Một số ứng dụng của lý thuyết đa thế vị trong giải tích phức nhiều biến (NCKH)

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM
-------------------------------

BÁO CÁO TỔNG KẾT
ĐỀ TÀI KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ CẤP ĐẠI HỌC

MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA LÝ THUYẾT ĐA THẾ VỊ
TRONG GIẢI TÍCH PHỨC NHIỀU BIẾN
Mã số: ĐH2014-TN04-01
Xác nhận của cơ quan chủ trì
(Ký, họ tên, đóng dấu)

Chủ nhiệm đề tài:
(ký, họ tên)

PGS.TS. Phạm Hiền Bằng

THÁI NGUYÊN, 05/2017


i

DANH SÁCH CÁN BỘ THỰC HIỆN ĐỀ TÀI

Họ và tên

Đơn vị công tác

1

Phạm Hiến Bằng

Trường ĐHSP-ĐHTN

Chủ nhiệm đề tài

2

Nguyễn Quang Diệu

Trường ĐHSP Hà Nội

Thực hiện

3

Phạm Tuyết Mai

Trường ĐHSP-ĐHTN

Thực hiện

4

Phạm Thị Thủy

Trường ĐHSP-ĐHTN

Thực hiện

TT

Trách nhiệm

ĐƠN VỊ PHỐI HỢP NGHIÊN CỨU
Họ và tên ngƣời

Tên đơn vị trong và
ngoài nƣớc

Nội dung phối hợp nghiên
cứu

Khoa Toán Trường

Cung cấp tài liệu, tham gia

Đại học sư phạm Hà

một số chuyên đề và một số GS.TSKH Nguyễn
Quang Diệu
nội dung nghiên cứu.

Nội

đại diện đơn vị


ii

MỤC LỤC
DANH SÁCH CÁN BỘ THỰC HIỆN ĐỀ TÀI .................................................... i
ĐƠN VỊ PHỐI HỢP NGHIÊN CỨU........................................................................ i
THÔNG TIN KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU .............................................................iii
INFORMATION ON RESEARCH RESULTS .................................................. vi
MỞ ĐẦU ............................................................................................................................ 1
1. Tính cấp thiết của đề tài .......................................................................................... 1
2. Mục tiêu nghiên cứu .................................................................................................. 2
3. Nội dung nghiên cứu, phƣơng pháp nghiên cứu ............................................. 2
CHƢƠNG I TÍNH DUY NHẤT CỦA HÀM m - ĐIỀU HÒA DƢỚI
TRONG CÁC LỚP CEGRELL ................................................................................ 3
1.1.Hàm m - điều hòa dƣới......................................................................................... 3
1.2.Các lớp kiểu Cegrell................................................................................................ 6
1.3. Tính duy nhất của hàm m  điều hịa dƣới ................................................ 11
1.4. Một vài áp dụng .................................................................................................... 16
Kết luận của chƣơng 1 ................................................................................................ 18
CHƢƠNG II ĐỒ THỊ ĐA CỰC ĐẦY TRONG £ N ........................................ 19
2.1. Giới thiệu ................................................................................................................. 19
2.2. Đồ thị của hàm liên tục và hàm chỉnh hình................................................. 21
2.3.Bao đa cực của đồ thị............................................................................................ 32
Kết luận của chƣơng 2 ................................................................................................ 36
CHƢƠNG III ....... SỰ HỘI TỤ CỦA DÃY HÀM CHỈNH HÌNH VÀ DÃY
HÀM HỮU TỶ............................................................................................................... 37
3.1. Giới thiệu ................................................................................................................. 37
3.2. Một vài kiến thức cơ sở của lý thuyết đa thế vị ......................................... 39
3.3. Sự hội tụ của dãy hàm chỉnh hình và dãy hàm hữu tỷ............................ 40
3.4. Xây dựng chi tiết sự hội tụ nhanh................................................................... 53
Kết luận của chƣơng 3 ................................................................................................ 58
KẾT LUẬN CỦA ĐỀ TÀI ......................................................................................... 58
TÀI LIỆU THAM KHẢO ......................................................................................... 60

iii

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM

THÔNG TIN KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU
1. Thông tin chung:
-Tên đề tài: Một số ứng dụng của lý thuyết đa thế vị trong giải tích phức nhiều
biến
- Mã số: ĐH2014-TN04-01
- Chủ nhiệm đề tài: PGS.TS Phạm Hiến Bằng
Tổ chức chủ trì: Trường Đại học sư phạm- ĐHTN
Thời gian thực hiện: 24 tháng.
2. Mục tiêu:
Mục tiêu của đề tài là nghiên cứu tính duy nhất của hàm m - điều hòa
dưới trong các lớp Cegrell. Vấn đề tiếp theo là xây dựng các hàm xác định
trên một tập đã cho sao cho đồ thị của chúng là đa cực đầy. Cuối cùng là
nghiên cứu độ đo Monge-Ampere của logarithmic mođun một dãy đa thức hội
tụ nhanh về một hàm chỉnh hình.
3. Tính mới và sáng tạo: Có một số kết quả mới trong 3 bài báo khoa học
xuất bản trên các tạp chí quốc tế trong danh mục SCI và SCIE.
4. Kết quả nghiên cứu:
- Thu được kết quả về các điều kiện đủ đối với tính duy nhất của hàm
m - điều hịa dưới trong các lớp Cegrell.
- Thu được kết quả về xây dựng các hàm xác định trên một tập đã cho
sao cho đồ thị của chúng là đa cực đầy.
- Thu được kết quả về điều kiện đủ để đảm bảo sự hội tụ của dãy các
hàm chỉnh hình hoặc dãy hàm hữu tỷ.

5. Sản phẩm:
5.1. Sản phẩm khoa học (bài báo khoa học):


iv

5.1.1. Dieu N.Q., Bang P.H., Hong N.X. (2014), “Uniqueness properties of
m-subharmonic functions in Cegrell classes”, J. Math. Anal. Appl. 420, no1,
pp. 669-683. (SCI).
5.1.2. Dieu N.Q., Manh P.V (2014)., “Complete pluripolar graphs in £ N ”,
Anal. Polon. Math 112.1, pp. 85-100. (SCIE).
5.1.3. Dieu N.Q., Manh P.V., Bang P.H., Hung L.T. (2016), “Vitali’s theorem
without uniform boundedness”, Publ. Math. 60, pp. 311-334. (SCIE).
5.2. Sản phẩm đào tạo:
5.2.1. Nguyễn Thị Hải Hiền (2015), Approximation of plurisubharmonic
functions in the weighted energy class, Luận văn thạc sĩ, Trường Đại học sư
phạm - Đại học Thái Nguyên.
5.2.2. Trần Thị Thanh Hương (2015), Weighted pluricomplex energy, Luận
văn thạc sĩ, Trường Đại học sư phạm-Đại học Thái Nguyên.
5.2.3. Trần Thị Mai Phương (2015), The complex Monge-Ampe’re operator
and the Dirichlet problem in class F , Luận văn thạc sĩ, Trường Đại học sư
phạm - Đại học Thái Nguyên.
5.2.4. Tạ Quang Sỹ (2015), Monge-Ampe’re measures on pluripola set and
complex Monge-Ampe’re equation, Luận văn thạc sĩ, Trường Đại học sư
phạm - Đại học Thái Nguyên.
5.2.5. Phùng Thị Kim Oanh (2016), Cegrell’s classes of m - subharmonic
functions and the Hessian equation in Cegrell’s classes, Luận văn thạc sĩ,
Trường Đại học sư phạm - Đại học Thái Nguyên.
5.2.6. Dương Huyền Nhung (2016), Convergence in capacity, Luận văn thạc
sĩ, Trường Đại học sư phạm - Đại học Thái Nguyên.

5.2.7. Ngạc Ngọc Khôi (2016), Maximal subextensions of plurisubharmonic
functions, Luận văn thạc sĩ, Trường Đại học sư phạm - Đại học Thái Nguyên.
5.2.8. Hoàng Thị Hải Yến (2016), A Dirichlet problem for complex MongeAmpe’re operator in F ( f ) , Luận văn thạc sĩ, Trường Đại học sư phạm - Đại
học Thái Nguyên.


v

5.2.9. Nguyễn Thị Lan (2015), The complex Monge-Ampe’re operator in
hyperconvex domains, đề tài NCKH sinh viên trường Đại học sư phạm.
5.2.10. Nguyễn Thị Lan (2016), Miền xác định của toán tử Monge-Ampere
phức, khóa luận tốt nghiệp của sinh viên trường Đại học sư phạm.
6. Phƣơng thức chuyển giao, địa chỉ ứng dụng, tác động và lợi ích mang
lại của kết quả nghiên cứu.
Kết quả của đề tài phục vụ cho công tác đào tạo cử nhân, cao học và
nghiên cứu sinh ngành Tốn giải tích tại khoa Tốn học, trường Đại học Sư
phạm-Đại học Thái Nguyên.
Ngày tháng năm 2017
Tổ chức chủ trì
(ký, họ tên và đóng dấu)

Chủ nhiệm đề tài
(ký, họ tên)

PGS.TS. Phạm Hiến Bằng


vi

INFORMATION ON RESEARCH RESULTS

1. General information:
- Project title: Some applications of plurisubharmonic theory to complex
analysis in several variables
- Code number: ĐH2014-04-01
- Coordinator: Associate Professor Pham Hien Bang
- Implementing Institution: Thai Nguyen University of Education
- Cooperating Institution: Ha Noi National University of Education,
Associate professor-doctor of science Nguyen Quang Dieu.
- Duration: 24 months
2. Objective(s):
- Research uniqueness properties of m - subharmonic functions in Cegrell
classes.
- Construct functions defined on a given set such that their graphs are
complete pluripolar.
- Research the convergence of sequence of holomorphic and rational
functions.
3. Creativeness and innovativeness:
There are some new results in three scientific articles published in the national
journal of science, where one paper belongs to the SCI and two papers
belongs to the SCIE list.
4. Research results:
- Obtained sufficient conditions for unicity of m - subharmonic functions in
Cegrell classes.
- Obtained result on construct functions defined on a given set such that their
graphs are complete pluripolar.
- Obtained result on the convergence of sequence of holomorphic and
rational functions.
5. Products:
5.1. Scientific products:

vii

5.1.1. Dieu N.Q., Bang P.H., Hong X.X. (2014), “Uniqueness properties of
m-subharmonic functions in Cegrell classes”, J. Math. Anal. Appl. 420, no1,
pp. 669-683. (SCI).
5.1.2. Dieu N.Q., Manh P.V (2014)., “Complete pluripolar graphs in £ N ”,
Anal. Polon. Math 112.1, pp 85-100. (SCIE).
5.1.3. Dieu N.Q., Manh P.V., Bang P.H., Hung L.T. (2016), “Vitali’s theorem
without uniform boundedness”, Publ. Math. 60, pp. 311-334. (SCIE).
5.2. Training products:
5.2.1. Nguyen Thi Hai Hien (2015), Approximation of plurisubharmonic
functions in the weighted energy class, Master Thesis, College of Education,
Thai Nguyen University.
5.2.2. Tran Thi Thanh Huong (2015), Weighted pluricomplex energy, Master
Thesis, College of Education, Thai Nguyen University.
5.2.3. Tran Thi Mai Phuong (2015), The complex Monge-Ampe’re operator
and the Dirichlet problem in class F , Master Thesis, College of Education,
Thai Nguyen University.
5.2.4. Ta Quang Sy (2015), Monge-Ampe’re measures on pluripola set and
complex Monge-Ampe’re equation, Master Thesis, College of Education, Thai
Nguyen University.
5.2.5. Phung Thi Kim Oanh (2016), Cegrell’s classes of m - subharmonic
functions and the Hessian equation in Cegrell’s classes, Master Thesis,
College of Education, Thai Nguyen University.
5.2.6. Duong Huyen Nhung (2016), Convergence in capacity, Master Thesis,
College of Education, Thai Nguyen University.
5.2.7. Ngac Ngoc Khoi (2016), Maximal subextensions of plurisubharmonic
functions, Master Thesis, College of Education, Thai Nguyen University.
5.2.8. Hoang Thi Hai Yen (2016), A Dirichlet problem for complex MongeAmpe’re operator in F ( f ) , Master Thesis, College of Education, Thai Nguyen

University.
5.2.9. Nguyen Thi Lan (2015), The complex Monge-Ampe’re operator in


viii

hyperconvex domains, Scientific resrarch project of the of students of Thai
Nguyen University of Education.
5.2.10. Nguyen Thi Lan (2016), The domain of definition of the complex
Monge-Ampe’re operator, Graduation thesis of students of Thai Nguyen
University of Education.
6. Transfer alternatives, application institutions, impacts and benefits of
research results.
The results of the research used in training bachelors, postgraduate at the
Department of Mathematics, College of Education, Thai Nguyen university.


1

MỞ ĐẦU

1. Tính cấp thiết của đề tài
Khởi nguồn từ các cơng trình ngun thủy của Bedford và Taylor vào
đầu những năm 80 của thế kỷ trước, toán tử Monge-Ampere trên không gian
Euclid phức n chiều £ n được xem như một mở rộng tự nhiên của toán tử
Laplace cổ điển được xác định trên mặt phẳng phức. Mối liên hệ này sẽ cho
chúng ta những áp dụng của toán tử Monge-Ampere vào các bài tốn xấp xỉ
hàm chỉnh hình và hàm đa điều hòa dưới trên các tập mở bị chặn của £ n . Do
đặc thù của toán tử Monge-Ampere là khơng thể tính tốn tường minh trên
các hàm đa điều hịa dưới khơng trơn tới cấp hai, nên bài tốn xấp xỉ một hàm

đa điều hịa dưới tổng quát u bởi một dãy các hàm đa điều hịa dưới trơn u j
đóng vai trị quan trọng trong việc nghiên cứu bài toán Dirichlet trên các miền
siêu lồi bị chặn. Có thể kể đến định lý Fornaess-Wiegerinck (“Approximation
of plurisubharmonic functions”, Arkiv for Mat. 1989) nói rằng xấp xỉ sẽ xảy
ra với mọi hàm đa điều hòa dưới trên miền bị chặn D và liên tục tới tận biên.
Sau đó F. Wikstrom, Nguyễn Quang Diệu đã nghiên cứu một biến dạng của
định lý Fornaess-Wiegerinck đối với hàm đa điều hòa dưới bị chăn trên miền
siêu lồi. Đặc biệt trong bài báo “Approximation of plurisubharmonic functions
on bounded domains in £ n ”, Michigan Math. J. 2006, Nguyễn Quang Diệu
đã lần đầu tiên xét thêm tính hội tụ yếu của dãy độ đo Monge-Ampere
(ddcu j )n .Các kết quả như vậy sẽ có ứng dụng vào việc nghiên cứu bài tốn

Dirichlet đối với toán tử Monge-Ampere khi giá trị biên là các hàm khả tích
Lebesgue tùy ý. Đây là một trong những bài tốn quan trọng của giải tích
phức nhiều biến đã và đang được nhiều người quan tâm. Một vấn đề liên quan
được Gonchar nghiên cứu vào cuối những năm 70 của thế kỷ trước là xấp xỉ
nhanh hàm chỉnh hình bởi dãy các đa thức hay hàm hữu tỷ. Điều đáng chú ý
là mối liên hệ giữa hội tụ của dãy độ đo Monge-Ampere của dãy hàm đa thức
hay hàm hữu tỷ vẫn chưa được đề cập đến. Những điều trên phản ánh tính cấp
thiết của việc nghiên cứu những ứng dụng của lý thuyết thế vị phức trong giải
tích phức nhiều biến. Việc giải quyết thành cơng dù chỉ một trong các vấn đề


2

trên cũng sẽ là các đóng góp đáng kể vào sự phát triển của lý thuyết hàm biến
phức.
2. Mục tiêu nghiên cứu
Mục tiêu của đề tài là nghiên cứu tính duy nhất của hàm m - điều hòa
dưới trong các lớp Cegrell. Tìm các đặc trưng của hàm điều hịa dưới hoặc xa

hơn là các hàm m - điều hòa dưới sao cho độ đo những hàm này có thể xấp
xỉ bằng độ đo Monge-Ampere của một dãy hàm điều hòa dưới trơn. Vấn đề
tiếp theo là xây dựng các hàm xác định trên một tập đã cho sao cho đồ thị của
chúng là đa cực đầy. Cuối cùng là nghiên cứu độ đo Monge-Ampere của
logarithmic mođun một dãy đa thức hội tụ nhanh về mơt hàm chỉnh hình.
3. Nội dung nghiên cứu, phƣơng pháp nghiên cứu
- Đề tài nghiên cứu ứng dụng của toán tử Monge-Ampere trong lý thuyết đa
thế vị vào nghiên cứu một số bài toán của giải tích phức nhiều biến. Cụ thể
hơn, chúng tơi nghiên cứu các vấn đề sau:
1. Nghiên cứu tính duy nhất của hàm m - điều hòa dưới trong các lớp
Cegrell. Xem xét mở rộng các kết quả đã biết (tính hội tụ, tựa liên tục,…) của
toán tử Monge-Ampere trên lớp hàm đa điều hòa dưới cho lớp hàm m - điều
hòa dưới.
2. Xây dựng các hàm xác định trên một tập đã cho sao cho đồ thị của
chúng là đa cực đầy.
3. Nghiên cứu tính xấp xỉ hàm đa điều hịa dưới (tương ứng hàm chỉnh
hình) bởi các hàm đa điều hòa dưới trơn (tương ứng đa thức hoặc hàm hữu
tỷ). Đặc biệt chú ý tới sự hội tụ của dãy độ đo Monge-Ampere.
- Đề tài được nghiên cứu bằng phương pháp của lý thuyết đa thế vị phức
(cách xây dựng độ đo Monge-Ampere trên miền không bị chặn và xấp xỉ hàm
điều hịa dưới bởi mơ đun dãy hàm chỉnh hình thích hợp, …)


3

CHƢƠNG I
TÍNH DUY NHẤT CỦA HÀM m - ĐIỀU HỊA DƢỚI
TRONG CÁC LỚP CEGRELL
Trong chương này chúng tôi nghiên cứu các điều kiện đủ đối vớicác hàm
u, v sao cho u = v trên toàn bộ miền WÐ C n , trong đó u, v là các hàm m -

điều hòa dưới xác định trên W. Cuối cùng là một vài ứng dụng về sự hội tụ
yếu của dãycác hàm m - điều hòa dưới.
1.1. Hàm m - điều hòa dƣới
Định nghĩa 1.1.1. Cho W là một miền trong C n , u là một hàm điều hòa dưới
xác đinh trờn W, u ạ Ơ v m l s nguyờn: 1 £ m £ n . Ta nói rằng: u là một
ˆ , thì bất đẳng thức
hàm m - điều hòa dưới nếu với mỗi h ,..., h trong G
1

m- 1

m

dd cu Ù h1 Ù ...hm - 1 Ù wn - m ³ 0

xảy ra theo nghĩa dịng, trong đó

ˆ = {h Ỵ C : h Ù wn - m ³ 0,..., hm Ù wn - m ³ 0},
G
m
(1,1)

w = dd c | z |2 là dạng Kahler trong C n và C (1,1) là không gian các (1,1) - dạng
với hệ số hằng.
Ký hiệu SH m (W) là tập hợp các hàm m - điều hòa dưới trên W,
SH m- (W) là tập hợp các hàm m - điều hịa dưới âm trên W

Vì tính m - điều hịa dưới không bất biến dưới sự hợp thành với các
ánh xạ chỉnh hình nên điều này làm cho nó khó khăn hơn so với các hàm đa

điều hòa dưới.
Lớp các hàm m - điều hòa dưới được giới thiệu lần đầu tiên trong [30].
Sau đó, trong [5], tác giả đã giới thiệu miền xác định của toán tử Hessian

(dd cu )m Ù wn - m . Trong [10] tác giả đã dựa theo các lớp Cegrell và mở rộng
các lớp năng lượng hữu hạn đối với các hàm m - điều hịa dưới. Nói riêng,


4

Blocki đã xem xét tính liên tục của tốn tử Hessian dưới sự hội tụ đơn điệu
hoặc sự hội tụ tổng quát hơn theo dung lượng.
Mục đích của chương này là đưa ra các điều kiện đủ cho tính duy nhất
của hàm m - điều hịa dưới. Vì hai hàm đa điều hịa dưới có thể bằng nhau
trên một tập mở của một miền mà không nhất thiết trùng nhau (chẳng hạn
u º 0 và v(z ) = max(log | z |, 0) ), nên một cách tự nhiên có thể đặt thêm

các giả thiết trên các độ đo Hessian của u, v để đảm bảo rằng u º v trên toàn
bộ W. Kết quả đầu tiên theo hướng này là Định lý của Bloom và Levenbeng
về tính duy nhất của việc mở rộng các hàm đa điều hòa dưới cực đại.
Định lý 1.1.1. (Định lý 2.4 [7]) Giả sử K Ð C n là một tập compact và lồi đa
thức. W là một miền bị chặn chứa K . u, v là các hàm đa điều hòa dưới bị
chặn trong W, thỏa mãn u £ v trên W. u = v trên một lân cận liên thơng
của ¶ W , v liên tục và thỏa mãn (dd cv )n = 0 trên W\ K . Khi đó u = v trên
W\ K .

Tính duy nhất của các hàm đa điều hòa dưới trên W\ K được đưa ra
bởi các tác giả Duval và Sibony [20].
Định lý 1.1.2. Giả sử W là một miền siêu lồi bị chặn trong C n . K Ð W là
một tập lồi chỉnh hình compact của W. u1, u 2 là các hàm đa điều hòa dưới

âm sao cho các điều kiện sau xảy ra:
a ) lim u1(z ) = lim u 2(z ) = 0;
zđ ảW

zđ ảW

c
n
b) (dd cu1)n Ê (dd cu 2 )n trên W\ K và ò (dd u 2 ) < ¥ ;
K

c) u1 < u 2 trên W\ K ;

d)

ị (dd u )
c

n

1

K

£

ị (dd u )
c

n

2

K

Khi đó u1 = u 2 trên W\ K .
Trong chương này, chúng tôi sẽ tổng quát hóa hai kết quả trên đối với
lớp các hàm m - điều hịa dưới. Khó khăn lớn nhất ở đây là hạn chế của hàm
m - điều hịa dưới trên các đa tạp phức khơng nhất thiết phải là điều hòa dưới
trên đa tạp với số chiều thấp hơn. Để kết thúc, chúng tôi sẽ sử dụng nguyên lý


5

so sánh đối với hàm m - điều hòa dưới (Bổ đề 1.2.5). Công cụ này cho phép
làm yếu giả thiết đã cho trong Định lí 1.1.2 về tính lồi chỉnh hình của K (xem
Định lí 1.3.2) thành tính lồi phân hình. Tương tự, chúng tơi có thể chứng
minh Định lý 1.3.3 và phát biểu tương tự Định lí 1.1.1 đối với các hàm m điều hòa dưới u, v trùng nhau trong một lân cận của W\ K và compact K có
thể giao nhau với biên ¶ W. Cuối chương là hai ứng dụng của các định lý
chính vào bài toán của miền hội tụ yếu đối với các dãy các hàm m - điều hòa
dưới.
Các hàm m - điều hịa dưới có các tính chất cơ bản sau đây:
Mệnh đề 1.1.3. Cho W là tập mở trong C n . Khi đó ta có:

a ) PSH (W) = SH n (W) Ð SH n - 1(W) Ð ... Ð SH 1(W) = SH (W)
b) Nếu u là hàm C 2 - trơn thì nó là m - điều hòa dưới khi và chỉ khi dạng

ˆ theo từng điểm.
dd cu thuộc G
m

c ) Nếu u, v Ỵ SH m (W) và a , b > 0 thì a u + b v Ỵ SH m (W) .
d ) Nếu u, v Ỵ SH m (W) thì max(u, v ) Î SH m (W) .
e ) Cho {u a }

aÎ A

là họ các hàm m - điều hòa dưới trên W, bị chặn đều địa

phương. Khi đó (sup a Ỵ A u a )* Ỵ SH m (W) . Ở đây u * là chính qui hóa trên của
u , tức là u *(z ) = lim u ( x) .
xđ z

Ơ

{ }

f ) Nu u j

j=1

l dóy gim cỏc hàm m - điều hịa dưới thì u = lim j đ + Ơ u j

cng l hm m - điều hòa dưới.
g) Cho p ³ 0 là hàm bán kính trơn trong C n , triệt tiêu bên ngồi hình cầu

đơn vị và thỏa mãn

ị

Cn

pdV n = 1 trong đó dV n là độ đo Lebesgue của C n .

Với u Ỵ SH m (W) , đặt
u e (z ) = (u * r e )(z ) =

ò
B (0, e )

u (z - x)r edV n ( x), " z Ỵ We,


6

trong đó r e (z ) =

1
r (z / e)và We = {z ẻ W: d (z , ả W) > e}.
e2n

Khi ú
u e ẻ SH m (We ) ầ C ¥ (We ) và u e ¯ u khi e ¯ 0.

Định nghĩa 1.1.4. Giả sử u1,..., u p ẻ SH m (W) ầ LƠloc (W). Khi ú toỏn tử
Hessian phức H m (u1,..., u p ) được định nghĩa bằng qui nạp bởi

(

)

dd cu p Ù ... Ù dd cu1 Ù wn - m = dd c u pdd cu p - 1 Ù ... Ù dd cu1 Ù wn - m .

Nói riêng, nếu u Ỵ SH m (W) ầ LƠloc (W) thỡ o Borel (dd cu )m Ù wn - m được
xác định tốt và gọi là m - Hessian phứccủa u .
1.2.

Các lớp kiểu Cegrell
Các lớp Em0 (W), F m (W) và Em (W) đã được giới thiệu và trình bày trong

[10]. Trường hợp m = n đã được Cegrel nghiên cứu trong [8] và [9]. Trước
tiên ta bắt đầu với việc tổng quát hóa miền siêu lồi:
Định nghĩa 1.2.1. Một miền Wbị chặn trong C n được gọi là m - siêu lồi nếu
tồn tại một hàm vét cạn, m - điều hòa dưới liên tục âm r đối với W, tức là

{r < c}Ð W với mọi c < 0 .
Từ bây giờ, nếu khơng có phát biểu khác, ta hiểu Wlà miền m - siêu
lồi bị chặn trong C n .
Định nghĩa 1.2.2. Cho m là một số nguyên 1 £ m £ n . Ta đặt,
íï
ü
ï
Em0 (W) = ïì u ẻ SH m- (W) ầ LƠ (W) : lim u (z ) = 0, ò (dd cu )m Ù wn - m < Ơ ùý,
zđ ảW
ùù
ùù
W
ợ
ỵ
ớù
ỹ

ù
0
c
m
n- m
ù
F m (W) = ì u Ỵ SH m (W) : $ Em (W) ' u j ] u, sup ò (dd u ) w
< Ơ ùý,
ùù
ùù
j
W
ợ
ỵ
Em (W) = {u ẻ SH m- (W) : " G Ð W, $ uG Ỵ Fm (W), u = uG trên G }.

Chú ý:


7

a) Sự tồn tại của một hàm trong Em0 (W) là khơng tầm thường vì nó phụ thuộc
vào một kết quả cơ bản của Blocki trong [5], nói rằng một hàm m - điều hòa
dưới liên tục u là m - cực trị khi và chỉ khi (dd cu )m Ù wn - m = 0 .
b) Lớp F m (W) có tính chất sau: Nếu u Ỵ F m (W) và u £ v thì v Ỵ F m (W) .
Điều đó suy ra rằng mỗi hàm m - điều hòa dưới u bị chặn, âm trên một miền
m - siêu lồi W có thể sửa đổi địa phương thành một phần tử của F m (W) .

Chính xác hơn, cho K là tập con compact của W và r Ỵ Em0 (W) là một hàm
vét cạn m - điều hịa dưới của W. Khi đó với j

đủ lớn, hàm

v = max(u, jp) Ỵ Fm (W) và u = v trên K .
Mệnh đề 1.2.3. Giả sử u, v, j 1,..., j

m- 1

ị udd v ÙT
c

Ỵ Fm (W) . Khi đó

=

ị vdd u ÙT ,

W

c

W

trong đó T = dd cj 1 Ù ...dd cj

m- 1

Ù wn - m . Ở đây cả hai vế có thể bằng - ¥

tại thời điểm như nhau.

Chứng minh. Chứng minh được suy ra tương tự như trong Định lý 3.2 của [9],
hoặc chi tiết có thể xem Định lý 3.19 trong [10].
Như là một áp dụng đầu tiên của cơng thức tích phân từng phần ở trên, ta có
kết quả sau:
Mệnh đề 1.2.4.
a ) Nếu u, v Ỵ F m (W) và j Ỵ SH m- (W) sao cho u £ v thì

ị j (dd u )
c

m

ò j (dd v)

Ù wn - m £

c

W

m

Ù wn - m .

W

b) Nếu u Ỵ F m (W) và {u j } Ð F m (W) sao cho u j ] u khi j Z ¥ thì

lim ũ j dd cu j

(

jđ Ơ

W

m

)

wn - m =

c
ũ j dd u

(

m

)

Ù wn - m với j Ỵ Em0 (W).

W

c ) Nếu {u j } Ð F m (W) sao cho u j ] u khi j Z ¥ và


8

lim inf ũ j dd cu j

(

jđ Ơ

m

)

wn - m > - Ơ vi j ẻ SH m- (W) nào đó, thì u Ỵ Em (W).

W

Hơn nữa, nếu sup W j < 0 thì u Ỵ F m (W) .
Chứng minh. (xem [17, Mệnh đề 2.6])
Phiên bản dưới đây là nguyên lý so sánh đối với hàm m - điều hịa dưới. Nó
được suy ra từ lập luận tương tự trong trường hợp m = n .
Bổ đề 1.2.5. Giả sử u, w1,..., wm - 1 Ỵ Fm (W) sao cho v ẻ SH - (W) ầ C (W) . Đặt
T = dd c w1 Ù dd c wm - 1 Ù wn - m . Khi đó

ị

ị

dd cu ÙT ³

{u < v }

dd cv ÙT .

{u < v }

Mệnh đề 1.2.6. Cho u Ỵ Em (W) . Giả s v ẻ SH m (W) ầ LƠ (W) v
Ơ
{u j } Ð Em (W) Ç L (W) , u j ] u khi j Z ¥ . Khi đó

v(dd cu j )m Ù wn - m ® v(dd cu )m Ù wn - m yếu.
Chứng minh. Vì bài tốnlà địa phương, nên khơng mất tính tổng qt, ta giả
sử u, v Ỵ F m (W) . Theo Định lý 3.5 trong [10] ta có
m

(dd u )
c

(

Ù wn - m ® dd cu

j

m

)

Ù wn - m yếu.

Hơn nữa, do v là hàm nửa liên tục trên nên ta có

limsup ị v(dd cu j )m wn - m <

jđ Ơ

W

ũ v(dd u )
c

m- 1

Ù wn - m .

W

Mặt khác, vì u j ³ u nên u j Ỵ F m (W) . Từ đó, áp dụng Mệnh đề 1.2.3 lần nữa
ta được:

ò v(dd u )
c

m

j

Ù wn - m =

ò u (dd u )
c

m- 1

j

W

j

Ù dd cv Ù wn - m

W

³

ò u(dd u )
c

m- 1

j

W

Ù dd cv Ù wn - m


9

=

ò u (dd u )
c

m- 2

j

j

Ù dd cu Ù dd cv Ù wn - m

W

³

ò u(dd u )
c

m- 2

j

Ù dd cu Ù dd cv Ù wn - m

W

³ ... ³

ò u(dd u )
c

m- 1

Ù dd cv Ù wn - m

W

=

ò v(dd u )
c

m

Ù wn - m .

W

Vì v Ỵ SH (W) ầ LƠ (W) nờn

lim inf ũ v(dd cu j )m wn - m
jđ Ơ

W

ũ v(dd u )
c

m

wn - m > - ¥ .

W

Từ đó ta được v(dd cu j )m Ù wn - m ® v(dd cu )m Ù wn - m yếu. Ta hoàn tất phép
chứng minh.
Mệnh đề 1.2.7. Cho WÐ Cn là miền 1 - siêu lồi. Khi đó
E1(W) = SH - (W) .

Chứng minh. Cho u Ỵ SH - (W) và U Ð Wlà một tập con mở tùy ý. Đặt

( {

wj = sup j Ỵ SH - (W) : j £ max (u, - j )trênU

*

}) .

Vì Wlà miền 1 - siêu lồi, nên wj Ỵ E10(W), u £ wj + 1 £ wj trong Wvà wj là
hàm điều hòa trong W\ U . Bằng cách ước lượng tiêu chuẩn sử dụng cơng
thức tích phân từng phần, ta thấy rằng độ đo Laplacian tổng cộng của wj là bị
chặn đều. Phép chứng minh là đầy đủ.
Bổ đề 1.2.8. Cho WÐ £ n , u ẻ SH (W) ầ LƠ (W) v v Î SH (W) . Khi đó

lim udd cva Ù wn - 1 = udd cv Ù wn - 1 , trong đó va = m ax(v, a ) .

a® - ¥


10

Chứng minh. Vì bài tốn là địa phương, nên ta có thể giả sử W là hình cầu và

u, v < 0 trên W. Theo Mệnh đề 1.2.7 ta có v Ỵ E1(W) . Do đó, theo Mệnh đề


1.2.6 ta có lim udd cva Ù wn - 1 = udd cv wn - 1 .
ađ - Ơ

Ta cn cỏc kết quả sau, nói rằng một hàm m  điều hịa dưới liên tục
trên miền m  siêu lồi Wcó thể điều chỉnh thành phần tử của Em0 (W) .
Bổ 1.2.9. Cho u ẻ SH m (W) ầ C (W) . Khi đó với mỗi tập con mở G Ð W,
tồn tại y G Ỵ Em0 (W) sao cho u - y G = const trên G .
Chứng minh. Cho  là hàm vét cạn m – điều hòa dưới liên tục, âm, bị chặn
đối với W. Chọn 0 < d1 < d2 sao cho

G Ð G 2 = {r < - d2 }Ð G 1 = {r < - d1 }1 2 =
2
Đặt a = infG u và b = infG 1 u . Khi đó hàm số
2

y :=

b- a
m ax {r + d2, 0}+ a
d2 - d1

nhỏ hơn u trên G 2 và lớn hơn u trên ¶ G 1 . Điều này suy ra, hàm
v = m ax( y , u ) trên G 1 và bằng y trên W\ G 1 là m – điều hịa dưới trên W.

Ta có v Ỵ SH m (W) ầ LƠ (W), v = u trờn G v v

ổùớ
ỗ
y G = sup ỗỗùỡ j ẻ SH m (W) : j Ê u ỗốùùợ
Vỡ j

G

ảW

=

(b - a )d2
+ a . t
d2 - d1

ửữ
ổ(b - a )d
ử
ữ
ỗỗ
2
ữtrờn G }ữ
.
ữ
ỗỗố d - d + a ÷
÷
÷
÷
ø

ø
2
1
*

là hàm m  điều hịa dưới m cực đại trong W\ G nên theo (2) ta có

ị (dd y
c

G

)m Ù wn - m = 0.

W\ G

ỉ(b - a )d
ửữ
ỗ
2
ữ
v
+
a
Ê y G , nờn
Do ú y G ẻ Em (W). Vỡ
ỗỗ
ữ
ữ
ỗố d2 - d1

ứ
0


11

ổ(b - a )d
ử
2
ữ
u - y G = ỗỗỗ
+ aữ
trờnG . Phộp chng minh l y .
ữ
ữ
ỗố d2 - d1
ứ
nh nghĩa 1.2.10. Cho W là một miền trong £ n và K là tập con compact
của W. Khi đó K được gọi là:
(a ) Lồi phân hình trong W nếu với mọi z Ỵ W\ K đều tồn tại một hàm chỉnh

hình f trên W sao cho f (z ) Ï f (K ) .
(b) Lồi chỉnh hình trong W nếu với z Ỵ W\ K , đều tồn tại một hàm chỉnh

hình f trên W sao cho sup K f < f (z ) .
Sử dụng nghiệm của bài tốn Levi, ta có thể chỉ ra rằng một tập hợp
con compact K của £ n là lồi đa thức khi và chỉ khi K là tập không điểm của
một hàm đa điều hịa dưới trơn, khơng âm (xem [20], Định lý 5.2). Bằng cách
chỉnh sửa phần “chỉ khi” trong chứng minh trên, ta có kết quả sau.
Bổ đề 1.2.11. Cho W là miền bị chặn £ n và K Ð W là tập con lồi chỉnh hình

compact của W. Giả sử G Ð W là tập con mở của W và f là một hàm chỉnh
hình trên W sao cho 0 Ï f (K ) và sup K f < 1 . Khi đó với mỗi e Ỵ (0,1) và
với mọi lân cận mở U của K sao cho G \ U ạ ặ u tn ti
j ẻ PSH (W) Ç C (W) thỏa mãn các tính chất sau:

a ) j º 0 trong lân cận của K .
b) j = log max(| f |, e) + y trong G \ U , ở đó y Ỵ PSH (W) Ç C (W)

c ) j đa điều hòa dưới chặt trên G \ U .

1.3. Tính duy nhất của hàm m  điều hòa dƣới
Những chứng minh bổ trợ sau về tính duy nhất của hàm điều hịa dưới
là cần thiết trong phép chứng minh các kết quả chính.
Bổ để 1.3.1. Cho WÐ D là miền bị chặn trong £ n và K Ð D là tập con lồi
phân

hình,

compact

của

D.

Giả

sử

u, v Î SH (W)

sao

cho

dd c log | f | Ùwn - 1 = 0 trờn Wầ {u ạ v} vi mi hàm chỉnh hình f trên D

với 0 Ï f (K ) . Khi đó u = v trên W\ K .


12

Chứng minh.(xem [17, Bổ đề 3.1)
Bây giờ ta có kết quả chính.
Định lý 1.3.2. Cho W là một miền m – siêu lồi bị chặn trong £ n và K Ð W
là tập con lồi phân hình compact của W. Giả sử u, v Ỵ F m (W) thỏa mãn:

a)

ị j (dd u )
c

m

Ù wn - m ³

ò j (dd v)
c

W

m

Ù wn - m với mỗi j Ỵ Em0 (W) là đa điều

W

hòa trên một lân cận mở của K trong W.
b) u £ v trên W\ K .

Khi đó u  v trên W\ K .
Chứng minh.Theo Bổ đề 1.3.1, ta cần chứng minh rằng nếu f là hàm chỉnh
hình trên W sao cho 0 Ï f (K ) thì.
dd c log | f | Ùwn - 1 = 0 trên {u < v }.

Lấy e Ỵ (0, infK | f |) . Đặt fe = m ax (log | f |, log e). Giả sử G là một tập con
mở của W sao cho K Ð G Ð W. Vỡ fe ẻ PSH (W) ầ C (W) nờn theo Bổ đề
1.2.9 tồn tại y G Ỵ Em0 (W) sao cho fe - y G = const trên G.
Ta chia phép chứng minh thành 3 bước.
Bước 1: Ta chứng minh (v - u )dd c y G Ù (dd cu )m - 1 Ù wn - m = 0 trên W.
Đặt T =

å

m- 1
j= 0

(dd cu ) j Ù (dd cv)m - j - 1 Ù wn - m . Vì dd c y G = dd c fe = 0 trên một

lân cận đủ bé của K , nên theo giả thiết (b) ta nhận được

(v - u )dd c y G ÙT ³ 0 trên W.
Từ đó suy ra

0£

ò (v W

=

òy
W

u )dd c y G ÙT =

òy

G

dd c (v - u ) ÙT

W

G

é(dd cv )m Ù wn - m - (dd cu )m Ù wn - m ù£ 0 .
ú
ëê
û

Trong đó bất đẳng thức cuối cùng được suy ra từ giả thiết (a). Do đó

13

(v - u )dd c y G ÙT = 0 trên W
Hơn nữa ta có:

dd c y G Ù (dd cu ) j Ù (dd cv )m - j - 1 Ù wn - m ³ 0 trên W
với mỗi j = 0,1,......, m - 1. Từ đó

(v - u )dd c y G (dd cu )m - 1 Ù wn - m = 0 trên W
Bước 2: Ta chứng minh dd c fe Ù wn - 1 = 0 trên {u < v }.
Lấy a > 0 sao cho | z |2 - a < - 1 trong W, {v j } Ð Em0 (W) Ç C (W) sao cho
v j ] v khi j Z + ¥ . Cố định d > 0 . Theo Bổ đề 1.2.5 ta có.

ị (v

j

- u ) dd c y G Ù (dd cu )m - 1 Ù wn - m

W

³

(v j - u ) dd c y G Ù (dd cu )m - 1 Ù wn - m
{u < v + d(|z | - a )}

ò

2

j

c
c
m- 1
n- m
³ d
ò dd y G Ù (dd u ) Ù w
{u < v + d(|z | - a )}
2

j

³ d

(

m- 1

)

dd c y G Ù dd c (v j + d(| z |2 - a )

ò

Ù wn - m

{u < v + d(|z | - a )

2

j

³ dm

dd c y G Ù wn - 1 ³ dm

ò
{u < v + d(|z | - a )
2

dd c y G Ù wn - 1 ³ 0.
{u < v + d(|z | - a )}

ò

2

j

Hơn nữa, theo nh lý hi ttri Lebesgue ta cú

lim

jđ + Ơ

ũ (v

- u ) dd c y G Ù (dd cu )m - 1 Ù wn - m

j

W

=

ò (v -

u ) dd c y G Ù (dd cu )m - 1 Ù wn - m = 0.

W

Từ đó ta có

dd c y G Ù wn - 1 = 0
{u < v + d(|z | - a )}

ò

2

Cho d ] 0 ta được dd c y G Ù wn - 1 = 0 trên {u < v }.


14

Chú ý rằng dd c fe = dd c y G trên G, nên dd c fe wn - 1 = 0 trên G Ç {u < v }.
Cuối cùng, cho G Z W ta được điều phải chứng minh của bước 2.
Bước 3: Ta chứng minh rằng dd c log | f | Ùwn - 1 = 0 trên

{u < v }.

Ly

b ẻ Ô . Vi mi e ẻ (0, infK | f |) . Theo bước 2 ta có
dd c fe Ù wn - 1 = 0 trên WÇ {u < b < v }.
Suy ra
max(v - b, 0) dd c fe Ù wn - 1 = 0 trên WÇ {u < b}

Cho d ] 0 , vì {u < b}là tập mở nên theo Bổ đề 1.2.8 ta có

max(v - b, 0) dd c log | f | Ùwn - 1 = 0 trên WÇ {u < b}
Từ đó
dd c log | f | Ùwn - 1 = 0 trên WÇ {u < b < v }

Do đó
dd c log | f | Ùwn - 1 = 0 trên WÇ {u < v }.



Định lý 1.3.3. Cho D là một miền bị chặn trong £ n và K là tập con lồi chỉnh
hình compact của D . Giả sử WÐ D là miền m  siêu lồi và u, v Ỵ Em (W) sao
cho:
a ) u = v trên một lân cận mở của (¶ W) \ K .

b) (dd cu )m Ù wn - m ³ (dd cv )m Ù wn - m trên W\ K .
c) u £ u trên W\ K .

Khi đó u = v trên W\ K .

Chứng minh. Cho f là hàm chỉnh hình trên D sao cho 0 Ï f (K ) theo Bổ đề
1.3.1, ta chỉ cần chỉ ra rằng
dd c log | f | Ùwn - 1 = 0 trên {u < v}.


15

Khơng mất tính tổng qt, giả sử sup | f |< f . Cố định e Ỵ (0, infK | f |) . Lấy
K

V là lân cận của ¶ (W\ K ) sao cho u = v trong V Ç W, U Ð D là lân cận
của K sao cho e < infU | f | . Đặt W¢= W\ (V È U ). Ta có W¢Ð W. Lấy G :

W¢Ð G Ð W sao cho u = v trên W\ (G È K ) . Theo Bổ đề 1.2.11, tn ti
j ẻ PSH (W) ầ C (W) v y Î PSH (G \ U ) Ç C (G \ U )

sao cho j ³ 0 ,

j º 0 trong lân cận của K và j = fe + y , trong đó

fe = max {log | f |, log e}.

Đặt
m- 1

å

T =

(dd cu ) j Ù (dd cv )m - j - 1 Ù wn - m .

j= 0

Chọn c ẻ C 0Ơ (W) sao cho 0 Ê c £ 1 trên W và c = 1 trong G . Vì u = v
trong W\ G và c j = 0 trong lân cận của ¶ (W\ K ) , nên sử dụng Định lý
Stokes ta được
0³

ò cj
W\ K

=

é(dd cv )m Ù wn - m - (dd cu )m Ù wn - m ù
êë
ú
û

ò c j dd (v c

W\ K

=

ò (v -

u ) ÙT =

ò (v W/ K

u ) dd c ( c j ) ÙT =

G/ K

=

ò (v -

u ) dd c ( c j ) ÙT

ò (v -

u )dd cj ÙT

G/ K

u )dd cj ÙT ³ 0.

W/ K

Từ đó suy ra (v - u )dd cj ÙT = 0 trên W.
Vì dd cj = dd c fe + dd c y ³ dd c fe ³ 0 trên G \ U nên suy ra

(v - u )dd c fe Ù (dd cu )m - 1 Ù wn - m = 0 trên G \ U .
Bây giờ chn u Âẻ F m (W) sao cho u u ¢trên Wvà u ¢= u trong G . Đặt
v ¢= max( v, u ¢) . Theo giả thiết và s la chn ca G ta cú

v Âẻ F m (W), u ¢£ v ¢và u ¢= u trên W\ (G È U ) .

16
m- 1

Từ đó suy ra (v ¢- u ¢)dd c fe Ù (dd cu ¢)

Ù wn - m = 0 trên W\ U .

Vì dd c fe = 0 trên U nên ta được

(v ¢- u ¢)dd c fe Ù (dd cu ¢)m - 1 Ù wn - m = 0 trên W.
Do đó, theo phép chứng minh trong bước 2 và 3 của Định lý 1.3.2. ta có
dd c log | f | Ùwn - 1 = 0 trên {u ¢< v ¢}.

Suy ra
dd c log | f | Ùwn - 1 = 0 trên

{u < v }.

W

1.4. Một vài áp dụng
Ta sẽ áp dụng các kết quả về tính duy nhất để cho các điều kiện đủ đối
với sự hội tụ yếu của dãy các hàm m - điều hòa dưới.
Mệnh đề 1.4.1. Cho W là miền m - siêu lồi bị chặn trong £ n và K Ð W là
tập compact lồi phân hình.Cho u, {u j }j ³ 1 là các hàm thuộc F m (W) thỏa mãn
các điều kiện sau:
(a ) {u j }j ³ 1 khơng hội tụ đều đến - ¥ trên các tập compact của W\ K .
(b) u j £ u trên W\ K với mọi j ³ 1.

j (dd c u j )m Ù wn - m =

(c ) lim
j® ¥ ò
W

ò j (dd u )Ù w
c

n- m

với mọi j Î Em0 (W) là đa

W

điều hòa trên một lân cận mở của K trong W.
m

c
n- m
< ¥ .
(d ) sup ò (dd u j ) Ù w
j³ 1

W

Khi đó u j ® u trong L1loc (W\ K ).
Chứng minh. Từ (a) suy ra dãy {u j }j ³ 1 là compact trong L1loc (W) . Chỉ cần kiểm
tra u = v trên W\ K với điểm tụ v tùy ý của {u j }j ³ 1 trong L1loc (W) . Cho v là
một điểm tụ như vậy. Khi đó tồn tại một dãy con {u jk }k ³ 1 sao cho