HÀM NHIỀU BIẾNTRONG XÁC SUẤT THỐNG KÊ (Nguyễn Ngọc lan) -1 pptx

Ch
ươ
ng 3. HÀM NHI
Ề
U BI
Ế
N

1.MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN
Không gian n chiều: Một bộ gồm n số thực được sắp xếp thứ tự, ký hiệu (x
1
, x
2
,… x
n
)
(xi  R, i = 1, n) được gọi là một điểm n - chiều. Tập hợp các điểm n - chiều được ký
hiệu là R
n
.
R
n
= {x = (x
1
, x
2
,… x
n
): x
i
 R, i = 1, n}

Trong đó x
i
là toạ độ thứ i của điểm x.
Khoảng cách 2 điểm: x = (x
1
,x
2
,… x
n
), y = (y
1
,y
2
,… y
n
)  R
n
:



Một số tính chất của d:
a) d(x,y)  0; d(x,y) = 0  x
i
= y
i
, I  x = y
b) d(x,y) = d(y,x)
c) d(x,y)  d(x,z) + d (z,y)
Lân cận: Cho x

0
R
n
và số r > 0. Tập S(x
0
, r) = {x  R
n
: d(x,x
0
) < r} được gọi là một
lân cận của x
0
.
Điểm trong: Điểm x
0
R
n
được gọi là điểm trong của D  R
n
nếu D chứa một lân cận
của x
0



n
i
ii
yxyxd
1

2
)(),(
Điểm biên: Điểm x
0
 R
n
được gọi là điểm biên của D  R
n
nếu mọi lân cận của x
0
đều
chứa ít nhất các điểm x, y: x  D, y  D. Tập hợp mọi điểm biên của D được gọi là
biên của D
Tập đóng: Nếu biên của D thuộc D.
Tập mở: Nếu biên của D không thuộc D.
Hàm 2 biến: D  R
2
, một ánh xạ f: D  R, được gọi là hàm số 2 biến. Ký hiệu:

• D: miền xác định
• f(D) = {zD: z = f(x,y), (x,y)  D} gọi là miền giá trị
Ví dụ: Tìm miền xác định:
z = 2x – 3y +5
z = ln(x + y -1)
Hàm n biến: D  R
n
, một ánh xạ f: D  R được gọi là hàm số n biến. Ký hiệu:




2. GIỚI HẠN VÀ TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ

Giới hạn hàm số: Cho hàm f(x,y) xác định tại lân cận M
0
(x
0
,y
0
), có thể không xác
định tại M0. Số thực L được gọi là giới hạn của f khi M(x,y) tiến đến M
0
(x
0
,y
0
), nếu:
 > 0,  > 0: d(M,M
0
) <  => f(M) – L < 

22
1 yxz 
), ,(), ,(:
2121 nn
xxxfzxxxf 
2
0
2
00
)y-(y)x-(x)Md(M, 

• Khái niệm vô hạn cũng được định nghĩa tương tự như đối với hàm số một biến.
• Các định lý về giới hạn của tổng, tích, thương đối với hàm số một biến cũng
đúng cho hàm số nhiều biến.
Ví dụ:




Liên tục của hàm: f được gọi là liên tục tại (x
0
,y
0
) nếu


Định lý: Nếu f(x,y) liên tục trên một tập đóng và bị chặn trên D  R
2
thì:
• Tồn tại số M: |f(x,y)| ≤ M
• f đạt giá trị lớn nhất và nhỏ nhất trên D
Tương tự ta có thể định nghĩa giới hạn và sự liên tục của hàm số đối với hàm n biến
(n≥3)


3. ĐẠO HÀM RIÊNG
LMf
MM



)(lim
0
Lyxf
yxyx


),(lim
),(),(
00
Lyxf
yy
xx



),(lim
0
0
22
22
)0,0(),(
)sin(
lim
yx
yx
yx




22
)0,0(),(
lim
yx
xy
yx


),(),(lim
00
),(),(
00
yxfyxf
yxyx



Định nghĩa: cho hàm z = f(x,y) xác định trong miền D, M0(x
0
,y
0
)  D. Nếu cho y = y
0

là hằng số, hàm số một biến f(x,y
0
) có đạo hàm tại x = x
0
, được gọi là đạo hàm riêng

của f đối với x tại M
0
. Ký hiệu:


Đặt xf = f(x
0
+ x, y
0
)-f(x
0
,y
0
): Số gia riêng của f tại M
0
.



Tương tự ta cũng có định nghĩa đạo hàm riêng của f theo biến y.



Tương tự ta cũng có đạo hàm riêng đối với hàm n biến số (n3).
Ví dụ: Tính các đạo hàm riêng:



),(
z

),,(
f
,),(
000000
'
yx
x
yx
x
yxf
x




x
f
x
x



 0
'
x
limf
y
f
y
y




 0
'
y
limf
4234
25 yyxxz 
y
xu 
Đạo hàm riêng cấp cao: Cho hàm số f(x,y). Các đạo hàm riêng f’x, f’y được gọi là
những đạo hàm riêng cấp 1. Các đạo hàm riêng của đạo hàm riêng cấp 1 nếu tồn tại
được gọi là đạo hàm riêng cấp 2.





Tương tự, ta có định nghĩa đạo hàm riêng cấp 3,…
Định lý (Schwarz): Nếu trong lân cận nào đó của M
0
hàm số f(x,y) tồn tại các đạo hàm
riêng và liên tục tại M
0
thì fxy = fyx tại M
0
.
Định lý này cũng đúng cho các đạo hàm riêng cấp cao hơn của n biến số (n3)
Đạo hàm của hàm hợp: Nếu hàm z = f(u,v) là các hàm số khả vi của u,v và các hàm số

u = u(x,y), v = v(x,y) có các đạo hàm riêng u
x
, u
y
, v
x
, v
y
thì tồn tại các đạo hàm riêng:



Ví dụ: Tính z = e
u
cosv, u = xy, v = x/y

4. ĐẠO HÀM HÀM ẨN

),(
''
2
2
yxf
x
f
x
f
x
xx















),(
''
2
yxf
xy
f
x
f
y
yx















),(
''
2
yxf
yx
f
y
f
x
xy

















),(
''
2
yxf
yy
f
y
f
y
yy
















x

v
v
f
x
u
u
f
x
z












y
v
v
f
y
u
u
f
y

z











