích thích hứng thú, với ý thức hứng thú, có ý thức về sự tự giác
học tập, ý thức về sự giáo dục của chính mình, vì vậy có thể hiểu tiêu chí
nhằm phát huy TTCNT là tính tích cực tư duy (tư duy bên trong), tất nhiên phải
được thể hiện qua ngôn ngữ và hành động tích cực (biểu hiện cả bên ngoài).
Ngược lại, phong cách học tập phát huy TTCNT, độc lập, sáng tạo sẽ
9
phát triển tự giác, hứng thú, bồi dưỡng động cơ học tập. Ta có thể minh họa
mối liên hệ tác động qua lại đó như sau:
ĐỘNG CƠ


HỨNG THÚ



TỰ GIÁC
↔

↔
SÁNG TẠO

TTC

↔

↔
ĐỘC LẬP
TTCNT và tính tích cực học tập có liên quan chặt chẽ với nhau, nhưng không
phải đồng nhất. Có một số trường hợp, tính tích cực học tập thể hiện ở sự tích cực bên
ngoài, mà không phải tích cực trong tư duy. Đó là điều cần lưu ý khi nhận xét
đánh giá TTCNT của học sinh.
Rèn luyện kỹ năng học tập một cách tích cực độc lập cho học sinh, để học
sinh chủ động tự lực chiếm lĩnh kiến thức là cách hiệu quả nhất, làm cho học
sinh hiểu kiến thức một cách sâu sắc và có ý thức. Vốn kiến thức, mà học sinh
nắm được từ nỗ lực của bản thân chỉ sống và sinh sôi nảy nở nếu học sinh
biết sử dụng nó một cách chủ động độc lập sáng tạo. Tính độc lập thực sự của
học sinh biểu hiện ở sự độc lập suy nghĩ, ở chỗ biết học tập một cách hợp lý
khoa học trên cơ sở quá trình giáo viên hướng dẫn, có phải đây là một trong
những lý do phát huy TTCNT của học sinh ?
1.1.2. Vì sao phải phát huy TTCNT của học sinh ?
Trong quá trình dạy học, TTCNT của học sinh không chỉ tồn tại như một
trạng thái, một điều kiện, mà nó còn là kết quả của quá trình hoạt động nhận
thức, là mục đích của quá trình dạy học, chỉ có quá trình nhận thức tích cực
mới tạo cho học sinh có tri thức, kỹ năng, kỹ xảo, hình thành ở học sinh tính
10
TtCnT
độc lập sáng tạo và nhạy bén khi giải quyết các vấn đề trong học tập cũng như
thực tiễn.
Hiện nay và trong tương lai xã hội loài người đang và sẽ phát triển tới một
hình mẫu ''Xã hội có sự thống trị của kiến thức'' dưới tác động của sự bùng nổ
về khoa học và công nghệ cùng nhiều yếu tố khác. Để có thể tồn tại và phát
triển trong một xã hội như vậy, con người phải có khả năng chiếm lĩnh sử
dụng tri thức một cách độc lập sáng tạo. Hiệu quả lĩnh hội tri thức không phải

chỉ là ở chỗ tri giác và giữ lại thông tin mà còn ở chỗ cải biến các kết quả
thông tin ấy. Điều này đòi hỏi học sinh phải hoạt động tích cực, tìm tòi khám
phá những khâu còn thiếu trong thông tin đã tiếp thu được, cải biến nó thành
cái có nghĩa đối với mình.
Phát huy TTCNT của học sinh và tăng cường hoạt động trí tuệ độc lập
của học sinh trong quá trình thu nhận tri thức rèn luyện kỹ năng kỹ xảo. Tích
cực hóa việc dạy học không phải chỉ có giá trị về mặt kết quả trí dục mà còn
đặc biệt quan trọng về mặt giáo dục, nó ảnh hưởng đến việc hình thành nhân
cách của học sinh. Phát huy TTCNT trong học tập của học sinh có tác dụng
phát triển những đức tính quý giá như tính mục đích, lòng ham hiểu biết, tính
kiên trì, óc phê phán... Những phẩm chất cá nhân này trở thành những yếu tố
kích thích bên trong điều chỉnh hoạt động nhận thức của học sinh đó là những
điều kiện hết sức quan trọng giúp cho việc học tập đạt kết quả tốt.
Quán triệt tinh thần đó việc vận dụng phương pháp dạy học hiện đại vào
dạy học môn Toán đòi hỏi phải tích cực hóa hoạt động nhận thức của học sinh
nhằm hình thành cho học sinh tư duy tích cực độc lập và sáng tạo, nâng cao
năng lực phát hiện và giải quyết vấn đề trên cơ sở những kiến thức toán học
được tích lũy có hệ thống. Để khai thác hết năng lực học tập của học sinh,
việc tổ chức quá trình dạy học phải theo đúng con đường nhận thức khách
quan ''từ trực quan sinh động đến tư duy trừu tượng và từ tư duy trừu tượng đến thực
tiễn'' mà điều quan trọng nhất là học sinh hứng thú tự giác tham gia vào quá
11
trình học tập và chỉ có thế mới đảm bảo cho quá trình học tập đạt kết quả cao.
Vậy trong học tập TTCNT có các cấp độ nào ?
1.1.3. Các cấp độ của TTCNT
Trong tác phẩm ''Giáo dục học trường phổ thông'' G.L.Sukina, đã chia
trong học tập TTCNT có ba cấp độ từ thấp đến cao:
a) Tính tích cực bắt chước, chấp nhận và tái hiện:
Học sinh bắt chước và tái hiện được các kiến thức đã học, thực hiện được
các thao tác kỹ năng mà giáo viên đã nêu ra. TTCNT ở đây xuất hiện do tác

động bên ngoài như yêu cầu bắt buộc của giáo viên, thường thấy ở học sinh
có năng lực nhận thức ở mức độ dưới trung bình và trung bình.
b) Tính tích cực tìm tòi áp dụng:
Học sinh độc lập giải quyết các tình huống học tập như quá trình lĩnh hội
khái niệm, định lý, bài toán ... với sự tham gia của động cơ nhu cầu hứng thú
và ý chí của học sinh. Tính tích cực ở đây không bị hạn chế trong khuôn khổ
những yêu cầu của giáo viên trong giờ học mà hoàn toàn tự phát trong quá
trình nhận thức, thấy ở học sinh có năng lực nhận thức trên trung bình và khá.
c) Tính tích cực sáng tạo :
Thể hiện ở chỗ trong học tập học sinh tự mình cũng có thể tìm ra được
những cách giải quyết mới, độc đáo hữu hiệu hay thực hiện tốt các yêu cầu
hành động do giáo viên đưa ra mà không cần sự giúp đỡ của giáo viên. Loại
này thường thấy ở học sinh có năng lực nhận thức ở mức độ giỏi, học sinh
năng khiếu.
Các phân loại trên, giúp giáo viên đánh giá được mức độ TTCNT của
học sinh theo mặt bằng chung của cả lớp. Tuy nhiên nó còn rất khái quát,
muốn đánh giá đúng mức độ TTCNT của học sinh, giáo viên còn phải căn cứ
vào các mặt biểu hiện TTCNT của học sinh.
1.1.3.1. Các mặt biểu hiện TTCNT của học sinh
a) Biểu hiện về mặt hoạt động nhận thức:
12
TTCNT của học sinh thể hiện ở mặt thao tác tư duy, ngôn ngữ, sự quan
sát, ghi nhớ, tư duy hình thành khái niệm, phương thức hành động, hình thành
kỹ năng, kỹ xảo, các câu hỏi nhận thức của học sinh, giải đáp các câu hỏi do
giáo viên đưa ra nhanh chóng chính xác, sự khát khao học hỏi, biết nhận rõ
đúng sai khi bạn đưa ra ý kiến, hoài nghi, phê phán và xác lập các quan hệ
giúp ích cho hoạt động nhận thức.
b) Biểu hiện về mặt cảm xúc, tình cảm:
Hay nêu thắc mắc, đòi hỏi giải thích cặn kẽ, những vấn đề chưa đủ rõ, thể
hiện sự đam mê, sự sốt sắng, hăng hái thực hiện yêu cầu mà giáo viên đặt ra,

bổ sung các câu trả lời của bạn, thích phát biểu ý kiến của mình trước vấn đề
nêu ra.
c) Biểu hiện về mặt động cơ ý chí:
Tập trung chú ý vào vấn đề đang học, có nhu cầu hứng thú học tập có ý
chí và quyết tâm kiên trì, hoàn thành các bài tập, không nản trước những tình
huống khó khăn.
d) Biểu hiện về kết quả nhận thức:
Lĩnh hội kiến thức một cách nhanh chóng chính xác, chủ động vận dụng
kiến thức, kỹ năng đã học để nhận thức vấn đề mới, kết quả học tập sau một
tiết học, một chương…
Để có được phong cách học tập tích cực trong nhận thức, học sinh phải
thật sự tự giác, chủ động học tập. Tích cực hóa gắn liền động cơ hóa, với sự
kích thích hứng thú, với ý thức trách nhiệm học tập, ý thức về sự giáo dục của
chính mình.
1.1.3.2. Đặc trưng cơ bản của tư tưởng TTCNT của học sinh
Tư tưởng này là một trong những biểu hiện của sự phát triển lý luận và
thực tiễn giáo dục hiện nay. Nhấn mạnh vai trò trung tâm của học sinh và
đồng thời chỉ rõ vai trò của người giáo viên trong toàn bộ quá trình dạy học.
Lấy học sinh làm trung tâm là một thể hiện cơ bản của tính nhân văn, cũng
13
như một khẳng định dứt khoát về vị trí trung tâm hoạt động của học sinh. Vì
vậy, có thể nói đặc trưng cơ bản của tư tưởng TTCNT của học sinh là:
a) Tính nhân văn:
Được thể hiện ở sự thừa nhận và tôn trọng nhu cầu, lợi ích, mục đích và
những kinh nghiệm của cá nhân học sinh, cố gắng tạo điều kiện để học sinh tự
''hình thành và phát triển'' theo tiềm lực và khả năng của bản thân.
b) Tính hoạt động:
Thể hiện sự tối đa hóa các hoạt động của học sinh với phương thức chỉ
đạo là: tự phát triển, tự thực hiện, tự kiểm tra và đánh giá quá trình hoạt động
nhận thức của bản thân. Qua đó, hình thành và phát triển tư duy độc lập sáng

tạo của mỗi cá nhân học sinh.
c) Vai trò của giáo viên:
Phong phú mềm mại, sáng tạo và có trách nhiệm, có nghĩa là giáo viên
không những truyền thụ tri thức, những sản phẩm sẵn có mà cần phải thiết kế,
tổ chức điều khiển, ủy thác, thể chế hóa, đánh giá hoạt động tự lực nhận thức
của người học sinh, nhằm hình thành cho học sinh thái độ năng lực phương
pháp học tập và ý chí học tập từ đó tự khám phá ra những tri thức mới, được
cụ thể hóa ở các vai trò:
*) Vai trò thiết kế:
Một giờ dạy muốn thành công phải có sự thiết kế chặt chẽ về các biện
pháp phương thức cấu trúc lôgic giờ học, lập kế hoạch chuẩn bị quá trình dạy
học cả về các mặt: mục đích, nội dung, phương pháp, phương tiện, tổ chức,
đánh giá. Việc thiết kế tốt, phù hợp sẽ làm cho bài giảng luôn diễn ra trong sự
kích thích tưởng tượng, tò mò và say mê tìm tòi cái mới đảm bảo cho giờ dạy
có kết quả .
*) Vai trò tổ chức:
Tổ chức một môi trường học tập cho mỗi học sinh có cơ hội bộc lộ tối đa
khả năng tạo điều kiện thuận lợi cho phát huy tính tích cực học tập nhằm hình
14
thành năng lực ý chí phương pháp học tập, từ đó tự khám phá những tri thức
mới, ý thức được nhiệm vụ của mình trong giờ học, thông qua các tranh luận
tìm tòi tổng hợp tự mình phát huy được năng lực trí tuệ đi đến chân lý, bằng
con đường này sẽ làm các em nhớ lâu hơn, hiểu kỹ hơn về các kiến thức đó.
*) Vai trò ủy thác:
Đây không phải là bắt trò học tập theo ý của giáo viên mà phải làm sao
cho học sinh tự giác biến ý đồ dạy của giáo viên thành nhiệm vụ của bản thân,
đảm nhận quá trình họat động để kiến tạo tri thức, tức là hoạt động của thầy
nhằm chuyển giao ý đồ sư phạm, ý đồ dạy học sang ý đồ nhận thức của học
sinh. Học sinh nhận thấy được mong muốn giải quyết vấn đề thầy dặt ra nhờ
các hoạt động tư duy, tích cực, độc lập, sáng tạo. Ở khâu này giáo viên làm

công việc ngược lại với nhà nghiên cứu: hoàn cảnh lại, thời gian hóa lại và cá
nhân hóa lại tri thức, học sinh tự mình đảm nhận lại quá trình giải quyết vấn
đề sao cho hoạt động của học sinh gần giống với hoạt động của nhà nghiên
cứu, nhờ những lý do này mà học sinh phát huy cao độ TTCNT của thân.
*) Vai trò thể chế hóa:
Là xem xét những vấn đề học sinh tìm được là đúng hay sai, nếu sai thì
phân tích sữa chữa sai lầm, nếu đúng thì ghi nhận cho học sinh đã chiếm lĩnh
được tri thức và giáo viên phải trả lại vị trí của tri thức đó trong chương trình,
mối liên hệ của nó đối với các tri thức khác.
*) Vai trò đánh giá:
Thái độ trân trọng của giáo viên đối với mỗi sự tìm tòi mới mẻ của học
sinh có một tác động mạnh mẽ đến hứng thú của các em việc đánh giá cao sự
sáng tạo sẽ thúc đẩy năng lực học tập tính tích cực học tập của học sinh.
Muốn vậy giáo viên cần tạo cho mình vốn kiến thức đủ để nhận ra nét độc
đáo trong suy nghĩ của học sinh để có thể đánh giá đúng giá trị của sự tìm tòi
học sinh, học sinh sẽ có phản ứng tiêu cực nếu bản thân sự đánh giá của giáo
viên chưa thực làm học sinh thỏa đáng, sự nhìn nhận khách quan chính xác
15
của giáo viên tạo được lòng tin của học sinh, từ đó phát huy tính sáng tạo của
học sinh qua sự tích cực hóa hoạt động học tập.
Vậy các vai trò của giáo viên là làm sao giúp học sinh học tập một cách
hiệu quả, thúc đẩy học sinh tự giác học tập phát huy cao độ TTCNT của bản
thân, qua đó học sinh hiểu được kiến thức tìm ra là một tri thức chung của
nhân loại và giáo viên chính thức chấp nhận kết quả đạt được của học sinh.
Nhưng thực tế dạy học ở trường phổ thông cho thấy, đâu đó trong cách
dạy học vẫn chưa phát huy đầy đủ được TTCNT của học sinh. Do vậy, cần
thiết dựa trên một số biểu hiện về TTCNT trong học tập môn Toán từ đó hình
thành và phát triển TTCNT của học sinh là một trong những nhiệm vụ quan
trọng của người giáo viên.
1.1.4. Một số biểu hiện TTCNT của học sinh trong học tập môn Toán

1.1.4.1. Về ý thức, thái độ học tập
- TTCNT của HS được thể hiện ở nhu cầu hiểu biết kiến thức, khát vọng
và mong muốn được giải quyết các tình huống học tập mà giáo viên đưa ra để
chiếm lĩnh được kiến thức mới, giải quyết được bài toán mới.
- TTCNT của học sinh còn được thể hiện ở sự hứng thú, niềm say mê lao
động trí tuệ, sự sốt sắng thực hiện, có tinh thần trách nhiệm đối với các yêu
cầu mà giáo viên đưa ra khi lĩnh hội kiến thức mới.
1.1.4.2. Về hoạt động trí tuệ cao
-TTCNT của học sinh thể hiện trong quá trình lĩnh hội tài liệu học tập:
Đó là việc thực hiện đầy đủ các yêu cầu của giáo viên đưa ra, tích cực họat
động trí tuệ, thực hiện các thao tác tư duy ( phân tích, tổng hợp so sánh, trừu
tượng hóa, khái quát hóa,…), nhanh chóng phát hiện dấu hiệu bản chất của
các kiến thức và tìm ra được nhiều con đường giải quyết các tình huống do
giáo viên đưa ra trong quá trình dạy học.
-TTCNT của học sinh thể hiện ở sự ghi nhớ vận dụng kiến thức: Đó là sự
tái hiện nhanh chóng các kiến thức mới trong các trường hợp cụ thể, biết khái
16
quát hóa, hệ thống hóa các kiến thức đã học, biết vận dụng các kiến thức đã
học trong các trường hợp cụ thể.
-TTCNT của học sinh thể hiện ở sự kiểm tra đánh giá: Đó là sự đánh giá
đúng mức công việc mà bản thân đã làm, nhanh chóng phát hiện và sửa chữa
sai lầm mắc phải trong quá trình hình thành khái niệm cũng như vận dụng
khái niệm.
Trên đây là những biểu hiện TTCNT của học sinh trong quá trình chiếm
lĩnh kiến thức, giáo viên khi dựa vào những biểu hiện này có thể định hướng
cho việc phát huy TTCNT của học sinh nhằm nâng cao hiệu quả dạy học
môn Toán nói chung, chủ đề Giới hạn nói riêng.
1.1.4.3. Điều kiện phát huy TTCNT của học sinh trong dạy học
Muốn phát huy TTCNT của học sinh, giáo viên cần phải tổ chức môi
trường học tập đảm bảo : Tính sẵn sàng học tập và tính hoạt đông cao.

a) Tính sẵn sàng học tập: Gồm có hai thành tố cơ bản:
+ Khả năng học tập khi đứng trước một kiến thức nào đó (hình thành và
vận dụng kiến thức…);
+ Chủ định đối với kiến thức và môi trường học tập (có động cơ, hứng
thú, ý chí học tập…).
Thiếu một mặt nào trong hai yếu tố trên đây cũng đều ảnh hưởng đến tính
sẵn sàng học tập:
+ Có khả năng mà thiếu chủ định thì học sinh không sẵn sàng học tập, vì
không muốn hoạt động;
+ Có chủ định mà thiếu khả năng thì học sinh cũng không sẵn sàng học
tập, vì không biết hoạt động.
Vì vậy, giáo viên cần phải tổ chức môi trường học tập, xây dựng những
biện pháp sư phạm thích hợp làm cho việc dạy học phù hợp với khả năng học
tập của học sinh, đồng thời tạo được động cơ, gây hứng thú, ý chí học tập của
học sinh,…thì mới phát huy được TTCNT của học sinh.
17
b) Tính hoạt động cao: Thể hiện ở nội dung dạy học và phải dựa trên những
tiêu chuẩn sau:
+ Mỗi hoạt động của giáo viên và học sinh được xác định cụ thể, rõ ràng,
có thể nhận thức được, cảm nhận được, hình dung được.
+ Nội dung dạy học chứa đựng những liên hệ phù hợp để đảm bảo các
quan hệ và hoạt động của thầy và trò đều hướng vào tổ chức và kích thích
hành động học sinh, tức là nội dung dạy học phải xây dựng được dưới dạng
những tình huống có vấn đề.
Vậy để bảm bảo được tính hoạt động cao trong dạy học, người giáo viên
cần phải lựa chọn nội dung dạy học đáp ứng được hai tiêu chuẩn trên và tổ
chức môi trường học tập, xây dựng những biện pháp thích hợp từ đó xác định
thiết kế xây dựng phương thức dạy học sao cho kích thích tính chủ động, tự
quyết, khả năng tự thể hiện, đánh giá,…trong học tập, phát triển những cơ hội
học tập, động cơ học tập, xây dựng mối quan hệ tương tác giữa giáo viên và

học sinh, học sinh và học sinh.
1.1.5. Các phương thức sư phạm nhằm phát huy TTCNT của học
sinh trong dạy học nội dung chủ đề Giới hạn
1.1.5.1. Những phương hướng phát huy TTCNT của học sinh trong dạy
học
Để phát huy TTCNT của học sinh là một trong những nhiệm vụ chủ yếu
của người giáo viên trong quá trình dạy học. Vì vậy, nó luôn là trung tâm chú
ý của lý luận và thực tiễn dạy học. Từ thời cổ đại các nhà sư phạm tiền bối
như Khổng tử, Aristot…đã từng nói đến tầm quan trọng to lớn của việc phát
huy TTCNT của học sinh và đã có những định hướng và biện pháp để phát
huy TTCNT của học sinh.
J. A. Komenxki nhà sư phạm lỗi lạc của thế kỷ XVII đã đưa ra những
định hướng, biện pháp dạy học là bắt học sinh phải tìm tòi, suy nghĩ để tự nắm
được bản chất của sự vật hiện tượng.
18
J. J. Ruxô cũng cho rằng, phải hướng học sinh tích cực tự giành lấy kiến
thức bằng cách tìm kiếm, khám phá và sáng tạo.
A. Distecvec thì cho rằng, người giáo viên tồi là người cung cấp cho học
sinh chân lý, người giáo viên giỏi là người dạy cho học sinh tự tìm ra chân lý.
K. D. Usinxki nhấn mạnh tầm quan trọng của việc điều khiển, dẫn dắt học
sinh của các giáo viên.
Trong thế kỷ IX, các nhà giáo dục Cổ, Kim, Đông, Tây, đã trao đổi bàn
luận để tìm kiếm con đường nhằm phát huy TTCNT của học sinh trong dạy
học. Chúng ta thường kể đến tư tưởng các nhà giáo dục nổi tiếng như:
B.P.Êxipôp, M.A.Danilôp, M.N.Xcatkin, I.F.Kharlamôp, I.I.Xamôva (Liên
Xô), Okon (Ba Lan), Skinner (Mĩ)…
Ở Việt Nam các nhà lý luận dạy học cũng đã viết nhiều về phát huy
TTCNT của học sinh như: GS. Hà Thế Ngữ, GS. Nguyễn Quang Ngọc,
GS. Đặng Vũ Hoạt …, mà cụ thể GS. Đặng Vũ Hoạt đã nêu lên 6 định hướng
là:

i) Giáo dục động cơ, thái độ học tập, trên cơ sở thấm nhuần mục đích học tập,
động viên khuyến khích kịp thời dựa vào tính tự nguyện của học sinh;
ii) Thực hiện dạy học nêu vấn đề là định hướng, phương pháp cơ bản nhất;
iii) Tiến hành so sánh các sự vật, hiện tượng, tiến hành hệ thống hóa, khái quát
hóa tri thức;
iv) Vận dụng tri thức vào nhiều hoàn cảnh khác nhau, giải quyết các vấn đề bằng
nhiều cách khác nhau;
v) Gắn liền lý luận với thực tiễn, khai thác vốn sống của học sinh;
vi) Phát triển ý thức tự kiểm tra, tự đánh giá của học sinh.
Từ những phương hướng chung đó, cần phải có những định hướng
phương thức sư phạm thích hợp để phát huy TTCNT của học sinh trong dạy
học đặc thù môn toán.
19
1.1.5.2. Một số định hướng và phương pháp để phát huy TTCNT của học
sinh trong dạy học môn Toán
Trong quá trình dạy học phải tạo được động cơ hứng thú để học sinh có cơ
hội phát huy tính chủ động độc lập tự giác chiếm lĩnh kiến thức, ta có thể tổng
quan về một số định hướng biện pháp sư phạm thích hợp nhằm phát huy
TTCNT của học sinh trong quá trình dạy học theo đặc thù môn Toán:
i) Kiến thức bài dạy làm sao có được tính kế thừa phát triển trên kiến thức đã học,
sự liên hệ với thực tiễn, gần gũi với cuộc sống, với suy nghĩ hằng ngày, thỏa mãn nhu
cầu nhận thức của học sinh;
ii) Sử dụng các phương tiện dạy học, dụng cụ trực quan có tác dụng tốt trong việc
kích thích hứng thú phát huy TTCNT của học sinh;
iii) Xây dựng, sắp xếp, bổ sung và khai thác các ví dụ và phản ví dụ trong quá
trình dạy học;
iv) Phát triển khả năng chuyển đổi ngôn ngữ thường sang ngôn ngữ Toán học,
khả năng thực hiện các thao tác tư duy cơ bản;
v) Lập và sử dụng các bảng tổng kết, biểu đồ, sơ đồ thích hợp để làm rõ nguồn
gốc và mối liên kết logic của các kiến thức trong quá trình dạy học;

vi) Lựa chọn và sử dụng một cách hợp lý hệ thống các bài tập và sử dụng khai
thác các tình huống dễ mắc sai lầm. Để học sinh tự kiểm tra, khắc phục các khó khăn
và sửa chữa những sai lầm thường gặp trong quá trình lĩnh hội kiến thức.
1.1.5.3. Các phương thức sư phạm nhằm phát huy TTCNT của học sinh
trong dạy học về khái niệm Giới hạn
Ta đã biết nắm vững được hệ thống khái niệm Giới hạn thì học sinh có
khả năng vận dụng vững chắc có hiệu quả các kiến thức về Giới hạn, đó là cơ
sở để học tốt về chủ đề Giới hạn nói chung, qua đó rèn luyện năng lực giải
bài tập toán của nội dung Giới hạn nói riêng.
Trước hết ta cần xác định rõ mối liên hệ trong hoạt động nhận thức của
học sinh là: giáo viên hướng dẫn và kích thích TTCNT của trò rồi huy động các
20
phương pháp phương thức sư phạm tác động vào (chủ thể) học sinh, từ đó
học sinh có nhu cầu hiểu biết và huy động cao độ khả năng hướng tới tri giác tiếp
đến biểu tượng sau cùng (khách thể) khái niệm Giới hạn , cụ thể được minh
họa theo sơ đồ sau :
(Hình 1)
Như vậy, quá trình phát huy tính tích cực hoạt động nhận thức của học
sinh không phải là quá trình đưa thông tin vào học sinh theo định hướng một
chiều xem học sinh như là cái máy thu thông tin thụ động, cụ thể ở đây bàn
đến dạy học về khái niệm Giới hạn qua thực hiện các phương thức sau:
Phương thức 1 : Xác định rõ các cách xây dựng khái niệm Giới hạn.
Trước hết hiểu rõ, xác định đúng được cách xây dựng khái niệm Toán học
là:
+ Mô tả không định nghĩa: Chẳng hạn như việc định nghĩa giới hạn 0 của dãy
số là: ''dãy số (
n
U
; n = 1,2,3,…) gọi là dần đến 0 hay có giới hạn 0 khi n
→

+
∞
,
nếu
n
u
càng nhỏ khi n càng lớn, tức là nếu
n
u
có thể nhỏ bao nhiêu tùy ý miễn là
chọn n đủ lớn''.
+ Hay định nghĩa dưới dạng kiến thiết – qui nạp như : Con đường đi tới định
nghĩa giới hạn dãy theo ngôn ngữ "
ε
,
δ
" này là kiến thiết- qui nạp, từ việc
mô tả: ''Khi n càng lớn thì
n
U
càng bé và bé bao nhiêu cũng được'', được
chuyển qua ngôn ngữ "
ε
,
δ
" bằng cách chọn miền giá trị
ε
cụ thể để tiến
tới khái quát hóa cho mọi
ε

, (đặc biệt cần sự giúp đỡ trực quan của trục số)
Giáo viên
Phát huy
TTCNT
Hướng dẫn
Sử dụng
các
phương
thức sư
phạm
(Chủ thể)
Học sinh
Có nhu
cầu hiểu
biết
Huy
động cao
độ khả
năng
(Khách thể)
Khái niệm
Giới hạn
Biểu tượng
Tri giác
21
là: ''ta nói rằng dãy số thực
n
U
có giới hạn là L (L
∈

R), khi n
→
+
∞
nếu với
mọi số dương
ε
cho trước( nhỏ tuỳ ý) tồn tại một số tự nhiên
)(
ε
N
, sao cho
với mọi n >
)(
ε
N
thì
LU
n
−
<
ε
''.
+ Hoặc được định nghĩa dưới dạng suy diễn như : Khái niệm giới hạn L
≠
0
được định nghĩa theo con đường suy diễn (nghĩa là trình bày phát biểu ngay định
nghĩa, sau đó trình bày ví dụ củng cố ), trên cơ sở giới hạn 0 đã được định nghĩa
như :
+∞→

n
lim
u
n
= L, (L
∈
R )
⇔

+∞→
n
lim
( u
n
– L) = 0.
+ Đặc biệt chú ý tới cấu trúc của định nghĩa mà mệnh đề nêu lên có tính
chất đặc trưng của khái niệm là cấu trúc tuyển hay cấu trúc hội:
*) Đối với định nghĩa có cấu trúc hội: A(x)
⇔
P
1
(x)
∧
P
2
(x)
∧
… P
n
(x),

được xây dựng sao cho đối tượng : x
∈
A(x)
⇔
x
∈
P
1
(x)
∧
P
2
(x)
∧
…
P
n
(x).
*) Đối với định nghĩa có cấu trúc tuyển: A(x)
⇔
P
1
(x)
∨
P
2
(x)
∨
… P
n

(x),
cũng được xây dựng sao cho đối tượng: x
∈
A(x)
⇔
x
∈
P
1
(x)
∨
P
2
(x)
∨
…
P
n
(x). Loại cấu trúc tuyển hay hội thường được dùng định nghĩa tính liên
tục hoặc gián đoạn của hàm số.
Phương thức 2 : Tìm hiểu các định nghĩa khác nhau của cùng một khái niệm
Giới hạn .
Từ cách tìm hiểu các định nghĩa khác nhau của cùng một khái niệm sẽ thấy
được tính sư phạm của mỗi cách định nghĩa, khi đó có biện pháp thích hợp với
mỗi loại đối tượng, làm sao cho học sinh hiểu các tính chất đặc trưng, nhận
dạng khái niệm, đồng thời biết thể hiện chính xác, biết vận dụng khái niệm
trong những tình huống cụ thể vào giải toán cũng như ứng dụng thực tiễn.
Với nội dung chủ đề Giới hạn khi học về các khái niệm có nhiều định nghĩa
được phát biểu dưới các dạng khác nhau của cùng một khái niệm, chẳng hạn :
+ Định nghĩa Giới hạn của dãy số có thể trình bày theo cách ’’mô tả’’

hoặc dùng ngôn ngữ “
)(
,
ε
ε
N
’’.
22
+ Định nghĩa Giới hạn của hàm số có thể thông qua “dãy’’hoặc là “
δε
,
’’.
Phương thức 3 : Làm nảy sinh nhu cầu nhận thức về khái niệm Giới hạn của
học sinh.
Để làm nảy sinh nhu cầu nhận thức khái niệm Giới hạn của học sinh ta cần liên hệ với thực
tiễn ví dụ như chiều cao của con người có giới hạn dù tuổi có nhiều đi bao nhiêu nữa. Hoặc
trong dạy học xây dựng phương tiện trực quan tượng trưng (mô hình, hình vẽ, sơ đồ, đồ thị, biểu
bảng,…) làm chỗ dựa trực giác. Xây dựng hệ thống phản ví dụ và ví dụ gắn liền với ứng dụng
thực tiễn, kết hợp với các phương tiện trực quan tổ chức cho học sinh hình dung được nội dung
khái niệm, phát hiện dấu hiệu bản chất của khái niệm từ đó khái quát hình thành khái niệm,
chẳng hạn ta xét bài toán của thực tiễn đặt ra, như sau:
Bài toán 1: Theo dự đoán tỉ lệ tuổi thọ con người của một nước đang phát
triển, sau x năm kể từ bây giờ là : T(x) =
52
236138
+
+
x
x
năm . Hỏi tuổi thọ của con

người sẽ đạt được tới mức giới hạn là bao nhiêu ? .
Bài toán 2: Nhu cầu mỗi tháng đối với một sản phẩm mới hiện nay là 195
tấn. Nhà quản lí của xí nghiệp đưa ra một dự đoán rằng sau x năm kể từ bây
giời nhu cầu hàng tháng cho sản phẩm sẽ là : S(x) =
9
95259
2
2
+
+
x
x
tấn . Hỏi nhu
cầu đối với sản phẩm này hàng tháng sẽ đạt tới mức giới hạn nào sau một
khoảng thời gian thật dài ?.
Bài toán 3 : Một bệnh truyền nhiễm lây lan qua đường hô hấp nếu không có
thuốc tiêm phòng . Mặc dù không quá nguy hiểm, nếu ai bị nhiễm bệnh sẽ trở
thành người mang mầm bệnh. Các nhân viên dự phòng y tế cho rằng sau x
tháng kể từ bây giời số phần trăm người mang bệnh sẽ là : B(x) =
186
2795
2
2
+
+
x
x
Hỏi
cuối cùng số người mang mầm bệnh sẽ là bao nhiêu ? .
Từ đó tạo điều kiện tốt nhất, hiệu quả nhất để học sinh tự khám phá kiến

thức, tự giải quyết các vấn đề của thực tiễn đặt ra.
23
Phương thức 4 : Tìm hiểu sự phân chia khái niệm, sơ đồ hóa các khái niệm Giới
hạn có liên hệ với nhau, giúp học sinh tiếp thu được bản chất kiến thức.
Do các tri thức trong chủ đề giới hạn có mối quan hệ tương quan hỗ trợ lẫn nhau nên việc hệ
thống, phân chia khái niệm liên hệ với nhau là việc làm rất cần thiết để dạy học đạt hiệu quả.
Khi hệ thống hóa kiến thức cần chỉ cho học sinh những mối liên hệ chính yếu của các tri thức
toán, đặc biệt chú ý dùng sơ đồ biểu diễn các mối liên hệ giữa các kiến thức. Qua tìm hiểu sự
phân chia sơ đồ hóa các khái niệm tập cho học sinh thói quen tìm hiểu sâu sắc, tiếp thu được
bản chất của kiến thứcgiúp học sinh hiểu bản chất mối quan hệ, hình dung ra bức tranh tổng
thể của khái niệm có liên hệ với nhau như sau:
( Hình 2 )
Hình (2) là sơ đồ biểu thị mối liên hệ về giới hạn dãy số và giới hạn hàm số, các giới
hạn mở rộng của hàm số.
Giới hạn của
dãy số
Giới hạn của
hàm số
Giới
hạn
-
Giới hạn
trái tại
điểm
Giới hạn
phải tại
điểm
Giới
hạn
+

24

(Hình 3 )
hình (3) là sơ đồ biểu thị các mối liên hệ giữa giá trị của hàm số, khái niệm giới hạn của
hàm số, hàm số liên tục.
Hình (4)
Hình (4) là sơ đồ so sánh khái niệm giới hạn của hàm số và hàm số liên tục
Xét hàm số f(x)
Tại x = a
Không tồn tại giới hạn: Tồn tại giới hạn:
f(x) không xác định tại af(x) xác định tại x = a
L = f(a)
L ≠ f(a)
f(x) liên tục
tại x= a
f (x) không liên tục tại x = a
( f ( x) gián đoạn tại x = a)
f(x) có lim f(x) = L
xx
0
f(x) không xác định
tại x
0
f(x) xác định tại x
0
L ≠ f(x
0
) L = f(x
0
)

f(x) liên tục
tại x
0
25