TÌM HIỂU BƯỚC ĐẦU VỀ PHƯƠNG TRÌNH MONGE-AMPERE PHỨC TRÊN ĐA TẠP COMPACT KAHLER

Header Page 1 of 185.

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Lê Nhật Nguyên

TÌM HIỂU BƯỚC ĐẦU VỀ PHƯƠNG TRÌNH
MONGE-AMPERE PHỨC TRÊN ĐA TẠP
COMPACT KAHLER

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thành phố Hồ Chí Minh – 2014

Footer Page 1 of 185.


Header Page 2 of 185.

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Lê Nhật Nguyên

TÌM HIỂU BƯỚC ĐẦU VỀ PHƯƠNG TRÌNH
MONGE-AMPERE PHỨC TRÊN ĐA TẠP
COMPACT KAHLER
Chuyên ngành : Toán giải tích
Mã số

: 60 46 01 02

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

TS. NGUYỄN VĂN ĐÔNG

Thành phố Hồ Chí Minh – 2014
Footer Page 2 of 185.


Header Page 3 of 185.

LỜI CAM ĐOAN
Học viên xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng học viên. Luận
văn được hoàn thành bởi cá nhân dưới sự hướng dẫn của TS. Nguyễn Văn Đông.
Các tài liệu tham khảo, các định lí, bổ đề và các kết quả trích dẫn, sử dụng trong
luận văn đều được nêu đầy đủ nguồn gốc cụ thể, rõ ràng.
TP. Hồ Chí Minh, ngày 14 tháng 9 năm 2014
Học viên thực hiện

Lê Nhật Nguyên

Footer Page 3 of 185.


Header Page 4 of 185.

MỤC LỤC

Trang phụ bìa
Lời cam đoan
Mục lục
MỞ ĐẦU ................................................................................................................... 1
Chương 1. CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ ............................................................... 3
1.1. Phép tính vi phân trên đa tạp khả vi .................................................................... 3
1.2. Dòng trên các đa tạp khả vi ................................................................................. 7
1.3. Phép tính vi phân phức ........................................................................................ 9
1.4. Hàm đa điều hòa dưới ........................................................................................ 15
1.5. Đa tạp Stein ....................................................................................................... 17
1.6. Đa tạp Hecmit và đa tạp Kahler ......................................................................... 19
1.7. Một số kết quả về dung lượng tương đối và hàm cực trị tương đối .................. 20
1.8. Bài toán Dirichlet cho phương trình Monge-Ampere trong miền giả lồi ngặt ....... 24
Chương 2. DÒNG DƯƠNG ĐÓNG VÀ TOÁN TỬ MONGE-AMPERE
TRÊN ĐA TẠP PHỨC ......................................................................... 27
2.1. Dòng dương đóng .............................................................................................. 27
2.2. Toán tử Monge-Ampere .................................................................................... 33
Chương 3. PHƯƠNG TRÌNH MONGE-AMPERE PHỨC TRÊN ĐA
TẠP COMPACT KAHLER ................................................................ 43
3.1. Mở đầu ............................................................................................................... 44
3.2. Nguyên lý so sánh .............................................................................................. 47

3.3. Ước lượng L ................................................................................................... 49

3.4. Sự duy nhất và ổn định của nghiệm ................................................................... 55
KẾT LUẬN ............................................................................................................. 60
TÀI LIỆU THAM KHẢO ..................................................................................... 61

Footer Page 4 of 185.

Header Page 5 of 185.

1

MỞ ĐẦU
Một nhánh trong giải tích phức nhiều biến phát triển mạnh mẽ trong vòng 30
năm trở lại đây là lý thuyết đa thế vị. Nhiều kết quả quan trọng của lý thuyết này được
người ta biết đến từ khá sớm trước những năm 80 của thế kỉ trước. Các kết quả đặc sắc
của E.Berford và B.A.Taylor năm 1982 là việc xây dựng thành công toán tử Monge –
Ampere phức cho lớp hàm đa điều hòa dưới bị chặn địa phương, tìm ra nghiệm đa điều
hòa dưới của bài toán Dirichlet cho phương trình Monge – Ampere phức và đưa ra
khái niệm dung lượng của một tập Borel trong một tập mở trong  n . Có thể xem đây
như là một công cụ hữu hiệu cho việc phát triển lý thuyết đa thế vị cho đến nay. Trong
những năm gần đây bài toán Dirichlet đối với phương trình Monge-Ampere phức:

( dd u )
c

n

= d µ , u = ϕ trên biên

được giải với một lớp rộng rãi các độ đo khác nhau. Việc đưa ra các điều kiện để
phương trình có nghiệm liên tục cũng như mô tả các độ đo này để phương trình có các
nghiệm thuộc lớp rộng hơn các hàm đa điều hòa dưới được sự quan tâm của các nhà
toán học trên thế giới.
Phương trình Monge-Ampere cũng được nghiên cứu gắn với hình học các đa tạp
Kahler. Ở đây nghiệm của phương trình sinh ra một mê tric Kahler với độ cong Ricci
cho trước. Vào những năm 70 Yau giải phương trình Monge-Ampere trên các đa tạp

compact Kahler với dữ liệu trơn suy biến, chứng minh một phỏng đoán lừng danh của
Calabi là đúng. Trong chứng minh ông sử dụng phương pháp liên tục cùng với phương
pháp đánh giá tiên nghiệm đối với đạo hàm của nghiệm. Theo cách tương tự phương
trình cũng được nghiên cứu trên miền giả lồi ngặt bởi Caffarelli. Kohn, Nirenberg và
Spruck. Khi đó ngoài việc chỉ ra sự tồn tại nghiệm, Aubin, G.Tian còn chỉ ra tính
chính quy của nghiệm với các giả thiết phù hợp. Năm 1998, S.Kolodziej đã khái quát
định lý của Yau với dữ liệu không trơn, suy biến. Đặc biệt, ông chỉ ra sự tồn tại của
nghiệm của phương trình Monge-Ampere trên đa tạp Kahler compact với vế phải
thuộc lớp Lp , p > 1 .

Footer Page 5 of 185.


Header Page 6 of 185.

2

Với mong muốn tìm hiểu một số kết quả của lý thuyết đa thế vị và phương trình
Monge – Ampere phức trên đa tạp Kahler compact nên tôi chọn nội dung “Tìm hiểu
bước đầu về phương trình Monge-Ampere phức trên đa tạp compact Kahler”
làm đề tài luận văn của mình. Nội dung chính của luận văn này trình bày về sự tồn tại,
tính duy nhất và ổn định của các nghiệm của phương trình Monge-Ampere phức trên
một đa tạp Kahler compact bằng cách áp dụng các phương pháp của lý thuyết đa thế
vị. Luận văn gồm 3 chương:
Chương 1 trình bày các kiến thức chuẩn bị.
Chương 2 trình bày về dòng dương đóng và toán tử Monge – Ampere trên đa tạp
phức.
Chương 3 trình bày về phương trình Monge- Ampere phức trên đa tạp compact
Kahler.
Phương pháp nghiên cứu luận văn chủ yếu là tổng hợp, so sánh, tham khảo các

tài liệu, trình bày lại các kết quả.
Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh
dưới sự hướng dẫn của TS. Nguyễn Văn Đông. Nhân dịp này tôi xin bày tỏ lòng biết
ơn sâu sắc tới thầy, người đã tận tình chu đáo và động viên tôi rất nhiều trong suốt quá
trình học tập cũng như quá trình hoàn thành luận văn.
Tôi xin cảm ơn tất cả các thầy đã nhiệt tình giảng dạy và giúp đỡ tôi trong suốt
quá trình học tập.
Xin cảm ơn các bạn học viên ngành toán đã động viên giúp đỡ tôi và có nhiều ý
kiến đóng góp trong quá trình hoàn thành luận văn.
Do trình độ và thời gian có hạn nên luận văn không tránh khỏi những thiếu sót.
Tôi rất mong nhận được sự chỉ bảo và góp ý của các thầy cô và các bạn.
Thành phố Hồ Chí Minh, tháng 9 năm 2014
Tác giả

Footer Page 6 of 185.


Header Page 7 of 185.

3

Chương 1. CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1.1. Phép tính vi phân trên đa tạp khả vi
1.1.1. Đa tạp khả vi
Cho m   và k ∈  ∪ {∞} . Ta ký hiệu lớp các hàm khả vi k lần v ới các đạo hàm
liên tục là C k .
Một đa tạp khả vi

m chiều thực thu ộc lớp C k là một không gian tôpô X

Hausdorff, khả ly, nghĩa là có một cơ sở đếm được, được trang bị một atlas lớp C k với
giá trị trong  m . Một atlas lớp C k m chiều trên X là họ A = {(U α , ϕα )}α∈A thỏa mãn:
i)

U α là tập con mở khác rỗng của X với mọi α ∈ A .

ii) ϕα :U α → Vα là đồng phôi từ U α lên một tập mở Vα trong  m với mọi

α ∈ A.
iii)   AU   X .
iv) φβα ϕ β  ϕα−1 : ϕα (U α  U β ) → ϕ β (U α  U β ) là một vi phôi lớp C k với mọi
=

α,β ∈ A.
+ (U α , ϕα ) được gọi là bản đồ địa phương.
+ U α được gọi là miền tọa độ hay mảnh tọa độ của bản đồ địa phương đó.
+ Các thành phần của ϕα ( x ) = ( x1α , x2α ,..., xnα ) được gọi là hệ tọa độ địa phương
trên U α xác định bởi ϕα .
+     1 được gọi là phép biến đổi tọa độ (phép chuyển dịch). Ta có mối
liên hệ xα = φαβ ( x β )
Nếu k = ∞ ta nói X là đa tạp trơn m chiều.
Nếu Ω là tập con mở của X và s ∈  ∪ {∞} , 0 ≤ s ≤ k ta ký hiệu C s (,  ) là tập
hợp các hàm thuộc lớp C s trên Ω , nghĩa là f  1 thuộc lớp C s trên ϕα (U α  Ω ) .

Footer Page 7 of 185.


Header Page 8 of 185.

4

Nếu Ω không là tập con mở của X thì C s (,  ) là tập hợp các hàm có mở rộng thuộc
lớp C s trên một lân cận nào đó của Ω ,
+ Một vec-tơ tiếp xúc ξ tại điểm a ∈ X được định nghĩa là một toán tử vi phân
tác động lên các hàm, có dạng:
m

f  . f    j
j 1

f
(a)
x j

với f  C1 (,  )

trong hệ tọa độ địa phương bất kỳ ( x1 ,.., xm ) trên tập mở Ω chứa a. Khi đó ta viết
m

ξ = ∑ξ j
j =1

 ∂
∂
. Với mọi a ∈ Ω bộ 
∂x j
 ∂x j


là cơ sở của không gian tiếp xúc của không


1≤ j ≤ m

gian X tại a, ký hiệu là TX ,a
Vi phân của hàm f tại a là dạng tuyến tính trên không gian TX ,a được định nghĩa
bởi:
df a (ξ =
) ξ . f=

m

∑ξ
j =1

j

∂f
(a ) , ∀ξ ∈ TX ,a
∂x j

∂f
dx j . Như vậy (dx1 ,.., dxm ) là cơ
j =1 ∂x j
m

Đặc biệt dx j (ξ ) = ξ j nên ta có thể viết df = ∑
 ∂
 ∂x j

sở đối ngẫu của 


trong không gian đối tiếp xúc TX* ,a . Các hợp TX   TX , x và

x X
1≤ j ≤ m

TX*   TX* , x được gọi là phân thớ tiếp xúc và phân thớ đối tiếp xúc của X.
x X

Ta nói ξ là một trường vec-tơ thuộc lớp C s trên Ω nếu nó là một ánh xạ
m

x   ( x)  TX , x sao cho ξ ( x) = ∑ ξ j ( x)
j =1

∂
có các hệ số thuộc lớp C s .
∂x j

1.1.2. Các dạng vi phân trên đa tạp khả vi
Một dạng vi phân bậc p, hay vắn tắt một p- dạng trên X là một ánh xạ trên X lấy
giá trị u ( x) ∈ Λ pTX* , x . Trong một tập mở tọa độ Ω ⊂ X, một p-dạng vi phân có thể được
viết là:
u ( x) = ∑ uI ( x)dxI
I =p

Footer Page 8 of 185.

Header Page 9 of 185.

5

trong đó I = (i1 ,.., i p ) là một đa chỉ số với các thành phần là các số nguyên i1 < .. < i p và
dxI =: dxi1 ∧ ... ∧ dxi p . Ký hiệu I là số các thành phần của I, đọc là độ dài của I.

Với mọi số nguyên p = 0,1,..., m và s ∈  ∪ {∞} , s ≤ k , ta ký hiệu C s ( X , Λ pTX* ) là
không gian các p-dạng vi phân thuộc lớp C s , nghĩa là với các hệ số uI thuộc lớp C s .
Các phép toán trên dạng vi phân cũng được định nghĩa một cách tự nhiên.
Tích ngoài. Nếu u ( x) = ∑ uI ( x)dxI là một p-dạng vi phân và v( x) = ∑ vJ ( x)dxJ là một
J =q

I =p

q-dạng vi phân, tích ngoài của u và v là một dạng p+q được xác định bởi:
u  v( x) 



uI ( x)vJ ( x)dxI  dxJ

I  p , J q

Đạo hàm ngoài. Đạo hàm ngoài của một p- dạng vi phân thuộc lớp C s là toán tử vi
phân:
d : C s ( X ,  pTX* )  C s1 ( X ,  p1TX* )

được xác định trong hệ tọa độ địa phương bởi:
du 

uI
dxk  dxI
I  p ,1k m xk



(1.1)

Thuận lợi của công thức (1.1) là nó không phụ thuộc vào việc chọn các tọa độ.
Hai tính chất cơ bản của đạo hàm ngoài là:
d (u ∧ v)= du ∧ v + (−1)deg u u ∧ dv

d2 = 0

Một dạng u được gọi là đóng nếu du = 0 và được gọi là khớp nếu có thể viết
u = dv với v là một dạng nào đó.

Kéo ngược. Nếu F : X → X ' là một ánh xạ khả vi từ đa tạp X đến đa tạp X’,
dim X ' = m ' và nếu v( y ) = ∑ vJ ( y )dy J là một p dạng vi phân trên X’, thì kéo ngược


F * v là một p- dạng vi phân trên X nhận được bằng cách thay y = F ( x) vào v, nghĩa

là:
=
F * v( x)

Footer Page 9 of 185.

∑ v ( F ( x))dF
I

i1

∧ .. ∧ dFi p


Header Page 10 of 185.

6

Nếu ta có ánh xạ thứ hai G : X ' → X '' và nếu w là dạng vi phân trên X’’ thì
F *(G * w) nhận được bằng các thay=
( y ), y F ( x) do đó:
thế z G=
F *(G * w)  (G  f )* w

Hơn nữa ta luôn có d ( F * v) = F *(dv) . Điều này dẫn đến kéo ngược F* là đóng
nếu v đóng và là khớp nếu v khớp.
Tích phân của các dạng vi phân. Một đa tạp X được gọi là được định hướng nếu và chỉ
nếu tồn tại một atlas (Uα , ϕα ) sao cho các φαβ bảo tồn hướng, nghĩa là có định thức
Jacobi dương.
Giả sử X được định hướng.=
Nếu u ( x) f ( x1 ,..., xm )dx1 ∧ .. ∧ dxm là một dạng liên
tục với bậc cực đại m = dim X , với giá compact trong một tập mở tọa độ Ω , ta đặt:


=
∫u

X

∫

f ( x1 ,..., xm )dx1 ∧ .. ∧ dxm

m

Qua phép đổi biến, kết quả độc lập với việc chọn các tọa độ nên chúng ta chỉ xét
các tọa độ tương ứng với định hướng đã cho. Khi u là một dạng tùy ý với giá compact,
định nghĩa của

∫u

được mở rộng bằng phép phân hoạch đơn vị tương ứng với các tập

X

mở tọa độ phủ suppu.
Cho F : X → X ' là một vi phôi giữa các đa tạp có định hướng và v là dạng thể
tích trên X’. Công thức đổi biến:

∫ F *v = ± ∫ v
X

X'

phụ thuộc vào F có bảo toàn hướng hay không .
Cho K là một tập con compact của X với biên khả vi liên tục từng khúc. Với giả
thiết này chúng ta hiểu rằng với mỗi a ∈ ∂K có các tọa độ ( x1 , x2 ,..., xm ) trên một lân

cận V của a , tâm a , sao cho:
K ∩ V = { x ∈ V : x1 ≤ 0,..., xl ≤ 0} với chỉ số l nào đó l ≥ 1 .

Khi đó ∂K ∩ V là một hợp của các siêu mặt trơn với các biên khả vi liên tục từng
khúc:
∂K ∩=
V

Footer Page 10 of 185.

U

1≤ j ≤l

{x ∈V : x

1

≤ 0,...,=
x j 0,..., xl ≤ 0}


Header Page 11 of 185.

7

Tại các điểm thuộc ∂K mà x j = 0 thì ( x1 ,..., xj ,..., xm ) xác định các tọa độ trên
∂K Chúng ta lấy một định hướng của ∂K được cho bởi các tọa độ hoặc bởi tọa độ đối

tùy thuộc và dấu (−1) j−1 . Mọi dạng u thuộc lớp C1 bậc m − 1 trên X ta có:

∫ u = ∫ du

∂K

(Công thức Stokes)

K

1.2. Dòng trên các đa tạp khả vi
Cho X là một đa tạp khả vi có định hướng lớp C ∞ , m = dim  X . Trước hết ta giới
thiệu một tô-pô trên không gian các dạng vi phân C s ( X , Λ pTX * ) . Cho Ω ⊂ X là một tập
mở tọa độ và u là một p − dạng trên X, được viết là u ( x) = ∑ uI ( x)dx trên Ω . Đối với
mọi tập con compact L ⊂ Ω và mọi số nguyên s   ta xét nửa chuẩn:
PLs (u ) = sup max Dα uI ( x)
I p, α ≤s
x∈L=

với α = (α1 ,..., α m ) chạy khắp  m và Dα =

α

∂
α1
∂x1 ...∂xmα m

là một đạo hàm cấp

α = α1 + ... + α m .

1.2.1. Định nghĩa
a) Ta ký hiệu ε P ( X ) (tướng ứng s  P ( X ) ) là không gian C ∞ ( X , Λ PTX* ) (tướng
ứng C s ( X , Λ PTX* ) ), được trang bị tô pô xác định bởi các nửa chuẩn PLs khi s, L, Ω thay
đổi (tương ứng khi L, Ω thay đổi).
b) Nếu K ⊂ X là một tập compact ta ký hiệu D P ( K ) là không gian con của
ε P ( X ) với các phần tử u ∈ ε P ( X ) có giá compact trong K , cùng với tô pô cảm sinh ;
D P ( X ) ký hiệu tập hợp tất cả các phần tử với giá compact, nghĩa là D P ( X ) := U D P ( K )
K

c) Các không gian của các C s − dạng s D P ( K ) và s D P ( X ) được định nghĩa tương
tự. Vì các đa tạp được ta giả thiết là khả ly nên tô pô của ε P ( X ) được xác định bởi họ
đếm được các nửa chuẩn PLs và do đó ε P ( X ) (cũng như sε P ( X ) ) là một không gian
Frechet. Tô pô của s D P ( K ) được sinh bởi mọi tập hữu hạn các nửa chuẩn PKjs sao cho
các tập compact K j phủ K . Do đó s D P ( K ) là một không gian Banach. Tuy nhiên,

Footer Page 11 of 185.


Header Page 12 of 185.

8

D P ( X ) không là một không gian Frechet, D P ( X ) trù mật trong ε P ( X ) .

Không gian các dòng được định nghĩa như là đối ngẫu của các không gian trên,
tương tự như định nghĩa thông thường về các phân bố.
1.2.2. Định nghĩa
Không gian các dòng chiều p (hay bậc m − p ) trên X là không gian D p' ( X ) các
dạng tuyến tính T trên D P ( X ) sao cho hạn chế của T lên mọi không gian D P ( K ) ,
K  X là ánh xạ liên tục. Bậc được chỉ ra bằng các chỉ số mũ do đó ta đặt :

P
P
P
−p
'
D ' m=
( X ) D=
p ( X ) : ( D ( X )) ', trong đó ( D ( X )) ' là đối ngẫu tôpô của D ( X )
m− p
Không gian s D '=
(X )

D p' ( X ) : ( s D p ( X )) ' được định nghĩa tương tự và được
=

s

gọi là không gian dòng cấp s trên X.
Ta đặt 〈T , u〉 là cặp giữa một dòng T và một dạng thử u ∈ D P ( X ) . Rõ ràng
s

D p' ( X ) được đồng nhất như là một không gian con các dòng T ∈ D p' ( X ) mà liên tục

với các nửa chuẩn PKs trên D P ( K ) với mọi tập compact K nằm trong một mảnh tọa độ
Ω . Giá của T, ký hiệu suppT , là tập con đóng nhỏ nhất A ⊂ X sao cho hạn chế của T

lên D P ( X \ A) bằng 0. Đối ngẫu tô pô ε 'p ( X ) được đồng nhất với tập các dòng của
D p' ( X ) với giá compact.

1.2.3. Đạo hàm ngoài và tích ngoài của dòng trên đa tạp khả vi

Nhiều phép toán trên các dạng vi phân có thể được mở rộng cho các dòng bằng
các lí luận đối ngẫu.
s '
s +1 '
Cho T ∈ s D ' q ( X ) =
Dm − q ( X ) . Đạo hàm ngoài dT ∈s +1 D ' q +1 ( X ) =
Dm − q −1 ( X ) được

định nghĩa bởi :
dT , u =
(−1) q +1 T , du , u ∈ s +1D m − q −1 ( X )

Tính liên tục của dạng tuyến tính dT trên

s +1

D m − q −1 ( X ) được suy ra từ tính liên

tục của ánh xạ d : s +1D m − q −1 ( K ) → s D m − q ( K ) .
+ Với T ∈ s D ' q ( X ) và g ∈ sε r ( X ) tích ngoài T ∧ g ∈ s D ' q + r ( X ) xác định bởi:
T ∧ g , u = T , g ∧ u , u ∈ s D m−q −r ( X )

1.2.4. Mệnh đề

Footer Page 12 of 185.


Header Page 13 of 185.

9

Cho ( x1 ,..., xm ) là hệ tọa độ trên một tập con mở Ω ⊂ X . Mọi dòng T ∈ s D ' q ( X )
bậc q có thể được viết dưới dạng duy nhất :
T = ∑ TI dxI trên Ω
I =q

ở đây TI là các hàm phân bố cấp s trên Ω , được xem như là các dòng bậc 0.
Dòng bậc 0 trên X có thể xem như một dạng vi phân với hệ số là độ đo. Để hợp
nhất các ký hiệu liên quan đến các dạng và dòng, ta đặt:
T=
,u

∫

X

T ∧u

s
Khi T ∈ s DP' ( X ) =
D ' m − P ( X ) và u ∈ sε P ( X ) sao cho suppT ∩ suppu là tập

compact.
Tô pô yếu trên DP' ( X ) là tô pô được xác định bởi họ nửa chuẩn :
T  T, f

, f  D P ( X )

Tích ten xơ. Nếu S,T là các dòng trên các đa tạp X , X ' có duy nhất một dòng trên
X × X ' , ký hiệu S ⊗ T và được định nghĩa tương tự như tích ten xơ các phân bố, sao

cho với mọi u ∈ D  ( X ) và v ∈ D  ( X ')
S ⊗ T , u ∧ v =−
( 1)deg T deg u S , u T , v

Ta có thể kiểm tra được d ( S ⊗ T )= dS ⊗ T + (−1)deg s S ⊗ dT
1.3. Phép tính vi phân phức
1.3.1. Đa tạp phức
Cho n   . Một đa tạp phức n chiều (phức) X là một không gian tôpô
Hausdorff cùng với một atlas phức A = {(U α , ϕα )}α∈A thỏa mãn:
i. U α là tập con mở khác rỗng của X với mọi α ∈ A .
ii.  : U    n là đồng phôi từ U α lên một tập mở trong  n với mọi α ∈ A .
iii.   AU   X .
iv. ϕ β  ϕα−1 : ϕα (U α  U β ) → ϕ β (U α  U β ) chỉnh hình với mọi α , β ∈ A .
+ (U α , ϕα ) được gọi là bản đồ địa phương.

Footer Page 13 of 185.


Header Page 14 of 185.

10

+ U α được gọi là miền tọa độ hay mảnh tọa độ của bản đồ địa phương đó.
+ Các thành phần của ϕα ( z ) = ( z1α , z2α ,..., znα ) được gọi là hệ tọa độ địa phương
trên U α xác định bởi ϕα .
+   1 được gọi là phép đổi tọa độ (phép chuyển dịch).
Nhận xét. Một đa tạp phức với chiều phức n là một đa tạp khả vi được trang bị atlas
chỉnh hình với giá trị trong  n , các phép chuyển dịch là các ánh xạ chỉnh hình.
Định nghĩa. Một tập con M của đa tạp phức n chiều X được gọi là đa tạp con m

chiều ( m ≤ n ) nếu với mỗi ξ ∈ M , có một bản đồ địa phương (U , ϕ ) trên X sao cho

ξ ∈ U và

(

)

M U =
ϕ −1 { z =
zm + 2 =
... =
zn =
0} .
( z1 , z2 ,..., zn ) ∈ n : zm+1 =
Số n − m được gọi là đối chiều của M . Ký hiệu: co dim M= n − m .
Định nghĩa
a. Giả sử (U , α ) là một bản đồ địa phương với hệ tọa độ ( z1 , z2 ,..., zn ) và f là
hàm giá trị phức xác định trên U . Khi đó ta có thể xem f như một hàm n biến phức

( z1 , z2 ,..., zn )

xác định bởi: ( z1 , z2 ,..., zn )  f  ϕ −1 ( z1 , z2 ,..., zn ) .

b. Cho tập mở Ω ⊂ X và số tự nhiên k ∈   {∞} . Hàm f :    được gọi là
k
thuộc lớp C trên Ω nếu f  ϕα−1 ∈ C k (ϕα (U α  Ω ) ) với mọi α ∈ A mà U      .
k
Ký hiệu tập tất cả các hàm (phức) thuộc lớp C trên Ω là C k ( Ω,  ) .

Cho tập mở Ω ⊂ X , hàm f :    được gọi là chỉnh hình trên Ω nếu với mỗi

p∈Ω

tồn

tại

một

bản

đồ

địa

phương

(U ,ϕ )

với

p ∈U

sao

cho

(U ,ϕ )

thì

f  ϕ −1 : ϕ (U  Ω ) →  là chỉnh hình.

Tập tất cả các hàm chỉnh hình trên Ω ký hiệu là: O ( Ω ) .
Nếu

( z1 , z2 ,..., zn )

( z1 , z2 ,..., zn ) 

là hệ tọa độ địa phương ứng với

f  ϕ −1 ( z1 , z2 ,..., zn ) là hàm chỉnh hình theo nghĩa thông thường.

Định nghĩa chỉnh hình là độc lập với cách chọn hệ tọa độ địa phương.

Footer Page 14 of 185.


Header Page 15 of 185.

11

1.3.2. Dạng vi phân trên đa tạp phức
Cho X là một đa tạp phức n chiều. Xét V = Tx X là không gian tiếp xúc của X

 
 là một cơ sở trên V ,
tại x  X , ( z1 , z2 ,..., zn ) là các tọa độ trên V ,  ,...,

 z1
zn 

( dz1 ,..., dzn ) là cơ sở của đối ngẫu V * . Ta ký hiệu Λ p ,q ( X ) là tập tất cả các dạng vi
phân kiểu ( p, q ) trên X , tức là các dạng u có biểu diễn:

∑

=
u

=
I p=
,J q

trong đó I
=

(1 ≤ i

1

u I , J dz I ∧ dz−J

(1.2)

i , i ,..., i ) , J ( j , j ,..., j ) là các tập đa chỉ số độ dài
(=
1

2

p

1

2

q

p, q tương ứng

< i2 < ... < i p ≤ n,1 ≤ j1 < j2 < ... < jq ≤ n ) , và :

dz I = dzi1 ∧ dzi2 ∧ ... ∧ dzi p , d z J = d z j1 ∧ d z j2 ∧ ... ∧ d z jq .

Định nghĩa
n

=
β i ∑ dz j ∧ d z j được gọi là
a. Dạng vi phân kiểu (1,1) trên X có biểu diễn:
j =1

dạng Kahler trên X .
b. Dạng thể tích trên X có biểu diễn dVn =

1 n
β .
n!

s
+ Ta nói u thuộc lớp C nếu u I , J ∈ C s ( X ,  ) với mọi I , J ; u I , J được gọi là các

hệ số của u .
s
Ký hiệu tập tất cả các dạng vi phân lớp C kiểu ( p, q ) trên X là C ps ,q ( X ) .

+ Ta nói u là dạng vi phân bậc r trên X nếu trong hệ tọa độ địa phương

( z1 , z2 ,..., zn )

m

bất kỳ, u được biểu diễn dưới dạng u = ∑ u j trong đó u j là các dạng vi
j =1

phân kiểu ( p, q ) thỏa p + q =
r.
Tập tất cả các dạng vi phân bậc r trên X được ký hiệu Λ r ( X ) .

Footer Page 15 of 185.


Header Page 16 of 185.

12

Các toán tử vi phân phức
a. Nếu f ∈ C1 ( X ,  ) thì trong hệ tọa độ địa phương ( z1 , z2 ,..., zn ) ta có:

∂f
∂f
=
df ∑
dzk +
d zk ,
∂ zk
k =1 ∂zk

∂f
∂f =∑
dzk ,
k =1 ∂zk

n

n

∂f
d zk .
k =1 ∂ zk
n

∂f =
∑

b. Nếu u ∈ C p∞,q ( X ) và trong hệ tọa độ địa phương ( z1 , z2 ,..., zn ) , u có biểu diễn
(1.2) thì các toán tử vi phân ngoài:

d : C p∞,q ( X ) → C p∞+1,q +1 ( X )
∂ : C p∞,q ( X ) → C p∞+1,q ( X )
∂ : C p∞,q ( X ) → C p∞,q +1 ( X )
xác định bởi:

=
∂u

∑∑

∂u I , J

∑∑

∂u I , J

I , J 1≤ k ≤ n

=
∂u

I , J 1≤ k ≤ n

dzk ∧ dz I ∧ d z J

∂zk

d zk ∧ dz I ∧ d z J

∂ zk

du = ∂u + ∂u
2

Lưu ý. d 2 =∂ 2 =∂ =0, ∂∂ =−∂∂ .
c. Đặt =
dc

(

)

1
i
∂ − ∂ , khi đó: dd c=
∂∂ và nếu u ∈ C 2 ( X ,  ) thì trong hệ
2π i
π

tọa độ địa phương ( z1 , z2 ,..., =
zn ) ta có: dd cu

∂ 2u
dz ∧ d zk .
∑
π j ,k =1 ∂z j ∂ zk j
i

n

Không gian các dạng vi phân phức. Cho đa tạp phức n chiều X . Họ tất cả các dạng vi
phân kiểu
D(

p ,q )

(X )

( p, q )

mà các hệ số thuộc C0∞ ( X ,  ) được ký hiệu là D ( p ,q ) ( X ) . Trong

ta xét sự hội tụ: Nếu {ϕ j }

j ≥0

⊂ D(

p ,q )

(X=
) và ϕ j ∑ ϕ Ij, J dzI ∧ d z J

trong

I ,J

j →∞
mỗi tập mở tọa độ Ω ⊂ X thì ϕ j 
→ϕ 0 khi và chỉ khi các điều kiện sau thỏa:

i. Tồn tại tập compact K ⊂ Ω sao cho supp ϕ Ij, J ⊂ K , ∀i, I , J .

Footer Page 16 of 185.


Header Page 17 of 185.

13

ii. Dα (ϕ Ij, J ) → Dα (ϕ I0, J ) đều khi j → ∞ với mọi I , J và α ∈  2n
+ .
Các phép toán trên dạng vi phân phức. Cho đa tạp phức n chiều X . Khi đó:

( p, q )

a. Nếu ϕ là dạng kiểu

ϕ
=

∑

,J q
I p=
=

thì ϕ là dạng kiểu

( q, p ) ,

trong đó nếu

ϕ I , J dzI ∧ dz−J trong hệ tọa độ địa phương ( z1 , z2 ,..., zn ) thì
=
ϕ

∑

=
I p=
,J q

ϕ I , J d zI ∧ dz J .

b. Nếu ϕ ,ψ là các dạng kiểu ( p, q ) thì ϕ + ψ , λϕ ( λ ∈  ) cũng là các dạng kiểu

( p, q ) .
c. Nếu ϕ là dạng kiểu

( p, q ) , ψ

( p ', q ')

là dạng kiểu

thì ϕ ∧ ψ là dạng

kiểu ( p + p ', q + q ') và ta có:
+ ϕ ∧ ψ =( −1)

pqp ' q '

ψ ∧ϕ

+ d (ϕ ∧ ψ )= dϕ ∧ ψ + ( −1)

p+q

ϕ ∧ dψ

Công thức Stokes đối với dạng vi phân phức. Giả sử K là tập con compact của X
với biên trơn từng khúc và ϕ là dạng vi phân bậc n − 1 lớp C1 trên X . Khi đó:

∫

∂K

ϕ = ∫ dϕ .
K

Công thức tích phân từng phần đối với dạng vi phân phức. Giả sử Ω là tập mở bị
chặn, compact tương đối trong X có biên trơn và f , g là các dạng thuộc lớp C 2 trên

Ω kiểu ( p, p ) và ( q, q ) với p + q = n − 1 . Khi đó:

∫ ( f ∧ dd
Ω

c

g − dd c f ∧ g=
)

∫ ( f ∧d
∂Ω

c

g − dc f ∧ g).

1.3.3. Dòng trên đa tạp phức
Định nghĩa. Cho đa tạp phức n chiều X . Một phiếm hàm tuyến tính liên tục trên
D( p ,q ) ( X ) được gọi là một dòng song bậc ( n − p, n − q ) (hoặc song chiều ( p, q ) ) trên

X . Tập tất cả các dòng song bậc ( n − p, n − q ) trên X được ký hiệu D '( p ,q ) ( X ) . Mỗi
dòng T ∈ D '( p ,q ) ( X ) có thể viết được dưới dạng:

Footer Page 17 of 185.


Header Page 18 of 185.

14

∑

=
T

I=
n− p , J =
n−q

TIJ dz I ∧ d z J , TIJ ∈ D ' ( X ) .

Giá trị của T tại φ ∈ D( p ,q ) ( X ) được ký hiệu: T (φ ) hoặc ∫ T ∧ φ .
Tôpô (yếu) trên D '( p ,q ) ( X ) :
w
T j 
→ T ⇔ ∫ T j ∧ φ → ∫ T ∧ φ ∀φ ∈ D( p ,q ) ( X ) .

Đạo hàm của dòng. ∀φ ∈ D( p ,q ) ( X ) , ta có

∫ ∂T ∧ φ = ( −1)

p + q +1

∫ T ∧ ∂φ

∫ ∂T ∧ φ = ( −1)

p + q +1

∫ T ∧ ∂φ

∫ dT ∧ φ =( −1)

p + q +1

∫ T ∧ dφ

c
Khi đó dT , ∂T , ∂T và dd T cũng là các dòng.

Dòng T được gọi là đóng nếu dT = 0 .
Giá của dòng T , ký hiệu: suppT , là tập đóng nhỏ nhất A ⊂ X sao cho thu hẹp của T
trên D ( X \ A ) là không.
Ví dụ
a. Cho dạng ψ ∈ D( p ,q ) ( X ) . Khi đó ta có thể xem ψ là dòng Tψ song bậc

( n − p, n − q ) xác định bởi công thức:
T        ,   Dn p ,nq  X 
X

b. Cho Z là đa tạp con đóng p chiều của X . Khi đó dòng tích phân T = [ Z ]
sinh bởi Z là dòng xác định bởi:

Z ] (ϕ ) ∫ ϕ
[=
Z

, ϕ ∈ D( p , p ) ( X )

Hơn nữa, nếu Z đóng thì [ Z ] là đóng.
Tích ngoài. Cho T ∈ D '( p ,q ) ( X ) và ϕ ∈ D( p ',q ') ( X ) với p + p ' ≤ n, q + q ' ≤ n . Khi đó
tích ngoài T ∧ ϕ ∈ D '( p + p ',q + q ') ( X ) xác định bởi:

(T ∧ ϕ )(ψ =)

Footer Page 18 of 185.

T (ϕ ∧ ψ ) ∀ψ ∈ D( n − p − p ',n − q − q ') ( X ) .


Header Page 19 of 185.

Đạo hàm của tích ngoài.

15

d (T ∧ ϕ )= dT ∧ ϕ + ( −1)

2 n− p −q

T ∧ dϕ

∂ (T ∧ ϕ ) = ∂T ∧ ϕ + ( −1)

2 n− p −q

T ∧ ∂ϕ

∂ (T ∧ ϕ ) = ∂T ∧ ϕ + ( −1)

2 n− p −q

T ∧ ∂ϕ

Công thức Stokes đối với dòng. Cho K là tập con compact của X với biên trơn và T

1
là dòng bậc 2n − 1 xác định trên một lân cận của K và T là C trên lân cận của ∂K .

Khi đó:

∫

∂K

T = ∫ dT .
K

1.4. Hàm đa điều hòa dưới
1.4.1. Hàm đa điều hòa dưới trên  n
Định nghĩa. Cho tập mở    n . Hàm u : Ω → [ −∞, ∞ ) được gọi là đa điều hòa dưới
trên Ω nếu:
a) u là hàm nửa liên tục trên
b) Với mọi đường thẳng phức L   n ta có u L điều hòa dưới trên L  
Họ tất cả các hàm đa điều hòa dưới trên Ω được ký hiệu là PSH ( Ω ) .
Một cách phát biểu tương đương tính chất b) là: Với mỗi a  ,    n sao cho
  d (a, ) thì:
2

1
u (a) 
u (a  ei  )d  .

2 0
Sau đây là một số tính chất cơ bản của hàm đa điều hòa dưới:
1) Với mọi dãy giảm các hàm đa điều hòa dưới uk  PSH () , hàm giới hạn

u  lim uk là hàm đa điều hòa dưới trên  .
 1
 t

2) Đặt h :    là hàm xác định bởi h t   e , t  0 . Khi đó h  C     .

0 , t  0

(

Định nghĩa χ=
( x ) C.h 1 − x

Footer Page 19 of 185.

2

)

=
trong
đó C

(∫ (
B ( 0,1)

h 1− x

2

)

dx

)

−1

.


Header Page 20 of 185.

16

Ta có χ ∈ C ∞ (  m ) và supp χ = B ( 0,1) , ∫ χ ( x ) dx = 1 .
Với ε > 0 , ta định nghĩa: χε ( x ) =
Khi đó:

x

1

χ   . Khi đó χε được gọi là nhân trơn.
ε
ε 
m

∫ χε ( x ) dx = 1 và supp χε = B ( 0, ε ) .

Nếu u , v ∈ L1 (  m ) thì tích chập u ∗ v của u và v được định nghĩa như sau:

( u ∗ v )( x ) = ∫ u ( x − y ) v ( y ) dy .
m

Dễ thấy u ∗ v = v ∗ u . Ngoài ra, tích chập u ∗ v cũng được định nghĩa tốt nếu
u ∈ L1loc (  m ) và v ∈ L1 (  m ) , v có giá compact.
m
Cho tập mở    . Nếu    m thì ta đặt: Ω=
ε

{ x ∈ Ω : d ( x, ∂Ω ) > ε }

với

ε > 0 nếu    m thì    m .
n
Định lý xấp xỉ cho hàm đa điều hòa dưới. Cho tập mở    và u ∈ PSH ( Ω )

sao cho u   trên mọi thành phần liên thông của  .
Nếu ε > 0 và Ωε ≠ ∅ thì : uε =u ∗ χε ∈ C ∞  PSH ( Ωε ) .
Ngoài ra, uε đơn điệu giảm khi ε giảm và limuε ( x ) = u ( x ) với mỗi x ∈ Ω .
ε →0

3) Cho u1 , u2 ,.., u p  PSH () và  :  p   là hàm lồi sao cho (t1 ,..., t p )
không giảm với mỗi t j . Khi đó (u1 ,..., u p ) là hàm đa điều hòa dưới trên  . Đặc biệt,

{

}

u1 + u2 + .. + u p , max u1 , u2 ,.., u p , log(eu1 + ... + e p ) là hàm đa điều hòa dưới trên  .
u

4) Cho {uα }α∈A ⊂ PSH ( Ω ) bị chặn trên đều địa phương và u = sup uα
α ∈A

*
*
Gọi u là chính quy hóa nửa liên tục trên của u . Khi đó u * ∈ PSH ( Ω ) và u = u

hầu khắp nơi trên Ω . Ngoài ra, uε = u ∗ χε đơn điệu giảm khi ε giảm và limuε = u *
ε →0

trên Ω .
5) Nếu u  C 2 (,  )  PSH (), u   trên mọi thành phần liên thông của  ,
thì với mọi    n :

Footer Page 20 of 185.


Header Page 21 of 185.

17

=
Hu (ξ ) :

∂ 2u

ξ j ξ k ∈ D '(Ω)
∑
1≤ j , k ≤ n ∂z j ∂ z k

là một độ đo dương. Ngược lại, nếu v  D '() sao cho Hv(ξ ) là một độ đo dương với
mọi    n , tồn tại duy nhất một hàm u ∈ PSH (Ω) khả tích địa phương trên  sao
cho v là một phân bố tương ứng với u.
6) Nón lồi PSH ()  L1loc () đóng trong L1loc () , và nó có tính chất mọi tập con
bị chặn là compact tương đối.
1.4.2. Hàm đa điều hòa dưới trên đa tạp phức
2
Bây giờ ta giả sử u là một hàm thuộc lớp C trên một đa tạp phức n chiều X.

Dạng Hess phức của u tại một điểm a  X là dạng Hecmit trên TX được xác định bởi
 2u
Hua  
(a )dz j  d z k
1 j , k n z j  z k

Nếu F : X  Y là một ánh xạ chỉnh hình và nếu v  C 2 (Y ,  ) thì với mọi
  TX ,a ta có:

∂ 2v( F (a )) ∂Fl (a ) ∂Fm (a )
=
H (v  F ) a (ξ ) =
ξj
ξ k HvF ( a ) ( F '(a).ξ )
∑
∂z j
∂zk

j , k ,l , m ∂zl ∂ z m
Đặc biệt, Hua không phụ thuộc vào việc chọn tọa độ

( z1 ,..., zn )

trên X, và

HvF ( a )  0 trên Y dẫn đến H (v  F ) a  0 trên X. Do đó khái niệm hàm đa điều hòa

dưới có nghĩa trên mọi đa tạp phức.
Định lý. Cho X, Y là các đa tạp phức, nếu F : X  Y là một ánh xạ chỉnh hình và

v  PSH (Y ) thì v  F  PSH ( X ) .
Ví dụ Vì log z điều hòa dưới trên  nên f ∈ O ( X ) thì log f ∈ PSH ( X ) . Tổng
quát ta có log( f1

α1

+ ... + f q

αq

) ∈ PSH ( X ) với mọi f j ∈ O ( X ) , α j ≥ 0

1.5. Đa tạp Stein
1.5.1. Định nghĩa
Cho X là đa tạp phức và K là tập con compact của X . Bao chỉnh hình của K
trong X xác định bởi:

Footer Page 21 of 185.

Header Page 22 of 185.

18

= K
 O( X ) =
K

{z ∈ X : f ( z ) ≤ sup f , ∀f ∈ O ( X )} .
K

 O( X ) của mỗi tập
Đa tạp phức X được gọi là lồi chỉnh hình nếu bao chỉnh hình K

compact K ⊂ X cũng là tập compact.
Lưu ý: Đa tạp phức X là lồi chỉnh hình nếu và chỉ nếu có một dãy các tập

 K ,K ⊂ K .
compact {K v } với K v ⊂ X sao =
cho: X =
Kv , K
v
v
v −1
v
o

1.5.2. Định nghĩa

Hàm ψ : X → [ −∞, ∞ ) trên không gian tôpô X được gọi là một vét kiệt nếu tất
cả các tập mức dưới X c =
{ z ∈ X :ψ ( z ) < c} là compact tương đối với mọi c   .
Cho đa tạp phức n chiều X . Khi đó:
a. X được gọi là giả lồi yếu nếu tồn tại một hàm vét kiệt đa điều hòa dưới trơn

ψ ∈ PSH ( X )  C ∞ ( X ) .
b. X được gọi là giả lồi ngặt (mạnh) nếu tồn tại một hàm vét kiệt đa điều hòa
dưới ngặt trơn, nghĩa là ψ ∈ PSH ( X )  C ∞ ( X ) và Hψ xác định dương tại mọi điểm,
trong đó

H    

 2
 z  z  j k  D ' X  .
j
k
1 j ,k n

1.5.3. Định lí. Mọi đa tạp lồi chỉnh hình X là giả lồi yếu.
1.5.4. Định nghĩa. Đa tạp phức X được gọi là đa tạp Stein nếu:
i. X là lồi chỉnh hình.
ii. X là tách chỉnh hình, tức là mỗi điểm x ∈ X có một lân cận V sao cho:
với mỗi y ∈ V \ { x} , ∃ f ∈ O ( X ) : f ( y ) ≠ f ( x ) .
Lưu ý:
- Điều kiện ii là hiển nhiên nếu X = Ω là tập con mở của  n . Do đó một tập mở

   n là Stein nếu và chỉ nếu Ω là miền chỉnh hình (Tập mở    n được gọi là
miền chỉnh hình nếu với mỗi tập con mở liên thông U của  n cắt ∂Ω và với mỗi

Footer Page 22 of 185.


Header Page 23 of 185.

19

thành phần liên thông V của U   tồn tại f ∈ O ( Ω ) sao cho f

V

không có mở rộng

chỉnh hình đến U )
- Tập con mở Ω ⊂ X được gọi là tập mở Stein nếu Ω cũng thỏa các điều kiện i.
và ii.
1.5.5. Định lý. Mọi đa tạp Stein là giả lồi ngặt.
1.5.6. Mệnh đề. Nếu X là đa tạp giả lồi yếu (ngặt) và u là hàm trơn đa điều hòa dưới
trên X thì tập mở=
Ω u −1 ( ( −∞, c ) ) là giả lồi yếu (ngặt). Đặc biệt, các tập mức dưới
=
X c ψ −1 ( ( −∞, c ) ) của hàm đa điều hòa dưới (ngặt) vét kiệt ψ cũng là giả lồi yếu

(ngặt).
1.6. Đa tạp Hecmit và đa tạp Kahler
+ Cho V là không gian vec tơ phức hữu hạn chiều. Một ánh xạ h : V V  
được gọi là Hecmit nếu với mọi u, v ∈ V có h(u, v) = h(v, u )
Nếu dimV = n , một dạng Hecmit H trên V được biểu diễn bởi một dạng n × n
ma trận (h jk ) và điều kiện h(u, v) = h(v, u ) tương đương với:
h jk  h kj ; j , k  1,..., n

+ Cho X là một đa tạp phức n chiều. Một mêtric Hecmit trên X là một dạng
∞
Hecmit xác định dương lớp C trên TX ; trong một hệ tọa độ ( z1 ,..., zn ), một dạng như

thế có thể được=
viết là: h( z )

∑

1≤ j ≤ k ≤ n

h jk ( z )dz j ⊗ d z k , với ( h jk ) là một ma trận Hecmit

∞
dương có hệ số thuộc lớp C .

Dạng (1,1) cơ bản ω ứng với h là dạng dương loại (1,1):
i
2

ω=
− Im h =
∑ h jk dz j ∧ d z k

(1 ≤

j, k ≤ n ) .

Định nghĩa:

a. Một đa tạp Hecmit là một cặp ( X , ω ) với ω là dạng (1,1) xác định dương lớp

C ∞ trên X .
b. Mêtric Hecmit với dạng (1,1) cơ bản ω được gọi là mêtric Kahler nếu dω = 0

Footer Page 23 of 185.


Header Page 24 of 185.

20

c. Đa tạp phức X được gọi là đa tạp Kahler nếu X được trang bị ít nhất một
mêtric Kahler.
Vì ω là thực nên điều kiện dω = 0, ∂ω = 0, ∂ω = 0 là tương đương.
Trong hệ tọa độ địa phương ∂ 'ω =
0 tương đương với:
∂h jk ∂hlk
=
∂zl
∂z j

(1 ≤

j, k , l < n ) .

Tính toán dẫn đến:

ωn
1

= det(h jk ) Λ ( dz j ∧=
d z j ) det(h jk )dx1 ∧ dy1 ∧ ... ∧ dxn ∧ dyn
1≤ j ≤ n 2
n!
xn + iyn .
với z=
n
1 n
ω là dương và trùng với phần tử thể tích Hecmit
n!

Do đó (n, n) − dạng dV =
của X . Nếu X là compact thì



X

 n  n !Vol ( X )  0 .

Một hàm thực địa phương u thỏa mãn h = i∂∂u được gọi là thế vị Kahler địa
phương của mêtric h
Một vài ví dụ về các đa tạp Kahler
a)  n , ,

 với

 n
j 
j

, ký hiệu mêtric Hecmit , = Re  ∑ dz d z  là đa tạp Kahler.
 j =1


b) Đa tạp Riemann định hướng 2 chiều là đa tạp Kahler.
c) Đa tạp xạ ảnh phức P n () được trang bị mêtric Fubini-Study là đa tạp Kahler.
d) Đa tạp xạ ảnh, nghĩa là đa tạp con của P n () xác định bởi các đa thức thuần
nhất trong  n1 là đa tạp Kahler.
1.7. Một số kết quả về dung lượng tương đối và hàm cực trị tương đối
Trong phần này ta cho Ω là tập mở trong  n .


n
=
cap ( E , Ω ) sup  ∫ ( dd c u ) : u ∈ PSH ( Ω ) , −1 ≤ u < 0  được gọi là
Định nghĩa. Đại lượng
E


dung lượng tương đối của tập Borel E (đối với Ω )

Footer Page 24 of 185.


Header Page 25 of 185.

21

Ta sẽ xét các hàm tập hợp gắn với dòng dương đóng T song bậc ( n − k , n − k ) :



k
=
capT ( E , Ω ) sup  ∫ ( dd c u ) ∧ T : u ∈ PSH ( Ω ), −1 ≤ u < 0 
E


Một số tính chất của dung lượng được liệt kê ở mệnh đề sau.
Mệnh đề 1.7.1. Cho tập con Borel E j của miền bị chặn Ω ta có:
1) cap ( E1 , Ω ) ≤ cap ( E2 , Ω ) nếu E1 ⊂ E2 .
2) cap ( E , Ω ) ≥ lim cap ( E j , Ω ) nếu dãy tăng đến E ,
j →∞

3) cap ( E , Ω ) ≤ ∑ cap ( E j , Ω ) với E = ∪ E j .
Trong mệnh đề tiếp theo ta ước lượng dung lượng tương đối của một tập mức
dưới của một hàm đa điều hòa dưới âm.
Mệnh đề 1.7.2. Cho K  U  Ω ,khi đó tồn tại hằng số C phụ thuộc vào các tập hợp
này sao cho với bất kỳ u ∈ PSH ( Ω ) , u < 0 :
cap ( K ∩ {u < − j} , Ω ) ≤

C
u
j

L1 (U )

.

Bất đẳng thức cũng đúng cho capT với C cũng phụ thuộc T .
Định nghĩa. Một dãy u j các hàm xác định trên Ω được gọi là hội tụ theo dung lượng

đến u nếu với bất kỳ t > 0 và K  Ω

( {

} )

lim cap K ∩ u − u j > t , Ω =0 .
j →∞

Tương tự ta có định nghĩa sự hội tụ theo dung lượng đối với capT .
Toán tử Monge-Ampere liên tục đối với các dãy hội tụ theo kiểu này.
Định lý 1.7.3 (Định lý hội tụ). Cho {ukj } j =1 là dãy bị chặn đều địa phương các hàm đa
∞

điều hòa dưới trên Ω với k = 1, 2,..., n và cho ukj → uk ∈ PSH ∩ L∞loc ( Ω ) theo dung
lượng capβ khi j → ∞ với k = 1, 2,..., n . Khi đó:
dd c u1j ∧ ... ∧ dd c unj → dd c u1 ∧ ... ∧ dd c un

trong tôpô yếu của các dòng. Nếu dãy hội tụ theo dung lượng capT ∧ β thì:

Footer Page 25 of 185.