THÀNH PHẦN LIÊN THÔNG ĐƯỜNG TRONG C (X, Y )

Header Page 1 of 185.

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Hồ Thị Thu Hà

THÀNH PHẦN LIÊN THÔNG
ĐƯỜNG TRONG C ( X ,Y )

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thành phố Hồ Chí Minh – 2014

Footer Page 1 of 185.


Header Page 2 of 185.

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Hồ Thị Thu Hà

THÀNH PHẦN LIÊN THÔNG
ĐƯỜNG TRONG C ( X ,Y )
Chuyên ngành : Hình học Tôpô
Mã số

: 60 46 01 05

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

TS. NGUYỄN HÀ THANH

Thành phố Hồ Chí Minh - 2014

Footer Page 2 of 185.


Header Page 3 of 185.

LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan đây là luận văn do chính tôi làm dưới sự hướng dẫn của
TS.Nguyễn Hà Thanh, không sao chép của ai khác.

Footer Page 3 of 185.


Header Page 4 of 185.

LỜI CẢM ƠN
Với lòng biết ơn sâu sắc nhất tôi xin được gửi đến TS. Nguyễn Hà Thanh,
người thầy đã trực tiếp truyền đạt tri thức khoa học, hướng dẫn, giúp đỡ tôi tận
tình qua những buổi học, những giờ thảo luận bổ ích để tôi có thể học hỏi thêm
nhiều kiến thức cho việc học tập, nghiên cứu khoa học và cho công tác giảng
dạy sau này.
Tôi xin chân thành cảm ơn quý thầy cô trong tổ bộ môn Hình học và Khoa
Toán Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh đã trực tiếp giảng dạy

và trang bị cho tôi đầy đủ những kiến thức cần thiết làm nền tảng trong quá trình
viết luận văn.
Con xin cảm ơn bố mẹ đã luôn ủng hộ và giúp đỡ con, đồng thời xin cảm ơn
gia đình, bạn bè và đồng nghiệp đã tạo điều kiện thuận lợi cho tôi hoàn thành
luận văn này.

Footer Page 4 of 185.


Header Page 5 of 185.

MỤC LỤC

Trang phụ bìa
Lời cam đoan
Lời cảm ơn
Mục lục
Danh mục các ký hiệu
LỜI MỞ ĐẦU ................................................................................................................ 1
Chương 1. NHỮNG KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ TÔPÔ ........................................... 3
1.1. Không gian mêtric ................................................................................................. 3
1.2. Không gian tôpô .................................................................................................... 4
1.3. Ánh xạ liên tục ...................................................................................................... 8
1.4. Không gian compact ........................................................................................... 10
1.5. Không gian liên thông ......................................................................................... 13
Chương 2. TÔPÔ TRÊN

C ( X ,Y ) ..........................................................................15

2.1. Không gian C ( X ,Y ) ........................................................................................ 15

2.2. Không gian đều ................................................................................................... 20
2.3. Tôpô đều trên C ( X ,Y ) ...................................................................................... 28
Chương 3. LIÊN THÔNG ĐƯỜNG TRÊN

C ( X ,Y ) ...........................................37

3.1. Mở đầu ................................................................................................................ 37
3.2. Tính liên thông đường của C ( X ,Y ) với những tôpô đều ................................. 40
KẾT LUẬN .................................................................................................................. 48
TÀI LIỆU THAM KHẢO........................................................................................... 50

Footer Page 5 of 185.


Header Page 6 of 185.

Danh mục các ký hiệu
(X ,d)

: Không gian mêtric

d

: Mêtric

|| .||

: Chuẩn

B(a,  )

: Hình cầu mở tâm a , bán kính 

(X , )

: Không gian tôpô
: Tôpô

x

: hệ lân cận của điểm x

X

: Compact hóa của không gian X

~

: Quan hệ tương đương

C ( X ,Y )

: Không gian các ánh xạ liên tục từ X đến Y

C ( X ,Y ) : Không gian tôpô C ( X ,Y ) với tôpô mở
C p ( X ,Y ) : Không gian tôpô C ( X ,Y ) với tôpô hội tụ theo điểm
Ck ( X ,Y )

: Không gian tôpô C ( X , Y ) với tôpô mở compact
: Họ các tập con của X  X

(X , )

: Không gian đều với cấu trúc đều

C ,  ( X ,Y ) : Không gian tôpô C ( X ,Y ) với tôpô đều trên  đối với 
d

: Mêtric Supermum

C* ( X ,Y )

: Không gian con của C ( X ,Y ) gồm các phần tử bị chặn của
C ( X ,Y )

E( g )

: Lớp tương đương của g  C ( X ,Y )
: Kết thúc chứng minh

Footer Page 6 of 185.


Header Page 7 of 185.

1

LỜI MỞ ĐẦU
Nghiên cứu tôpô trên không gian các ánh xạ liên tục là một bài toán luôn
được sự quan tâm của nhiều nhà toán học. Từ năm 1883, Ascoli, Arzelà và

Hadamard đã bắt đầu các ý tưởng manh nha nghiên cứu tôpô trên không gian
các ánh xạ liên tục từ không gian tôpô X vào không gian tôpô Y , kí hiệu
C ( X ,Y ) . Năm 1906, Fréchet nghiên cứu về tôpô mêtric supremum. Năm 1953,

Tychonoff cho thấy rằng tích Tychonoff trên tập Y X không có gì mới cả đó
chỉ là tôpô hội tụ đều. Năm 1945, tôpô mở compact được nghiên cứu trên không
gian các ánh xạ liên tục bởi Fox. Không lâu sau đó, năm 1946 Arens tiếp tục
nghiên cứu về tôpô mở compact này và Arens gọi tôpô đó là k -tôpô. Năm 1952,
tôpô mở được tìm hiểu bởi Arens và Dugundji. Năm 1952, Jackson và năm
1968, Dugundji nghiên cứu tính compact của tôpô trong không gian C ( X ,Y ) .
Gần đây nhất, năm 2014, Jindal, McCoy và Kundu đã nối tiếp các nghiên
cứu về không gian C ( X ,Y ) , các nhà toán học này nghiên cứu thành phần liên
thông đường trên không gian đều gồm các ánh xạ liên tục từ không gian
Tychonoff vào không gian định chuẩn. Vì thế một trong những bài toán mà
chúng ta quan tâm là nghiên cứu các tính chất của C ( X ,Y ) với hai tôpô đều
khác nhau cùng với mối quan hệ giữa các tính chất có được giữa các không gian
này. Vấn đề chúng ta xem xét cụ thể trong luận văn này đó là: Trong trường hợp

X là không gian Tychonoff và Y là không gian định chuẩn, không gian
C ( X ,Y ) với hai tôpô đều khác nhau có đồng phôi với nhau hay không.

Do đó trong luận văn này, chúng tôi quan tâm đến hai tôpô đều  và  trên
C ( X ,Y ) , cùng với tính liên thông của hai không gian tôpô này. Tôpô  là tôpô

cảm sinh bởi mêtric tự nhiên có được từ chuẩn trên Y , tôpô  là tôpô cảm sinh
bởi mêtric bị chặn do sử dụng hàm arctan. Chúng tôi tìm hiểu tính liên thông

Footer Page 7 of 185.

Header Page 8 of 185.

2

đường của không gian C ( X ,Y ) và nhận thấy rằng với bất kì X nào không giả
compact, C ( X ,Y ) không liên thông đường. Mặt khác chúng tôi đề cập đến
tính liên thông của không gian C ( X ,Y ) và biết rằng C ( X ,Y ) liên thông
đường. Do đó chúng tôi đưa ra kết quả là không gian đều C ( X , Y ) và
C ( X ,Y ) không đồng phôi.

Nội dung chính của luận văn dựa trên tài liệu [7]. Luận văn được chia làm 3
chương như sau:
Chương 1. NHỮNG KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ TÔPÔ
Chương này sẽ trình bày các khái niệm và tính chất cơ bản về tôpô được
dùng trong luận văn.
Chương 2. TÔPÔ TRÊN C ( X ,Y )
Chương này sẽ trình bày khái niệm liên quan đến C ( X ,Y ) và các tôpô trên
C ( X ,Y ) .

Chương 3. LIÊN THÔNG ĐƯỜNG TRÊN C ( X ,Y )
Chương này trình bày tính liên thông của C ( X ,Y ) với hai tôpô đều khác
nhau và chứng minh hai không gian tôpô cùng với hai tôpô đều tương ứng
không đồng phôi.
Dù đã cố gắng hết sức nhưng luận văn sẽ khó tránh khỏi những sai sót. Kính
mong quý thầy cô và bạn đọc đóng góp để luận văn được hoàn chỉnh hơn nữa.

Footer Page 8 of 185.


Header Page 9 of 185.

3

Chương 1. NHỮNG KIẾN THỨC CƠ BẢN VỀ TÔPÔ

1.1. Không gian mêtric
1.1.1. Định nghĩa
Cho X là một tập hợp, một mêtric hay khoảng cách trên X là một hàm
d:XX 

thoả mãn các điều kiện sau: Với mọi x, y, z  X

1. d ( x, y)  0 , d ( x, y)  0 nếu và chỉ nếu x  y .
2. d ( x, y)  d ( y, x) .
3. d ( x, y)  d ( x, z)  d ( z, y) .
Không gian mêtric là một cặp ( X , d ) , trong đó X là một tập hợp và d là
một mêtric d trên X .
1.1.2. Định nghĩa
Giả sử A là một tập hợp con của không gian mêtric ( X , d ) . Dễ dàng thấy
rằng hàm d A  d | A là một mêtric trên tập hợp A . Không gian mêtric ( A, d A )
được gọi là không gian con của không gian mêtric ( X , d ) , ta gọi d A là mêtric
cảm sinh bởi mêtric d trên A .
1.1.3. Định nghĩa
Cho ( X , d ) là một không gian mêtric. Với mọi a  X và số   0 , ta gọi
B(a,  )  {x  X : d ( x, a)  } là hình cầu mở tâm a , bán kính  . Tập M  X

được gọi là mở nếu với mọi a  M , tồn  sao cho B(a,  )  M .
1.1.4. Định nghĩa
Cho không gian mêtric ( X , d ) . Dãy phần tử {xn}  X hội tụ theo mêtric d
về phần tử x  X nếu lim d ( xn , x)  0 .

n

Như vậy, lim xn  x trong ( X , d ) có nghĩa là:
n

  0, n0 : n 

Footer Page 9 of 185.

*

, n  n0  d ( xn , x)  


Header Page 10 of 185.

4

Tính chất
1. Giới hạn của một dãy hội tụ là duy nhất.
2. Nếu dãy phần tử {xn}  X hội tụ theo mêtric d về phần tử x  X thì mọi
dãy con của nó cũng hội tụ về x .
3. Nếu lim xn  x, lim yn  y thì lim d ( xn , yn )  d ( x, y) .
n

n

n

1.1.5. Định nghĩa

Cho X là một không gian mêtric. Tập con A  X được gọi là tập đóng nếu
X \ A là tập mở.

1.1.6. Định lý
Giả sử A  ( X , d ) và x  X . Điểm x  A khi và chỉ khi tồn tại một dãy {xn }
những phần tử của A hội tụ về x hay là lim xn  x .
n

1.1.7. Định nghĩa
Tập con A được gọi là trù mật trong X nếu A  X .
Khi đó, tập A là trù mật trong X khi và chỉ khi với mỗi x  X tồn tại một
dãy {xn } trong A sao cho lim xn  x .
n

1.1.8. Định nghĩa
Không gian mêtric X được gọi là không gian khả ly nếu tồn tại một tập con

A đếm được trù mật trong X .
1.2. Không gian tôpô
1.2.1. Định nghĩa
các tập con của X được gọi là tôpô trên

Cho X là một tập hợp. Một họ

X nếu họ
1. 

thỏa mãn các tính chất sau:
, X

2. Nếu Ui 
3. Nếu U ,V 

Footer Page 10 of 185.

.

thì
iI

Ui 

.

thì U  V 

.


Header Page 11 of 185.

5

Không gian tôpô ( X , ) là một tập X cùng với một tôpô

trên nó. Nếu

chỉ ký hiệu không gian tôpô là X thì ta ngầm hiểu rằng trên X đã được trang bị
một tôpô nào đó.
Nếu X là một không gian tôpô thì các tập U 

được gọi là các tập mở,

các phần tử của X gọi là các điểm. Tập có phần bù là tập mở được gọi là tập
đóng.
1.2.2. Định nghĩa
Cho không gian tôpô ( X , ) , A  X . Tập con U của không gian tôpô X
được gọi là một lân cận của tập A nếu trong U có một tập mở chứa A .
Với mỗi điểm x  X , tập V  X được gọi là lân cận của x nếu tồn tại tập mở
U trong X sao cho x U  V .

Nhận xét: Lân cận của một điểm không nhất thiết là một tập mở, nhưng mỗi
tập mở bất kỳ là lân cận của mọi điểm thuộc nó. Nếu lân cận của một điểm là
tập mở thì ta nói đó là lân cận mở của điểm đó.
1.2.3. Định lý
Tập con U của không gian tôpô ( X , ) là tập mở khi và chỉ khi nó là lân
cận của mọi điểm thuộc nó.
Cho không gian tôpô ( X , ), x  X và tập A  X
1. Điểm x được gọi là điểm giới hạn của tập A nếu mọi lân cận của x đều
chứa điểm khác x của tập A . Tập hợp tất cả các điểm giới hạn của A
được kí hiệu là Ad .
2. x gọi là điểm trong của A nếu tồn tại tập mở U sao cho x U  A .
3. x gọi là điểm ngoài của A nếu tồn tại tập mở U sao cho x U  X \ A .
4. x gọi là điểm biên của A nếu U 

x ,U

 A   và U  X \ A   .

1.2.4. Định lý

Tập con U của không gian tôpô ( X ,T ) là tập đóng khi và chỉ khi U chứa
mọi điểm giới hạn của nó.

Footer Page 11 of 185.


Header Page 12 of 185.

6

1.2.5. Định nghĩa
Cho  là một họ các tập con của X . Họ  chứa các tập con khác rỗng của
X được gọi là  -lưới trên X nếu với mỗi A  và lân cận mở U của A , tồn

tại một B   sao cho A  B  U .
Một lưới trên X được gọi là lưới đóng nếu mỗi phần tử của lưới là đóng.
1.2.6. Định nghĩa
Không gian tôpô ( X , ) được gọi là T0 -không gian nếu với hai điểm khác
nhau bất kì x, y  X tồn tại ít nhất một điểm có lân cận không chứa điểm kia.
1.2.7. Định nghĩa
Không gian tôpô ( X , ) được gọi là T1 -không gian nếu với hai điểm khác
nhau bất kỳ x, y  X luôn tồn tại các lân cận U x của x và V y của y sao cho
y U x và x U y .

1.2.8. Định nghĩa
Không gian tôpô ( X , ) được gọi là T2 -không gian (không gian Hausdorff)
nếu với hai điểm khác nhau bất kỳ x, y  X luôn tồn tại các lân cận U x của x
và V y của y sao cho U x  Vy   .
Không gian mêtric là không gian tôpô Hausdorff. Thật vậy, với hai điểm
khác nhau x, y bất kì thuộc không gian mêtric X , ta có B( x,  ) và B( y,  ) là hai

tập mở rời nhau, với  

d ( x, y )
, do đó X là Hausdorff.
2

1.2.9. Định nghĩa
Không gian tôpô ( X , ) được gọi là T3 -không gian (hoặc không gian chính
quy) nếu X là T1 -không gian và với mọi x  X với mọi tập đóng F  X thoả
mãn x  F , luôn tồn tại các lân cận mở U x của x và V của F sao cho

U x V   .

Footer Page 12 of 185.


Header Page 13 of 185.

7

1.2.10. Định nghĩa
Không gian tôpô ( X , ) được gọi là không gian Tychonoff hay không gian
T

3

1

hoặc không gian hoàn toàn chính quy nếu cho bất kì tập đóng F và bất kì

2

điểm x  F thì tồn tại một hàm liên tục từ X đến đường thẳng thực

sao cho

f ( x)  0 và với mọi y  F , f ( y)  1 .

1.2.11. Bổ đề
Tích tôpô của họ các không gian hoàn toàn chính quy là không gian hoàn
toàn chính quy.
1.2.12. Định nghĩa (Alexandroff và Hopf)
Không gian tôpô ( X , ) được gọi là T4 -không gian hoặc là không gian
chuẩn tắc nếu X là T1 -không gian và với hai tập đóng rời nhau A, B của X
luôn tồn tại các lân cận mở U của A và V của B sao cho U  V  .
1.2.13. Bổ đề (Bổ đề Urysohn)
Cho ( X , ) là không gian tôpô chuẩn tắc. Nếu A, B là các tập con đóng rời
nhau của x thì tồn tại một ánh xạ liên tục

f : X  [0,1] sao cho

f ( A)  {0}, f ( B)  {1} .

1.2.14. Định nghĩa
Cho không gian tôpô ( X , ) , x là phần tử của X . Họ
điểm x được gọi là cơ sở địa phương của tôpô

x

các lân cận của

tại x (hay còn gọi là cơ sở lân

cận tại x ) nếu với mỗi lân cận bất kỳ U của x luôn tồn tại V 

x

sao cho

x V  U .

Họ con

các phần tử thuộc

đều là hợp nào đó của các phần tử thuộc

phần tử thuộc
Họ con



được gọi là tiền cơ sở của tôpô

hạn có thể của các phần tử thuộc

Footer Page 13 of 185.

được gọi là cơ sở của

trên X nếu mọi
.

nếu họ tất cả các giao hữu

lập thành một cơ sở của tôpô

.


Header Page 14 of 185.

8

1.2.15. Định lý


Cho không gian tôpô ( X , ) , họ con
1. Họ

. Các mệnh đề sau tương đương

là cơ sở của tôpô.

2. Tại mỗi điểm x  X cùng với một lân cận U tuỳ ý của nó luôn tồn tại
V

sao cho x V  U .

3. Đối với mỗi phần tử x  X , họ

x

bao gồm tất cả các phần tử thuộc

chứa x tạo thành cơ sở địa phương của tôpô

tại x.

1.2.16. Định nghĩa
Không gian tôpô ( X , ) thoả mãn tiên đề đếm được thứ nhất nếu tại mỗi
điểm tuỳ ý trong X đều có cơ sở địa phương không quá đếm được.
Không gian tôpô ( X , ) thoả mãn tiên đề đếm được thứ hai nếu tôpô

trên

X có cơ sở không quá đếm được.

1.2.17. Định lý
Nếu không gian tôpô ( X , ) thoả mãn tiên đề đếm được thứ nhất, thì tại mỗi
điểm x  X luôn tồn tại một cơ sở địa phương (Ui )i thỏa mãn Ui 1  Ui với
mọi i  .
1.3. Ánh xạ liên tục
1.3.1. Định nghĩa
Ánh xạ f : X  Y từ không gian tôpô X đến không gian tôpô Y là liên tục
tại điểm x0  X nếu với mỗi lân cận U của điểm f ( x0 ) Y luôn tồn tại lân cận
V của điểm x0 thỏa mãn f (V )  U . Ánh xạ f được gọi là ánh xạ liên tục trên

không gian tôpô X nếu nó liên tục tại mọi điểm x  X .
1.3.2. Định lý

Cho f : X  Y là ánh xạ từ không gian tôpô X đến không gian tôpô Y . Khi
đó các điều kiện sau đây là tương đương:
1. Ánh xạ f là liên tục.

Footer Page 14 of 185.


Header Page 15 of 185.

9

2. Đối với mỗi tập con A bất kì của X luôn có f ( A)  f ( A) .
3. Tạo ảnh của mỗi tập con đóng tùy ý trong Y là tập con đóng trong X .
4. Tạo ảnh của mỗi tập con mở tùy ý trong Y là tập con mở trong X .
5. Tạo ảnh của mỗi phần tử thuộc tiền cơ sở nào đó của tôpô trong Y là tập
con mở trong X .
6. Đối với mỗi tập con B bất kì trong Y luôn có f 1( B)  f 1( B ) .
1.3.3. Định lý
Giả sử X, Y, Z là ba không gian tôpô, f : X  Y và g : Y  Z là các ánh xạ
liên tục. Khi đó ánh xạ h  g f : X  Z cũng là ánh xạ liên tục.
1.3.4. Định nghĩa
Ánh xạ f : X  Y từ không gian tôpô X đến không gian tôpô Y được gọi là
ánh xạ mở (tương ứng đóng), nếu ảnh của mỗi tập mở (tương ứng đóng) bất kì
trong X qua ánh xạ f là tập mở (tương ứng đóng) trong Y .
1.3.5. Định nghĩa
Ánh xạ f : X  Y từ không gian tôpô X đến không gian tôpô Y được gọi là
phép đồng phôi nếu f là song ánh và f , f 1 đều là các ánh xạ liên tục. Hai
không gian tôpô X và Y được gọi là đồng phôi nếu tồn tại một phép đồng phôi
từ X đến Y .
1.3.6. Định lý

1. Ánh xạ f : X  Y là ánh xạ mở khi và chỉ khi ảnh f (U ) của phần tử U
tuỳ ý trong cơ sở

nào đó của tôpô trên X là mở trong Y .

2. Hợp thành của hai ánh xạ mở là ánh xạ mở.
3. Song ánh f : X  Y là một phép đồng phôi khi và chỉ khi f là ánh xạ
liên tục và mở.

Footer Page 15 of 185.


Header Page 16 of 185.

10

1.3.7. Định lý (Định lý nhúng Tychonoff )
Mọi không gian tôpô ( X , ) là Tychonoff khi và chỉ khi nó đồng phôi với
không gian tích các đoạn [0,1] với tôpô thông thường.
1.4. Không gian compact
1.4.1. Định nghĩa
Cho X là không gian tôpô. Một họ {G }I các tập mở của X được gọi là
phủ mở của X nếu
 I

U  X .

1.4.2. Định nghĩa
Không gian X được gọi là compact nếu mọi phủ mở {G }I tồn tại tập
con hữu hạn J  I sao cho {G }J là phủ mở của X .

Tập con A  X được gọi là compact nếu nó compact đối với tôpô cảm sinh.
Tập con A  X được gọi là compact tương đối nếu A là compact.
1.4.3. Định lý
Không gian tôpô là compact khi và chỉ khi mỗi họ các tập đóng có tính giao
hữu hạn đều có giao khác rỗng.
1.4.4. Định lý
Không gian tôpô X là compact khi và chỉ khi mỗi lưới trong X có lưới con
hội tụ tới một điểm nào đó của X .
1.4.5. Định lý
Nếu không gian X là compact thì mọi tập đóng của nó đều là tập compact.
1.4.6. Định lý
Nếu không gian tôpô X là Hausdorff thì mọi tập con compact của X là tập
đóng.
1.4.7. Định lý
Không gian Hausdorff compact là không gian chuẩn tắc.

Footer Page 16 of 185.


Header Page 17 of 185.

11

1.4.8. Định lý
Nếu X là không gian tôpô chính quy, A là tập con compact và U là lân cận
của A thì tồn tại lân cận V đóng cửa A sao cho V  U .
1.4.9. Định lý
Cho X là không gian chính quy compắc, A là tập compắc và U là lân cận
mở của A . Khi đó tồn tại trên X một hàm f liên tục lấy giá trị trên khoảng đơn
vị đóng [0,1] thỏa mãn f ( x)  0 nếu x  A, f ( x)  1 nếu x  X \ U .

1.4.10. Định nghĩa
Không gian giả compact là một không gian tôpô mà ảnh của nó qua bất kì
hàm liên tục nào cũng là một tập bị chặn trên

.

1.4.11. Định nghĩa
Giả sử X là không gian tôpô không compact,  X là không gian tôpô
compact,  là phép nhúng đồng phôi X vào  X sao cho  ( X ) trù mật trong

 X . Khi đó cặp ( X , ) được gọi là một compact hoá của X .
Compact hóa Stone- C ech: Compact hóa Stone- C ech là một kĩ thuật xây
dựng một ánh xạ phổ dụng từ một không gian tôpô X để một không gian
compact Hausdorff  X . Compact hóa Stone- C ech của một không gian tôpô X
là không gian Hausdorff compact lớn nhất sinh bởi bởi X . Nếu X là một
không gian Tychonoff thì ánh xạ từ X vào ảnh của nó trong  X là một đồng
phôi, vì vậy X có thể được xem như là một không gian con (trù mật) của  X .
Cho X là không gian không compact và f là ánh xạ liên tục từ X vào
không gian Hausdorff compact Y , khi đó tồn tại một ánh xạ liên tục của  f đi
từ  X vào Y .

Footer Page 17 of 185.


Header Page 18 of 185.

12

Sử dụng siêu lọc để compact hóa một không gian tôpô không compact. Ta
định nghĩa lọc và siêu lọc như sau:

1.4.12. Định nghĩa
Một lọc trên X là một họ T các tập con của X thỏa mãn các tính chất sau
đây:
1. Nếu A thuộc T và B là một tập con của X chứa A thì B thuộc T .
2. Nếu A thuộc T và B thuộc T thì A  B thuộc T .
3. T .
1.4.13. Định nghĩa
Cho tập hợp X , một siêu lọc U trên X là một lọc cực đại trên X , tức là với
mọi lọc T sao cho U  T ta suy ra U  T .
Nếu X là không gian rời rạc thì ta có thể xây dựng  X như là một tập của
tất cả siêu lọc trên X với tôpô Stone. Mỗi phần tử của X là một siêu lọc chính
(Siêu lọc chính bao gồm các tập con của X có chứa một phần tử x cho trước
của X , tất cả các siêu lọc trên một tập hữu hạn đều là chính.). Ta áp dụng tính
phổ dụng như sau: Cho f : X  Y với Y compact Hausdorff và F là một siêu
lọc trên X , ta suy ra f ( F ) là siêu lọc trên Y . Do K compact nên siêu lọc này
có một giới hạn duy nhất x . Khi đó ta đặt  f ( F )  x , ta suy ra  f liên tục.
Tương tự, ta có thể lấy không gian Stone của đại số đầy đủ Bool chứa tất cả các
tập con của X như là compact hóa Stone- C ech của X . Nó được xây dựng một
cách tương tự, vì không gian Stone của đại số đầy đủ Bool là tập hợp của các
siêu lọc của đại số Bool. Ta có thể tổng quát lên các không gian Tychonoff bất
kì bằng cách sử dụng siêu lọc của các tập không điểm. (Tập A được gọi là tập
không điểm trong không gian tôpô X nếu tồn tại hàm f : X 
A  Kerf ).

Footer Page 18 of 185.

sao cho


Header Page 19 of 185.

13

1.5. Không gian liên thông
1.5.1. Định nghĩa
Một không gian tôpô gọi là liên thông nếu không thể biểu diễn dưới dạng
hợp của 2 tập mở không rỗng rời nhau, nói cách khác nó không chứa một tập
con thực sự vừa đóng vừa mở.
Tức là, X liên thông  A, B mở, A, B   : A  B  , X  A  B.
Không gian X là liên thông nếu và chỉ nếu không tồn tại một tập con thực sự
A   vừa đóng vừa mở của X .

1.5.2. Định nghĩa
Tập con M của không gian tôpô X được gọi là tập liên thông nếu M cùng
với tôpô cảm sinh là không gian liên thông.
1.5.3. Mệnh đề
Tập M của không gian tôpô X là liên thông khi và chỉ khi không tồn tại các
tập mở A, B trong X sao cho:

A  M  , B  M  , A  B  M  , M  A  B.
1.5.4. Định lý
Nếu trong không gian tôpô X có một tập liên thông trù mật M , thì X là
không gian liên thông.
1.5.5. Định lý
Hợp của một họ tùy ý những tập con liên thông có giao khác rỗng trong X là
một tập liên thông của X .
1.5.6. Hệ quả
Giả sử với mọi x, y  X luôn tồn tại tập liên thông chứa x và y . Khi đó
không gian tôpô X là liên thông.
1.5.7. Định nghĩa

Không gian tôpô X được gọi là liên thông đường nếu với mọi điểm x, y
trong X có đường đi trong X từ x tới y , nghĩa là không gian X gọi là liên

Footer Page 19 of 185.


Header Page 20 of 185.

14

thông đường nếu với hai điểm x, y bất kì nếu tồn tại một ánh xạ liên tục
f :[0,1]  X sao cho f (0)  x và f (1)  y .

Nhận xét
1. Nếu không gian tôpô X là liên thông đường thì X liên thông.
Thật vậy, do [0,1] là tập liên thông trong

và ánh xạ f liên tục nên tập

f([0,1]) là liên thông trong X . Tập liên thông này chứa mọi cặp điểm
a, b  X . Khi cố định điểm a , cho b chạy khắp X , dù ánh xạ f có thay

đổi nhưng vẫn luôn tồn tại một tập liên thông chứa cặp điểm đó. Do đó X
là hợp của một họ các tập liên thông trong X có giao khác rỗng. Vậy X
là không gian liên thông.
2. Một không gian liên thông chưa chắc đã liên thông đường.
Tập con A của không gian tôpô X là liên thông đường trong X nếu A là
liên thông đường trong không gian tôpô con.
1.5.8. Định nghĩa
Lớp tương đương dưới quan hệ tương đương ~ được gọi là thành phần liên

thông đường của X . Trong đó quan hệ tương đương ~ trên không gian tôpô X
được định nghĩa bởi x ~ y nếu tồn tại một đường đi trong X từ x tới y .

Footer Page 20 of 185.


Header Page 21 of 185.

15

Chương 2. TÔPÔ TRÊN C ( X ,Y )
Không gian các ánh xạ liên tục được biết đến rộng rãi từ cuối thế kỉ 19 với
xuất phát điểm ban đầu là nghiên cứu dãy ánh xạ hội tụ. Sau đó một số tôpô tự
nhiên nhanh chóng được tìm hiểu trên không gian các ánh xạ này. Các tính chất
tôpô được cho trên các không gian tôpô thành phần có ảnh hưởng tới tính chất
tôpô của không gian các ánh xạ liên tục C ( X ,Y ) và chúng ta có thể suy ra tính
chất tôpô của không gian các ánh xạ liên tục thông qua các tính chất tôpô của
không gian con thành phần.
2.1. Không gian C ( X ,Y )
Cho hai không gian tôpô X và Y , kí hiệu không gian các ánh xạ liên tục đi
từ không gian tôpô X đến không gian tôpô Y là C ( X ,Y ) .
Cho A  X và B  Y , đặt [ A, B]  { f  C ( X ,Y ) : f ( A)  B}
Dễ dàng kiểm tra được rằng:
[ A, B1  B2 ]  [ A, B1]  [ A, B2 ] , [ A1  A2 , B]  [ A1, B]  [ A2 , B]

Nếu x  X và B  Y thì [{x}, B] được viết gọn là [x,B].
2.1.1. Định nghĩa
Một tôpô trên C ( X ,Y ) được gọi là một tôpô mở nếu có lưới đóng  trên X
sao cho {[ A,V ]: A  và V là mở trong Y } là một cơ sở con đối với tôpô đó.
Không gian C ( X ,Y ) với tôpô này được kí hiệu C ( X ,Y ) hoặc C ( X ) nếu

Y cố định. Cho K là không gian con của X , C ( K ,Y ) cùng với tôpô mở kí hiệu

là C ( K ,Y ) , với   {A  K : A  } .
2.1.2. Ví dụ
1. Cho không gian C ( X ,Y ) , lưới đóng trên X là một họ các tập con hữu

Footer Page 21 of 185.


Header Page 22 of 185.

16

hạn không rỗng của X , không gian C ( X ,Y ) cùng với tôpô mở này được
kí hiệu là C p ( X ,Y ) hoặc C p ( X ) . Tôpô mở này được gọi là tôpô hội tụ
theo từng điểm.
2. Cho không gian C ( X ,Y ) , lưới đóng trên X là họ của các tập con
compact không rỗng của X , không gian tôpô này được kí hiệu là
Ck ( X ,Y ) hay là Ck ( X ) .Tôpô mở này được gọi là tôpô mở compact, hoặc

tôpô hội tụ compact.
Khi đó giả sử có hai lưới đóng trên X , mối quan hệ của hai không gian tôpô
với hai tôpô mở sinh bởi hai lưới đóng này được cho bởi định lý sau đây:
2.1.3. Định lý
Cho  và  là hai lưới đóng trên X , C ( X ,Y )  C ( X ,Y ) nếu và chỉ nếu
mỗi phần tử của  thuộc hợp hữu hạn các phần tử của  .
Chứng minh:
Cho p :[0,1]  Y là một ánh xạ liên tục trong Y thỏa mãn p(0)  p(1) , cho
f 0 là ánh xạ không đổi từ X đến p(0) và đặt V  Y \ { p(1)}. Lấy bất kì A  .

Khi đó [A,V] là một lân cận của f 0 trong C ( X ,Y ) , do đó tồn tại một cơ sở lân
cận W  [ B1,V1]  ...  [ Bn ,Vn ] của f 0 trong C ( X ,Y ) mà cơ sở lân cận đó chứa
trong [A,V]. Đặt B  B1  ...  Bn . Ta chứng minh A  B , giả sử ngược lại rằng
tồn tại x  A \ B . Vì X là hoàn toàn chính qui nên tồn tại một   C ( X ,[0,1])
sao cho  ( B)  {0} và  ( x)  1. Do đó p   W . Mặt khác p    A,V  , mâu
thuẫn. Điều kiện đủ được suy ra dễ dàng.
Hai định lý sau đây cho ta kết quả về tôpô hội tụ theo từng điểm. Chứng
minh của định lý 2.1.4 được suy trực tiếp từ định nghĩa của tôpô tích và nhận xét
C ( X ,Y ) chứa trong tích Y X  {Yx : x  X } , đây là tập hợp tất cả các hàm f

trên X sao cho f ( x) Y với mỗi x  X . Định lý 2.1.5 suy ra từ Định lý 2.1.3

Footer Page 22 of 185.


Header Page 23 of 185.

17

2.1.4. Định lý
Không gian C p ( X ,Y ) là một không gian con trù mật của Y X với tôpô tích
Tychonoff.
2.1.5. Định lý
Nếu  là một lưới đóng bất kì trên X thì C p ( X ,Y )  C ( X ,Y ) .
Do đó tôpô hội tụ theo từng điểm là tôpô mở nhỏ nhất.
Giả sử không gian các ánh xạ có tôpô mở lớn nhất được kí hiệu là Cw ( X ,Y )
hay Cw ( X ) . Các không gian tôpô C p ( X ,Y ), Ck ( X ,Y ), Cw ( X ,Y ) quan hệ với
nhau bởi bất đẳng thức C p ( X ,Y )  Ck ( X ,Y )  Cw ( X ,Y ) . Dấu bằng xảy ra ở
những bất đẳng thức này được cho bởi định lý sau:
2.1.6. Định lý

1. Không gian C p ( X ,Y )  Ck ( X ,Y ) nếu và chỉ nếu mỗi tập con compact của
X là hữu hạn.

2. Ck ( X ,Y )  Cw ( X ,Y ) nếu và chỉ nếu X là compact.
Định lý tiếp theo đề cập đến tính tách được của tôpô mở.
2.1.7. Định lý
Nếu  là một lưới đóng trên X thì C ( X ,Y ) là không gian Hausdorff. Hơn
nữa, nếu  là một lưới compact trên X thì C ( X ,Y ) là không gian hoàn toàn
chính quy.
Chứng minh:
Phần đầu được suy ra dễ dàng, vì vậy chỉ cần chứng minh phần hai. Cho
f [ A,V ] (chỉ cần chứng minh đối với một phần tử cơ sở là đủ vì min hữu hạn

các hàm liên tục là liên tục), tồn tại một   C (Y ,[0,1]) sao cho  ( f ( A))  {0}
và

 (Y \ V )  {1}.

Khi

đó

cho

  C (C ( X ,Y ),[0,1])

thỏa

mãn

 (h)  sup{ (h(a)) : a  A} với h  C ( X ,Y ) . Ta suy ra rằng  ( f )  0 và
 (C ( X ,Y ) \ [ A,V ])  {1}.

Footer Page 23 of 185.


Header Page 24 of 185.

18

Cho Y là không gian mêtric hóa được và d' là một mêtric bị chặn cho trước
trên Y , đặt d ( y1, y2 )  min{d ( y1, y2 );1}, y1, y2  Y , khi đó d được gọi là một
mêtric bị chặn tương thích trên không gian Y . Với hai phần tử bất kì
f , g  C ( X ,Y ) ta đặt d ( f , g )  sup{d ( f ( x), g ( x))},x  X . Dễ dàng kiểm tra

d là một mêtric và do đó nó xác định một tôpô trên C ( X ,Y ) . Tôpô này được

gọi là tôpô hội tụ đều đối với mêtric d hay d -tôpô.
2.1.8. Định lý
Nếu Y mêtric hóa được thì d -tôpô yếu hơn k -tôpô.
Chứng minh:
Ta cần chứng minh nếu U là một tập mở trong k -tôpô và f U thì tồn tại
số   0 sao cho nếu d ( f , g )   thì g U . Do giả thiết, tồn tại các tập con
compact của X: K1, K2 ,..., Kn và các tập con mở của Y : W1,W2 ,...,Wn sao cho
f [K1,W1]  ...  [Kn ,Wn ]  U . Do Ki , i  1,.., n compact nên f ( Ki ) cũng là

compact. Như vậy, mỗi f ( Ki ) là tách rời đối với tập đóng tương ứng Y \ Wi .
Ta nhận thấy khoảng cách giữa tập compact và tập đóng rời nhau của không
gian mêtric là một số dương. Giả sử  là số dương nhỏ hơn khoảng cách nhỏ
nhất giữa f ( Ki ) và Y \ Wi . Khi đó ta giả sử d ( f , g )   . Nếu x  Ki thì khoảng

cách giữa

g ( x)

và

f ( Ki ) nhỏ hơn  , suy ra

g ( x) Wi . Do đó

g [K1,W1]  ...  [Kn ,Wn ]  U . Vì vậy g U .

2.1.9. Định lý
Cho X là không gian hoàn toàn chính quy và Y là một không gian mêtric
hóa được chứa một cung không suy biến. Nếu X là không gian compact thì d tôpô và k -tôpô tương đương .
Chứng minh:

Footer Page 24 of 185.


Header Page 25 of 185.

19

Giả sử  : I  [0,1]  Y là cung không suy biến. Lấy t1  I sao cho
y1   (t1)  y0   (0) . Chọn   0 sao cho d ( y0 , y1)   . Lấy f  C ( X ,Y ) sao

cho f ( x)  y0 , x  X . Chứng minh hai tôpô trên là tương đương, có nghĩa là
itồn tại các tập con compact của X: K1, K2 ,..., Kn và các tập con mở của Y :
W1,W2 ,...,Wn sao cho: f [K1,W1]  ...  [Kn ,Wn ]  S , với S là tập hợp các ánh

xạ g  C ( X ,Y ) sao cho d ( f , g )   . Ta chứng minh bằng phản chứng. Nếu
X \ ( K1  ...  K n ) là tập hợp rỗng thì X là hợp của hữu hạn các tập compact

và do đó

X

là compact. Nếu

X \ ( K1  ...  Kn )

khác rỗng, chọn

x0  X \ ( K1  ...  Kn ) . Do x0 và K1  ...  Kn là các tập đóng rời nhau của

không gian hoàn toàn chính quy X , tồn tại một hàm liên tục  : X  I với

 ( x)  0 trên K1  ...  Kn và  ( x0 )  t1 . Đặt g : X  Y là ánh xạ hợp của  và
 , ta có g ( x)   ( ( x)) . Hiển nhiên g  C ( X ,Y ) . Hơn nữa, với x  Ki , ta có
g ( x)   ( ( x))   (0)  y0 Wi , vì thế g ( Ki )  Wi và g [K1,W1]  ...  [Kn ,Wn ] .

Ta suy ra
d ( f , g )  d ( f ( x0 ), g ( x0 ))  d ( y0 , ( ( x)))  d ( y0 , (t1))  d ( y0 , y1)  

Do đó g  S , mâu thuẫn, suy ra điều phải chứng minh.
Câu hỏi đặt ra là tìm một tôpô cụ thể trên C ( X ,Y ) bằng cách nào? Trả lời
cho câu hỏi này ta thêm điều kiện di truyền vào lưới đóng  trên X , khi đó một
cơ sở mở trong Y có thể sinh ra được một tôpô trên C ( X ,Y ) . Ta xét định
nghĩa về lưới đóng di truyền như sau:

2.1.10. Định nghĩa
Một lưới đóng được gọi là đóng di truyền nếu mỗi tập con đóng của một
phần tử cũng là phần tử của lưới đó.
Khi đó tôpô mở được mô tả cụ thể thông qua lưới trên X và cơ sở của Y .

Footer Page 25 of 185.